EKSAMEN I TFY4145 MEKANISK FYSIKK OG FY1001 MEKANISK ...

TFY4145/FY1001 11.des. 2008 Side 5 av 6.Oppgave 4. (teller 25%)a. Kollisjon.En tynn stav med lengde l, masse M og treghetsmoment I = 1 12 Ml2 liggerpå ei friksjonsfri horisontal flate (papirplanet). Et prosjektil med massem ≪ M skytes inn mot staven med stor fart v i retning 90 ◦ på stavensom vist i figuren. Prosjektilet treffer staven i enden (l/2 fra massesenteretcm) og setter seg fast i staven. Staven vil etter kollisjonen få en kombinerttranslasjons- og rotasjonsbevegelse, der massesenterets translasjonsfartangis med v ′ og stavens vinkelhastighet om massesenteret med ω ′ . Merk atstaven ikke er hengslet i noe punkt.Sett opp total bevegelsesmengde før (p) og etter (p ′ ) kollisjonen og totaltspinn om massesenter cm før (L) og etter (L ′ ) kollisjonen. Finn fra detteuttrykk for forholdet v ′ /ω ′ . Du kan se bort fra spinnet til m etter kollisjonen.mv✲cmM✻❄lb. Treghetsmoment.En jamntykk bøyle utgjør 1/4 (90 ◦ ) av en sirkel og er plassertsymmetrisk om x-aksen, med sirkelsentrum i origo, som vist ifiguren. Bøylen er svært tynn og sirkelradien er R. Finn ved integrasjonbøylens treghetsmoment I ved rotasjon om x-aksen.✲Uttrykk I med ringens radius R og masse m.∫Oppgitt: sin 2 θ dθ = 1 2 θ − 1 4sin 2θ.y✻R. ..45 ◦. . . . . . . . . . . . .. θ ...45 ◦. ✛ ω.xc. Gravitasjon.En satelitt går i en sirkulær bane 390 km over jordoverflata. Finn hastigheten til satelitten (i forhold tilei tenkt ikke-roterende jord) og finn omløpstida. Det er oppgitt at jordradien er R = 6, 38 · 10 3 km ogat tyngdens akselerasjon ved jordoverflata er 9,81 m/s 2 , mens jordas masse og gravitasjonskonstanten skalregnes som ukjent.

TFY4145/FY1001 11.des. 2008 Side 6 av 6.FORMELARK.Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbols betydning antas å være kjent. Symbolbruk som i forelesningene.I tillegg finnes en mengde definisjoner og formler i Angell & Lian: Fysiske størrelser og enheter.g =9, 81 m/s 2⃗F(⃗r , t) = d⃗pdt ,Resten av konstantene hentes fra Angell & Lian: Fysiske størrelser og enheter.der ⃗p (⃗r , t) =m⃗v = m˙⃗rKonstant ⃗a : ⃗v = ⃗v 0 + ⃗a t ⃗r = ⃗r 0 + ⃗v 0 t + 1 2 ⃗a t2 v 2 − v 2 0 =2⃗a · (⃗r − ⃗r 0 )Konstant ⃗α : ω = ω 0 + αt θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 αt2 ω 2 − ω 2 0 =2α · (θ − θ 0 )Arbeid dW = ⃗ F · d⃗sKinetisk energi E k = 1 2 mv2E p (⃗r ) = potensiell energi (f.eks. tyngde: mgh, fjær: 1 2 kx2 ) Konservativ kraft: ⃗ F = − ⃗ ∇Ep (⃗r )|F f |≤µ s · F ⊥ |F f | = µ k · F ⊥ Luftmotstand o.l.: ⃗F f = −k f ⃗vMassefellespunkt: ⃗r cm = 1 ∑⃗r i m i → 1 ∫⃗r · dmMMv = rωiSentripetalaksel. a c = −vω = − v2r = −ω2 rKraftmoment ⃗τ = ⃗r × ⃗F Statisk likevekt: Σ ⃗F i = ⃗0 Σ⃗τ i = ⃗0Baneaksel. a t = dvdt = r dωdtSpinn (dreieimpuls) ⃗L = ⃗r × ⃗p ⃗τ = d Ldt ⃗ Stive legemer: ⃗L = I · ⃗ω ⃗τ = I · d⃗ωdtKinetisk energi E k = 1 2 Iω2 der treghetsmoment I = ∑ ∫m i ri 2 → r 2 dmiMassiv kule: I cm = 2 5 MR2 Ring: I cm = MR 2 Sylinder/skive: I cm = 1 2 MR2 Kuleskall: I cm = 2 3 MR2Lang, tynn stav: I cm = 112 Ml2 Parallellakseteoremet: I = I cm + Md 2Gravitasjon: ⃗ F (⃗r )=−Gm 1 m 2r 2 ˆr E p (r) =−G M r mUdempet svingning: ẍ + ω0 2 2πx =0 T = f 0 = 1 ω 0 T = ω 02πMasse/fjær: ω 0 =√km√Tyngdependel: ¨θ mgd+ ω0 2 sin θ =0, der sin θ ≈ θ Fysisk: ω 0 =IRakettlikningen: F ⃗ Y + ⃗v rel · dmdt = m d⃗vdt√ gMatematisk: ω 0 =l