Termisk utvidelse, Varmetransport - Universitetet i Tromsø

13. Termiske egenskaper.Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 113.1. Innledning.Begrepene ”temperatur” og ”varme” brukes mye i dagligtalen. Du har sikkert en intuitivforståelse av hva vi legger i disse begrepene. Men i fysikken trenger vi mer presisedefinisjoner av disse begrepene:Temperatur skal brukes til å betegne en tilstand i et legeme. Vi skal etter hvert se at dennetilstanden kan assosieres med energien til atomene og molekylene som legemet består av.Varme skal brukes til å betegne energi som overføres fra ett legeme til et annet (eller fra endel av et legeme til en annen del) som følge av temperaturforskjeller.Vi sier at et legeme er termisk isolert fra et annet legeme dersom det ikke er mulig å overføreenergi mellom legemene i form av varme. Dersom legemene ikke er termisk isolerte frahverandre, er de i termisk kontakt med hverandre.All erfaring viser at: Dersom to legemer er i termisk kontakt med hverandre, vil de etterhvert få samme temperatur. Dette skyldes at energi overføres fra det legemet som har høyesttemperatur til det legemet som har lavest temperatur. Når de to legemene har fått sammetemperatur, sier vi at legemene er i termisk likevekt med hverandre.Selv om legemene er termisk isolert fra hverandre, kan de utveksle energi på andre måter.Dersom ingen energioverføring er mulig, sier vi at legemene er isolerte.Vi vet av erfaring at alt stoff påvirkes av temperaturen. Vann, for eksempel, går over fra fastform via flytende form til gassform (damp) når temperaturen øker. Volumet av faste stoffer,væsker og gasser avhenger av temperaturen. Slike termiske endringer må kunne brukes til ålage en temperaturskala og måle temperatur.100 C100 C50 C50 CHg0CIsvannHg0CKokende vannHg0CVarmt vannVår tradisjonelle Celsius-skala bygger på to fikspunkter: vannets frysepunkt (smeltepunkt) ogvannets kokepunkt. Temperaturen ved frysepunktet ble satt til 0C , og ved kokepunktet til100 C . Figuren over viser hvordan vi i prinsippet kan gå fram for å lage et slikt termometer.Figuren viser også en av de alvorligste svakhetene ved dette termometeret.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 2En kolbe er fylt med kvikksølv (Hg) og er forbundet med et tynt, jamtykt glassrør slik atkvikksølvet står litt opp i glassrøret når kolben og glassrøret befinner seg i en blanding av isog vann (vannets frysepunkt). Vi merker av hvor høyt kvikksølvsøylen nå står i glassrøret, ogmerker av for 0C . Så flytter vi kolben over i kokende vann (vannets kokepunkt), og merkerav for 100 C der kvikksølvsøylen nå står når det blitt termisk likevekt. Området mellomdeles inn i 100 like store deler, der hver del blir 1 C.Dersom vi på samme måte vil lage et termometer basert på et annet stoff en Hg, for eksempelsprit, viser det seg at de to termometrene viser litt forskjellige verdier mellom fikspunktene.Grunnen er at stoffene ikke utvider seg helt “i takt”.En slik temperaturskala har klare ulemper:• Både frysepunkt og kokepunkt avhenger av trykket, og må derfor spesifiseresnærmere.• Skalaen er lite brukbar utenfor området fra 0Ctil 100 C .• Dersom vi vil benytte andre væsker enn kvikksølv i våre termometre, får vi littforskjellige verdier for temperaturer utenom fikspunktene.Vi skal etter hvert lage en bedre temperaturskala som kalles Kelvin-skalaen, og som basererseg på at trykket i en såkalt “ideell gass” avhenger av temperaturen. I neste kapitel om gasserskal vi se nærmere på hvordan denne skalaen er definert. Foreløpig skal vi nøye oss med årøpe at nullpunktet på Kelvin-skalaen er satt til det absolutte nullpunkt som inntrer ved−273.15 C . Enheten på Kelvin-skalaen kalles kort og godt Kelvin (K), og er definert slik at1K = 1 C . Dette innebærer at:Du finner temperaturen i Kelvin ved å legge 273.15K til Celsius-gradene.13.2. Termisk utvidelse.Vi konstruerte vår første temperaturskala ved å bruke at volumet til legemer endrer seg medtemperaturen. Nå skal vi gå den motsatte veien: Vi skal forutsette at det eksisterer en entydigtemperaturskala, og undersøker slik termisk utvidelse ved hjelp av denne skalaen.er etviktig unntak). Slik termisk utvidelse kan vi forklare ved at når temperaturen øker i et legeme,så øker den gjennomsnittlige energien til molekylene i legemet. Dermed øker den midlereavstanden mellom molekylene. Dette ser vi som en utvidelse av legemet.De aller fleste stoffene utvider seg når temperaturen øker (vann mellom 0Cog 4C13.2.1. Lineær utvidelse.Anta at vi har en stang som har lengden L0ved temperaturen T0.Ved temperaturendringen ∆ T endrer lengden seg med ∆ L .Forsøk har vist at når ∆ T ikke er for stor (mindre enn ca. 100° C ),er ∆ L tilnærmet proporsjonal med ∆ T og med L0slik at:Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 3∆L≈α⋅L ⋅∆ T .0Proporsjonalitetskonstanten α kalles den termiske lengdeutvidelseskoeffisienten, og er1forskjellig fra stoff til stoff. Når ∆ T måles i K , vil α måles i K − .Hvis ei stang har lengde L0ved temperaturen T0, så er lengden L som stanga har vedtemperaturen T = T0+∆ T gitt vedL = L + ∆L ≈ L + α⋅L ⋅∆ T = L + α ⋅∆ T .0 0 0 01( )Likningen over sier at det er en lineær sammenheng mellom lengdeforandring og temperaturforandring.Dette stemmer ikke helt eksakt når temperaturforandringen blir stor. Da er detbedre å bruke mer kompliserte sammenhenger, for eksempel12nL≈ L + α ⋅∆ T + α ⋅ ∆ T + + α ⋅ ∆T.( ( ) n ( ) )0 1 2Også andre sammenhenger kan være aktuelle. Vi skal ikke ta opp slike problemstillinger idette kurset.Eksempel 13.2.1:Ei bru av stål er 200m lang ved temperaturen 20° C. Brua kan oppleve temperaturer mellom− 30° C og 40° C. Hva er forskjellen i lengden til brua ved disse to temperaturene?−5 −1Den termiske lengdeutvidelseskoeffisienten for stål er α = 1.2 ⋅ 10 K .Løsning: Når temperaturen endres fra 20° C til − 30° C , har den endret seg med − 50 K . Ved− 30° C har brua lengdenL L 5 11 0( 1 α T− −= + ⋅∆ ) = 200m( 1+ 1.2⋅10 K ⋅( − 50K)) = 199.88m .Når temperaturen endres fra 20° C til 40° C, har temperaturen økt med 20 K . Ved 40° C harbrua lengdenL L 5 12 0( 1 α T− −= + ⋅∆ ) = 200m( 1+ 1.2 ⋅10 K ⋅ 20K)= 200.05m .Dermed vil lengden til brua variere med opptilL2 − L1 = 200.05m− 199.88m = 0.17m .Dersom vi bare er interessert i den maksimale lengdeforandringen og ikke i minste og størsteverdi, kan vi benytte at maksimal temperaturforskjell er 40 C −( − 30 C)= 70 C = 70K . Dablir−5 −1∆L≈α⋅L0 ⋅∆ T = 1.2⋅10 K ⋅200m ⋅ 70K = 0.17 m .13.2.2. Volumutvidelse.På samme måte som for lineær utvidelse, vil volumet V til et legeme endres med en størrelse∆ V når temperaturen endres med ∆ T . Eksperimenter viser at dersom temperaturendringeneikke er for store, erBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 4∆V ≈β⋅V ⋅∆ T0der β kalles den termiske volumutvidelseskoeffisienten mens V0er volumet før temperaturendringen.Når ∆ T måles i K , har β enheten K − 1.For faste stoffer er det en enkel sammenheng mellom lineær utvidelse og volumutvidelse.3Anta at vi har en terning med sidekanter L og volum V = L . Startverdiene kaller vi L0og3V0 = L0. Når temperaturen øker med ∆ T , får vi ved hjelp av tilvekstformelendV2 2 3∆ V = ⋅∆ L= 3L0 ⋅∆ L= 3L0 ⋅( αL0⋅∆ T)= 3αL0 ⋅∆ T = 3α⋅V0⋅∆ T .dLL=L0Ved å sammenlikne dette uttrykket for ∆ V med uttrykket∆V ≈β⋅V0⋅∆ T ,ser vi atβ ≈ 3α.Her er noen verdier for α og β som gjelder omkring romtemperatur:Stoff-1α ( K )-1β ( K ) Stoff-1β ( K )Aluminium52.4⋅10 − 7.2⋅ 10 −5Etanol575⋅10 −Kopper51.7⋅10 − 5.1⋅ 10 −5 Glyserin549⋅10 −Glass50.4 −0.9⋅10 − 1.2 −2.7 ⋅ 10 −5 Kvikksølv518⋅10 −Stål51.2⋅10 − 3.6⋅10 −5Vann har en helt spesiell termisk utvidelse nær 4C . Når temperaturen stiger fra 0C til 4C ,avtar vannets volum. Når temperaturen kommer over 4C , får imidlertid vannet en positivtermisk utvidelse. Dette har som konsekvens at vannet er tyngst ved 4C . En annen viktig ogspesiell egenskap er at vann i fast form (is) er lettere enn vann i flytende form.Disse egenskapene er av fundamental betydning for livet på jorda. Når temperaturen i en damavtar ned mot 0C , vil vann ved 4C være tyngst og vil synke mot bunnen. Islegging vilstarte på vannets overflate, og isen vil ligge oppå det varmere (og tyngre) vannet. Detteforhindrer at dammen bunnfryser (i alle fall dersom dammen ikke er alt for grunn).13.2.3. Termisk spenning.Hvis ei stang er festet slik at den ikke kan forlenges eller presses sammen når temperaturenendres, vil det oppstå trykk- eller strekkspenninger i stanga. Vi finner størrelsen av dissespenningene og de tilhørende kreftene ved å regne som om stanga først får utvide eller trekkeseg sammen på grunn av temperaturendringene, og at vi deretter presser sammen ellerstrekker stanga til sin opprinnelige lengde.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 5Vi vet at dersom ei stang med lengde L0utsettes for en temperaturendring, blir lengdeendringen∆ L= α ⋅L ⋅∆ T .0∆ TI kapitlet om elastisitet har vi vist at under sammenpressingen til opprinnelig lengde L0gjelder loven:F⊥∆L 1 F⊥= Y ⋅ ⇔ ∆ L = ⋅ ⋅ L0A L Y A0der A er tverrsnittsarealet, F ⊥er kraften vinkelrett på tverrsnittet, og Y er Youngs modul. Visetter disse to uttrykkene for ∆ L lik hverandre, og får1 F⊥F⊥α ⋅L0⋅∆ T = ⋅ ⋅L0⇔ = Y ⋅α⋅∆ T.Y A A2Eksempel 13.2.2: En aluminiumssylinder er 10cm lang og har tverrsnittsarealet 20cm . Denskal brukes til å holde to stålvegger fra hverandre. Ved 12° C glir sylinderen så vidt innmellom veggene. Anta at veggene ikke deformeres og at de er urørlige. Beregn kraften frasylinderen på hver vegg når temperaturen er 28° C.10−5 −1For aluminium er Y = 7.0 ⋅ 10 Pa og α = 2.4 ⋅ 10 K . Løsning: Temperaturendringen er ∆ T = 28 C − 12 C = 16K .Da erF⊥= Y⋅α⋅∆TA( ) 2F = AY ⋅ ⋅α⋅∆ T= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⊥−2 10 −5 −1 320 10 m 7.0 10 Pa 2.4 10 K 16K 53.8 10 NHvis det oppstår temperaturforskjeller i et legeme, vil ikke alle delene av legemet utvide seglikt. Da oppstår det spenninger i legemet, noe som kan få legemet til å sprekke. Dettefenomenet oppstår for eksempel når kalde isbiter legges i varmere vann.13.3. Varmeoverføring.13.3.1. Innledning.Vi starter med å definere varmestrøm og varmefluks slik:Når en energimengde ∆ Q passerer et tverrsnitt i løpet at en tid ∆ t , er varmestrømmen∆Q dQH = lim = .∆→ t 0 ∆tdtVarmefluksen Φ er varmestrøm pr flateenhet. Dersom varmen strømmer gjennom ei flatemed tverrsnittsareal A vinkelrett på strømningsretningen, erHΦ= .A2Varmestrømmen måles i Watt (W), mens varmefluks måles i W/m .Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 6Legg merke til at vi bruker t (liten bokstav) for tid, og T (stor bokstav) for temperatur.Vi skal nå se nærmere på hvordan varmen går fra et system til et annet, eller fra en del av etlegeme til en annen del. Det finnes i hovedsak tre måter å overføre varme på:• Varmeledning: Dette er den vanligste formen for varmeoverføring når varme spresfra en del av et fast legeme til en annen del, eller når varme overføres mellom fastelegemer som er i kontakt med hverandre.• Konveksjon: Dette er varmetransport i væsker og gasser som skyldes forflytning avmasse.Både varmeledning og konveksjon forutsetter at det er molekyler til stede som kantransportere varmen. Men varme kan også transporteres gjennom vakuum:• Varmestråling: Dette er varmeoverføring fra overflaten av legemer ved elektromagnetiskstråling. Solskinn er et velkjent eksempel.Varmeledning og konveksjon forekommer gjerne samtidig. Hvis vi for eksempel skal studerevarmetap gjennom et ett-lags vindu, har vi varmeledning gjennom vindusglasset ogkonveksjon på begge sider av glasset.Vi skal i hovedsak nøye oss med å se på prinsippene for varmeledning og konveksjon. I ettillegg skal vi se på varmeledning gjennom flerlags plater, og vi skal kombinere varmeledningog konveksjon.Til slutt skal vi kort omtale varmestråling.13.3.2. Varmeledning.Figuren nedenfor til venstre viser ei plate med tverrsnittsareal A og tykkelse L. Vi antar atkantene oppe og nede er isolert slik at ingen varme utveksles med omgivelsene den veien.Den varme siden av plata har temperaturen , mens den kalde siden har temperatur .Forsøk har vist at:Når varme overføres fra et sted med temperatur til et sted medlavere temperatur gjennom et homogent legeme med konstanttverrsnittsareal A og avstand L mellom de parallelle sideflatene, ervarmestrømmenog varmefluksen.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 72 KKonstanten λ kalles stoffets varmekonduktivitet, og oppgis i ( ) ( )W/ m ⋅ = W/ K ⋅ m .Materialer med stor λ er gode varmeledere, mens de med liten λ er dårlige varmeledere (oggode isolatorer). Her er en liten oversikt:( )Stoff λ W ( m⋅K)Aluminium 205.0Sølv 406.0Stål 50.2Glass 0.8Tre 0.12-0.04Luft 0.024Hydrogen 0.14Oksygen 0.023Eksempel 13.3.1: Glass har varmekonduktiviteten 0.8W/ ( m ⋅ K). Et vindu er 60× 80cm stortog er laget av ei 2.5 mm tykk glassplate. Finn varmestrømmen gjennom dette vinduet nårtemperatur på glassets innside er 5K høyere enn temperaturen på utsiden.Løsning: Varmestrømmen blirTH − TC 2 5KH = λ ⋅ A = 0.8W/ ( K ⋅m) ⋅( 0.60 ⋅0.80) m ⋅ = 768W .L0.0025mmTH−TCStørrelsen angir temperaturendringen pr lengdeenhet, og kalles for temperaturgradienten.Det er ofte gunstig å erstatte lengden L med en kort strekning ∆ x . Da erstatter viLogså TH− TCmed −∆ T , der minustegnet skyldes at temperaturen avtar i den retningen somvarmen strømmer. Så lar vi ∆x→ 0 , og vi fårdQ dTH = = − λ A .dt dx13.3.3. Konveksjon.Konveksjon er varmeoverføring i gass eller væske som skyldes forflytning av partikler fra etområde i gassen/væska til et annet (”omrøring”). Hvis forflytningen skjer naturlig forditettheten varierer med temperaturen, kaller vi det naturlig konveksjon. Når varm luft stigeropp og kaldere luft synker ned har vi et eksempel på slik naturlig konveksjon. Er det ei pumpeeller et ventilasjonssystem eller liknende som framtvinger forflytningen, kaller vi det tvungenkonveksjon.Konveksjon er temmelig komplisert, og vi skal begrense oss til ett spesialtilfelle: Ei plate (foreksempel et vindu) avgrenser en gass eller væske, og det er temperaturforskjell mellom plataog gassen eller væska. Situasjonen er vist på figuren nedenfor til venstre:Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 8Ei glassplate står med sin ene flate mot luft som er kaldere ennlufta på den andre siden av plata. Det viser seg at temperatureni grenseflata mellom glass og kald luft er høyere enntemperatureni lufta ellers. Det danner seg et grensesjiktder temperaturen gradvis går fra til . Tykkelsen av dettegrensesjiktet, og temperaturforskjellenavhengerav en rekke faktorer. Men eksperimenter viser at ved naturligkonveksjon er varmestrømmen gjennom dette grensesjiktetgrovt sett gitt vedder A er arealet av grenseflata mellom luft og glass.Størrelsen h kalles varmeovergangskoeffisienten, og måles i. Nærmereundersøkelser viser at h avhenger av . Det er vanlig å anta at h er proporsjonal med. Dessuten avhenger h en god del at hvordan plata er plassert. Varmestrømmen pågrunn av naturlig konveksjon er større fra oversiden av ei horisontal plate enn fra undersiden.Noen omtrentlige verdier for h ved naturlig konveksjon:• Oversiden av horisontal flate: .• Undersiden av horisontal flate: .• Vertikal flate: .Ved enhver forn for tvungen konveksjon (vind, ventilasjon, …) vil disse verdiene endres mye.Eksempel 13.3.2: Beregn varmestrømmen på grunn av naturlig konveksjon fra vinduet ieksempel 13.3.1, når vi antar at og vinduet står vertikalt.Løsning: Varmestrømmen blir.Ved å sammenlikne dette svaret med svaret fra Eksempel 13.3.1, vil du se noe interessant.Varmestrømmen gjennom vindusglasset er jo mye større enn varmestrømmen som skyldeskonveksjon utenfor glasset! En grundigere analyse (som er gjennomført som et eksempel itillegget) viser at selv om forskjellen mellom ute- og inne-temperaturen et flere titalls grader,kan temperaturforskjellen mellom innsiden og utsiden av vindusglasset være bare noen fågrader. Med et enkelt ett-lags vindu er det altså luftsjiktene tett inntil glasset som står formesteparten av isolasjonen.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 913.3.4. Varmestråling.Varmestråling er energioverføring ved elektromagnetiske bølger som f.eks. synlig lys,infrarødt eller ultrafiolett lys.Alle legemer sender ut energi i form av elektromagnetisk stråling. Bølgelengden til denutsendte strålingen avhenger av overflatetemperaturen. Ved temperaturer rundt 20° C sendesså å si all energien ut som infrarød stråling. Når temperaturen øker, vil bølgelengden til denutsendte strålingen avta, og kommer etter hvert inn i det området som er synlig for detmenneskelige øyet. Ved ca. 800° C vil legemet framstå som rødglødende selv om mestepartenav energien fremdeles sendes ut i det infrarøde området. Ved ca. 3000° C sender legemet utlys i hele det synlige spektret, slik at det ser hvitt ut.Varmestrømmen som skyldes stråling fra et legeme er proporsjonal med overflatearealet til4legemet. Den er også proporsjonal med T , der T er den absolutte temperaturen til legemetsoverflate. Strukturen til overflaten vil også regulere varmestrømmen. Dette representeres medemisjonskoeffisienten e som er forholdet mellom utstrålingen til den gitte overflaten ogutstrålingen fra en like stor og ideelt utstrålende overflate ved samme temperatur. For enideelt utstrålende overflate er e = 1, og avtar mot 0 for overflater som ikke sender ut stråling.Varmestrømmen som skyldes stråling fra en overflate med areal A, emisjonskoeffisient e ogabsolutt temperatur T er:dQ4H = = Aeσ T .dt−8 2 4Her er σ = 5.670400⋅10 W m ⋅ K som kallers Stefan-Boltzmanns konstant.Hvis et legeme med absolutt temperatur T sender ut stråling, må også omgivelsene medabsolutt temperatur Tssende ut stråling. Legemet vil absorbere noe av denne strålingen.Hvis legemet er i termisk likevekt med omgivelsene (d.v.s. at T = Ts), vil legemet sende utlike mye stråling som det absorberer. Generelt vil netto varmestrøm ut fra legemet være gittved4 4 4 4H = AeσT − AeσT = AeσT − T .Her er( )net s sHnetpositiv når legemet stråler ut mer energi enn det absorberer.2Eksempel 13.3.3: Utenfor jordas atmosfære er varmestrålingen fra sola målt til 1366 W/mpå ei flate vinkelrett på solstrålene. For at jorda skal holde konstant temperatur, må den stråleut like mye energi som den mottar fra sola. Finn temperaturen på jorda når vi antar at jordaabsorberer all solenergien, og at den energien som mottas fordeles jevnt over hele jordkloden(vi finner en ”global gjennomsnittstemperatur”). Sett emisjonskoeffisienten e = 1.0 .Løsning: Etter forutsetningene vil jorda motta en varmestrøm2 2Hinn= 1366 W/m ⋅ π Rder R er jordas radius. Arealet av jordas overflate er2A= 4πR ,Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 10slik at når gjennomsnittstemperaturen på jorda er T, er varmestrømmen ut fra jordas overflategitt ved4 2 4Hut= AeσT = 4πR ⋅1.0⋅σ⋅ T .Vi har termisk likevekt når2 2 2 4H = H ⇔ 1366 W/m ⋅ πR = 4πR ⋅σTutinn1366 W/m 1366 W/m2 24⇔ T = =8 2 44eσ4 ⋅ 1.0 ⋅−5.670400 ⋅ 10 W m ⋅ K⇔ T = 278.58 K = 5.4 CEksemplet ovenfor ser bort fra mange faktorer. De viktigste er:• Noe av strålingen fra sola reflekteres fra snødekte flater, skyer og lignende, og inngårikke i regnskapet. Man anslår at ca. 30 – 35 % av strålingen reflekteres.• Drivhuseffekten fører til at temperaturen på bakken blir høyere enn den temperaturensom vi finner med slike beregninger som i eksemplet.13.4. Varmekapasiteter, overgangsvarme og kalorimetri.13.4.1. Innledning.Vi skal nå se på sammenhengen mellom den varmen som tilføres til et legeme, og temperaturøkingeni legemet. For ordens skyld vil jeg minne om at varme er energi som overføres somfølge av temperaturforskjell.La oss ta utgangspunkt i et legeme som består av et fast stoff, for eksempel is (som er HO2ifast form). Vi starter med en temperatur som er godt under smeltepunktet, og varmer opp.Etter hvert som vi tilfører varme, vil temperaturen i legemet stige inntil vi når en temperaturder legemet begynner å smelte. Denne temperaturen kaller vi smeltepunktet for stoffet.Dersom vi fortsetter å tilføre varme langsomt slik at det er termisk likevekt mellom stoffet ifast form (is) og stoffet i væskeform (vann), vil temperaturen i blandingen holde seg konstantpå smeltepunktet inntil alt fast stoff er smeltet. Deretter vil temperaturen i væsken fortsette åstige når vi tilfører mer varme, inntil vi når en temperatur der væsken begynner å gå over igassform (den fordamper). Denne temperaturen kaller vi kokepunktet for stoffet.Vi fortsetter å tilføre varme langsomt slik at det er termisk likevekt mellom stoffet i væskeform(vann) og stoffet i gassform (damp). Da vil temperaturen i blandingen holde segkonstant inntil all væsken er fordampet. Deretter vil temperaturen i dampen fortsette å stigenår vi tilfører mer varme.Denne utviklingen kan illustreres slik:Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 11TTemperaturSmeltepunktKokepunktVæske+ gassGassFast form+ væskeVæskeFastformTilført varmeQVi skal nå se nærmere på sammenhengen mellom tilført varme og temperatur. Først skal vi sehva som skjer mens stoffet er i samme aggregattilstand (fast form, væske eller gass). Deretterskal vi se hva som skjer under en faseovergang. Til slutt skal vi sette opp et energiregnskapnår det utveksles varme (energi).13.4.2. Varmekapasiteter.Et legeme mottar en varmemengde ∆ Q uten at det inntreffer noen faseforandring. Da stigertemperaturen i legemet med ∆ T . Eksperimenter viser at for ett bestemt legeme er temperaturøkingenproporsjonal med den tilførte varmen:∆Q∆ Q = C⋅∆T ⇔ C = . ∆ TStørrelsen C kalles legemets varmekapasitet, og oppgis i J/K. Varmekapasiteten angir altsåhvor mange Joule som må tilføres legemet for at temperaturen skal stige med 1 Kelvin.Dersom legemet består av kun ett stoff, er det ofte nyttig å vite hvor mye varme som måtilføres for å øke temperaturen i 1 kg av dette stoffet med 1 K. Eksperimenter viser nemlig atden tilførte energien er svært nær proporsjonal med både massen av legemet og temperaturøkingen.Vi definerer derfor en spesifikk varmekapasitet for hvert stoff slik:Når en masse m av et stoff tilføres en varmemengde∆Q∆ Q = c⋅m⋅∆T ⇔ c =m⋅∆ T.∆ Q , er temperaturøkingen ∆ T gitt vedStørrelsen c kalles stoffets spesifikke varmekapasitet, og oppgis i J/ ( kg K)⋅ .Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 12Den spesifikke varmekapasiteten c til et stoff angir altså hvor mye energi som må tilføres 1 kgav stoffet for at temperaturen skal stige med 1 Kelvin. Dersom vi skal være helt nøyaktig,avhenger c litt av temperaturen. Vi skal se bort fra denne avhengigheten.Noen ganger er det nyttigere å vite hvor mye energi som må tilføres 1 mol av et stoff for å øketemperaturen med 1 Kelvin. Da snakker vi om stoffets molare varmekapasitet, som vi ogsåbetegner med c. Vi har altså at∆ Q= c⋅n⋅∆Tder n er antall mol som legemet består av.Eksempel 13.4.1: En komponent i en elektrisk krets er lagd av 23mg silisium. Den−3elektriske strømmen gjennom komponenten har effekten P = 7.4 ⋅ 10 W . Hvor raskt økertemperaturen i komponenten hvis den ikke avgir varme?705J kg ⋅ K .Silisium har den spesifikke varmekapasiteten ( )Løsning: I løpet av et tidsintervall∆ t tilføres energien ∆ Q = P⋅∆ t (Husk at effektDette fører til at temperaturen til komponenten øker med ∆ T :∆Q P⋅∆t∆ Q = c⋅m⋅∆T ⇔ ∆ T = =c⋅mc⋅m−3∆TP 7.4 ⋅10 J/s⇔ = = = 0.46K/s−6∆tc⋅m705J kg K ⋅23⋅10 kg( )∆QP = ). ∆ tTabellen nedenfor viser spesifikke varmekapasiteter for noen utvalgte stoffer.Stoff Spesifikk varmekapasitet ( J/ ( kg ⋅ K))Aluminium 910Kopper 390Is (nær 0C) 2100Vann 4190Bly 130Den spesifikke (eller molare) varmekapasiteten for gasser avhenger av hvordan oppvarmingenforegår. Vi skal komme tilbake til dette senere.13.4.3. Spesifikk overgangsvarme.Vi skal nå se på hva som skjer under en faseovergang. Vi starter med en masse m av et faststoff på smeltepunktet. Etter å ha tilført en varmemengde ∆ Q er alt stoffet gått over til væskeuten at temperaturen har endret seg. Eksperimenter viser at ∆ Q er proporsjonal med massenm, slik at∆ Q = L ⋅ m.sStørrelsen Lskalles stoffets spesifikke smeltevarme.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 13Ved den motsatte prosessen, der en masse m går over fra væske til fast stoff uten temperaturendring,avgis en varmemengde ∆ Q som er nøyaktig like stor som den varmemengden somble tilført ved smeltingen.Vi får helt tilsvarende forhold ved fordamping. Vi starter med en masse m av et stoff i væskeformpå kokepunktet. Etter å ha tilført en varmemengde ∆ Q er all væsken gått over tilgassform uten at temperaturen har endret seg. Eksperimenter viser at ∆ Q er proporsjonalmed massen m, slik at∆ Q= Lf⋅ m.Størrelsen Lfkalles stoffets spesifikke fordampingsvarme. Nøyaktig like stor varmemengdeavgis ved kondensasjon.Spesifikk smeltevarme og spesifikk fordampingsvarme kalles med en fellesbetegnelse forspesifikk overgangsvarme.Tabellen nedenfor viser spesifikke smelte- og fordampingsvarme (målt i J/kg) sammen medsmeltepunkt og kokepunkt (målt i C ) for noen utvalgte stoffer. Merk at både smeltepunkt ogkokepunkt avhenger av trykket, og at dataene i tabellen gjelder ved vanlig atmosfæretrykk.Stoff SpesifikkSmeltepunkt SpesifikkKokepunktsmeltevarmefordampingsvarmeVann3334⋅ 100.032256 ⋅ 10100.0Etanol3104.2 ⋅ 10-1143854⋅ 1078Bly324.5⋅ 10327.33871⋅ 101750Sølv388.3⋅ 10960.832336 ⋅ 102193Kopper3134⋅ 10108335069 ⋅ 101187Noen stoffer kan gå direkte fra fast stoff til gass uten å smelte først. Denne faseovergangenkalles sublimasjon, og den tilhørende spesifikke overgangsvarmen kalles spesifikksublimasjonsvarme L .s13.4.4. Kalorimetri.Vi skal nå se hvordan vi kan sette opp energiregnskap når systemer mottar eller avgir varme.Vi benytter da at:• Den varmemengden ∆ Q som tilføres et system, har positivt fortegn. Dersom systemetavgir en varmemengde ∆ Q , blir fortegnet negativt.• Ved oppvarming eller avkjøling uten faseovergang, vil ∆ Q få samme fortegn som ∆ T .• Når et legeme smelter eller fordamper, må det tilføres en positiv varmemengde ∆ Q . Nåret legeme størkner eller kondenserer må det avgi en negativ varmemengde ∆ Q .Eksemplene nedenfor viser hvordan disse prinsippene anvendes.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 14Eksempel 13.4.2: En aluminiumsbeholder har massen mAl= 0.120kg og temperaturenTAl= 20.0° C . Vi heller mvann= 300g vann med temperaturen Tvann= 70.0° C i beholderen.Hva er temperaturen til vannet og beholderen når de er i termisk likevekt? Se bort i fravarmetap til omgivelsene.De spesifikke varmekapasitetene er:cvann= 4190 J ( kg ⋅ K),Al910 J ( kg K)c = ⋅ .Løsning: Det varme vannet vil varme opp aluminiumsbeholderen. Vi kaller fellestemperaturennår likevekt er inntruffet for T . Energien i vannet endrer seg med:∆ Q = c m ∆ T = c m T − T .( )vann vann vann vann vann vann vannEnergien i aluminiumet endrer seg med:∆ Q = c m ∆ T = c m T − T .( )Al Al Al Al Al Al AlSiden det ikke tapes energi til omgivelsene i denne prosessen, er systemets totale energibevart. Da er∆ Q +∆ Q = 0vannAlcvannmvann ( T Tvann ) cAlmAl ( T TAl)( )− + − = 0c m + c m T = c m T + c m Tvann vann Al Al vann vann vann Al Al Alc m T + c m TT =c m + c mvann vann vann Al Al Alvann vann Al Al4190⋅0.300⋅ 70 + 910⋅0.120⋅20 = ° C = 66 ° C4190⋅ 0.300 + 910⋅0.120Legg merke til at vi kan jobbe med alle temperaturene i grader Celsius selv om de spesifikkevarmekapasitetene har enheten J ( kg ⋅ K). Dette skyldes at en temperaturforskjell på 1 Csvarer til en temperaturforskjell på 1 K. Derfor kan vi erstatte J ( kg ⋅ K)med J ( kg ⋅° C)iberegningene. Dermed blir enhetene riktige.Eksempel 13.4.3: Vi vil avkjøle mbrus= 0.25kg brus fra Tbrus= 25° C til T = 5C ° . Dette skalgjøres ved å tilføre is med temperaturen Tis=− 20° C . Hvor mye is må vi tilføre for atsluttemperaturen skal bli T = 5C ° når all isen er smeltet? Anta at brusen har sammespesifikke varmekapasitet som vann, og se bort fra varmetap til omgivelsene.Det oppgis at:Spesifikk varmekapasitet for vann ervann4190J ( kgK)Spesifikk varmekapasitet for is er cis= 2100J ( kgK).Spesifikk smeltevarme for is erc = .5Ls,is= 3.34 ⋅ 10 J kg .Løsning: Brusen mottar en varmemengde4∆ Qbrus = cvannmbrus∆ Tbrus = 4190 J ( kgK) ⋅0.25kg ⋅ ( 5° C − 25° C) =−2.095⋅ 10 J .Det negative fortegnet skyldes at brusen avgir varme (den avkjøles).Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 15Den tilførte isen vil først varmes opp til smeltepunktet og deretter gjennomgå en faseovergangtil vann. Til slutt skal smeltevannet varmes opp til . Vi får da atSiden det ikke avgis varme til omgivelsene må den totale energiendringen være null slik at13.5. Tillegg.13.5.1. Varmestrøm gjennom flerlags plater.Innen bygningsteknikk brukes en varmegjennomgangskoeffisient , som gjerne kalles u-verdien. Når vi bruker den, blir varmestrømmenog varmefluksenVi ser at u-verdien har benevning ..Nå skal se på varmefluks gjennom flater som er bygd opp avflere lag, og finne u-verdien for slike sammensatte flater. Da erdet nyttig å innføre en termisk resistans R slik at.Da kan varmefluksen gjennom ei plate uttrykkes somMerk likheten med Ohms lov fra elektrisitetslæra: .Vi skal først se på varmeledning gjennom ei to-lags plate der de to lagene har termiskeresistanser og . Temperaturen på den varme siden er , mens temperaturen på denkalde siden er . Temperaturen på grensen mellom platene skal vi kalle T. Siden.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 16varmestrømmen er like stor gjennom begge platene, må vi ha atTH−TΦ = ⇔ TH − T = R1⋅ΦR1ogT −TCΦ = ⇔ T − TC = R2⋅Φ.R2Vi legger sammen disse to likningene, og fårTH − TC = R1⋅Φ+ R2⋅Φ = ( R1+ R2)⋅Φ.Men dette innebærer jo at den termiske resistansen i vår to-lags plate er lik summen av determiske resistansene i hver av platene.Helt tilsvarende resultater får vi dersom vi har plater som er satt sammen av flere lag: Densamlede termiske resistansen er lik summen av de termiske resistansene i hvert lag. Visummerer opp:Dersom en varmefluks Φ går gjennom flere plater som alle har samme areal A, og der platenr. i har termisk konduktivitet λiog tykkelse Li, erTH − TC = ( ∑ Ri) ⋅Φder den termiske resistansen for plate nr. i er1 LiRi== =uiλiog THog TCer temperaturene på henholdsvis den varme og den kalde siden av platene.Vi kan finne temperaturforskjellen ∆ Timellom de to sidene av ei av platene slik: Sidenvarmefluksen Φ er like stor gjennom alle platene, har vi atTH − TC = ( ∑ Ri)⋅Φog∆ Ti= Ri⋅Φ.Vi deler disse to likningene på hverandre og forkorter bort Φ . Da får vi:Temperaturforskjellen∆TiRi=T −T ∑ R.HCi∆ Timellom de to sidene av plate nr. i er gitt vedEksempel 13.5.1: En vegg består av to lag trepanel med isolasjonsmatte mellom. Hvert avpanellagene er 3.0 cm tykke, mens isolasjonsmatta er 10 cm tykk. Treet har0.12 W/ m Kλ = 0.040 W/ m ⋅ K . Anta at temperaturenλ = ( ⋅ ) , mens isolasjonsmatta har ( )trepå innervegg er 20 C , mens temperaturen på yttervegg er −10 C.isoBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 17a) Beregn veggens u-verdi.b) Hvor stor er varmefluksen gjennom veggen?c) Hvor stor er temperaturforskjellen mellom de to sidene av isolasjonsmatta?Hva er temperaturen på hver side av isolasjonsmatta?Løsning:a) Den termiske resistansen i hvert av trelagene erLtre0.03m2Rtre= = = 0.25( m ⋅ K ) /W .λ 0.12 W/ m ⋅Ktre( )Den termiske resistansen i isolasjonsmatta erLiso0.10m2Riso= = = 2.50( m ⋅ K ) /W .λ 0.040 W/ m ⋅Kiso( )Den samlede termiske resistansen i veggen blir2 2 2R= 2⋅ R + R = 2⋅0.25 m ⋅ K /W + 2.50 m ⋅ K /W = 3.00 m ⋅ K /Wtreisoslik at veggens u-verdi blir1 1 Wu = = = 0.33 .2m2R 3.00 m ⋅ K /W ⋅ K( )( ) ( ) ( )b) Når temperaturen på innervegg er 20 C mens temperaturen på yttervegg er −10 C, blirer varmefluksen Φ gjennom veggen gitt vedT 20 C ( 10 C)H−T− −C2Φ= = = 10.0 W/m .2R 3.00 m ⋅K /W( )(I praksis må vi ta hensyn til at isolasjonen er brutt av bjelkelag og lignende, slik at deneffektive varmefluksen blir større enn disse beregningene viser).c) Temperaturforskjellen ∆ T mellom de to sidene av isolasjonsmatta er gitt ved∆TRiso=T −T RHC(2⋅ )(2⋅ )R2.50 m K /Wiso ⇔ ∆ T = ( TH−TC) ⋅ = ( 20 C −( −10 C)) ⋅ = 25.0 KR3.00 m K /WFor hvert av trelagene er det en temperaturforskjell på130K − 25.0K = 2.5K .2( )Temperaturen på den varme siden av isolasjonen er derfor20 C − 2.5 C = 17.5 C ,mens temperaturen på den kalde siden av isolasjonen er − 10 C + 2.5 C =−7.5 C .Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 1813.5.2. Kombinasjon av varmeledning og konveksjon.Vi skal nå kombinere varmeledning med konveksjon på de to sidene av ei plate. Vi skriver daat varmefluksen på grunn av konveksjon erH ∆T0Φ = = h ⋅( TC− T0) = h ⋅∆ T0=ARkder vi har innført termisk resistans ved konveksjon1R k= .hMen vi vet at h er proporsjonal med ( ) 1 4∆ T 0, noe som kompliserer de videre regningene. Viløser dette problemet ved å overse denne avhengigheten av ∆ T0, og regne som om h erkonstant. Dette kan rettferdiggjøres ved å vise til at ( ) 1 4∆ T 0ikke vil variere veldig mye med∆ T 0. For eksempel er15 4≈ 1.5 , mens1420 ≈ 2.1. Dessuten vil h avhenge av “vær og vind”, oger under alle omstendigheter svært usikker. Dermed kan vi benytte samme framgangsmåtesom for flerlags plate, men føye til termisk resistans på grunn av konveksjon.Eksempel 13.5.2: Vi skal vende tilbake til vårt 60× 80cm store vindu, som var laget av 2.5mm tykt glass med varmekonduktivitet 0.8W/ ( m ⋅ K). Vi antar at2varmeovergangskoeffisienten ved konveksjon er025 W/ ( m K)2hI= 8 W/ ( m ⋅ K)på innsiden. Innetemperatur er 22 Ca) Finn termisk resistans og u-verdi for dette vinduet.b) Finn varmestrømmen gjennom vinduet.c) Finn temperaturene på innsiden og utsiden av glasset.h = ⋅ på utsiden, ogLøsning:a) Starter med å finne de termiske resistansene:21 1 m ⋅KUtvendig konveksjon: R0 = = = 0.040 .25 W/ m2h⋅ K WInnvendig konveksjon:Vindusglasset:RRI0( )21 1 m K⋅= = = 0.125h 8.0 W/ m K WIL2( ⋅ )2G0.0025m m ⋅KG= = = 0.003λG0.8 W/ ( m ⋅K)Wog utetemperaturen er 0C .Samlet termisk resistans blir2 2m ⋅K m ⋅KR= R0 + RI+ RG= ( 0.040 + 0.125 + 0.003)= 0.168 .WWVinduets u-verdi blir1 1 Wu = =2= 5.95 .m ⋅K2R 0.168 m ⋅KW..Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 192b) Arealet av vinduet er A = ( 0.60m) ⋅ ( 0.80m) = 0.48m , slik at varmestrømmen gjennomvinduet blir2 WH= Au ⋅ ⋅( TH − TC) = 0.48m ⋅5.95 ⋅ 22K = 63W .2m ⋅ Kc) Temperaturforskjellene finner vi av2m ⋅K∆TI RI RI0.125W= ⇔ TI= ( TH − TC)=2⋅ 22 K = 16.4 K .m ⋅KT −T R R0.168H C W∆T R R0.040= ⇔ = − = ⋅ 22K = 5.2K .T T R R2m ⋅K0 0 0 WT0 ( TH TC)2m ⋅KH−C0.168W∆T R R0.003= ⇔ = − = ⋅ 22 K = 0.4 K .T T R R2m ⋅KG G G WTG ( TH TC)2m ⋅KH−C0.168WVi ser at selv om temperaturforskjellen mellom inne- og ute-temperatur er 22 K , ertemperaturforskjellen over vindusglasset bare 0.4K . Det aller meste av isolasjonen liggerfaktisk i luftsjiktet nær vindusglasset, og aller mest på innsiden. Temperaturene på inn-og utsidene av glasset blir da 22 C − 16.4 K = 5.6 C og 0 C + 5.2K = 5.2 C.13.5.3. Varmestrøm gjennom sylindervegg.Hittil har vi sett på varmestrøm gjennom plane flater. Nå skal vi se på varmestrøm gjennomsideveggen i en sylinder.T 1rT 2Figuren til venstre viser et tverrsnitt av et sylinderformet rør med indreradius R1og ytre radius R2. Temperaturen på den indre rørveggen erkonstant lik T1, og temperaturen på den ytre rørveggen er konstant likT2. Røret har lengde L. Et sylinderskall i avstand r fra aksen har daarealA= 2πr⋅ L.Dersom dette skallet har tykkelse ∆ r , og temperaturforskjellen mellom inner- og yttersidenav skallet er ∆ T , får vi at varmestrømmen gjennom skallet er gitt ved∆T∆rH =−λ⋅A⋅ ⇔ H ⋅∆ r =−λ⋅A⋅∆ T =−λ⋅2πrL ⋅∆T ⇔ H ⋅ =−2πLλ∆T.∆rrErstatter ∆ r og ∆ T med dr og dT , og integrerer:dr∫ H = 2 L dT H ln r 2 L TRR1 r∫ − π λ ⇔ ⋅ =− π λT1⇔ H ln R − ln R =−2πLλT −T( ) ( )[ ] [ ]R2 T2 R2 T21 T12 1 2 1R2πλLT2⇔ H⋅ ln ( R ) = 2πλLT ( 1−T2)⇔ H=ln( −T)R( R )1 211 2Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører.13. Termiske egenskaper. Side 13 - 20Eksempel 13.5.3: Et metallrør er 5 meter langt. Det har ytre diameter på 4.0 cm, og eromsluttet av et 3.0 cm tykt isolerende lag av styrofoam som har konduktivitetλ = 0.010 W/ m ⋅ K . Røret leder vanndamp, og vi antar at temperaturen på innsiden av( )styrofoam-kappen er 100 Cgjennom isolasjonen.mens temperaturen på utsiden er 6C . Beregn varmetapet1Løsning: Av opplysningene i oppgaven får vi at R = ⋅ 0.04m = 0.02m , og at1 2R2= 0.02m + 0.03m = 0.05m . Da blir varmestrømmen gjennom isolasjonen ( ) ( )2π ⋅0.010 W/ m ⋅K ⋅5.0m ⋅ 100 C −6 CH = = 32 W .ln0.05( )0.02Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.