Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F3 (FTF140)

3. I en ångturbin expanderar ånga av 400°C, 50 bar isentropiskt till 8.5 bar.Expansionens slutpunkt befinner sig precis på ångkurvan. Ångan kondenseras sedantill vatten under samma tryck. Beräkna följande uppgifter för denna ångturbin medhjälp av tabellsamlingen:a) Hur stort arbete får man ut från turbinen per kg ånga. (2p)b) Pumparbetet per kg vatten som matarpumpen måste utföra. Processen imatarpumpen är isentropisk. (2p)c) Tillförd värmeenergi i ångpannan per kg ånga. (2p)d) Processens verkningsgrad. (2p)e) Rita in processen i ett h-s diagram. (2p)4. Vid höga temperaturer joniseras atomärt väte till ett plasma bestående avväteatomer, protoner och elektroner med täthet n H , n p och n e . (Vi antar att tryck ochtemperatur är sådant att tätheten av vätemolekyler H 2 är försumbar och att väteatomenär i sitt grundtillstånd.) I jämvikt gäller då µ H =µ p +µ e . Härled ett uttryck (Sahasekvation) för temperaturberoendet av n p 2 /n H i termer av elektronmassan, m e , ochjoniseringsenergin, E H , för väte. Plasman kan beskrivas som en icke-relativistiskklassisk idealgas. (10p)5. I ett tidigt skede i universums utveckling bildades väteatomer från protoneroch elektroner och frigjorde dom fotoner som vi idag kan uppfatta som den kosmiskabakgrundsstrålningen. Denna beskrivs väl som svartkroppsstrålning. Idag ärtemperaturen för denna fotongas T 0 =2.7K medan den vid tiden för den så kalladefrikopplingen var T f =3700K.Hur stor är universums relativa expansion sedan frikopplingen? Man kan anta att etteffektivt gravitationellt tryck uppväger det mekaniska trycket från fotongasen så attexpansionen sker adiabatiskt och reversibelt.Beräkna också den relativa ändringen i fotontäthet. (10p)6. För att bestämma den molära sublimationsentalpin för vatten har man mätt uppångtrycket som funktion av temperaturen enligt följande tabell:Temp (°C) Ångtryck (mmHg)-19.6 0.806-20.0 0.776-20.4 0.747Beräkna med hjälp av dessa data den molära sublimationsentalpin för vatten vid-20°C. Du kan anta att vattenånga i jämvikt med is kan betraktas som en ideal gas.(10 p)

Chalmers Tekniska Högskolaoch Göteborg UniversitetSektionen för Fysik och Teknisk FysikAleksandar Matic/Mats GranathExam in Thermodynamics and Statistical Physics for F3 (FTF140)Time and place: Wednesday December 15 th 2004 8.30-12.30 in V-huset.Examiners: Aleksandar Matic (0730-346294), Mats Granath (0708-938077).Allowed material: Physics Handbook, BETA, Termodynamiska Tabeller (sold byCremona), formula sheets "Allmänna relationer för enkomponentsystem" and"Kanonisk Fördelning", personally written A4-page with content of your own choice(no copies or type written material), pocket calculator.Grading: Each task gives a maximum of 10 points. The score from the dugga and thehand-in problem is added to the exam result according to the formula presentedearlier. A total of 30 points is required for passed.Solutions to the exam: Solutions will be put on the course home page after the exam.Exam results: Exam results are displayed at the Fysik entrance not later than MondayJanuary 10 th .Review of the exam: Monday January 17 th 12.00-13.00 in O7109B1. A vessel contains one mole of carbon monoxide at a constant pressure ofP=0.1MPa. Carbon monoxide has rotational excitations ε rot J = h 22I J( J +1)which are2J+1-fold degenerated with a moment of inertia I with corresponding energyh 2 /2I = 2.4 ⋅10 −4 eV. The molecule also has non-degenerate vibrational modes with theenergy ε vib r = hω 1 €2 + r hω =0.27 eV.( ) where€Derive an expression for the heat capacity of the gas under the assumption that it canbe treated as a classical € ideal gas. Simplify the expression to be valid in thetemperature range 100K to 1000K (the boiling point is 81K) and draw the result in agraph (10p)€2. The following experiment is performed in order to determine C p /C v for a gas:One mole of a gas, initially at the temperature T 1 =90° C, is expanded adiabatically tothe double volume. Subsequently the gas is compressed isothermally to the initialvolume. The produced heat is determined to Q=1.33 kJ. The gas can be treated asideal.a) Draw the process in a P-V diagram. (2p)b) Determine C p /C v for the gas. (8p)

3. In a steam turbine, steam at 400°C, 50 bars is isentropically expanded to 8.5 bar.The terminal point of the expansion is just at the steam curve. The steam iscondensated to water at the same pressure. Calculate the following with the aid of thethermodynamical tables:a) How much work is obtained from the turbine for each kg of steam. (2p)b) The work required by the feeding pump for each kg of water. The process in thefeeding pump is isentropic.(2p)c) The heat supplied in the steam-boiler for each kg of steam. (2p)d) The efficiency of the process. (2p)e) Draw the process in a h-s diagram. (2p)4. At high temperatures atomic hydrogen is ionised to a plasma containing hydrogenatoms, protons and electrons with densities n H , n p och n e . (Assume that at this pressureand temperature the density of hydrogen molecules H 2 is negligible and that thehydrogen atom is in its ground state.) Equilibrium is established when µ H =µ p +µ e .Derive an expression (Sahas equation) for the temperature dependence for n p 2 /n H interms of the electron mass, m e , and the ionisation energy, E H , for hydrogen. Theplasma can be treated as a non-relativistic classical ideal gas. (10p)5. In the early stages of the universe hydrogen atoms were formed by protons andelectrons and photons were generated. Today we can detect these photons as thecosmic background radiation, which can be well described as black body radiation.The temperature of the photon gas is today T 0 =2.7K whereas it was T f =3700K at thetime of the so-called decoupling.How large is the relative expansion of the universe since the decoupling? You canassume that the effective gravitational pressure balances the mechanical pressure fromthe photon gas so that the expansion can be regarded as adiabatic and reversible.Also, calculate the relative change in the photon density. (10p)6. In order to determine the enthalpy of sublimation for water the vapour pressure hasbeen measured as a function of temperature according to the following table:Temp (°C) Vapour pressure (mmHg)-19.6 0.806-20.0 0.776-20.4 0.747From these data, calculate the molar sublimation enthalpy for water at -20°C. Assumethat water vapour in equilibrium with ice can be regarded as an ideal gas. (10 p)

Lösningar2.a)PT 1T 1=90°C=36V31KT 2IIIT 2V 2b)Delprocess I:Adiabatisk expansion - inget värmeutbyte med omgivningen, Q I =0.För en adiabatisk process gäller PV γ = konstant, där γ=C p /C vFör en ideal gas gäller PV=nRT => P=nRT/VTillsammans ger dessa för en mol (n=1) TV γ−1 =konst (ty R-konstant).Vi kan nu räkna ut temperaturen T 2 ur T 1 V γ−1 1 =T 2 V γ−1 2 och V 2 =2V 1 (givet i uppgiften)T 2 =T 1 /(2 γ−1 ) (T 1 =90°C=363 K givet i uppgiften)Delprocess II:Isoterm kompression, värme, Q 2 , måste avges till omgivningen,Första huvudsatsen: ∆E=Q 2 +W 2Isoterm process: ∆E=0 för en ideal gas, inre energin bara beroende av temperaturen.=> Q 2 =-W 2W 2 = −∫pdV ; P = nRT /V för en ideal gasför en mol (n =1)V 1V 1Q 2 = RT dV 2 ∫ V = RT2 ∫ dVV= RT2 ln 1 2V 2 2V 1med T 2 från utrycket ovan får vi då :Q 2 = − RT 1 ln 22 γ −1V€

Givet i uppgiften är att avgiven värmemängd Q=1.33 kJ. Eftersom Q 1 =0 så blir Q=-Q 2(observera: Q - avgiven värme och Q 2 definieras positiv när värme ges till systemet).Med lite algebra får man då fram:⎛ln⎜RT 1 ln 2 ⎞⎟⎝ Q ⎠γ = C P /C V =1+ =1.65ln2€Svar: C P /C V =1.653. a) Arbete som man får ut ur turbinen är skillnaden i specifik entalpi mellan startoch slutläget.I startläget har vi överhettad ånga av 400°C och 50 bar (=5.0 Mpa). Ur tabellenA.1.3,fås att:h start =3195.7 kJ/kgI slutläget befinner vi oss på ångkurvan, dvs vi har mättad ånga, vid 8.5 bar (=0.85Mpa). Ur tabell A.1.2 får vi då:h slut =2771.6 kJ/kgArbetet blir då: W t =3195.7-2771.6=424.1 kJ/kgb) I matarpumpen så ökas trycket på vattnet från 0.85 MPa och 5.0 Mpa isentropiskt. Iden här processen går vi från mättat vatten, dvs. vätskekurvan, till vatten underövertryck. Arbetet i pumpen blir skillnaden mellan specifika entalpierna i start ochsluttillstånd:Ur tabell A.1.2 får vi h start =732.22 kJ/kgUr tabellen A.1.4 (compressed liquid) får vi h slut . Men för att veta vilken temperatur viska gå in på utnyttjar vi att vi vet att processen är isentropisk, dvs. entropin ärkonstant. I startpunkten är specifika entropin s=2.0710 kJ/kg, ur tabell A.1.2. I tabellA.1.4 får vi nu interpolera mellan temperaturerna 160°C och 180°C och får framh slut =737.3 kJ/kg.Pumparbetet blir då: W p =737.3-732.22=5.1 kJ/kgc) I ångpannan går vi nu från vatten under övertryck till överhettad ånga, dvs. läget vihade innan expansionen i turbinen. Det tillförda värmet, Q, blir då skillnaden mellande specifika entalpierna i de två lägena.h start är samma som h slut i uppgift b): h start =737.3 kJ/kgh slut är samma som h start i uppgift a): h slut =3195.7 kJ/kgTillförda värmet blir nu Q=3195.7-737.3=2458.4 kJ/kg

d) Processens verkningsgrad, η, ges avη = W t −W PQ= 424.1−5.12458.4 = 0.17€notera: Processens verkningsgrad är rätt låg vilket bl. a beror på att vi avslutadeexpansionen vi ångkurvan och inte lät den gå in i tvåfasområdet.e)hQw tw ps6. För att räkna ut sublimationsentalpin använder vi oss av Clausius-Clapeyronsekvation:dPdT =l sT (v å −v is ) , där l s - molära sublimationsentalpin,v å - specifika volymen för ånga, v å - specifika volymen för isv å >> v is vilket gör att vi kan skriva :dPdT = l s= l sPTv å T 2 Rvi kan nu skrivadPP= l sR dTT,där sista steget förler ur ideala gaslagen.2inetgrering av detta uttryck ger nu :lnP = − l sR ⋅ 1 T + konstantvi ser nu att ln P är proportinellt mot 1 T därproportinalitetskonstanten ges av − l sROm vi nu gör en graf över lnP mot 1/T kan vi alltså bestämma l s€

Givet i uppgiften är:Temp (°C) Temp (K) 1/T (1/K) P (mmHg) P (Pa) lnP-19.6 253.55 3.9440⋅10 -3 0.806 107.44 4.677-20.0 253.15 3.9502⋅10 -3 0.776 103.44 4.639-20.4 252.75 3.9565⋅10 -3 0.747 99.58 4.601Detta ger nu:l s =R⋅6088=50.6 kJ/molSvar: Den molära sublimationsentalpin för vatten är l s =50.6 kJ/mol.

oO?4F=CLKNM5OV MQP)RTSUCPl ] V o cP=egfpjinmOC€€O GGOOK\ÒÅÓ\ÔÖÕÒO& GO‹8ŒŒ- /Ž- o‘ &;"Wj‡ˆ5‰Š loylOX& C`•"– e˜xÀ·Pjeœj`¢¡£¡¥¤§¦©¨¢! "#%$ &'#()&*+-,./*-012435-,61&#728"#598:;"6$/5< #@?BADCE?4FBGIHJ, *!#9]&;"WCYXZK\[[^R_SU V¢`&=!,.b*-0Q2§W=35a=o C¢] o ),)]"&o ]35!qo ]]dcP=egfheikjr 8 2Q 8-&#.28 &"*!2#(W7935t*u*! &'8 Cwvx),7#72'35\$ a=#5&'"& " !&#72s|T&;"Wz35uq.|izy{P"280,.8#}285u31' 8!*!*!285!W.c…„;†G] &o C ‚.ƒ•–˜ x•"– Ž ’ _—] 35!qo C Œ C ‡ ˆ5‰”“’ ‚.ƒ ‡ˆ5‰”“‡ ˆ5‰”“ '25< }*< #70 =3;N&r)=$ &'01&;, š:;";*u-0Qd r› 8~."bœ35!*u1r› 8~.u#5 "83*!*!8!*u* &"#.5*>¡,. "q¢ š:;,*u-0 /œ#%35\$lbž1ž1Ÿl žž1ž1Ÿ NW7=!#.#7q 9 8 =3;N#z#53 35!*u1x…£s¤}¥ „#7,7535!7 8! !&#72s "/&"“• ŒP & CT< 3B< "& 8-&#72=$>8!W7 "20,.9¢«&*-;:5*…¬­28&®01`§¦1¨ª©œpc°¯9*u "8# 8!35 '#z)#izy{P35-2, "r,{!"5 90#7&w «2s;8!3}&±2s~.)#@] &2&±#(!#5 "0*²œ&r35!q." !&#72s$>!W. "280,.8#³W735¥¹¸¼ r359#¾½tb:Q|2Q

Oiio C=f µ ]º vjC K [¥¤ £[i N#(,T "2&„

#(>(*Ø 1 > $ * * $ ØØ/i$ .0/5C()1f§©¨C K Ò §ØyjvC&2$43 *iPvCC º ¢fpP ¸¤£Òبƒ1ƒRØ0Cc X •"–(xMX5Ñvl`e)"le`8 e)63^)(l·f/œØ3Ø(/¢¡£¡¥¤§¦©¨¡-2sÄ&;"W@3"2s!q¢*N.&{/282«u#.#7q =-28#5 &.-2s­œ aÆ &'2838 5"&722s 5< *!#.u#700 *!*!¯D,{>qr 8 '¦¥;#72s-&#.#k0/2«b32Q< Я9#5 "*- =$Ö& "&#.«01/2«b3j.M‡ ‰”“ = 8!*u*-285