Last ned hele bladet - Caspar Forlag AS

Teknologi og design, en muligheteller en felle for matematikkfaget?Med Kunnskapsløftet har også emnet teknologiog design entret skolearenaen. Det ble ikke eteget skolefag som mange trodde men det ble ethovedemne i naturfag og i kunst og håndverk.Matematikk er nevnt som verktøyfag og fårdermed en særstilling i arbeid med teknologiog design.Dette nye temaet bringer med seg praktiskarbeid og kan gi mye glede og økt motivasjonhos elevene. Dette må vi kunne dra veksler på.Samtidig melder det seg flere bekymringer.Matematikkfaget skal avgi tid til prosjekter derelevene arbeider med teknologi og design. Slikeprosjekter har ofte en aktivitetsmessig overvekt.Noe skal fremstilles og produseres. Et produktskal være sluttresultatet. Understrekningen avdet praktiske er selvsagt en stor inspirasjons- ogmotivasjonskilde for elevene. Samtidig har aktivitetenofte en slik tiltrekningskraft at refleksjonensom er nødvendig for matematikklæringenikke finner sted.Noen vil, som Hugo Christensen i sin artikkel,påstå at en må gå den omvendte veien. Istedet for å finne matematikken i tillagingsprosessenforsøker han å finne matematikken nåren tar teknologiske produkter fra hverandre ogprøver å finne ut hvorfor de er laget slik de er.Vi ser også at matematikk som gjemmer segi et teknologisk produkt ofte er veldig sammensatt.Den korresponderer ikke entydig med etkapittel i læreboken eller læreplanen. En måimprovisere og muligens hente inn forklaringersom kanskje hører til på et senere trinn. Sliktkan være utfordrende for både læreren og elevene.Noen frykter at matematikken skal bli sett påsom et vedheng, slik som faget ofte har blitt settpå i tverrfaglige prosjekter i skolen. Der enderdet ofte opp med et påklistret regnskap ellersøylediagram. Faren er den samme i teknologiog design: matematikkinnholdet kan drukne isaging, klipping og lodding.Utfordringen blir derfor å klart vise matematikkfagetsom et viktig verktøy i emnet teknologiog design. Lager vi papirbroer kan vi tillateoss å prøve og feile. Lager vi ordentlige broerhar vi ikke råd til prøving og feiling – det måutregninger til!Å synliggjøre matematikken i emnet kreverplanlegging og bevissthet hos lærere. Matematikkenmå hentes frem og belyses. En uvantoppgave for noen lærere, men en spennende og(fortsettes side 7)tangenten 4/2006 1

Mona RøsselandHvordan lære matematikkgjennomteknologi og design?2Mona Røsseland, Matematikksenteretmona@fiboline.noDet å innlemme emnet teknologi og design(T&D) i matematikkundervisningen innebæreren rekke utfordringer. Emnet er ikke et eget fagmed egne kompetansemål, men det skal inngå iblant annet matematikkopplæringen med siktepå å gi elevene økt kompetanse i matematikk.I den felles beskrivelsen av emnet i den nyelæreplanen omtales teknologi og design som enprosess knyttet til det å planlegge og til å framstilleprodukter. Det er ikke vanskelig å finnetilknytnytning til bestemte kompetansemål inaturfag og kunst og håndverk. Så er ikke tilfelleti forhold til kompetansemål i matematikk.Matematikkfagets rolle beskrives i stedet somet redskapsfag, og det blir knyttet direkte tilarbeidet med konkret produktutvikling. Dettegir matematikk et minimalt bidrag til teknologiog design sammenlignet med naturfageneog kunst og håndverk. Det er synd, for jeg trordet er mulig å finne matematikken igjen i alledelene av arbeidsprosessen i et teknologi ogdesign-prosjekt.Gjennom T&D-opplegg kan en forholdsvisenkelt sette fokus på matematisk utforsking,undersøkelser, problemløsning, representasjon,modellering, fremfor kun på resultater.Lærerens oppgave vil variere fra prosjekt til prosjekt,og han vil fortsatt være viktig for eleveneslæringsutbytte. Det vil være han som legger tilrette for at elevene får tid til tilstrekkelig refleksjon.Det er han som ser når det er noe stoffsom må undervises spesielt i. Det er ikke sikkertelevene klarer å se de grunnleggende naturvitenskapligeller matematiske prinsippene i enteknologisk løsning på egenhånd. Svært oftetrenger de læreren som brobygger og oversetter.For å finne mer ut av hvordan en kan lærematematikk gjennom T&D gjennomførte jegi samarbeid med klasselærer Mariann TallisSandvik et Tekologi og Design prosjekt på tredjetrinn ved Gjerde skole i Samnanger. Eleveneskulle i løpet av en hel skoleuke designe og lageet kjøkken/allrom av ulike materialer.Vi valgte å gi elevene en stor grad av selvbestemmelse.Det vil si at elevene var forholdsvisfrie i forhold til hva de ville lage, hvilke materialerde valgte å bruke og hvordan produktene bleseende ut. Det var et viktig poeng for oss å skaperom for utforsking og at elevene skulle få prøveseg i forhold til de ulike elementene i T&D. Viville at de skulle være aktive, handlende og selvstendige,for på denne måten å skaffe seg viktigerfaringer og ny kunnskap.I denne prosessen frem mot ny kunnskaparbeidet elevene i grupper, slik at de kunnedra nytte av hverandres kompetanse. Men selvom de løste mange oppgaver sammen, var det4/2006 tangenten

også rom for individuelt arbeid i sluttførelsenav de ulike produktene. Vi hadde også fellesøkter, spesielt i starten, etter hver arbeidsøktog på slutten av prosjektet, der hele klassen varsammen om å komme med ideer og refleksjon.Siden dette var et T&D prosjekt ville selvsagtde faglige målene være knyttet opp mot kjerneni T&D. Vi ønsket å gi elevene økte kunnskaperog erfaringer med design, teknologiske prinsipper,materialkunnskap, teknologiske ferdigheterog til dels teknologi sett i sammenheng medsamfunnet for øvrig. Vi ønsket også en klarfokusering på de matematiske kompetansemålenefor prosjektet. For å styrke det matematikkfagligeperspektivet la vi opp til noen oppgaverunderveis som til dels var styrende. Elevenefikk blant annet i oppgave å fliselegge gulvet irommet deres. Hver gruppe fikk 1000 kr til å”handle” fliser for.Hver gruppe på 4 elever fikk utdelt en tykkpapplate på 50 × 70 cm. Dette var grunnflaten påkjøkkenet / allrommet i målestokk 1 : 10. Elevenemåtte nå planlegge og diskutere hva som erpå et kjøkken, hvordan deres rom skulle se utog hvilke materialer de ville velge for å lage deulike komponentene. Vi hadde et godt utvalgav materialer som for eksempel papp i uliketykkelser, blomsterpinner, ulike typer plast ogtekstiler.Papplaten på 50 × 70 cm var det eneste materielletsom var felles for alle. Vi brukte god tidtil å gå gjennom hva vi hadde av utstyr, og vidiskuterte med elevene de ulike bruksområdenefor hvert av materialene. Som verktøy hadde viblant annet limpistoler og tapetkniv, så vi måtteogså gå igjennom en del forsiktighetsregler.Da vi satte i gang prosjektet, var det ikke innlysendefor elevene hva et kjøkken inneholdt. Ifelles klasse diskuterte dette, og det tok overraskendelang tid før alle de vanligste produktenekom opp på tavlen.Etter hvert hadde hver gruppe laget en skissesom inneholdt de tingene som de ville ha med isitt rom. I videre arbeid brukte elevene et dataprogramsom vi hadde lastet ned fra IKEA sinenettsider. Programmet heter IKEA kitchen planner,og her kunne de sette inn kjøkkenskap oghvitevarer og lage både 2- og 3 dimensjonaletegninger.Romplanleggeren hadde også en annenfunksjon som gjorde at elevene måtte forholdeseg til rotasjon. Etter at de hadde valgt ut hvilkemøbler de skulle ha på tegningen i programmet,måtte de få dem til å ligge inntil hverandre.Det gjorde de ikke automatisk, og da var det toknapper med rotasjonspiler elevene kunne styredem på plass med. Elevene fikk en god erfaringmed hvordan rotasjon fungerte.Neste utfordring var å sette riktige målpå tingene de hadde laget skisse av. De flestehadde ganske enkelt ikke peiling på hvor høy enkomfyr er, eller hvor lang en kjøkkenbenk kanvære. Vi spurte dem hvordan de kunne finne uttangenten 4/2006 3

dette. Noen foreslo at de kunne tippe og baresette et mål, andre mente de kunne se på meterstokkenog anslå, noen mente de måtte hjem åsjekke, men så var det et lyst hode som foreslo atvi kunne gå på skolekjøkkenet og ta mål der.Gruppene fikk beskjed om å ta med seg detutstyret de trengte, uten at vi sa noe mer enndet. Ganske mange fór av gårde med linjalen dehadde i pennalhuset, selv om vi hadde lagt frembåde meterstokk og måleband på rull. Mangekom og hentet dette utstyret etter å ha gjortnoen erfaringer med linjalen.De fleste elevene hadde kunnskaper om lengdemåling.Det var en forutsetning for denneaktiviteten. Mange klarte også å regne om fracentimeter til meter. De på gruppen som kunnedette forklarte greit til de andre. På tegningenser vi en skisse der eleven har vært på kjøkkenetog målt og skrevet på målene. Som vi ser, harhan målt alle sidene på bordet. Det kan tydepå at han ennå ikke har automatisert egenskapeneved en rektangulær figur. Den lærdomenkom etter hvert da de skulle lage skapene, og deikke var nøyaktige nok med målene på de ulikesidene slik at skapet ble skakt.De hadde stadig behov for hjelpetegningerog skisser, som da de skulle finne ut hvor stortbord de trengte. De ville at det skulle være plasstil 12 personer, men visste ikke hvor stort borddet krevde. De diskuterte seg frem til at hverperson måtte ha 50 cm plass, og så lagde de segen hjelpetegning der de skrev på 50 cm + 50 cm+ 50 cm + 50 cm + 50 cm på den ene siden avbordet, det samme på andre siden og til slutt50 cm på hver av endene. Bordet måtte da væreminst 250 cm langt og 50 cm bredt.Neste steg var nå å lage de ulike møblene ogutstyret, og de skulle arbeide med målestokken1:10, og dette var vanskelig for 3.klassingene. Vimåtte gå grundig gjennom det med felles klasse,og vi følte at mange av elevene fikk det med seg.De var med da vi forklarte at 50 cm på modellenrepresenterte 5 m i virkeligheten, og mangehadde opp hånda og svarte at langsiden på papplatenderes var 7 m i virkeligheten. Vi skrittet4også opp 5 m × 7 m i klasserommet, slik at deskulle få en føling med hvor stor 35 m 2 egentliger. – Ja, ja, det er jo i grunn enkelt, tenktejeg, de skal jo bare gange med 10 eller dele på10. Det var likevel bare 3–4 elever i klassensom forsto målestokk og brukte det bevisst idet videre arbeidet. De andre elevene måtte hahjelp til utregningene, men de viste tydelig at dehadde forstått grunnprinsippene i målestokk.De hadde ingen problemer med å skjønne at tingenede lagde var en forminsket modell av virkeligheten,men derifra til å forstå sammenhengenmellom de ulike målene var noe annet. De elevenesom ikke fikk forståelse for målestokk fikksmakebiter av hva det betydde, og laget seg noenmentale knagger til senere bearbeidelse.Et eksempel på dette var Christian somhadde laget en TV, og de andre på gruppen villeikke ha det med i rommet fordi de mente det varfor lite. Christian var en av dem som ikke haddeforstått dette med målestokk så godt, men tilmin store overraskelse sier han: – Kan du hjelpemeg å finne ut hvor stort TV blir i virkeligheten,jeg vet ikke hvordan jeg kan finne det ut.Sammen kom vi frem til at han måtte finnemålene på TV-en han hadde laget. Så forklartejeg ham at i virkeligheten blir den ti gangerstørre. Med litt hjelp klarte han å beregne hvor4/2006 tangenten

stort TV-en ville bli. Vi kunne slå fast at det varpå størrelse med en liten reise-TV, som passetgodt opp på et kjøkkenskap.Det oppsto flere lignende episoder der vi såat flere og flere elever skjønte målestokk da dejobbet med modellene sine og gjerne ville vitehvor store de ble i virkeligheten. Jeg mener detteunderbygger det Dewey [1] poengterer når hansier at det er viktig at elevene først får erfareet fenomen, for så å lære seg de underliggendeteoriene. Ved at elevene får kjenne problemet”på kroppen” gjennom det praktiske, vil devære mer mottakelige og knytte sterkere båndtil teorien. Dess viktigere det praktiske er fordem, jo mer motiverte vil de være for en teoretiskforklaring.Elevene fikk mye erfaring med å gjenkjenne,navngi, tegne, bygge, sammenligne og sortere2- og 3-dimensjonale figurer i løpet av denneuken. For at skapene og de andre produkteneskulle bli minst mulig skakke og skjeve måtte deta hensyn til figurenes egenskaper i forhold tilhjørner, sider, kanter og flater, når de skulle settedem sammen. Vi så god refleksjon etter hvertsom det ene skakkjørte kjøkkenskapet etter detandre så dagens lys. Refleksjonen gav frukter ogetter hvert ble skapene mer og mer strømlinjeformet,med korrekt størrelse på alle sidene.Kreativitet begynte også å spre seg, og skapenefikk etter hvert hyller og dører. Kjøkkenbenkenefikk nedsunkne vasker med kraner.Lærer er med å styreSom et ledd i å få mer matematikk inn i prosjektethadde vi som sagt laget til oppgaven medflisene. Vi hadde priset flisene med 7 kr for kvadratiskeog 4 kr for trekantete, men først måtteelevene lage et geometriske mønster. Derettermåtte de beregne hvor mange fliser de trengtefor å dekke hele gulvet. Til sist måtte de regneut hva de skulle betale for alle flisene.Her fikk vi mange spennende refleksjoner ogulike måter å finne ut av problemet på.Noen elever begynte å telle antall ruter, mensandre fant ut at det var ti i ene rekke og så taltede ti om gangen 14 ganger til de kom til 140.Andre gikk motsatt vei og fant ut at det ble 14i den lengste rekken, så talte de ti ruter opp ogganget 14 · 10. Det ble i grunnen vanskeligere åfinne ut hva de skulle betale for flisene. De visstenå at de hadde behov for 140 kvadratiske fliserog at disse kostet 7 kr stykke, men hva gjordeen for å finne svaret. Vi hadde i oppstarten avprosjektet vist dem hvordan en kan bruke lommeregnertil de fire regneartene. Hver gruppehadde fått utdelt hver sin lommeregner. Menden var ikke til hjelp i begynnelsen, for hvaskulle de gjøre med den?Som en liten ledetråd gjorde vi talleneenklere: – Hva om du bare skulle kjøpe fem fliser,hvordan ville du regnet da ? Jo, da ville de haplusset 7 fem ganger. – Kunne du ha regnet detpå en annen måte også ? Tina vet det; – du kunneganget, sier hun. Det var en utløsende faktor.Nå kaster elevene seg over lommeregnerne ogetter litt leting på knappene finner alle gruppeneut prisen for sine fliser. Da er det bare ålevere bestillingslisten til læreren og be han gåog lage flisene. En elev skriver senere i loggensin at det viktigste han hadde lært den dagenvar å gange med store tall.Denne oppgaven var som tidligere nevnt konstruertfra vår side. Vi ønsket å legge til rette forenda mer matematisk aktivitet. Dette kunne slåbegge veier. Ville elevene godta oppgaven somen del av leken eller ville de oppleve det somet brudd i deres aktivitet? Dewey understrekerbetydningen at formidlingen må leveres på elevenespremisser, at læringen skjer i tilknytningtil det som har betydning for dem. Nå viste detseg heldigvis at dette ble en av de mest vellykkaaktivitetene hele uken.Jeg tror elevene opplevde vår ”inngripen”som positiv, og at de følte at vi ble med på leken.Vi ble fliseforhandlere og lagde fliser på bestilling.Pengene var veldig motiverende for elevene,og i etterkant ser vi at hadde vi beregnetlitt mer tid til prosjektet, kunne vi med fordelha brukt samme konsept på alle materialene.Vi fikk inn mye regning på disse aktivitetene,tangenten 4/2006 5

og jeg er ikke i tvil om at beregningene elevenegjorde i disse oppgavene blant annet førtetil økt forståelse for multiplikasjon. Elevenehadde frem til nå arbeidet med multiplikasjonsom gjentatt addisjon, og her fikk de se multiplikasjonsom rekke. De fikk også erfaring medå regne med større tall enn de hadde gjort fremtil nå i matematikkboken.Refleksjon – det handler om å sematematikkenEt viktig poeng i læringssammenheng er dentiden vi brukte til felles refleksjon underveisi prosjektet. På slutten av hver økt snakket viom hva elevene hadde lært i dag, hvilke oppdagelserde hadde gjort og hvilken matematikkde hadde hatt brukt for i løpet av dagen. Da vigjorde dette etter første dag fikk vi nesten ingenhender i været når vi spurte om de hadde bruktnoe matematikk. – Ingenting, svarte flere. – Hvagjorde dere nede på skolekjøkkenet da, spurtevi. – Nei, vi målte bare der, var svaret!Den første refleksjonsøkten endte med at viomtrent måtte nevne opp alle situasjonene vihadde sett de bruke matematikk. I løpet av ukenskjedde det en markant forandring i forhold til6deres bevissthetsforhold til hva matematikk erog når de hadde bruk for det. Da vi hadde sisteevalueringsøkt var det 21 hender i været når vispurte etter matematikken de hadde brukt dendagen og ellers i prosjektet. Men selv om de nåså det klarere at det var matematikk de brukte,så betyr ikke det at de ikke brukte matematikkfør den tid. Det var bare det at de ikke reflekterteover hva de gjorde og hva de lærte. Selv omden forenklede Dewey tolkningen: «learning bydoing» antyder noe annet, var Dewey opptatt avat barn må lære abstraksjon. Utgangspunktethans var at elevene starter med en aktivitetssituasjonsom er basert på forholdet mellomderes erfaringer, interesser og samspillet medmiljøet rundt. Så skulle elevene arbeide segfremover mot et stadig høyere abstraksjonsnivågjennom en kunnskapsprosess som skjermellom elev og lærestoff. Jeg mener at dennerefleksjonen som en må gjøre med barna, forat de skal kunne oversette fra praktiske aktivitetertil et høyere abstraksjonsnivå, er et av deelementene som gjør at T&D også kan føre tilmatematisk læring.Custer [2] sier at teknologisk kunnskap måforankres i praksis og at det er fundamentet for4/2006 tangenten

en mer analytisk og abstrakt forståelse. En forutsetningda vil selvsagt være at læreren klarer åbygge bro mellom den praktiske erfaringen somelevene får gjennom T&D til den påfølgendematematikkundervisningen. Elevene har nåfått noen verdifulle erfaringer eller ”knagger”som kan danne grunnlag for videre forståelse itallenes og geometriens verden frem mot en merabstrakt forståelse. Det skjer imidlertid sjeldenautomatisk uten et oversettende ledd; nemliglæreren!AvslutningGjennom T&D har vi en unik mulighet til åta utgangspunkt i elevenes interesser og erfaringergjennom elevaktivitet. Hvis vi igjen gårtil Dewey så påpeker han verdien av å utvikleelevenes praktiske evne til å beherske ulike forholdog gi dem innsikt og forståelse for hvordanting henger sammen. Det er et viktig poeng atvi klarer å gjøre elevene bedre rustet og stadigdyktigere i å mestre dagliglivets utfordringer.Her finner vi et av hovedargumentene for T&D,nemlig å anvende kunnskap på en systematiskmåte i praktiske sammenhenger, og utviklefremgangsmåter for å nå våre mål som enkeltindividog samfunn.Jeg vil våge å påstå at i T&D-prosjekt harlæreren en svært viktig rolle. Ikke bare som veileder,men også den som kan generere matematiskeutfordringer. Vi skal ikke være redde for å”gripe” inn i aktiviteten, men heller prøve å blien del av den med våre innspill. På denne måtenkan T&D bli et enda større supplement i forholdtil den vanlige matematikkundervisningen. Vikan nemlig ta inn oppgaver med temaer somvi ønsker de skal få trening eller erfaring med.Dermed kan vi styre det matematiske læringsutbyttei langt større grad enn ved at T&D prosjekterfår drive dit elevene fører dem.T&D kan aldri erstatte matematikken ellerrealfagene, men heller være et supplement somkan vise hvordan matematikk brukes i praksis.Elevene trenger å se forbindelsen mellom teoriog praktisk anvendelse. Målet med all teori erat den kan anvendes praktisk. Elevene trengerderfor en arena der den teoretiske kunnskapennettopp kan brukes i praksis.Til slutt vil jeg understreke betydningen avat en hele tiden må ha kompetansemålene blinkendei fremgrunnen under aktivitetene: – Hvavil jeg elevene skal lære gjennom dette prosjektet ?– Hva kan jeg gjøre for at jeg sikrer meg at de lærerdisse målene ? I tillegg må en til stadighet ha påseg matematikkbrillene som klarer å fange oppde uforutsette matematiske momentene somdukker opp underveis. Det er utrolig spennendeå følge elever på en slik reise mot stadig høyerekompetansenivå, men det krever at læreren sermulighetene og ikke minst setter seg matematiskemål for prosjektet. Hvis ikke kan det fortbli mye aktivitet for aktiviteten sin skyld. Jegvil derfor konkludere med at det går an å læremye matematikk gjennom Teknologi og Designprosjekter, men at det er svært læreravhengig!Litteraturliste[1] Imsen, Gunn: Lærerens verden – Innføring igenerell didaktikk, Tano-Aschehoug, 1997[2] Hansen, Pål J. Kirkeby: Teknologi i skolen– og i NSM, HiO-notat nr. 13, 2000(fortsatt fra side 1)utfordrende en.I dette nummeret har vi prøvd å samle enrekke eksempler der matematikken står sentralti teknologi og designprosjekter. Vi prøver å settesøkelyset på de grepene lærerne har gjort for atmatematikken skal bli synlig og viktig for elevene.Vi håper at mange lykkes med denne nyeutfordringen.tangenten 4/2006 7

Christina JonassenBærende konstruksjoner– et tverrfaglig emne for 3. og 4. trinn.Dette trenger du:• trillepinner (bestilles påwww.mikroverkstedet.no)• A4-ark (gjerne i forskjellige farger) elleravispapir• splittbinders 35 mm, evt. også noen langeskruer med mutter• limstift• hullemaskin• saks• papir og blyant til planleggingIntroduksjonDet at bærende konstruksjoner er en viktig delav hverdagen vår, tenker vi nok ikke så ofte på.Spørsmål som omhandler:• Hvordan er ting bygd opp?• Hvorfor faller ikke konstruksjonersammen?er det ofte vanskelig å svare på. Begynner viførst «å se», ja da er det mange spørsmål somdukker opp.I Norge har vi mange broer, og derfor erbrokonstruksjoner et godt utgangspunkt for ettverrfaglig tema i skolen.8Christina Jonassen, Torød skolekatteugla@yahoo.comTorød skole var i 2005 senter for teknologi ogdesign i Vestfold, i regi av RENATESENTERETI den nye læreplanen, kompetansemål etter4. trinn, møter vi bl.a.Matematikk:– Tegne og bygge geometriske figurer ogmodeller i praktiske sammenhenger, herunderteknologi og design.– anslå og måle lengde, vekt og vinklerNaturfag:– planlegge, bygge og teste enkle modellerav byggkonstruksjoner og dokumentereprosessen fra idè til ferdig produkt.– beskrive konstruksjoner og samtale omhvorfor noen er mer stabile og tåler størrebelastninger enn andre.– gjenkjenne og sammenligne bærendestrukturer i ulike byggverk i nærmiljøet.– gjennkjenne bærende strukturer.Kunst og håndverk:– eksperimentere med enkle geometriskeformer i konstruksjon og som dekorativeformelemter.– bygge med enkle geometriske grunnformer.– bruke hensiktsmessig håndverktøySamfunnsfag:Selv om det ikke ligger noe konkret kompetansemålher, er det helt naturlig å trekke frem den4/2006 tangenten

historiske utviklingen, eksempelvis med tankepå hvilken betydning broer har hatt for lokalsamfunn.Hva? – Hvorfor? – Hvordan?Hvilken nytte har elevene av å spesielt arbeidemed brokonstruksjoner? Det er mange tankersom melder seg nå:• Hva er en bro?• Hvorfor har vi broer?• Hvordan lages broer?• Har vi forskjellige typer broer?• Hvordan skal broa se ut?• Hva slags materialer blir broer laget av?• Er noe bedre enn noe annet?• Hva må vi ta hensyn til når det skal byggesbroer?• Hva skal til for at en bro skal tåle mestmulig?Her ser vi at det dukker det opp både samfunnsmessigeog konstruksjonsmessige spørsmål.Dette er spørsmål som vi snakker om innledningsvisog som gir elevene en større forståelseog sammenheng i det vi skal gjøre videre.Har man mulighet, kan det være fint å tautgangspunkt i en bro i lokalmiljøet. Vrengenbro, mellom Nøtterøy og Tjøme, er et eksempelsom vi benytter oss av. Dette kan vi knytte oppmot et historisk perspektiv – hvorfor og hvordanble broen bygd.I tillegg ser vi på ulike typer broer rundtomkring i verden. Eks: hengebro, kabelbro,bjelkebro, flytebro, buebro, fagverksbro.Målet for dette temaet er at elevene, gruppevis,skal lage sin egen brokonstruksjon og fåen større forståelse for hva som skal til for at enkonstruksjon skal bli stabil.ByggeinstruksjonerMaterialet vi skal bygge med er papir. Menhvordan kan vi benytte papir som materialet,det tåler da ikke så mye? Det er lett å rive og tarvi tak i hver enda av papiret og presser de mothverandre, ja da ser at papiret ikke er noe sterkt-det har ikke noen motstand, selvom strekkstyrkener god.«Vi kan jo brette!» kommer det kjapt fraen elev. Vi prøver. Seks ganger bretter vi og nåer det ikke lett å rive og motstanden har blittbedre.Vi ser på papiret vi har brettet. Kan vi brukebretting som metode til å bygge broer? Eleveneer enige om at det blir vanskelig. «Det blir jobare noen «klumper»av papir, og det er vanskeligå bygge videre med», er noen av kommentarene.«Hva med å brette til trekkspill?» spør enannen. Vi prøver igjen. Det er viktig for at elevenelettere skal se om ting kan fungere ellerikke.«Motstanden er ikke god nok, den bøyer segjo med en gang når vi presser endene mot hverandre!»kommer det fort fra en jente. De andrei klassen er enig.«Hvordan kan vi bruke papir da?» spør jeg.Jeg tar frem trillepinnene uten å si så mye mer.«Kanskje vi kan rulle papiret?» kommer det forsiktigfra en elev.«Vi prøver igjen,» sier jeg, «men nå skal derefå lære dere å bruke trillepinner.»Dette er noe alle får til, men noen brukerlenger tid enn andre. Hjertesukk og oppgitthethører med i starten. Men motet og engasjementetholdes opp ved at det hele tiden er nye eleversom får det til.Når papirrøret endelig ligger der, så både sertangenten 4/2006 9

og kjenner alle elevene at papirrør både tåler åbli strekt i, men også at vi kan presse papirrørmot hverandre uten at de bøyer seg/knekker. Itillegg er det veldig vanskelig å rive i stykker.«Men hvordan bygger vi videre nå da?»«Vi starter med å halvere rørene. Halvere erå dele noe nøyaktig i to like store deler», leggerjeg til.«Hvordan halverer vi?» Vi kommer fremtil at å bruke en linjal, for først å finne ut hvorlangt papirørøret er, er nødvendig. De setter igang med å måle og snart har de funnet ut atlengden er 29,8 cm. Halvparten er 14,9 cm.10Når halve papirrør er på plass, lager vi hulli hver ende av røret med en hullemaskin. For åsammenføye rørene bruker vi splittbinders. Nårkonstruksjonen er ferdig er det ofte så mangerør i en sammenføyning slik at det er smart åbruke 35 mm splittbinders med det samme.Vi setter fire rør sammen til et kvadrat. Virepeterer litt geometri samtidig, for «kvadrat»er ikke alle sikre på hva er.«Kan vi bygge med slike kvadrater?» spørjeg og viser elevene hvordan jeg kan strekke ogklemme hjørnene sammen. «Nei», kommer detganske så bestemt fra elevene.«Hva kan vi gjøre for at vi kan bruke kvadratetda? «Kan vi ikke lage noe i midten da?»kommer det fra en. «Ja, et kryss eller noe?»«Flott, nå er dere virkelig inne på noe». Vibegynner å sette et rør på tvers inne i kvadratet,samtidig som jeg forteller at dette er å lage endiagonal.«Ja, men papirrøret er jo ikke langt nok …»«Hvordan kan vi finne ut hvor langt rør vitrenger?» spør jeg. «Vi kan jo måle!» ropes dethøyt. Dermed er vi i gang med å sørge for atkvadratet har rette hjørner, måle diagonalen førvi klipper til et papirrør og huller det på beggesider.Elevene har her erfart at diagonalen i etkvadrat er lenger enn sidene i et kvadrat. Detteer også en årsak til at det kan lønne seg å tautgangspunkt i «halve» papirrør.«Tåler kvadratet vårt mer nå?», spør jegspent. Elevene strekker og presser på kvadratet.«JA» kommer det fra samtlige. «Kan dere se hvadere har laget?» Kvadratet har blitt til to trekanter.Hva det betyr lar vi ligge litt til.Ut fra kvadratet bygger vi en pyramide. «Nåhar vi bygget en pyramide. Kan dere se noespesielt med denne?» «Den er sterk!» kommerdet frem. «Det er jo bare trekanter jo!» er det4/2006 tangenten

en annen som observerer. «Ja, trekanter gjørkostruksjoner sterke, de tåler mye- de blir stabile»,legger jeg til.«Vet dere om andre bygg og konstruksjonersom har trekanter?»Elevene kommer med flere eksempler:• lysmaster på idrettssletta• store skilt langs veien• hustak• heisekraner• basketballstativ• Jeg viser dem i tillegg et tetraeder«I alt dette kan dere se trekanter, og det er trekantenesom gjør at dette står støtt og godt.»Den konkrete oppgavenVi skal bygge vår egen bro mellom Nøtterøyog Tjøme, og den skal stå på samme sted som«Vrengen Bro». Den broa som er der i dag haren total lengde på 465meter. En lengde som erfor langt for å kunne bygges i et klasserom. Viinnfører derfor begrepet målestokk, som fortellerom forholdet mellom avstanden på eksempelviset kart og den tilsvarende avstanden iterrenget.Vi tenker oss da forholdet 1:1000.Vi bruker to bord til å illustrere Nøtterøy ogTjøme, og har en avstand mellom bordene på0,465 m eller 46,5 cm.Elevene arbeider i grupper (2–3 elever). Deter viktig at alle vet hva som skal gjøres. Helegruppen ruller papirrør i starten. Senere kan detvære hensiktsmessig at elevene innen gruppenespesialiserer seg på noen enkelte oppgaver. Enelev ruller papirrør, en elev halverer papirrør ogen elev lager huller i papirrørene.Når elevene har laget tilstrekkelig antallpapirrør, deltar alle elevene i brobyggingen.Med utgangspunkt i:• samtalene våre• kunnskaper om trekanter i konstruksjoner• form, teknikk, funksjon• kjennskap til landskap og plassering avbroa som skal bygges• bildene av ulike typer broer rundt omkringi verden• kreativitetskal nå elevene, gruppevis, sette i gang arbeidet.En siste faktor som elevene får oppgitt er atbroa skal tåle minst 2 kg. På den måten får viogså inn vektbegrepet.Elevene diskuterer seg i mellom hvordankonstruksjonen skal se ut før de starter arbeidetmed å rulle og senere bygge. Litt råd og vink vildet for enkelte elever være godt å få underveisi prosessen.Gruppene kan hele tiden under prosessenprøve ut hvor mye broa tåler. Dette er et leddi arbeidet om å lage den broa som tåler mestog å forstå hva som skal til for at den skal tålemye. I denne sammenhengen kommer vi inn påspisse tak og flate tak på hus. Jeg bruker å trekketangenten 4/2006 11

en parallell til nedsnødde hus- eller hyttetak.Jo spissere toppvinkelen er, desto lettere sklirsnøen av og vi trenger ikke måke.Som en avslutning på prosjektet samles allegruppene. Alle gruppene får vise sin brokonstruksjonog vi gjennomfører en uhøytideligkonkurranse om hvilken bro som tåler mest.EtterarbeidResultatene vi fikk da vi testet hva broene tålte,bruker vi i arbeidet med tabeller og diagrammer.Vi samtaler om årsakene til hvorfor de ulikebroene evt. tåler forskjellig vekt.Bygg enheisekranKravspesifikasjonerSkal være minst 60 cm høyt.Skal ha en løftearm som skal tåle minst ethalvt kilo.Angi målestokken dere lager heisen i.Virkelige mål skal stå på skissen.Angi budsjett. Hver stålbjelke(blomsterpinne) koster 2500 kr.Diskuter ulike kriterier på gruppa iskissefasen:Hvilke kriterier vil en ingeniør velge?Hvilke kriterier vil en økonomiansvarligvelge?Hvilke kriterier vil en kunstner velge?VurderingskriterierLøftekapasitet og rekkeviddeKostnadsrammenDesign; utførselen, symmetri og lignendeDiskusjonHvilken matematikk er en forutsetning for åkunne gjennomføre prosjektet?Lærer elevene matematikk gjennomprosjektet?Hvordan kan erfaringer fra prosjekterinnen teknologi og design utnyttes ipåfølgende matematikkundervisning?124/2006 tangenten

Stein Dankert KolstøLæring av matematikkgjennom prosjekteri teknologi og designJeg nærer en uro. Fagområdet teknologi ogdesign skal inkluderes i matematikkfaget, samti naturfag og kunst og håndverk. Men vil elevenekunne lære matematikk eller få økt innsikti hvordan anvende matematikk gjennom å lageteknologiske produkter?Teknologi og design i Kunnskapsløftet haret fokus på praktiske elevaktiviteter: Eleveneskal planlegge, bygge og teste enkle produktersom det står i læreplanen for naturfaget. I rapportenfra PISA studien [1] i 2003 blir det pektpå at det er mye praktisk elevaktivitet i norskskole, men ikke tilsvarende vekt på læring ogfaglige krav. Vi har også erfart at mange realisteri skolen slet med å tilrettelegge for læringav matematikk og naturfag gjennom prosjektarbeidsmetoden.Samtidig ser vi at mange eleverengasjeres av praktisk arbeid. I denne artikkelenvil jeg derfor diskutere hvordan vi kan tilretteleggefor læring av matematikk når elevene skalarbeide med kompetansemål og aktiviteter knyttettil teknologi og design.Dette spørsmålet ble for meg aktualisertgjennom min lesning av temanummeret omTeknologi og design i tidsskriftet Naturfag fraNaturfagsenteret. I temanummeret fant jeg noenStein Dankert Kolstø, Institutt for fysikk ogteknologi, Universitetet i BergenStein.Dankert.Kolstoe@ift.uib.noartikler om teknologi og design som fagområde,mange artikler med forslag til praktiske aktiviteter,men ingen (!) forslag til hvordan en skullelage en pedagogisk ramme rundt aktivitetenesom skulle fremme elevenes læring innen teknologiog design, i matematikk eller naturfag.Med innføring av Teknologi og design somfagområde i skolen trenger vi å tenke igjennomformålet med faget. I en studie fant Bungum [2]at lærere som gjorde forsøk med teknologi ogdesign så det nye faget delvis som et middel til ågjøre skoledagen mer praktisk og engasjerendefor elevene, delvis som et tverrfaglig områdesom kunne gi elevene praktiske erfaringer ogdelvis som et fag som skulle støtte oppunderrealfagene. Disse vurderingene tyder på atintervjuede lærere særlig var opptatt av fagetsmotiverende muligheter. I møte med skoletrøtteelever er dette en verdifull side ved teknologiog design. Men teknologi og design skal ogsåknyttes til læreplanmål i matematikk. I denneartikkelen velger jeg derfor å fokusere på mulighetenefor å tilrettelegge for læring av matematikkog hvordan matematikk kan anvendesLæring av fag gjennom elevaktive arbeidsformerer en problemstilling som ikke bare angårmatematikk. Selv er jeg naturfagdidaktiker, og inaturfaget erfarer vi at tilrettelegging for læringav teori gjennom praktisk felt- og laboratoriearbeider utfordrende. Samtidig har vi etter hvertskaffet oss noen innsikter om forutsetninger fortangenten 4/2006 13

læring gjennom praktisk elevaktivitet.Min hovedpåstand er at praktiske elevaktivearbeidsmåter forutsetter refleksjon over faginnholdfor at aktiviteten skal kunne resultere ilæring i faget. Denne påstanden bygger på erfaringmed bruk av elevaktive metoder i naturfagsamt forskning på bruk av elevøvelser i naturfag.Ideen i påstanden bygger også på tenkningenom læring i tradisjonen etter Dewey. Et hovedpoenghos Dewey [3] er at ”learning by doing”innebærer at praktiske hendelser kan bli tilerfaringer vi kan ta med oss til nye situasjonerhvis vi velger å reflektere over betingelsene forde observerte hendelsene. Ved å reflekterer overhendelsene kan vi gjøre dem til beviste erfaringersom inkluderer forestillinger om årsaker ogkonsekvenser (ikke bare hva og hvordan, menhvorfor). Utgangspunktet er det engasjementetsom praktisk problemløsing kan skape. Detteengasjementet må så kanaliseres over i en refleksjonover hvordan en kan forklare det en observererav problemer og muligheter.Når vi leser læringsmålene for teknologi ogdesign slik de er formulerte i læreplanen fornaturfag så inneholder de refleksjon over prosessenfra ide til produkt. Detter er også i trådmed fagforståelsen i utredninger bak dette nyefagområdet i skolen. I forhold til læring innenfagområdet teknologi og design ligger altsåkravet til refleksjon over de praktiske hendelseneinne. Men hvordan skal læreren tilretteleggefor at elevene skal lære matematikk, oghvilke matematiske kompetanser kan utviklesgjennom det praktiske arbeidet?Læring gjennom praktiske aktiviteterFra forskning på læring gjennom praktisk arbeidi naturfag kjenner vi til to hovedmåter å tenkelæring på. Den ene kalles implisitt modell. Ideender er at elevene lærer fra eksempler når de selvutfører slike. For læring av naturvitenskapeligmetode innebærer dette en påstand om at elevene(automatisk) konstruerer generell kunnskapom forskningsprosessen gjennom å gjøreelevøvelser. Forskning viser at denne modellen14ikke fungerer for læring om naturvitenskapeligforskningsmetode. Den andre måten å tenkelæring på kalles eksplisitt modell. Her er påstandenat læringsmål må gjøres eksplisitte, og atkunnskapsmålene må eksplisitt bearbeides,f.eks gjennom refleksjonsoppgaver, slik at implisitt,taus eller halvkvedede kunnskaper kan blitil eksplisitt innsikt. Dette er læringsmodellenfra tradisjonen etter Dewey som jeg forfekter idenne artikkelen.Undervisning hvor vi ønsker å realisere”learning by doing” kan formuleres som enarbeidsmåte der tre elementer spiller sammen:1. Utvikling av elevenes engasjement gjennomå la dem arbeide med praktiske produktmål.Identifisering av et problem elleren utfordring i forbindelse med en utvikling,bygging eller testing av et produkt.2. Utføring av praktisk og teoretisk arbeidmed å gjøre noen antagelser, målinger,estimeringer, matematisk metodeutvikling,beregninger, utprøving eller annet.3. Stimulere elevene til refleksjon over hvade kan lære i matematikk eller om bruk avmatematikk fra den matematiske delen avarbeidet de har gjort.Læring av matematikk gjennom bygging avbro med papirrørMatematikkplanen inneholder ikke teknologiog design som et eget område. Dette gir meningi forhold til matematikk som et verktøyfag imøte med problemstillinger innen teknologiog design, og matematikklæreren kan derforkoble inn de kompetansemål i matematikk somlæreren finner aktuelle for det enkelte teknologiog design prosjekt. En av de mye brukte aktivitetenei teknologi og design er brobygging medpapirrør. (Se for eksempel artikkel av ChristinaJonassen side 8 i dette bladet.)I et slikt broprosjekt vil elevene kunne støtepå et konstruksjonsteknisk problem med et geometriskaspekt: Fire rør i en firkant gir en fleksibeli stedet for en stiv konstruksjon: rektanglerkan bøyes til parallellogram og videre kollapse4/2006 tangenten

nesten til to parallelle linjer. Men gjennomarbeid eller undervisning kan elevene erfare attrekanter, hvor lengden på sidene er låst (splittbindersi hjørnene), er stive! Ved å legge inn trekantereller diagonaler vil broen kunne bli stivnok til å kunne bære last. Gjennom refleksjonssamtalermed elevene underveis og i etterkantkan elevene bringes til å erkjenne generell matematiskkunnskap om trekanter (med tre siderkjent så er trekanten entydig definert), samt se attrekanter og diagonalavstiving brukes i mangetekniske konstruksjoner nettopp på grunn avstivheten. Læringsmålet i matematikk er i detteeksempelet rett og slett grunnleggende matematiskkunnskap om trekanter.Gjennom å stille krav til produktet kan lærerentilrettelegge for at visse faglige problemermed sannsynlighet vil dukke opp. I brobyggingsprosjektersetter en noen ganger krav tilbrospenn (kombinert med krav til bæreevne, foreksempel ett kilo). Hvilke lengder må en ha på”broelementene” (trekanter eller firkanter meddiagonaler) for at brospennet skal bli riktig?Noen vil kanskje gå rett på matematikken og tarbrospennet og deler på et antall ”broelementer”en finner gir passelig store elementer. Men davil broen ikke ha noe å hvile på i festepunktene.Gjennom tips eller prøving og feiling vil elevenekunne se at det kan lønne seg å lage en skisse.Gjennom skisser og praktisk problemløsningvil elevene kunne finne at løsningen innebærerat en må legge til for broens festepunkter samtestimere og legge til nødvendig overlapp forsammenføyning av ”broelementene”. Gjennomrefleksjonssamtaler med elevene kan en bevisstgjøredem på hvordan en måtte ta hensyn tilpraktisk/tekniske forhold knyttet til sammenføyningog overlapp samt tilleggslengde som ernødvendig for at broen trenger å strekke seg innpå fundamentene på hver side. Det er ikke bareå dele brospennet på et heltall. Læringsmålet imatematikk i dette eksempelet er kunnskapenom at en må kombinere praktiske forhold medmatematiske metoder og at skisser og estimatkan brukes til å finne ut hvordan det praktiskeog det matematiske kan kombineres for å finneen egnet løsning.I disse to eksemplene ser vi at det kan dukkeopp utfordringer i forbindelse med den praktiskeaktiviteten. Gjennom utvikling av løsningerog refleksjon over disse kan nye kunnskapersom er forankret både i egne erfaringer og fagligkunnskap kunne erverves. Men eksempelet medbrospenn illustrerer samtidig at det ikke er gittat det dukker opp et problem hvor matematikker en del av løsningen. I eksempelet ble det sattet krav til brospenn. Ved å sette spesiell krav tilkvalitet på produktet vil vi kunne forutsi medstørre sikkerhet at elevene vil møte problemerder matematikk kan komme inn som redskapsfag.En gjennomtenkning av potensialet forlæring av matematikk i forbindelse med praktiskeaktiviteter og hvilke krav som bør stillesblir derfor viktig.KonklusjonSom nevnt innledningsvis er mitt poeng genereltog angår all aktivitetsbasert læring. Konstruktivismensier at læring krever aktivitetfra elevens side, men da snakker vi om mentalaktivitet fokusert på faglige problemstillinger,ikke kroppslig aktivitet. Men tradisjonen etterDewey har lært oss at mental aktivitet kreveret engasjement, og dette engasjementet kanutvikles gjennom praktiske aktiviteter. Dettekan være brobygging eller andre aktiviteter.Poenget er at elevene gjennom aktivitetenemå møte faglige utfordringer, og at dette kanoppnåes ved å stille kvalitetskrav. Engasjementettil elevene kan da kanaliseres inn i fagligeproblemstillinger. Gjennom å reflektere overden faglige innsikten som er utviklet gjennomarbeidet med konkrete konteksttilknyttedeutfordringer kan elevene bli bevisstgjorte påløsningene og deres generelle relevans. Dermedkan hendelser og observasjoner bli bearbeidettil å bli bevisste erfaringer og kunnskaper somsiden kan anvendes i nye sammenhenger. Denne(fortsettes side 28)tangenten 4/2006 15

Rune Herheim, Toril Eskeland RangnesSkole med egne solurog snart også eget kraftverkEn samtale med Frede ThorsheimVed Fjell Ungdomsskule blir det bygget installasjonerfor praktisk undervisning, mellomannet et kraftverk, en fysikkrampe, flere solurog andre apparater.Hensikten med installasjonene er å fremmelæring, gi elevene egne erfaringer og begrepersom utgangspunkt for teoretisk kunnskap ogknytte skolens matematikk- og fysikkundervisningtil anvendelse. Skolen har også gode erfaringermed samarbeid med næringslivet knyttetopp til blant annet realfag. Dette har FredeThorsheim skrevet om i artikkelen ”Når x og yfår mening gjennom et bedriftssamarbeid” iTangenten 2005, nr. 3. I arbeidet med oppbyggingenav ”uteskolefysikk” rundt skolen har enfått hjelp fra ulike instanser, både nære og fjerneundervisningsinstitusjoner og næringsliv.Rune Herheim, Høgskolen i Bergen,Avdeling for lærerutdanningrune.herheim@hib.noToril Eskeland Rangnes, NLA lærerskolentoril.rangnes@nla.noFrede Torsheimfrede@taake.comFoto: Sindre SkredeTegninger: Kongshavn industrier.16For å finne mer ut om hva de arbeider medute på Fjell, har vi hatt en samtale med FredeThorsheim. Han arbeidet tidligere ved FjellUngdomskule, men er nå tilsatt både ved GodeSirklar (interkommunalt utviklingsselskap,Gode Sirklar as) og Skolelaboratoriet. Godesirklar har en egen satsing på undervisning deren ”har fokus på teknologi og realfag, gjennomhele utdanningsløpet. Frå barnehage, grunnskole,høgskole og universitet”. For interesserte kan vivise til hjemmesiden www.godesirklar.no.Kan du først fortelle litt om solurene?To solur er alt på plass. Elevene har selv deltatti produksjonen av disse. Klassen startet medundervisning om lengde- og breddegrader, solhøyde,forskjellen på normaltid, soltid og sommertid.Hver elev laget sitt eget solur, som viregulerte mot sør og leste av klokken 12 sannsoltid. Dermed kunne de regne mot tidsforskjellentil norsk normaltid, som ligger på 15 graderøst, 10 grader øst for oss. Sammen med sommertidengir dette en tidsforskyvning på en ogto tredels timer – passe utfordrende for 9. klasse.(For mer informasjon om solur, se Anne Bruvoldsartikkel ”Lag et solur som virker” i Tangenten2004, nr. 4)Klassen fikk nå undervisning om tre hovedtyperav solur; armillarisk, analemmatisk ogflatt (likt det de hadde bygd i papp). Klassenavgjorde at skolen burde ha et armillarisk solur4/2006 tangenten

opp om ordinær fagundervisning ved skolen,og ikke blir underholdningsinnslag utenpå skoletimene.Skolen har startet med å bygge et lite kraftverk.Vi spør hvordan de skal bygge dette og hvordande tenker det skal fungere i praksis.Kraftverket er to støpte tanker, der tankene erformet som terninger med volum på 1 kubikkmeter.Det er to meter fall fra utløp i øverstetank til en plattform med plass til turbin og engenerator. Generatorene er en vanlig 12 voltsbildynamo, og til den kan vi koble til for eksempelen lyspære, en elektrisk heisekran eller enelektrisk motor som kan drive det elever måtteønske.For spesielt interesserte viser vi til denne lenken:nordnorsk.vitensenter.no/himmel/solursida/index.htm– det er et slikt som ligner en globus – rettet motsør, slik at det vil vise sann soltid. Ingeniørbedriftensom samarbeider med skolen utarbeidetforslag og satte globen i produksjon, samtidigsom klassen hadde to elever utplassert i verkstedet.De to elevene lærte seg å sveise i ulikemetaller, og fikk være med på sammenstillingenav den finslepne konstruksjonen.Historien om soluret er et eksempel på hvordanutviklingen og bruken av solurene støtterDu snakket om to støpte tanker ?Ja, i fra generatoren er det så et fall videre tilnederste magasin. Det blir installert to pumpermellom magasinene. Den ene er elektrisk ogsåpass kraftig at anlegget kan kjøres kontinuerlig,det vil si at vannetkan pumpes minst likeraskt opp som det rennerned.Den andre pumpener konstruert av en elev iskolens teknologigruppe.Eleven har da hatt somutgangspunkt at fire personerskal kunne bruketangenten 4/2006 17

kraft samtidig på pumpen. Den fungerer somet stempel med ventiler. Elevene diskuterte ogtegnet sine løsninger før ingeniøren kom påbesøk i gruppen. Han lyttet til forslagene ogkorrigerte idèene slik at det ble teknisk muligå konstruere en fungerende pumpe. Dennearbeidsgangen brukte vi på flere av installasjonene.Teknologigruppen besøkte også KongshavnIndustrier flere ganger. Der fikk de se hvordanarbeidstegningene ble utarbeidet, og hvordanverkstedet arbeidet med maskinering og sveisingav delelementene. Pumpen er manuell,og kan altså betjenes av fire elever samtidig.Meningen er både å kjenne på kroppen hvormye vann en kubikkmeter og fire høydemeterer, og å ha et utgangspunkt for et termodynamiskregnestykke der også kroppens virkningsgradinngår.I klassen kan vi altså ende opp med en problemstillingsom går mer på matenergi, kostholdog livsstil, enn elektrisitet. Dersom vi finner utat 1 kubikkmeter vann løftet 4 meter krever1000 · 9,81 · 4 Nm= 39 240 Nm, kan vi regnemed at dette har kostet de arbeidende elevene39 240· 10 J= 392 400 J, ettersom kroppen har envirkningsgrad på omtrent 1 : 10. Elevene utfordrestil å finne ut hvor mye ernæring dette tilsvarer:Har de fire svidd av energi tilsvarende enpose chips hver, eller bare en gulrot?Hvor langt har dere kommet med dette arbeideti dag ?Nå har vi støpt alle betongdeler. En turbin erferdig. Vi vil videre nå produsere en metallrennemed plexiglasstopp som vannrenne mellommagasinene. Det gir mest effekt til turbinendersom rennen har jevnt fall, har utslipp for luftsom hoper seg opp rundt turbinen og fall videreslik at vannstrømmen ikke bremses.Skal dere ha flere turbiner ?Foreløpig er det en som er ferdig laget. Ved hjelpfra ingeniører vil det bli laget to ulike turbiner.En skålturbin, som ligner en Peltonturbin, og en18med skråstilte skovler, mer i retning av Francisturbinen.Vi tenker at elevene kan eksperimenteremed virkningsgrad, fart, vannmengder ogtrykk. Et sentralt spørsmål vil da være hvilkentype turbin som gir best virkningsgrad. Herkan elevene stille hypoteser og så undersøke omhypotesen deres holder under utprøving.Hvilke problemstillinger kan arbeid med dettekraftverket gi elevene i forhold til matematikk ?Et utgangspunkt blir utregning av potensiellenergi i 1 tonn vann med middelfall 2,5 meter.Ettersom det er 2 meter fall fra bunnen av øverstemagasin og magasinet er 1 meter høyt. Damå vi enten regne med alle ulike variabler avpotensiell energi mellom 2 og 3 meter, ellerenkelt regne med middelvannstanden på 2,5meter. Det siste gir like korrekt svar på energimengdei magasinet. Vi vil få at potensiell energii magasinet er 2,5 ·1000 ·9,81 Nm = 24525 Nm= 24525 J.Vi kan så ta hensyn til tidsfaktoren, og regneeffekt for å finne tiden på hvor lenge for eksempelen lyspære vil lyse, og så måle levert energi.Dette kan etterprøves ved å måle strømmen iampere med måleapparat i den tiden det tarfor vannet å renne ned. Men mest virkningsfyltfor elevene vil det nok være å selv se resultateti form av hvor lenge en kubikkmeter vann fårlyspæren til å lyse. Det vil nå vise seg at vi ikkefår full effekt av vannet, vi har en virkningsgradunder 100 %.Klasser som ønsker å nærme seg problemstillingermed mer matematisk modellering før depraktiske forsøkene kan for eksempel regne utforventet effekt fra fall, vannets hastighet somfunksjon av tyngdeakselerasjonen, turbinensdiameter og dreiehastighet.Hvordan vil du vurdere den matematiske vanskegradendersom man tenker på ungdomskoleelever?En god del av dette vi har snakket om kan eleveneklare med pensum fra ungdomsskolen imatematikk og naturfag. Men de vanskeligste4/2006 tangenten

matematiske modellene passer best for elevermed fordypning i matematikk på videregåendeskole. Jeg kan nevne at utregning av levert effektfra et hydroelektrisk kraftverk var problemstillingentil Hydroprisen for noen få år siden.Vi synes det er flott med en slik satsing på realfagsom dere gjør i Fjell. Andre steder i landet er detikke sikkert at en har samme mulighet for samarbeidmed andre instanser slik at et så stort prosjektkan la seg gjennomføre. Har du noen råd iså henseende ?Mulighetene er mange. Emnet teknologi ogdesign gir skolen både tid og fagressurser til ågjennomføre gode prosjekter med elevene somkan støtte opp under realfagsundervisningen.Jeg har sett elever som lager energihus medenkle hjelpemidler, som starter sin egen papirfabrikk,kalker et vassdrag og måler effekten,gjør enkle nedbørsmålinger inn mot nettverkfor miljølære – alt enkle tiltak som kan giutgangspunkt både for morsom fysikkundervisning,gode regnestykker og flotte presentasjoneri norskfaget. Tanken er at eleven skal få erfare,lære og utføre, få begreper og oppleve matematikkenog fysikken i bruk.Å få elevene til å anslå hvor langt hundremeter er, hvor mange liter det går i en kubikkmeter,eller hvor mange tonn sement de viltrenge til en grunnmur kan være en grei start.En kan så enten ha det moro med svarene, elleren kan tenke over hvordan en som lærer kan gielevene ekte erfaringer som setter dem i stand tilå forstå og regne med slike størrelser. Samfunnetrundt skolen er fylt opp av fag i bruk – detenkleste er å gå ut og hente inn kompetanse oglæring. Vi kan ikke sette opp en diger forskalingog fylle den med betong som en del av skolenshverdagsundervisning, det er rett. Men kanskjede like ved siden av skolen din bygger enny boligblokk? Gå og spør. Etter synfaring ogregnestykket med betongen kan eksempelvisen økonomiansvarlig komme og vise elevenehvordan han låner 140 millioner, forrenter dethele, selger leiligheter, investerer på ny og likeveltjener nok til en BMW. Det kan bli til et flottmatematikkseminar for 10. klasse.Dersom skolen har rom for egne installasjoner,men lite penger – kan vi få mye fag utav enkle hjelpemidler. Mål opp en rett linjepå 100 meter (det er et av utbyggingsmålenei utefysikkskolen). Se hvor mye undervisningom fart, tid, vei, energi og effekt du kan få avdenne linjen og ti stoppeklokker. Det er detsamme enkle prinsippet: Før eleven bøyer segover bøkene, må han/hun ha erfart noe. Ellersblir kunnskapen en papirtiger.Dette bildet hører til oppgaven side 56tangenten 4/2006 19

Jon HenjumMatematikki teknologi og designBakgrunnen for arbeidetTeknologi og design er eit fleirfagleg emne. IKultur for læring vart det bestemt at kompetansemålafor teknologi og design skulle innarbeidasti dei ordinære faga, i første rekkje realfagaog kunst og handverk. Teknologi og designer eige hovudområde i naturfag (teknologi ogdesign) og i kunst og handverk (design). Matematikker berre framheva som verktøyfag forteknologi og design. Slik har naturfag og kunstog handverk ein heilt annan status enn matematikk.Dette kan by på problem som er kjendefrå tema- og prosjektarbeid: matematikkfagetfrigjer ressursar til arbeid som ikkje fremjarmatematikklæringa til eleven. Difor såg eg detsom tenleg å arbeida med matematikk med teknologiog design som kontekst. Matematikkenvar målet med teknologi og design som middel.Det skulle vera tydelege band mellom aktivitetog læringsmål. I denne artikkelen vil eg først gjenokre døme frå arbeidet, visa til nokre erfaringarog til slutt oppsummera arbeidet.Eit dømeEg tok utgangspunkt i eit kvardagsprodukt,laga eit aktivitetsark for elevane, og føretok eioppsummering med elevane. Eg valde å brukaJon Henjum, Høgskolen i Sogn og Fjordanejon.henjum@hisf.no20fyrstikkøskja som døme og brukte den i tosamanhengar:Figur 1Figur 1 viser ei fyrstikkøskje. Dimensjonanepå øskja er 35,5 mm × 58 mm. Elevane kontrollertemåla på øskja og rekna ut forholdetmellom lengda og breidda som tilnærma varlik det gylne snitt.Elevane skreiv om mønsteret på øskja (heilttil høgre) og kvifor mønsteret vart laga slik.I samtalen leita me opp matematikken ifyrstikkøskja (gylne snitt, tesselasjonar, sekskantar).Etterpå fekk elevane arbeide med einTobleronesjokolade (figur 2) som var innpakkai eit rett prisme med ein likesida trekant som4/2006 tangenten

grunnflate. Seks sjokoladar var vidare innpakkai eit rett prisme med sekskanta grunnflate. Figureninviterer til arbeid med vinklar, likesida trekantarog regulære sekskantar.2. Skriv om hjulkapselen i ein fagleg samanheng: sirkel med 6 hol. 60 °, 120 °, 180 °,240 °, 300 °, 360 ° plassert symmetrisk. (Elevsitat)3. Lagrar fila/hentar fila i nettverket påskulen4. Utrykkjer seg munnleg for dei andreelevane med utgangspunkt i ein samansetttekstFigur 2HjulkapslarDei fem dugleikane i kunnskapsløftet: å kunneuttrykke seg muntlig, å kunne uttrykke seg skriftlig,å kunne lese, å kunne regne, å kunne brukedigitale verktøy er lett synlege i eit arbeid i designav hjulkapslar på bil. Elevane løyste denne oppgåva:I figur 3 ser du bilete av to hjulkapslar (Mitsubishiog Alfa Romeo). Bruk faguttrykk fråmatematikk til å omtala hjulkapslane.Figur 3Etterpå fekk dei finna fram ”eigne hjulkapslar”i eit Google-søk med bruk av det engelske ordet”wheel cap”. Eleven nedanfor orienterer medlevaneom matematikk i ein hjulkapsel og han fårbruk for desse kompetansane:1. Brukar søkemotor (Google) til å finnastudieobjekt (hjulkapslar)Vassdriven slipestein i nærmiljøetI figur 4 ser du eit kulturminne frå nærområdetved Leikanger barneskule. Det er restar frå deigamle slipesteinane ved Henjaelvi. Skulen harambisjonar om å bruka området og eg oppmodalærarane å sjå etter matematikken i vasshjulet.Talet på skovlar kan variera etter fallhøgda,i dette tilfellet var det 12 skovlar. Vasshjulet harlikskap med ei klokke og me såg på vinklanemellom skovlane. Ei jente kom med denneutsegna: ”Viss det er 360 grader rundt sirkelen,og så er det delt med 12 eikertar, vert det 30grader mellom kvar.” Ho ga klart uttrykk for atvetlevisaren på klokka hadde rotert 30° når dethadde gått ein time, 60° når det hadde gått totimar osv. Eg ga denne oppgåva til elevane sommellomliggjande arbeid:Bruk vasshjulet til å forklara vinklar på 30°,60°, 90°, 120°, 150°, 180°.I figur 5 ser du korleis ein av elevane oppsummererom ein vinkel på 60° (kan vera spriketmellom to barnefingrar).tangenten 4/2006 21

Figur 6Elevane skulle bruka programmet Paint forå dekorera femkantane slik at alle kunne byggjasitt eige dodekaeder. Eg vart nokså overraska dåein av elevane kom med denne utsegna:Det er ein femkant på toppen og fem femkantarrundt denne. På botnen er det akkurat det sameog så legg du dei mot kvarandre.I figur 7 kan du sjå teikninga som tokutgangspunkt i elevutsegna.Figur 4Figur 5Figur 7Dodekaeder eller det å gripa elevutsegnaDodekaederet er sett saman av 12 regulærefemkantar. Vi bygde eit dodekaeder av JOVObrikkerog elevane fekk analysera det. Dessutanfekk dei ein flat byggeplan for eit dodekaeder(sjå figur 6).22Kvar er matematikken?Ved fleire høve hadde eleven møtt femkantenog den er godt egna til å læra tradisjonell geometri:VinkelutrekningarLikebeina trekantarFormlike trekantarSamsvarande vinklar4/2006 tangenten

Parallelle linjerFigur 8 viser eit elevarbeid som omhandlarpunkta ovanfor.Dei fekk vidare vite at det syntetiske molkelyetC 60var bygt etter same modell som fotballen.Atoma er då plasserte i dei 60 ”hjørna”på fotballen. I naturfag arbeidde klassen medgrafitt og diamant som er allotrope former forgrunnstoffet karbon. Elevane var opptekne avteknologien som kunne omforma grafitt til diamant.Kunne eg vera med på å gje elevane eitsvar? Utfordringa vart då å forklara skilnadenpå diamant og grafitt med matematikk somverktøy.Figur 8UtfordringaElevane fekk arbeide med ”Buckyballen” somer sydd av 20 sekskantar og 12 femkantar (figur9).Figur 9Figur 10I figur 10 ser du eit regulært tetraeder. Figurenvart laga av fire like likesida trekantar. Elevanefekk sjå heile prosessen. Tetraederet er ein platonsklekam. I diamanten er tetraederet grunnstruktureni organiseringa av karbonatoma: eitkarbonatom i midten av tetraederet og fire påhjørna. Vidare er desse atoma knytt saman tilandre karbonatom i eit kompakt nettverk avtetraeder. Dette er forklaringa på at diamant erhard (sjå figur 10).Dei to modellane vart hovudinnhaldet i formidlingatil elevane om korleis endra grafitt tildiamant. Det er ikkje matematikk som er forklaringapå diamant og grafitt, men matematikkener eit verktøy til å forklara strukturanei dei to allotrope formene av karbon. Matematikkener ein del av grunnlaget for verdiskapingai omforminga av grafitt til diamant medbruk av høg temperatur og trykk. Slik kan metangenten 4/2006 23

Figur 10: Til høgre ser du ein modell av grafitt. Det erlagvis oppbygt med sterke bindingar i laget og relativtsvake bindingar mellom laga. Det er forklaringa påkvifor karbonet i grafitt er blautt og kan brukast som”bly” i blyantar. Heilt til høgre ser du laget som ersamansett av regulære sekskantar – akkurat som påstrekflata på fyrstikkøskja.seia at matematikk er eit verktøy til å forstå ogomforma naturen.OppsummeringBruken av fyrstikkøskja innheld matematikkbåde frå tallære/algebra, måling og geometri.Dette er ofte i sterk kontrast til vanlege lærebøkermed ei kraftig inndeling etter emne slikplanverket seier. Skal ein henta døme frå dagleglivet,må ein vera førebudd på å sjå matematikksom ein heilskap i større grad enn i lærebøkene.Problemet med å relatera matematikk til daglegliveter at ”den er overalt”, men det er vel slik atnokre studieobjekt er betre eigna enn andre. Egser det som strategisk å redusera talet på kontekstarfor eleven og samstundes sjå fleire siderved matematikken i denne konteksten. I dennesamanhengen er eg tilhengjar av lærarstyring,men med utveg for elevstyring. I dømet medhjulkapsel vart det bestemt at alle skulle arbeidemed dette temaet, men eleven fekk høve til åvelja eige studieobjekt. Søkeverktøy kan vera eigod hjelp til å finna studieobjekt: eg fekk eit godtinntrykk av at hjulkapseloppgåva var meiningsfyltfor elevane. Noko av faren med slike oppgåverer at elevane skal beskriva tredimensjonalegjenstander som vert presenterte todimensjonalt.Difor kan ein ekte gjenstand som vasshjuletvera betre å bruka. Bruken av vasshjulet erinteressant ved at det hadde tolv skovlar og kansamanliknast med ei klokke. Viss det er slik at24vasshjulet er ein del av nærmiljøet som skulenvil bruka, er det rimeleg at det vert ein del avkonteksten for matematikkundervisninga. Taletpå skovlar auka med minkande fallhøgde og detvanlege var åtte, ti og tolv skovlar. Slik måttebøndene ”konstruera” vasshjulet.Problemet med å laga diamant av grafittvart teke opp i ein naturfagtime. I teknologisamanhengser eg klare føremoner ved at faglærari matematikk og naturfag er same person.Eleven kan læra om tetraederet (diamant) ogtesselering (grafitt) i ein naturfagleg kontekst.Dette må ikkje koma som tillegg til matematikkundervisninga,men innarbeidast som del avundervisninga. Vidare såg eg kvardagsproduktetfotball som ein god parallell til det syntetiskeC 60-molekylet. Buckyballen har fått namnetetter vidgjetne Buckminster Fuller (1895–1983).Han var mellom anna kjend for formgjeving avgeodesiske kuplar som er eit ypparleg utgangspunktfor designfaget med vesentlege innslag avmatematikk. Dette kjem klart fram i frimerketutgitt i 2004. Du kan lesa meir om Fuller påwww.bfi.org.4/2006 tangenten

Per ManneHolmboeprisenHolmboeprisen går nå inn i sitt tredje år, og deter på tide å starte prosessen med nominasjonerigjen. Gjennom arbeidet de to første årene harvi fått innsyn i mye av det som skjer i klasserommenerundt omkring i landet, men vi trorat det fins enda mer å være stolt av. Hensiktenmed prisen er nettopp å synliggjøre fremragendelærere og god undervisning, og da må viha mange gode kandidater å vurdere. Så hvis dukjenner en lærer som fortjener oppmerksomhet,og kanskje en pris, så er det bare å sende inn ennominasjon!De to første vinnerne, Svein Hallvard Torkildsenog Grete Normann Tofteberg, burdevære svært godt kjent for Tangentens lesere. Dehar begge vært aktive på utallige områder, og dehar gjennom flere år satt preg på arbeidet blantmatematikklærere. Men det er viktig å understrekeat det ikke er dette de har fått Holmboeprisenfor. Komiteen legger overveiende vektpå arbeidet med elevene i klasserommene, ogannen faglig virksomhet er mer et tegn på etsterkt engasjement for faget som får utløp gjennomulike kanaler. Det er derfor viktig at dokumentasjonenved nominasjonene er allsidig, slikat man får et godt inntrykk av hvordan lærerenarbeider i klassen og hva som er spesielt medhans eller hennes undervisning. Bruk gjerneelevuttalelser som vitnesbyrd.Per Manne, Norges Handelshøyskole.Leder av Norsk Matematikkråd.per.manne@nhh.noBernt Michael Holmboes minnepris er enpris for matematikklærere i grunnskole ogvideregående skole. Den er oppkalt ettermatematikklæreren til Niels Henrik Abel, somtidlig så hans store talent og bidro til at detfikk blomstre. Prisbeløpet er på 50 000 kr, ogdet deles mellom prisvinneren og skolen haneller hun arbeider ved. Norsk matematikkråder ansvarlig for å dele ut prisen, som blirfinansiert av Abelfondet.I vår fikk fem lærere, i tillegg til prisvinneren,hederlig omtale. Det var Birgitt Bakke-Eidså fraKristelig Gymnasium i Oslo, Hans Isdahl fraNordreisa videregående skole i Troms, Karl ErikSandvold fra Oslo Katedralskole, Annie Sellefra Hovinhøgda skole i Akershus, og Rolf-ArveWold fra Brønnøysund barne- og ungdomsskole.Begrunnelsen som ble gitt er å finne påvåre nettsider holmboeprisen.no. Vi peker spesieltpå at disse lærerne har markert seg på sværtulike arenaer, og de viser at det ikke fins noenfast mal som en prisvinner må passe i.Kandidater som har vært nominert tidligerekan gjerne nomineres på nytt, og vi har fremdelesden tidligere dokumentasjonen tilgjengelig.Vurdér i så fall om denne kan suppleres, slik atkomiteen får enda bedre innsyn i arbeidet tilkandidatene.Tidligere har nominasjonsfristen vært ibegynnelsen av januar. Denne gangen går vi uttidligere, og ønsker å motta forslag innen torsdag7. desember. Skjema og mer opplysningerfinner du på nettsidene holmboeprisen.no.tangenten 4/2006 25

Hugo ChristensenBlir matematikken bortei lime- og loddeprosessen?Når teknologi og design (td) nå skal inn i skolensom det er tenkt, må også matematikkfaget tadette på alvor. Og hva gjør vi da? Hvordan sikrervi økt matematisk læringsutbytte ved å arbeidemed td? I naturfag ser det ut til at det er lettereå hente inn elementer fra td. Derfor har ogsånaturfaget fått et hovedansvar for å flette inntd-elementer i læringsarbeidet. Men hva gjør vii matematikk? Nede i alderstrinnene er det etmust at elevene skal ”bygge noe” som helst skalvirke og som de kan ta med seg i etterkant. Somlærer står du som siste ledd mot elevene og deter du som må sørge for presisjon i læringsmåleneog bygge læringsaktiviteter deretter. Deter også du som må sørge for en evaluering ogmåling av læringseffekt eller måloppnåelse. Daer det viktig å velge arbeidsoppgaver som girenkel tilgang til matematisk tenkearbeid, matematiskproblemløsing, samtale og struktur.Undersøk ferdige produkterEn uærbødig påstand: På ungdomstrinnet og ivideregående skole vil elevene lære mer matematikkved å undersøke ferdige produkter ennå skulle produsere og designe selv. Her er noeneksempler:Hugo Christensen,Heddal ungdomsskole, Notoddenhugochr@start.no26PostflaggetHvorfor ser postflagget i orientering ut som detgjør? Hvilke oppgaver skal flagget tjene og harformen noe med dette å gjøre? Hvorfor er dettrekantet i rommet? Kunne det vært firkanteteller sirkulært? Ved å måle opp flagget finner viat siden er kvadratisk. Kunne siden vært rektangulær,og hvorfor er den kvadratisk? Hvordan eropphenget og hvordan ville dette vært dersomformen var sirkulær eller firkantet? Hvor mangeregneproblemer er det mulig å finne i et sliktflagg? Og hvor mange uttrykk kan vi få ved åkalle siden i flagget for ”a”?Utfordring: Kan du tegne et flagg med enannen form som du mener ville fylt flaggetsoppgaver like godt eller bedre? Begrunn hvorfor.Kunne flagget hatt andre farger?Bruk et konstruksjonsprogram på datamaskinen(for eksempel Geogebra, som er gratis,eller Cabri) og konstruer flagget sett ovenfra ogi perspektiv fra siden.4/2006 tangenten

CD-brennerPå CD-skiver og på brennere kan man finnebetegnelser som 48 X, 52 X og 56 X. Tidligerefantes også betegnelser som for eksempel 12 Xog 24 X. Hva betyr dette og hva har det å si forhvor lang tid det tar å få brent en cd med deulike kvaliteter?Utfordring: Kan du tegne dette inn i et diagrammed CD-ens kvalitet på x-aksen og tidapå y-aksen? Den første brennerhastigheten somkom på markedet var 1 X. Dersom du skullebrenne en slik CD som inneholdt data på foreks. 60 minutter tok det 60 minutter å brennedenne.Correct-itHvordan virker denne korrekturrolleren? Vi måforutsette at man åpner en slik for å få undersøktden nærmere. Hvorfor er det to tannhjuli de fleste, hva er utvekslingsforholdet mellomhjulene, hvordan finner vi utvekslingsforholdetog er det flere måter å finne forholdet på? Detser ut til at basishjulet (altså der slettematerialetligger) er det største hjulet og at den bruktedelen av båndet går til det minste hjulet. Hvorforer det slik og har det noe å gjøre med girutvekslingslik vi kjenner det fra for eksempel ensykkel? Her er mer å lure på: Hvordan er detmulig å få et sammenhengende bånd til å gå fraen trommel med stor radius til en trommel medliten radius?Min gode venn, den nysgjerrige arkitektenTruls, som stakk innom for en tidlig kaffe ensøndagsmorgen og gjorde et lite utforskingsarbeid(se bildet over) sammen med undertegnede,har følgende hypotese: Det er umulig å fådette til med et bånd som ikke er fleksibelt ogikke lar seg strekke. Rolleren vil dermed ikkevirke mot slutten og den går i søppelbøtta lengefør den er brukt opp.Som tilleggsopplysning kan legges til at vedhjelp av skyvelær ble tykkelsen på korrekturmaterialet,altså det som ligger igjen på arket,målt til 0,05 millimeter. Hvordan ble målingenutført?Utfordring: Kan du konstruere en korrekturrollerder det gyldne snitt er hovedelementet ikonstruksjonen?SykkelenSykkelen er et nært og fint medium å ta tak ifor lærer og elever. Her er mye å arbeide medog forslag til innhold kan du finne i artikkelen”Sykkelens matematikk” på side 29.Utfordring: Kan du konstruere en fantasisykkel?tangenten 4/2006 27

(fortsatt fra side 15)ToalettrullkjernenDenne tar jeg med for på et vis å gå til noe av detmest unnselige vi er i kontakt med; plutselig erden der, ofte ubeleilig og til irritasjon for deretterå bli kastet. Hvilket materiale er den lageti, hvordan er den konstruert og hvorfor er detslik? River man den fra hverandre vil man finneat den er satt sammen av to parallellogrammer.Hvorfor to parallellogrammer og ville den værtkonstruert slik hvis den hadde vært laget i plast?Hvorfor er den da ikke laget i plast?Utfordring: Kan du konstruere en toalettrullkjerne,som når den dukker fram, gir etlettelsens sukk hos den trengende?refleksjonen må ikke bare bli sporadisk og vedavslutningen av en aktivitet som går over fleretimer. Erfaringen fra læring gjennom praktiskarbeid i naturfag er at bearbeiding av observasjonergjennom refleksjon må gjøres jevnlig ogsystematisk i veiledningssamtaler med elever ogi oppsummeringer underveis i et læringsforløp.Hvis en først mestrer å utnytte elevenes engasjementi praktiske aktiviteter til å reflektere overfaglige innsikter så har praktiske aktiviteter etstort potensiale som arbeidsmåte i matematikkså vel som i naturfag og i teknologi og design.Referanser[1] Kjærnsli, M., Lie, S., Olsen, R. V., Roe, A., &Turmo, A. (2004). Rett spor eller ville veier.Norske elevers prestasjoner i matematikk,naturfag og lesing i PISA 2003. Oslo: Universitetsforlaget.[2] Bungum, B. (2004). Teknologi og design inorsk skole: Faget som ”ikke ble”. NorskPedagogisk Tidsskrift, 88(5), s. 382–394.[3] Dewey, J. (1996). Erfaring og tenkning (Oversattav B. Christensen). I E. L. Dale (Red.),Skolens undervisning og barnets utvikling.Klassiske tekster (s. 53–66). Oslo: Ad NotamGyldendal.284/2006 tangenten

Sykkelens matematikkSe også Hugo Christensens artikkel side 26.– Tegn ei skisse av sykkelen din slik at du kan sette på alle mål.– Mål opp sykkelen og sett målene på tegningen.– Bruk konstruksjonsprogrammet Geogebra eller annet og konstruér sykkelen din imålestokk 1:5. Bruk sirkelens radier som lengdemål. Da finner du sikrest rammens skjøterog punkter.– Tell tenner på drevene foran og bak og legg dataene inn på regneark.– Bruk regnearket til å regne utvekslingsforholdet for 1. gir, 2. gir, 3. gir osv.(Utvekslingsforholdet er tenner foran dividert på tenner bak).– Finn ut, og forklar hvorfor det er divisjonen som er viktig her, og ikke en subraksjon.– Hva vil det si å sykle med utvekslingsforholdet 5 : 2? Hvor mange tenner er det sannsynligat du har foran og bak ved dette forholdet?– Finn ut hva som egentlig skjer når vi ”girer opp”. Gi en utførlig forklaring – gjerne med entegning.– Finn ut hvor langt du sykler på to tråkk i 1. gir og to tråkk i høyeste gir. Se bort fra atsykkelen ruller ut over det du tråkker.– Bruk ei fiskevekt og mål hvor mange kilo trykk det er på bremsen.Lykke til med arbeidet!tangenten 4/2006 29

Grete N. ToftebergLEGODACTAVi boltrer oss i teknologi og designFinnes det barn av vår tid, i dette land, som aldrihar bygget Lego? Selv tror jeg ikke det er sværtsannsynlig. Og når vi snakker oss varme omviktigheten av å ta utgangspunkt i det kjente forå utforske det ukjent, kan en neppe bestride atLego er et egnet utgangspunkt. Selv har jeg værtfascinert fra første gang jeg så dette verktøyet, oghar heldigvis fått muligheten til å arbeide medmaterialet i flere ungdomsskoleklasser. Somstudent på 80-tallet skulle jeg, som så mangeandre, lære programmering. Mange ganger harjeg lurt på hva som var så viktig med det, når jegslett ikke skulle bli programmerer, men kun enordinær IKT-bruker. På Lego-arenaen har jegogså kunnet dra nytte av denne noe nedstøvetekunnskap, om enn i en mye vakrere innpakning.Jeg opplever likevel at inngangsterskelener lav, og at elevene lærer seg grensesnittet raskt.De er oppvokst med skiftende programvare ogorienterer seg raskt i et nytt vindu. Det er derforheldigvis ikke slik at en lærer må kunne alt bestfor å ta i bruk dette verktøyet. En lærer rasksammen med elevene også.Fra fascinasjon til læringsmålFascinasjon alene er ikke nok for å begrunnehvorfor vi skal gjøre det vi gjør i skolen. MenGrete N. Tofteberg, Kirkebygden skolegrete.tofteberg@kirkebygden.gs.of.no30konseptet rundt Legodacta bygger opp undermange av målene i læreplanen, både innenforlæringplakaten, formål med fag, grunnleggendeferdigheter og kompetansemål i de enkelte fag.Selv har jeg valgt å knytte arbeidet sterkest motnaturfag, men det er også helt naturlig å trekkeinn elementer av både matematikk og kunst- oghåndverk. Med andre ord, vi snakker om teknologiog design. Teknologien kommer sterkt tilsyne gjennom at elevene må bygge modeller somfaktisk skal utføre et konkret arbeid. De må bl.a.utnytte tilgjengelige ressurser på en best muligmåte. For eksempel – hvis de har to motorer,kan de ikke bruke begge på en drivaksel hvismodellen deres også skal kunne gjøre noe annet.Elevene må finne ut hvordan tannhjul fungerersammen, hvordan rotasjonsbevegelse kan overførestil lineær bevegelse og hva som er prinsipiellforskjell på reimdrift og tannhjulsdrift. Etannet aspekt kommer fram i det designmessige.Her tenker jeg ikke design først og fremst som etestetisk bildeuttrykk, men som funksjonalitet.Er konstruksjonen solid nok til å tåle de belastningerden skal utsettes for? Kompetansemålfor både naturfag og kunst- og håndverk kreverat elever skal kunne arbeide ut fra en kravspesifikasjon.Det er da også slik jeg har valgtå arbeide med legodacta. Elevene har fått enprosjektoppgave i form av en kravspesifikasjontil en kjørende robot, men jeg har valgt å gjøredenne punktvis og relativt åpen og selvdifferen-4/2006 tangenten

sierende. Slik ivaretar jeg at alle elever får deltaut fra sitt ståsted. Vi arbeider alltid i grupper,og legger vekt på dokumentasjon av prosessen.I årets klasse 10A ble vårt lokale læringsmål: ”Åbli kjent med ulike former for teknologi og lage enmodell som er designet for de påkjenninger denutsettes for. Å lære å tenke i logiske strukturergjennom programmering. Å lære å innhente datagjennom logging og å bruke disse dataene i beregningerav fysiske størrelser.”Digitale ferdigheterGjennom arbeid med Legodacta kan vi ogsåløfte fram og bidra til å forsterke elevenes digitaleferdigheter. Selve programmeringsarbeidetforegår gjennom et grafisk grensesnitt og overføringentil roboten skjer ved hjelp av infrarødstråling. Dataprogrammet Robolab inneholderto ulike hovedmoduler – hver med flere ulikenivåer. Slik jeg ser det er det utforskerdelen somåpner for de mest interessante problemstillingermatematisk sett. Dette fordi vi her både kaninnhente og bearbeide data.Elevene må være detaljorientert i programmeringsarbeidet.Jeg har også valgt å legge innandre elementer for å forsterke det digitalearbeidet. Elevene må dokumentere prosessgjennom loggskriving. Loggen skrives i et fellesdokumentfor gruppa på en læringsplattform.Elevene må ta bilder med digitalt kamera fordokumentasjon, disse må vi videre passe på athar rett oppløsning og passelig filstørrelse. Etterendt arbeidsperiode skriver elevene en fyldigrapport, også denne skal leveres digitalt.Men hvor er matematikken?Der det er fysikk, er det også matematikk. Ogher handler det om krefter, moment, arbeid,effekt, veistrekning og gjennomsnittsfart. Vi mågjennomføre målinger. Vi får Legoens digitaleenhet til å innhente data, og vi bruker dataene iberegninger. For når vi programmerer Legoen,handler det ikke bare om kommandoer for atroboten skal utføre sine oppgaver, men vi kanogså logge data, og overføre disse tilbake til PC.Et eksempel er å la roboten bli en distansemåler.Ved bruk av en rotasjonssensor kan vi loggeantall rotasjoner på en aksling. Når vi bruker etskyvelære og måler diameter på hjulet som sitterpå akslingen vil vi kunne finne den veistrekningsom er kjørt. Hvis vi da tar tiden, finner viogså gjennomsnittsfart for kjøredoningen. Vedå legge elementer av dette inn i kravspesifikasjonen,kan jeg styre elevene i en slik retninguten å gi lukkete oppgaver. Jeg ber elevene om atroboten skal kunne utføre et arbeid enten i horisontaleller vertikal retning. Hvor stort arbeidetblir er jo som kjent avhengig av både veistrekningog kraften som brukes. Trolig må vi hahjelp av en kraftmåler for å finne ut hvor storkraft som benyttes på den gjenstanden vi skalflytte på. Når data hentes tilbake til PC-en kande ha ulike representasjoner. Vi kan se på dataenesom grafer eller i tabeller. Alle tallverdierlar seg kopiere over i et regneark, og behandlesvidere derfra, eller en kan bruke den innebygderegnefunksjonaliteten i programmet Robolab.Å programmere robotene handler om logikkog om modellering. Elevene må bygge opp etlogisk handlingsmønster. Elevene danner seg etbilde av hvordan roboten skal oppføre seg, og istørst mulig grad nærme seg dette bildet. Motorstyrkekombinert med tidsenheter kan lett gisvært ulike resultater bare ved å endre på noenvariabler.Eksempel på prosjektoppgave medkravspesifikasjonLag en kjøredoning med hjul. Den skal kunnegjøre flest mulig av følgende oppgaver:– Kjøre og stoppe på kommando.– Skyve en gjenstand foran seg og dermedgjennomføre et arbeid– Løfte en gjenstand og dermed gjennomføreet arbeid– Logge antall rotasjoner på en aksel slik atberegning av veistrekning og gjennomsnittsfartkan gjennomføres på bakgrunnav dataene.– Ha en gjennomsnittsfart på ca. 2 m/stangenten 4/2006 31

Gruppa står fritt til å legge til annen ønsketfunksjonalitet.Elever i arbeidErfaringsmessig er det lurt å sette av litt tid til engrunnleggende innføring i det mest elementærehva gjelder programmering, men elever av vårtid lærer seg ny programvare relativt raskt oggreit. Så etter 2-3 ordinære skoletimer der kunde mest sentrale enhetene har vært tilgjengeliger elevene klare for den store utfordringen. Nårvi først er i gang, er det viktig å sette av arbeidsøktermed god tid. Mindre enn 90 minutter perøkt anbefaler jeg ikke. Selv setter jeg av 4 økterà 90 minutter til selve arbeidet med modellen,men vi trenger også noe tid til analyser ogberegninger i etterkant. Erfaringsmessig blirelever lett motivert, og som lærer opplever jegå se nye og spennende sider ved en del elever.Jeg har opplevd at flere elever blomstrer opp ogfår tatt i bruk erfaring og kompetanse skolennormalt ikke spør etter. Elever vil jobbe i friminutt,de kommer før skoletid og blir sittendeetter skoletid for å få mer tid til oppgaven enndet som er avsatt. God disiplin og selvjustis pågruppene er en selvfølge slik at alle dyre delertelles opp for hver gang og ikke noe forsvinnerunder marsjen. For å belyse elevenes entusiasmetar jeg her med deler av loggen fra en elevgruppeetter den første arbeidsøkten i en slik prosjektperiode:”Denne dagen fikk vi i oppdrag å begynneå bygge LegoRoboten vår. Vi startet med ådiskutere hvordan vi skulle bygge den medde forskjellige funksjonalitetene, hvordanden skulle se ut osv. Etter hvert begynte viå bygge ideer til forskjellige ting, som f.eks:Skuff, utseende, bærearm og ”kjøreegenskaper”.(fortsettes side 51)324/2006 tangenten

AnnetteSandanger ChristensenTeknologi og designHva er teknologi og design? Hva handler detom? Er dette enda noe nytt vi må gå på kursfor å lære og så prøve etter beste evne å pressedet inn i en ellers så tettpakket timeplan? Ellerkanskje ikke…På RENATEsenterets sider [1] kan man leseat– Teknologi handler blant annet om gjenstandersom hjelper oss til å leve et bedreliv.– Design betyr å ”gi form”. Design oppstår imøtet mellom vitenskap og kunst.– Teknologi og design handler om å designeog formgi teknologiske gjenstander somskal gjøre livene våre lettere å leve.Teknologi og design er altså sammensatt. Påden ene siden skal vi lære å finne teknologiskeløsninger på for eksempel et praktisk problem,mens vi på den andre siden bruker design forå formgi den teknologiske løsningen fra idé tilferdig produkt.Hvorfor teknologi og design?Før hadde vi olabilbygging i gata og hyttebyggingi skogen med alle mulige slags finurligeAnnette Sandanger Christensen,Fløysbom skoleannette.s.christensen@online.noheiseordninger og feller. De yngre lærte av deeldre eller hverandre. Nå har Internett, dataspill,playstation og mobiltelefoner overtatt. Elevenefår utfolde seg i den digitale verdenen, men detrenger også å få utfolde seg i det virkelige liv. INorge mangler vi ingeniører og teknologer, noesom skyldes at det i mange år har vært satsetfor lite på realfagene i skolen. Ved å vektleggeteknologi og design i den nye læreplanen ønskerman å styrke norske elevers interesse for realfag.Samfunnet trenger både gammel og ny teknologi.Vi trenger elever som har interesse foremnet og som kan bli morgendagens forskere,og det er vi lærere som skal pirre forskertrangenog lysten til å skape noe hos elevene. Teknologiog design er et fagområde som stimulerer tilkreativitet og skaperglede. Teoretisk kunnskapkombineres med praktisk arbeid. Elevene finnersitt eget nivå å arbeide på og de ender opp medet produkt som de enten har laget alene eller isamarbeid med andre.Et undervisningsopplegg i teknologi ogdesign – ”Drømmerommet mitt”Undervisningsopplegget ”Drømmerommetmitt” har vært gjennomført på sluttenav 8. klasse i flere år. Undervisningsoppleggetpasser godt inn i beskrivelsen av et teknologiogdesignprosjekt.Undervisningsopplegget har hatt stor suksesstangenten 4/2006 33

åde hos elever, lærere og ikke minst foreldresom er glade for at ungene endelig forstår hva altkoster. Etter at den nye læreplanen er innført i2006 vil undervisningsopplegget bli lagt til sluttenav 9. klassetrinn. Vi regner med at prosjektetvil bli like populært som før, om ikke mer.Fagene matematikk og kunst- og håndverker hovedfagene i dette teknologi- og designprosjektet.Det har ikke vært lagt vekt på natur- ogmiljø i dette prosjektet, men med den nye læreplanen,ser jeg det som naturlig at også dettefaget får sin plass i prosjektet, men faget er ikketatt med i prosjektbeskrivelsen nedenfor.ProsjektbeskrivelseProsjektet består av to deler. I første del av prosjektetskal elevene designe rommet sitt, beregnematerialer og regne ut kostnadene. I andre del avprosjektet skal elevene lage rommet og møbleneog designe en bevegelig eller elektrisk del. Jeganbefaler at prosjektet gjennomføres i løpet av etrelativt kort tidsrom, som et ukesprosjekt eller iløpet av en måned. Elevene blir veldig engasjerteog vil gjerne bli fort ferdige med rommet sitt.Går det for lang tid, har møbler og utstyr somelevene har laget, en tendens til å forsvinne.Den første delen av prosjektet skal leveresi mappe. I den andre delen skal det ferdigerommet leveres til vurdering. Vurderingskriterierfor begge delene står nedenfor.”DRØMMEROMMET MITT” – Første delI kunst- og håndverk– Du skal lage minst tre utkast pluss en endeligskisse av drømmerommet ditt ovenfra.Bruk ruteark. Rommet skal være rektangulærtog på 12 m². Målestokk: 8 ruter = 1meter = 1:25. Ikke glem vinduer og dører.Rommet skal inneholde minimum tre storeting som for eksempel en seng, et skap, enskrivepult med stol, et bord etc.– Rommet skal inneholde en bevegelig delsom markise, hånddrevet vifte, dør, løftopp seng eller lignende, eller en elektriskkrets som lys, ringeklokke, elektrisk vifteeller lignende.34– Tegn drømmerommet ditt, møblert, i etpunkts perspektiv eller i to punkts perspektiv.– Tenk igjennom hvilke farger du ønsker åbruke på rommet ditt. Bruk fargesirkelen,hvordan få til et rom med harmoni, etsjokk rom, et trist rom, et glad rom osv.– Få tak i vareprøver (tapetprøve, teppe /gulvbelegg prøve, gardinprøve osv.). Leggvekt på fargesammensetning. Prøv deggjerne frem med forskjellige farger, tenk utdetaljer som gjør at rommet ditt blir heltspesielt. Pass på å få så store vareprøverat du kan bruke dem når du skal byggerommet ditt. Fest vareprøver til A4-ark.– Prøv å fargelegge tegningene dine slik atfargene blir så like som mulig vareprøvenedine.– Er det andre ”nye” ting du trenger til ditt”nye” rom? Finn bilde av tingene på internett,tegn tingene eller klipp ut av blader.Bilder / tegninger av de nye tingene skalmonteres på A4-ark.I matematikk– Regn ut hva det koster å kjøpe ditt nyegulv.– Regn ut hvor mange ruller tapet du trengerog hva det vil koste? Gå ut fra at høyden fragulv til tak er 240 cm.4/2006 tangenten

– Du trenger vel også lim til tapetet, hvakoster det?– Skal du ha gardiner? Hvor stort er vinduet /vinduene dine? Du må beregne minst 30cm mer stoff til gardiner enn lengden påvinduet, og du må huske på at du skal haminimum to lengder pr. vindu. Hvor myestoff trenger du for å få sydd gardiner oghva koster det?– Dersom du velger å male rommet istedenfor å tapetsere det, hvor mye maling gårmed og hva koster det?– Trenger taket et strøk maling? Hvor myemaling går med til det? Hva koster det?– Alle de nye tingene dine koster også. Finnut priser.– Sett opp kostnadene i regneark. Det skalleveres inn et regneark med formelutskriftog et med vanlig utskrift. Eksempel påoppsett i tabellen.Mappen skal inneholde:– Forside med navn og klasse.– Innholdsfortegnelse.– Tre skisser av rommet.– To tegninger av rommet; en sett ovenframed målene, og en sett i perspektiv.– Vareprøver av tapet, maling, gulv, gardinerosv. limt opp eller stiftet fast på A4-ark.– Utklipp av de ”nye” tingene til rommetlimt opp på et A4-ark.– Matematikkdelen med forklarende tekst ogalle utregningene.– To fullstendig kostnadsoverslag skreveti regneark, et med formelutskrift og etvanlig.– KilderMappen blir vurdert etter følgende kriterier ikunst- og håndverk:– Layout / Design på mappen– Tegneferdigheter, ovenfra og i perspektiv.– Er møblene tegnet i riktig målestokk ovenfra?– Fargekombinasjoner og detaljer– Design på rommet– InnsatsMappen blir vurdert etter følgende kriterier imatematikk:– Utregningene / regneferdigheter– Riktig bruk av målestokk– Kostnadsoverslag skrevet i regneark medformelutskrift– Kostnadsoverslag skrevet i regneark utenformelutskrift– Innsats”DRØMMEROMMET MITT” – Andre delAktivitet: Du skal bygge drømmerommet dittetter tegningene som du har levert i egen mappe.Rommet skal, så godt som det er mulig, væreidentisk med tegningen i mappa.Målene som kassen til rommet skal lages ier:1. Grunnflate = 15 cm · 20 cm og høyde =12 cm, eller2. Grunnflate 22,5 cm · 30 cm og høyde =18 cm.– Regn ut hvilken målestokk du må lagemøblene i.– Hvor skal du ha vinduet og evt. døra? Dettemå planlegges før rommet settes sammen.En vegg skal være åpen.– Hvordan skal du løse den elektriske / bevegeligedelen?VareAntallkvadratmeterPris perkvadratmeterAntallPris perstykkTotal prisTapet 35 59.90 2096.50Seng 1 2456 2456Lampe 3 67 603tangenten 4/2006 35

– Du kan lage møbler av tre, papp, leire,plast, stoff, garn, perler osv. Bruk fantasien!– Dersom du ønsker å ramme inn åpningenmed pleksiglass og lister, må dette bekostesselv.Vurderingskriterier– Riktig målestokk– Nøyaktighet– Arbeidsprosess– Kreativitet– Ferdig produkt– InnsatsUtstyrliste til ”rommet mitt”• 3 finerplater til tak, gulv og bakvegg• 2 ”plank” til sidevegger• Trelim• Limpistol• Små stifter• Vareprøver av gulvet• Vareprøve av tapetet• Maling• Hengsler• Opphengskroker• Pleksiglass til vinduer• Eventuelle elektriske komponenterForslag til møbelmateriell:• leire• plast• tre• stoffer• garn• perler• tråd• pappKompetansemål i matematikkenI hvert enkelt teknologi- og designprosjekt mådet alltid vurderes hvilke kompetansemål framatematikk som det skal arbeides mot. Det erderfor nødvendig å gå igjennom og vurdere alledelene av matematikkplanen for det aktuelletrinnet i planleggingen.36Før man gir seg i kast med et teknologi- ogdesignprosjekt må læreren derfor ta stilling til– Hvilke mål i matematikken som skal vektleggesi prosjektet– Hvilke kompetanser prosjektet skalfremme– Egne ferdigheter og erfaringer– Tilgang på og valg av materialer– Tidsbruk– Budsjett– Skal noe av arbeidet innleveres? Kanskje tilmappevurdering?Anvendelse, forståelse og ferdigheter skal vektleggeslikt i matematikken. Det blir de i et teknologi-og designprosjekt gjennom de åtte kompetansene.Tall og algebra– Sette opp enkle budsjetter og gjøre beregningertilknyttet privatøkonomiGeometri– Tolke og lage arbeidstegninger og perspektivtegningermed flere forsvinningspunkterMåling– Kunne anslå og beregne lengde, …, areal,overflate, …, og kunne bruke og endremålestokk– Velge passende måleenheter, forklare sammenhengerog regne om ulike måleenheter,vurdere måleinstrumenter og målemetoderi praktisk måling, og drøfte presisjon ogmåleusikkerhetIdeer til andre teknologi og designprosjekterDet er bare fantasien som setter grenser for hvaet teknologi- og designprosjekt kan være. Detviktigste er å aldri miste målet ut av sikte ogha den matematiske samtalen både før og etterproduktutvikling og eventuelt testing. Vet elevenehvilke mål det jobbes mot, vet de hva som(fortsettes side 43)4/2006 tangenten

tangenten 4/2006 37

Hans Jørgen Riddervold, Egil HauglandGitarbyggerens matematikkHans Jørgen Riddervold (hans.jorgen.riddervold@hib.no) er matematiker men spillerogså klassisk gitar.Egil Haugland (egil.haugland@hib.no) erklassisk gitarist og gitarbygger. Beggeunderviser ved Høgskolen i Bergen, Avdelingfor lærerutdanning38Har du noen gang tenkt over hvordan en gitarblir til? Og da snakker vi om ordentlige (håndbygde)gitarer! For det første trenger gitarbyggerenmaterialer å bygge av. Før trærne felles,har de gjerne vokst i 200 år. Deretter må treverketligge og tørke. Helst 40 år eller mer – detkan være vanskelig å få tak i tørt nok treverk.Når gitarbyggeren har kjøpt treverket, det kanfor eksempel være gran fra Kanada (til lokket),palisander fra India eller Brasil (til bunn ogsarg) eller kanskje ibenholt fra Indonesia (tilgripebrettet), bør det helst også ligge en tid iverkstedet for å «venne seg til» klimaet og luftfuktighetender, gjerne rundt fem år.Etter dette er tiden moden for å bygge. Dakan det for eksempel ta en hel arbeidsdag å bøyetil de to sidene i lydkassen. Det å lage rosettentar såpass mye tid at mange gitarbyggere velgerå kjøpe ferdiglagde rosetter. Andre velger andreløsninger – det kan for eksempel være å bruke ettreverk hvor mye av pynten ligger i selve struktureni treet. Polering med skjellakk («frenchpolish») helt til slutt er også et tålmodighetsarbeide,det kan godt kreve både tre og fire uker.Denne artikkelen ble påbegynt som en konsekvensav en konsert under Egil Hauglandsprosjekt Fra skog til scene [3]. Der eksperimentererHaugland med blant annet bruk av norskematerialer i gitarene sine.Det er lett å bli fascinert av gitarbygging!RosettenTradisjonelle rosetter rundt lydhullet på gitaren,er sammensatt av en masse små trebiter.Disse håndteres ved å lime sammen mange,svært tynne lister slik at de danner en tykkerelist. Hvis de tynne listene er valgt med passendefarger og plassert rett i forhold til hverandre,vil tverrsnittet på den tykkere listen danne finemønstre, se figur 1 (a). Egil Haugland lagerrosettene ved å lime sammen trebiter slik attreverket selv danner mønsteret, se figur 1 (b).Mange barn er fascinert av store tall (les omet morsomt eksempel i [4]) – hvor mange avde minste trebitene er det egentlig i en rosett?Oppgaven blir å identifisere en «enhet» (fra detykkere listene), telle antallet små biter i en slikog deretter finne ut hvor mange enheter somrosetten er sammensatt av.Betraktninger omkring rosettene kan væremer innholdsrike enn rene antallsbetraktninger.Romanillos’ berømte rosetter, som vist i figur 2,forestiller søylene i Cordoba-katedralen, se [1].Dermed virker det som om han forestiller segrosettmønsteret som en horisontal bord, som så4/2006 tangenten

Figur 1 a) Rosetten er bygget opp av tverrsnitt av sammenlimte listerFigur 1 b) Eksempel på Hauglandsrosett«bøyes» sammen til en rosett ved monteringen.Denne tankegangen passer overens med rosettbilderhos gitarbyggeren David Schramm [5].Vi kan med andre ord naturlig beskrive rosettmønstrenesom om de var langstrakte border.Noe som er spesielt med slike border erat det ikke finnes så mange av dem. Ser vi påbordenes symmetriegenskaper isolert sett,er det faktisk ikke mulig å lage mer enn syvulike border, som vist i figur 3 [8]. Den førstelinjen (… L L L L L …) i tabellen viser enbord som kun tillater parallellforskyvning(translasjonssymmetri). Den andre linjen(… D D D D D …) viser en bord som tilla-Stol6. strengSargLydhullHalsSadelStemmeskrueLokk 1. streng Rosett Gripebrett 2. bånd 1. bånd HodeFigur 1 c) Forklaring av typiske gitar-uttrykktangenten 4/2006 39

Figur 2: Eksempel på Romanillos’ rosett-stilter både parallellforskyvning og speiling om envannrett linje (speilingssymmetri). Og hvis vifor eksempel ser på den nederste borden (… VV V …), så er det en bord med speilingssymmetriom vertikale speilingslinjer og medrotasjonssymmetri om punkter som ikke liggerpå de vertikale speilingslinjene.Vi ser at den berømte rosettvarianten etterRomanillos rent symmetrimessig kan klassifiseressom denne typen: … V V V V V …Gitarbyggere flest lager neppe rosettene sineut fra å «treffe» en gitt symmetri. Tabellen kanimidlertid fungere som et «kart» som oppfordrertil «bruk fantasien, det finnes flere rosetter»,eller «nå har du faktisk forsøkt alle muligesymmetriegenskaper i rosettene dine».40… L L L L L …… D D D D D …… V V V V V …… L L L …… N N N N N …L… H H H H H ……VFigur 3: Oversikt over båndsymmetrierVVHvor skal båndene stå?Båndene på en gitar er alle de metall-stripeneLVV…som ligger på tvers under strengene. Du kansikkert tenke deg at de må plasseres nøyaktig forat ikke gitaren skal bli rar å høre på, og kanskjehar du lurt på hvorfor avstanden mellom demblir mindre og mindre, som vist i figur 4? Herskal vi se på hvordan gitarbyggeren tenker for åplassere båndene, og vi skal forklare bakgrunnenfor plasseringen. Vi starter med en forenkletforklaring og legger gradvis mer matematiskinnhold til forklaringene.Det kan være til hjelp å kjenne til Leif BjørnSkorpens artikler om musikk og matematikk[6, 7] fra Tangenten 4/2004. Der forklarerhan hvorfor han velger å regne på forholdstallmellom frekvensene for ulike toner, og hvorforhan kunne ha kommet til de samme resultateneved å regne på lengder av svingende strenger istedet. Tankegangen bak utregningene er densamme i begge tilfellene, men brøkene ser utsom de blir snudd på hodet hvis du vil gå fraden ene tankegangen til den andre. Siden en gitarbyggerførst og fremst må vite hvor han skalsage i gripebrettet for å feste båndene, har viher regnet på forholdet mellom strengelengderi stedet for frekvenser.En forenklet forklaringEn forenklet forklaring kan være som dette:Hvis strengen må forkortes med 1/20-del forå gi neste tone (et halvt tonetrinn høyere), såavgjør det plasseringen av det første båndet. Forat det skal bli samme forhold mellom tonene,må neste bånd plasseres på 1/20-del av strengelengdensom gjenstår når strengen er trykketned på det første båndet. Dermed blir det kortereog kortere avstand mellom båndene.Vi regner nøyaktigNå er ikke 20 det rette tallet for en gitar; gitarbyggerebruker heller 17,817. Hvis vi tar utgangspunkti standard-mensur på klassiske gitarer(dvs. strengelengden for strengene når de ikkepresses mot gripebrettet), som er 650 millimeter,så kan vi beregne båndplasseringen på dennemåten: 650 : 17,817 ≈ 36,4820. Så avstanden fra4/2006 tangenten

Figur 4: Avstanden mellom båndene blir mindre og mindresadelen (den hvite kanten ganske nær stemmeskruene)til første bånd, blir 36,4820 mm vedmensur på 650 mm. Strengelengden som gjenstårblir 650 mm – 36,4820 mm = 613,5180 mm,og denne bruker vi til å finne plasseringen avneste bånd: 613,5180 mm : 17,817 ≈ 34,4344 mm. Dette betyr at neste bånd skal ligge34,4344 mm + 36,4820 mm = 70,9164 mmfra sadelen. Gjenstående strengelengde er nå613,5180 mm – 34,4344 mm = 579,0836 mm,og slik kan vi fortsette helt til alle båndene erplassert.Vi ser at denne metoden beregner avstandenfra sadelen, eller fra forrige bånd hvis vi ikketar bryderiet med å summere underveis slik vigjorde ovenfor med 34,4344 mm + 36,4820 mm= 70,9164 mm. Ved å fortsette med utregningene,kommer vi frem til plasseringer som itabell 1.Legg merke til at vi for 12. bånd i tabellen,som skal være på midten av strengelengden,skulle ha fått nøyaktig halvparten av mensurenpå 650 mm. Dette skyldes avrundingsfeil, og viforstår at det blir viktig for gitarmakeren medtilstrekkelig mange sifre i mellomregningene ogen kontroll av utregningene. I praksis brukermange ofte ferdige tabeller eller et dataprogramfor disse beregningene, men problematikkomkring avrundingsfeil er selvfølgelig til stededer også. Når det er sagt, så er det også grenserfor hvor nøyaktig det er mulig å sage hakk forfesting av båndene. Bedre enn en halv millimeternøyaktighet er ikke realistisk.Avstand fraBåndsadel1 36,482Avstand fraforrige bånd2 70,916 34,4343 103,418 32,5024 134,096 30,6785 163,051 28,9566 190,382 27,3317 216,179 25,7978 240,527 24,3499 263,509 22,98210 285,202 21,69211 305,676 20,47512 325,002 19,32613 343,243 18,24114 360,460 17,21715 376,711 16,25116 392,049 15,33917 406,527 14,47818 420,192 13,66519 433,091 12,89820 445,265 12,174Tabell 1: Båndplassering for 650 mm mensurtangenten 4/2006 41

Hvorfor virker dette?samme tallet som 17,817.122Sjekk gjerne med kalkulatoren at122-1Michael Kasha, professor i fysikalsk kjemi,mente at lyden i sønnens gitar ikke var godBegrunnelse via en alternativ tankegangPiano, orgel, gitar og alle strengeinstrumentermed fast plasserte bånd, stemmes i dag somregel etter det som kalles den tempererte skalaen.Der er en del stemmetekniske problemerfordelt jevnt utover alle tonene slik at det erforholdsmessig like store forskjeller mellom allehalvtonene, se Skorpens artikler [6, 7] for detaljer.Gitarbåndene må plasseres slik at vi oppnårnettopp dette, og det er her hemmelighetenligger. Siden vi i den tempererte skalaen multiplisererHvor store er feilmarginene?Hvor stor feil gjør egentlig gitarmakeren omhan sager upresist? La oss anta at en gitarmakersager det første båndet om lag en halv millimeterfeil i den ene eller andre retningen. Det vil siat han med 650 mm mensur sager i en avstandpå 613 mm eller 614 mm unna stolen, i stedetfor det korrekte 613,5183 mm.På første streng vil det å gå fra løs streng tilå trykke ned strengen i første bånd, tilsvare åen tonefrekvens med 2 12for å finne gå fra såkalt enstrøken e (e 1 på 329,63 Hz) tilfrekvensen for den tonen som ligger en halvtone12over, så må vi dividere strengelengden med 2for å finne den strengelengden som gir oss enhalvtone høyere.Vi starter omformingen med å trekke fra oglegge til mensuren M, og regner videre slik:enstrøken f (f 1 på 349,23 Hz). Det betyr at vi12kan kontrollere at 349, 23 Hz = 2 ◊329,63 Hz.12Hvis vi i stedet for å finne 613, 5183 = 650 2tenker oss at vi har fått det upresise kuttet ved12å bruke et tall t som er forskjellig fra 2 , såkan vi finne t ved å løse ligningen 613 = 650/t.Da blir t = 650/613 ≈ 1,06035. For feilkuttet påM 11614 mm blir t ≈ 1,05863.= ◊ M = M - M + ◊M12 12 122 22Da skulle antall svingninger for tonenesom følger av de upresise kuttene bli henholdsvis1,06035 · 329,63 Hz = 349,523 Hz ogÊ 1 ˆ= M - 1-MËÁ 122 ¯˜ ◊1,05863·329,63 Hz = 348,956 Hz. Det er en forskjellpå 0,567 Hz. Denne forskjellen kan se liten122-1= M - M12 ◊2ut, men er faktisk stor nok til at den kan høres.1Nå må vi påpeke at også endring i strenglengdeog -spenning («tension») når strengen= M - ◊M122presses mot gripebrettet kan bety mye for tonehøyden.Dessuten kan et bånd over tid bli slitt122-11ª M - ◊Mflatt, slik at kontaktpunktet mellom bånd og17,817streng forflyttes fra å være rett over der gitarmakerenUtregningen er uavhengig av om vi brukermensuren M = 650 mm eller en annen strengelengde.Båndplasseringen er med andre orden direkte konsekvens av ønsket om å stemmeetter den tempererte skalaen. Vi ser dessuten avutregningene at vi også kan beregne båndene12ved å dele mensuren på 2 ª 1, 05946309 . Dahar saget, til å være noe lenger vekk frastemmeskruene. Det er altså mange forhold sompåvirker hvor presist instrumentet blir, men viinnser uansett viktigheten av at gitarbyggerensager sprekkene til båndene mest mulig nøyaktig!Tenk også på konsekvensene av «følgefeil»i målingene …får vi avstanden fra båndet til stolen direkte,som i regneeksemplet tidligere ville ha gitt oss650 mm : 1,05946309 = 613,5183 mm.Hva skjer når en matematikerfår bestemme byggingen?424/2006 tangenten

nok. Derfor startet han på 1960-tallet et omfattendeog langvarig samarbeid med en gitarbygger,Richard Schneider, for å forbedre gitarkonstruksjonenpå grunnlag av kunnskap fraanvendt matematikk (fysikk og akustikk). Allegitarbyggere forsterker lokket ved å lime fastnoen spiler på undersiden. Både antall, utformingog plassering vil påvirke lyden, og variererfra bygger til bygger. På Kasha-gitarene erspilene under lokket utformet og plassert sværtforskjellig fra tradisjonelle gitarer, og lydhulleter dessuten saget ut på siden av gripebrettet derlokket vibrerer minst – vibrasjonene i lokkethar mye å si for lyden på en gitar. Hele gitarenser med andre ord asymmetrisk ut [2]. Til trossfor denne nytenkningsinnsatsen har (foreløpig)ikke Kasha-gitarene slått stort an blant klassiskegitarister. Kanskje kan det ha å gjøre med at etinstrument kan miste sitt særpreg, både visueltog klanglig sett? Anvendelser av matematikkkan med andre ord ha sine begrensninger. Detblir til slutt et spørsmål om tradisjon, smak ogbehag.(fortsatt fra side 36)forventes av dem. I matematiske diskusjonermå elevene ta stilling til og mene noe i forholdtil matematikk og de må begrunne hvorfor demener det.Undervisningsopplegg i teknologi og designved vekt på matematikk blir etter hvert somde er gjennomarbeidet lagt ut på nettsidene tilmatematikkbøkene KodeX for ungdomsskolen.Nettadressen er www.kodex.no. Selv om undervisningsoppleggeneer laget for ungdomsskolen,er det ikke noe i veien for å bruke ideene til ålage undervisningsopplegg for barneskolen.Kilder[1] www.renatesenteret.no/index_main.htmlReferanser[1] Andalucia Com SL (Okt 2006): www.andalucia.com/cities/cordoba/mosque.htm[2] J. T. Hargreaves Basses & Guitars (Okt2006): www.jthbass.com/kasha.html[3] Haugland, Egil (Okt 2006): Fra skog til scene,www.hib.no/aktuelt/nyheter/2006/09/skogtilscene.asp[4] Haugstad, Jon (2003): Store tall. En nysgjerrigperpå kornsiloen, Tangenten nr 1[5] Schramm, David (Okt 2006):www.schrammguitars.com/rosettes.html[6] Skorpen, Leif Bjørn (2004): Å uttrykke musikkved hjelp av tal, Tangenten nr 4[7] Skorpen, Leif Bjørn (2004): Å lytte til musikkfrå tal, Tangenten nr 4, tilgjenglig fra www.caspar.no/tangenten/2004/skorpen404.pdf[8] Torvanger, Dag (2004): Geometrikompendiumtil Mat1, Høgskolen i Stavangertangenten 4/2006 43

Christoph KirfelParabelensrefleksjonsegenskaperPå Vitensenteret i Bergen finner en et artigforsøk som jeg har undret meg over mangeganger. To parabolantenner er satt opp i hvertsitt hjørne i et stort lokale. Avstanden er kanskje20 m. Antennene er posisjonert slik at deressymmetriakser faller sammen og at de åpner segmot hverandre. Tre stag som er festet i randen avantennen løper sammen i et punkt som markererparabelens brennpunkt. En person stiller segopp ved brennpunktet av den ene parabolantennen,en annen person ved den andre. Begynnerden første å snakke lavt mot brennpunktet vilden andre (som holder øret sitt nær det andrebrennpunktet) kunne høre førstemanns stemmetydelig, og forstå alt han sier enda avstanden erusannsynlig stor, det er mye bråk rundt dem ogdet kan også være folk i ”veien” mellom antennene.Flytter man øret bare 20–30 cm fra brennpunktetblir makkerens stemme ganske svak ogvi kan ikke skjelne hans røst fra resten av bråket.Et liknende fenomen kan du observere når dustiller deg i “lyddusjen” på Oslo lufthavn, Gardermoen.Står du i det rette feltet under dusjenkan du høre musikken som alle andre steder eruhørbarHvordan kan to bøyde metallplater hjelpe osså samle lyd?Forklaringen ligger nok i den spesielleformen parabolantennene har. En parabel elleren paraboloide har en spesiell matematisk egenskapnår den reflekterer stråler. Vi kan forestilleoss en lydbølge som en skare av stråler. I dettetilfelle er strålene parallelle når de ankommer44antennen. Hver stråle blir så reflektert i antennensskål. Rundt refleksjonspunktet kan vitenke oss at parabelen kan sees på som et litestykke av en rett linje, og vi kan forestille ossat refleksjonen skjer på parabelens tangent. Dagjelder den kjente loven om at innfallsvinkel erlik utfallsvinkel når vi måler innfalls- og utfallsstrålensvinkel mot tangenten. Det overraskendeer nå at alle slike refleksjonsstråler går gjennomsamme punkt, nemlig parabelens brennpunkt.Der samles altså strålene og svak lyd blir forsterketog hørbar.Vi skal nå dukke inn i matematikken rundtdette fenomenet.Den vanlige beskrivelsen av en parabeler y = x2 . Men i denne sammenhengen herlønner det seg å betrakte parabelen med formely =± x . Vi ser på den nedre grenen y =- x .En stråle som er parallell med parabelensakse er her parallell med x-aksen. Denneblir reflektert i punktet (, a - a). Sideny’( x) =- 1 er tangentstigningen i refleksjonspunktety’( a) =- 1 og normalen i2 x2 apunktet har stigning n= 2 a . Oppgaven vår ernå å finne stigningstallet til refleksjonsstrålen.Vi vet at refleksjonsstrålen og x-aksen danner envinkel som er dobbelt så stor som den normalenpå tangenten danner med x-aksen.Vi forstørrer bildet vårt og ser på det som4/2006 tangenten

R(a, − a)Ryα αTangentααskjer rundt refleksjonsstedet. Siden normalenhar stigningstallet n går den gjennom punktetT, der RS = 1 og ST = n.I tegningen ser vi at stigningstallet for refleksjonsstrålener m = SQ. Vi ønsker å finne etuttrykk for m kun ved hjelp av n som er stigningstallettil normalen. Vi speiler S om RT ogfår punktet F. Da er ST = TF = n på grunn avsymmetrien. Av samme grunn må trekantenTFQ være rettvinklet. Siden –FQT er fellesi de to rettvinklete trekantene FTQ og RSQ erdisse formlike, og vi kan sette opp følgendesammenheng mellom størrelsene i trekantene:pFTBrennpunktRefleksjonsstråleNormalParabel y1Fm= eller p= m◊ n .1Nå kan vi bruke Pytagoras’ setning på trekantenRQS og fårp xxInnfallsstråle2αQmSTn( ) = + +m + 1 = 1+p 1 2p p2 2 2m = 2mn+m n2m= 2n+mn2nm =21 - n2 2 2 2Se note 1. Siden normalens stigningstall ern= 2 a får vi for refleksjonsstrålens stigningstallm = = og vi kan nå22 ( a ) 4 a1 -2( 2 a)1 - 4asette opp likningen for selve refleksjonsstrålengjennom punktet Ra (,- a)ved hjelp av ettpunktsformelen:y -- ( a ) 4 a=x - a 1 - 4 a.Vi er interessert i å finne refleksjonsstrålensskjæringspunkt med x-aksen. Det gjør vi ved åsette y =0 i likningen. Da får vi:a ax - a= 4som gir 1- 4a = 4( x -a) og1-4adermed x = 1 4og vi ser at skjæringspunkteter helt uavhengig av hvor på parabelen innfallsstrålentraff (altså uavhengig av a). Alleslike refleksjonsstråler samles derfor i punktetÊ 1ËÁ4 , 0 ˆ¯˜ , parabelens brennpunkt. En annen ogmer geometrisk inspirert måte å arbeide medparablers (kjeglesnittenes) refleksjonsegenskaperpå finner man i [1].Note1 Sammenhengen vi viste beskrives vanligvissom sammenhengen mellom tangens av detdobbelte av en vinkel og tangens av selve2tan( a)vinkelen: tan( 2a)= .21 - tan ( a)Litteratur[1] Sverre Smalø, Per Hag (2001): Kjeglesnittenesrefleksjonsegenskaper, Tangenten 3(2001)tangenten 4/2006 45

Aasmund KvammeOm arbeidsbeskrivelserI samband med innføringa av Teknologi ogdesign i skuleverket tar vi med to utdrag fråeldre bøker. Dette for å vise litt av korleis einpresenterte handverk tidlegare.”Sløidlære for skole og hjem”Det første utdraget er frå ” Sløidlære for skoleog hjem, bind 1” [1].Dei tre hefta er, som tittelen seier, meint forbruk både i skulen og heime. Instruksjonane erbygd opp med ein streng progresjson. Dei startermed blomsterpinner og slutter med stolarog skap. Innimellom kjem gode råd og praktisketips. Alle instruksjonar er også utstyrt medarbeidsteikningar.Alle instruksjonar og praktiske tips er nummerertslik at ein kan vise til dei gjennom heileheftet. Som døme tar vi med nr. 50; ei enkelbrødfjøl forma som ei ellipse.Nr. 50 BrødfjelHøvl emnet vel 16 cm bredt og 1,6 cm tykt, dramidtlinjen langsefter og tversover en av sideneog merk av den halve lengden og bredden avbrødfjelen fra skjæringspunktet ut mot beggekantene. Tegn ellipsen efter R42. Ta fatt midt påAasmund Kvamme, Høgskolen i Bergen,Avdeling for ingeniørutdanningakv@hib.no46langveden og sag med veden efter en kvartbueom gangen. Spenn stykket i benken så du fårhendene fri, begynn på midten av langveden ogspikk til risset og også nu efter en kvartbue omgangen. Da det kan falle for tungt å jevne helebredden av den buede kanten med ett skar, børdu først fase av efter risset på den ene siden, såpå den andre og til slutt spikke bort den mellemliggendeveden. Det faller da også lettere åfølge risset. Hold ikke den venstre hånden fremmenforknivseggen. Fil kanten og puss den. Gihullet en slik plass at langveden faller loddrettnår brikken er hengt op. Pusshøvl sidene.R42 EllipsenEn ellipse kalles den ovale (avlangrunde) linjensom kommer frem i ytterkanten av en kjegleog en cylinder når vi gjør et skrått snitt gjennomdem. En midtlinje langsetter ellipsen heterden store aksen og en midtlinje loddrett på denheter den lille aksen. Brennpunktene heter topunkter i den store aksen som ligger like langtfra skjæringspunktet mellom aksene.a) Optegning av en ellipse. 1) Når du skaltegne en ellipse, drar du først to linjer som skjærerhinannen i rett vinkel paa midten. 2) Settav fra skjæringspunktet lengden og breddenav ellipsen med en halvpart til hver side. 3) Tahalvparten av den store aksen i passeren, settpasserspissen i et av endepunktene til den lilleaksen, gjør to stikk i den store aksen, og da har4/2006 tangenten

du begge brennpunktene. 4) Slå en tynn rundstift godt fast i brennpunktene og også en i detene av endepunktene i den store aksen. 5) Binden tynn, sterk tråd som ikke lar sig tøie, om denmellemste stiften, før tråden om den nærmestestiften og videre til stiften i det andre brennpunktet,stram godt til og bind den fast der (setegn. nr. 50). 6) Ta bort stiften i endepunktet avaksen, sett en finspisset blyant der og før blyantenmed jevn stramming av tråden bort til detandre endepunktet. Du har da dradd op halvpartenav ellipsen, og den andre halvparten gjørdu på samme vis. Da det er vanskeligere her ennellers å få rissene loddrett over hinannen, børdu ikke tegne ellipsen på begge sidene. 7) Skalen ellipse tegnes til en blomsterseng, sier det sigselv at vi istedenfor stiftene bruker kjepper.Ellipsen har flere merkelige egenskaper. Flyttervi således brennpunktene etter hvert ut motendene av aksen, blir den smalere og smalere tilden til slutt ender som en rett linje, og flytter videm på samme vis innover mot skjeringspunktetav aksene, blir bredden større og større tilden ender som en cirkel. Jordens og de andreplanetenes baner er ellipser. Ovalen ligner ellipsen,men den har ikke en så fin form. Alle ellipserer ovaler, men en oval er ikke en ellipse.b) En annen måte. 1) Dra op to linjer somskjærer hinannen loddrett på midten. 2) Sett avfra skjæringspunktet endepunktene av aksenei ellipsen. 3) Ta en papirstrimmel og sett av topunkter ytterst i kanten så langt fra hinannensom halvparten av den store aksen og merk demmed a og b. Sett så av mellem a og b et nyttpunkt i en avstand fra a lik halvparten av denlille aksen. Dette punkt merker du med c. Altmå gjøres nøiaktig. Disse punktene skal vi nubruke. 4) Legg strimmelen slik på aksene forellipsen at b faller nøiaktig ensteds i den lilleaksen eller dens forlengelse og c nøiaktig i denstore aksen og sett et punkt ved a. Dette punktetligger da i ellipsen. Av slike punkter kan vi setteop så mange vi vil; de ligger alle i ellipsen nåralle målene vi har på strimmelen er nøiaktig.Tegn ellipsen med de punktene som trengs tilstøtte. Det er lettere og sikrere enn på den andremåten når den er svært smal.”Arbeidsbok for gutter””Alle gutter har en ubendig trang til å skape– å lage noe selv. […] Det kribler i fingrene,og fantasien kan mang en gang nesten løpeløpsk når opvakte gutter planlegger modellerog studerer arbeidstegninger. […] Skaper-tangenten 4/2006 47

trang og livsglede kan vel ikke få noe bedreavløp enn i guttenes lek med verktøy ogredskap. Hånd og øye øves, og tenkeevnenskjerpes. Natur og teknikk blir interessantog levende.”Sittatet er frå forordet til ”Arbeidsbok forgutter”, 1942 [2]. Dette er ei rein”hobbybok”med gode idear og inspirasjon som motivasjon.Det er lagt vekt på å bruke verktøy og materialersom ”bør finnes i hvert hjem”, og dersom einmå kjøpe skal det ikkje koste for mykje.Denne boka er også prega av arbeidsteikningarog gode råd, men forfattaren vil også oppfordregutane til å tenkje sjølv:”Vær ikke altfor bundet av tegningene ogtekstene. Det lønner seg nok å lese tekstengrundig først, for det står mange gode rådder som det er bra å være oppmerksom påunder byggingen, men det er ikke sikkert atalle har det verktøyet eller de materialeneforfatteren brukte. Det er alltid en annenmåte å lage tingen på. Vær praktisk og arbeidselvstendig!”Dette som eit motstykke til ”Sløidlære …”. Kvarstår vi i dag?Kjelder[1] Kjennerud og Løvdahl: Sløidlære for skole oghjem. 3 hefter. Forlag og årstal ikkje oppgitt.[2] Rønningen, Odd (1942): Arbeidsbok forgutter, Ernst G. Mortensens Forlag, OsloFolungen løper lettLillegutt setter stor pris på en pen hest, ogekstra gildt er det nok når den kan galoppere.Fig. 1 og 2 viser hvordan du monterer hjulene.Lag dem nøyaktig sirkelrunde, men bøy ikke tilakselen før du har hesten ferdig.Hesten lager du av ca. 1 cm tykk treplate.Forstørr mønsteret ved hjelp av et rutenett med18 mm ruter! Sag delene ut med lauvsag.Mal hesten pent – gjerne med friske farger.484/2006 tangenten

Glimt fra klasserommet:Anne Grethe Aven”Kan jeg få ta en prøve, lærer?”Valgfrie prøver − en tankeHvis jeg hadde 500 000 kr til å investere for, villejeg selvfølgelig satse der jeg mener jeg får mestavkastning. Det å satse for å få mest mulig igjenfor innsats og investering er en helt grunnleggendetanke som gjelder i alle sammenhenger.Også ungdommer tenker slik.Hva har så en ungdom å investere med iskolen?– tid– innsatsHva får en ungdom igjen for sin innsats?– kunnskap (kompetanse i Kunnskapsløftet!)– karaktererSannhet: En elev vil ha mest mulig avkastningfor sin tidsbruk og sin innsats på skolen.SakJeg har i fire år praktisert å la elevene mine selvvelge sine prøver. De velger fag, tema, tidspunktog antall prøver. Mange elever har hørt om systemetfør de begynner på vår skole.Anne Grethe Aven,Bergeland videregående skoleavan6200@bergeland.vgs.noGjennomføringJeg har 60 elever som jeg praktiserer denneordningen med. De skriver seg på en liste somvist i tabellen under. De må selv skrive seg opp,og de velger tema helt uavhengig av medelever.Dermed har de bestilt en prøve, og bestillingenoppfattes av meg som lærer som en kontraktsom ikke skal brytes. Ved min skole er det prøvetidhver onsdag i et fast rom, kl. 14, i to skoletimer.Rundt 20 elever stiller hver gang.Navn Fag TemaEven naturfag MiljøSnorre naturfag Organisk kjemiErlend matematikk VektorerIda matematikk AlgebraEirik matematkk TrigonometriElevene må bestille innen fredag uken førprøven skal gjennomføres. Å hvilken deiligfølelse: Elevene kommer og spør meg fint omde kan ta en prøve! De får alltid ja, og de blir såglade, hver gang. Det er noe med at de bestemmerdette selv. Å ta en prøve blir en positiv opplevelse.Prøvetiden er fast og nærmest hellig.Hvis jeg er borte, så stiller en vikar. Ukene påskolen kan være skiftende, med omlegging avtimeplan, turer, prosjekter m.m. Fordi detteopplegget avhenger av at elevene selv tar initiativog at de er i forskjellige grupper/klasser, såtangenten 4/2006 49

er det viktig at tid og sted er stabilt. De bestillerprøve i ordinære timer, ved å stille på mittkontor eller ved å sende en e-post. I år har viprøvene etter skoletid, kl. 14. Tidligere har vibrukt noen av studietimene, det var også en godløsning.Hvorfor begynte jeg så med dette?Jeg burde nok hatt et pedagogisk-metodisk passendesvar, men det har jeg ikke. Jeg velger åvære ærlig: Jeg ble lurt en gang, og det likte jeglite. Jeg skulle ha prøve med mine elever, avtaltpå tradisjonelt vis. Så var det noen som haddeglemt at vi skulle ha prøve. De fikk de andreelevene med seg, og så stakk alle hjem. Jeg blesur. Jeg har ofte sagt at det er bedre at ting gårriktig ille enn bare litt ille, for da gjør man noemed det. Så skjedde.Jeg hadde noen år tidligere hørt et foredragav Are Kjellså, lærer ved Bodø vgs. Han var (oger) veldig opptatt av at elevene skal oppleve ålykkes, f. eks ved å bli vurdert for det som demestrer. De tanker han delte i sitt foredrag tokjeg tak i, utviklet, tilpasset, satte i system og fikkaksept for hos mine kollegaer og hos ledelsenved skolen.50Bruk av vurderingsresultateneInnen en bestemt dato, f. eks tre måneder frami tid så må alle ha avlagt prøver. Jeg krever totreprøver i hvert av mine fag per termin. I foreksempel matematikk må de velge to forskjelligetemaer, og i tillegg må alle stille på heldagsprøvensom kommer på slutten i hver termin.I naturfag må de ha tre prøver om høsten, ogto prøver om våren. I vårterminen må de ogsåha et foredrag. Noen elever velger å ta mangeprøver, mens andre tar noen få. Enkelte elevertar ikke ansvar og gjennomfører ikke de prøvenede skulle – da setter jeg opp dato og temafor dem. I slike tilfeller er det ingen bønn hvisde skal ha vurdering i faget. Dette blir forståttav elevene. Ikke alle elever klarer nemlig å tautfordringen å styre seg selv.Hvis en elev har tatt f. eks fem matematikkprøver,så lar jeg de to beste telle, forutsatt at deer fra to forskjellige temaer. På den måten blir detlov å feile. Dersom en elev mestrer mange tema,så vil det gi positivt utslag på heldagsprøven.Pedagogisk begrunnelseDet heter seg at vi lærere skal måle eleven for dethan eller hun kan, og ikke lete etter det elevenikke måtte kunne. Dette er et positivt elevsynetter min mening. Det er også meningsfullt formeg som lærer å sette fokus på det eleven kan.Min erfaring er at elevene liker at vi tenker slik.Det gir trygghet og er med på å styrke relasjonenlærer – elev.Mange skoler lager prøveplaner for en heltermin eller til og med for hele skoleåret - godegjennomtenkte planer der prøvene er fordelteover tid. Men slike planer kan etter min meningfungere godt for noen, men ikke for alle. I praksisforrykkes planene med sykdom, turdagereller andre hendelser som en ikke kan forutseved skolestart. Plutselig blir det fortetting avprøver. Det er også naturlig at elevene ikke alltidjobber etter samme lest. Tilpasset undervisninger et viktigere og viktigere tema i dagens skole.Soria-Moria ærklæringen har også økt trykketpå dette. Tilpasset undervisning gir økt lærelystsies det. Dersom elevene skal jobbe etter sitttempo, ja så må de også vurderes etter sitt egettempo.Jeg har to barn som de siste årene har gjennomførtvideregående skole, og jeg har observertet sterkt prøvepress. Mine barn var på jakt ettergode resultater, hver prøve var viktig og fremkalteofte stress. Systemet tillot i svært liten gradå feile. Det savnet jeg. Mer enn én gang passet detdårlig med prøve, eller så kolliderte prøvene. Daer det så uendelig mye bedre at elevene får medbestemmelseog selv kan ta initiativ. Da motivererde seg på en helt annen måte og de får kontrollog ansvar over sine egne vurderingssituasjoner.Dette kan støtte vårt ønske om at elevene skalta ansvar for egen læring, i samsvar med dengenerelle læreplanen.Opplegget er også mer rettferdig. Mange4/2006 tangenten

føler at det tradisjonelle opplegget slår ut noksåvilkårlig. Elevene er veldig opptatt av at evalueringenskal gi et riktig bilde av kompetansen, ogden nye ordningen oppleves bedre i så måte.Hvor mye har vurdering med læring å gjøre?Jeg mener de har klare og sterke forbindelser.Vi legger opp undervisningen til den måteneksamen praktiseres på slik at elevene våre erbest mulig forberedt. Slik bør det også væreunderveis i skoleåret. Det kan bidra til å motivereelevene i det daglige. Altfor mange eleverfinner skoledagen sin lite meningsfull.Ideer litt på siden…Det finnes åpenbart gode måter å praktiserevurdering på som ennå ikke er tatt i brukeller tenkt på. Jeg fristes til å sette fram noentanker.Hva med å la elevene sende inn oppgavertil prøvene? Jeg har gode erfaringer med dette.Kravet er at elevene må levere oppgave medfasit i god tid, gjerne via e-post. Allerede her,ved utvelgelse av stoff og tillaging av spørsmålog svar, er læring skjedd - kun én deloppgaveper elev. Og hva opplevde jeg før prøven? Jo,elevene utvekslet oppgaver, de diskuterte fag ifriminuttet og de kommuniserte. Det kaller jeggode lærings- og utviklingsvilkår.Hva med å la elever én gang i løpet av åretta en liten prøve sammen med en medelev? Dautvikler de strategi. Det taktiske kommer fram:Alt fra å velge kompanjong, hva og hvordan deforbereder seg, til hvordan de gjennomførerprøven. Å gjennomføre vurderingssituasjonersammen med medelever blir praktisert i mangefag, til og med på masternivå på universitetene.Men i matematikk på videregående skole så serdet ut for at vurderingene forblir stort sett somfør.(fortsatt fra side 32)Arbeidsfordelingene på gruppa var veldigbra, vi er jo så heldige at vi har noen som virkeligkan bygge Lego, og noen som er gode tildata. Vi bygde og programmerte for å teste deforskjellige tingene, og til slutt endte vi meden halvferdig doning som slår alle andre sin.Det var bare en gang en ble sittende arbeidsledig,men det fikset vi fort!”Under arbeidsperioden vokser vi ut av klasserommetvi jobber i. Korridorer tas i bruk forutprøving av roboter, og små uformelle konkurranserutkjempes med både smil og latter.Det viktige etterarbeidetEn sak er å bygge, programmere og innhentedata. En annen sak er å bruk disse dataene iberegninger. Også i denne fasen er det vesentligå sette av tid til at elevene får arbeidet meddette på skolen i samarbeid med hverandre, ogunder veiledning fra lærer. Begrepene fra fysikkenog de matematiske modellene blir tydeligerefor elevene når de nå kan ta utgangspunkt i noede har laget selv og erfart hvordan oppfører seg.Fremdeles bør det også være mulig å gå tilbakeog etterprøve resultater og innhente nye datadersom det blir behov for det.DrømAt vurderingsituasjonene kan bli dreid fra ”testedeg” til ”vis hva du kan”. Det vil være et viktigbidrag til å gi elevene mer avkastning for sintidsbruk og sin innsats på skolen.tangenten 4/2006 51

Gunnar NordbergMatematikklæreren –motivator og forbilde eller…?I diskusjonen omkring matematikkfaget må vivåge å se litt på oss selv som representanter forfaget. Det er mange som knytter sine meninger,holdninger og opplevelser av matematikk til eneller flere matematikklærere de har hatt.Jeg har en ide om at det er en sammenhengmellom hvordan jeg selv betrakter meg sommatematikklærer og hvordan mine elever ogstudenter ser på meg som matematikklærer, jaat det er en sammenheng mellom mitt syn pådet å være matematikklærer og hvordan jeg selvunderviser i faget.I denne artikkelen vil jeg utfordre leseren tilnoe egenrefleksjon, trekke fram lærerstudenterserfaringer fra egen skolegang, se på faktorer somer med på å forme oss selv som matematikklærereog til slutt se på hva lærere selv svarer påspørsmålet ”hvordan jeg kan bli en bedre matematikklærer?”Først noen spørsmål som vi kan reflektereover.• Hvorfor er jeg egentlig matematikklærer– er det ikke mye annet å bruke livet til?• Hvorfor liker jeg matematikk – eller harutviklet meg til å like det i dag?• Hva er det i eller ved matematikken somGunnar Nordberg, Høgskolen i Oslo,Avdeling for lærerutdanninggunnar.nordberg@hio.no52fascinerer, og er det faget i seg selv eller erdet dens store anvendelse?• Er det matematikk som vitenskap somfenger meg eller er det skolematematikken?• Hvorfor syns jeg det er viktig at barn ogungdom skal bli glad i matematikk, ellersyns jeg ikke det er så viktig?• Er matematikk et realfag eller kan vi ogsåkalle det et kulturfag?• Hvordan klarer jeg å motivere elever til ålære den ”unyttige” matematikken, denmatematikken der elevene oftest spør ”hvaskal jeg med dette da lærer?”• Ja hvorfor trenger alle yrkesgruppermatematikk – ikke bare vi som lever av åundervise i faget, og hvordan begrunnerjeg i tilfelle det?• Hva kjennetegner meg selv som matematikklæreri egne og andres øyne?• Hvilke forbilder har jeg som matematikklærer?• Hvilke tilbakemeldinger får jeg i forhold tilmin undervisning, og hvem er det som girmeg tilbakemeldinger jeg kan bruke i minegenutvikling?• Hva slags matematikklærer er jeg i dag iforhold til for noen år siden?Jeg regner med at de som leser denne artikkelenhar et mer bevisst forhold til jobben som matematikklærerenn mange andre. Jeg tror at dere4/2006 tangenten

epresenterer lærere som både kan inspirere deelevene som liker faget, og også de elevene somhar et negativt forhold til det.Hva med å bruke disse spørsmålene somutgangspunkt for en samtale mellom matematikklærerepå samme skole?Min egen ”matematikkhistorie”Det er etter min mening ganske interessantå høre om folks ulike opplevelser i forhold tilmatematikk. Ved oppstarten av studieåret forlærerstudenter har jeg de siste årene latt demskrive sin egen matematikkhistorie. Historienehar jeg summert opp og gitt tilbake til demuken etterpå. Det har deretter blitt brukt somdiskusjonsgrunnlag omkring deres framtidigerolle som matematikklærere. Spørsmålene harvært åpne og formulert slik:• Hva tenker jeg på når jeg hører ordet matematikk?• Hvilket forhold har jeg hatt og har til matematikken?Studentene gir ulike typer svar. Noen svar gårpå innholdet i faget, ”Jeg tenker veldig på åregne ut ting, gange, dele, brøker, logikk”, ”Jegtenker på tall, uttrykk, likninger, formler, geometriog regneartene”. ”Det er bare ett svar imatematikken, jeg liker bedre å tolke, vurdereog diskutere ting”.Andre svar går på følelser i forhold til faget,gjerne opplevelser fra egen skolegang., ”Denbeste følelsen er når det "løsner" og du begynnerå forstå ting”. ”Jeg har et anstrengt forholdtil matematikk takket være min lærer på barneskolen.Fikk høre at jeg sinket klassen”. ”Noejeg likte spesielt godt var da jeg fant ut av ulikeproblemstillinger og fikk en såkalt "aha-opplevelse".Jeg har lagt merke til i slike studentsvar erdet mange som knytter både positive og negativeutsagn til selve matematikklæreren, ”Jeghar stort sett et godt forhold til matematikk– har hatt dyktige lærere”. ”Jeg var ikke glad imatematikk fordi lærerne jeg hadde kalte elevene”dumme” hvis de ikke klarte noe. ”Bådemine og lærernes forventninger til meg i faget,var negative. På ungdomsskolen gikk det oppet lys for meg”.Læreren er en sentral person når vi spørom elevers og studenters holdning til faget.Jeg har erfart at både den positive og negativematematikklæreren underviser på barnetrinn,ungdomstrinn og videregående skole. Vedkommendeer både gammel og ung, mann ogkvinne.Hva former oss som matematikklærere?Det er ikke lett å si. De fleste av oss vil antageligog forhåpentligvis være en annen matematikklæreri dag enn for en del år tilbake. Vi bliralle påvirket av ulike miljøer. Mange lærere jegmøter har sagt at de har blitt inspirert av arbeidettil LAMIS, og da spesielt i forbindelse medmatematikkens dag. Noen har også blitt inspirertav at sine elever lykkes med matematikken,og føler at de selv kan ha noe av æren for det.Andre ganger kan en enkelt oppgave, enenkelt situasjon eller et opplevd didaktiskdilemma, gjøre et slikt inntrykk at det vil pregeoss som lærere for resten av livet. Jeg vil trekkefram to eksempler fra hver av kategoriene somjeg mener har hatt innvirkning på min egenrolle som matematikklærer. Jeg velger disseeksemplene fordi de antagelig vil si noe utoverakkurat det konkrete som jeg beskriver.To oppgaveraA Regn uta+ - 1+ 2. (Hentet fra2 2 a+2eksamen på ungdomstrinnet på 90-tallet)På et kurs for sensorer kom det til en diskusjonfordi en lærer hadde fått inn et elevsvar dereleven helt enkelt skrev:aa+ + 2a+ - 12 2 2 = 1- 1 2= 12Deretter fulgte en diskusjon om denne elevenburde få poeng på oppgaven siden han ikkehadde vist den standardiserte algoritmen ellertangenten 4/2006 53

utregningsmåten. For meg var dette et eksempelpå en elev som kunne løsrive seg fra enbestemt fremgangsmåte i en situasjon der vikunne bruke en langt enklere strategi. Å se atsummen av to av brøkene er lik 1 viser en megetgod matematisk teft. Jeg foreslo at eleven burdefå tre av to mulige poeng.Denne oppgaven var antagelig ikke lagetbevisst for at dette skulle være mulig – menkanskje bør vi i langt større grad arbeide medå bruke oppgaver der elevene kan få bruke sinekreative evner på en bedre måte.B Hva blir 37 · 43?For noen av dere er dette en hoderegningsoppgave,men for de fleste vil dette være en oppgaveder vi velger å bruke lommeregner eller papirog blyant. Dette er etter min mening et godteksempel på en oppgave der vi kan bruke konjugatsetningentil noe som jeg selv syns bådeer meningsfylt og inspirerende. Vi ser at detteer det samme som (40 − 3) · (40 + 3), slik at vifår 1591.Hvilken glede har ikke mange elever av åkunne regne ganske kompliserte regnestykkeri hodet? Hvordan drive systematisk opplæring ihoderegning på alle trinn i skolen? Og hva medkravet om føring av oppgaver – står dette kravetnoen gang i veien for at vi kan dyktiggjøre elevenei hoderegning?To situasjonerA Den flinke matematikklæreren.En av mine elever ved voksenopplæringen formange år tilbake kom med følgende utsagn nårvi snakket om det å undervise i matematikk:”Jeg hadde en kjempeflink matematikklærerpå ungdomsskolen en gang” og etter litt nølingfortsatte hun setningen ”Men, jeg forstod ingentingav hva han snakket om” [2]. Hun pekte derpå et avgjørende skille, skille mellom det å væreen god matematikkpedagog eller en som selv erflink i faget. Vi er vel alle enige om at det erviktig å være dyktig i et fag som vi skal undervisei, men vi vet også at dette langt fra er en54tilstrekkelig forutsetning.Hvordan kan vi som lærere sette oss inn ielevenes situasjon når disse virkelig sliter medå forstå noe som vi selv syns er enkelt?Dette er kanskje en av vår største pedagogiskeutfordringer.B Matematikk i skolen – matematikk i livet.Tom hadde gjennom hele ungdomsskolen fått 1på alle matematikkprøvene sine. På påskeprøveni avgangsklassen slo han til med en solid 2. Nårvi gikk inn på besvarelsen så vi at her hadde hanscoret flere poeng på en og samme oppgave. Ogdet var ikke de på de enkle og ferdig oppstilteregnestykkene, de vi som lærere anser å være deletteste. Nakne tall ga ikke Tom noen mening.Derimot hadde han riktig alle regnestykkenesom handlet om mopedkjøring. Her var det enkontekst som interesserte, og da var verken tolkingav grafer, beregning av bensinforbruk ogutregning av bensinpris noe stort problem.Hva sier en slik situasjon om betydningenav kontekst i matematikkundervisningen? Jegpleier å si det slik at et eksempel i matematikkbokaofte er et eksempel på et eksempel – det ervår oppgave å finne eksempler som er mer tilpassetvåre egne elevers sitasjon, og ikke minstvil det være viktig at elevene lager sine egneeksempler for eksempel til bruk i sin regelbok.To didaktiske utfordringerA Hvordan forklare at 1 1 1+ = ?4 4 2Vi holder på i en 5. klasse og oppdager atmange elever legger sammen tellerne for segog nevnerne for seg når de skal trekke sammenbrøkerVi har flere metodiske valg som å• bruke noe konkret for eksempel to kvarteepler som vi setter sammen til et halvt eple.(en konkret modell)• tegne en rund pizza eller en firkantet kakesom vi deler inn i firedeler (halvkonkretmodell)• tegne abstrakte figurer der vi skraverer en4/2006 tangenten

firedel på en måte og en firedel på en annenmåte (halvabstrakt modell)• bruke tallinja og dele den inn med firedeler mellom hver hel (halvabstraktmodell)• presentere regelen som sier at vi skal adderetellerne og beholde nevnerne (abstraktmodell)Legg merke til forskjellen på et kvart eple og etkvart lakrissnøre. Et kvart eple vil ”se ut” somen kvart selv om vi ikke ser helheten, Deler vi etlakrissnøre i fire like deler og viser fram den enedelen vil denne se ut som ett lakrissnøre.Legg også merke til den visuelle forskjellenpå om du deler en figur i fire like deler og skravereren firedel to ganger på denne og om duskraverer en firedel på to like figurer som ogsåer delt i fire like deler. I begge tilfeller benyttervi oss av bilder. Det første bildet gir en tydelighjelp, mens det andre gir grobunn for misoppfatninger.Dette vil du oppdage hvis du tegner.Poenget er ikke at vi skal gå like grundig ogkonkret til verks bestandig, men at vi må bevisstarbeide med overgangen fra det konkrete til detabstrakte langt oppover i klassene, og at bruk avtegning vil for mange representere en mulighetfor å forstå matematikken.For mer lesing om ”fra konkret til abstraktmatematikkunnskap” anbefaler jeg MaritHolms bok Opplæring i matematikk [1].B Hvordan kan vi starte opp arbeidet med likningermed to ukjente i en 10. klasse ?Vi kan starte med å reflektere over• hva vi selv mener om de tre ulike metodene,addisjon, innsetting og grafisk,foretrekker vi selv en metode framfor enannen?• hvordan har vi arbeidet med å løse likningermed en ukjent i denne klassen• behersker klassen å tegne grafer til enklefunksjonsuttrykk?• bør vi presentere ulike metoder parallelteller skal vi ta en om gangen for ikke å”forvirre” elevene• hvilken metode passer best til ulike oppgavetyper,eller ulike presentasjoner avlikningssettene?Jeg kunne gjerne argumentert for hvordan jegselv liker å angripe dette punktet, men skal ladet være i denne omgang. Poenget er at vi stadigstår overfor slike valg som faktisk kan ha betydningfor våre elevers forståelse av matematikk.Det er både lett og vanskeligå undervise i matematikkPå flere kurs for matematikklærere har jeg stiltto enkle spørsmål. Jeg har spurt den ene halvpartenom hvorfor det er lett å undervise i matematikk,og den andre halvparten om hvorfor deter vanskelig. Dette har jeg blant annet oppsummerti en artikkel i Tangenten ([3]). Det som ermest interessant med svarene er at de sier myeom hvordan vi selv ser på undervisning. Noenav svarene om at det er lett fokuserer mest på atfaget er lett for oss selv, at det er rette eller galesvar, at det er strukturert osv. Andre sier det erlett fordi vi selv har oversikt over faget, eleveneer motiverte og at faget har status. Noen av desom mener det er vanskelig, fokuserer på faktorersom ligger utenfor dem selv. Manglendeforkunnskaper, negative innstillinger, for stortpensum, lite motiverte elever osv. Andre trekkerfram momenter som at det er vanskelig åfå elevene til å tenke matematikk, differensieringener krevende og det er en stor utfordring iå få elevene til å yte optimalt.Det viktige for oss som matematikklærere erå skille mellom faktorer som vi selv kan gjørenoe med og faktorer som ligger utenfor vår egeninnflytelse. Elevenes forkunnskaper kan vi ikkegjøre noe med i den klassen som vi har ansvarfor. Men når det gjelder elevenes motivasjon kanvi som lærere absolutt påvirke denne.Hvordan kan jeg blien bedre matematikklærer?På et matematikkverksted på LAMIS’ som-tangenten 4/2006 55

merkurs i 2005 stilte jeg dette spørsmålet ogba deltakerne tenke i to minutter samt noterened noen setninger. Deretter satt de i grupperog diskuterte. Hver gruppe presenterte deretternoen punkter for resten av deltakerne.Svarene var konsentrert omkring punktersom det var realistisk at den enkelte lærer ellerskole selv kunne gjøre noe med. Nettopp derforkan de ha verdi for andre.Lærerne peker på metodiske aspekter som”Mer aktivitet i undervisningen – gjerne flereinnfallsvinkler til samme tema”. ”Å knytte aktiviteterog utforsking til teorien gjennom samtalerog refleksjon”. ”Differensiere gjennom lek,konkretiseringer og samtaler”. ”Ha mer individuelltilrettelegging” ”Mer samtale og diskusjon– hva er de gode spørsmålene?”Noen pekte på holdningsmessige aspektersom i stor grad handler om å øke sitt bevissthetsnivåog sitt mot i forhold til undervisningen.”Å vise entusiasme i større grad”. ”Våge å talitt sjanser i undervisningen”. ”Bli mer frigjortfra læreboka” ”Fokusere på elevene som ressursfor seg selv og andre”. ”Få elevene mindre resultatorientertog mer opptatt av prosess og brukav matematikk”. Et viktig punkt for mange varet sterkt ønske om at flere barn skal lykkes medmatematikken i skolen.Vi ser også at mange ønsker en dreiningfra at matematikk skal være et passivt og stortsett skriftlig fag der elevene regner ferdig gitteoppgaver, til et fag hvor kommunikasjon og detmuntlige aspektet er styrket.Når vi nå har sett på punkter som beskriverhvordan vi kan bli bedre matematikklærere, erdet viktig å få fram at vi må gjøre ulike ting,blant annet avhengig av hva vi kjenner somstyrke og svakhet med oss selv. Og jeg vil gjerneuttrykke et ønske om at vi tar sjansen på å prøveideer og metoder som vi er litt redde for. Gjennomå overvinne en viss redsel kommer vi ossvidere.Litteratur[1] Holm, Marit (2002). Opplæring i matematikk.Oslo: Cappelen akademisk.[2] Nordberg; Gunnar (2003). Matematikklæreren.Oslo: Gaidaros.[3] Nordberg, Gunnar ( 2001). ”Er det lett ellervanskelig å undervise i matematikk?” Tangenten2/2001. Bergen.Ekstremværoppgave (se fotografi side 19)I høst var mange skoleklasser og enkeltelever med på den såkalte ekstremværuken. Målsetningenvar å måle nedbør mange, mange steder i Norge for å finne ut mer om lokale forskjeller inedbørsmønsteret og for å engasjere barn og unge i målinger som har med vær og klima å gjøre.Mange steder ble nedbørsmålere delt ut som så ut som på fotografiet side 19.Oppmerksomme elever kom og spurte om skalaen på utstyret kunne være korrekt. Vi harlagt en vanlig linjal ved siden av nedbørsmåleren og det ser absolutt ut som om skalaen oglinjalen ikke viser det samme.Kan du forklare hvordan dette henger sammen? Her får du noen mål som kan være viktigei dine beregninger.Utstyrets diameter (nede): 40 mmUtstyrets diameter (oppe): 73 mmUtstyrets høyde: 186 mmTykkelsen på veggen: 1 mmLykke til!564/2006 tangenten

Tone Bulien, Trond LekangToMat – et samarbeidsprosjekti kunnskapsløftetToMat står for ”Tilpasset opplæring i matematikk”og er et samarbeidsprosjekt mellomBodø Kommune og Høgskolen i Bodø knyttettil kunnskapsløftet. Prosjektet skal gå over treår, 2005–2008, og skal være kompetansegivendefor deltakerne.Artikkelen forteller litt om hvordan vi organisertearbeidet og om våre erfaringer somlærer og som deltaker. Bildet viser resultatet frasmåskolelærernes arbeid med geometri og tredimensjonalefigurer i et samarbeid med Kunstog Håndverk-lærer Mia Jensen på Høgskolen iBodø.Når dette bladet kommer ut, er vi inne iandre året. Det har vært noen organisatoriskeendringer siden artikkelen ble skrevet, så i dager det bare dem som ønsker å formalisere (taeksamen) som deltar. Det vil si at gruppene eromtrent halvert, men antall forelesninger erbeholdt slik vi beskriver.Artikkelen har kanskje mest lokal interesse,så i samarbeid med Tangenten har vi blittenige om å gi en kort presentasjon her, og såkan de som er interessert lese hele artikkelen påwww.caspar.no/tangenten/2006/tomat.docTone Bulien, Høgskolen i Bodøtone.bulien@hibo.noTrond Lekang, Tverlandet skoletrond.lekang@bodo.kommune.noEn matematisk portal laget av deltakerne på LilleToMatKort oppsummert har vi erfart:På StoreToMat har arbeidet med mappeteksteneført til et økt samarbeid mellom matematikklærernepå hver enkelt skole. Denne endringenble til i løpet av året.På LilleToMat ble det i vårsemesteret innførten arbeidsperiode med loggskriving og diskusjonpå slutten av hver samling, først i gruppeog så i plenum. Dette har gitt gode resultater iforhold til nettverket og erfaringsdeling mellomlærerne fra de ulike skolene.Forfatterne av denne artikkelen er enige omat samarbeidsprosjektet har tilført begge parterny og viktig kunnskap, både faglig og i forholdtil hverandres arbeidsområder.tangenten 4/2006 57

Otto Øgrim, Svenn Lilledal AndersenEksperimentbokaKOLOFON FORLAGISBN 82-300-0150-2150 siderBoken inneholder 191 forsøk. Det er beskrivelseav utførelse med fargebilder samt forklaringpå det man observerer. Den utstrakte bruk avfargebilder gir en tiltalende layout. Av emnersom behandles er tyngdepunkt, en masses treghet,krefter, overflatehinne, optiske illusjoner,strømning av luft, elektrisitet og magnetisme.Forsøkene vil ofte gi resultater som er overraskende,men logiske når man leser forklaringene.Nå vil neppe elever på de yngste trinn i grunnskolenkunne forstå disse forklaringene. Jeg vilimidlertid anslå at man fra fjerde trinn og oppovermed fordel kan bruke disse forsøkene for åskape undring og interesse for fysikk. Interessenskapes ved de gode og konsise forklaringen somforklarer fenomenene ut fra fysiske lovmessigheter.Det eneste sted jeg kanskje kunnet ønsketen grundigere forklaring er ved forsøkene medluft og fart. Forklaringene her bygger på at trykketfra luften avtar når hastigheten til luftenøker, men det kunne vært greit å gå litt dypereog forklare denne reglen ut fra partikkelbildetav gasser.58Forsøkene krever sort sett lite utstyr. I defleste tilfelle kan en lage utstyret selv. Med tankepå utstyrssituasjonen i grunnskolen er dettepositivt. Har læreren vilje til å sette seg inn iog gjøre forsøkene, vil skolens eventuelt dårligeøkonomi ikke være noe hinder da utgiftenetil forsøkene i de fleste tilfeller vil være små.Bøygen vil heller være lærerens faglige trygghetog interesse. Dersom læreren ikke forstårforklaringene og føler at han kan forklare fenomenenefor elevene, vil han neppe utføre forsøkene.Etter min vurdering kreves det en godkompetanse hos læreren for å få med seg alleforklaringene.Forsøkene egner seg godt til demonstasjonsforsøkog elevøvinger. I de senere år har ogsåteknologi og design kommet inn som et elementi skolen. I denne sammenheng tror jeg ikke forsøkeneegner seg så godt da man må følge enbestemt oppskift for å få forsøkene til å virke. Iteknologi og design er det meningen at man stårfriere til å variere elementer for å nå et visst målfor eksempel når man lager en brokonstruksjon,kastemaskin eller bil. I den utstrekning eleveneblir bevisst fysiske prinsipper ved forsøkene iEksperimentboka, er det imidlertid mulig atman kan utnytte denne viten til kreative prosjekterinnen teknologi og design.Svein Hoff4/2006 tangenten

Christoph KirfelEksperiment med tyngdepunktfra ”Eksperimentboka”Otto Øgrim og Svenn Lilledal Andersen åpnerEksperimentboka (se anmeldelsen forrige side)med et eksperiment som går ut på å bestemmetyngdepunktet av en bokstabel. Tenk deg at dulegger en bok på kanten av en bordplate. Stikkerboka litt under halvveis ut vil den bli liggendeder. Skal vi plassere to bøker oppå hverandreved bordkanten holder det at den nederste stikkeren kvart boklengde ut forbi bordkantenmens den øverste stikker halvveis ut forbi dennederste.BordBok 11/2Bok 2Bok 1BordBok 31/61/41/2Lager vi en stabel med tre bøker vil den nederstekunne stikke en sjettedels boklengde ut forbibordkanten mens de øvrige stikker en kvartog en halv boklengde ut forbi sine respektiveunderlag slik som i forrige eksperimentet.Bok nBok 1BordBok 21/41/2Bok 2Bok 1Bordtyngdepunktfor n – 1 bøkerForklaring: Den øverste boken ikke vippe nedfra den nederste og tyngdepunktet av begge tilsammen som befinner seg tre kvart boklengderfra enden blir også støttet opp av bordkanten.Vi kan spørre hvor langt den øverste boka stikkerut når vi har en stabel med n bøker. Er detnoen grenser for hvor langt ut vi kan bygge bokbroen?Til dette tenker vi oss at stabelen medn – 1 bøker legges på den nederste boka somtangenten 4/2006 59

n – 1 1Vekt 1 Vekt n – 1Felles massesenter(tyngdepunkt)stikker litt ut forbi bordkanten. Tyngdepunktetfor denne stabelen legges da rett over kanten avden nederste boka slik at stabelen ikke vipperned fra denne. Den nederste boka sammen medstabelen oppå legges nå på bordkanten slik atdet samlede tyngdepunktet så vidt holder seginnenfor bordet.Vi kan nå se på de to tyngdepunktene der denene representerer en vekt på n – 1 bøker mensden andre en vekt på en bok. Den horisontaleavstanden mellom dem er en halv boklengdeslik at vi kan finne deres felles massesenter nårvi deler den halve boklengden på n.Dermed kan lengden den øverste boka stikkerut forbi bordkanten beskrives slik:1 1 1 1 1 1+ + + + + ... +2 4 6 8 10 2n1 Ê2 1 1 1 1 1ˆ= + + + + +ËÁ...2 3 4 ¯˜nRekken i parentesen spiller en viktig rolle imatematikken. Fortsetter vi den i det uendeligefår vi Den harmoniske rekken. Denne er etmønstereksempel på rekker som divergerer, dvs.vokser over alle grenser, det betyr at den bliruendelig stor når n vokser. Dette kan vi innsepå følgende måte:1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + +2 34 567 82>4>481 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + ...910 11 12 13 1415 168>16Her ser vi at vi ved å plukke en rekke påfølgendeledd fra følgen alltid kan få et bidrag på minst1/2 så mange ganger vi ønsker. Det betyr atrekken vokser over alle grenser og bokstabelenkan strekke seg så langt vi ønsker utover bordkanten.I alle fall i teorien.For å finne ut hvor langt ut den øversteboken i bunken stikker må vi anslå hvor storsummen1 1 1 1 1 1+ + + + + ... +2 4 6 8 10 2nomtrent er. Her kan vi benytte oss av integrasjonsmetodenog fårn+11 1 1 1 1 1 dx 1+ + + + + ... + ª = + 12 4 6 8 10 2Ú ln( n )n 2x2Flaten under kurven y = 1/( 2x) svarer omtrenttil summen vi er interessert i.1604/2006 tangenten

Nasjonalt senter formatematikk i opplæringenRealfagbygget A4, NTNU7491 TrondheimTelefon: +47 73 55 11 42Faks: +47 73 55 11 40merete.lysberg@matematikksenteret.noSpredningsmodellerMay Renate Settemsdal og Ingvill MereteStedøy-JohansenMatematikksenterets viktigste oppgave er åutvikle og spre gode arbeidsmåter og undervisningsoppleggtil alle nivåer i barnehage ogskole. Utviklingsdelen foregår ved senteret,i nært samarbeid med elever og lærere vedskoler i Trondheim og omegn. Dette har vietter hvert lang erfaring med, og senteretsansatte arbeider med kontinuerlig kvalitetssikringav slike opplegg. Det drives forskningog utviklingsarbeid ved senteret, der dette ersentralt.Når det gjelder spredning av våre opplegg,er vi fortsatt på leting etter gode modeller.Senterets ressurspersoner skal være aktørerfor spredning, men de må ha retningslinjer iforhold til hvordan spredning av gode undervisningsoppleggskal føre til varig endringav praksis i skolen. Vi bruker resultater frainternasjonal forskning for å legge rammenefor dette arbeidet. Det har ført til at enkeltståendekurs ikke lenger er noe vi vil brukeressurser på. Vi prøver ut spredningsmodelleri kommuner og fylker som er villig til å satsepå kvalitetsheving av matematikkundervisningenover lengre tid. En slik kommune erMeldal kommune i Sør-Trøndelag.MeldalsprosjektetMeldal Kommune har i forkant vært gjennomen nesten toårig motivasjonsfase i samarbeidmed Matematikksenteret. Lærere har deltattpå ulike kurs og de har vært med på demonstrasjonsundervisningpå egen skole, medMay Renate Settemsdal fra NSMO som kursholderog veileder. Denne fasen har vist seg åvære viktig av mange grunner. For det førstemå lærerne oppleve at det finnes alternativertil det vi kan kalle tradisjonell matematikkundervisning,som i stor grad er basert påinnøving av ferdigheter og selvstendig arbeidmed lærebøkene med veiledning av en lærer.For det andre må de se at det finnes alternativersom de opparbeider tillit til. De må seog oppleve hvordan matematikk kan gjøresspennende og utfordrende, samtidig som defår tro på at dette vil gi bedre læring enn dentradisjonelle tilnærmingen til faget.Matematikksenteret er tungt inne i et 2-årig prosjekt om matematikksatsing i Meldal,”Regn med Meldal”. Hensikten er å skapeen felles forståelse for at målet med skolensmatematikkundervisning er å utvikle eleveneshelhetlige matematiske kompetanse, atdet må skje med varierte arbeidsmåter og tilpassetopplæring, og at lærerne skal utvikleNasjonalt senter for matematikk i opplæringen 61

kompetanse til å endre sin egen praksis i trådmed dette.For at lærerne skal bli trygge i en slikundervisningssituasjon og klare å gjøre lærestoffettil sitt eget kreves en langsiktig satsing.Å endre sin egen undervisningspraksis krevervilje, forståelse og grundig arbeid over tid.Denne prosessen er lærere i Meldal inne i nå,og de ønsker å innarbeide en undervisningsformder elevene er aktive og utforskende, ogstår i sentrum for egen læring. For å få til dettemå det settes av tid til didaktisk refleksjon, ogikke minst så må et slikt arbeid være forankreti kommunens og skolens ledelse. I tillegg erinformasjon til, og engasjement fra foreldrenesside, en viktig og nødvendig forutsetningfor å lykkes.Familiematematikk i MeldalsprosjektetLærerne i Meldal ønsker å endre matematikkundervisningen.Elevene vil oppleve nye,annerledes og varierte arbeidsmåter. Lærebokablir en av mange kilder, og læreboka kan blilagt til side i perioder. I denne prosessen er detviktig å informere og engasjere foreldrene slikat de er orienterte om hva som foregår i skolenog kan støtte barna på beste måte. Derfor villærerne i Meldal også kjøre Familiematematikketter modell fra pilotprosjektet ved Matematikksenteret.May og Ingvill gjennomførtekurs for foreldre og lærere våren -06 ved enbarneskole i Trondheim. Evaluering og erfaringerfra prosjektet skal videreføres i Meldal.Dette vil være et ledd i vår utprøving av spredningsmodeller.Det er satt ned to prosjektgrupper beståendeav lærere i kommunen. Lærerne fra prosjektgruppenehar deltatt på kurs i familiematematikkved senteret, og flere av dem var tilstede på noen av kursene i pilotprosjektet. Iløpet av våren 2007 skal det gjennomføres foreldrekursi matematikk og matematikkdidaktikkved alle skolene i kommunen. Målet er atforeldrene skal bli i stand til å oppmuntre ogstimulere sine egne barns lyst til å lære matematikk.Foreldrene skal ikkeoverta lærerens rolle, men fåinnsikt, kunnskaper og interessefor å engasjere seg i barnaslæringsarbeid. Denne delen avMeldalsprosjektet vil gi oss erfaringer som kanbrukes til spredning av andre prosjekter somblir gjennomført ved senteret. (Vi arbeiderblant annet med Matematikk i barnehagen,Matematikk og teknologi, Uteskolematematikkog Matematikklubber).Kommunikasjonskompetanse oggrunnleggende ferdigheterVi tolker kompetansemålene i læreplanen sombestående av essensielt tre komponenter: Ferdigheter,forståelse og anvendelse. Alle målenei læreplanen skal leses med henblikk på dissekomponentene. For å kunne oppnå matematikkompetansei denne betydningen, måelevene få et mangfold av erfaringer gjennommatematikkopplæringen. Læreplanen skal iutgangspunktet ikke si noe om arbeidsmåter,og dermed ikke gi noen føringer i forhold tilhvordan elevene skal skaffes slike erfaringer.Men hvis vi leser beskrivelsene av de grunnleggendeferdighetene slik de er presentert formatematikkfaget, vil vi allikevel få god hjelp.Gjennom de tre grunnleggende ferdighetenebetegnet som ferdigheter i lesing, skriving ogmuntlig, vil elevene få utviklet sin kommunikasjonskompetanse.Sammen med lærere og elever i ulike prosjekterhar vi testet ut en oppgavemodell somgir trening og erfaring med nettopp dette. Deter en type samarbeidsoppgave som samtidigkan brukes på alle fagtemaer i læreplanene,og på alle nivå i skolen. Vi gir et eksempelnedenfor, og henviser til flere eksempler påMatematikksenterets nettsted.EksempelSamarbeidsoppgave om geometriske formerog begreper, kommunikasjon og logisk resonnement.Fra: Get it together - Math problems62Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

for groups. Grades 4 – 12 TimErickson, Equals, LawrenceHall of Science. Berkeley, CaliforniaISBN 0-912511-53-2Gruppestørrelse: 3–5 personer(4 er ideelt)Utstyr: HobbypinnerGruppa skal fram til en geometrisk figurlaget av små pinner. Når de har laget figurenskal den skisseres på et svarark.De får utdelt pinner og seks lapper medopplysninger om figuren. Lappene ligger i rekkefølgefra A til F med baksiden opp. Gruppemedlemmeneleser en lapp hver. Førstemanntrekker og leser sin lapp mens de andre hørerpå. Lappen kan leses om igjen, men de andrepå gruppa skal ikke se, bare høre. Det er muligå finne fram til figuren med de første fire lappene.Når førstemann har lest sin lapp, gruppahar diskutert hva det betyr og gjort det de kangjøre, leser andremann lapp nummer to. Hvisdet er behov, leser førstemann sin lapp på nyttigjen. Slik fortsetter det til fire lapper er lest,og gruppa har prøvd å løse oppgaven ut fraopplysningene på alle fire lappene.Hvis gruppa ikke er sikker, og trenger flereopplysninger, kan de lese en eller to ekstralapper. Hvis de mener de har funnet figurenetter fire lapper, sjekker de på nytt at opplysningenepå de fire lappene stemmer. Deretterleses de to siste lappene som kontroll.Når gruppa har løst oppgaven, skal de lageen liknende oppgave selv. Den skal de byttemed en annen gruppe. Når gruppene har løsthverandres oppgaver, må ”lagene” godkjennehverandres løsninger.Vi oppfordrer leserne til å prøve ut denneog liknende oppgaver med klassene sine. Detvil garantert føre til matematiske diskusjoner,øving på grunnleggende ferdigheter og utviklingav kompetanse.AFiguren bestårav 11 pinner.Pinnene skal ikkebrekkes og ingenav dem ligger oppåhverandre.CAlle trekantene erlikesidete, menfemkanten erikke likesidet. Allepinnene er likelange.EHver trekant delerpinner med toandre trekanterBIngen pinner erutenfor femkanten.DDet er fire trekanteri figuren.FEn av trekanteneer større enn de treandre.Ekstrem forvandling!Gerd Åsta BonesPå vegne av Kjersti Wæge, Anne GunnSvorkmo og Gerd Åsta Bones ved MatematikksenteretUtvikling av matematikkrom ved Lade skolei Trondheim – Et samarbeidsprosjekt mellomskole, hjem og Matematikksenteret.Lade skole er en 1–10-skole med ca. 500elever.Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 63

Et foreldre-initiativ har bidratt til at Ladeskole i Trondheim i dag har sitt eget innbydende,fleksibelt og velutstyrte matematikkrom.Elever og lærere gleder seg til å ta det nyerommet i bruk og venter med iver på at alt skalbli klart til åpningsdagen!Både foreldre, lærere og elever ved skolenhar bidratt til at rommet nå står ferdig – knaptet år etter at det hele startet. En høytideligmarkering av begivenheten, med snorklippingog alt som hører til, er planlagt alleredei neste måned.Starten på prosjektetForeldre ved skolen ønsket å bidra til at eleveneskulle få en mer elevaktiv matematikk-undervisning.På deres initiativ ble det bestemt at etav tiltakene skulle være å innrede et matematikkrom.Skolen har tidligere deltatt i et satsingsprosjekti matematikk for Trondheimsskolene. Deville gjerne fortsette denne satsingen og økekompetansen både blant lærere og elever.Tiltaket med et eget matematikkrom blegodt mottatt og raskt integrert i deres planer.Et egnet rom, nokså nedslitt, ble valgt utog satt av.Matematikksenteret har overordnet ansvarfor den faglige delen.Matematikksenteret ble forespurt om å ta detoverordnede ansvaret for den faglige delen avprosjektet. Vi så på dette som et viktig utviklingsprosjektfor senteret og 3 ansatte fra senteretble satt på prosjektet. Ved å delta i heleprosessen med å utvikle et matematikkrom,kunne vi skaffe oss erfaringer som vi kunnesystematisere og spre i etterkant.Vi bestemte oss for at vi sammen med Ladeskole ville utvikle det ”ideelle matematikkrommet”med en visjon om at”Matematikkrommet vedskolen skalvære kjernen i allundervisning i faget”Matematikkrommet skal pregeall matematikkundervisning som foregår påskolen, også utenfor selve rommet. Matematikkrommetskal være et levende, aktivt ogdynamisk rom, samtidig som det er et fleksibelt,funksjonelt og brukervennlig rom.Rommet skal ha plass for utstilling som erlett å skifte ut. Digitalt verktøy som pc’er ogprogramvare i matematikk er nødvendig i tilknytningtil rommet.Ei kjernegruppe bestående av foreldre,lærere og representanter fra matematikksenteretble etablert. Forankring hos alle påskolen er en viktig forutsetning for å nå visjonen.Gjennom å fokusere på at lærere og eleverskulle utvikle et eierforhold til matematikkrommet,opplever vi nå at alle er delaktige,også de lærerne som ikke underviser i matematikk.Matematikksenteret har bidratt med:– Prosjektledelse, planlegging og fremdriftsplaner– Utarbeidelse av utstyrslister – inklusivetrinnpakker som er plassert på arealenetil hvert trinn– Forslag til inndeling av rommet i seksjoner– Valg av innredning– Kurs-rekke for lærerne– Temakveld for foreldre– Undervisningsopplegg og maler til åutvikle nye oppleggUtstyr som har et stort bruksområde ble høytprioritert. Det ble kjøpt inn dobbelt opp avmesteparten av utstyret, slik at det alltid finstilgjengelig på matematikkrommet og i tilleggkan hentes ut ved behov. Utvikling av egnetrinnpakker har foregått i samarbeid medlærerne på det enkelte trinn.64Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

ForeldreoppleggForeldrene har blitt inviterttil en temakveld om elevaktivmatematikk og konkretiseringsutstyri matematikkundervisningen.Dette inspirertetil (foreldre-initiativ):Innkalling til dugnadi forbindelse med matematikkromMatematikkrommet som utvikles på Ladeskole er et samarbeidsprosjekt mellomforeldrene og skolen. I den forbindelse vil detbli arrangert dugnad for foreldre og foresatteonsdag 26. april og torsdag 27. april. Vi skalblant annet male matematikkrommet, lagediverse konkreter på sløyden og sy gardiner.Etter ”matematisk aften” på Lade skole ble vikontaktet av mange foreldre som gjerne villebidra i arbeidet med å utvikle matematikkrompå Lade skole. Vi er interessert i å vite omnoen foreldre kan skaffe plank til konkreter,gardinstoff, maling eller lignende?”Skolen investerte kr 30.000 i prosjektet,resten av budsjettet er dekket av sponsorer,både private og offentlige. Foreldregruppahar hatt ansvaret for å skaffe midlene. Matematikksenterethar hjulpet til med utformingav søknader.Selv om matematikkrommet nå står klart,kommer vi fra senteret ikke til å trekke osstilbake. Det er nå det er viktig å holde fast ogsørge for at rommet og utstyret blir brukt!Vi vil ikke slippe prosjektet før det har gåttminst et år til. I løpet av dette året vil vi væremed på å sørge for at utstyret blir tatt i bruk.Elever og lærere skal bli trygg på bruk av konkretiseringsutstyretog kjent med muligheterfor bruken. Vi har etablert UMAR-grupper(Undervisning på matematikkrom) vedskolen. Med utgangspunkt i erfaringer fra kursforrige skoleår skal UMAR-gruppene utviklesine egne undervisningsopplegg. Vi fra senteretgir tilbakemelding på disse oppleggenefør de prøves ut i klassene. En forutsetning erat oppleggene som utvikles, er direkte knyttetopp mot mål fra Kunnskapsløftet.RapportVi er i ferd med å skrive en rapport fra prosessenmed å utvikle et matematikkrom frabegynnelse til slutt. Heftet skal være til støttefor andre skoler i Norge som også vil etablereet eget matematikkrom og/eller trinnpakker.Kursopplegg og undervisningsoppleggvi har utviklet i sammenheng med prosjektetvil inngå i rapporten. Rapporten er planlagtferdig i løpet høsten 2006 og vil i førsteomgang bli lagt ut på nettsidene våre og senereutgitt i et hefte.BesøksskoleLade skole ønsker i tida fremover å dele sineerfaringer og tar gjerne i mot besøk. Henvendelseskjer direkte til skolen:http://skole.trondheim.kommune.no/lade/Nye nasjonale prøver iNorge fra høsten 2007Hvilke endringer legges det opp til, og hva erformålet?Hva er forskjellen på en matematikkprøveog en prøve i grunnleggende ferdigheter i åkunne regne?Ny gjennomføring av nasjonale prøver.27. mars 2006 [1] kunngjorde kunnskapsministerØystein Djupedal at det høsten 2007skal gjennomføres nasjonale prøver i grunnleggendeferdigheter i å kunne regne og i lesingpå norsk og engelsk. I 2007 er det bare elever på5. og 8. trinn [1, 2] som skal prøves. Prøveneskal avholdes tidlig på høsten, og siden Kunnskapsløftet(LK06) har kompetansemål etter4. og 7. trinn, er 5. og 8. trinn et naturlig valg.På bakgrunn av erfaringer fra prøvegjennom-Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 65

føringen i 2007, vil det bli tatt stilling til omprøvene skal utvides til i fremtiden å omfatteflere trinn.Forslag til nytt rammeverk for de nasjonaleprøvene forelå fra Utdanningsdirektoratet30.06.06, og 12.09.06 ble rammeverket [2] vedtatti Kunnskapsdepartementet. Leseprøveneutvikles ved Nasjonalt lesesenter (Universiteteti Stavanger) og ved ILS (Universitetet i Oslo),lesing på engelsk ved Universitetet i Bergen ogregneprøvene ved Nasjonalt senter for matematikki opplæringen (NTNU). Faggruppenehar de siste månedene jobbet hektisk for åutvikle prøver som er tilpasset kravene i detnye rammeverket.Hvilke endringer legges det opp til,og hva er formålet ?De nasjonale prøvene skal kartlegge i hvilkengrad elevenes ferdigheter er i samsvar medlæreplanens mål for de grunnleggende ferdighetenelesing på norsk og engelsk og regning,slik de er integrert i kompetansemål for fag iLK06 etter 4. og 7. årstrinn [2, 3].Prøvene skal ikke være diagnostiske. Deskal være en del av et sammenhengende prøve– og vurderingssystem, som for øvrig består avblant annet kartleggingsprøver, karakter – oglæringsstøttende prøver, veiledningsmateriellog internasjonale studier. De nasjonale prøveneskal primært gi informasjon om gruppeog trinn til lærer, skoleleder og de ulike byråkratiskenivåene, men de skal også ha en pedagogiskverdi. Gjennom resultatet på prøvenekan lærere, elever og foresatte få indikasjonpå om videre kartlegging av enkeltelever ernødvendig. Slik kan prøvene være en hjelp itilpassing av undervisningen for den enkelteelev.Hva er forskjellen på en matematikkprøve ogen prøve i grunnleggende ferdigheter i å kunneregne ?Regneprøven skal kartlegge i hvilken gradelevenes regneferdigheter er i samsvar medkompetansemål der regneferdigheterer integrert. Det eraltså ikke en prøve i matematikketter læreplanens kompetansemåli dette ene faget, menen prøve i regning som en del av fagkompetanseni alle fag, slik grunnleggende ferdigheter iregning er et mål i alle fag (også matematikk)etter LK06. Det må lages prøver som målerdet elevene må beherske innenfor områdetregning for å kunne lære og utvikle seg i allefag. Hva innebærer så dette?Rammeverket [3] knytter de grunnleggendeferdighetene i regning til områdenetall, måling og statistikk, og presiserer at detteinnebærer tallforståelse, måleferdighet ogtallbehandling knyttet til et bredt spekter avoppgaver og utfordringer i faglige og dagligdagsesammenhenger. Videre poengteres atregneferdigheter også handler om å kunnetolke og lage grafiske og andre kvantitativefremstillinger, og at anvendelse av regning iulike sammenhenger skal vektlegges. I denneforbindelse er ord som forstå, reflektere over ogvurdere resultater fremhevet.Sitat fra rammeverket for de nasjonale prøvene:Området tall omfatter hvordan tall inngåri systemer og mønstre, relasjoner mellom tallog kvantifisering av mengder og størrelser. Detomfatter videre det å bruke tall og foreta beregningeri praktiske sammenhenger og vurderesvarenes rimelighet. Personlig økonomi, priserog valuta er temaer som inngår i dette området.Måling handler om å sammenlikne og knyttetallstørrelser til objekter og mengder. Målingdreier seg også om vurdering av resultater ogframstilling av data fra observasjoner og målinger.Temaer som vekt, lengder, flater, tid og romhører med i dette området.Området statistikk omfatter å organisere,analysere, presentere og vurdere data og grafiskeframstillinger. I analysen av data hører med åbeskrive generelle trekk ved datamaterialet.66Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

Regneprøvene høsten 2007vil bestå av to typer oppgaver:flervalgsoppgaver og åpneoppgaver. I rammeverket eret av kravene at minst 70 % av oppgavene iet oppgavesett skal være flervalgsoppgaver,dvs. oppgaver hvor elevene bare skal krysseav for riktig svar. Resten vil være åpne oppgaver,og her må elevene vise hvordan de erkommet fram til svaret. Gjennomføringstidenfor prøvene på 5. trinn skal ikke overstige 90minutter og 120 minutter på 8. trinn. Prøveneskal kunne rettes på 10 minutter, men for åha nytte av dem til pedagogisk bruk, må denenkelte lærer regne med å bruke tid i etterkanttil å følge opp resultatene.Det er en stor utfordring å lage gode flervalgsoppgaveri regning, et fag hvor vi har tradisjonpå å vektlegge at elevene skal vise prosessnår de løser en oppgave. Etter å ha prøvdut oppgavene åpne, vurdert og analysert flerehundre elevsvar og laget flervalgalternativeneut fra dette, mener vi allikevel at vi vil kommegodt ”i mål”. Undersøkelser vi har gjort viserat elever opplever flervalgsoppgaver motiverende,og studier av flervalgsoppgaver [4] viserat denne typen oppgaver gir like påliteligeresultater som åpne oppgaver.For tiden piloteres prøvesett av oppgaversom skal bli til regneprøvene høsten 2007.Videre arbeid vil bestå i vurdering og grundigeanalyser av pilotene. I tillegg skal det lagesveiledningsmateriell som skal tilrettelegge forpedagogisk etterbruk på den enkelte skole.Vi har som mål at prøvene skal bli et verktøysom kan brukes i den enkelte lærers tilretteleggingav undervisning, samtidig som skoleledere,skoleeiere, de regionale myndigheterog det nasjonale nivå får data som kan brukestil kvalitetsutvikling på de respektive nivåer iskoleverket. Nasjonale prøver i grunnleggendeferdigheter i å kunne regne har dato for gjennomføring25. september 2007.Eksempel på oppgaveNedenfor er et eksempel som viser sammeoppgave som flervalg og som åpen oppgave.Oppgaven var en av de åpne oppgavene isettet på 7. trinn våren 2005.Referanser[1] odin.dep (pressemelding 27. mars 2006)[2] o din.dep.no/kd/norsk/aktuelt/nyheter/070021-210082/dok-bn.html[3] www.udir.no/templates/udir/TM_Artikkel.aspx?id=2135[4] folk.uio.no/rolfvoEksempel på åpen oppgaveAnita har sett en genser som er på salg.Den har kostet 150 kr og er nå satt ned med20 %.Hvor mye må Anita betale for genseren?Oppgaven som flervalgsoppgaveAnita har sett en genser som er på salg.Den har kostet 150 kr og er nå satt ned med20 %.Hvor mye må Anita betale for genseren?Kryss av for rett svar.30 kr 70 kr 120 kr 130 krNasjonalt senter for matematikk i opplæringen 67

LAMISLandslaget for matematikk i skolenv/Randi HåpnesHøgskoleringen 57491 Trondheimpost@lamis.no · www.lamis.noPostgiro: 7878 0500882 Organisasjonsnr: 980 401 103Fra formålsparagrafenDet overordnede målet forLands laget for matematikk iskolen er å heve kvaliteten påmatematikk undervisningen igrunnskolen, den videregåendeskole og på universitet/høyskole.Landslaget skal stimulere tilkontakt og samarbeid mellomlærere på ulike utdanningsnivåerog mellom lærere og andresom er opptatt av matematikk.Styret for LAMISFra barnetrinnetMona Røsseland,Samnanger, Hordaland (leder)Kari Haukås Lunde, Bryne,RogalandFra ungdomstrinnetGrete Tofteberg, Våler, ØstfoldHugo Christensen, Notodden,TelemarkFra videregående skoleJan Finnby, Lillehammer,OpplandAnne-Mari Jensen, Ørnes,NordlandFra høyskole/universitetBjørnar Alseth, OsloKristian Ranestad, OsloMedlemskontingentSkole/institusjon 580,–*Enkeltmedlem 330,–*Husstandsmedlem 150,–Studenter 200,–Tangenten inngår i kontingenten.(Gjelder ikke husstandsmedlemmer.)De to merketmed * steg 1. januar 2006.Får du e-post fra Lamis?Lamis prøver å bruke e-post som kanal til å nå ut til sine medlemmer. Dette vil i stor utstrekninggjelde informasjon fra lokallagene. Det er derfor svært viktig at vi har oppdaterte e-post-adressertil våre medlemmer, og her er vi helt avhengig av hjelp fra dere.Så: hvis du aldri har fått e-post fra Lamis kan det bety at vi ikke har registrert adressen din.Det du kan gjøre da, er å gå inn på vårt nettsted www.lamis.no og registrere mailadressen din,eller sende en e-post til post@lamis.no.Er du usikker på om vi har adressen din, så gå inn og gjør det i dag!!!68Landslaget for matematikk i skolen

Lederen har ordetDå er vi kome godt i gong meddet nye skuleåret og den nyeLæreplanen er sett ut i praksis.Dette har ikkje berre gått knirkefrittfor seg, og vi har all grunntil å stoppe opp litt, tenkje gjennomog verte medviten på kvavegval vi tek. Eg tenkjer spesieltpå problemstillingar omkringelevvurdering.Planen gjev oss mellom annato sentrale utfordringar. For detførste må vi definere kva elevaneskal lære og ende oppmed å kunne. I dette ligg arbeidetmed dei lokale læreplananeog konkretiseringa av dei noksårunde formuleringane i planen.Her er det ei stor utfordring ikkjeberre i å konkretisere dei ”enkle”måla, knytt til faktakunnskap ogferdigheitar, men også dei målasom går på meir avansert matematikk,som problemløysing,utforsking og kreativt arbeid.Her ligg også utfordringa medå formulere kompetansemålaslik at også elevane skjønerkva dei skal lære. Men i dettearbeidet med å bryte ned målatil detaljnivå, ligg også det krevjandearbeidet med å lage ulikemål for ulike elevar. Alle elevaneog alle gruppene kan ikkje nådei same måla og i alle fall ikkjetil same tid. Vi er nøydt til å tilpasse.Den andre utfordringa vertå finne ut om elevane verkeleghar lært seg det vi har sett oppsom mål. Når eg ser på mykjeav arbeidet som skjer rundtom i mange kommunar, så kandet sjå ut til at dette er nokoheilt nytt. – No skal vi teste alleelevane. Det er no eg følar stortrong for å stoppe opp litt.Vi har då testa elevane våreså lenge det har eksistert skulei Norge!Vi har testa dei gjennomjamlege prøvar og ikkje minstgjennom den daglege kontakten.Det kan godt vere vi kanverte endå meir systematiskei vurderingsarbeidet, men detbetyr ikkje at testing av elevarikkje har eksistert. Det er klartvi må vite kva elevane skal lære,og det skulle berre mangle at viikkje følgde opp og kontrollertekva dei fekk med seg. Men viskal likevel vere på vakt mot detsom er i ferd med å skje no:Det kan sjå ut til at det enkeltestader går mot eit kartleggingshysteri.Grete Tofteberg pleier åseie at ”Grisen vert ikkje tjukkareav å vege den mange gonger”,og det er jammen sant. Skal einbruke mykje tid på felles kommunaletestar, må ein vere klarover at dette får konsekvensarfor undervisninga. Det vil steletid frå sjølve undervisninga. Detkan skape ein pressituasjon forlærar og elev som kan resulterei at ein legg opp undervisningamot eit einaste mål, nemleg åscore høgt på den kommunaletesten.Skal ein gå i gang medutstrakt bruk av formelle testarog kartlegging må ein vite kvadesse testane kan seie nokoom, og kva dei ikkje måler.Vidare må ein ha ein plan for kvaein skal gjere om nokon ikkjeoppnår dei resultat ein ønskjereller at nokon av elevane scorarLandslaget for matematikk i skolen 69

langt høgare enn forventa. Erskuleeigarane like ivrige etterå setje inn nok ressursar slikat vi har moglegheit til å drivetilpassa undervisning eller ermålet testinga i seg sjølv? Einlærar fortalte at på hennar skuleskal testinga i matematikk skjemed jamlege intervju med kvarelev av kontaktlæraren, sjølvom han faktisk ikkje har eleven imatematikk. Ein kan spørje segkor godt matematikkundervisningavil ha av dette.Mitt ønske i dag er å manetil oppvaking. Sjå rundt dykk,kva skjer på din skule, i dinkommune? Ver delaktig og fåelevvurdering inn i eit fornuftigspor. La målsettinga vere at vitestar saman med elevane, fordivi ønsker å skape forbetring.Med dette som utgangspunkt,og ved å være selektiv og kreativpå kva ein målar, kan einaltså nytta måling til å få eleventil å bli betre på dei områda derhan treng det mest. – Er Larsgod på vinklar, treng han verkenmåling i det eller meir terping.Saman med lærer set han segnye mål ut i frå kva han må blibetre på. For vi set mål for å vitekva eleven skal setje fokus på(og dermed forbetre), ikke berrefor å skildra ein status kvar hanstår.Sommerkursrapporten2005 – enbeklagelseSvein H. TorkildsenAlle dere som var på sommerkurset 2005 i Asker, skal nåha fått rapporten i posten. Det er en lang og møysommeligprosess som til nå har vært utført av medlemmer på fritiden,og regelen har nok vært at rapporten kommer seinereenn de fleste setter pris på. Det gjelder så vel kursdeltakeresom redaktører. Rapportene for 2005 ble samlet inn av GuriAnne Nordtvedt og en god del ble bearbeidet av henne. Daundertegnede ble ansatt som sekretær ble en av oppgaveneå bidra med redigering av rapporten. I denne overgangen hardet dessverre foregått en beklagelig glipp idet fire rapporterer utelatt fra den boka dere nå har fått. Det gjelder følgendeartikler:Gunnar Nordberg: Matematikklæreren, motivator og forbilde,eller … ?Bones/Svorkmo: Terningens røtter og vingerOddveig Øgaard: Fra opplevelse til grafiske framstillinger– hvor skal vi starte?Knut Åge Teigen: Matematikk i praksis – filmpakke til allebarneskoler.Vi som har ansvaret for produksjonen, beklager på det sterkesteat bidragene ikke kom med i det første opplaget avden trykte rapporten. Det føles sårt overfor de bidragsyternesom har vært ute i tide med sine artikler. Styret vi ta stillingtil hvordan disse artiklene kan få sin fortjente plass i vårttrykte materiale. I første omgang vil de bli redigert som deøvrige artiklene og lagt tilgjengelige på nettsiden til LAMIS.Kursdeltakere og andre kan laste dem ned fra nettet. Såhåper vi at disse gode artiklene vil vise mange flere enn demsom har vært på kursene våre at det virkelig er noe å henteved å delta. Disse fire artiklene viser den bredden det er iaktivitetene på sommerkursene.70Landslaget for matematikk i skolen

Kurt M. KlunglandTallpyramider –eller ”10 på topp”– et forskningsprosjekt for eleverVil du ta elevene med inn i entallverden der de attpåtil kanvinne premier? En verden medtallregning der førsteklassingeneog alle andre både pågrunnskole og videregåendekan delta?Lamis inviterer skolene til åla elevene studere tallpyramiderog sende inn en prosjektrapport.Det vil bli premiert medHappy Cubes.Undersøkelses- ogkontorlandskaperLamis inviterer klasser og elevertil å studere og utforske tallpyramider.Ole Skovsmose hevderat elevene bør få arbeide bådei ”undersøkelses landskap ogkontorlandskap”. Han sa atbarna kan gå trøtt av for myeutforsking og opplevelsesglede.De kan trenge perioder medroligere rutinearbeid og treningfør de igjen får overskudd oglyst til mer moro og utforskningi matema tikkens verden. Mensiden har jeg tenkt: Er det alltidså stor forskjell mellom de tolandskaper? Er det ikke vanligvisrutinearbeid i forskning? Ogvil ikke mange barn lete ettersystem i rutineoppgaver, for åfå det unnagjort?Hva er tallpyramider?Tallpyramider er et addisjonssystemder hvert tall er en sumav de to tallene nedenfor, altsåopp ned i forhold til Pascal sintallpyramide. Det er en måte åsummere to eller flere tall på,ved at summen av to og to tallskrives over de to tallene. Det ereneste regel. Dette er en kjekkmåte å regne på som ogsåførste klassinger får til.Jeg aner ikke hvem somoppfant tallpyramidene. Jeg gårut fra at jeg har dem fra andre,men jeg var i alle fall med på åpresentere dem i heftet Matematikkensdag 2006.Hva er utfordringen?Utfordringen er å finne systemet:Hvor mange mulige bunnlinjerkan det være i en tallpyramidemed et gitt antall etasjer2 2 22 0 1 1 0 215 ? 106 9 ? 9 6 ?2 4 5 1 ? 5 ? ??Landslaget for matematikk i skolen 71

På bildet ser vi femteklassinger ved Verdalsøra barneskole arbeidemed tre-etasjes pyramider.etter gitte regler?To-etasjes pyramider erenkle (men ikke de enkleste).Da finner vi bare ut hvor mangeulike måter en kan lage et tallsom sum av to mindre tall.Tre-etasjes pyramider erogså nokså enkle. Det klarermange barn i småskolen, i allefall 9-åringer, med litt veiledning.Når det gjelder pyramidermed 4 etasjer og flere, må enarbeide meget systematisk forå finne tallrekkene.Hvordan kan skolen arbeidemed tallpyramider – og fåHappy Cubes?Gå inn på Lamis si hjemmeside:www.lamis.no og finn fram tilMatematikkens dag 2006. Derfinner du oppgavebeskrivelseog kopieringsark med tallpyramider.Dessuten finner du etark som du sender inn til kurt.mikal.klungland@samfundet.org med navn, resultater ogkort beskrivelse av prosjektet.For et prosjekt må det bli, skaldet bli resultat.Skriv ut noen arbeidsark ogsett i gang:1. Skriv inn noen tall i bunnen.Hva blir tallet på toppen?Prøv flere tallpyramider.2. Bytt rundt på plassene påtallene du hadde nederst.Skjer det noen forandringpå toppen av tallpyramiden?3. Hvis du vil ha 10 øverst, hvakan da stå nederst?4. Hvor mange forskjelligemulige ”bunnlinjer” finnesfor å ha ”10 på topp”?5. Praktisk valg: Etter hverthar du kanskje ikke brukfor pyramider for å regnedette ut. Du regner gjernetopp-tallet ut i hodet. Tabellermed bare bunnlinjer ervedlagt.6. Hvordan er forresten sammenhengenmellom bunntallene(og deres plassering)og topptallet? Kan derebeskrive sammenhengenmed ord, eller kanskje meden formel?7. Hva er tillatt? Vil du/deregodkjenne speilin ger? Altså:er 7,1,1 det samme som,eller forskjellig fra 1,1,7?Undersøk gjerne både vedå tillatte og ikke tillatte speilinger.8. Hva med andre tall påtoppen? Her lønner det segå søke systematisk. Finnerdere noen lettvint metodefor å undersøke med andretall på toppen?9. Hva med andre pyramider,med 2, 4, 5 eller flereetasjer? Finner dere noesystem i antall muligheter?10. Er det mulig å forutsi hvormange muligheter det finnes72Landslaget for matematikk i skolen

John Andre Dversnes og Sven Tore Slettebø er de to som har ledetarbeidet med tallpyramider ved Samfundets skole i Egersund. Herstår de sammen med artikkelforfatteren og gleder seg over en storkonvolutt med Happy Cubes som skolen mottok etter elevenessolide forskning, som altså enda bare er i begynnelsen.for å få f.eks. 20 på topp?Enn 100? Enn ”hvasomhelst”,altså X på toppen?11. Vi kan bruke tallene fra 0og oppover. Men hva om vihadde med negative tall?Eller hva om vi bare kunnebruke de naturlige tall, altsåat 1 var minste tallet?12. Til slutt sender dere inn ensamlerapport fra skolen,helst på mail. Se over.Hva er belønningen?Alle barn vil oppleve å lykkes.Noen barn opplever å tennes.Det kunne ha vært nok. I tillegg,dersom skolen (en eller flereklasser) sender inn sitt bidragsamlet til undertegnede, så vildere, så lenge vi har HappyCubes på lager i Trondheim,få tilsendt en konvolutt medminst 6 forskjellige små (mennokså tøffe) puslespill: 6 brikkeri ei ramme. Tar du brikkeneut av ramma, kan det være enutfordring å få dem tilbake igjen.Det går vanligvis greit. En størreutfordring er det å sette demsammen til en kube. Det er ogsåfullt mulig, etter noen minutters– eller timers arbeid! Se http://www.happycube.com/Sponset av BPHvorfor dette tilbud? Fordi BPNorge sponset oss med innkjøpav noen tusen Happy Cubes, ogdisse ble brukt til premier forskoler som sendte inn løsningeretter Matematikkens dag. Omlag 10 skoler har sendt inn svarog mottatt premie, men det blemange premier til overs.Alle som sendte inn svarvar begeistret over arbeidetmed Matematikkens dag, dertallpyramider altså bare var enav aktivitetene. Løsningene påpyramideproblemene var forskjellige.De fleste hadde funnetet system i 3-etasjes pyramider,men på forskjellige måter. Jeghåper å komme tilbake medinnsendte klipp fra elevenesom deltar. Jeg vil så gjerne gide nordiske elever sjanse til åoppleve og oppdage glede i tallenesverden.I skrivende stund har SvenTore Slettebø i Egersund nettoppfunnet alle muligheter for6-etasjes pyramider med fra 1til og med 20 på topp. Han harundersøkt tallrekka med henblikkpå veksten, og veksten iveksten. Jeg håper å komme tilbakemed våre – og deres funn– i løpet av neste år!Lamis håper at mange vil tautfordringen slik disse elevenehar gjort. Sett i gang med forskningpå tallpyramider, send detinn – og gled dere til å mottaHappy Cubes!Landslaget for matematikk i skolen 73

Lokallaget ØstfoldMarianne MaugesteenLitt historikkDa lokallaget i Østfold bledannet i 1998, var vi blant deførste lokallagene til LAMIS.Grete Tofteberg og undertegnedehadde vært på det førstesommerkurset (nordisk matematikklærerkonferanse)i Nordfjordeidi 1997 og var blitt inspirerttil å prøve å danne lokallagi Østfold. Med i styret fikk vi enkollega hver. Vi kan trygt si atvi fikk en trang fødsel. Forutenstyret møtte det sjelden mer enn5-10 personer på medlemsmøtenede første årene. Temaenevar relevante, som for eksempelIKT i matematikkundervisningenog utforskende aktiviteteri matematikkundervisningen.Vi sendte invitasjon til medlemmenevi hadde i Østfold ogtil den matematikkansvarligepå hver skole. Der vet vi at detvar vanskelig å nå fram. Men viga ikke opp. Vi fortsatte, godtinspirert fra sommerkurs ogmed tro på det vi drev med.Hvorfor har vi lykkes i lokallagsarbeidet?Første gang vi opplevde å fåmellom 30 og 40 deltagere, varda vi skulle presentere heftetmed aktivteter for matematikkdagen2004. Østfold lokallaghadde laget heftet sammenmed Vestfold lokallag. Sidenhar vi hatt 90 deltagere på presentasjonav aktiviteter til matematikkdagen.Siste møte, derorganisasjonssekretær SveinTorkildsen holdt kurs, møtte det50 personer.LAMIS kommer etter hvert tilsyne flere steder. Organisasjonenhar presentert seg i Utdanningog har fått egne sider i Tangenten.Det har ført til at flerelærere har hørt om organisasjonen.Grete Tofteberg og undertegnede,som begge har sitteti lokallagsstyret siden oppstarten,har stor kontaktflate utad iØstfold. Grete har stor erfaringsom kursholder og er ressurspersonfor Matematikksenteret.Hun har også vært ekspertvurdererunder de nasjonale prøvene.Undertegnede har langerfaring som kursholder forSenter for kompetanseutviklingved Høgskolen i Østfold,har undervisningserfaring fratre østfoldskoler og har bredkontaktflate til øvingsskolenfor avdeling for lærerutdanningved HiØ. Vi tror om oss selv atvi er oppdatert på hva lærerneønsker og har holdt mange avkurskveldene selv.Dessuten har vi hele tidenhatt ”kort vei” til sentralstyretfordi Grete har ansvar for hjemmesidentil LAMIS’ og sitter isentralstyret . Marianne satt idet første interimstyret.Vi tror selv vi har ”truffet”med temaer. De siste møtenehar temaene vært:– Ny fagplan for den obligato-74Landslaget for matematikk i skolen

iske delen av matematikkfaget– IKT i matematikkplanen,barnetrinn (Excel) og ungdomstrinn(Excel og Cabri)hver for seg.– Presentasjon av matematikkoffertenog aktiviteter iden forbindelse– Matematikkdag – vi prøverog diskuterer aktiviteter, sebildene– Teknologi i den nye læreplanen– besøk og praktiskarbeid på Sciencesenteretved Høgskolen i Østfold– Perspektiv med ulike hjelpemidler– Tilpasset opplæring sett i lysav læringsstilerMatematikkfaget har i de sisteårene fått mye omtale i mediene.Denne omtalen har værtbåde positiv og negativ, menfå bør være i tvil om at detforgår mye innenfor matematikkfagetbåde når det gjelderrekruttering og utprøving av nyearbeidsmåter.Vi har brukt foredragsholdereutenfra fire ganger på disseårene: Helge Flagstad (spill imatematikkundervisningen),Svein Torkildsen (Utforskendeaktiviteter i matematikkundervisningenog tilpasset opplæringsett i lys av læringsstiler),Bjørnar Alseth (ny læreplan imatematikk). Resten av møtenehar styret hatt eneansvar forforedrag og aktiviteter.Hva er vanskelig?Lokallaget har noen medlemmeri videregående skole, menfå har møtt opp på møtene.Kanskje har ikke temaenefenget medlemmene der, menvi har ikke bevisst satset påtemaer i disfavør av videregåendeskole.Det har heller ikke vært lett åfå tak i folk til styret. Mange troret slikt verv krever mye fagligkunnskap. Vi har ikke greid åfå medlemmer fra videregåendeskole i styret.OrganiseringStyret består av personer somer engasjert på mange områder.Derfor har vi få møter ogsatser på kontakt via e-post.Etter årsmøtet har vi ett møteder aktiviteter for et år framoverplanlegges. Resten av kontaktenforegår på mail. Møtene harvi i Sarpsborg, som er omtrentmidt i fylket.Landslaget for matematikk i skolen 75

Kunnskapsløftet LK06,mål og måloppnåelseSvein H. TorkildsenSkolene er godt i gang medarbeidet etter LK06. Planeninnebærer en kursendring i forholdtil L97. Jeg vil innledningsvistrekke fram to forhold somer sentrale når en skal beskriveden nye planen.Arbeide med … eller kunne?Planen er klarere på hva eleveneskal kunne etter gjennomførtopplæring, sammenlignetmed L97. I L97 forekom formuleringersom: I opplæringenskal elevene– arbeide med – arbeide noe/mer/videre med– bruke og behandle– erfare – gjøre erfaringermed– møte eksempler på– finne og trekke ut informasjon– tolke resultater– utføre og beskriveI LK06 er slike formuleringererstattet med: Mål for opplæringener at eleven skal kunne:– regne med brøk …– behandle og faktorisereenkle algebraiske uttrykk…– løse likninger …– utføre og begrunne geometriskekonstruksjoner …– bestemme sannsynligheterTanken er at opplæringen skalbli mye mer målrettet. Forskningviser at det i årene fra1997 er blitt en del lek og aktivitetfor lekens og aktivitetensegen skyld i matematikktimene,kanskje spesielt på de lavereklassetrinnene. Lek og aktivitetskal fortsatt ha en plassi undervisningen langt opp iårstrinnene, men den må væremålrettet. Det vil si at lærerenmå vite hvilke faglige mål haneller hun ønsker å oppnå gjennomleken eller aktiviteten. Enmå i langt sterkere grad sørgefor å synliggjøre matematikkensom ligger i leken eller aktiviteten,slik at den bidrar til øktforståelse og ferdighet.Mange ser ikke helt forskjellenpå disse to typer målformuleringer.Skal en ”arbeide videremed brøk”, så er vel tanken atelevene skal lære seg ”å regnemed brøk”? Lærere med et sliktutgangspunkt har nok også i sinpraksis før LK06 nettopp hattsom mål at elevene skal kunnenoe, ikke bare arbeide med.Lokal forankringMeningen er at LK06 ikke skalvære så omfattende og detaljertsom mange har oppfattetL97. Det kommer blant annettil uttrykk ved at LK06 ikkehar planer for hvert årstrinn.I planen er det angitt kompetansemålfor hovedtrinnenepå sentrale matematikkfagligeområder. Disse målene skalså brytes ned, spesifiseres ogkonkretiseres i lokale planer forhvert årstrinn. I det ligger deten frihet til å konkretisere lærestoffetut fra lokale forhold, ogdet gis også større valgfrihet iundervisningsmetoder for denenkelte skole. Dette arbeidet eri mange kommuner sentralisertslik at det er blitt utarbeidet enfelles plan for hele kommunen.Mange lærere har lagt myearbeid i å utvikle slike planer,og Matematikksenteret harlaget forslag til progresjonsplanmed 8–14 nivå innenfor hvertkompetanseområde. I tillegghar senteret laget tre alternativeforslag til årsplaner medutgangspunkt i disse progresjonsplanene.Vi som var aktivelærere på 80-tallet kjenner igjen76Landslaget for matematikk i skolen

prosessen. Den gang som nåmøtes denne utfordringen påminst to måter.Enkelte lærere setter prispå denne type utfordringer.De opplever dette som engyllen anledning til å få utvikleseg som lærer. Den som skallage en god plan må gå dyptinn i stoffet og reflektere overmetoder som passer på deulike fagområdene. Samtidigmå en passe på å få balanse iopplæringen. Planen krever atelevene får både praktiske ogteoretiske utfordringer i alle fag.På en del områder innen matematikkfageter det en utfordringfor lærere som er mest vant til åfølge læreboka. Det er enkeltepraktiske aktiviteter som eravhengige av lærerens innsatsom de skal bli gjennomført, selvom læreboka legger opp til ogkanskje forutsetter at slike aktiviteterblir gjennomført.Andre lærere ser ikke heltpoenget med at alle lærere skalsitte og finne opp kruttet – ensammenlikning som hyppig forkommeri denne sammenheng.Hos disse lærerne er det ofteliten entusiasme å spore når delokale planene blir utarbeidet. Iverste fall kan det nok føre til atdet blir en demotivert lærer somtar fatt på det faglige arbeidetsammen med elevene. En kani så fall undre seg over hvilkenglød som er igjen til læreren skalgå løs på neste skritt i planhierarkiet,arbeidsplanen for enkortere eller lengre periode.ArbeidsplanerI løpet av de siste årene harorganiseringen av elevenes skoledagendret seg så betydeligat det har vokst fram et behovfor en skriftlig dokumentasjonav hvilket arbeid elevene skalutføre i løpet av en nærmeredefinert periode. For mangelærere betyr det mindre tid tilfaglig arbeid i samlet gruppe,fordi en del timer blir lagt uttil studietid for elevene. Dissetimene blir naturligvis tatt frahvert av fagene det forventeselevene skal arbeide med i studietiden.Matematikk er ett avdem.Etter mitt skjønn står vi herved et kritisk punkt i planleggingenog gjennomføringen avmatematikkundervisning etterKunnskapsløftet. Hva skal enlegge vekt på i arbeidsplanene?Hvilke signaler gir de ulike utformingene?Fokus på oppgaver?Jeg tar utgangspunkt i et pareksempler på arbeidsplanerog knytter noen kommentarertil dem.Uke 37:Sannsynlighet avslutningGul: 5.73–5.77, 5.81–5.83,5.86–5.88, 5.91, 5.92, 5.97Rød: 5.115–5.124, 5.127,5.128, 5.134 (14 oppgaver)Blå: Du skal gjøre minst 15oppgaver denne uka. Se pålæringsmålene, plukk 15 oppgaverfra sidene 35–46 (eventueltside 15–34 om det er noedu ikke helt forstår)Dette er etter det jeg harerfart en ofte benyttet form forarbeidsplan. Fargekodene angiren forventet vanskegrad påstoffet. Det er varierende gradav valgfrihet for elevene til åvelge ”farge”. Noen elever stårfritt, mens andre får et ferdigvalg fra læreren. Her er en kombinasjon.Elevene som velgerdet vanskeligste, det blå alternativet,får velge oppgaver selv.Arbeidskravet ligger i kvantitet,altså antall oppgaver. Resten avelevene har et bestemt utvalgoppgaver som skal utføres.Hovedproblemet med dennetypen arbeidsplaner er etter mittskjønn det synet på matematikklæringsom kan ligge skjult iselve formen: Matematikk læreren ved å gjøre et visst antalloppgaver. Tanken er ofte at joflere en får gjort, jo bedre bliren. Nå mener neppe alle læreresom bruker denne formen forarbeidsplaner, at så er tilfelle.Kanskje ingen gjør det. Menflertallet av de lærerne jeg harsnakket med, vedgår at eleveneblir opptatt av å få gjort oppgavene.Målet blir da ikke nødvendigviså lære seg matematikk, menå få gjort oppgavene på planen.Oppgavene blir strøket omhyggeligut etter hvert som de erutført. Eleven nærmer seg måletskritt for skritt: Fullt brett, somdet heter i spillverdenen. Alleoppgaver på planen strøket ut,og en finner dem igjen i arbeidsbøkenemed varierende kvaliteti presentasjon. Fokus blir ikkesatt på hva oppgavene dreierLandslaget for matematikk i skolen 77

seg om, hva matematikken idem handler om. Arbeidskraveter at oppgavene skal væregjort innen en gitt tidsfrist, ogarbeidskravet er utført når oppgavenestår der – i boka. Mangeelever faller for fristelsen til åpraktisere den ”refleksjonsløseregningen”. Ved hjelp av ulikestrategier kan en finne en rekkesvar, og ingen kan arrestere enfor ikke å ha gjort arbeidet. Menblir det robuste og slitesterkematematikkunnskaper av det?Mye vil selvsagt avhenge avoppgavene elevene får arbeidemed. Men oftest er de nok valgtut slik at elevene skal klare segmest mulig på egen hånd underarbeidet, og da er det ikke alltidden store framdriften i læringen.LæringsmålEnkelte skoler har kun en oversiktpå oppgaver som skal væregjort på arbeidsplanen. Skoleneksemplet er hentet fra haddei tillegg en oversikt på målenepå arbeidsplanen..Læringsmål– Uttrykke sannsynlighet somprosent, brøk eller desimaltall– Vurdere sjanse i for eksempelspill– Vite forskjellen på uniformog ikke uniform sannsynlighet– Kjenne til hva begrepetkombinatorikk betyr– Kunne finne fram til ulikekombinasjoner i gitte problemstillingerDette er en kvalitativt sett annenmåte å uttrykke seg på. Målformuleringeneher er forholdsvisvide, for eksempel målet omå vurdere sjanse i spill. Mendette er mål for den avsluttendeperioden med arbeid på dettetemaet, så valget av formuleringkan være relevant i den sammenhengen.Formuleringenekan ha sin styrke i at de kanpasse til alle elevene i gruppa,nettopp fordi de er vide og ulikeelever kan nå ulikt langt innenhver målformulering. Noen kanfor eksempel vurdere sjansei spill med én vanlig terning,men andre kan vurdere merkomplekse og sammensattevurderinger. Mange elever vilnaturlig nok ha problemer medå forholde seg til denne typemålformuleringer. Det kreveren viss oversikt om en skalvære konkret når en beskriversin egen innsikt på det aktuellefeltet.Mange av oss som har lagetmålformuleringer i ulike sammenhengervet hvor vanskeligog tidkrevende det er å værekonsistent. Noen formuleringerkan bli runde og generelle,andre blir mer presise og smale.Første og siste formulering ioversikten kan stå som eksempler.Den som ser godt etter vilnok også finne eksempler påforskjeller i målformulering iKunnskapsløftet.Læringsmål med tipsSkolen eksemplet over er hentetfra, drøfter jevnlig sin praksisbåde på dette og andre felt.Erfaringen viste at kombinasjonenav læringsmål og oppgaversom arbeidskrav satt opp atskiltfra hverandre, ga dårlige oddsfor læringsmålene. Det har førttil en videreutvikling av arbeidsplanensom har fått utformingendu kan se i tabellen.Den måten å formidle mål påhar et interessant aspekt vedseg. Læreverket skolen benytter,inneholder målformuleringertil hvert kapittel. Disse er for detmeste runde i formen, men noemer presisert enn læreplanensformuleringer. Her har lærerengått inn og spesifisert måleneenda nøyere slik at det er etmål nær sagt time for hver timei første del av perioden arbeidsplanengjelder for. Dermed erlæreren selv delaktig i planprosessengjennom valg av de sistemer spesifikke formuleringeneog utvalg av henvisninger ogoppgaver eleven kan støtte segtil i sitt arbeid med læringsmålene.Her er det ikke oppgavenesom er kravet. De står der somtips til hva en kan arbeide medfor å nå målet. Etter mitt skjønner det en kvalitativ forskjell pådenne måten og uttrykke segpå, og å ha det som arbeidskravat et visst antall oppgaver skalvære gjort.Som en ser av oversikten,er oppgavene for alle. Det erikke benyttet fargekoder påvanskegrad. Det kommer av atplanen er fra en innledningsfase.Etter innledningen skalelevene gjennom en test, og deskal på grunnlag av den velgestoff de skal arbeide med i fort-78Landslaget for matematikk i skolen

Arbeidsoppgaver GRB DatoTema: GEOMETRIVi arbeider med side 9–13 i uke 39. I uke 40 skal vi fordype oss litt iemnet.Mandag 2.10 tar vi en liten test (avgjør valg av startpunkt for viderearbeid)Læringsmål:Tips til oppgaver:Kunne tegne eller konstruere en midtnormal Oppg 1.21–1,23 Alle 27/9Kunne konstruere normaler Oppg 1.24–1.26 Alle 27/9Kjenne til begrepene omkrets og areal Definisjon side 11 Alle 29/9Kunne regne ut omkretsen av kvadrat ogrektangelKunne regne ut areal av kvadrat ogrektangelOppgave 1.27 og 1.29 Alle 29/9Oppgave 1.28 og 1.30 Alle 29/9Vite hva ei symmetrilinje (akse) er Definisjon side 12 Alle 2/10Kunne finne/ tegne symmetrilinjer i ulikefigurerOppgave 1.31–1.33 Alle 2/10settelsen. Der kommer nivådifferensieringeninn, og der skalelevene ideelt sett selv ha sterkinnvirkning på valgene – medde utfordringene det krever forlæreren.Hvor er lærerens fokus?Det nye regimet i matematikkundervisningen,preget avplanens kompetansekrav, harnært slektskap til den såkaltemålstyringen. Ideene bygger påen forstilling om at en kan setteseg mål og delmål for framdrifteni undervisningen, og en kanlegge inn tester eller kontrollerav hvor elevene ligger an i forholdttil målene. Dette minnersterkt om undervisningsteknologiensom hadde sin storhetstidfor 30 år siden – vi er ennånoen som opplevde den periodensom praktiserende lærere.Et spesielt eksperiment – individuellmatematikkopplæring,IMU – dro dette til ytterlighet.Det ble satt opp en nøyaktig ogdetaljert progresjonsplan eleveneskulle følge, og fikk ikkegå videre til neste trinn før dehadde dokumentert kunnskappå det trinnet de nå stod på.Opplegget feilet.I dag ser jeg trekk av sammeideer i ”mattetrappa” og andresystemer som skal beskriveutviklingen en forutsettereleven skal følge. Og jeg spørmeg selv hva som har skjeddpå disse 30 årene som gjør atdet nå skal kunne føre til bedreresultater. Enkelte læreverk gårendog så langt at de gir lærerenalt i hende: Arbeidsplanerfor et helt år, periode for periode,sammen med utvalg avoppgaver til hjemmelekser. Etgryteferdig opplegg som gjørhverdagen lett for matematikklæreren.Satt litt på spissen blirundervisningsarbeidet reduserttil en administrasjon av kopiertil elevene som så kan ta fatt påarbeidsplanen og støtte seg tileksempler som viser hvordanoppgavene skal løses.Det trenger ikke skje. Menfaren for at en følger et slikt oppleggslavisk er avgjort til stede.Da blir ikke eleven satt i fokus,og elevens tanker blir ikke endel av lærerens tilretteleggingav undervisningen. Etter detjeg har erfart gjennom samtalermed mange lærere, blir det ogsålite variasjon i undervisningen.Den blir stort sett todelt: Lærerenforklarer. Elevene arbeiderLandslaget for matematikk i skolen 79

med oppgaver, og det skjerfor en stor del i den tiden defår avsatt til selvstendig arbeidmed arbeidsplanene.Deler eller helhet?En annen fare knyttet til detå brekke ned målene til småenkeltstående delmål, består iat elever kan få en fragmentertkunnskap der en ikke ser sammenhengermellom begrepeneog regneartene. Hvis en er mestopptatt av at arbeidet skal gligreit for elevene, vil en kanskjevike unna for å gi dem utfordringersom de ikke umiddelbartfinner et svar på. Det betyr aten må veksle mellom arbeidetmed sentrale begrep og anvendelseav problemene i en størresammenheng. Problemløsing eren krevende aktivitet. Etter denerfaringen jeg har på feltet, erdet ikke godt å forutsi hvor langtid det tar å løse problemet. Erproblemet i tillegg av den karakterat det kan utvides og ledetil nye utfordringer eleven kangi seg i kast med, blir det problematiskå sette opp et visstantall oppgaver eleven skal hagjort. Selve arbeidskravet gjørat en ikke vil bruke for mye tidpå én oppgave av frykt for et enikke skal rekke alle oppgavene.Hvordan kan en lage arbeidsplanersom også tar høyde forslike problemstillinger? Leserenutfordres til å komme med synspunkterpå det spørsmålet.Gruppe eller individ?Arbeidsplaner med et visstantall oppgaver gir lite rom forfelles aktiviteter i hele gruppen.Aktiviteter som kan føre tilsamtale om matematiske sammenhengerog algoritmer. Slikeinnslag i arbeidet med matematikker virkningsfulle når en vil atelevene skal utvikle forståelsefor det de holder på med, ogdet styrker den grunnleggendeferdigheten å uttrykke segmuntlig – om matematikk. Deter også et viktig ledd i å byggeopp en god forståelse for dengrunnleggende ferdigheten ”åuttrykke seg skriftlig”. Brukenav matematiske symboler bliren annen måte å uttrykke detvi har snakket om, gjerne ihverdagsspråk. Og disse symboleneer enklere å forholde segtil når de uttrykker noe vi er blittfortrolige med gjennom aktivitetog samtale.Etter mitt skjønn er det engod grunntanke for undervisningi matematikk at lærerensammen med elevene går inni en prosess der en først skafferseg erfaring fra en aktiviteteller problemløsing som gir ossanledning til å snakke om viktigematematiske begrep elleralgoritmer. Deretter lar begrepeneeller algoritmene få etskriftlig uttrykk. At en i etterkantbør sørge for å skaffe seg ferdigheti å anvende begrepeneeller bli sikre i algoritmene, bliret annet spørsmål.Hvordan ser så den godearbeidsplanen ut?Det er et spørsmål jeg utfordrerleserne på å skrive noeom. Mange har sikkert gjortseg erfaringer det kan væreinteressant for flere å få del i.Grunntanken med LAMIS er joå dele erfaringer. Det kan væreinteressant å få dele noe somikke har fungert, men de flestevil kanskje ønske seg eksemplerpå noe som har fungert.Kanskje synes dere jeg tar feili noe av det jeg har skrevet idette innlegget. Det er alltidinteressant med motforestillinger.Det er slik vi utvikler ossvidere, både i matematikkensegen verden, og i didaktikkensverden.80Landslaget for matematikk i skolen