Grundlæggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 2

GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stxProcent1. Procenter pÅ en ny mÅde.......................................... 12. VÄkstrate................................................................. 23. Gennemsnitlig procent............................................. 2LineÄr vÄkst4. LineÄr funktion. ...................................................... 35. LineÄr vÄkst. .......................................................... 36. Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineÄr vÄkst...... 47. Skriv hvad a og b i lineÄr forskrift fortÄller. .......... 4Eksponentiel vÄkst8. Eksponentiel funktion.............................................. 59. Eksponentiel vÄkst.................................................. 510. Skriv ligning ud fra beskrivelse af eksponentielvÄkst........................................................................ 611. Skriv hvad a og b i eksponentiel forskrift fortÄller. 6PotensvÄkst12. Potensfunktion......................................................... 713. PotensvÄkst. ............................................................ 714. Udregn procentÄndring for potensfunktion............. 7Grafer15. Graf for lineÄr funktion........................................... 816. Graf for eksponentiel funktion................................. 817. Graf for potensfunktion. .......................................... 8Regression18. LineÄr regression. ................................................... 919. Regression, Årstal..................................................... 920. Hvorfor skal alle tal i tabel bruges?........................1021. Fejl at bruge mÅlt tal nÅr vi skal bruge model ........1022. Eksponentiel regression..........................................1123. Potensregression. ....................................................12Bestem forskrift ud fra to punkter24. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter.......1325. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punktergivet ved tekst.........................................................1426. Bestem b i f (x) = ax+b ud fra a og punkt..........1427. Bestem a i f (x) = ax+b ud fra b og punkt..........1428. Bestem a og b i y=ba x ud fra to punkter. .........1529. Bestem a og b i y=ba x ud fra to punktergivet ved tekst.........................................................1630. Bestem b i y=ba x ud fra a og punkt.................1631. Bestem a i y=ba x ud fra b og punkt.................1632. ba x og be xk ........................................................1733. Bestem a og b i y=bx a ud fra to punkter ..........17Fordoblings- og halveringskonstant34. Fordoblingskonstant og halveringskonstant. ..........1835. AflÄs fordoblingskonstant og halveringskonstantpÅ graf.....................................................................1936. Udregn fordoblings- og halveringskonstant ud fraforskrift...................................................................1937. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstantfortÄller. .................................................................2038. Udregn y-vÄrdier med T 2 og T Ç . ........................... 20Proportionale og omvendt proportionale variable39. Proportionale variable.............................................2140. Omvendt proportionale variable.............................2241. Opgave hvor variable fra virkeligheden eromvendt proportionale............................................2342. Proportional/omvendt proportional med udtryk .....23Logaritmefunktioner43. Naturlig logaritme og titalslogaritme......................24Beviser44. Bevis for hvad a og b i y = ax+b fortÄller.........2545. Bevis for hvad a og b i y = ba x fortÄller............2546. Bevis for reglen om potensvÄkst............................25Polynomier47. Polynomier og rÉdder. ............................................26Andengradspolynomier48. Andengradspolynomium. .......................................2749. Toppunkt. ...............................................................2750. Diskriminant...........................................................2851. Betydning af a, b, c og d for grafen........................2852. Nulpunkt.................................................................2953. Antal nulpunkter eller lÉsninger. ............................2954. LÉs andengradsligning............................................3055. Ligninger af typen x 2 = r .......................................3156. Bevis for formlen for lÉsning afandengradsligninger................................................3257. Regel for at faktorisere andengradspolynomium....3258. Eksempler pÅ faktorisering afandengradspolynomium..........................................3259. Find forskrift for andengradspolynomium..............33En tidligere udgave af dette hÄfte har skiftet adresse tilhttp://mat1.dk/grundlaeggende_funktioner_for_b_niveau_i_stx_udgave_2.pdfGrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3, Å 2014 Karsten Juul . Nyeste version af dette hÄfte kan downloades frahttp://mat1.dk/noter.htm. Det mÇ bruges i undervisningen hvis lÄreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1.dk som oplyser atdet bruges og oplyser hold, niveau, lÄrer og skole. 6/8-2014

1. Procenter pÅ en ny mÅde.Procent1a. T er 34 % af 600T = 34 % af 60034= 600 Ñ 0,34 da 34% = 100= 204= 0,34Du plejer nok at udregne 34 % ved at divideremed 100 og gange med 34.I nogle opgavetyper dur denne metode ikke.Du er nÉdt til at vÄnne dig til at gange med0,34 for at udregne 34 %.1b. S er 34 % stÅrre end 600S = 134 % af 600 da 100 % + 34 % = 134 %134= 600 Ñ 1,34 da 134 % = = 1,34100= 8041c. R er 34 % mindre end 600R = 66 % af 600 da 100 % – 34% = 66 %66= 600 Ñ 0,66 da 66% = 100= 396= 0,66NÅr du udregner det der er 34% stÉrre end ettal, sÅ plejer du nok at udregne 34 % af talletog lÄgge til tallet.I nogle opgavetyper dur denne metode ikke.Du er nÉdt til at vÄnne dig til at gange med1,34 for at udregne det der er 34 % stÉrre.NÅr du udregner det der er 34% mindre endet tal, sÅ plejer du nok at udregne 34 % aftallet og trÄkke fra tallet.I nogle opgavetyper dur denne metode ikke.Du er nÉdt til at vÄnne dig til at gange med0,66 for at udregne det der er 34 % mindre.1d. Hvor mange procent er 52 af 126 ?52126 0,412698 41,2698 41,3% 52 er 41,3% af 126 .1e. Oversigt over grundlÄggende procentregningy 0,30y 0,30yy y 1y 1,30yy 0,700,30 0,70 1ABy 0,30ABB er 30% af A B er 30% stÅrre end A B er 30% mindre end AB er 130% af AB er 70% af AAB470141 0,30 141 er 30% af 470470141GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 1 2014 Karsten Juul

2. VÄkstrate2a. Hvad er vÄkstrate?SÄtningen den Årlige vÄkstrate er 18%betyder stigningen er 18 % hvert ÅrtSÄtningen den mÅnedlige vÄkstrate er 3 %betyder stigningen er 3 % hver mÅned2b. EksempelDer gÄlder Antal ansatte skal stige med en Årlig vÄkstrate pÅ 10 %.Dvs. Antal ansatte skal stige 10% hvert År.I År er antal ansatte 820Om 1 År er antal ansatte 820 1,45 1189Om 2 År er antal ansatte 820 1,451,45 17246 Om 6 År er antal ansatte 820 1,457621Om x År er antal ansatte 8201,45 x100 % 45 % 145 % 1451001,451,4521,451,458201,45 x ÅrAntal ansatte11898201,451,4517241,4525003. Gennemsnitlig procent3a. Metode til at udregne gennemsnitlig procentHvis en stÉrrelse stiger fra A til B pÅ n År, sÅ kanden gennemsnitlige Årlige procentvise stigning rudregnes ved hjÄlp af formlen A(1+r) n = B .3b. Eksempel pÇ udregning af gennemsnitlig procentHvis A = 158 , B = 221 og n = 10 , er 158(1+r) 10 = 221 .Nspire lÉser denne ligning mht. r for r > 0 og fÅr r = 0,034126 ,dvs. Den gennemsnitlige Årlige procentvise stigning er 3,41 % .3c. Flere oplysninger om gennemsnitlig procentPerioden behÉver ikke vÄre et År.Fra uge 10 til 15 er indtÄgten steget fra 1,7 mio. kr. til 2,4 mio. kr.Vi regner som vist ovenfor og fÅr: Gennemsnitlig ugentlig procentvis stigning er 7,14 %.Dette betyder: Ved at stige med 7,14 % hver uge kan et belÉb stige fra 1,7 til 2,4 mio. kr.Procentstigningen har mÅske ikke vÄret den samme hver uge. Derfor ordet ”gennemsnit”.3d. Advarsel om gennemsnitlig procentVi kan IKKE udregne gennemsnitlig procent ved at lÄgge procenter sammen og dividere medantallet. Dette skyldes at procenterne ikke tages af lige store tal.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 2 2014 Karsten Juul

6. Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineÄr vÄkst.OpgaveMan skal betale 10 kr. for at starte pÅ et computerspil, og herefter skal man betale 0,50 kr. pr.minut man spiller.Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne prisen for at spille nÅr vi kender antal minutter vispiller.BesvarelseVi bruger x og y til at betegne fÉlgende talstÉrrelser:x = antal minuttery = prisen i kr.SÅ kan vi oversÄtte oplysningerne til fÉlgende:NÅr x 0 er y 10Hver gang vi gÉr x án enhed stÉrre, bliver der lagt 0,50 til y .Af reglerne for hvad a og b if ( x) ax b fortÄller, fÅr vi:y0,50x 10nÅr x = antal minutter og y = prisen i kr.7. Skriv hvad a og b i lineÄr forskrift fortÄller.OpgaveFor en cirkel pÅ et elektronisk billede kan radius udregnes ved hjÄlp af formleny 2x 80 hvor x er temperaturen i C og y er radius i mm.BesvarelseHvad fortÄller tallene 2og 80 om radius?Af reglerne for hvad a og b i y ax b fortÄller, fÅr vi:2er det tal der bliver lagt til radius y hver gang vi gÉr temperaturen x en gradstÉrre .NÅr temperaturen x er 0, er radius y lig 80 .Dvs.:Radius er 80 mm ved 0 C og bliver 2 mm mindre for hver grad temperaturen stiger .GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 4 2014 Karsten Juul

8. Eksponentiel funktion.Eksponentiel vÄkstEn funktion f er eksponentiel hvis den har en forskrift af typenf ( x) ba xa og b skal vÄre positive tal.DefinitionsmÄngden (dvs. de tal vi kan indsÄtte for x) er alle tal.Tallet a i en eksponentiel forskriftxf ( x) ba kaldes fremskrivningsfaktoren.9. Eksponentiel vÄkst.x9a. Reglen for eksponentiel vÄkst (reglen for hvad a i eksponentiel sammenhÄng y bafortÄller):Hver gang vi gÉr x án enhed stÉrre, bliver vÄrdien af y ganget med a.x9b. Reglen for hvad b i en eksponentiel sammenhÄng y baNÅr x er 0, er y lig b.fortÄller:9c. Af 9b og 9a fÅr vi: PÅ grafen for y = 241,5 x ligger punkterne (–1,16), (0,24), (1,36), (2,54)osv.y241,5 xDen sorte kurve er graf forfunktionen y = 241,5 x .Figuren viser at y-koordinaten(sÉjlehÉjden) ganges med 1,5nÅr x bliver 1 stÉrre.161,5241,5361,554+1 +1 +1x : –1 0 1 2 xy : 16 24 36 54 241,5 x1,5 1,5 1,59d. Hvis vi aflÄser punkterne (0,2), (1,6), (2,18) pÅ en eksponentiel graf,kan vi af 9a og 9b slutte at y = 23 x .9e. For y = 5,81,043 x gÄlder: Hvis vi 8 gange gÉr x án enhed stÉrre, vil y 8 gange blive gangetmed 1,043, sÅ: Hver gang vi gÉr x 8 enheder stÉrre, bliver y ganget med 1,043 8 = 1,40047 .+8 +8 +8 1,043 8 = 1,400x : –8 0 8 16 xy : 4,14 5,8 8,12 11,37 5,81,043 x1,4 1,4 1,4GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 5 2014 Karsten Juul

PotensvÄkst12. Potensfunktion.En funktion f er en potensfunktion hvis den har en forskrift af typenb skal vÄre et positivt tal. a kan vÄre ethvert tal.DefinitionsmÄngden (dvs. de tal vi kan indsÄtte for x) er de positive tal.Tallet a i potensforskriften f ( x) bx kaldes eksponenten.aaf ( x) bx .13. PotensvÄkst.13a. Reglen for potensvÄkst: Om en potenssammenhÄngNÅr x bliver ganget med k , sÅ bliver y ganget med k a .ay bxgÄlder for et positivt tal k:13b. Eksempel y = 1,2x 0,7 NÅr x ganges med 1,25, sÅ ganges y med 1,25 0,7 = 1,17 .NÅr x ganges med 2, sÅ ganges y med 2 0,7 = 1,62 .1,25 1,25 2x : 1,14 1,43 1,79 3,80 7,60y : 1,32 1,54 1,80 3,06 4,961,25 0,7 1,25 0,7 2 0,714. Udregn procentÄndring for potensfunktion.14a. Opgave (udregn Ändring af y) Et dyr vokser sÅdan at y 2,7 x hvor y er vÄgt i gram,og x er lÄngde i cm. NÅr dyret er 40 % lÄngere, hvor mange procent tungere er det sÅ?Besvarelse At x bliver 40%stÉrre, er det samme som at x bliver ganget med 1 , 40 .(Start: 100%. Efter stigning: 140%=140:100=1,40)NÅr x bliver ganget med 1 , 40 , sÅ bliver y ganget med1,61,40 1,71319 1,71At y bliver ganget med 1 , 71 , er det samme somat y bliver 71%stÉrre. (Start: 100%. 100%1,71=171%. 171%–100%=71%)Dyret bliver 71%tungere nÅr det bliver 40%lÄngere.0,5114b. Opgave (udregn Ändring af x) f ( x) 240 x hvor x er rutes lÄngde i km, og f (x)erantal deltagere. Hvor mange procent kortere skal rute vÄre for at fordoble antal deltagere?0,51Besvarelse NÅr vi ganger x med k, bliver antallet f (x) ganget med k . Da vi vil gange f (x)0,51med 2, skal vi vÄlge k sÅ k 2 . Nspire lÉser denne ligning mht. k og fÅr k = 0,256889 .At lÄngden x skal ganges med 0,257, er det samme som at lÄngden bliver 74,3% mindre.(Start: 100% . 100%0,257 = 25,7%. 25,7%–100% = –74,3%)Ruten skal vÄre 74,3%kortere for at antal deltagere fordobles.1,6BemÄrk at vi IKKEsÄtter 1,40 ind iligningen. Vi brugereksponenten fra ligningen.14c. Forskellige formuleringerDet er ikke altid at der stÅr at x eller y Ändres med en procent. I stedet kan der stÅ at x eller yganges med et tal (tallet k i 11a ovenfor). SÅ slipper vi for at omsÄtte mellem procent og talnÅr vi bruger 11a ovenfor.I 12b ovenfor blev y ganget med 2. Det er det samme som at y bliver 100% stÉrre.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 7 2014 Karsten Juul

Grafer15. Graf for lineÄr funktion f ( x) ax bGrafen er en ret linje.dPÅ grafen ser vi:DefinitionsmÄngde: alle tal dvs. alle tal kan indsÄttes for x.Voksende: a positiv eksempel: dAftagende: a negativ eksempel: gxHvis a 0i f ( x)axbeller i f ( x)bx, eller a 1i f ( x)ba,sÅ er f ( x)b, sÅ grafen er en vandret linje.agHvis a 1iaf ( x)bx, er f ( x)bx, sÅ grafen er en skrÅ linje.x16. Graf for eksponentiel funktion f ( x) ba hvor a og b er positivePÅ grafen ser vi:DefinitionsmÄngde: alle tal dvs. alle tal kan indsÄttes for x.hVoksende: a stÉrre end 1 eksempel: hAftagende: a mellem 0 og 1 eksempel: kGrafen kommer vilkÅrlig tÄt pÅ x-aksen, men nÅr den aldrig.BemÄrk at grafen krummer sÅdan: eller sÅdan: IKKE sÅdan: , og IKKE sÅdan: k17. Graf for potensfunktionaf ( x) bx hvor b er positivPÅ grafen ser vi:DefinitionsmÄngde: de positive tal dvs. alle positive tal kan indsÄttes for x.Voksende og graf krummer op: a over 1 eksempel: mVoksende og graf krummer ned: a mellem 0 og 1 eksempel: nAftagende: a negativ eksempel: pAftagende potensfunktion:grafen kommer vilkÅrlig tÄt pÅx-aksen, men nÅr den ikke.mnpBemÄrk at graferne IKKEkrummer sÅdan: GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 8 2014 Karsten Juul

Regression18. LineÄr regression.OpgaveVi har mÅlt lÄngde og bredde for nogle komponenter:Bredden f (x), mÅlt i cm, er med god tilnÄrmelsegivet vedf ( x) ax bBesvarelselÄngde i cm 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5bredde i cm 5,1 5,3 5,9 6,1 6,6hvor x er lÄngden mÅlt i cm.Find tallene a og b.Vi indtaster tallene sÅdan atlÄngde kommer pÅ den vandrette akse ogbredde kommer pÅ den lodrette akse.Nspire laver lineÄr regression pÅ de indtastede talog fÅrf ( x) 0,38x 0,67 .Dvs.a 0,38 og b 0, 67SÇdan taster vi pÇ NspireVi vÄlger vindue aftype ”Lister og Regneark”og taster tabel sÅdan Lad ikke markÉr stÅ i sidstefelt du Ändrer.I menuen vÄlger viStatistik/Statistiske beregninger.../LineÄr regression (mx+b)...SÅ fremkommer et vindue vi udfyldersom vist nedenfor. I X-liste-feltet ogY-liste-feltet, skal du ikke taste navnet,du skal vÄlge det.NÅr vi i et matematikfelt i etnotevindue taster f (x)og trykkerpÅ Ä fÅr vi19. Regression, Årstal.OpgaveTabellen viser antallet af boliger i et bestemt omrÅde.Antallet af boliger kan med god tilnÄrmelse beskrives ved en ligning af typenhvor y er antallet af boliger, og x er antal År efter 1998.Find tallene a og b.BesvarelseVi taster fÉlgende tabel:àrstal 1998 2000 2002 2004 2006 2008Antal boliger 133 170 186 218 232 247x 0 2 4 6 8 10y 133 170 186 218 232 247Nspire laver lineÄr regression pÅ hele denne tabel og fÅr y 11,2571x141,381Dvs. a 11,3og b 141y ax bVi taster ikke Årstalda x ikke er Årstallet.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 9 2014 Karsten Juul

20. Hvorfor skal alle tal i tabel bruges?Tabel:x: 1 3 5 7y: 2 3 6 9De fire punkter i tabellen er vist som rÉde prikker.Hvis vi bruger alle punkter til at bestemme lineÄr graf,sÅ fÅr vi den fuldt optrukne linje.Hvis vi kun bruger de to fÉrste punkter,sÅ fÅr vi den punkterede linjesom passer dÅrligere med tabellen.21. Fejl at bruge mÅlt tal nÅr vi skal bruge model.For en type vare er y omsÄtning x dage efter annoncering.MÇlte tal: x: 6 12 18 24 Model: y = 8x +12y: 65 103 151 209Opgave: Brug model til at bestemme stigning i omsÄtning fra 6 til 10 dage efter annoncering.Forkert svar: Af tabel: nÅr x = 6 er y = 65Af y = 8x +12 : nÅr x = 10 er y = 810 + 12 = 92Stigning 92 – 65 = 27Det er en fejl at bruge tallet fratabellen da vi skal besvarespÉrgsmÅlet ved hjÄlp af modellen.Rigtigt svar: Af y = 8x +12 : nÅr x = 6 er y = 86 + 12 = 60Af y = 8x +12 : nÅr x = 10 er y = 810 + 12 = 92Stigning 92 – 60 = 32GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 10 2014 Karsten Juul

22. Eksponentiel regression.OpgaveBesvarelseTabellen viser antallet af indbyggere i et omrÅde i perioden 2000-2005.Udviklingen kan med god tilnÄrmelse beskrives med en funktion af typenf ( x) ba xhvor f (x)er antallet af indbyggere (mÅlt i tusinder), og x er antal År efter 2000.Find a og b .Ud fra den givne tabel laver vi tabellen nedenfor hvor Årstallet er erstattet af vÄrdien af x.Denne tabel taster vi. Nspire laver eksponentiel regression pÅ hele tabellen og fÅrDvs.àr 2000 2001 2002 2003 2004 2005Antal (i tusinder) 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10,2x 0 1 2 3 4 5y 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10,2f ( x) 8,47906 1,03686a 1,037 og b 8, 48xBemÄrkHvis vi ikke bruger hele tabellen, sÅ duer besvarelsen ikke.xGrafen for y 8,479061,03686 gÅr ikke gennem tabel-punkterne,men det er den eksponentielle graf der afviger mindst fra punkterne.SÇdan taster vi pÇ NspireVi vÄlger et vindue af typen ”Lister og Regneark” og taster tabellensom vist til hÉjre.I menuen vÄlger viStatistik/Statistiske beregninger.../Eksponentiel regression...SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til hÉjre.Du skal ikke taste det der stÅr i X-liste-feltet og Y-liste-feltet,du skal vÄlge det.NÅr vi i et matematikfelt i et notevinduefÅr vitaster f (x)og trykker pÅ ÄGrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 11 2014 Karsten Juul

23. Potensregression.OpgaveDe mÅlte tal i tabellen viser for et bestemt dyr sammenhÄngen mellem alder og lÄngde .SammenhÄngen kan med god tilnÄrmelse beskrives med en funktion af typenhvor f (x)Besvarelsef ( x) bxBestem a og b .aer lÄngde (mÅlt i mm), og x er alder (mÅlt i dÉgn).Denne tabel taster vi sÅ alder er i x-sÉjlen og lÄngde er i y-sÉjlen . Nspire laverpotensregression pÅ hele tabellen og fÅrDvs.BemÄrkAlder i dÉgn 10 15 20 30 40 50LÄngde i mm 43 60 74 105 132 155f ( x) 6,79203x0,802027a 0,802 og b 6, 79Hvis vi ikke bruger hele tabellen, sÅ duer besvarelsen ikke.0,802027Grafen for f ( x) 6,79203x gÅr ikke gennem tabel-punkterne,men det er den potensgraf der afviger mindst fra punkterne.SÇdan taster vi pÇ NspireVi vÄlger et vindue af typen ”Lister og Regneark” og taster tabellensom vist til hÉjre.I menuen vÄlger viStatistik/Statistiske beregninger.../Potensregression...SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til hÉjre.Du skal ikke taste det der stÅr i X-liste-feltet og Y-liste-feltet,du skal vÄlge det.NÅr vi i et matematikfelt i et notevinduefÅr vitaster f (x)og trykker pÅ ÄHvis potensfunktionen er aftagende, skriver Nspire en brÉk:Dette skal du selv skrive om til formenab x. Husk at tilfÅje et minus foran eksponenten:GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 12 2014 Karsten Juul

Bestem forskrift ud fra to punkter24. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter.24a. Opgave Punkterne ( x,y) ( 7,1)og ( x,y) (8, 4)ligger pÅ grafen for sammenhÄngeny ax b . Find tallene a og b .Metode 1: Vi indsÄtter i formler for a og b :Af ( x1,y1) ( 7,1)og ( x2 , y2) (8, 4)fÅr viy2 y14 1 3a 0,2x x 8 ( 7)15Metode 2: Nspire lÉser ligningssystem:Da ( x,y) ( 7,1)og ( x,y) (8, 4)ligger pÅ grafen, er1 a ( 7) b4 a 8 bNspire lÉser dette ligningssystemmht. a og b og fÅra 0,2 og b 2, 4Nspire:Metode 3: Vi lÉser ligningssystem uden hjÄlpemidler:Da ( x,y) ( 7,1)og ( x,y) (8, 4)ligger pÅ grafen, er(1) 1 a ( 7) b(2) 4 a 8 bAf (1) fÅr vi(3) 1 7a bVi indsÄtter dette i (2) og fÅr4 8a (1 7a)hvoraf3 15a3 15a15 150,2 aDette indsÄtter vi i (3) og fÅr1 7 0, 2 bhvoraf2,4 bMetode 4: Nspire laver lineÄr regression:Nspire laver lineÄr regression pÅ punkterne ( x,y) ( 7,1)og ( x,y) (8, 4)ogfÅr y 0,2x 2, 424b. KonklusionHvis der stÅr at vi skal finde a og b , sÅ skal vi skrive konklusionen sÅdan:a 0,2 og b 2, 42Hvis der stÅr at vi skal finde forskriften for f , sÅ skal vi skrive konklusionen sÅdan:f ( x) 0,2x 2,41b y1 ax1 10,2 (7) 2,4GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 13 2014 Karsten Juul

25. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter givet ved tekst.OpgaveDer er en lineÄr sammenhÄng mellem temperatur og overskud.NÅr temperaturen er –3 C , er overskuddet 12 mio. kr.NÅr temperaturen er 5 C , er overskuddet 28 mio. kr.Skriv en ligning der viser sammenhÄngen mellem temperatur og overskud.BesvarelseVi sÄtterx = temperatur (mÅlt i C)y = overskud (mÅlt i mio. kr.)Der er oplyst to x-vÄrdier og tilhÉrende y-vÄrdier:Til x1 3svarer y 112 .Til x 5 svarer y 28 .2 2 Da sammenhÄngen er lineÄr, er den sÉgte ligning pÅ formenabDvs.:yx22yx1128 125 ( 3)168y1 ax1 12 2 ( 3)Ligningen y 2x18182viser sammenhÄngen mellemtemperaturen x i C og overskuddet y i mio. kr.Det er nÉdvendigt at fortÄlle lÄserendette da det ikke stÅr i opgaven.y ax b , ogAlle fire metoderfra ramme 24 kanbruges her.26. Bestem b i f (x) = ax+b ud fra a og punkt.OpgavePunktet ( 4, 35)ligger pÅ grafen for funktionen f ( x) 8x b . Find tallet b .BesvarelseVi indsÄtter 4 for x og 35 for f (x)i f ( x) 8x b og fÅr 35 8 4 b .Vi lÉser denne ligning mht. b og fÅr b 3 .Dvs. b 327. Bestem a i f (x) = ax+b ud fra b og punkt.OpgavePunktet ( 5, 8)ligger pÅ grafen for sammenhÄngen f ( x) ax 18. Find tallet a .BesvarelseVi indsÄtter 5 for x og 8 for f (x)i f ( x) ax 18og fÅr 8 a 5 18.Vi lÉser denne ligning mht. a og fÅr a 2.Dvs. a 2GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 14 2014 Karsten Juul

x28. Bestem a og b i y baud fra to punkter.28a. Opgave Punkterne ( x,y) (4, 3)og ( x,y) (7, 24)sammenhÄngenxy ba. Udregn tallene a og b .Metode 1: Vi sÄtter ind i formler for a og bAf x , y ) (4, 3)og x , y ) (7, 24)( 1 1 ( 2 2 fÅr viMetode 2: Vi lÉser ligningssystem med elektronisk hjÄlpemiddelligger pÅ grafen forxPunkterne ( x,y) (4, 3)og ( x,y) (7, 24)ligger pÅ grafen for y ba, sÅ43 baog 24 baNspire lÉser dette ligningssystem mht. a og b og fÅra 2 og b 316Metode 3: Vi lÉser ligningssystem uden hjÄlpemidler7xPunkterne ( x,y) (4, 3)og ( x,y) (7, 24)ligger pÅ grafen for y ba, sÅ3 ba4og724 baVi dividerer hÉjre ligning med venstre:724 ba34baNÅr vi forkorter de to brÉker, fÅr vi38 asÅabadvs. a 2x xa2y1x13 81yyVi indsÄtter denne vÄrdi af a i ligningen 3 baog fÅr 3 b243Ved at dividere begge sider med 2 fÅr vi b423sÅb 16Metode 4: Vi bruger eksponentiel regressionNspire laver eksponentiel regression pÅ punkterne ( x,y) (4, 3)og ( x,y) (7, 24)og fÅr a 2 og b 0, 187528b. KonklusionHvis der stÅr at vi skal finde a og b , sÅ skal vi skrive konklusionen sÅdan:aa74 a474a 2 og b 0, 1875 eller sÅdan: a 2 ogda3b 16Hvis der stÅr at vi skal finde forskriften f or f , sÅ skal vi skrive konklusionen sÅdan:f ( x) 0,1875 221x3427424 3 83316eller sÅdan:2Nspire:3f ( x) 216xaa744a a a a a a aa a a aGrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 15 2014 Karsten Juul

29. Bestem a og b i y = ba x ud fra to punkter givet ved tekst.OpgaveEn plantes vÄgt kan med god tilnÄrmelse beskrives med en funktion af typen y = ba xhvor y er vÄgt i kg, og x er År efter udplantning.Efter 2 År er vÄgten 1,60 kg. Efter 5 År er vÄgten 4,10 kg.Udregn a og b .Svar Der stÅr: Efter 2 Çr er vÄgten 1,60 kg. Efter 5 Çr er vÄgten 4,10 kg.Dvs. NÅr x = 2 er y = 1,60 . NÅr x =5 er y = 4,10 .Vi indsÄtter punkterne ( x1,y1) (2,1,60)og ( x2,y2) (5, 4,10)og b og lader Nspire udregne udtrykkene:i formlerne for aDvs. .a = 1,368. og .b = 0,854. .30. Bestem b i f (x) = ba x ud fra a og punkt.OpgaveSvarPunktet (2, 36) ligger pÅ grafen for funktionen f (x) = b3 x . Find tallet b .NÅr vi indsÄtter 2 for x i forskriften, sÅ er resultatet 36 , dvs. b3 2 = 36 .Nspire lÉser ligningen b3 x = 36 mht. b og fÅr b = 4 .31. Bestem a i f (x) = ba x ud fra b og punkt.OpgaveSvarPunktet (3, 40) ligger pÅ grafen for funktionen f (x) = 5a x . Find tallet a .NÅr vi indsÄtter 3 for x i forskriften, sÅ er resultatet 40 , dvs. 5a 3 = 40 .Nspire lÉser ligningen 5a 3 = 40 mht. a og fÅr a = 2 .GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 16 2014 Karsten Juul

32. ba x og be xk .30a. RegelVi kan skrive en eksponentiel forskrift pÅ to mÅder:xf ( x) baogVi kan omskrive fra den ene mÅde til den anden ved hjÄlp af formlen:a ef ( x) bekkx30b. Opgave Skrivf ( x) 200,76xpÅ formenkxf ( x) be.Svara ek0,76Nspire lÉser denne ligning mht. k og fÅr k 0, 274437 .e kf ( x) 20e0,274xNspire:Almindeligt e kan ikke bruges!30c. Opgave Skrivf ( x) 3,8 e1,4 xpÅ formenxf ( x) ba.Svara ek1,4a eNspire udregner hÉjre side og fÅr a 4, 0552 .f ( x) 3,8 4, 06xa33. Bestem a og b i y bxud fra to punkter.33a. Opgave Punkterne ( x,y) (2, 5)og ( x,y) (3, 7)ay bx. Udregn tallene a og b .ligger pÅ grafen for sammenhÄngenMetode 1: Vi lÉser ligningssystem med elektronisk hjÄlpemiddelPunkterne ( x,y) (2, 5)og ( x,y) (3, 7)ligger pÅ grafen fora5 b2og 7 b3Nspire lÉser dette ligningssystem mht. a og b og fÅra 0,829843 og b 2, 81295aNspire:y bxa, sÅMetode 2: Vi bruger potensregressionNspire laver potensregression pÅ punkterne ( x,y) (2, 5)og ( x,y) (3, 7)a 0,829843 og b 2, 81295og fÅr33b. KonklusionHvis der stÅr at vi skal finde a og b , sÅ skal vi skrive konklusionen sÅdan:a 0,829843 og b 2, 81295Hvis der stÅr at vi skal finde forskriften for f , sÅ skal vi skrive konklusionen sÅdan:f ( x) 2,81295x0,829843GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 17 2014 Karsten Juul

Fordoblings- og halveringskonstant34. Fordoblingskonstant og halveringskonstant.34a. OplÄgTabellen viser hvordan hÉjden af en plante er vokset eksponentielt.I tabellen ser vi:Antal uger efter kÉb: 0 1 2 3 4 5 6HÉjde i cm: 12 15 19 24 30 38 481 uge efter kÉbet er hÉjden 15 cm.3 uger senere er hÉjden 30 cm, som er det dobbelte af 15 cm.2 uger efter kÉbet er hÉjden 19 cm.3 uger senere er hÉjden 38 cm, som er det dobbelte af 19 cm.Uanset hvornÅr vi starter, sÅ vil der gÅ 3 uger fÉr hÉjden er fordoblet.Man siger at hÉjdens fordoblingskonstant er 3 uger.34b En eksponentielt voksende sammenhÄng har en fordoblingskonstant T 2 .NÅr x-vÄrdien bliver T2enheder stÉrre, sÅ bliver y-vÄrdien fordoblet.34c En eksponentielt aftagende sammenhÄng har en halveringskonstant T1 .NÅr x-vÄrdien bliverT12enheder stÉrre, sÅ bliver y-vÄrdien halveret.234d. EksempelT 2 = 7 , dvs.y (sÉjlehÉjden) fordoblesnÅr x bliver 7 stÉrre.+7 +7 +7x : –3 4 11 18y : 1,5 3 6 122 2 21,5T 2 =7367 734e. EksempelT É = 4 , dvs.y (sÉjlehÉjden) halveresnÅr x bliver 4 stÉrre.+4 +4 +4x : –2 2 6 10y : 8,4 4,2 2,1 1,05É É É8,44,22,1T É =41,0544 4GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 18 2014 Karsten Juul

35. AflÄs fordoblingskonstant og halveringskonstant pÅ graf.Opgave (halvering)Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagendesammenhÄng.Hvad er halveringskonstanten for denne sammenhÄng?BesvarelseResultatet bliver det samme uanset hvilken x-vÄrdi vistarter med. Vi kan f.eks. starte med x 1:NÅr x 1 er y 3, 1 (se figur)Det halve af 3,1 er 3 ,1 1, 55 .2y er x 3, 7NÅr 1, 55(se figur)For at halvere y skal vi altsÅ Ége x med 3,71 2, 7 sÅhalveringskonstanten er 2,7 .BemÄrkning (fordobling)Hvis funktionen er eksponentielt voksende, kan fordoblingskonstanten aflÄses pÅ nÄstensamme mÅde: Vi finder to grafpunkter hvor y-koordinaten til det ene er 2 gange y-koordinatentil det andet. Forskellen pÅ de to punkters x-koordinater er fordoblingskonstanten.36. Udregn fordoblings- og halveringskonstant ud fra forskrift.For funktionenf ( x) bagÄlder:x36a. Regel Hvis f er voksende ( a 1), er36b. Regel Hvis f er aftagende ( 0a 1), erFor funktionenf ( x) bek xgÄlder:36c. Regel Hvis f er voksende ( k 0), er36d. Regel Hvis f er aftagende ( k 0), er36e. Eksempel Hvis36f. Eksempel Hvis36g. Eksempel Hvis36h. Eksempel Hvisln(2)T2ln( a)ln( 1 2)T12ln( a)TT2 1 2ln(2)kln( 2 1 )xln(2)f ( x) 12,5 1,063 er T2 11,345411,3ln(1,063)xln( 1f ( x) 400 0, 85 er 2)T 4,26502 4, 2712ln(0,85)0,25xln(2)f ( x) 0,622 e er T2 2,77259 2, 770,251,3xln( 1f ( x) 3,08e er 2)T1 0,53319 0, 53321,3kGrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 19 2014 Karsten Juul

37. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortÄller.OpgaveDer er en eksponentiel sammenhÄngy bax = lÄngden (i cm)y = omkredsen (i cm)Vi har fÅet at vide atfordoblingskonstanten er 7 .Hvad fortÄller dette om lÄngde og omkreds.xmellem de variableBesvarelseAt fordoblingskonstanten er 7 betyder:Dvs:NÅr x-vÄrdien bliver 7 enheder stÉrre, sÅ bliver y-vÄrdien fordoblet.NÅr lÄngden bliver7 cm stÉrre, sÅ bliver omkredsen fordoblet.Hvis vi i stedet havde fÅet at vide athalveringskonstanten er 7ville svaret vÄreNÅr lÄngden bliver7 cm stÉrre, sÅ bliver omkredsen halveret.38. Udregn y-vÄrdier med T 2 og T Ç .38a. OpgaveOm en eksponentiel funktion f er oplyst at f (4) = 9 og at T 2 = 3 .Udregn f (10) .Besvarelse+3 +3x : 4 7 10f (10) = 36f (x): 9 18 362 238b. OpgaveOm en eksponentiel funktion f er oplyst at f ( 0) 12og at halveringskonstanten er 1.Udregn f (3).Besvarelse1 21 21 2f (1) 126 , f (2) 6 3 og f (3) 31, 5 .f ( 3) 1,5GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 20 2014 Karsten Juul

Proportionale og omvendt proportionalevariable39. Proportionale variable.39a. DefinitionOm to variable x og y siger vi athvis39b. Opgavey er proportional med xy k xog k er det samme tal for alle vÄrdier af x .De to variable x og y er proportionale.Tabellen viser nogle sammenhÉrende vÄrdier af x og y.Hvad er y nÅr x er 10 ?Hvad er x nÅr y er 15?BesvarelseUdregne k :Da x og y er proportionale, er der et tal k sÅ(1) y k x .I tabellen ser vi at nÅr x 24 er y 18 .Dette indsÄtter vi i (1):18 k 24Denne ligning lÉser vi mht. k og fÅr0,75 kDette tal indsÄtter vi i (1) og fÅr ligningen for sammenhÄngen mellem x og y:(2) y 0, 75xUdregne y :For at finde y nÅr x er 10, sÄtter vi x til 10 i (2):y 0,7510Heraf fÅr vi y 7, 5sÅy er 7,5 nÅr x er 10x 24 36 92y 18 27 69I opgaven stÅr ikke at vi skal udregne k.Vi skal selv vide at vi skal udregne k fÉrst,sÅ vi kan bruge k til at udregne de tal der er spurgt om.Vi kan lÉse ligningen ved atdividere begge sider med 24.Udregne x :For at finde x nÅr y er 15, sÄtter vi y til 15 i (2):15 0, 75xVi lÉser denne ligning mht. x og fÅr20 xsÅx er 20 nÅr yer 15Vi kan lÉse ligningen ved atdividere begge sider med 0,75.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 21 2014 Karsten Juul

40. Omvendt proportionale variable.40a. DefinitionOm to variable x og y siger vi athvisy er omvendt proportional med xky og k er det samme tal for alle vÄrdier af x .x40b. OpgaveDe to variable x og y er omvendt proportionale.Hvad skal der stÅ pÅ de tomme pladser i tabellen?x 12 36y 9 6BesvarelseUdregne k :Da x og y er omvendt proportionale, er der et tal k sÅk(1) y .xI tabellen ser vi at nÅr x 12 er y 6 . Dette indsÄtter vi i (1):6k12Vi lÉser denne ligning mht. k og fÅr72kDette tal indsÄtter vi i (1) og fÅr ligningen for sammenhÄngen mellem x og y:(2)Udregne y :y72xFor at finde y nÅr x er 36, sÄtter vi x til 36 i (2):72y 36Heraf fÅr vi y 2 sÅy er 2 nÅr x er 36I opgaven stÅr ikke at vi skal udregne k.Vi skal selv vide at vi skal udregne k fÉrst,sÅ vi kan bruge k til at udregne de tal der er spurgt om.Vi kan lÉse ligningen ved atgange begge sider med 12.Udregne x :For at finde x nÅr y er 9, sÄtter vi y til 9 i (2):729 xVi lÉser denne ligning mht. x og fÅrx 8sÅx er 8 nÅr y er 9Vi kan lÉse ligningen vedfÉrst at gange begge sidermed x og derefter atdividere begge sider med 9.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 22 2014 Karsten Juul

41. Opgave hvor variable fra virkeligheden er omvendtproportionale.OpgavePÅ en skÄrm er et rektangel som vi kan Ändre ved at trÄkke med musen.HÉjde og bredde er omvendt proportionale.HÉjden er 2,5 nÅr bredden er 8Hvad er hÉjden nÅr bredden er 3,2 ?BesvarelseVi kalder hÉjden for h og bredden for b.Udregne k :Da h er omvendt proportional med b, findes et tal k sÅkh bDa h 2, 5 nÅr b 8mÅk2,5 8Vi ganger begge sider med 8 og fÅr k 20 , dvs.(1)Udregne h :h20bVi sÄtter b 3, 2 i (1):h203,2Heraf fÅr vi h 6, 25sÅhÉjden er 6,25 nÅr bredden er 3,242. Proportional/omvendt proportional med udtryk.42a. OpgaveEn variabel y er proportional med kvadratet pÅ en variabel x .Bestem en forskrift for y som funktion af x .Besvarelse"Kvadratet pÅ x" er "x 2 ". At y er proportional med noget, betyder at y er lig en konstant kgange dette noget. Dvs. y = kx 2 .42b. OpgaveEn variabel V er omvendt proportional med en variabel a i 3. potens.Skriv en formel der angiver V udtrykt ved a .BesvarelseAt V er omvendt proportional med noget, betyder at V er lig en konstant k divideret medkdette noget. Dvs. V = .a 3GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 23 2014 Karsten Juul

Logaritmefunktioner43. Naturlig logaritme og titalslogaritme.Funktionen ln(x)hedder den naturlige logaritmefunktion.Funktionen log(x)hedder titalslogaritmefunktionen.Funktionerne ln(x)og log(x)er pÅ Nspire.Logaritmereglerne:ln( a b) ln( a) ln( b)log( a b) log( a) log( b)ln(a) ln( a) ln( b)log(a) log( a) log( b)bbln(a x) x ln(a)log( ) x log(a)ln( 1) 0log( 1) 0ln(e) 1log( 10) 1Grafer:a xlnlogDefinitionsmÄngden for ln og log er de positive tal, dvs. alle positive tal kan indsÄttes for x.Eksempler pÇ brug af logaritmereglerne:ln(e 4 )4 ln(e)4 14ln(ex)xlog( 1000) log(103) 3log(10) 31120log( 120) log(0,12) log( ) log(1000) 0,12log( 5) log(2) log(52) log(10)133GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 24 2014 Karsten Juul

Beviser44. Bevis for hvad a og b i y = ax+b fortÄller.SÄtning For en lineÄr sammenhÄng y ax b gÄlder:Bevis for 44a44a. NÅr vi lÄgger 1 til x , sÅ lÄgges a til y .44b. NÅr x=0 , er y=b .+1x : t t+1ax+b : at+b a(t+1)+b= at+a1 + b Vi ganger a ind i parentes.= at+a + b a gange 1 er a.FÉrste x kalder vi t . Andet x er 1 stÉrre.FÉrste y fÅr vi ved at indsÄtte t for x i ax+b ogandet y fÅr vi ved at indsÄtte t+1 for x i ax+b= at+b + a Dette er fÉrste y plus a , sÅ 44a er bevist!Bevis for 44bOm y ax b gÄlder: NÅr x=0 er y = a0+b = 0+b = b , sÅ 44b er bevist!45. Bevis for hvad a og b i y = ba x fortÄller.SÄtning For en eksponentiel sammenhÄng y bagÄlder:45a. NÅr vi lÄgger 1 til x , sÅ ganges y med a .45b. NÅr x=0 , er y=b .Bevis for 45a+1FÉrste x kalder vi t . Andet x er 1 stÉrre.x : t t+1 FÉrste y fÅr vi ved at indsÄtte t for x i ba x ogba x : ba t ba t+1 andet y fÅr vi ved at indsÄtte t+1 for x i ba xBevis for 45bOmx= ba t a 1 IfÉlge potensreglen a r+s = a r a s .= ba t a IfÉlge potensreglen a 1 = a .xDette er fÉrste y gange a , sÅ 45a er bevist!y bagÄlder: NÅr x=0 er y = ba 0 = b1 = b , sÅ 45b er bevist!46. Bevis for reglen om potensvÄkst.SÄtningBevisOm en potenssammenhÄngay bxgÄlder for et positivt tal k:46a. NÅr x bliver ganget med k , sÅ ganges y med k a .kx : t tkbx a : bt a b(tk) aFÉrste x kalder vi t . Andet x er k gange fÉrste.FÉrste y fÅr vi ved at indsÄtte t for x i bx a ogandet y fÅr vi ved at indsÄtte tk for x i bx a .= bt a k a IfÉlge potensreglen (ab) r = a r b r .Dette er fÉrste y gange k a , sÅ 46a er bevist!GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 25 2014 Karsten Juul

47. Polynomier og rÉdder.Polynomier47a. PolynomierEt fÉrstegradspolynomium er en funktion af typenEt andengradspolynomium er en funktion af typenEt tredjegradspolynomium er en funktion af typenOsv.f ( x) ax b hvor a 0 .f ( x)ax bx c hvor a 0 .23 2f ( x)ax bx cx d hvor a 0 .47b. Nulpunkter og rÅdderHvis vi if ( x)ax bx c sÄtter2a 1 , b 3 og c 5, fÅr vi4andengradspolynomietffx) 1 x 3x 5(24Til hÉjre har vi tegnet grafen for detteandengradspolynomium.PÅ grafen ser vi at hvis vi sÄtter 4 ind for x i forskriften og regner ud, sÅ fÅr vi y-vÄrdien 3.PÅ grafen ser vi ogsÅ at hvis vi sÄtter 10 ind for x og regner y-vÄrdien ud, sÅ fÅr vi 0.Et tal kaldes et nulpunkt for f hvis vi fÅr 0 nÅr vi indsÄtter tallet for x i forskriften og regnerud. Et nulpunkt kaldes ogsÅ en rod. At finde rÉdderne er det samme som at lÉse ligningenf ( x) 0 .1 24PÅ grafen ser vi at rÉdderne er 2 og 10. Hvis vi lÉser ligningen x 3x 5 0 , sÅ fÅr vialtsÅ lÉsningerne 2 og 10.47c. Opgave(1 24Vis at 10 er rod i polynomiet f x) x 3x5 .Besvarelsef (10) 21 10 310 5 1100 30 5 25 25 4Da f ( 10) 0 , er 10 rod.4047d. Regel om antal rÅdder, antal fÄllespunkter med x-akse og antal lÅsningerEt polynomium af grad n kan hÉjst have n rÉdder.EksempelEt tredjegradspolynomium kan ikke have mere end 3 rÉdder.Grafen for et tredjegradspolynomium kan hÉjst have 3 punkter fÄlles med x-aksen.En tredjegradsligning kan hÉjst have 3 lÉsninger.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 26 2014 Karsten Juul

48. Andengradspolynomium.Andengradspolynomier48a. Et andengradspolynomium er er en funktion af typen2(1) f ( x) ax bx c hvor a 0Hvis vi skriver 0 pÅ a 's plads,sÅ bliver det ikke et andengradspolynomiumda x 2 forsvinder.48b. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?Vi sÄtter a 1 b 2c 0if ( x)ax2 bx cog fÅr f ( x) 1x ( 2)x 0sÅ22 f ( x) x 2xer et andengradspolynomium.I dette og andre andengradspolynomier skal vi kunne se hvada, b og c er for at kunne indsÄtte i formler med a, b og c .49. Toppunkt.49a. Grafen for et andengradspolynomium2f ( x) ax bx c , a 0er en parabel.Grafens toppunkt har x-koordinatenbx T 2 afx T49b. Eksempel Udregn toppunktf ( x)Vi ser at 0,4xf ( x)21,2x 3,4ax2 bx cog a 0, 4 b 1, 2 c 3, 4Toppunktets x-koordinat erb ( 1,2)x T 1,52a2 ( 0,4)Toppunktet ligger pÅ grafen og har x-koordinaten 1,5 sÅ y-koordinaten ery T 0,4 ( 1,5)Vi udregner hÉjresiden og fÅry T4,321,2 ( 1,5) 3,4Toppunktet er T (1,5 , 4,3)fGrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 27 2014 Karsten Juul

50. Diskriminant.50a. Diskriminanten for et andengradspolynomiumer tallet2f ( x) ax bx c , a 0d2 b 4ac50b. Eksempel Udregn diskriminantenVi ser atf ( x)2 3xf ( x) x 5ax2 bx cog a 3 b 1c 5Diskriminanten erdb2 4ac( 1)2 4355951. Betydning af a, b, c og d for grafen.2f ( x) ax bx c , a 0d er diskriminantena 2a 0,5a 1a : a positiv: grene vender opa negativ: grene vender nedparablen er bredere nÅr a er tÄttere pÅ nulb :b er hÄldningskoefficient for tangent tilgraf i skÄringspunkt med y-akseb 0lfb positiv:b nul:b negativ:graf gÅr op mod hÉjre i skÄring med y-aksegrafs toppunkt er pÅ y-aksegraf gÅr ned mod hÉjre i skÄring med y-aksel er tangent til f-grafen i dennesskÄringspunkt med y-aksen.b er lig l 's hÄldningskoefficient.c : Graf skÄrer y-akse i punktet (0 , c)c positiv: graf skÄrer y-akse over x-aksec nul: graf gÅr gennem punktet (0 , 0)c negativ: graf skÄrer y-akse under x-aksec 0c 0d : d positiv: graf har to punkter pÅ x-aksed nul: graf har át punkt pÅ x-aksed negativ: graf har ingen punkter pÅ x-aksed 0d 0 d 0GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 28 2014 Karsten Juul

52. Nulpunkt.52a. Atet tal er nulpunkt for en funktionbetyder atnÅr vi indsÄtter tallet for x i forskriften og regner ud,sÅ fÅr vi nul.Ordet nulpunkt er misvisende.Et nulpunkt er IKKE et punkt.Et nulpunkt er et tal.52b. Eksempel NulpunktAt2 1,5er nulpunkt for f ( x) 2x3xbetyder at2 1,52 31,5Dette er det samme som at01,5er lÉsning til ligningen 2x2 3x 0og det samme som atgrafpunktet med x-koordinat 1,5 ligger pÅ x-aksen.f0 og 1,5 er nulpunkter for f53. Antal nulpunkter eller lÉsninger.253a. f x) ax bx c( , a 0d er diskriminantenDer gÄlder atantallet af nulpunkter for andengradspolynomiet2ax bx cdvs.antallet af lÉsninger til andengradsligningen2ax bx c 0er2 hvis d 01 hvis d 00 hvis d 053b. Eksempel Antal nulpunkter eller lÄsningerVi vil bestemme tallet k sÅ andengradsligningen2k x 2x 3 0har netop án lÉsning.2Ligningen er pÅ formen ax bx c 0 med a k , b 2, c 3 ,sÅ diskriminanten er22d b 4ac ( 2) 4k3 4 12kVi vil finde ud af hvornÅr der er án lÉsning, dvs. vi vil finde ud af hvornÅr d er 0:4 12k 0 er ensbetydende med at2Ligningen k x 2x 3 0k 13har netop án lÉsning nÅrk 13GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 29 2014 Karsten Juul

54. LÉs andengradsligning.54a. En andengradsligning2ax bx c 0 , a 0kan vi lÉse sÅdan:FÉrst udregner vi diskriminanten:d2 b 4acSÅ bruger vi fÉlgende regel:Hvis d 0Hvis d 0har ligningen ingen lÉsninger.bhar ligningen lÉsningen2aHvis d 0BemÄrkninghar ligningen lÉsningerneBÅde nÅr d 0 og d 0b d2aer lÉsningerneb d2aogb d2aFormlen for at lÉse andengradsligninger.54b. Eksempel LÄs andengradsligningLigningen3x2 2x 1er af typenax2 bx c 00meda 3 , b 2og c 1Diskriminanten erdb2 4ac( 2)2 43 (1)16Da d > 0 har ligningen lÉsningerneb2ad ( 2)2 3162 4613b2ad ( 2)2 3162 461Konklusion:Ligningen 3x 2 2x 1 01har lÉsningerne 3og 1GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 30 2014 Karsten Juul

55. Ligninger af typen x 2 = r .55a. OplÄg Ligninger af typen x 2 = r2NÅr x 3er x xx 33 92NÅr x 3er x xx ( 3)(3) 9x 2 9 netop nÅr x 3eller x 355b. Regel Ligninger af typen x 2 = rNÅr n er negativ:x2 n er falsk uanset hvilket tal der indsÄttes for xNÅr p er positv:x 2 0 netop nÅr x 0x2 p netop nÅr x p eller x p55c. Eksempel Ligninger af typen ( udtryk ) 2 = rVi vil lÉse ligningen( x2)2 9Af regel 47b fÅr vix2 9 eller x2 9x2 3 eller x2 3dvs.x 5 eller x 155d. Eksempel Andengradsligning uden x-ledNÅr en andengradsligning ikke har noget x-led, kan vi lÉse den ved at omskrive og bruge regel 47b:2x2 6 02x2 x 2 x 633 eller x 3GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 31 2014 Karsten Juul

56. Bevis for formlen for lÉsning af andengradsligninger.2(2ax b) (2ax) b 2 2ax b2(1) (2ax b) 4ax b 4abx22222ifÉlge formlenHer har vi omskrevet hÉjre side22( u v) u v 2uv2Vi omskriver andengradsligningen:I ligningen2ax bx c 0 , a 0ganger vi begge sider med 4 a :4a2ax bx c 4a 0Vi ganger ind i parentesen:4a2x2 4abx 4ac 0Vi lÄgger diskriminanten222 d b 4actil begge sider:4a x 4abx 4ac b 4ac 0 b 4acVi reducerer:4a2x2Af (1) fÅr vi(2ax b) 4abx b2 d2 d22Vi bruger nu de tre dele af 47b:Hvis d 0 :2(2ax b) dhar ingen lÉsningerHvis d 0 :(2ax b)2ax b bx 2aHvis d 0 :(2ax b)2ax b2axx2 20 b b 2aNu har vi bevist alle tre dele afreglen i ramme 46a.d0ddd57. Regel for at faktorisere andengradspolynomium2Hvis andengradspolynomiet f ( x) ax bx c , a 0 har nulpunkterne x1og x 2 , erf ( x) a(x x1)(x x2) formlen for at faktorisere et andengradspolynomiumNÅr vi skriver andengradspolynomiet sÅdan, sÅ har vi faktoriseret andengradspolynomiet.Tal der ganges, kaldes faktorer. Her er der tre faktorer, nemlig a , xx1og x x2.58. Eksempler pÅ faktorisering af andengradspolynomium58a. Vi vil faktorisere andengradspolynomiet f ( x) 2x 5x 3Vi bruger formlen for at lÉse andengradsligninger og fÅr at2x2 5x 3 0 har lÉsningerne1 2og 3Vi bruger formlen for at faktorisere et andengradspolynomium og fÅr atf ( x) 2x1 x ( 3) f ( x) (2x1)(x 3)258b. I g( x) x2 4x 4 er a 1 og rÉdderne er begge 2 , sÅ faktoriseringen erg ( x) 1( x ( 2)) ( x ( 2)) ( x 2) ( x 2) ( x 2) .2Vi ganger 2 ind i parentesen for at undgÅbrÉk. Ellers havde vi ikke ganget ind.2GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 32 2014 Karsten Juul

59. Find forskrift for andengradspolynomium59a. Find forskrift nÇr der er givet nulpunkter og et punkt pÇ grafenVi har fÅet at vide at2f ( x) ax bx cf (x) har nulpunkterne 2 og 5 (I stedet kunne vÄre oplyst at f ( 2) 0 og f ( 5) 0 )punktet ( 3, 8)ligger pÅ grafen for f (x)(I stedet kunne vÄre oplyst at f ( 3) 8 )Vi vil finde a , b og c .Vi indsÄtter i formlen for at faktorisere et andengradspolynomium:f ( x) a(x 2)( x 5)NÅr vi indsÄtter et grafpunkts x-koordinat i forskriften og regner ud,sÅ fÅr vi grafpunktets y-koordinat. Da ( 3, 8)ligger pÅ grafen, era( 3 2)(3 5) 8dvs. a 1( 2) 8 , sÅ a 4.Vi fÅr f ( x) 4(x 2)( x 5) 4x 28x 40sÅ a 4, b 28 og c 402Nedenfor er vist to mÅder at udregne dette pÅ.Uden hjÄlpemidler:4(x 2)( x 5)( 4x 8)( x 5) 4x2 20x 8x 404x2 28x 40Med Nspire:59b. Find forskrift nÇr der er givet y-akse-skÄring og to andre andre punkter pÇ grafenVi har fÅet at vide at2f ( x) ax bx cpunkterne ( 0, 5), ( 2,1), ( 4, 5)ligger pÅ grafen for f (x)Vi vil finde a , b og c .Da grafen skÄrer y-aksen i ( 0, 5), er c 5 , sÅ2f ( x) ax bx 5Da ( 2,1)og ( 4, 5)ligger pÅ grafen, era2 2 b2 5 1a4 2 b4 5 4Nspire lÉser dette ligningssystem mht. a og b og fÅr a 1og b 4,sÅ a 1 , b 4og c 5Uden hjÄlpemidler kan vi lÉse ligningssystemet sÅdan:I: 4a 2b 4II: 16a 4b 0Af II fÅr viIII: b 4aDette indsÄtter vi i I og fÅr4a 2(4a) 4 4a 4a 1Dette indsÄtter vi i III og fÅrb 4 1b 4(I stedet kunne vÄre oplyst atf ( 0) 5, f ( 2) 1, f ( 4) 5 )GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3 Side 33 2014 Karsten Juul

Aandengradsligning ........................................30andengradsligning uden x-led ......................31andengradsligning, bevis..............................32andengradsligning, lÉsninger .......................30andengradspolynomium...............................27andengradspolynomium, find a, b og c........33andengradspolynomium, find forskrift ........33andengradspolynomium, graf.......................28Bbevis .......................................................25, 32Ddiskriminant .....................................28, 29, 30Eeee ....................................................17, 19, 24eksponentiel funktion.....................................5eksponentiel graf ............................................8eksponentiel regression..........................11, 16eksponentiel vÄkst .........................................5eksponentiel, bestem forskrift/ligning6, 15, 16eksponentiel, fortÄller....................................6Ffaktor ............................................................32faktorisere.....................................................32fordoblingskonstant................................18, 20fordoblingskonstant, aflÄs ...........................19fordoblingskonstant, formel.........................19fordoblingskonstant, fortÄller......................20Ggennemsnitlig procent....................................2graf .....................................................8, 24, 28Hhalveringskonstant .................................18, 20halveringskonstant, aflÄs.............................19halveringskonstant, formel...........................19halveringskonstant, fortÄller........................20Kkvadratet pÅ ..................................................23LlineÄr funktion ...............................................3lineÄr graf ......................................................8lineÄr regression............................................9lineÄr vÄkst .............................................3, 25lineÄr, bestem forskrift/ligning..........4, 13, 14lineÄr, fortÄller..............................................4logaritme ......................................................24logaritmefunktion, graf ................................24logaritmeregler.............................................24lÉsning..........................................................30lÉsninger, antal.......................................26, 29Nnaturlig logaritme.........................................24nulpunkt .................................................26, 29nulpunkter, antal ....................................26, 29Oomvendt proportional.............................22, 23omvendt proportional med udtryk ...............23Ppolynomium.................................................26potens, bestem forskrift/ligning ...................17potensfunktion ...............................................7potensfunktion, procentÄndring ..............7, 25potensgraf.......................................................8potensregression...........................................12potensvÄkst..............................................7, 25procent ...................................................1, 6, 7procent, gennemsnitlig...................................2proportional............................................21, 23proportional med udtryk ..............................23Rregression, eksponentiel...............................11regression, lineÄr...........................................9regression, potens.........................................12regression, Årstal ......................................9, 11rod ................................................................26rÉdder...........................................................26rÉdder, antal ...........................................26, 29Ttitalslogaritme ..............................................24toppunkt .......................................................27VvÄkstrate ........................................................2