Simulering av puls-ekko felter fra tynnede array - FTP archive at Ifi/UiO
Simulering av puls-ekko felter fra tynnede array - FTP archive at Ifi/UiO
Simulering av puls-ekko felter fra tynnede array - FTP archive at Ifi/UiO
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
UNIVERSITETET I OSLOInstitutt for inform<strong>at</strong>ikk<strong>Simulering</strong> <strong>av</strong><strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> <strong>felter</strong> <strong>fra</strong><strong>tynnede</strong> <strong>array</strong>Anvendt og IndustriellM<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ikk (AIM)Stian HenriksenHovedfagsoppg<strong>av</strong>eMai 1999
ForordDenne oppg<strong>av</strong>en er den skriftlige delen <strong>av</strong> arbeidet til Cand. Scient. gradeni Anvendt og Industriell M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ikk ved Institutt for inform<strong>at</strong>ikk,Universitetet i Oslo. Arbeidet begynte i september 1997 og <strong>av</strong>sluttes nåmai 1999.Først og fremst vil jeg takke min veileder, professor Sverre Holm, for interessanthovedfagsoppg<strong>av</strong>e, hjelpsomme hint og nyttige diskusjoner.Takk også til min medveileder, stipendi<strong>at</strong> Andreas Austeng, for mangeoppklarende samtaler. Andreas er alltid tilgjengelig for en pr<strong>at</strong>, entendet er faglig eller sosialt.Jeg vil også takke min mor, Mette Henriksen, for den siste hjelp medkorrektur-lesingen.Til slutt vil jeg takke Are Rønhovde og Børre Bjerkholt for det sosialefellesskapet på lesesalen.Oslo, Mai 1999Stian Henriksen
Innhold1 Innledning 11.1 Ultralyd<strong>av</strong>bildning.......................... 11.2 Oppg<strong>av</strong>ensmålsetning ....................... 22 Lyd teori og ultralyd<strong>av</strong>bildning 52.1 Lyd ................................... 52.1.1 Refleksjonogspredning.................. 62.1.2 Dif<strong>fra</strong>ksjon .......................... 62.2 Transdusere.............................. 72.2.1 Piezoelektriskeffekt .................... 92.2.2 Lineærtfasestyrt<strong>array</strong>................... 102.2.3 Annular<strong>array</strong>......................... 102.2.4 To-dimensjonalt<strong>array</strong> ................... 103 Bølge-propagering og simulering <strong>av</strong> <strong>felter</strong> <strong>fra</strong> kontinuerlige bølger133.1 Bølgelikningenforhomogentmedium ............. 133.2 Løsningpåbølgelikningen..................... 153.2.1 Planbølger........................... 153.2.2 Sfæriske bølger ....................... 153.3 <strong>Simulering</strong><strong>av</strong><strong>felter</strong><strong>fra</strong>kontinuerligebølger.......... 163.3.1 Huygensprinsipp ...................... 163.3.2 Rayleigh-Sommerfielddif<strong>fra</strong>ksjonsformel ....... 173.3.3 <strong>Simulering</strong> med Fourier transform og effektiv aperture...............................194 Ultralydmodell for <strong>puls</strong>ede bølger 214.1 Ideenbakmodellen ......................... 214.2 Feltet<strong>fra</strong>ultralydsenderihomogentmedium......... 224.3 Detspredtefeltet<strong>fra</strong>etinhomogentområde ......... 254.3.1 Enbølgelikningforinhomogentmedium........ 254.3.2 Utregning<strong>av</strong>detspredtefeltet.............. 284.4 Detmott<strong>at</strong>tefeltet.......................... 304.5 Forenkletmodellforenpunktspreder ............. 33i
iiINNHOLD5 Den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsen 355.1 Approksimasjon <strong>av</strong> den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsen 355.2 Den romlige im<strong>puls</strong>responsen ved uniform svingehastighet 365.3 Im<strong>puls</strong>responsentilrektanglerutenvekting.......... 405.3.1 Rektangelplasseringiorigo ............... 405.3.2 Fjernfelts-område ...................... 435.3.3 Generellrektangel-plassering............... 435.4 Estimering <strong>av</strong> den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsen gitttilfeldigsendergeometriogvekting............... 455.4.1 Fokuseringogstyring ................... 465.4.2 Projeksjons-faktor ..................... 476 Verifisering <strong>av</strong> ultralydmodellen 496.1 Konk<strong>av</strong>t<strong>array</strong> ............................ 496.1.1 Rektangelplassering .................... 506.1.2 <strong>Simulering</strong>er ......................... 516.2 Kontinuerligbølgerespons<strong>fra</strong>lineære<strong>array</strong> ......... 556.3 To-dimensjonale<strong>array</strong> ....................... 576.4 Konklusjon .............................. 617 Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>er 657.1 Bakgrunn ............................... 667.2 En-veisresponser<strong>fra</strong><strong>tynnede</strong>lineære<strong>array</strong>.......... 667.2.1 TynnedeNB<strong>array</strong> ...................... 667.2.2 TynnedeUWB<strong>array</strong>..................... 687.2.3 HvaslagstypeUWB<strong>array</strong>erbest ............ 697.3 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer med punktspredning ...... 697.3.1 Designe <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> ultra<strong>tynnede</strong> UWB <strong>array</strong> systemer 717.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium .... 727.4.1 Ultra<strong>tynnede</strong>UWB<strong>array</strong> .................. 747.4.2 Respons <strong>fra</strong> medium bestående <strong>av</strong> en vev-type, bakgrunnsvevet,meduvektet<strong>array</strong>.................. 747.4.3 Hoved-punktsprederteorimedINT-<strong>array</strong>et ...... 787.4.4 <strong>Simulering</strong>er med hoved-punktspreder og INT-<strong>array</strong> 807.4.5 Hoved-punktspreder teori for <strong>tynnede</strong> uvektede <strong>array</strong>............................... 867.4.6 Cyste-<strong>av</strong>bildningermeduvektet<strong>array</strong>.......... 918 Oppsummering og <strong>fra</strong>mtidig arbeid 978.1 Ultralydmodell ............................ 978.2 Ultra<strong>tynnede</strong><strong>array</strong>ogultrabredbåndede<strong>puls</strong>er........ 988.3 Framtidigarbeid........................... 99
INNHOLDiiiA M<strong>at</strong>lab- og C-kode til ultralydmodell 105A.1 Lagetransducere...........................105A.1.1 Lineært<strong>array</strong>.........................105A.1.2 To-dimensjonalt<strong>array</strong> ...................107A.1.3 Konk<strong>av</strong>t<strong>array</strong> ........................109A.2 Vekting.................................111A.2.1 M<strong>at</strong>labkode..........................111A.2.2 Ckode.............................111A.3 Fokusering...............................113A.3.1 M<strong>at</strong>labkode..........................113A.3.2 Ckode.............................114A.4 Utregning<strong>av</strong>im<strong>puls</strong>responsen ..................116A.4.1 M<strong>at</strong>labkode..........................116A.4.2 Ckode.............................119A.5 Utregning <strong>av</strong> <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> responsen ................124B M<strong>at</strong>lab-kode for to simuleringer 125B.1 Kodeforhovedpunktsprederresult<strong>at</strong>eneifigur7.9 .....125B.1.1 Utregning<strong>av</strong>feltetfordelta-<strong>puls</strong>.............125B.1.2 Utregning og <strong>fra</strong>mvisning <strong>av</strong> maksimum projeksjonstrålingsmønstre.......................129B.2 Kodeforcysteresult<strong>at</strong>eneifigur7.21og7.22 ........131B.2.1 Utregning<strong>av</strong>feltetfordelta-<strong>puls</strong>.............131B.2.2 Utregning og <strong>fra</strong>mvisning <strong>av</strong> cyste<strong>av</strong>bildningen . . . 134
ivINNHOLD
Kapittel 1Innledning1.1 Ultralyd<strong>av</strong>bildningBruk <strong>av</strong> ultralyd som <strong>av</strong>bildningsteknikk ble utviklet, så tidlig som påslutten <strong>av</strong> 1940-tallet, basert på sonar teknologi utviklet i andre verdenskrig.Men ultralyd som diagnostisk redskap ble ikke generelt akkseptertfør begynnelsen <strong>av</strong> 1970-årene da grå-skala <strong>av</strong>bildning ble introdusert.I dag er ultralyd den nest mest brukte diagnostiske <strong>av</strong>bildningsteknikkeni medisin etter røntgen.Diagnostisk ultralyd<strong>av</strong>bildning opererer for det meste i <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> modus.Det vil si <strong>at</strong> en enslig transduser brukes for sending <strong>av</strong> signalet ogfor mottaking <strong>av</strong> <strong>ekko</strong>ene reflektert eller spredt tilbake <strong>fra</strong> kroppsvevet.For å oppnå best mulig oppløsning, sender transduseren ekstremt korte<strong>puls</strong>er.Transduseren består <strong>av</strong> et nettverk <strong>av</strong> sensorer. Dette nettverket kalleset <strong>array</strong>. Med et lineært fasestyrt <strong>array</strong> kan 2D bilder dannes og medto-dimensjonale <strong>array</strong> er 3D <strong>av</strong>bildning mulig. For å oppnå de sammeoppløsnings-egenskapene som et 1D <strong>array</strong> må et 2D <strong>array</strong> ha kvadr<strong>at</strong>et<strong>av</strong> antall sensorer i 1D <strong>array</strong>et, typisk 2000-10000 sensorer i medisinskultralyd. Uheldigvis er det vanskelig å behandle d<strong>at</strong>a <strong>fra</strong> et så stort <strong>array</strong>med dagens teknologi. Det er derfor nødvendig å fjerne en god del <strong>av</strong>sensorene i 2D <strong>array</strong>et. Denne prosessen kalles tynning og anvendesblant annet i radar, sonar og seismikk i tillegg til ultralyd.1
2 Kapittel 1 . Innledning1.2 Oppg<strong>av</strong>ens målsetningDet pågår i dag mye forskning på hva slags <strong>array</strong>-tynning som gir bestultralyd-bilde. For å bedømme hvor godt et <strong>array</strong> er, brukes simuleringer<strong>av</strong> strålingen til <strong>array</strong>et.Den tradisjonelle måten å simulere strålingsmønsteret til et <strong>array</strong> er"Fourier transform"-metoden. Denne gir kontinuerlige bølge<strong>felter</strong> i fjernfelteteller i fokalregionen til et fasestyrt <strong>array</strong>.I ultralyd benyttes korte <strong>puls</strong>er. Ved universitetet i Oslo er det derforutviklet et program, Ultrasim [5], for simulering <strong>av</strong> <strong>puls</strong>ede ultralyd<strong>felter</strong>.En begrensning med de to metodene ovenfor er to-veis responsen ellerdet tilbakespredte signalet <strong>fra</strong> mediet. Begge metodene kan simulere toveisrespons, men bare dersom mediet bare består <strong>av</strong> en punktspreder.Jørgen Arendt Jensen utviklet i [6] sin egen ultralyd-simuleringsmodell,og denne har vært videreutviklet inntil i dag. Modellen kan simulereto-veis responsen <strong>fra</strong> mange punktspredere, og det er dermed mulig åsimulere hele ultralyd<strong>av</strong>bildninger <strong>av</strong> for eksempel organer eller fostre.Den har heller ingen begrensning angående <strong>puls</strong>et eller kontinuerligbølgeform eller om målingene gjøres i nær- eller fjernfeltet.Oppg<strong>av</strong>ens opprinnelige problem var å implementere ultralyd-simuleringsmodellentil Jørgen Arendt Jensen. Det skulle være mulig å spesifisereforskjellige sender- og mottaker-transdusere, forskjellig fokusering,forskjellig vekting og så videre. Målet var å finne ut om simuleringsmodellene,"Fourier transform"-metoden og Ultrasim, var gode nok.Etter 3/4 år på hovedfag for meg ble det oppdaget <strong>at</strong> Jørgen ArendtJensen hadde lagt ut sin egen programerte versjon (ikke koden), Field[13], <strong>av</strong> modellen på internett. Field har vært i utvikling i over 10 år, ogmodellen har i dag st<strong>at</strong>us som ledende for simulering <strong>av</strong> ultralyd-<strong>felter</strong>.Det er derfor ikke så interessant å sammenlikne med andre modeller.En <strong>av</strong> oppg<strong>av</strong>ens målsetninger blir derfor å programmere min egen versjon<strong>av</strong> modellen, der den sentrale delen er t<strong>at</strong>t med. Et eget verifiseringskapitteler t<strong>at</strong>t med for å vise <strong>at</strong> det er gjort riktig.I tillegg skal ultralyd-simuleringsmodellen brukes til å studere strålingsmønstretil ultra<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong>, der gjennomsnittlig element<strong>av</strong>stand ermindre enn <strong>puls</strong>lengden. Tidligere arbeider beskriver hvordan slike <strong>array</strong>oppfører seg i simuleringer med en punktspreder. I denne oppga-
1.2 Oppg<strong>av</strong>ens målsetning 3ven ses det på hvilken effekt det har <strong>at</strong> hele mediet bidrar med tilbakespredningen.Et bakgrunns-vev beskrevet med en stokastisk modellblir introdusert i tillegg til et lite objekt som målet er å <strong>av</strong>bilde. En modellsom beskriver maksimum-projeksjon strålings-mønstre for uvektedeultra<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong>, når objektet er en liten høyspredningsregion, erutledet. I tillegg undersøkes hva som skjer i cyste-<strong>av</strong>bildning, der cystenselv ikke gir tilbakespredning, men bare bakgrunns-vevet rundt.Ettersom Field har vært i utvikling i over 10 år, og er tilnærmet fri forprogrammeringsfeil, er programmet benyttet i de tyngre simuleringenei denne oppg<strong>av</strong>en.Kapittel to gir en generell introduksjon <strong>av</strong> teorien for lyd og ultralyd.Kapittel tre dekker bølgelikningen for homogent medium og simulering<strong>av</strong> kontinuerlige bølge<strong>felter</strong> <strong>fra</strong> transdusere. Kapittel fire og fem girteorien for en ultralyd-simuleringsmodell. Kapittel fem omhandler approksimasjon<strong>av</strong> en <strong>av</strong> størrelsene <strong>fra</strong> modellen i kapittel fire, nemlig denromlige vektede im<strong>puls</strong>responsen. Kapittel seks inneholder simulering<strong>av</strong> bølge<strong>felter</strong> med ultralyd-modellen. Kapittel sju bruker simuleringsmodellentil å se på strålingsmønstre for svært <strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> når ulikesimuleringsmedium er ant<strong>at</strong>t.
4 Kapittel 1 . Innledning
Kapittel 2Lyd teori og ultralyd<strong>av</strong>bildning2.1 LydUltralyd er en lydbølge som har høyere frekvens enn 20000 vibrasjonerper sekund eller 20kHz. Hørbar lyd ligger i frekvensområde <strong>fra</strong> 20Hztil 20kHz. Lyd trenger et medium å propagere i og kan i motsetning tilelektromagnetiske bølger ikke propagere i vakuum.Lyd kan tenkes på som trykk-forstyrrelser som forplanter seg gjennomet medium. Når mediet blir uts<strong>at</strong>t for mekaniske trykk-vibrasjoner starterpartiklene der å vibrere på samme måte, og lydbølgen dannes ved<strong>at</strong> vibrasjonen forplanter seg utover i mediet fordi nabopartikler påvirkerhverandre. Vibrasjonen består egentlig <strong>av</strong> <strong>at</strong> nabopartikler blir tryktsammen for så å bli strekt <strong>fra</strong> hverandre i et elastisk medium.Avstanden mellom to sammen-trekninger kalles for bølgelengden. Bådebølgelengden og propagerings-hastigheten <strong>av</strong>henger <strong>av</strong> karakteristikkentil mediet. Bølgefronter er kurver der bølgen har samme fase ellerder sammen-treknings-graden er lik.Siden ultralyd er en bølge, transporterer den energi og kan bli beskrevetmed et antall bølgeparametre akkur<strong>at</strong> som elektromagnetiske bølger.For ultralyd er disse parameterne trykk, tetthet, temper<strong>at</strong>ur, partikkelforskyvningog så videre.5
6 Kapittel 2 . Lyd teori og ultralyd<strong>av</strong>bildning2.1.1 Refleksjon og spredningRefleksjon og spredning <strong>av</strong> en bølge refererer til det samme fenomenet,nemlig redistribuering <strong>av</strong> energi <strong>fra</strong> innfalls-retningen til andre retninger.For eksempel når lydbølger som propagerer gjennom et medium,støter borti objekter med ulik akustisk impedans enn mediet selv, vilen del <strong>av</strong> energien bli spredt eller reflektert. Når bølgelengden er myemindre enn objektet, kalles redistribusjons-fenomentet refleksjon. Hvisderimot bølgelengden er mye større eller sammenlignbar med dimensjonentil objektet, kalles det spredning [22]. Forskjellen mellom refleksjonog spredning er <strong>at</strong> ved refleksjon blir formen til bølgefrontene bevartsom illustrert i figur 2.1 og 2.2.veggkilderefleksjonerFigur 2.1: Refleksjon2.1.2 Dif<strong>fra</strong>ksjonDet akustiske feltet generert <strong>av</strong> en kilde med endelig utstrekning liknerpå feltet til en planbølge som har propagert gjennom et "hull i veggen",når hullet og kilden har lik dimensjon. Når planbølgen har passerthullet, fortsetter den ikke å propagere som en planbølge, men som kulebølgervist i figur 2.3. Dette fenomenet er kjent som dif<strong>fra</strong>ksjon. Huygensprinsipp gjennomgås i kapittel 3.3.1 og gir en forklaring på dettefenomenet. Mengden <strong>av</strong> dif<strong>fra</strong>ksjon, det vil si hvor mye planbølgene blir<strong>av</strong>bøyd, <strong>av</strong>henger <strong>av</strong> størrelsen på hullet målt i bølgelengder. Et lite hullgirstor<strong>av</strong>bøyning.
2.2 Transdusere 7kildeinhomgenitetspredningFigur 2.2: SpredningbølgefronterFigur 2.3: Dif<strong>fra</strong>ksjon2.2 TransdusereTransduser <strong>array</strong> er oppsamlinger <strong>av</strong> individuelle elementer plassert iulike romlige mønstre. Elementene er sensorer som mottar eller senderultralydbølger. Disse elementene kan være rektangulære og ordnet i enlinje (lineært <strong>array</strong>, figur 2.4), eller kvadr<strong>at</strong>iske og ordnet i rader ogkolonner (to-dimensjonale <strong>array</strong>, figur 2.5) eller ring-formet og ordnetkonsentrisk (annular <strong>array</strong>, figur 2.6).
8 Kapittel 2 . Lyd teori og ultralyd<strong>av</strong>bildningPiezo-elektriskelementIsolasjonsm<strong>at</strong>erialeFigur 2.4: Lineært <strong>array</strong> sett for<strong>fra</strong>Piezoelektriske elementerIsolasjons-m<strong>at</strong>erialeFigur 2.5: To-dimensjonalt <strong>array</strong> sett for<strong>fra</strong>Piezo-elektriskelementIsolerendem<strong>at</strong>erialeFigur 2.6: annular <strong>array</strong> sett for<strong>fra</strong>
2.2 Transdusere 92.2.1 Piezoelektrisk effektDen ytterste delen <strong>av</strong> en ultralydsensor består <strong>av</strong> piezo-elektrisk m<strong>at</strong>eriale.Bortsett <strong>fra</strong> en tynn beskyttelse-hinne, er det dette m<strong>at</strong>erialetsom vil være inntil kroppsvevet ved ultralyd-<strong>av</strong>bildning. Piezoelektriskem<strong>at</strong>erialer har egenskapen <strong>at</strong> et påtrykket elektrisk felt forårsakeren forandring i deres fysiske dimensjon. Dette fenomenet er kjentsom piezoelektrisk effekt. Piezoelektriske m<strong>at</strong>erialer kan tenkes på sombygd opp <strong>av</strong> uendelig mange elektriske dipoler vist i figur 2.7. En eksternspenning V vil rette dipolene samme vei og dermed endre tykkelsenpå m<strong>at</strong>erialet <strong>fra</strong> L til L + ∆L. Illustrasjonen i figur 2.7 viser stordimensjons-forandring, men i virkeligheten er forandringen bare noenfå mikrometer.LL + ∆L+ -+-+--+++--- ++ -V = 0 V ≠ 0 +Figur 2.7: Piezoelektrisk effekt: Piezoelektriskem<strong>at</strong>erialer kan tenkes på som bygd opp<strong>av</strong> uendelig mange elektriske dipoler. En eksternspenning V vil rette dipolene samme veiog dermed endre tykkelsen på m<strong>at</strong>erialet <strong>fra</strong>LtilL+∆LHvis spenningen V er en vekselspenning, vil dimensjonen til m<strong>at</strong>erialetsvinge <strong>fra</strong>m og tilbake med en viss hastighet.Mediet som ultralyden propagerer i kan tenkes på som bygd opp <strong>av</strong><strong>at</strong>omer/molekylker separert <strong>av</strong> perfekte elastiske fjærer. Når ultralydsensorenligger inntil mediet, vil partiklene der reagere med å svingepå samme måte som det piezoelektriske m<strong>at</strong>erialet. Partikkelhastighetener bare noen få centimeter per sekund i vann og må ikke forvekslesmed propageringshastigheten til lyd som er 1500 m/s i vann.
10 Kapittel 2 . Lyd teori og ultralyd<strong>av</strong>bildning2.2.2 Lineært fasestyrt <strong>array</strong>Lineære fasestyrte <strong>array</strong> består typisk <strong>av</strong> 32-128 elementer og er cirka1 cm bred og 1 til 3 cm lang. En ultralydbølge generert <strong>av</strong> denne transduserenkan bli fokusert og styrt, i et to-dimensjonalt plan, ved å brukepassende forsinkelser på signalene <strong>fra</strong> hvert element ved sending ogmottaking. Ved sending brukes fast fokus. Det vil si et fokuspunkt som<strong>puls</strong>ene <strong>fra</strong> alle elementene ankommer samtidig til.Styring og fokusering er egentlig samme fenomen. Styring er ekvivalentmed fokusering, når fokuspunktet ligger uendelig langt borte.Ved mottaking blir tids-forsinkelsene variert dynamisk, slik <strong>at</strong> <strong>puls</strong>enalltid er i fokus. Det brukes altså forskjellige forsinkelser eller fokuspunktfor ulike mottakings-tidsintervaller.Et 2D-bilde kan dannes ved å fokusere lydbølgen i forskjellige retningeri et sektor-plan ut <strong>fra</strong> transduseren. De mott<strong>at</strong>te signalene <strong>fra</strong> hvert elementblir summert for hver fokuserings-vinkel. Dette kalles en sektor<strong>av</strong>bildning,og bildet blir en funksjon <strong>av</strong> fokuseringsvinkel og tid. Tidsdimensjonenkan ses på som radiell <strong>av</strong>stand.2.2.3 Annular <strong>array</strong>Annular <strong>array</strong> transduser består <strong>av</strong> ringer med ulik radius. Dette <strong>array</strong>eter ofte konk<strong>av</strong>t med svak krumning, som fører til for-fokusering ipunktet som er like langt <strong>fra</strong> alle ringene. Med tids-forsinkelser på ringeneer fokusering i det en-dimensjonale planet rett ut <strong>fra</strong> transduserenmulig, men ikke fokuspunkt skjevt ut <strong>fra</strong> transduseren. For å oppnå fokuspunkti hele det tre-dimensjonale rommet kan denne transduserenvris mekanisk i forskjellige retninger. I tillegg fikser tidsforsinkelsenefokuseringen i den radielle retningen.2.2.4 To-dimensjonalt <strong>array</strong>To-dimensjonale <strong>array</strong> har elementer i begge dimensjoner i motsetningtil det lineære som bare har en. Dette <strong>array</strong>et kan styres og fokuseres itre dimensjoner.Med to-dimensjonale <strong>array</strong> er det mulig å lage tre-dimensjonale bilder.Hvis fokuseringen nå gjøres i forskjellige retninger i en kule-sektor, blirbildet en funksjon <strong>av</strong> 2 fokuserings-vinkler og tid.
2.2 Transdusere 11Ulempen er <strong>at</strong> 2D-<strong>array</strong> må ha mange elementer for å oppnå tilfredsstilledebilde-kvalitet. Dette medfører store produksjons-kostnader, vanskeligeelektroniske fabrikasjons problemer og takling <strong>av</strong> enorm d<strong>at</strong>aflytfor sann-tids <strong>av</strong>bildning.
12 Kapittel 2 . Lyd teori og ultralyd<strong>av</strong>bildning
Kapittel 3Bølge-propagering ogsimulering <strong>av</strong> <strong>felter</strong> <strong>fra</strong>kontinuerlige bølger3.1 Bølgelikningen for homogent mediumModelleringen <strong>av</strong> lydbølger bygger på akustikkens 3 lineære elementærlikninger.De akustiske størrelsene er trykket p, tettheten ρ, tettheten i uforstyrretmedium ρ 0 , partikkelhastigheten ⃗v og lydhastigheten i mediet c. Bådep, ρ og ⃗v er funksjoner <strong>av</strong> posisjonen i rommet ⃗r og tiden t.Første likning er en massebevaringslov som sier <strong>at</strong> netto-massen somflyter inn i et fiksert volum er lik masseøkningen inne i volumet:δρδt =−ρ 0∇⃗v. (3.1)Den andre er en lineær approksimasjon til Eulers likning for bevegelse<strong>av</strong> veske:ρ 0δ⃗vδt=−∇p. (3.2)13
14Kapittel 3 . Bølge-propagering og simulering <strong>av</strong> <strong>felter</strong> <strong>fra</strong>kontinuerlige bølgerForholdet mellom trykk og tetthet er gitt i den siste likningen:p = c 2 ρ. (3.3)Ved å kombinere de 3 likningene fås <strong>at</strong> trykket p må oppfylle bølgelikningen:∇ 2 p − 1 δ 2 p= 0. (3.4)c 2 δt2 Det er ofte mer praktisk å se på hastighets-potensialet Φ for å beskrivefeltet fordi alle feltegenskapene kan utledes <strong>fra</strong> denne.Curlen <strong>av</strong> gradienten til en funksjon er lik 0 (∇×∇f =0). Tas curlen påδ⃗vδbegge sidene <strong>av</strong> Eulers likning, fås ∇×ρ 0 = 0 ⇔ ρδt 0 (∇×⃗v) = 0. Detδtbetyr <strong>at</strong> ∇×⃗v er konstant i tid. Vanligvis antas initialverdien <strong>av</strong> ∇×⃗v tilå være lik 0, som fører til <strong>at</strong> den alltid er null. En konsekvens <strong>av</strong> dette er<strong>at</strong> hastigheten har en skalar potensial-funksjon Φ med ⃗v som gradient:⃗v(⃗r,t) =−∇Φ(⃗r,t). (3.5)Substitusjon <strong>av</strong> likningen over i likning (3.2) gir sammenhengen mellomtrykket og hastighetspotensialet:δρ 0 ∇Φ(⃗r,t)−∇p(⃗r,t) = 0,δtδ∇(ρ 0 Φ(⃗r,t)−p(⃗r,t)) = 0,δtδΦp(⃗r,t) = ρ 0δt . (3.6)Substitusjon <strong>av</strong> likning (3.6) i likning (3.4) og deretter integrasjon <strong>av</strong> result<strong>at</strong>etmed hensyn på tid gir <strong>at</strong> også hastighetspotensialet Φ oppfyllerbølgelikningen:∇ 2 Φ − 1 δ 2 Φ= 0. (3.7)c 2 δt2
3.2 Løsning på bølgelikningen 153.2 Løsning på bølgelikningen3.2.1 PlanbølgerEn generell løsning på bølgelikningen for kontinuerlige (en frekvens)plane bølger fås ved å anta en separabel løsning på formens(x, y, x, t) = f(x)g(y)h(z)p(t). (3.8)Ved å velge funksjonene på høyresiden som komplekse eksponensialerblirs(x,y,z,t) = Ae j(ωt−k xx−k y y−k z z)s(⃗x, t) = Ae j(ωt− ⃗k⃗x) . (3.9)Innsetting <strong>av</strong> likning (3.9) i bølgelikningen girk 2 x s + k2 y s + k2 z s = ω2 sc 2 . (3.10)Forkortelse <strong>av</strong> signalet s i likningen over gir relasjonen|⃗k| 2 = ω2c 2 . (3.11)Det kan så utledes (se [15]) <strong>at</strong> |⃗k| er bølgetallet, ω er frekvensen og c erpropageringshastigheten.Verdien til signalet s(⃗x, t) ved et gitt tidspunkt t = t 0 , er det samme ialle punkt i planet ⃗x⃗k = C, der C er en konstant. Signalet kalles derforen planbølge ettersom bølgefrontene/planene står vinkelrett på propageringsretningengitt ved ⃗k.3.2.2 Sfæriske bølgerBølgelikningen kan bli uttrykt i sfæriske koordin<strong>at</strong>er (r, φ, θ). For sfæriskesymmetriske bølger, blir uttrykket for signalet u<strong>av</strong>hengig <strong>av</strong> φ og
16Kapittel 3 . Bølge-propagering og simulering <strong>av</strong> <strong>felter</strong> <strong>fra</strong>kontinuerlige bølgerθ og kan skrives som s(r,φ,θ) = s(r). Den generelle sfæriske bølgelikningenfor sfæriske symmetriske problemer blir daog en løsning er gitt ved1r 2(ddrr 2 dsdr)= 1 c 2 d 2 sdt 2 , (3.12)s(r,t) = A r eωt−kr . (3.13)Denne løsningen kan tolkes som en sfærisk bølge som propagerer ut<strong>fra</strong> origo. Amplituden til signalet går som 1 i motsetning til planbølgerr(3.9) hvor amplituden er konstant. Dette er på grunn <strong>av</strong> <strong>at</strong> energien isfæriske signaler blir fordelt over voksende kulefl<strong>at</strong>er når r blir større.Når <strong>av</strong>standen r er stor rel<strong>at</strong>ivt til aperturens utstrekning, er krumningentil bølgefronten så liten <strong>at</strong> signalet kan betraktes som en planbølge.3.3 <strong>Simulering</strong> <strong>av</strong> <strong>felter</strong> <strong>fra</strong> kontinuerlige bølger3.3.1 Huygens prinsippDet akustiske feltet <strong>fra</strong> en vibrerende transduser likner på feltet til enplan bølgefront som har propagert gjennom et "hull i veggen" som beskreveti kapittel 2.1.2. Etter hullet propagerer ikke bølgen i rett linjelenger, men blir <strong>av</strong>bøyd i alle retninger som vist i figur 2.3. Avbøyningsgradenbestemmes <strong>av</strong> bølgelengden og størrelsen på hullet som er heltekvivalent med størrelsen på transduseren.På slutten <strong>av</strong> det syttende århundret, utviklet Christian Huygen en teorifor å forklare hvorfor skygge-kanter ikke er skarpe. Han postulerte <strong>at</strong>hvert punkt på en propagerende bølgefront kan tenkes på som en sekundærkilde til sfærisk stråling. Denne enkle ideen er kjent som Huygensprinsipp.Huygens prinsipp sier <strong>at</strong> for en plan vibrerende transduser generererhvert punkt på fl<strong>at</strong>en en kuleformet bølge. Det resulterende feltet finnesved å integrere disse bølgene over de aktuelle punktene på transduseren.
3.3 <strong>Simulering</strong> <strong>av</strong> <strong>felter</strong> <strong>fra</strong> kontinuerlige bølger 17En transduser som er uendelig liten, bare et punkt i rommet, vil gi sfæriskstråling beskrevet i kapittel 3.2.2. Med en større transduser vil strålingenvære en sum <strong>av</strong> mange kulebølger. Dette fører til <strong>at</strong> det blir sendtmer energi rett <strong>fra</strong>m enn til siden, og transduseren blir dermed merdirektiv enn en punktkilde.3.3.2 Rayleigh-Sommerfield dif<strong>fra</strong>ksjonsformel⃗x = (x,y,d)⃗x h = (˜x, ỹ,0)(0,0,0)Aθ(0,0,d)Figur 3.1: Koordin<strong>at</strong>system for Rayleigh-Sommerfield dif<strong>fra</strong>ksjons-formel anvendt pådif<strong>fra</strong>ksjons-fenomenet vist i figur 2.3Rayleigh-Sommerfield dif<strong>fra</strong>ksjonsformel er en m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>isk beskrivelse<strong>av</strong> Huygens prinsipp, og her brukes koordin<strong>at</strong>systemet i figur 3.1. Las(⃗x) være en kontinuerlig bølge med entydig bølgelengde λ lokalisert i⃗x <strong>fra</strong> sentrum <strong>av</strong> hullet/aperturen. Rayleigh-Sommerfield dif<strong>fra</strong>ksjonsformeluttrykker feltet i ⃗x som en superposisjon <strong>av</strong> feltene i hullet, medhver feltkomponent veiet med en sfærisk propagerings-funksjon [15]:s(⃗x) = 1 ∫jλ As(⃗x h ) ejkrcosθdA. (3.14)rHer er apertureoverfl<strong>at</strong>en A, og dA er en infinitesimal-fl<strong>at</strong>e i posisjon⃗x h . Faktoren cosθ er en projeksjons-faktor. Absolutt verdien til bølgetallet,k, er definert som 2π . Avstanden <strong>fra</strong> infinitesimal-fl<strong>at</strong>en dA til ⃗xλer r =|⃗x−⃗x h |. Faktoren 1 j indikerer et faseskift med π i forhold til2innfallsbølgen. Sfærisk propagasjon <strong>fra</strong> hver ⃗x h til ⃗x beskrives med ejkr.r
18Kapittel 3 . Bølge-propagering og simulering <strong>av</strong> <strong>felter</strong> <strong>fra</strong>kontinuerlige bølgerI mange praktiske tilfeller er Rayleigh-Sommerfield dif<strong>fra</strong>ksjonsformelvanskelig å evaluere. To klassiske approksimasjoner til dif<strong>fra</strong>ksjonsformelenhar blitt utledet. Den første, Fresnel approksimasjon, er todelt.Den første delen består i <strong>at</strong> projeksjonsfaktoren cosθ ≈ 1og<strong>at</strong><strong>av</strong>standen r ≈ d. Del to er <strong>at</strong> sfæriske fl<strong>at</strong>er, som representerer bølgefrontene,kan bli approksimert med kvadr<strong>at</strong>iske fl<strong>at</strong>er. Med Fresnelapproksimasjon blir dif<strong>fra</strong>ksjons-formelen en to-dimensjonal konvolusjon,s(x,y) = expjkdjλd∫s(˜x, ỹ)expA{ jk[(x − ˜x) 2 + (y − ỹ) 2 ]2d}d˜xdỹ, (3.15)mellom bølgefeltet i aperturen s(˜x, ỹ) og funksjonenh(x, y) = expjkd { jk(x 2jλd exp + y 2 }). (3.16)2dDen andre approksimasjonen til Rayleigh-Sommerfield dif<strong>fra</strong>ksjons-formel,Fraunhofer approksimasjon, er en fjernfelts-approksimasjon. Det vilsi <strong>at</strong> observasjons-planet er langt unna aperturen eller mer eksakt <strong>at</strong>d>> D2, der D er maksimale lineære dimensjon til hullet. Denne approksimasjonengjør <strong>at</strong> leddet e jk(˜x2 +ỹ 2 )/(2d) ≈ 1. Fraunhofer approk-λsimasjon anvendt etter Fresnel approksimasjon gir en to-dimensjonalFourier transform for bølgefeltet:s(x,y) = expjkd { jk(x 2jλd exp + y 2 }∫)s(˜x, ỹ)exp2dA{ jk(x˜x + yỹ)d}d˜xdỹ.(3.17)I det forenklede tilfellet med bare to dimensjoner, der y-retningen utgår,er sinθ = x . For bølgefeltets absolutt-verdi fås dad∫|s(θ)|=|s(x)|=∣As(˜x)e jk·sinθ·˜x d˜x ∣∣. (3.18)I likningen over er leddet | 1λd| sett bort <strong>fra</strong>. Det er bare en skalering <strong>av</strong>feltet og vil være likt for alle observasjons-vinkler θ i fjernfeltet.
3.3 <strong>Simulering</strong> <strong>av</strong> <strong>felter</strong> <strong>fra</strong> kontinuerlige bølger 193.3.3 <strong>Simulering</strong> med Fourier transform og effektiv apertureI fjernfeltet, eller i fokalregionen til et fasestyrt <strong>array</strong>, er CW (kontinuerligbølge) strålingsmønsteret <strong>fra</strong> sende-transduseren gitt ved aperturegl<strong>at</strong>tings-funksjonenP T (⃗k) [18]. Aperture-gl<strong>at</strong>tings-funksjonen er definertsom den romlige Fourier transformen til aperture funksjonen, a T (⃗x).Når transduseren er en-dimensjonal, vist i figur 3.2, fås∫ ∞−∞P T (k x ) = a T (x)e jkxx dx∫ ∞= a T (x)e jk·sinθ·x dx−∞= P T (θ), (3.19)som er helt tilsvarende likning (3.18). I praksis er det absoluttverdien<strong>av</strong> strålingsmønsteret som blir brukt.Hvis det brukes en diskret aperture, som er <strong>array</strong> <strong>av</strong> punkter, vil aperturegl<strong>at</strong>tings-funksjonenbli∞∑P T (θ) = a T [n]e jk·sinθ·x n. (3.20)n=−∞θ⃗ka(x)xFigur 3.2: Koordin<strong>at</strong>system for Fourier transformsimuleringsmodellen.For et fullt lineært uvektet <strong>array</strong> med 2M + 1 elementer vil x n = nλ/2og a T [n] = 1forn=−Mtil M. Bølgetallet k = 2π λ .Dabliraperturegl<strong>at</strong>tings-funksjonen
20Kapittel 3 . Bølge-propagering og simulering <strong>av</strong> <strong>felter</strong> <strong>fra</strong>kontinuerlige bølgerM∑P T (θ) = e jπ·sinθ·n . (3.21)n=−MToveis eller <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> strålings-mønster, P TR , kan finnes <strong>fra</strong> produktet<strong>av</strong> sende aperture-gl<strong>at</strong>tingsfunksjonen P T (θ) og mottaker aperturegl<strong>at</strong>tingsfunksjonenP R (θ):P TR (θ) = P T (θ) · P R (θ). (3.22)Denne toveis responsen gjelder hvis mediet består <strong>av</strong> en punktsprederi uendeligheten.Dette er ekvivalent med å konvolvere sender aperture-funksjonen a T (⃗x)med mottaker aperture-funksjonen a R (⃗x) og ta Fourier transformen <strong>av</strong>result<strong>at</strong>et:P TR (θ) = F{a T (⃗x) ∗ a R (⃗x)}. (3.23)Effektiv aperture er definert som den romlige konvolusjonen mellomsender og mottaker aperture funksjonen:a ef f (⃗x) = a T (⃗x) ∗ a R (⃗x). (3.24)Ved konstruksjon <strong>av</strong> <strong>tynnede</strong> <strong>array</strong>, det vil si <strong>array</strong> med manglende elementer,er det ofte fordelaktig å konstruere sender- og mottaker<strong>array</strong>etslik <strong>at</strong> den effektive aperturen blir best mulig.
Kapittel 4Ultralydmodell for <strong>puls</strong>edebølger4.1 Ideen bak modellenI forrige kapittel ble det vist hvordan Fourier transform kunne brukestil å simulere en-veis og to-veis ultralyd<strong>felter</strong> med kontinuerlig bølge.Disse simuleringene ble utledet for en punktspreder i fjernfeltet, menresult<strong>at</strong>ene stemmer også bra rundt fokuspunktet i nærfeltet [21].Ultralyd<strong>av</strong>bildning foregår i det ekstreme nærfeltet og det brukes stortsett <strong>puls</strong>et bølgeform istedenfor kontinuerlig. Derfor er det ønskelig åsjekke hvor realistiske simuleringene med Fourier transform er og hvormye de <strong>puls</strong>ede responsene <strong>av</strong>viker <strong>fra</strong> de kontinuerlige responsene.På universitetet i Oslo er det utviklet et program, Ultrasim, for simuleringmed <strong>puls</strong>ede bølger, men det tar bare enveis-respons. For å finnetoveis-responsen for en punktspreder, multipliseres enveis responsen<strong>fra</strong> sender og mottaker som i likning (3.22). Dette er en fjernfeltsapproksimasjonsom det er vanskelig å si hvor god er.En ultralydmodell utviklet <strong>av</strong> den danske professoren Jørgen ArendtJensen ser ut til å ha stort potensial for simulering <strong>av</strong> <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> <strong>felter</strong>.Grunnen til dette er <strong>at</strong> modellen ikke gjør noen antagelse om nær/fjernfelteller <strong>puls</strong>et/kontinuerlig bølgeform. Dessuten kan den simulere toveisresponsen <strong>fra</strong> flere punktspredere, noe som gjør det mulig å simulerehele ultralyd-<strong>av</strong>bildninger <strong>av</strong> vev. Den sentrale teorien for dennemodellen kan finnes i [6], [7] og [14], men er også gjengitt i sin helhet ikapitlene som kommer.21
22 Kapittel 4 . Ultralydmodell for <strong>puls</strong>ede bølgerGrovt sett består <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> simuleringsmodellen <strong>av</strong> en sende-transduserog en mottaker-transduser. De er plassert i et medium som stort sett erhomogent, men som også inneholder et inhomogent område som enønsker å <strong>av</strong>bilde. Ultralyden blir sendt <strong>fra</strong> sende-transduseren, trefferinhomogeniteten og blir spredt. Den tilbakespredte ultralyden registreres<strong>av</strong> mottaker-transduseren, og det mott<strong>at</strong>te signalet tolkes til et bilde<strong>av</strong> inhomogeniteten.4.2 Feltet <strong>fra</strong> ultralydsender i homogent mediumSender(a)Sender.(b)...S.⃗r 3...Feltpunkt ..S.⃗r 3......⃗r 1Feltpunkt..⃗r2⃗r 1⃗r 2....Figur 4.1: Ultralydsender der ⃗r 2 angir midten<strong>av</strong> transduseren: (a) En stor svakt krummettransduser, og (b) Plan transduser.Målet her er å finne trykkfeltet <strong>fra</strong> en tilnærmet plan svingende transduserS. Svingeretningen er vinkelrett på fl<strong>at</strong>en. I videre utledning antasdet <strong>at</strong> sendefl<strong>at</strong>en er plan som i figur 4.1b. Men i praksis vil senderenofte ha en svak krumning og stor utstrekning sammenliknet med bølgelengdentil ultralyden som i figur 4.1a.Å finne løsninger på bølgelikningen (3.4) for dette problemet er megetinnviklet. Trykk-feltet må beregnes for senderen (vibrasjons-problem)og for mediet omkring (akustisk problem).For å forenkle problemet litt antas det <strong>at</strong> sendefl<strong>at</strong>en står fast i et plan(det vil si ingen svingning og plan sender). Med denne antagelsen kandet utledes en formel for det akustiske problemet ved å bruke en fremgangsmåtebasert på Green’s funksjon. I [27] er denne løsningen forhastighetspotensialet gitt:
4.2 Feltet <strong>fra</strong> ultralydsender i homogent medium 23∫Φ( ⃗r 1 , ⃗r 2 ,t)=S∫ t0v(⃗r 2 + ⃗r 3 ,t 2 )g( ⃗r 1 ,t|⃗r 2 + ⃗r 3 ,t 2 )dt 2 d 2 ⃗r 3 . (4.1)Her er koordin<strong>at</strong>systemet vist i figur 4.1 brukt. Den svingende sendefl<strong>at</strong>ener S. Punktet som feltet beregnes i er ⃗r 1 . Ettersom senderen stårfast, angir ⃗r 2 et gitt utgangspunkt på senderen. Denne kan velges ut <strong>fra</strong>hva som er mest praktisk ut <strong>fra</strong> den gitte sender-geometrien. Vanligvisvelges midten <strong>av</strong> transduseren. Variabelen som integreres over senderensfl<strong>at</strong>e er ⃗r 3 . Partikkel hastigheten til punkt på senderen er uttryktved v(⃗r 2 + ⃗r 3 ,t). Dette er den samme partikkelhastigheten som beskreveti kapittel 2.2.1. Den tids<strong>av</strong>hengige Green’s funksjon for et begrensetmedium erc)g( ⃗r 1 ,t|⃗r 2 + ⃗r 3 ,t 2 )= δ(t − t 2 − | ⃗r 1− ⃗r 2 − ⃗r 3 |2π| ⃗r 1 − ⃗r 2 − ⃗r 3 |, (4.2)hvor c er propageringshastigheten for lyd i mediet. Avstanden <strong>fra</strong> etpunkt på sendefl<strong>at</strong>en til felt-punktet er | ⃗r 1 − ⃗r 2 − ⃗r 3 |.Likning (4.1) er et uttrykk for Huygens’ prinsipp beskrevet i kapittel3.3.1. Ettersom modellen skal takle <strong>puls</strong>ede bølger, det vil si bølger somer tids-<strong>av</strong>hengige, får likningen et ekstra tids-integral i motsetning tilRayleigh-Sommerfield likningen (3.14).Ved innsetting <strong>av</strong> likning (4.2) i (4.1) og bruk <strong>av</strong> egenskapene til δ-funksjonen reduseres likning (4.1) til et to-dimensjonalt integral:Φ( ⃗r 1 , ⃗r 2 ,t)= 1 ∫2π Sv(⃗r 2 + ⃗r 3 ,t− |⃗r 1−⃗r 2 −⃗r 3 |)cd 2 ⃗r 3 . (4.3)|⃗r 1 − ⃗r 2 − ⃗r 3 |Denne likningen ble først utledet <strong>av</strong> lord Rayleigh og er kjent som Rayleighintegralet.Det antas så <strong>at</strong> overfl<strong>at</strong>e vibrasjonen v(⃗r 2 + ⃗r 3 ,t 2 ) kan splittes i enromlig-komponent a( ⃗r 2 + ⃗r 3 ) og en tids-komponent v e (t 2 ). Hastighetenuttrykkes som
24 Kapittel 4 . Ultralydmodell for <strong>puls</strong>ede bølgerv(⃗r 2 + ⃗r 3 ,t 2 )=v e (t 2 )a( ⃗r 2 + ⃗r 3 ), (4.4)der størrelsen a( ⃗r 2 + ⃗r 3 ) kan tolkes som en romlig hastighets-amplitudefordeling,og v e (t 2 ) kan tenkes på som hastighets-bølgeformen til senderen.At hastigheten v(⃗r 2 + ⃗r 3 ,t 2 )kan splittes i de to komponentene betyr<strong>at</strong> amplituden på svingningene <strong>av</strong>henger <strong>av</strong> posisjonen på senderen,mens formen på svingningene er lik for hele sendefl<strong>at</strong>en og <strong>av</strong>henger <strong>av</strong>tid. For diskrete aperturer vil a( ⃗r 2 + ⃗r 3 ) være vektingen til transduseren.Hastighetspotensialet kan nå skrives som en konvolusjon i tid mellomhastighets-bølgeformen til senderen v e (t) og en romlig vektet im<strong>puls</strong>responstil senderen h a ( ⃗r 1 , ⃗r 2 ,t):∫Φ(⃗r 1 , ⃗r 2 ,t)==∫ t0v e (t 2 )a( ⃗r 2 + ⃗r 3 )g( ⃗r 1 ,t|⃗r 2 + ⃗r 3 ,t 2 )dt 2 d 2 ⃗r 3∫v e (t 2 ) a( ⃗r 2 + ⃗r 3 )g( ⃗r 1 ,t|⃗r 2 + ⃗r 3 ,t 2 )d 2 ⃗r 3 dt 2S∫ t0S= v e (t) ∗ h a ( ⃗r 1 , ⃗r 2 ,t). (4.5)Den romlig vektede im<strong>puls</strong>responsen blir∫h a ( ⃗r 1 , ⃗r 2 ,t−t 2 )=Sa( ⃗r 2 + ⃗r 3 )g( ⃗r 1 ,t|⃗r 2 + ⃗r 3 ,t 2 )d 2 ⃗r 3 , (4.6)hvor g( ⃗r 1 ,t|⃗r 2 + ⃗r 3 ,t 2 ) er Green’s funksjon gitt i likning (4.2).Trykkfeltet <strong>fra</strong> sendefl<strong>at</strong>en S er gitt ved likning (3.6), og med dennenotasjonen blir detδφ( ⃗r 1 , ⃗r 2 ,t)p( ⃗r 1 , ⃗r 2 ,t)=ρ 0 , (4.7)δthvor ρ 0 er tettheten til mediet.Ved innsetting <strong>av</strong> likning (4.5) i likningen over fås
4.3 Det spredte feltet <strong>fra</strong> et inhomogent område 25p( ⃗r 1 , ⃗r 2 ,t)=ρ 0 v e (t) ∗ δh a( ⃗r 1 , ⃗r 2 ,t)δt(4.8)δv e (t)= ρ 0 ∗ h a ( ⃗r 1 , ⃗r 2 ,t).δt(4.8 ′ )4.3 Det spredte feltet <strong>fra</strong> et inhomogent områdeVed å sende ultralyd mot en inhomogenitet og deretter motta den tilbakespredteultralyden, ønsker en å danne seg et bilde <strong>av</strong> inhomgeniteten.Da er det først nødvendig å utlede en bølgelikning som gjelder innenfordet inhomogene området. Bølge-likningen er utledet i både [2] og [7].4.3.1 En bølgelikning for inhomogent mediumUtledning <strong>av</strong> en bølgelikning for inhomogent medium krever en del lineæreantagelser og approksimasjoner som er beskrevet i detalj i dettekapitlet. Den første antagelsen er <strong>at</strong> det instantane akustiske trykket ogtettheten kan utrykkes somP ins (⃗r 1 ,t)=P +p 1 (⃗r 1 ,t), (4.9)ρ ins (⃗r 1 ,t)=ρ( ⃗r 1 ) + ρ 1 ( ⃗r 1 ,t), (4.10)der P er gjennomsnitts-trykket i mediet, og ρ er tettheten i uforstyrretmedium. Trykk-variasjonen som skyldes ultralyden er p 1 og er ant<strong>at</strong>tliten i forhold til P. Tetthetsforandringen som følge <strong>av</strong> bølgen er ρ 1 .Både p 1 og ρ 1 er små størrelser <strong>av</strong> første orden.Den andre antagelsen er <strong>at</strong> det ikke skjer noe varmeoverføring ellerovergang <strong>av</strong> ultralyd til energi. Dette kan beskrives med likningen:dP insdt= c 2 dρ ins. (4.11)dtDenne likningen er oppfylt for en gitt partikkel i vevet, men ikke for etpunkt i rommet. Det er altså en Lagrange beskrivelse <strong>av</strong> bevegelse. Detsom ønskes er heller et fast koordin<strong>at</strong>system i rommet og en likning
26 Kapittel 4 . Ultralydmodell for <strong>puls</strong>ede bølgersom beskriver feltegenskapene som en funksjon <strong>av</strong> tid og rom. Konverteringtil en Euler-beskrivelse <strong>av</strong> problemet gir1 dp 1= dρ 1+ ⃗u ·∇ρ. (4.12)c 2 dt dtTrykket, tettheten og partikkel-hastigheten må også tilfredsstille de hydrodynamiskelikningene, det vil si Euler’s likning og massebevarings-loven:d⃗uρ insdt =−∇P ins, (4.13)dρ ins=−∇·(ρ ins ⃗u).dt(4.14)Ved innsetting <strong>av</strong> likning (4.9) og (4.10) og forkaste høyere ordens termerfåsρ d⃗udt =−∇p 1, (4.15)dρ 1=−∇·(ρ⃗u).dt(4.16)Derivasjon <strong>av</strong> likning (4.16) med hensyn på t og innsetting <strong>av</strong> likning(4.15) fører tild 2 ρ 1dt 2=−∇·(ρ d⃗u )dt=−∇·(−∇p 1 )=∇ 2 p 1 . (4.17)Derivasjon <strong>av</strong> likning (4.12) gir1 d 2 p 1c 2 dt = d2 ρ 12 dt + d⃗u ·∇ρ, (4.18)2 dtog etter innsetting <strong>av</strong> likning (4.17) og likning (4.15) fås
4.3 Det spredte feltet <strong>fra</strong> et inhomogent område 27∇ 2 p 1 − 1 c 2 d 2 p 1dt 2 = 1 ρ ∇ρ∇p 1. (4.19)Neste skritt er antagelsen om <strong>at</strong> propageringshastigheten og mediumtetthetenvarierer lite i forhold til deres gjennomsnittsvedier. Dette formuleresvedρ(⃗r) = ρ 0 +∆ρ(⃗r), (4.20)c(⃗r) = c 0 +∆c(⃗r), (4.21)hvor ρ 0 >> ∆ρ og c 0 >> ∆c. Da fås∇ 2 p 1 −1(c 0 + ∆c) 2 d 2 p 1dt 2 = 1(ρ 0 + ∆ρ) ∇(ρ 0 + ∆ρ) ·∇p 1 . (4.22)Deretter ignoreres små 2. ordens ledd, før anvendelse <strong>av</strong> 1. ordensTaylor approksimasjonen 12∆c≈ 1 − ∆. Her blir ∆ =1+∆ c 0i den førsteapproksimasjonen og ∆ = ∆ρρ 0i den andre. Result<strong>at</strong>et blir( 1∇ 2 p 1 −c02− 2∆c ) d 2 p 1c03 dt 2( 1 = ∇(∆ρ) − ∆ρ )ρ 0 ρ02 ∇(∆ρ) ·∇p 1 . (4.23)Ved å kaste 2. ordens leddet ( ∆ρ )∇(∆ρ) ·∇pρ02 1 fås endelig bølgelikningen:∇ 2 p 1 − 1 c 2 0d 2 p 1dt 2=−2∆c c 3 0d 2 p 1dt 2 + 1 ρ 0∇(∆ρ) ·∇p 1 . (4.24)De to leddene på høyre side <strong>av</strong> likningen er spredningsleddene somforsvinner for homogent medium.
28 Kapittel 4 . Ultralydmodell for <strong>puls</strong>ede bølger4.3.2 Utregning <strong>av</strong> det spredte feltetMed den nye bølgelikningen vil vi beregne det spredte feltet <strong>fra</strong> en liteninhomogenitet med homogent medium omkring som vist i figur 4.2.Inhomogenitetens plassering beskrives ved ⃗r 1 og er innlukket i V’. Detspredte feltet blir beregnet i ⃗r 4 ved å integrere alle de sfæriske bølgenesom kommer <strong>fra</strong> spredningsområdet V’:p s ( ⃗r 4 ,t)=∫V ′ ∫T[ 1ρ 0∇(∆ρ( ⃗r 1 ) ·∇p 1 (⃗r 1 ,t 1 )− 2∆c(⃗r 1)c 3 0d 2 ]p 1 (⃗r 1 ,t 1 )dt 2· G( ⃗r 1 ,t 1 |⃗r 4 ,t)dt 1 d 3 ⃗r 1 . (4.25)Her er G Greens funksjon for ubundet rom:G( ⃗r 1 ,t 1 |⃗r 4 ,t)= δ(t − t 1 −|⃗r 1 − ⃗r 4 |/c 0 ). (4.26)4π| ⃗r 1 − ⃗r 4 |.. ..Homogent medium⃗r 4 − ⃗r 1..⃗r 4V’...⃗r 1Inhomogenitet(ρ( ⃗r 1),c(⃗r 1))..Figur 4.2: Koordin<strong>at</strong>system for utregning <strong>av</strong>det spredte feltetEn spredningsoper<strong>at</strong>or defineres somF op = 1 ρ 0∇[∆ρ( ⃗r 1 )] ·∇− 2∆c(⃗r 1)c 3 0d 2dt 2 . (4.27)
4.3 Det spredte feltet <strong>fra</strong> et inhomogent område 29Trykk-feltet inne i det inhomogene området er gitt vedp 1 (⃗r,t) = p i (⃗r,t)+p s (⃗r,t), (4.28)hvor p i er det innfallende trykkfeltet. Integralet er ikke løselig direkte.For å løse det benyttes derfor 1. ordens Born-Neumann utvikling [16]som antar <strong>at</strong> bølgen inne i objektet er den samme som innfallsbølgen.Om G i symboliserer integraloper<strong>at</strong>oren som representerer Greensfunksjon og integrasjonen, og F op spredningsoper<strong>at</strong>oren, kan 1.ordensBorn-approksimasjon bli skrevet somp s1 ( ⃗r 4 ,t)=G i F op p i ( ⃗r 1 ,t 1 ). (4.29)Notasjons-forenkling <strong>av</strong> likning (4.25) og innsetting <strong>av</strong> (4.28) girp s ( ⃗r 4 ,t)=G i F op p 1 ( ⃗r 1 ,t 1 )=G i F op [p i ( ⃗r 1 ,t 1 )+p s (⃗r 1 ,t 1 )]= G i F op p i ( ⃗r 1 ,t 1 )+(G i F op ) 2 p 1 ( ⃗r 1 ,t 1 )=G i F op p i ( ⃗r 1 ,t 1 )+(G i F op ) 2 [p i ( ⃗r 1 ,t 1 )+p s (⃗r 1 ,t 1 )]= G i F op p i ( ⃗r 1 ,t 1 )+(G i F op ) 2 p i ( ⃗r 1 ,t 1 )+(G i F op ) 3 p 1 .(4.30)Den totale Born-Neumann utviklinga blir dap s ( ⃗r 4 ,t)=G i F op p i ( ⃗r 1 ,t 1 )+(G i F op ) 2 p i ( ⃗r 1 ,t 1 )+(G i F op ) 3 p i ( ⃗r 1 ,t 1 )+(G i F op ) 4 p i ( ⃗r 1 ,t 1 )+···(4.31)Ledd som inneholder (G i F op ) N p i hvor N>1, beskriver multippel-spredning<strong>av</strong> orden N. Vanligvis er spredningen <strong>fra</strong> små inhomogeniteter ubetydelige,så høyere ordens ledd kan bli sett bort <strong>fra</strong>. Derfor er det hensiktsmessigå bare se på første ledd i rekkeutviklinga, som er 1. ordens Bornutvikling.Dette er generelt en god approksimasjon om dimensjonen tilobjektet, dim(V’), er mye mindre enn bølgelengden.
30 Kapittel 4 . Ultralydmodell for <strong>puls</strong>ede bølgerVed å bruke dette på likning (4.25) fåsp s ( ⃗r 4 ,t)=∫V ′ ∫T[ 1ρ 0∇(∆ρ( ⃗r 1 ) ·∇p i (⃗r 1 ,t 1 )− 2∆c(⃗r 1)c 3 0d 2 ]p i (⃗r 1 ,t 1 )dt 2· G( ⃗r 1 ,t 1 |⃗r 4 ,t)dt 1 d 3 ⃗r 1 . (4.32)4.4 Det mott<strong>at</strong>te feltetNå som likninger for feltet <strong>fra</strong> ultralyd-senderen og det spredte feltet<strong>fra</strong> inhomogeniteten er utledet, er det mulig å se på det interessantesignalet, det som blir oppfanget <strong>av</strong> mottaker-transduseren.Det mott<strong>at</strong>te signalet fås ved å utføre en vektet integrasjon <strong>av</strong> det spredtefeltet over alle punktene på mottaker-transduseren og konvolvere detmed mottakerens elektromekaniske im<strong>puls</strong>respons E m (t). Vektene tilmottaker-transduseren er b( ⃗r 5 + ⃗r 6 ). Koordin<strong>at</strong>systemet er vist i figur4.3. Det mott<strong>at</strong>te signalet erp r ( ⃗r 5 ,t)=E m (t) ∗t∫Rb( ⃗r 5 + ⃗r 6 )p s ( ⃗r 5 + ⃗r 6 ,t)d 2 ⃗r 6 . (4.33)Det spredte feltet gitt ved likning (4.32) erp s ( ⃗r 5 + ⃗r 6 ,t)= 1 2∫V ′ ∫TF op [p i ( ⃗r 1 ,t)] δ(t − t 1 −|⃗r 1 − ⃗r 5 − ⃗r 6 |/c 0 ). (4.34)2π| ⃗r 1 − ⃗r 5 − ⃗r 6 |Ved å kombinere likning (4.33) og (4.34) og bruke likning (4.8) for detinnfallende trykket <strong>fra</strong> senderen fås()1dv e (t)p r ( ⃗r 5 ,t)=E m (t) ∗ F op ρ 0 ∗ h a (⃗r 1 , ⃗r 2 ,t) ∗h b (⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)dt 2∫V 3 ⃗r 1 ,′ dt t t(4.35)hvor h b er den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsen til mottaker-transduserentilsvarende likning (4.6):
4.4 Det mott<strong>at</strong>te feltet 31∫h b ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t−t 1 )= b( ⃗r 5 + ⃗r 6 )g( ⃗r 1 ,t|⃗r 5 + ⃗r 6 ,t 1 )d 2 ⃗r 6 . (4.36)RHvis plasseringen til sender- og mottaker-transduseren er den samme( ⃗r 2 = ⃗r 5 ), forenkler likning (4.35) seg tilp r ( ⃗r 5 ,t)= ρ 02 E dv e (t)m(t) ∗ ∗ F op [H pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 , t)]dt dt t∫V 3 ⃗r 1 , (4.37)′.......RMottakerHomogent medium V’⃗r 6...Inhomogenitet(ρ(⃗r 1 ),c(⃗r 1 ))⃗r5⃗r 1..Figur 4.3: Koordin<strong>at</strong>system for utregning <strong>av</strong>det mott<strong>at</strong>te signalethvorH pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)=h a (⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)∗th b (⃗r 1 , ⃗r 5 ,t) (4.38)er den romlige <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> im<strong>puls</strong>responsen.Det siste leddet i likning (4.37) skrevet fullt ut er∫V ′ ( 1ρ 0∇[∆ρ( ⃗r 1 )] ·∇H pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)− 2∆c(⃗r 1)c 3 0d 2 )H pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)d 3 ⃗rdt 2 1 .(4.39)
32 Kapittel 4 . Ultralydmodell for <strong>puls</strong>ede bølgerHvis det nå antas <strong>at</strong> den romlige <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> im<strong>puls</strong>responsen varierersakte, så kan likning (4.39) bli omskrevet til∫V ′ ( 1ρ 0∆ρ( ⃗r 1 ) ·∇ 2 H pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)− 2∆c(⃗r 1)c 3 0d 2 )H pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)d 3 ⃗rdt 2 1 . (4.40)Her er H pe en funksjon <strong>av</strong> distansen mellom transduser-plasseringen oginhomogeniteten eller helt ekvivalent den tilsvarende tiden gitt vedt =|⃗r 1 −⃗r 5 |/c 0 . (4.41)Det er rimelig <strong>at</strong> den romlige <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> im<strong>puls</strong>responsen H pe oppfyllerbølgelikningen på grunn <strong>av</strong> <strong>at</strong> den beskriver bølgeutbredelse i homogentmedium. Hastighetspotensialet oppfyller bølgelikningen (3.7). Likning(4.5) gir <strong>at</strong> den romlige im<strong>puls</strong>responsen er lik hastighetspotensialettil senderen når <strong>puls</strong>en er en deltafunksjon. Da vil h a også oppfyllebølgelikningen. Siden H pe er en konvolusjon <strong>av</strong> senderens og mottakerensim<strong>puls</strong>respons i likning (4.38), vil også H pe oppfylle bølgelikningen:∇ 2 H pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)= 1 c 2 0d 2 H pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)dt 2 . (4.42)Ved å bruke disse approksimasjonene kan likning (4.37) omskrives tilp r ( ⃗r 5 ,t)= ρ ∫ (02 E dv e (t) ∆ρ( ⃗r1 )m(t) ∗ ∗ − 2∆c(⃗r )1)t dt t V ′ ρ 0 c 0· 1 d 2 H pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)c02 d 3 ⃗rdt 2 1 . (4.43)Symbolsk kan det skrives somp r ( ⃗r 5 ,t)=v pe (t) ∗tf m ( ⃗r 1 ) ∗rh pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t), (4.44)
4.5 Forenklet modell for en punktspreder 33der ∗ betyr romlig konvolusjon. Puls-<strong>ekko</strong> bølgen er v pe som inkluderertransduserens svingehastighet og den elektromekaniske im<strong>puls</strong>res-rponsen i løpet <strong>av</strong> sending og mottaking. Termen f m kommer <strong>fra</strong> inhomogeniteteni vevet og skyldes tetthets- og propageringshastighetsforstyrrelsersom gir det tilbakespredte signalet. Størrelsen h pe er denromlige <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> im<strong>puls</strong>responsen, som rel<strong>at</strong>erer transduser geometrientil den romlige utfoldelsen <strong>av</strong> det spredte feltet. Hver for seg sertermene slik ut:v pe (t) = ρ 02 E dv e (t)m(t) ∗ ,t dt(4.45)f m ( ⃗r 1 ) = ∆ρ( ⃗r 1)− 2∆c(⃗r 1),ρ 0 c 0(4.46)h pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)= 1 c 2 0d 2 H pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)dt 2 d 3 ⃗r 1 . (4.47)Det interessante signalet, som burde blitt <strong>av</strong>bildet i medisinsk ultralyd,er f m ( ⃗r 1 ). Det vi observerer derimot er en tids- og romlig-gl<strong>at</strong>ting <strong>av</strong>dette, som ødelegger de finere detaljene i bildet.Verdt å merke seg er <strong>at</strong> ingen betingelse angående nær/fjern-felt eller<strong>puls</strong>et/kontinuerlig bølge er gjort i utledningen <strong>av</strong> modellen.4.5 Forenklet modell for en punktsprederFor <strong>at</strong> simuleringen skal bli så enkel som mulig antas det <strong>at</strong> det bare eren punktspreder i ⃗r 1 . Det medfører <strong>at</strong> f m blirlikendelta-im<strong>puls</strong>(f m (⃗r) =δ(⃗r − ⃗r 1 )). Det mott<strong>at</strong>te feltet beskrevet i likning (4.44) kan da forenklestilp r ( ⃗r 5 ,t)=v pe (t) ∗th pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)= 1 d 2 v pe (t)c02 ∗ Hdt 2 pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)t= 1 d 2 v pe (t)c02 ∗ hdt 2 a (⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)∗h b (⃗r 1 , ⃗r 5 ,t). (4.48)t td 2 v pe (t)dt 2Her vil 1 være <strong>puls</strong>en pluss eventuell ringing i praktiske simuleringer.Ved konvolusjon med <strong>puls</strong>en er det mulig å bare bevare denc02 midt-
34 Kapittel 4 . Ultralydmodell for <strong>puls</strong>ede bølgerre delen <strong>av</strong> result<strong>at</strong>et, som er like langt som h a ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t)∗h b (⃗r 1 , ⃗r 5 ,t).D<strong>at</strong>kan tidsaksen lettere gjøres om til radiell distanse i et ultralydbilde.Eksplisitte løsninger for de romlige im<strong>puls</strong>responsene h a og h b ,gittilikning (4.6) og (4.36), er funnet for en rekke transduser-geometrier nåruniform apodisering, dvs. a( ⃗r 2 + ⃗r 3 ) = 1 eller b( ⃗r 5 + ⃗r 6 ) = 1, er ant<strong>at</strong>t.Blant disse er fl<strong>at</strong> og konk<strong>av</strong> sirkulær sendergeometri. Hvis im<strong>puls</strong>responseneh a og h b er funnet for de aktuelle sender- og mottakertransduserene,trengs det altså bare å beregne to en-dimensjonale konvolusjons-integralfor å finne det mott<strong>at</strong>te <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> trykket for en gittpunktspreder-plassering. Dette er en fordel da konvolusjonsintegraleter meget hurtig å beregne numerisk.For romlig vektede im<strong>puls</strong>responser (ulik svingning over sendefl<strong>at</strong>en)finnes det sjelden eksplisitte løsninger. Da må h a og h b estimeres. Detteer diskutert i kapittel 5.1.
Kapittel 5Den romlige vektedeim<strong>puls</strong>responsenDen romlig vektede im<strong>puls</strong>responsen kan ikke finnes for alle sendergeometrier.En approksimasjons-metode for im<strong>puls</strong>responsen er foreslåtti [14] og bygger på result<strong>at</strong>er i [26] og [27]. Denne metoden approksimererim<strong>puls</strong>responsen til en transduser med tilfeldig geometri ogvekting. Styring og fokusering er også mulig med denne metoden [28]. Idette kapittelet er den sentrale delen <strong>av</strong> approksimasjons-metoden utledet.5.1 Approksimasjon <strong>av</strong> den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsenEttersom den romlig vektede im<strong>puls</strong>responsen ikke kan finnes for allesender-geometrier, er det n<strong>at</strong>urlig å prøve å approksimere den bestmulig.En diskretisering <strong>av</strong> likning (4.6), inns<strong>at</strong>t likningen for Green’s funksjon(4.2), gir en tilnærming:h a ( ⃗r 1 , ⃗r 2 ,t)≈ ∑ Sa( ⃗r 2 + ⃗r i ) δ(t − | ⃗r 1−⃗r i − ⃗r 2 |c)| ⃗r 1 − ⃗r i − ⃗r 2 | . (5.1)Posisjonen til et tilfeldig punkt på sendefl<strong>at</strong>en er gitt ved ⃗r 2 + ⃗r i ,ogdeter ⃗r i som er summeringsvariablen.35
36 Kapittel 5 . Den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsenInndeling <strong>av</strong> fl<strong>at</strong>en i punkter har den ulempen <strong>at</strong> mange punkter måbrukes for å beskrive fl<strong>at</strong>en godt nok, noe som vil ta lang tid i praktiskeutregninger. Antallet punkter kan reduseres betraktelig ved å dele oppsendefl<strong>at</strong>en i små rektangler og anta uniform svingehastighet for hvertrektangel. Istedenfor å representere de små fl<strong>at</strong>ene med punktkilderbrukes im<strong>puls</strong>responsen til rektangler. Den totale im<strong>puls</strong>responsen utregnesved å summere im<strong>puls</strong>responsen <strong>fra</strong> hvert rektangel multiplisertmed en vektingsfaktor a( ⃗r 2 + ⃗r i ).Ved å bruke rektangler, slik <strong>at</strong> distansen til felt-punktet er stor i forholdtil rektanglenes størrelse, blir det fornuftig å bruke fjern-felts approksimasjonved utregning <strong>av</strong> bidraget <strong>fra</strong> hvert rektangel. Im<strong>puls</strong>responsentil en rektangulær sender med fjernfelts-approksimasjon og uniformsvingehastighet er funnet i [27].I praksis vil transdusere være <strong>array</strong> <strong>av</strong> sensor-elementer. Disse elementeneer små og blir ofte estimert som punktkilder i litter<strong>at</strong>uren, menmed rektangler kan en få med hvordan deres utstrekning påvirker ulikestrålings-mønstre.5.2 Den romlige im<strong>puls</strong>responsen ved uniform svingehastighetFor å finne den romlige im<strong>puls</strong>responsen til en rektangulær sender utenvekting, som trengs i approksimasjons-metoden i kapittel 5.1, utledesførst en generell likning for problemet.Ved å anta uniform svingehastighet (a( ⃗r 2 + ⃗r 3 ) = 1) på sendefl<strong>at</strong>en, redusererlikning (4.4) seg til v(⃗r 2 + ⃗r 3 ,t 2 )=v e (t 2 ).Senderen er plan som i figur 4.1b, der forenklingen ⃗r 2 = 0 er gjort forå lette notasjonen. Senderens utstrekning, beskrevet <strong>av</strong> ⃗r 3 ,eri(x, y)-planet.Med antagelsen om uniform svingehastighet pluss notasjonsforenklingenblir likningen for im<strong>puls</strong>responsen (4.6) nåh a ( ⃗r 1 ,t)= 1 ∫2π Sδ(t − | ⃗r 1− ⃗r 3 |)cd 2 ⃗r 3 . (5.2)| ⃗r 1 − ⃗r 3 |For å redusere uttrykket for h a ( ⃗r 1 ,t) innføres et nytt koordin<strong>at</strong>systemvist i figur 5.1.
5.2 Den romlige im<strong>puls</strong>responsen ved uniform svingehastighet 37..z⃗r 1yFelt punkt...⃗r 2 =0θ(R)RSender⃗r 3..........y...L(R)..xFigur 5.1: Det nye koordin<strong>at</strong>systemet uttryktmed R,L(R),θ(R)R =|⃗r 1 −⃗r 3 |kan tenkes på som radiusen til en kule med sentrum i ⃗r 1 .L(R) er skjæringslengden mellom kulen med radius R rundt ⃗r 1 og senderen.Vinkelen θ(R) utgjør vinkelen mellom normalen <strong>fra</strong> ⃗r 1 til y-aksen ogskjærings-vektoren med senderen <strong>av</strong> lengde R.
38 Kapittel 5 . Den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsenVerdt å merke seg er <strong>at</strong> θ(R) er konstant for alle punkter på L(R). L(R)og θ(R) er begge <strong>av</strong>hengige <strong>av</strong> R.Etter variabelskifte fås dette uttrykket for im<strong>puls</strong>responsen:h a (L(R), θ(R), t) = 1 ∫δ(t − R c )dS. (5.3)2π S Rz.⃗r 1..R + ∆R2RR − ∆R2.......∆d. ..Figur 5.2: Hjelpefigur for variabelskifte.y.Geometriske betraktninger <strong>fra</strong> figur 5.2 gir∆d = ∆R/sinθ(R).Inkrementet i senderens fl<strong>at</strong>e ∆S kan uttrykkes som∆S = L(R)∆d.Kombineres de to likningene fås
5.2 Den romlige im<strong>puls</strong>responsen ved uniform svingehastighet 39∆S = L(R)∆R/sinθ(R). (5.4)Ved å la ∆R → 0 i likning (5.4) og substituere det i likning (5.3) blirh a (L(R), θ(R), t) =∫ ∞0δ(t − R/c)L(R) dR.2πR · sinθ(R)Etter substitusjonen τ = R/c fåsh a (L(R), θ(R), t) =∫ ∞0δ(t − τ)L(cτ)2πτ · sinθ(cτ) dτ.Egenskapene til δ-funksjonen gjør <strong>at</strong> uttrykket for im<strong>puls</strong>responsfunksjonenreduserer seg tilh a (L(R), θ(R), t) =L(ct)2πt · sinθ(ct) . (5.5)Fra figur 5.1 ses <strong>at</strong> L(R) = 0forR>R max og RR max /c og t
40 Kapittel 5 . Den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsener det n<strong>at</strong>urlig å anta noe <strong>av</strong>vik <strong>fra</strong> den utregnede romlige im<strong>puls</strong>responsen.I virkeligheten vil ikke antagelsen om homogent medium være oppfyltda ultralyd<strong>av</strong>bildninger <strong>av</strong> for eksempel indre organer går gjennomkroppen. Det er stort sett fett som ødelegger mest fordi det har l<strong>av</strong>erepropageringshastighet for lyd enn annet vev.5.3 Im<strong>puls</strong>responsen til rektangler uten vekting5.3.1 Rektangel plassering i origoy..Senderw x. .. d ⃗ =(d1 ,d 2 ,d 3 )..zw y...x. .l ⃗r 1Felt punktFigur 5.3: Rektangulær senderDen rektangulære senderen i figur 5.3 ligger i (x,y)-planet der sentrum<strong>av</strong> rektangelet er plassert i origo (helt tilsvarende kapittel 5.2). I x-retning har det bredde w x og i y-retning w y . Her er det definert noennye størrelser: Avstanden <strong>fra</strong> sentrum <strong>av</strong> rektangelet til felt-punktethar fått betegnelsen l. Her vil l = |⃗r 1 | siden forenklingen ⃗r 2 = 0ergjort. Enhetsvektoren <strong>fra</strong> sentrum <strong>av</strong> rektangelet til feltpunktet er ⃗d =(d 1 ,d 2 ,d 3 ). Denne størrelsen angir en retning ut <strong>fra</strong> et koordin<strong>at</strong>systemder senderen ligger i (x, y)-planet, og må modifiseres senere nårsender-plasseringen ikke oppfyller dette. Her er ⃗d = ⃗r 1| ⃗r 1 | .Det antas så <strong>at</strong> feltpunktet ligger i fjernfeltet til hvert rektangel. Detbetyr <strong>at</strong> l>>w x og l>>w y . Med denne antagelsen blir det riktig å antadette om størrelsene i figur 5.1 og likning (5.5):I θ(ct) ≈ konstant for t 1
5.3 Im<strong>puls</strong>responsen til rektangler uten vekting 41III 1 t≈ 1 lc= c lfor t 1
42 Kapittel 5 . Den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsen⎧0 for tt 4⎪⎨ lineært voksende for t 1
5.3 Im<strong>puls</strong>responsen til rektangler uten vekting 43t 1 = l c − ∆t 1 + ∆t 2,2t 2 = t 1 + ∆t 1 ,t 3 = t 1 + ∆t 2 ,t 4 = t 1 + ∆t 1 + ∆t 2 . (5.9)Den trapes-formede im<strong>puls</strong>responsen blir symmetrisk om t = t 2+t 32såden kan utregnes ved å konvolvere 2 rektangulære <strong>puls</strong>er.Det kan også vises <strong>at</strong> arealet <strong>av</strong> trapeset, som er lik im<strong>puls</strong>responsenintegrert over hele tidsintervallet, blir a(l) = w x·w y. Enkel geometrisk2πlutregning gir da <strong>at</strong> høyden <strong>av</strong> trapeset blir H(l) = a(l)∆t 2.5.3.2 Fjernfelts-områdeStørrelsen på rektanglene må velges slik <strong>at</strong> feltpunktet ligger i fjernfeltregionen til hvert rektangel. Dette er gitt ved [14]:l>>w24λ min, (5.10)hvor w = max(w x ,w y ) og λ min er den minste bølgelengden til ultralyden.En omstokking <strong>av</strong> likningen over gir et kr<strong>av</strong> til hvor små rektanglenemå velges for å få god tilnærming med im<strong>puls</strong>responsmetoden:w
44 Kapittel 5 . Den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsen..Sender⃗v 2w x . . ⃗v 1l. ....[ d] ⃗ E..⃗v 3w y ...⃗r 2⃗r 1Felt punkt. . ..OrigoFigur 5.6: Rektangulær sender i (v 1 ,v 2 )-planet..så en formel for im<strong>puls</strong>responsen gitt mer generell plassering <strong>av</strong> denrektangulære senderen er ønskelig.Figur 5.6 viser <strong>at</strong> den rektangulære senderen i figur 5.3 er flyttet ut <strong>fra</strong>origo.Det n<strong>at</strong>urlige koordin<strong>at</strong>systemet i R 3 får nå betegnelsen E, dvs. E ={ ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 }. Koordin<strong>at</strong>systemet til senderen er V ={⃗v 1 ,⃗v 2 ,⃗v 3 }der alle| ⃗v i |=1.Ettersom senderens utstrekning er i (v 1 ,v 2 )-planet, kan punktene påden beskrives som⃗r 2 + ⃗r 3 = ⃗r 2 + a ⃗v 1 + b ⃗v 2 der (5.12)− w x2
5.4 Estimering <strong>av</strong> den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsen gitt tilfeldigsender geometri og vekting 45[ ⃗d] E = ⃗r 1 − ⃗r 2|⃗r 1 − ⃗r 2 | . (5.14)Ettersom ⃗d i kapittel 5.3.1 var definert ut <strong>fra</strong> koordin<strong>at</strong>systemet til senderen,vil im<strong>puls</strong>responsen bli feil med ren innsetting <strong>av</strong> [ ⃗d] E i likning(5.7) og (5.8). En konvertering til senderens koordin<strong>at</strong>system V må derforgjennomføres:[ ⃗d] V = [I] V,E [⃗d] E . (5.15)Ved innsetting <strong>av</strong> [ ⃗d] V i likning (5.7) og (5.8) fås ut de riktige grensetidenefor im<strong>puls</strong>responsen. Det går altså an å finne im<strong>puls</strong>responsen tilrektanglet som en funksjon <strong>av</strong> <strong>av</strong>standen l, senderens koordin<strong>at</strong>systemV og feltpunktretningen [ ⃗d] E .5.4 Estimering <strong>av</strong> den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsengitt tilfeldig sender geometri og vektingTil slutt er det mulig å komme <strong>fra</strong>m til en m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>isk tolkning <strong>av</strong>approksimasjons-ideen for den romlige im<strong>puls</strong>responsen gitt i kapittel5.1.Rektangel i.... .. ..⃗r i...Sender[ ⃗ d i ] E..l iFelt punkt⃗r 1⃗r 2..Figur 5.7: Sirkulær sender delt inn i små rektangler
46 Kapittel 5 . Den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsenSenderen er fl<strong>at</strong> og sirkulær som vist i figur 5.7, og svingningen er vektetmed a( ⃗r 2 + ⃗r 3 ). Senderen deles opp i små rektangler med lengde w x ogbredde w y . Im<strong>puls</strong>responsen for sirkelen uttrykkes som en vektet sum<strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responsene <strong>fra</strong> hvert rektangel:h sirkel (⃗r 1 , ⃗r 2 ,t)≈ ∑ Sa( ⃗r 2 + ⃗r i )h i rektangel (⃗r 1, ⃗r 2 + ⃗r i ,t). (5.16)Puls-<strong>ekko</strong> modellen krever høy samplings-frekvens i tid, det vil si rundt50-100 MHz. Dette på grunn <strong>av</strong> <strong>at</strong> <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> bølgen v pe og den romlige<strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> im<strong>puls</strong>responsen H pe må samples godt nok før konvolusjoneni likning (4.48) utføres. Diagnostisk ultralyd har frekvens mellom 1og 25 MHz så <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> bølgen må iallfall samples med dobbelt så høyfrekvens (Nyquist r<strong>at</strong>en). Im<strong>puls</strong>responsen for transduseren er en vektetsum <strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responser <strong>fra</strong> rektangler. Hver rektangel-im<strong>puls</strong>responsbør samples så bra <strong>at</strong> tidene i figur 5.5 lar seg skille, slik <strong>at</strong> den ikke blirliknende en deltaim<strong>puls</strong>.Høy samplingsfrekvens i tid er en ulempe i C-modus (konstant dybde)simuleringer. Her ønskes det bare å beregne trykket for ett tidspunkt forhver fokusering. Med modellen må allikevel alle tidspunkt regnes ut forå kunne gjennomføre konvolusjonen (4.48), noe som vil være ekstremttidkrevende og tungvint. En modell bygget på diskretisering <strong>av</strong> Rayleighintegralet gitt i likning (4.3) vil da være å foretrekke.5.4.1 Fokusering og styringEn fordel med approksimasjons-metoden <strong>av</strong> den romlige im<strong>puls</strong>responsener <strong>at</strong> fokusering og styring <strong>av</strong> elementene er mulig, ved å legge tilpassende forsinkelser på rektangel-elementene:h sirkel (⃗r 1 , ⃗r 2 ,t)≈ ∑ Sa( ⃗r 2 + ⃗r i )h i rektangel (⃗r 1, ⃗r 2 + ⃗r i ,t −∆t ij ). (5.17)Forsinkelsen for fokuspunkt j og rektangel i er ∆t ij som er gitt ved∆t ij = (R j − R ij )/c, (5.18)
5.4 Estimering <strong>av</strong> den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsen gitt tilfeldigsender geometri og vekting 47der R j er <strong>av</strong>standen <strong>fra</strong> sentral-elementet til fokuspunkt j, ogR ij er <strong>av</strong>standen<strong>fra</strong> element i til fokuspunkt j. Sentral-elementet får forsinkelse0 for alle fokuspunktene.I ultralyd sendes en stråle for hver fokus-vinkel i en sektor-<strong>av</strong>bildning,så senderen har fast fokus. Mottakeren kan ha dynamisk fokus ved <strong>at</strong>ulike tidsforsinkelser blir lagt til for ulike tidsintervaller. For simuleringerer det derimot mulig å ha dynamisk fokus på både sender ogmottaker. I kapittel 8 er en ide for implementasjon <strong>av</strong> dynamisk fokusforeslått.5.4.2 Projeksjons-faktorI likning (3.14) ble det introdusert en projeksjons-faktor fordi en transdusermed utstrekning stråler mer energi rett <strong>fra</strong>m enn til siden. Dettekan være hensiktsmessig også i denne modellen, ettersom rektanglenehar litt utstrekning. Utregning <strong>av</strong> projeksjonsfaktor for ultralydmodellener ikke beskrevet i noen artikler, men her er det gjort et forsøk. Denromlige im<strong>puls</strong>responsen til sirkel-transduseren blirh sirkel (⃗r 1 , ⃗r 2 ,t)≈ ∑ Sa( ⃗r 2 + ⃗r i )cos(θ i )h i rektangel (⃗r 1, ⃗r 2 + ⃗r i ,t −∆t ij ),(5.19)der projeksjons-faktoren for rektangel element i er gitt vedcos(θ i ) = d 3|[d] V |(5.20)når⎛⎜d ⎞1⎟[d] V = ⎝d 2 ⎠ . (5.21)d 3Verdt å merke seg er <strong>at</strong> for simuleringer uten projeksjonsfaktor blirstrålingsmønstre med en punktspreder like om fokuspunktet eller punktsprederenbeveges i en sirkel-sektor. Med projeksjonsfaktor gjelder ikke
48 Kapittel 5 . Den romlige vektede im<strong>puls</strong>responsendette lenger ettersom projeksjonsfaktoren bare tar hensyn til punktsprederensplassering i forhold til transduseren.I de aller fleste simuleringene i denne oppg<strong>av</strong>en er projeksjonsfaktorensett bort i<strong>fra</strong> ettersom elementene stort sett er ganske små.
Kapittel 6Verifisering <strong>av</strong>ultralydmodellenI utledningen <strong>av</strong> simuleringsmodellen ble det gjort mange antagelser ogforenklinger. Hvis en <strong>av</strong> disse er mindre god blir også modellen dårlig,så det er ønskelig å simulere noe som lar seg teste i praksis. Målet erå finne ut om modellen er programmert riktig og hvor godt den er ioverensstemmelse med andre result<strong>at</strong>er.Verifiseringen er tredelt. Først testes ultralydmodellen med et 2D konk<strong>av</strong>tannular <strong>array</strong> med <strong>puls</strong>et bølgeform. Tilsvarende simuleringene ertidligere gjort med Field i [6] og [7]. Så testes ultralydmodellen medfasestyrte lineære <strong>array</strong> med kontinuerlig bølgeform. Disse result<strong>at</strong>enesammenliknes med Fourier transform metoden <strong>fra</strong> kapittel 3.3.3. Tilslutt testes ultralydmodellen med 2D fasestyrte <strong>array</strong> med <strong>puls</strong>et bølgeform.Tilsvarende simuleringer er tidligere gjort i [17].6.1 Konk<strong>av</strong>t <strong>array</strong>Utvikleren <strong>av</strong> modellen, Jørgen Arendt Jensen, gjorde i [6] og [7] målingermed oscilloskop <strong>av</strong> en konk<strong>av</strong> transduser i <strong>av</strong>gasset vannbad meden flyttbar nål som punktspreder for å bekrefte <strong>at</strong> modellen ga riktigeresult<strong>at</strong>er. I dette kapittelet skal det forsøkes å etterprøve simuleringenetil Jørgen Arendt Jensen for å se om modellen er programmert ogs<strong>at</strong>t opp riktig.49
50 Kapittel 6 . Verifisering <strong>av</strong> ultralydmodellen(a)z(b)yFokus-punktTransduserTransduser∠zx∠zyxrektangelxFigur 6.1: Den konk<strong>av</strong>e transduseren delesopp i rektangler. Plasseringen til et rektangelkan beskrives med to rotasjons-vinkler ogkoordin<strong>at</strong>ene til sentrum <strong>av</strong> rektangelet. Deto vinkelene står for hvor mye et rektangelplassert i origo må roteres i zx-retning (a) ogderetter i xy-retning (b) for å komme <strong>fra</strong>m tilriktig retning6.1.1 Rektangel plasseringFør simuleringene må den konk<strong>av</strong>e transduseren deles opp i rektangler.Transduserens plassering er generelt i xy-planet med midten <strong>av</strong> transdusereni origo. Her vil også transduseren ha noe utstrekning i z-retningpå grunn <strong>av</strong> krumningen. Det er ikke noen entydig måte å gjøre dette påettersom det er umulig å dekke en konk<strong>av</strong> fl<strong>at</strong>e med rektangler. Det ermulig å bruke et CAD-program for å visualisere hvor rektanglene børstå for å dekke den konk<strong>av</strong>e transduseren best mulig. Her er derimoten metode bestående <strong>av</strong> to rotasjoner brukt. Ideen er <strong>at</strong> ett rektangelsplassering kan beskrives med koordin<strong>at</strong>ene til sentrum <strong>av</strong> rektangeletpluss to vinkler som beskriver rektangelets retning. De to vinkelenestår for hvor mye et rektangel plassert i origo må roteres i zx-retning ogderetter i xy-retning for å komme <strong>fra</strong>m til riktig helning på rektangelet.Dette er vist i figur 6.1.
6.1 Konk<strong>av</strong>t <strong>array</strong> 5110.80.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8−10 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10 −6Figur 6.2: Puls-<strong>ekko</strong> bølgen v pe6.1.2 <strong>Simulering</strong>erTransduseren er konk<strong>av</strong> med radius lik 8.1 mm og fokal-radius lik 150mm, og inndelingen i rektangler er som beskrevet i kapittel 6.1.1. Forv pe , gitt i likning (4.45), brukte Jørgen Arendt Jensen en l<strong>av</strong>passfiltrert(7MHz) måling <strong>av</strong> <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> bølgen til Brüel & Kjær 8529 transdusermed nominell frekvens 3.5 MHz. Målingen bestod <strong>av</strong> den reflekterte<strong>puls</strong>en når det står en stor pl<strong>at</strong>e 150 mm foran transduseren. Dette forå få med den elektromekaniske im<strong>puls</strong>responsen til transduseren vedsending og mottaking, E m (t). Signalet ble l<strong>av</strong>passfiltrert for å reduserestøy. En etterlikning <strong>av</strong> denne målingen <strong>av</strong> v pe ble brukt her og er vist ifigur 6.2.Punktsprederen blir først plassert en gitt <strong>av</strong>stand i z-retning vekk <strong>fra</strong>transduseren. Deretter flyttes punktsprederen i l<strong>at</strong>eral/x-retningen mens<strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> trykket blir simulert med likning (4.48) for hver punktsprederplassering.Figur 6.3, 6.4 og 6.5 inneholder samme type grafer, men punktspreder<strong>av</strong>standi z-retning varierer <strong>fra</strong> 60 mm til 200 mm.Result<strong>at</strong>ene i figur 6.3 til 6.5 er veldig like simuleringene til Jørgen ArendtJensen i [6] og [7], bortsett <strong>fra</strong> små forskjeller.Avvikene skyldes først og fremst <strong>at</strong> <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong>-bølgen, v pe , ikke er lik.Oppløsningen i tidsretningen bestemmes først og fremst <strong>av</strong> lengdenpå <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong>-bølgen og er veldig følsom for små forandringer i <strong>puls</strong>lengden.I [6] og [7] ble det brukt analytiske formler for im<strong>puls</strong>responsen til konk<strong>av</strong>transduser, ettersom approksimasjonen <strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responsen i ka-
52 Kapittel 6 . Verifisering <strong>av</strong> ultralydmodellen(a) Envelope responsen, z=60 mm, lineær skala(b) Envelope responsen, z=60 mm, lineær skala110.80.80.60.60.40.40.20.20−1000−541−1005123x 10 −6x 10 −62350−5L<strong>at</strong>eral distanse [mm]10 0Tid [s]Tid [s]410L<strong>at</strong>eral distanse [mm]Tid [s](c) Envelope responsen i dB, z=60 mm, 6 dB kontur linjer10−63.532.521.510.5−24−36−42−42−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 84 x L<strong>at</strong>eral distanse [mm]−42−42−36−36−42−42−42−30−24−36−18−42−30−30−12−24−18−42−36−12−30−24−36−36−30−36−42−42−42−42−42Normalisert amplitudeNormalisert amplitudeNormalisert amplitude10.50−0.5−10 1 2Tid(s)3x 100.60.40.200.5(d)−0.20 1 2 3−6Tid(s)x 1010−10 −5 0 5 10L<strong>at</strong>eral distanse [mm]Responsbølge ved z=60 mm, x=0 mmResponsbølge ved z=60 mm, x=3 mmL<strong>at</strong>eral peak respons ved z=60 mmFigur 6.3: Simulerte to-veis responser forkonk<strong>av</strong> transduser når punktspreder-<strong>av</strong>standz = 60 mm. I del a og b er envelopen over tidtil rf-signalene <strong>fra</strong>mvist som mesh-plott sett<strong>fra</strong> 2 vinkler. Et kontur plott <strong>av</strong> envelopen idB vises i del c. Del d inneholder 3 separ<strong>at</strong>egrafer. Det normaliserte rf-signalet er vistved x = 0mmogx=3 mm <strong>fra</strong> z-aksen i de 2første grafene. Den tredje er et plott <strong>av</strong> maksimumpositiv peak respons <strong>av</strong> hver rf-linje.
6.1 Konk<strong>av</strong>t <strong>array</strong> 53(a) Envelope responsen, z=120 mm, lineær skala(b) Envelope responsen, z=120 mm, lineær skala110.80.80.60.60.40.40.20.20−1000−541−1005123x 10 −6x 10 −62350−5L<strong>at</strong>eral distanse [mm]10 0Tid [s]Tid [s]410L<strong>at</strong>eral distanse [mm]Tid [s](c) Envelope responsen i dB, z=120 mm, 6 dB kontur linjer4 x 10−63.532.521.510.5−42−42−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8L<strong>at</strong>eral distanse [mm]−36−42−42−42−30−36−36−18−42−24−30−24−12−12−30−6−18−36−36−18−42−24−30−42−36−36−42−42−42Normalisert amplitudeNormalisert amplitudeNormalisert amplitude10.50−0.5−10 1 2Tid(s)3x 100.40.20−0.20.5(d)−0.40 1 2 3−6Tid(s)x 1010−10 −5 0 5 10L<strong>at</strong>eral distanse [mm]Responsbølge ved z=120 mm, x=0 mmResponsbølge ved z=120 mm, x=3 mmL<strong>at</strong>eral peak respons ved z=120 mmFigur 6.4: Simulerte to-veis responser forkonk<strong>av</strong> transduser når punktspreder-<strong>av</strong>standz = 120 mm. I del a og b er envelopen over tidtil rf-signalene <strong>fra</strong>mvist som mesh-plott sett<strong>fra</strong> 2 vinkler. Et kontur plott <strong>av</strong> envelopen idB vises i del c. Del d inneholder 3 separ<strong>at</strong>egrafer. Det normaliserte rf-signalet er vistved x = 0mmogx=3 mm <strong>fra</strong> z-aksen i de 2første grafene. Den tredje er et plott <strong>av</strong> maksimumpositiv peak respons <strong>av</strong> hver rf-linje.pittel 5.1 først ble foreslått i [14]. Dette kan gi opph<strong>av</strong> til små <strong>av</strong>vik.En annen kilde til <strong>av</strong>vik er <strong>at</strong> rektangelplasseringen bestemt i kapittel6.1.1 ikke er unik. Dette skyldes <strong>at</strong> det er umulig å dekke en konk<strong>av</strong>transduser med rektangler. Dette <strong>av</strong>viket blir minimalt når det brukeset stort antall rektangler for å dekke den konk<strong>av</strong>e fl<strong>at</strong>en, men dette førerogså til tyngre simuleringer.
54 Kapittel 6 . Verifisering <strong>av</strong> ultralydmodellen(a) Envelope responsen, z=200 mm, lineær skala(b) Envelope responsen, z=200 mm, lineær skala110.80.80.60.60.40.40.20.20−1000−541−1005123x 10 −6x 10 −62350−5L<strong>at</strong>eral distanse [mm]10 0Tid [s]Tid [s]410L<strong>at</strong>eral distanse [mm]Tid [s](c) Envelope responsen i dB, z=200 mm, 6 dB kontur linjer10−63.53−422.521.510.5−24−42−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 84 x L<strong>at</strong>eral distanse [mm]−24−42−42−30−12−18−36−24−36−18−6−30−30−12−12−42−24−18−6−36−36−18−30−24−42−30−24−36−36−30Normalisert amplitudeNormalisert amplitudeNormalisert amplitude10.50−0.5−10 1 2Tid(s)3x 1010.50−0.50.5(d)−10 1 2 3−6Tid(s)x 1010−10 −5 0 5 10L<strong>at</strong>eral distanse [mm]Responsbølge ved z=200 mm, x=0 mmResponsbølge ved z=200 mm, x=3 mmL<strong>at</strong>eral peak respons ved z=200 mmFigur 6.5: Simulerte to-veis responser forkonk<strong>av</strong> transduser når punktspreder-<strong>av</strong>standz = 200 mm. I del a og b er envelopen over tidtil rf-signalene <strong>fra</strong>mvist som mesh-plott sett<strong>fra</strong> 2 vinkler. Et kontur plott <strong>av</strong> envelopen idB vises i del c. Del d inneholder 3 separ<strong>at</strong>egrafer. Det normaliserte rf-signalet er vistved x = 0mmogx=3 mm <strong>fra</strong> z-aksen i de 2første grafene. Den tredje er et plott <strong>av</strong> maksimumpositiv peak respons <strong>av</strong> hver rf-linje.
6.2 Kontinuerlig bølge respons <strong>fra</strong> lineære <strong>array</strong> 556.2 Kontinuerlig bølge respons <strong>fra</strong> lineære <strong>array</strong>I kapittel 3.3.3 ble det vist <strong>at</strong> Fourier transform kunne brukes til å simulerekontinuerlige bølge<strong>felter</strong> i fjernfeltet eller rundt fokal-regionen.Ettersom ultralydmodellen utviklet i kapittel 4 og 5 ikke har noen begrensningpå fjern/nær-felt eller <strong>puls</strong>et/kontinuerlig bølge, er det hergjort noen forsøk for å sjekke overens-stemmelsen mellom modellene.Utgangspunktet er et fullt lineært <strong>array</strong> med 129 elementer og element<strong>av</strong>standlik halve bølgelengden (λ/2) for både sende- og mottaker<strong>array</strong>.Da blir likning (3.20) likP T (s) = P R (s) ==∞∑n=−∞∑64n=−64a T [n]e j 2π λ sx n(6.1)e jπsn , (6.2)ved innsetting <strong>av</strong> x n = nλ/2. Toveis eller <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> strålings-mønsteretregnes så ut ved likning (3.22) og er vist i figur 6.7.Den samme simuleringen gjøres også for tre <strong>tynnede</strong> <strong>array</strong>: et periodisk<strong>array</strong>, et tilfeldig <strong>array</strong> og et vernier <strong>array</strong>. Tynnede <strong>array</strong> betyr <strong>array</strong>med manglende elementer i forhold til det fulle <strong>array</strong>et. I det periodiske<strong>array</strong>et er annethvert element i sender- og mottaker-<strong>array</strong> fjernet. I dettilfeldige <strong>array</strong>et er halvparten <strong>av</strong> elementene fjernet ved tilfeldig utplukking.I vernier <strong>array</strong>et er bare hvert tredje element beholdt i sender<strong>array</strong>et, mens hvert annet element er beholdt i mottaker <strong>array</strong>et. Merinformasjon om vernier <strong>array</strong>et kan finnes i [18] og [17].Ettersom simuleringene skal være i fjernfeltet, må punktsprederen plassereslangt <strong>fra</strong> transduserene. Transduser-plasseringene er, som i forrigekapittel, i xy-planet med sentrum i origo. Fjernfeltsgrensen erD 2λ = (129λ/2)2λ≈ 4160λ, (6.3)så punktspreder-<strong>av</strong>stand lik 10 meter holder når frekvensen er lik 3MHz.
56 Kapittel 6 . Verifisering <strong>av</strong> ultralydmodellenfokuseringspunktΦ⃗ra(x)xFigur 6.6: Lineært <strong>array</strong>, der den radiellefokuserings-distansen |⃗r| holdes konstant ogfokus-vinkelen Φ varierer.Den radielle fokuserings-distansen settes lik <strong>av</strong>standen til punktsprederen,mens fokus-vinkelen Φ varierer som vist i figur 6.6.En tilnærming til kontinuerlig bølge fås ved å bruke lang <strong>puls</strong>lengde.Pulslengden må være lang nok til <strong>at</strong> <strong>puls</strong>ene, sendt <strong>fra</strong> hvert element i<strong>array</strong>et, overlapper hverandre i punktsprederen for enhver fokusering.Når punktsprederen ligger rett <strong>fra</strong>mfor transduseren som her, vil detvære nok å kreve <strong>at</strong> <strong>puls</strong>lengden er større enn aperturelengden. Her erdet valgt en <strong>puls</strong>lengde på 100λ, som er tilstrekkelig for ett 128 elementersfullt lineært <strong>array</strong>.Puls-<strong>ekko</strong> trykket blir simulert for hver fokuseringsvinkel med likning(4.48). Av det resulterende signalet tas et tverrsnitt i tid (tidspunktetsom gir maksimum absolutt respons for fokus-vinkel Φ = 0 o ). Signaletplottes så som funksjon <strong>av</strong> fokus-vinkelen i figur 6.7.Figur 6.7 viser <strong>at</strong> strålingsmønstrene med ultralydmodellen og Fouriertransform-metoden blir svært like. Noen små <strong>av</strong>vik kan allikevel ses fordet periodisk <strong>tynnede</strong> <strong>array</strong>et og vernier <strong>array</strong>et for cirka 30 o .<strong>Simulering</strong> <strong>av</strong> to-veis ultralyd<strong>felter</strong> med kontinuerlige bølger i fjernfelteteller rundt fokalregionen kan gjøres med både fast fourier transformog ultralydmodellen utviklet i kapittel 4 og 5.Her ble modellens fokuserings-egenskaper, definert i kapittel 5.4.1, utprøvdi motsetning til kapittel 6.1 der punktsprederen ble flyttet.
6.3 To-dimensjonale <strong>array</strong> 570full <strong>array</strong>cw0sparse periodic cw−10<strong>puls</strong>et respcw resp−10<strong>puls</strong>et respcw resp−20−20−30−30amplitude (dB)−40−50−60amplitude (dB)−40−50−60−70−70−80−80−90−90−100−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100angle zx plane (deg)−100−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100angle zx plane (deg)0sparse randomcw0sparse verniercw−10<strong>puls</strong>et respcw resp−10<strong>puls</strong>et respcw resp−20−20−30−30amplitude (dB)−40−50−60amplitude (dB)−40−50−60−70−70−80−80−90−90−100−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100angle zx plane (deg)−100−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100angle zx plane (deg)Figur 6.7: CW strålings-mønster funnet medFourier transform metoden, og strålingsmønsterfunnet med ultralydmodellen for<strong>puls</strong>lengde lik 100λ. Fire <strong>array</strong> er studert: a)Fullt 129 elementers <strong>array</strong>. b) Periodisk tynnet<strong>array</strong> der annethvert element i senderog mottaker er fjernet. c) Tilfeldig tynnet <strong>array</strong>der halvparten <strong>av</strong> elementene i senderog mottaker er fjernet. d) Vernier <strong>array</strong> dertredje hvert element er beholdt i sender ogannethvert i mottaker.6.3 To-dimensjonale <strong>array</strong>I den siste testen <strong>av</strong> modellen skal simuleringer med 2D-<strong>array</strong> utprøves.For å få en indikasjon om simuleringene er korrekte, er det i dettekapittelet prøvd å etterlikne 2D-<strong>array</strong> simuleringer i [17].Strålings-mønsteret fås ved å simulere en 3D sektor <strong>av</strong>bildning <strong>av</strong> enpunktsprednings-kilde med modellen beskrevet i tidligere kapitler.Både sender- og mottaker-transduser er plassert i xy-planet. For å ge-
58 Kapittel 6 . Verifisering <strong>av</strong> ultralydmodellenzz∠zx⃗r proj−zx−plan(x 1 , 0,z 1 )∠zy⃗r proj−zy−plan(0,y 1 ,z 1 )xyFigur 6.8: Koordin<strong>at</strong>system for sektor<strong>av</strong>bildningen.Vinklene ∠zx og ∠zy varierermens |⃗r| holdes konstantnerere en sektor <strong>av</strong>bildning, blir hver fokuserings-vinkel (vinkel med z-aksen i zx- ogzy-planet) økt med inkrementet 1 ◦ <strong>fra</strong> −45 ◦ til 45 ◦ . Koordin<strong>at</strong>systemetanvendt er vist i figur 6.8. Denne typen koordin<strong>at</strong>systemer beskrevet i [24].Avstanden til punktsprederen <strong>fra</strong> origo og senderens radielle fokusdistanse settes lik 4 ganger aperturebredden til senderen ( f #4 = 1).I [17] ble mottaker <strong>array</strong>et dynamisk fokusert, og den radielle fokusdistansen gikk <strong>fra</strong> " f #3.5 = 1" til " f #= 1" med inkrement 0.05· (apertureradius).Ettersom dynamisk fokus ikke er programmert brukes det her4.5fast fokus som for sender <strong>array</strong>et. Fordi simuleringsmediet bare består<strong>av</strong> en punktspreder, vil denne forandringen få liten betydning for strålingsmønsteret.Det antas <strong>at</strong> sensorene er direktive, så projeksjons-faktoren i kapittel5.4.2 blir brukt.For hver fokusering tas omhyllningskurven (envelopen) <strong>av</strong> det mott<strong>at</strong>tetids-signalet. Den resulterende 3D-sektor simuleringen <strong>fra</strong>mvises såved å plotte maksimum <strong>av</strong> hvert envelope-signal som funksjon <strong>av</strong> fokuseringenbestemt <strong>av</strong> de to fokus-vinklene. Dette valget medfører <strong>at</strong>verst mulige sekundære lober vises. <strong>Simulering</strong>smetoden er kjent sommaksimum projeksjon.En passelig vektet sinus-<strong>puls</strong> (figur 6.9) brukes for å holde simuleringeneså enkle som mulig.Den første <strong>array</strong> geometrien utforsket er tynnet vernier <strong>array</strong> vist i figur6.10. Vernier aperture benytter ulike periodiske <strong>array</strong> i sender- ogmottaker-transduserene. Da vil sender- og mottaker-gitterlobene kom-
6.3 To-dimensjonale <strong>array</strong> 5910.80.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8−10 100 200 300 400 500 600 700 800sample nrFigur 6.9: Bredbånds-<strong>puls</strong>en benyttet i simuleringene(a)(b)1515101055y [lambda]0−5y [lambda]0−5−10−10−15−15−10 0 10x [lambda]−10 0 10x [lambda]Figur 6.10: Vernier <strong>array</strong>et: (a) sending, og (b)mottaking
60 Kapittel 6 . Verifisering <strong>av</strong> ultralydmodellenme på forskjellige steder og kan delvis nulle hverandre ut i 2-veis strålingsmønsteret.Element<strong>av</strong>standen velges lik 3(0.9)λ/2 for senderen og 2(0.9)λ/2 formottakeren. Ved å bruke minimum element<strong>av</strong>stand litt mindre enn λ/2minskes gitterlobe bidraget <strong>fra</strong> høyere frekvenskomponenter i <strong>puls</strong>en.Generellt skal aperturen begrenses <strong>av</strong> en sirkel med radius R = 29λ(tilsvarer fullt 64 × 64 <strong>array</strong> med (0.9)λ/2 element<strong>av</strong>stand). For <strong>at</strong> senderog mottaker vernier <strong>array</strong>ene skal få like mange elementer (517)tilpasses dette kr<strong>av</strong>et litt. Senderaperturen begrenses <strong>av</strong> R6/5 ogmottakeraperturen<strong>av</strong> R4/5.En radiell symmetrisk cosinus apodiserings funksjon brukes i alle simuleringenew(r) = cos( ) rπ, (6.4)2Rhvor r er distansen <strong>fra</strong> <strong>array</strong>senteret til elementet, og R er radiusen tilsenderaperturen for sendervekting og radiusen til mottakeraperturenfor mottakervekting. Elementer utenfor R fjernes <strong>fra</strong> <strong>array</strong>et.Figur 6.11 viser strålingsmønsteret til vernier <strong>array</strong>et for 3 forskjelligepunktspreder plasseringer: (a) (0 ◦ , 0 ◦ ), (b) (40 ◦ , 0 ◦ ), og (c) (40 ◦ , 40 ◦ ).Figur 6.12 viser en sammenlikning <strong>av</strong> strålingsmønsteret til et fullt 3265element <strong>array</strong> med (0.9)λ/2 element<strong>av</strong>stand og 3 <strong>tynnede</strong> 517 elementers<strong>array</strong>: et periodisk <strong>array</strong> med 2.5(0.9)λ/2 element<strong>av</strong>stand (sendeogmottaker-transduser), et tilfeldig <strong>array</strong>, og vernier <strong>array</strong>et. Alle 4 <strong>array</strong>typeneer som tidligere begrenset <strong>av</strong> R = 29λ og apodiseringsfunksjonenw(r) benyttes. Punktsprederen er nå plassert i zx-planet med 40 ◦<strong>fra</strong> z-aksen.Når størrelsen på <strong>array</strong>et økes, kan tynnings-graden også økes [17].Figur 6.13 viser strålingsmønsteret for et 1005-element vernier <strong>array</strong>med 4(0.9)λ/2 sende element<strong>av</strong>stand og 3(0.9)λ/2 mottaker<strong>av</strong>stand.Punktsprederen er plassert på: (a) (0 ◦ , 0 ◦ ), (b) (40 ◦ , 0 ◦ ), og (c) (40 ◦ , 40 ◦ ).Den sirkulære begrensningen blir nå R8/7 for senderaperturen og R6/7for mottakeraperturen, hvor R = 58λ (Dette tilsvarer et fullt 128 ×128 <strong>array</strong>). Som før er <strong>av</strong>standen <strong>fra</strong> punktsprederen til origo gitt ved"f # /4 = 1". Den blir dermed dobbelt så stor som for 517 vernier <strong>array</strong>etfordi senderaperturen dobbelt så lang. Også her benyttes radiell symmetriskcosinus apodisering.
6.4 Konklusjon 61(a)(b)00−20−20amp (dB)−40−60amp (dB)−40−60−80−80−10050−1005050500000angle zy plane (deg)−50−50angle zx plane (deg)angle zy plane (deg)−50−50angle zx plane (deg)(c)0−20amp (dB)−40−60−80−100505000angle zy plane (deg)−50−50angle zx plane (deg)Figur 6.11: Strålingsmønster for et 517 elementvernier 2D-<strong>array</strong> med 3(0.9)λ/2 sendeog 2(0.9)λ/2 mottak element<strong>av</strong>stand forpunktspreder på: (a) (0 ◦ , 0 ◦ ), (b) (40 ◦ , 0 ◦ ), og(c) (40 ◦ , 40 ◦ ).De simulerte result<strong>at</strong>ene i figur 6.11, 6.12 og 6.13 likner mye på tidligereresult<strong>at</strong>er simulert i [17]. Et <strong>av</strong>vik er <strong>at</strong> sidelobene i figur 6.13 er noehøyere enn i [17]. Et annet er <strong>at</strong> den midtre loben i figur 6.11c og 6.13cikke vises i [17]. Grunnen til disse unøyaktighetene er det vanskelig å sinoe om.En kilde til <strong>av</strong>vik er <strong>at</strong> det i [17] ble benyttet dynamisk fokus for mottaker<strong>array</strong>ene.6.4 KonklusjonMin programmering <strong>av</strong> ultralyd-simuleringsmodellen er testet mot Fouriertransform simuleringer og simuleringer i [6], [7] og [17]. Programm-
62 Kapittel 6 . Verifisering <strong>av</strong> ultralydmodellen0−10−20full <strong>array</strong>sparse periodicsparse randomsparse vernier−30amplitude (dB)−40−50−60−70−80−90−100−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50angle zx plane (deg)Figur 6.12: Strålingsmønster (i zx-planet) foret fullt 3265 2D-<strong>array</strong> og 3 <strong>tynnede</strong> 517 elementers2D-<strong>array</strong>: et periodisk <strong>array</strong>, et tilfeldig<strong>array</strong> og vernier <strong>array</strong>et. Punktsprederener plassert i (40 ◦ , 0 ◦ )et er funnet å gi sammenliknbare result<strong>at</strong>er.Koden for ultralyd-modellen er derfor verifisert. Dette inkluderer 1D<strong>array</strong>,2D-<strong>array</strong>, konk<strong>av</strong>t 2D-<strong>array</strong>, element-vekting, fast fokus og approksimasjon<strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responsen ved å dele transduseren opp i rektangler.Programmet kan simulere både en-veis og to-veis responser i bådenær- og fjernfeltet. Koden for ultralydmodellen er lagt med i tillegg A.På grunn <strong>av</strong> <strong>at</strong> Field [13] er offentlig tilgjengelig, har stor fleksibilitetog har gjennomgått omf<strong>at</strong>tende feilsøking og testing, brukes Field i detvidere arbeidet i denne oppg<strong>av</strong>en.
6.4 Konklusjon 63(a)(b)00−20−20amp (dB)−40−60amp (dB)−40−60−80−80−10050−1005050500000angle zy plane (deg)−50−50angle zx plane (deg)angle zy plane (deg)−50−50angle zx plane (deg)(c)0−20amp (dB)−40−60−80−100505000angle zy plane (deg)−50−50angle zx plane (deg)Figur 6.13: Strålingsmønster for et 1005 elementvernier 2D-<strong>array</strong> med 3(0.9)λ/2 sendeog 2(0.9)λ/2 mottak element<strong>av</strong>stand forpunktspreder på: (a) (0 ◦ , 0 ◦ ), (b) (40 ◦ , 0 ◦ ), og(c) (40 ◦ , 40 ◦ ).
64 Kapittel 6 . Verifisering <strong>av</strong> ultralydmodellen
Kapittel 7Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> ogultra-bredbåndede <strong>puls</strong>erUltra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede (UWB=Ultra wide band) <strong>puls</strong>erhar i [21] vist å gi høy oppløsning og veldig l<strong>av</strong>t sidelobe-nivå medekstremt få elementer. Et sidelobe-nivå på -70 dB er ønskelig for å skillesmå cyster <strong>fra</strong> svulster i bryst <strong>av</strong>bildning [21]. Et tilfeldig 2D <strong>array</strong>krever cirka 10000 elementer for å oppnå dette sidelobe-nivået [25].Det vises i [21] <strong>at</strong> ultra<strong>tynnede</strong> UWB <strong>array</strong> oppnår det samme sidelobenivåetmed bare 100 elementer, men <strong>at</strong> <strong>array</strong> med så få elementer vilføre til utilstrekkelig signal-støy-forhold (SNR).Et 2D UWB <strong>array</strong> med litt flere elementer tar hensyn til både sidelobenivåog SNR. Dette <strong>array</strong>et vil ha cirka 500 elementer.Mer eksakt vises det i [21] <strong>at</strong> det er mulig å få <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> sidelobe-nivå tilågåmotN −4 , der sender- og mottaker-<strong>array</strong>ene har N elementer hver.Med N −4 menes 10log 10 (N −4 ) i desibel-skala.Result<strong>at</strong>ene i [21] baserer seg på simuleringer og målinger med en punktspreder.Dette er en klassisk forenkling som er veldig god hvis bare få,små områder <strong>av</strong> <strong>av</strong>bildnings-mediet sprer ultralyden. Spredning forekommerpå områder der det er hurtige endringer <strong>av</strong> vevets akustiskeegenskaper.I dette kapittelet er det redegjort for teorien i [21]. Videre undersøkesdet for hvilke medium-kriterier teorien holder mål. En ny teori sombeskriver <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> responsen for medier, der hele mediet bidrar tiltilbake-spredningen, er også utledet.65
66 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>er7.1 BakgrunnUWB <strong>array</strong>, som sender kortere <strong>puls</strong>er enn 3 perioder [21], er mye brukti ultralyd-<strong>av</strong>bildning. Ulik smalbånd (NB=Narrow band) <strong>av</strong>bildning, der<strong>puls</strong>en er lenger enn aperturelengden, er det lite teori som beskriverUWB <strong>array</strong> ytelse.For NB <strong>array</strong> fører periodisk tynning til gitterlober <strong>av</strong> samme type somhovedloben. Aperiodisk tynning bevarer gitterlobe energien, men fordelerden i den synlige området som <strong>array</strong>et stråler.I [21] er det beskrevet en teori som gir ultra-<strong>tynnede</strong>, lineære, en-veis,UWB <strong>array</strong> med N elementer et sidelobe-nivå på N −2 . Til sammenlikningoppnår et tilfeldig tynnet en-veis NB <strong>array</strong> med N elementer et gjennomsnittligsidelobe-nivå på N −1 . Dette betyr <strong>at</strong> antall elementer somer nødvendig for å oppnå et visst sidelobe-nivå kan reduseres til cirka√ N. Denne drastiske reduksjonen skyldes <strong>at</strong> UWB bølgeformen blirspredt i tid. Effekten blir <strong>at</strong> uønsket side-energi blir fordelt i en ekstr<strong>at</strong>ids-dimensjon.7.2 En-veis responser <strong>fra</strong> <strong>tynnede</strong> lineære <strong>array</strong>Fordi oppførselen til <strong>tynnede</strong> NB <strong>array</strong> er velkjent, brukes det her til åvurdere ytelsen til ultra-<strong>tynnede</strong> UWB <strong>array</strong>. Her er periodiske og tilfeldige<strong>array</strong> studert.Strålingsmønstre i fjernfeltet er analysert ettersom result<strong>at</strong>ene da gjelderi nærfeltet rundt fokal-regionen også [21].7.2.1 Tynnede NB <strong>array</strong>Figur 7.1(a-c) viser NB strålings-mønstrene til et fullt <strong>array</strong>, et periodisktynnet <strong>array</strong> og et tilfeldig tynnet <strong>array</strong>. Periodisk tynning fører til gitterlober<strong>av</strong> samme type som hovedloben i figur 7.1b. Tilfeldig tynningfordeler gitterlobe-energien i det synlige området i figur 7.1c. Gjennomsnittligsidelobe-nivå for NB <strong>array</strong> med tilfeldig tynning er N −1 ,derNerantall elementer.
7.2 En-veis responser <strong>fra</strong> <strong>tynnede</strong> lineære <strong>array</strong> 670(a)0(d)−10−10dB−20dB−20−30−30−1 −0.5 0 0.5 1(b)0−1 −0.5 0 0.5 1(e)0−10−10dB−20dB−20−30−30−1 −0.5 0 0.5 1(c)0−1 −0.5 0 0.5 1(f)0−10−10dB−20dB−20−30−30−1 −0.5 0 0.5 1−1 −0.5 0 0.5 1Figur 7.1: NB strålings-mønstre (a,b,c) og UWBmaksimum projeksjoner (d,e,f) til tre 18 λ <strong>array</strong>.(a,d) 37 elementer, element<strong>av</strong>stand λ/2;(b,e) 10 elementer, periodisk tynnet, element<strong>av</strong>stand2λ; (c,f) 10 elementer, tilfeldig tynnet,gjennomsnittlig element<strong>av</strong>stand 2λ. X-aksen på figurene er u = sin(θ) der θ er azimuthobservasjons-vinkel.
68 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>er(a)(b)3 elementers <strong>array</strong>Figur 7.2: (a) UWB <strong>puls</strong>er overlapper i densmale regionen rundt fokus-punktet, men (b)ikke andre steder7.2.2 Tynnede UWB <strong>array</strong>Analyse <strong>av</strong> NB <strong>array</strong> baserer seg på hvordan lange bølge-former <strong>fra</strong> hvertelement overlapper og dermed adderer seg. Den korte UWB <strong>puls</strong>en overlapperbare i området rundt fokal-regionen (figur 7.2 a) som gir opph<strong>av</strong>til hovedloben i strålings-mønsteret. Derfor er det bare i denne smaleregionen fornuftig å bruke NB analyse.Når et <strong>array</strong> er ultra-tynnet, definert ved: ¯d >cThvor ¯d er gjennomsnittligelement<strong>av</strong>stand og cT er <strong>puls</strong>lengden, eksisterer det en region idet synlige området hvor <strong>puls</strong>ene <strong>fra</strong> elementene ikke overlapper (figur7.2 b). Det overlappende området kalles IR (Interference region) og detikke overlappende området kalles NIR (None interference region).Desto kortere UWB <strong>puls</strong> og større tynningsgrad, desto mindre IR. Stortynningsgrad fører til <strong>at</strong> UWB-<strong>array</strong>ene blir veldig fort store når antallelementer, N, øker. Et result<strong>at</strong> <strong>av</strong> en stor ikke-overlappende region er <strong>at</strong>sidelobe-nivået til ultra-<strong>tynnede</strong> lineære en-veis UWB <strong>array</strong> kan reduseres<strong>fra</strong> N −1 til N −2 , og til kvadr<strong>at</strong>et for <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> <strong>array</strong>.Figur 7.1(d-f) viser UWB maksimum projeksjon strålings-mønstrene tilfullt <strong>array</strong>, periodisk tynnet <strong>array</strong> og tilfeldig tynnet <strong>array</strong>. En hanningvektet, tre perioders <strong>puls</strong> er brukt. De to <strong>tynnede</strong> <strong>array</strong>ene har gjennomsnittligelement-<strong>av</strong>stand 2λ, så de er ikke ultra-<strong>tynnede</strong>. Dette gjøres forå illustrere begge overlappingsregionene. Det periodisk <strong>tynnede</strong> <strong>array</strong>et
7.3 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer med punktspredning 69i figur 7.1e viser seg å ha et sidelobe-nivå på N −2 for store observasjonsvinkler.Maksimum projeksjon tar maksimum <strong>av</strong> tids-envelopen til signalet vedhver vinkel. Denne simulerings-metoden garanterer <strong>at</strong> verst mulig sidelobenivåblir vist [17]. Ettersom maksimum projeksjon er en informasjonstapprosess, blir ikke energien <strong>fra</strong> den to-dimensjonale representasjonen<strong>av</strong> UWB-strålingsmønsteret bevart slik som i NB tilfellet.Strålings-mønsteret til UWB <strong>array</strong> varierer mye i tids- og observasjonsvinkel-retningen.Figur 7.3a viser strålingsmønsteret til et periodisk tynnet<strong>array</strong>. Tidsutsnitt <strong>av</strong> strålingsmønsteret ved u = sin(θ) = 0ogu=1er vist i figur 7.3b og 7.3c. De viser hvordan alle <strong>puls</strong>ene adderer seg iu = 0, mens <strong>puls</strong>ene sprer seg ut i tid når u går mot ±1.UWB strålingsmønsteret i figur 7.3a og NB strålingsmønsteret i figur7.1b representerer den samme totale energi [21], men UWB strålingsmønsterethar en ekstra tids-dimensjon hvor energien kan spres.7.2.3 Hva slags type UWB <strong>array</strong> er bestI [21] er det utledet hvilke UWB <strong>array</strong> som gir best strålingsmønstre.Periodiske <strong>array</strong> viser seg å utkonkurrere tilfeldige <strong>array</strong>. Hovedfordelenmed tilfeldige <strong>array</strong> istedenfor periodiske i NB, er fordelingen <strong>av</strong>gitterlobe-energi i det synlige området, men denne blir borte i UWB. Periodiske<strong>array</strong> sprer strålingsmønsteret bedre ut i tid på grunn <strong>av</strong> <strong>at</strong>den minste <strong>av</strong>standen mellom elementene er større enn for tilfeldige<strong>array</strong>. Gitterlobe-nivået til det periodiske <strong>array</strong>et blir også mindre ennsidelobe-nivået til det tilfeldige [21]. Dette er vist i figur 7.1e og 7.1f.I periodisk NB <strong>array</strong>-design flytter amplitude-vekting energi <strong>fra</strong> sideloberegionen til hovedloben. Dette fører til l<strong>av</strong>ere sidelobe nivå, men brederehovedlobe. I periodisk UWB design, fører vekting til økning <strong>av</strong> beggedelene. Sidelobe-nivået øker i NIR på grunn <strong>av</strong> <strong>at</strong> maksimum projeksjonenvil være høyden <strong>av</strong> <strong>puls</strong>en med den største vektings-verdien.Tynnede uvektede periodiske UWB <strong>array</strong> er altså å foretrekke.7.3 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer med punktspredningEt simpelt medium som består <strong>av</strong> en enkelt punktspreder er ant<strong>at</strong>t.
70 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>er1(a)−24−24−240.8−240.6−30−180.40.2−24−36−42−30−36−18−30−24−42−36u0−0.2−30−30−24−18−24−0.4−36−30−0.6−24−24−18−36 −36−36−42−42 −42−18−0.8−30−24−24−1101 2 3 4 5 6 7 8 9Tid [s](b)(c)10x 10 −688664422amplitude0amplitude0−2−2−4−4−6−6−8−8−100 2 4Tid [s]6x 10−100 2 4Tid [s]6x 10Figur 7.3: (a) Et kontur plott i tid og vinkel ifjernfeltet til et 10 elementers periodisk UWB<strong>array</strong> med element<strong>av</strong>stand 2λ. UWB <strong>puls</strong>en ersinus vektet og 5/2λ lang. (b) Bølgeformenved u=0 og (c) u=1.
7.3 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer med punktspredning 711IP Sender1IP Mottaker6IP Effektivt <strong>array</strong>40.50.5200 20 40TST Sender100 20 40TST Mottaker100 50 100TST Effektivt <strong>array</strong>10.50.50.500 20 40INT Sender100 20 40 60INT Mottaker100 50 100y10.50.50.500 20 4000 100 20000 100 200Figur 7.4: Effektive <strong>array</strong> for IP <strong>array</strong>, TST <strong>array</strong>og INT <strong>array</strong>. Både sender- og mottaker<strong>array</strong>har 5 elementer. Alle senderne har element<strong>av</strong>standlik 4 lambda.En-veis respons er en funksjon <strong>av</strong> observasjons-vinkel. To-veis responsderimot er en funksjon <strong>av</strong> fokuserings-vinkel.I figur 7.4 er tre ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> introdusert og strålings-mønstrenederes er vist i figur 7.5. IP (identical periodic) <strong>array</strong>et har samme periodiskesende- og mottaker-<strong>array</strong> og i tillegg et vektet ultra-tynnet effektivt<strong>array</strong>. Det oppnår et sidelobe-nivå i NIR på N −2 . TST (triangulary sp<strong>at</strong>ialtapered) <strong>array</strong>et har ulik periodisitet i sender- og mottaker-<strong>array</strong> og etuvektet, men ikke ultra-tynnet, effektivt <strong>array</strong>. INT (interpol<strong>at</strong>ion <strong>array</strong>)<strong>array</strong>et er konstruert slik <strong>at</strong> det effektive <strong>array</strong>et er uvektet, ultr<strong>at</strong>ynnetog har N 2 elementer.7.3.1 Designe <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> ultra<strong>tynnede</strong> UWB <strong>array</strong> systemerDet effektive <strong>array</strong>et er et nyttig verktøy for å konstruere gode <strong>puls</strong><strong>ekko</strong><strong>array</strong>. Fra kapittel 3.3.3 var det effektive <strong>array</strong>et det <strong>array</strong>et som giren-veis respons lik <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> respons til sender- og mottaker-<strong>array</strong>et (selikning (3.23)). Strålingsmønsteret til det NB effektive <strong>array</strong>et er altså ekvivalentmed multiplikasjonen <strong>av</strong> sender- og mottaker-strålings-mønsteret
72 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>er0(a)0(b)0(c)−5−5−5−10−10−10−15−15−15max respons−20max respons−20max respons−20−25−25−25−30−30−30−35−35−35−400 0.5 1u=sin(theta)−400 0.5 1u=sin(theta)−400 0.5 1u=sin(theta)Figur 7.5: UWB <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> maksimum projeksjon<strong>av</strong> (a) IP, (b) TST, (c) INT <strong>array</strong>. Hvertsender- og mottaker-<strong>array</strong> har fem elementer.Element-<strong>av</strong>standen for sender <strong>array</strong>ene er4λ.(se likning (3.22)). Det effektive <strong>array</strong>et er definert som den romlige konvolusjonenmellom sender- og mottaker-<strong>array</strong> ved likning (3.24).Utledningen <strong>av</strong> det effektive <strong>array</strong>et ble gjort i NB, men det viser seg <strong>at</strong>result<strong>at</strong>et også har mening for korte <strong>puls</strong>er [21].For å oppnå best mulig <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> UWB respons, må det effektive <strong>array</strong>etoppfylle kriteriene i kapittel 7.2.3. Det betyr <strong>at</strong> det effektive <strong>array</strong>etbør være et ultr<strong>at</strong>ynnet UWB periodisk <strong>array</strong> med uniform vekting [21].Når sender- og mottaker-<strong>array</strong> har N elementer, er optimal <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong>respons i NIR på N −4 mulig. Dette er kvadr<strong>at</strong>et <strong>av</strong> optimal en-veis respons.For å oppnå et NIR nivå på N −4 , må dessuten det ideelle effektive<strong>array</strong>et bestå <strong>av</strong> N 2 elementer. Dette fordi N 2 elementer i det effektive<strong>array</strong>et gir en-veis respons med sidelobenivå (N 2 ) −2 .INT <strong>array</strong>et i figur 7.4 er et slikt optimalt UWB <strong>array</strong>, og i figur 7.5 er etplott <strong>av</strong> strålings-mønsteret til et INT <strong>array</strong> med 5 elementer.7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende mediumGod forståelse <strong>av</strong> vevets egenskaper er viktig for å gjøre realistiskeultralyd-simuleringer. Vevs-opplysningene nedenfor er stort sett hentet<strong>fra</strong> [1].
7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 73Den mest vanlige situasjonen i mykt vev er områder med ulike typer <strong>av</strong>vev. Eksempler på disse vev-typene er muskler, fett og bindevev.Gjennomsnittsverdiene til akustiske parametre er konstant innenfor etområde med en vev-type.Hurtige romlige variasjoner i vevets akustiske egenskaper, fører til spredning<strong>av</strong> bølge energien. Langsomme variasjoner i de akustiske egenskapenetil vevet fører til bøying <strong>av</strong> de akustiske bølgene.I biologisk vev er det vanlig med hurtig forandring <strong>av</strong> de akustiske parametrenemellom ulike typer <strong>av</strong> vev. Dette fører til refleksjon og re<strong>fra</strong>ksjon<strong>av</strong> bølgen ifølge Snells lover.En vev-type består <strong>av</strong> små celler. Den hurtige endringen <strong>av</strong> akustiskeegenskaper i en celle er ikke kjent. Det er derfor ønskelig å modellere envev-type med en gruppe <strong>av</strong> stokastiske eller tilfeldige punktspredere. Idenne oppg<strong>av</strong>en er punktspredere med tilfeldig plassering og gaussiskeamplituder brukt. Denne typen punktspredere er også brukt i [9] og [11].For å gjøre simuleringer så enkle som mulig, antas det <strong>at</strong> mediet består<strong>av</strong> en vev-type, bakgrunns-vevet, pluss et lite objekt som målet erå <strong>av</strong>bilde. Modelleringen <strong>av</strong> bakgrunns-vevet vil bli kalt "den stokastiskebakgrunnen". Objektet er enten en høysprednings-region eller enl<strong>av</strong>sprednings-region.Med høysprednings-region menes <strong>at</strong> objektet har hurtigere vev-parameterforandringer eller større parameter-forandringer enn bakgrunns-vevet.Høysprednings-regioner kan for eksempel være organer (lever eller hjertemuskelen)eller fremmedlegemer. Disse kan modelleres med et sett <strong>av</strong>gaussiske punktspredere med noe høyere amplitude enn for bakgrunnsvevet.En liten forenkling <strong>av</strong> denne modellen er å bare bruke en hovedpunktspredermed høyere amplitude.Fordelen med hoved-punktspreder, istedenfor sett <strong>av</strong> punktsprederemed høy amplitude ved modellering <strong>av</strong> en høysprednings-region, er <strong>at</strong>posisjonen til hovedloben er klarere s<strong>at</strong>t. Ulempen er <strong>at</strong> simuleringeneblir mindre realistiske.En l<strong>av</strong>sprednings-region har langsommere vev-parameter forandringereller mindre parameter-forandringer enn bakgrunns-vevet. Ved <strong>av</strong>bildning<strong>av</strong> l<strong>av</strong>sprednings-regioner er det egentlig bakgrunns-vevet rundtsom blir <strong>av</strong>bildet, og cyster er eksempler på dette. Cyster er sekklignendehulrom i vev med flytende innhold, som kan være <strong>fra</strong>mkalt <strong>av</strong> sykdomsprosesser.Modellering <strong>av</strong> cyster kan gjøres med et sett <strong>av</strong> punktspre-
74 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>erdere med amplitude null. Blodårer har noen <strong>av</strong> de samme <strong>av</strong>bildningsegenskapenesom cyster.Samme type modellering <strong>av</strong> høysprednings-region og l<strong>av</strong>spredningsregion,som beskrevet ovenfor, er tidligere brukt i [9] og [11].I tidligere kapitler har det vært gjort simuleringer med en punktspreder.Dette tilsvarer simuleringer med en hoved-punktspreder, der denstokastiske bakgrunnen ikke bidrar med tilbakespredning. Dette er engod approksimasjon hvis bare få, små områder <strong>av</strong> <strong>av</strong>bildnings-medietgir betydelig spredning <strong>av</strong> ultralyden.Hvis derimot signal-bidraget <strong>fra</strong> bakgrunns-vevet er betydelig, kommerden tradisjonelle modellen med en punktspreder til kort. Da vil enmodell med hovedpunktspreder og spredning <strong>fra</strong> stokastisk bakgrunnvære en bedre modell.7.4.1 Ultra<strong>tynnede</strong> UWB <strong>array</strong><strong>Simulering</strong>er med en punktspreder har vist <strong>at</strong> et sidelobe-nivå på N −4 iNIR er mulig for optimale <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> UWB <strong>array</strong>. Dette er oppnåelig ved åbruke svært <strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og svært korte <strong>puls</strong>er fordi <strong>puls</strong>ene da bareoverlapper rundt fokalregionen og blir spredt i tid utenfor. En annenmåte å se det på er <strong>at</strong> <strong>puls</strong>ene overlapper i tid i punktsprederen bare nårfokuspunktet er i punktsprederen. For andre fokuseringer overlapperikke <strong>puls</strong>ene i tid i punktsprederen.For integrerende medium, som modelleres med mange punktspredere,vil hele mediet gi tilbakespredning.Da vil de mott<strong>at</strong>te <strong>puls</strong>ene overlappe i tid for alle fokuseringsvinkler,men de blir spredt tilbake <strong>av</strong> ulike mengder <strong>av</strong> punktspredere.At alle <strong>puls</strong>ene bidrar til det mott<strong>at</strong>te signalet, for ethvert tidspunkt, førertil <strong>at</strong> det ikke eksisterer noe ikke overlappende område (NIR) lenger,og sidelobe-nivået går som N −2 .7.4.2 Respons <strong>fra</strong> medium bestående <strong>av</strong> en vev-type, bakgrunnsvevet,med uvektet <strong>array</strong>.Anta <strong>at</strong> mediet bare består <strong>av</strong> en vev-type, bakgrunns-vevet. Da kan detmodelleres med et sett <strong>av</strong> punktspredere som beskrevet i kapittel 7.4.
I7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 751(a) normalfordeling (0,1)1(b) hanning−vindu1(c) V=Ir0.90.90.90.80.80.80.70.70.70.60.60.60.50.5V0.50.40.40.40.30.30.30.20.20.20.10.10.10−4 −2 0 2 4Phi0−4 −2 0 2 4Phi0−4 −2 0 2 4PhiFigur 7.6: Fordelingen til størrelsene r,I og V.Hver punktspreder har normaltfordelt amplitude med forventning 0 ogvarians 1, som skrives r k ∼ N(0, 1). Både sender- og mottaker-<strong>array</strong> eruvektet. Målet er å finne den mott<strong>at</strong>te responsen i et tidspunkt.Først må feltet i en punktspreder i et tidspunkt som skyldes <strong>puls</strong>en <strong>fra</strong>et element finnes. Lik <strong>at</strong>tenuasjon innenfor hele mediet er ant<strong>at</strong>t.Pulsen består <strong>av</strong> en sinus-bølgeform med en hanning innhyllnings-kurve.Pulsen kan da skrives på formen:p = sI, (7.1)der s er sinus-bølgeformen, og I en hanning innhyllnings-funksjon.Feltet i en punktspreder i et tidspunkt som skyldes en <strong>puls</strong>, kan skrivessomspred k = I k r k e iφ k= V k e iφ k. (7.2)Bølgeformen på kompleks form er e iφ k. Vinkelen φ k er uniformt fordelt.Punktsprederens amplitude er r k , og et tilfeldig punkt på innhyllnings-
76 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>ertråd1/2 PulslengdeSender elementMottaker elementTransduserFigur 7.7: Området mellom de to kurvene,et <strong>puls</strong>volum, blir belyst for det valgte tidspunktet.Det vil si <strong>at</strong> det mott<strong>at</strong>te signaletfår tilbakespredte signal-bidrag <strong>fra</strong> allepunktsprederne innenfor dette området.kurven er I k . V k blir altså en variabel som er et produkt <strong>av</strong> en normalfordeltvariabel og en variabel med en fordeling som et hanning-vindu.Dette tilsvarer omtrent V k ∼ N(0, 0.73), og en illustrasjon er gitt i figur7.6.Det antas så <strong>at</strong> hvert elementpar, det vil si et element i sender <strong>array</strong>etog et i mottaker <strong>array</strong>et, belyser M punktspredere for et tidspunkt. Pulsen<strong>fra</strong> sender elementet treffer punktsprederne. Mottaker elementet tarimot tilbakespredte <strong>puls</strong>er <strong>fra</strong> M punktspredere for et tidspunkt.Her er M en konstant som angir hvor mange punkt-spredere som belysesfor hvert sender-mottaker elementpar for et tidspunkt. Dennekonstanten øker med <strong>puls</strong>lengden og med tettheten <strong>av</strong> punktspredere isimulerings-mediet.Konstanten M kan visualiseres, se figur 7.7, ved å feste en kort og enlang tråd mellom det aktuelle sender- og mottaker-elementet. Lengdeforskjellenmellom trådene kan tenkes på som <strong>puls</strong>lengden. Så tegnesdet en kurve med hver <strong>av</strong> trådene med en blyant slik <strong>at</strong> trådene er stramme.Konstanten M vil være hvor mange punktspredere som er mellomde to kurvene. Området mellom de to kurvene defineres som et <strong>puls</strong>volum.Punktspredernes plassering er uniformt fordelt i simulerings-mediet.
7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 77Pulsvolumet øker med <strong>puls</strong>lengden og <strong>av</strong>bildnings-<strong>av</strong>standen <strong>fra</strong> transduseren(lengden på trådene i figur 7.7). Tidligere i dette kapittelet blekonstant <strong>at</strong>tenuasjon innenfor hele mediet ant<strong>at</strong>t. Det betyr <strong>at</strong> <strong>av</strong>bildningsmedietbør ha liten utstrekning i radiell retning. Da kan <strong>puls</strong>volumetsom funksjon <strong>av</strong> <strong>av</strong>stand ses bort <strong>fra</strong>. Det antas <strong>at</strong> <strong>puls</strong>volumet vokserlineært med <strong>puls</strong>lengden, så da gjør M det også. Konstanten M vilogså øke lineært med antall punktspredere i simulerings-mediet. Denkan uttrykkes somM = K · antall punktspredere · <strong>puls</strong>lengde. (7.3)Her er K en konstant som vil være tilnærmet likFeltet mott<strong>at</strong>t <strong>av</strong> en sensor n er:12·lengden <strong>av</strong> mediet .R n =MN∑k=1spred k =MN∑k=1V k e iφ k. (7.4)Dette fordi alle N sende-sensorene belyser M punktspredere hver tilmottaker sensor n for et tidspunkt.Når antallet summerings-variabler er stort og V k og φ k er u<strong>av</strong>hengigetilfeldige variable med φ k uniformt distribuert over (0, 2π),såer|R n |Rayleigh-fordelt [3].I utledningen <strong>av</strong> ultralyd-simulerings-modellen i kapittel 4 ble multippelspredning sett bort i<strong>fra</strong>, ettersom 1. ordens Born approksimasjonble brukt. Da <strong>av</strong>henger ikke feltet i en punktspreder <strong>av</strong> feltet i andrepunktspredere.Problemet er <strong>at</strong> en del <strong>av</strong> de NM bidragene i summen kommer <strong>fra</strong> desamme punktsprederne og er dermed ikke u<strong>av</strong>hengige. Dette løser segved <strong>at</strong> V k = I k r k . Punktspreder-amplitudene r k og r l kan være <strong>av</strong>hengigefordi det er snakk om samme punktspreder. Punktene på innhyllningskurven,I k og I l , er da bare svakt <strong>av</strong>hengige stokastiske variabler, ettersomdet er snakk om <strong>puls</strong>er <strong>fra</strong> forskjellige elementpar. Produktet <strong>av</strong>noe <strong>av</strong>hengig med noe u<strong>av</strong>hengig er u<strong>av</strong>hengig, så V k og V l er tilnærmetu<strong>av</strong>hengige.Deterderforrimeligåanta<strong>at</strong>|R n |er Rayleigh fordelt.Det mott<strong>at</strong>te feltet summeres over N mottaker sensorer til
78 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>erR =N∑R n ≈n=1MN∑2n=1V n e iφ n. (7.5)Det siste leddet i likningen over <strong>fra</strong>mkommer ved <strong>at</strong> N 2 elementparbelyser M punktspredere hver for et tidspunkt. Her er også |R| Rayleighfordelt ut <strong>fra</strong> samme argument som for |R n |.Rayleigh fordelingen til |R| har forventning µ(|R|) = √ π/2σ(R)og standard<strong>av</strong>viketσ(|R|) = √ 2−π/2σ(R),derσ(R) er standard-<strong>av</strong>viket til signaletR. Variansen til signalet erσ 2 (R) =MN∑2n=1σ 2 (V n e iφ n) ≈ 0.73MN 2 , (7.6)såµ(|R|) = √ 0.73π/2 √ MN = √ M 1 N (7.7)√σ(|R|) = (2−π/2)0.73 √ MN = √ M 2 N, (7.8)der M 1 og M 2 er skalerte versjoner <strong>av</strong> M.7.4.3 Hoved-punktspreder teori med INT-<strong>array</strong>etAnta et simulerings-medium som består <strong>av</strong> en punktspreder med amplitudeA. Ved fokusering i punktsprederen overlapper alle <strong>puls</strong>ene slik <strong>at</strong>feltet i punktsprederen blir AN for maksimum-projeksjon tidspunktet.Puls-<strong>ekko</strong> responsen fås ved å summere over N-elementer så mott<strong>at</strong>tsignal blir AN 2 . Ettersom ingen <strong>puls</strong>er overlapper i punktsprederen elleri det mott<strong>at</strong>te signalet når punktsprederen er ute <strong>av</strong> fokus, fås bareresponsen A. Forholdet mellom hovedloben og sidelobe-nivået blir daN −4 eller mer eksakt20log 10 (AAN ) = 10log 10(N −4 ). (7.9)2
7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 79Anta et medium som består <strong>av</strong> en vev-type, bakgrunns-vevet, pluss enliten høysprednings-region som målet er å <strong>av</strong>bilde.Bakgrunns-vevet modelleres med et sett <strong>av</strong> punktspredere med gaussiskeamplituder, r k ∼ N(0, 1).Høysprednings-regionen modelleres med en hoved-punktspreder medamplitude A.Ved fokusering i hoved-punktsprederen fås responsen N 2 A+R for tidspunktetsom gir maksimum respons. Når hoved-punktsprederen er ute<strong>av</strong> fokus fås responsen A + R. Her er koherent overlapping når fokuseringener i den stokastiske bakgrunnen utel<strong>at</strong>t, fordi den er liten i forholdtil den koherente overlappingen i hoved-punktsprederen. Da blirSidelobenivåHovedlobe=µ(|A + R|)µ(|N 2 A + R|) . (7.10)Både teller og nevner er <strong>fra</strong>mkommet ved å ta maksimum over tid (maksimumprojeksjon), noe som gjør det sannsynlig <strong>at</strong> tellerleddene og nevnerleddenebidrar i samme retning. Det er derfor n<strong>at</strong>urlig å se påSidelobenivåHovedlobe = A + µ(|R|)N 2 A + µ(|R|)= A + √ M 1 NN 2 A + √ M 1 N=AN 2 A + √ M 1 N +√M1 NN 2 A + √ M 1 N(7.11)≈ 1 N 2 + 11 + AN √M1. (7.12)Approksimasjonen <strong>av</strong> det første leddet i likning (7.11) begrunnes ved <strong>at</strong>N 2 A>> √ M 1 Nnår det er liten spredning <strong>fra</strong> den stokastiske bakgrunnen.Når det er mye spredning <strong>fra</strong> den stokastiske bakgrunnen vil detandre leddet bli dominerende.Ved å sette inn for M 1 gitt ved likning (7.7) og deretter for M gitt vedlikning (7.3) i likningen over, fåsSidelobenivåHovedlobe = 1 N + 12 AN, (7.13)1 + K 1√<strong>puls</strong>lengde·antall punktspredere
80 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>erder K 1 er en konstant.Det første leddet i uttrykket over skyldes hovedpunktsprederen mensdet andre leddet er et uttrykk for signalbidraget <strong>fra</strong> den stokastiskebakgrunnen.For simuleringer med lite signal-bidrag <strong>fra</strong> den stokastiske bakgrunnenvil det andre leddet i likning (7.13) gå mot null, og result<strong>at</strong>et blirSidelobenivåHovedlobe = 1 N 2 . (7.14)Dette er identisk med teorien for en punktspreder beskrevet i [21] oggjengitt i tidligere kapitler.Lange <strong>puls</strong>er fører til <strong>at</strong> bakgrunns-leddet i likning (7.13) blir stort og tilmange gitterlober for ultra<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> ettersom det er så stor <strong>av</strong>standmellom elementene. Signalbidraget <strong>fra</strong> hoved-punktsprederen druknerveldig lett i signalbidraget <strong>fra</strong> den stokastiske bakgrunnen.7.4.4 <strong>Simulering</strong>er med hoved-punktspreder og INT-<strong>array</strong>Målet i dette kapittelet er å undersøke hvor godt likning (7.13) stemmermed simulerte d<strong>at</strong>a. Den målbare størrelsen Sidelobenivå <strong>av</strong>henger <strong>av</strong> fireHovedlobevariabler, nemlig N (antall elementer), A (hoved-punktsprederens amplitude),<strong>puls</strong>lengde og antall punktspredere i den stokastiske bakgrunnen.En metode for å bedømme likningene er å sammenlikne simulerteog utregnede d<strong>at</strong>a, når Sidelobenivå er en funksjon <strong>av</strong> 1 variabel mens deHovedlobeandre holdes konstant.<strong>Simulering</strong>s-mediet er 50 mm i x-retning, 10 mm i y-retning og 20 mm iz-retning og er plassert z = 40 mm <strong>fra</strong> origo. Koordin<strong>at</strong>ene blir da (-25til 25,-5 til 5, 40 til 60) mm. De lineære sender- og mottaker-<strong>array</strong>eneligger i x-planet med sentrum i origo. Hoved-punktspreder plasseringer i midten <strong>av</strong> simulerings-mediet som er punktet (0, 0, 50) mm. Denradielle fokuserings-distansen settes til 50 mm. Fokuserings-vinkelengår <strong>fra</strong> 0 o til 90 o med steg på 1 o .På grunn <strong>av</strong> <strong>at</strong> simulerings-mediet er begrenset, vil koherent overlappingi den stokastiske bakgrunnen bare foregå mellom −27 o og 27 o .Dette gjør <strong>at</strong> sidelobenivået er litt mindre for større vinkler. Koherentoverlapping i den stokastiske bakgrunnen er sett bort <strong>fra</strong> i modellen.
7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 811INT2 Sender1INT2 Mottaker1INT2 Effektivt <strong>array</strong>0.50.50.500 2 4INT4 Sender100 2 4INT4 Mottaker101 2 3 4INT4 Effektivt <strong>array</strong>10.50.50.500 5 10INT6 Sender100 5 10INT6 Mottaker100 10 20INT6 Effektivt <strong>array</strong>10.50.50.500 10 2000 10 2000 20 40Figur 7.8: INT <strong>array</strong> 2, 4 og 6 elementer. Avstandenmellom elementene i de effektive <strong>array</strong>eneer 4 lambda.
82 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>erArrayet som studeres er det ultra<strong>tynnede</strong> INT-<strong>array</strong>et som var optimaltfor simuleringer med en punktspreder. INT-<strong>array</strong>et i figur 7.4 har denulempen <strong>at</strong> sender-<strong>array</strong>et og mottaker-<strong>array</strong>et får svært forskjelligelengder. Derfor brukes INT-<strong>array</strong>et i figur 7.8. Et INT <strong>array</strong> med 4 elementer,INT4, tilsvarer i størrelse et fullt <strong>array</strong> der sender og mottakerhar 64 elementer hver med element<strong>av</strong>stand λ/2.Pulsen som brukes har <strong>puls</strong>lengde lik 3/2λ, er hanning vektet og harsenterfrekvens lik 3 MHz. I ettertid virker valget <strong>av</strong> <strong>puls</strong>lengden gal, ettersom<strong>puls</strong>en nå har en liten DC-komponent. Filtrering <strong>av</strong> det mott<strong>at</strong>tesignalet med M<strong>at</strong>lab-filteretFilter = fir1(128,[1.2e6 4.8e6]/(fs/2),kaiser(129,5))’; (7.15)er derfor utført i alle simuleringene bortsett <strong>fra</strong> der <strong>puls</strong>lengden varierer.Dette filteret er et vindu basert FIR-filter, med passbånd mellomfrekvensene 1.2 MHz og 4.8 MHz og kaiser-vindu. <strong>Simulering</strong>er med oguten filter, ikke vist i denne oppg<strong>av</strong>en, viser <strong>at</strong> result<strong>at</strong>ene blir stort settde samme.Først skal Sidelobenivå som funksjon <strong>av</strong> A studeres. <strong>Simulering</strong>er <strong>av</strong> detteer vist i figur 7.9, og koden er vedlagt i tillegg B. GjennomsnittligHovedlobesidelobenivå er t<strong>at</strong>t ut <strong>fra</strong> alle disse grafene og plottet i figur 7.10.Så skal SidelobenivåHovedlobesom funksjon <strong>av</strong> antall punktspredere studeres. <strong>Simulering</strong>er<strong>av</strong> dette er vist i figur 7.11. Gjennomsnittlig sidelobenivå er t<strong>at</strong>tut <strong>fra</strong> alle disse grafene og plottet i figur 7.12.Så skal Sidelobenivå som funksjon <strong>av</strong> antall elementer i sender/mottakerHovedlobe<strong>array</strong> studeres. Disse simuleringene blir mindre samenliknbare på grunn<strong>av</strong> <strong>at</strong> forholdet mellom simulerings-mediets størrelse og aperture-lengdenikke er konstant. Da vil strengt t<strong>at</strong>t ikke M 1 gitt i likning (7.12) værekonstant for ulike N.Først studeres tilfellet uten bakgrunn, det vil si bare hoved-punktspreder.<strong>Simulering</strong>er <strong>av</strong> dette er vist i figur 7.13. Gjennomsnittlig sidelobenivåer t<strong>at</strong>t ut <strong>fra</strong> alle disse grafene og plottet i figur 7.14. En kan merke seg<strong>at</strong> disse grafene oppfyller teorien i [21] og går som N −4 .Riplene i figur 7.13 skyldes <strong>at</strong> i motsetning til figur 7.5 foregår simuleringenei nærfeltet. INT-<strong>array</strong>et blir enormt stort når antall elementerblir stort, så simuleringene blir da i det ekstreme nærfeltet.
7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 83INT4 medium=graa10000amp50INT4 medium=graa10000amp100INT4 medium=graa10000amp200max respons−2−4max respons−5−10max respons−5−10−60 0.5 1INT4 medium=graa10000amp300−150 0.5 1INT4 medium=graa10000amp500−150 0.5 1INT4 medium=graa10000amp1000max respons−5−10−15max respons−10−20max respons−10−20−20−300 0.5 1 0 0.5 1INT4 medium=graa10000amp1500−300 0.5 1max respons−10−20−300 0.5 1Figur 7.9: Maksimum projeksjon responserfor INT4 <strong>array</strong>et. Pulsen er en 3/2 lambdalang og hanning vektet. Den stokastiskebakgrunnen består <strong>av</strong> 10000 punktspredereog hoved-punktspreder amplituden varierer<strong>fra</strong> 5 til 150. X-aksen på figurene eru = sin(θ) der θ er azimuth fokuseringsvinkel.
84 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>er0.70.6simulertutregnetSchwartz0.5Gjennomsnittlig sidelobenivå0.40.30.20.100 50 100 150Amplituden til hoved−punktsprederenFigur 7.10: Simulert og utregnet responsSidelobenivånårer en funksjon <strong>av</strong> hovedpunktsprederamplituden A. Utregnet res-Hovedlobepons er gitt ved likning (7.13), og den utregnederesponsen til Schwartz er gitt ved likning(7.14).0INT4 medium=graa0amp100INT4 medium=graa10amp10max respons−10−20−30max respons−10−20−400 0.2 0.4 0.6 0.8 1INT4 medium=graa100amp100−300 0.2 0.4 0.6 0.8 1INT4 medium=graa1000amp100max respons−10−20max respons−5−10−15−300 0.2 0.4 0.6 0.8 1INT4 medium=graa10000amp100−200 0.2 0.4 0.6 0.8 1max respons−5−10−150 0.2 0.4 0.6 0.8 1Figur 7.11: Maksimum projeksjon responserfor INT4 <strong>array</strong>et. Pulsen er en 3/2 lambdalang og hanning vektet. Hoved-punktsprederamplituden er 10. Antall punktspredere iden stokastiske bakgrunnen varierer <strong>fra</strong> 0 til10000. X-aksen på figurene er u = sin(θ) derθ er azimuth fokuserings-vinkel.
7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 850.450.4simulertutregnetSchwartz0.35Gjennomsnittlig sidelobenivå0.30.250.20.150.10.050 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11/sqrt(antall punkt spredere i støy)Figur 7.12: Simulert og utregnet respons nårSidelobenivå1er en funksjon <strong>av</strong>Hovedlobeantall punktspredere .Utregnet respons er gitt ved likning (7.13), ogden utregnede responsen til Schwartz er gittved likning (7.14).0INT2 anthalvp=3 medie=graa0amp100INT4 anthalvp=3 medie=graa0amp10max respons−5−10−15max respons−10−20−30−200 0.2 0.4 0.6 0.8 1INT6 anthalvp=3 medie=graa0amp100−400 0.2 0.4 0.6 0.8 1INT8 anthalvp=3 medie=graa0amp100max respons−10−20−30max respons−10−20−30−400 0.2 0.4 0.6 0.8 1INT10 anthalvp=3 medie=graa0amp100−400 0.2 0.4 0.6 0.8 1max respons−20−40−600 0.2 0.4 0.6 0.8 1Figur 7.13: Maksimum projeksjon responserfor INT <strong>array</strong> med antall elementer <strong>fra</strong> 2 til10. Pulsen er en 3/2 lambda lang og hanningvektet. Hoved-punktspreder amplitudener 10. Antall punktspredere i den stokastiskebakgrunnen er 0. X-aksen på figurene eru = sin(θ) der θ er azimuth fokuseringsvinkel.
86 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>er109simulertutregnet og Schwartz8N 2 * Gjennomsnittlig sidelobenivå765432102 3 4 5 6 7 8 9 10NFigur 7.14: Simulert og utregnet respons nårSidelobenivåer en funksjon <strong>av</strong> N og den stokastiskebakgrunnen ikke gir tilbakespredning.HovedlobeUtregnet respons er gitt ved likning (7.13), ogden utregnede responsen til Schwartz er gittved likning (7.14).Så settes antall punktspredere lik 1000, og de samme simuleringene derN varierer gjentas og er vist i figur 7.15. Gjennomsnittlig sidelobenivåer t<strong>at</strong>t ut <strong>fra</strong> alle disse grafene og plottet i figur 7.16.<strong>Simulering</strong>er der Sidelobenivå varierer som funksjon <strong>av</strong> <strong>puls</strong>lengde er forHovedlobedet bakgrunns-frie tilfellet vist i figur 7.17. Gjennomsnittlig sidelobenivåer t<strong>at</strong>t ut <strong>fra</strong> alle disse grafene og plottet i figur 7.18.For tilfellet med tilbakespredning <strong>fra</strong> den stokastiske bakgrunnen ersimuleringer vist i figur 7.19. Gjennomsnittlig sidelobenivå er t<strong>at</strong>t ut <strong>fra</strong>alle disse grafene og plottet i figur 7.20.<strong>Simulering</strong>ene stemmer godt overens med utregnet maksimum-projeksjonrespons gitt ved likning (7.13). Teorien til Schwartz for en punktsprederi likning (7.14) blir utilstrekkelig, når signalbidraget <strong>fra</strong> den stokastiskebakgrunnen blir stort nok i forhold til signalbidraget <strong>fra</strong> hovedpunktsprederen.7.4.5 Hoved-punktspreder teori for <strong>tynnede</strong> uvektede <strong>array</strong>Arrayet som undersøkes er uvektet, som IP og TST <strong>array</strong>et i figur 7.4,men det effektive <strong>array</strong>et er ikke uvektet og ultr<strong>at</strong>ynnet som for INT<strong>array</strong>et.
7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 87INT2 anthalvp=3 medie=graa1000amp100INT4 anthalvp=3 medie=graa1000amp100max respons−5max respons−5−10−15−100 0.2 0.4 0.6 0.8 1INT6 anthalvp=3 medie=graa1000amp100−200 0.2 0.4 0.6 0.8 1INT8 anthalvp=3 medie=graa1000amp100max respons−10−20max respons−10−20−300 0.2 0.4 0.6 0.8 1INT10 anthalvp=3 medie=graa1000amp100−300 0.2 0.4 0.6 0.8 1max respons−10−20−300 0.2 0.4 0.6 0.8 1Figur 7.15: Maksimum projeksjon responserfor INT <strong>array</strong> med antall elementer <strong>fra</strong> 2 til10. Pulsen er en 3/2 lambda lang og hanningvektet. Hoved-punktspreder amplitudener 10. Antall punktspredere i den stokastiskebakgrunnen er 1000. X-aksen på figureneer u = sin(θ) der θ er azimuth fokuseringsvinkel.
88 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>er87simulertutregnetSchwartz6N 2 * Gjennomsnittlig sidelobenivå5432102 3 4 5 6 7 8 9 10NFigur 7.16: Simulert og utregnet respons nårSidelobenivåHovedlobeer en funksjon <strong>av</strong> N og det er 1000punktspredere i den stokastiske bakgrunnen.Utregnet respons er gitt ved likning (7.13), ogden utregnede responsen til Schwartz er gittved likning (7.14).anthalvp=1 medium=graa0amp100anthalvp=2 medium=graa0amp100anthalvp=3 medium=graa0amp100max respons−10−20−30max respons−10−20max respons−10−20−30−40−30−400 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1anthalvp=4 medium=graa0amp10 anthalvp=5 medium=graa0amp10 anthalvp=6 medium=graa0amp10000max respons−10−20max respons−10−20−30max respons−10−20−30−40−300 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1anthalvp=9 medium=graa0amp10 anthalvp=12 medium=graa0amp10 anthalvp=15 medium=graa0amp10000max respons−10−20−30max respons−10−20−30max respons−10−20−30−400 0.5 1−400 0.5 1−400 0.5 1Figur 7.17: Maksimum projeksjon responserfor INT4 <strong>array</strong>et. Pulslengden varierer <strong>fra</strong> 1/2lambda til 15/2 lambda og <strong>puls</strong>en er hanningvektet. Hoved-punktspreder amplitudener 10. Antall punktspredere i den stokastiskebakgrunnen er 0. X-aksen på figurene eru = sin(θ) der θ er azimuth fokuseringsvinkel.
7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 890.40.35simulertutregnet og Schwartz0.3Gjennomsnittlig sidelobenivå0.250.20.150.10.050.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.61/sqrt(<strong>puls</strong>lengde)Figur 7.18: Simulert og utregnet respons nårSidelobenivåer en funksjon <strong>av</strong> <strong>puls</strong>lengde og detHovedlobeikke er tilbakespredning <strong>fra</strong> den stokastiskebakgrunnen. Utregnet respons er gitt ved likning(7.13), og den utregnede responsen tilSchwartz er gitt ved likning (7.14).anthalvp=1 medium=graa1000amp10anthalvp=2 medium=graa1000amp10anthalvp=3 medium=graa1000amp10000max respons−5−10−15max respons−5−10−15max respons−5−10−15−20−20−200 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1anthalvp=4 medium=graa1000amp10anthalvp=5 medium=graa1000amp10anthalvp=6 medium=graa1000amp10000max respons−5−10−15max respons−5−10−15max respons−5−10−20−20−150 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1anthalvp=9 medium=graa1000amp10 anthalvp=12 medium=graa1000amp10 anthalvp=15 medium=graa1000amp10000max respons−5−10max respons−5−10max respons−5−10−150 0.5 1−150 0.5 1−150 0.5 1Figur 7.19: Maksimum projeksjon responserfor INT4 <strong>array</strong>et. Pulslengden varierer <strong>fra</strong> 1/2lambda til 15/2 lambda og <strong>puls</strong>en er hanningvektet. Hoved-punktspreder amplitudener 10. Antall punktspredere i den stokastiskebakgrunnen er 1000. X-aksen på figureneer u = sin(θ) der θ er azimuth fokuseringsvinkel.
90 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>er0.40.35simulertutregnetSchwartz0.3Gjennomsnittlig sidelobenivå0.250.20.150.10.050.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.61/sqrt(<strong>puls</strong>lengde)Figur 7.20: Simulert og utregnet respons nårSidelobenivåer en funksjon <strong>av</strong> <strong>puls</strong>lengde ogHovedlobedet er 1000 punktspredere i den stokastiskebakgrunnen. Utregnet respons er gitt ved likning(7.13), og den utregnede responsen tilSchwartz er gitt ved likning (7.14).Anta et simulerings-medium som består <strong>av</strong> en punktspreder med amplitudeA. Ved fokusering i punktsprederen fås den mott<strong>at</strong>te responsenAN 2 som i kapittel 7.4.3.Når punktsprederen er ute <strong>av</strong> fokus fås den mott<strong>at</strong>te responsen Ã, der|Ã|>A. Dette fordi det effektive <strong>array</strong>et ikke er ultr<strong>at</strong>ynnet og uvektet.For IP <strong>array</strong>et, med ultr<strong>at</strong>ynnet vektet effektivt <strong>array</strong>, vil à = AN ettersomstørste vektings-verdi i det effektive <strong>array</strong>et er N. For TST <strong>array</strong>et,med tynnet uvektet effektivt <strong>array</strong>, vil den mott<strong>at</strong>te responsen være ensum <strong>av</strong> <strong>puls</strong>er som bidrar inkoherent.Anta samme hovedpunktspreder simulerings-medium som i kapittel7.4.3.Ved samme type argumenter som i kapittel 7.4.3 fåsSidelobenivåHovedlobe = à + µ(|R|)N 2 A + µ(|R|)≈ |Ã|/A 1+N 2 1 + √ AN . (7.16)M1Ut <strong>fra</strong> dette kan det leses <strong>at</strong> leddet som skyldes hovedpunktsprederen,|Ã|/A, blir litt større enn for INT-<strong>array</strong>et gitt ved likning (7.13). Dette erN 2
7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 91helt ekvivalent med simuleringene med en punktspreder i kapittel 7.3.Bakgrunns-leddet i likningen over <strong>av</strong>henger derimot ikke <strong>av</strong> formen pådet effektive <strong>array</strong>et. Dette skyldes <strong>at</strong> det mottas tilbakespredning <strong>fra</strong>hele den stokastiske bakgrunnen. Da vil de mott<strong>at</strong>te signalene overlappei tid for alle fokuseringer, og fordelen med uvektet ultr<strong>at</strong>ynnet effektivt<strong>array</strong> forsvinner.Konklusjonen i dette kapittelet må bli <strong>at</strong> <strong>array</strong>par (sender og mottaker)med uvektede ultra<strong>tynnede</strong> effektive <strong>array</strong> bare gir gode <strong>av</strong>bildningsresult<strong>at</strong>er<strong>av</strong> små høysprednings-regioner når tilbakespredningen <strong>fra</strong>bakgrunns-vevet er liten. Hvis signal-bidraget <strong>fra</strong> bakgrunns-vevet er forstort, må flere elementer i <strong>array</strong>ene prioriteres <strong>fra</strong>mfor ultr<strong>at</strong>ynning idet effektive <strong>array</strong>et.Det er dessverre ikke blitt tid til å bekrefte likning (7.16) med numeriskesimuleringer.7.4.6 Cyste-<strong>av</strong>bildninger med uvektet <strong>array</strong>En påstand i [21] sier <strong>at</strong> et sidelobenivå på −70 dB for punktspreder erønskelig for å skille små cyster <strong>fra</strong> svulster i bryst <strong>av</strong>bildning. Målet idette kapittelet blir å vise <strong>at</strong> dette kriteriet er utilstrekkelig.Grunnen til <strong>at</strong> kriteriet ikke er godt nok er <strong>at</strong> sidelobenivå er et result<strong>at</strong><strong>av</strong> simuleringer med en punktspreder, mens ved cyste-<strong>av</strong>bildning er detbakgrunns-vevet som gir tilbakespredning. Bakgrunns-vevet rundt cystenkan simuleres med en stokastisk bakgrunn <strong>av</strong> mange punktspredere.INT-<strong>array</strong>et får l<strong>av</strong>t sidelobenivå på N −4 , fordi det mott<strong>at</strong>te signalet bareoverlapper i tid når fokuspunktet er i punktsprederen. Ved simuleringer<strong>av</strong> cyste<strong>av</strong>bildning overlapper de mott<strong>at</strong>te signalene i tid for allefokuseringer. Dette fordi signalene blir spredt tilbake <strong>fra</strong> ulike mengder<strong>av</strong> punktspredere i den stokastiske bakgrunnen. Da forsvinner N −4fordelen.For å illustrere <strong>at</strong> INT-<strong>array</strong>et ikke gir like bra cyste<strong>av</strong>bildninger somandre <strong>array</strong> med flere elementer, er en del simuleringer utført. Et INT<strong>array</strong> med 6 elementer, INT6 i figur 7.8, skal sammenliknes med et tilfeldig<strong>array</strong> med 36 elementer. Teori med en punktspreder viser <strong>at</strong> INT6<strong>array</strong>et har et sidelobe-nivå på 1 med UWB <strong>puls</strong>, mens det tilfeldige6 2<strong>array</strong>et har et gjennomsnittlig sidelobenivå på 1 med NB <strong>puls</strong>. Spørsmåleter om de to <strong>array</strong>ene blir sammenliknbare i36cyste-<strong>av</strong>bildning.
92 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>erAnta et medium som består <strong>av</strong> en vev-type, bakgrunns-vevet, pluss enliten cyste som målet er å <strong>av</strong>bilde.Bakgrunns-vevet modelleres med et sett <strong>av</strong> punktspredere med gaussiskeamplituder, r k ∼ N(0, 1). Innenfor cysten har punktspredereneamplitude null, på grunn <strong>av</strong> <strong>at</strong> cysten nesten ikke gir tilbake-spredning.Det er altså bare <strong>fra</strong> den stokastiske bakgrunnen det mottas signalbidrag.<strong>Simulering</strong>s-mediet er 50 mm i x-retning, 10 mm i y-retning og 40 mmi z-retning og er plassert z=30 mm <strong>fra</strong> origo. Koordin<strong>at</strong>ene blir da (-25til 25, -5 til 5, 30 til 70) mm. De lineære sender- og mottaker-<strong>array</strong>eneligger i x-planet med sentrum i origo. Cysten er kuleformet med radius5 mm, og sentrum <strong>av</strong> cysten er plassert i (0,0,50) mm. Antall punktsprederei simulerings-mediet varierer <strong>fra</strong> 1000 til 50000 i de ulike simuleringene.Fokuspunktet har fast z-koordin<strong>at</strong>, z=50 mm. Fokuspunktetsx-koordin<strong>at</strong> varieres <strong>fra</strong> x=-20 mm til x=20 mm for totalt 50 fokuseringer.Figur 7.21 viser <strong>av</strong>bildningen <strong>av</strong> cysten med INT6-<strong>array</strong>et for to forskjellige<strong>puls</strong>lengder. Cysten forsvinner i sidelober <strong>fra</strong> bakgrunnen. Figur7.22 viser <strong>av</strong>bildningen <strong>av</strong> cysten med et 36 elementers tilfeldig <strong>array</strong>.Her er det mulig å se <strong>at</strong> det er noe lokalisert i (0, 0, 50) mm som harcirka 5 mm radius. Konklusjonen blir <strong>at</strong> selv om INT-<strong>array</strong>et oppnårveldig l<strong>av</strong>t sidelobenivå i simuleringer med en punktspreder, blir ikkecyste-<strong>av</strong>bildninger tilsvarende bra.Ved fokusering i cysten fås inkoherent signal-bidrag <strong>fra</strong> den stokastiskebakgrunnen. Når fokuspunktet er i den stokastiske bakgrunnen fåskoherent signal-bidrag i tillegg til det inkoherente. Både det inkoherenteog koherente bidraget vil vokse med tettheten <strong>av</strong> punktspredere i denstokastiske bakgrunnen. Hvis det koherente og det inkoherente bidraget<strong>fra</strong> den stokastiske bakgrunnen vokser like fort er det n<strong>at</strong>urlig åanta <strong>at</strong> bildekvaliteten blir u<strong>av</strong>hengig <strong>av</strong> antall punktspredere i den stokastiskebakgrunnen. Figur 7.22 gir en indikasjon på <strong>at</strong> dette kan væreriktig. En forutsetning her er selvfølgelig <strong>at</strong> den stokastiske bakgrunneninneholder nok punktspredere til å dekke mediet tilstrekkelig.I figur 7.21 og 7.22 blir bildet mer grovkornet når <strong>puls</strong>lengden økes.Grunnen til dette kan leses ut <strong>fra</strong> likning (4.44) i ultralydmodellen.For hver fokuserings-vinkel blir det mott<strong>at</strong>te signalet <strong>fra</strong> en delta-<strong>puls</strong>,p r ( ⃗r 5 ,t)=f m (⃗r 1 )∗h pe ( ⃗r 1 , ⃗r 5 ,t), konvolvert i tid med <strong>puls</strong>en v pe (t). Konvolveringenmed <strong>puls</strong>en kan ses på som et FIR-filter eller midling i tid.rKontrasten i figur 7.22 ser ikke ut til å bli noe verre for <strong>puls</strong>lengdelik 10λ enn for <strong>puls</strong>lengde lik 1λ. En forklaring på dette er <strong>at</strong> leng-
7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 93re <strong>puls</strong>er fører til midling over større tidsintervaller som fører til merstøyfjerning i bildet. Det blir noe dårligere vegg definisjon for cysten itids/radiell retning for lange <strong>puls</strong>er enn for korte.Ut <strong>fra</strong> denne teorien vil kontrasten ved cyste-<strong>av</strong>bildninger <strong>av</strong>henge lite<strong>av</strong> antall punktspredere og <strong>puls</strong>lengden. Bildekvaliteten vil derimotvære sterkt <strong>av</strong>hengig <strong>av</strong> antall elementer i <strong>array</strong>et.Koden for cyste-<strong>av</strong>bildningen er vedlagt i tillegg B.
94 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>er30<strong>array</strong>:INT6Medium:cyst1000 anthalvp:230<strong>array</strong>:INT6Medium:cyst1000 anthalvp:20353540404545Axial distance [mm]505560Axial distance [mm]50556065657070757580−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]80−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]30<strong>array</strong>:INT6Medium:cyst10000 anthalvp:230<strong>array</strong>:INT6Medium:cyst10000 anthalvp:20353540404545Axial distance [mm]505560Axial distance [mm]50556065657070757580−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]80−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]30<strong>array</strong>:INT6Medium:cyst30000 anthalvp:230<strong>array</strong>:INT6Medium:cyst30000 anthalvp:20353540404545Axial distance [mm]505560Axial distance [mm]50556065657070757580−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]80−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]30<strong>array</strong>:INT6Medium:cyst50000 anthalvp:230<strong>array</strong>:INT6Medium:cyst50000 anthalvp:20353540404545Axial distance [mm]505560Axial distance [mm]50556065657070757580−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]80−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]Figur 7.21: Cyste-<strong>av</strong>bildning med INT6-<strong>array</strong>et med <strong>puls</strong>lengde 1 lambda (figurene tilvenstre) og 10 lambda (figurene til høyre). Antallpunktspredere i den stokastiske bakgrunnener 1000 i de to øverste figurene, 10000 ide to nest øverste, 30000 i de to nest nedersteog 50000 i de to nederste figurene
7.4 Lineære <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> systemer i integrerende medium 9530<strong>array</strong>:random36 Medium:cyst1000 anthalvp:230<strong>array</strong>:random36 Medium:cyst1000 anthalvp:20353540404545Axial distance [mm]505560Axial distance [mm]50556065657070757580−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]80−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]30<strong>array</strong>:random36 Medium:cyst10000 anthalvp:230<strong>array</strong>:random36 Medium:cyst10000 anthalvp:20353540404545Axial distance [mm]505560Axial distance [mm]50556065657070757580−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]80−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]30<strong>array</strong>:random36 Medium:cyst30000 anthalvp:230<strong>array</strong>:random36 Medium:cyst30000 anthalvp:20353540404545Axial distance [mm]505560Axial distance [mm]50556065657070757580−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]80−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]30<strong>array</strong>:random36 Medium:cyst50000 anthalvp:230<strong>array</strong>:random36 Medium:cyst50000 anthalvp:20353540404545Axial distance [mm]505560Axial distance [mm]50556065657070757580−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]80−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20L<strong>at</strong>eral distance [mm]Figur 7.22: Cyste-<strong>av</strong>bildning med 36 elementerstilfeldig <strong>array</strong> med <strong>puls</strong>lengde 1 lambda(figurene til venstre) og 10 lambda (figurenetil høyre). Antall punktspredere i den stokastiskebakgrunnen er 1000 i de to øverste figurene,10000 i de to nest øverste, 30000 ide to nest nederste og 50000 i de to nederstefigurene
96 Kapittel 7 . Ultra-<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultra-bredbåndede <strong>puls</strong>er
Kapittel 8Oppsummering og <strong>fra</strong>mtidigarbeid8.1 UltralydmodellDen danske professoren Jørgen Arendt Jensen har utviklet ultralydmodellensin <strong>fra</strong> den ble presentert i [6] og <strong>fra</strong>m til i dag. I denne oppg<strong>av</strong>ener den sentrale delen gjennomgått og programmert. Dette inkluderer1D-<strong>array</strong>, 2D-<strong>array</strong>, konk<strong>av</strong>t 2D-<strong>array</strong>, element-vekting, fast fokusog approksimasjon <strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responsen ved å dele transduseren opp irektangler. Modellen kan simulere en-veis og to-veis bølge<strong>felter</strong> for bådekontinuerlig og <strong>puls</strong>et bølgeform i både nær- og fjernfelt. Den programertemodellen er verifisert gjennom simuleringer, som er sammenliknetmed simulerings-result<strong>at</strong>er i artikler og Fourier transform strålingsmønstre.Jørgen Arendt Jensen har gjort en del videre-utvikling <strong>av</strong> modellen iforhold til dette, og Field [13] er en programmert versjon.I kapittel 5.4.1 ble fast fokus beskrevet. Dynamisk fokus medfører <strong>at</strong>im<strong>puls</strong>responsen har forskjellige fokus-punkt eller element forsinkelserfor ulike tidsintervaller. Sagt på en annen måte vil forskjellige im<strong>puls</strong>responsermed fast fokus gjelde innenfor ulike tidsintervaller. Forå danne en im<strong>puls</strong>-respons med dynamisk fokus er det i prinsippet bareå klippe og lime sammen im<strong>puls</strong>-responser med ulik fast fokus tilen ny im<strong>puls</strong>respons. I praksis derimot er det ganske programmeringstekniskå få til, så dynamisk fokus er ikke programmert i denne oppg<strong>av</strong>en.97
98 Kapittel 8 . Oppsummering og <strong>fra</strong>mtidig arbeidI kapittel 5.1 ble transduseren delt inn i rektangler. I prinsippet kanen transduser deles opp i alle slags elementer der im<strong>puls</strong>responsentil transduser-elementet er kjent. I [10] er im<strong>puls</strong>responsen til et u-vektet trekant-element funnet. Det er da mulig å utrykke en tilfeldigromlig vektet im<strong>puls</strong>respons som en vektet sum <strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responsertil trekanter tilsvarende ligning (5.16). En fordel med trekanter istedenforrektangler er <strong>at</strong> en får en bedre tilpasning til kantede transduseremed trekanter. Dessuten er im<strong>puls</strong>responsen for trekanter utledet utenfjernfelts-approksimasjon, noe som gir stor fordel for ekstremt korte<strong>av</strong>bildnings-<strong>av</strong>stander. Ulempen med trekanter er <strong>at</strong> beregnings-tidenfor im<strong>puls</strong>-responsen tar mye lenger tid enn for rektangler, når antallelementer er likt.Im<strong>puls</strong>responsen til et uvektet firkant-element, det vil si <strong>at</strong> den er begrenset<strong>av</strong> fire linjer, er funnet i [12]. Hva som er mest hensiktsmessigå dele inn transduseren i <strong>av</strong>henger <strong>av</strong> transduserens form.I [8] er frekvens-<strong>av</strong>hengig <strong>at</strong>tenuasjon introdusert i modellen. Her brukesen eksponensiell <strong>at</strong>tenuasjons-modell i motsetning til tidligere hvordet er ant<strong>at</strong>t <strong>at</strong> signalet går som 1 . <strong>Simulering</strong>s-hastigheten blir<strong>av</strong>standikke mye hemmet <strong>av</strong> <strong>at</strong>tenuasjons-tillegget.I løpet <strong>av</strong> de siste årene har simulerings-modellen til Jørgen Arendt Jensenblitt en gull standard for simulering <strong>av</strong> ultralyd-<strong>felter</strong>. Den er forts<strong>at</strong>tunder utvikling, og Jensens program Field [13] er tilgjengelig vianettet på http://www.it.dtu.dk/ jaj/field.8.2 Ultra<strong>tynnede</strong> <strong>array</strong> og ultrabredbåndede <strong>puls</strong>erI [21] og kapittel 7.2.3 er det vist <strong>at</strong> INT-<strong>array</strong>et, med uvektet ultr<strong>at</strong>ynneteffektivt <strong>array</strong>, er optimalt. Dette <strong>array</strong>et oppnår et <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> sidelobenivåmed maksimum projeksjon på N −4 , som betyr 10log10(N −4 )i desibel-skala. <strong>Simulering</strong>ene i [21] har bare en punktspreder. Grunnentil det l<strong>av</strong>e sidelobe-nivået er <strong>at</strong> UWB <strong>puls</strong>ene <strong>fra</strong> hvert element bareoverlapper rundt fokal-regionen til <strong>array</strong>et og blir spredt i tid utenfor.Sagt på en annen måte overlapper <strong>puls</strong>ene i tid i punktsprederen, barenår fokuspunktet er i punktsprederen. For andre fokuspunkter overlapperikke <strong>puls</strong>ene i tid i punktsprederen. Det samme skjer for det mott<strong>at</strong>tesignalet. De mott<strong>at</strong>te <strong>puls</strong>ene overlapper bare i tid når fokuspunkteter i punktsprederen.I kapittel 7.4.3 er det utledet en teori for hva som skjer med strålingsmønsteretfor det optimale <strong>array</strong>et i [21], når en liten høyspredningsre-
8.3 Framtidig arbeid 99gion modelleres med en hovedpunktspreder og bakgrunns-vevet rundtmodelleres som en stokastisk modell <strong>av</strong> punktspredere. På grunn <strong>av</strong>flere punktspredere vil nå det mott<strong>at</strong>te signalet overlappe i tid for allefokuseringer. Maksimum projeksjon strålingsmønsteret får da et N −2ledd i tillegg til N −4 leddet. I kapittel 7.4.3 ble denne sammenhengenutledet:SidelobenivåHovedlobe = 1 N + 12 AN, (8.1)1 + K 1√<strong>puls</strong>lengde·antall punktspredereder N er antall elementer, A er amplituden på hoved-punktsprederen ogK 1 er en medium-konstant. Antall punktspredere står for antall punktsprederei den stokastiske modelleringen <strong>av</strong> bakgrunns-vevet. Denne likningener bekreftet med simuleringer.Om N −2 eller N −4 ledddet dominerer i strålingsmønsteret til virkeligeultralyd-<strong>av</strong>bildninger er det nødvendig med kunnskaper om mediet, slik<strong>at</strong> riktige verdier for antall punktspredere, A, og K 1 kan fastsettes.En utvidelse <strong>av</strong> dette maksimum-projeksjon strålingsmønster estim<strong>at</strong>etfor generelle lineære uvektede <strong>tynnede</strong> <strong>array</strong>, er foreslått i kapittel 7.4.5.Men denne er ikke bekreftet med numeriske simuleringer. En n<strong>at</strong>urligvidere utvidelse <strong>av</strong> estim<strong>at</strong>et vil være å se på vektede <strong>array</strong>.Ved <strong>av</strong>bildning <strong>av</strong> cyster, er det ikke cysten som gir tilbake-spredning,men bakgrunns-vevet rundt. Bakgrunns-vevet rundt kan modelleres somen stokastisk modell <strong>av</strong> punktspredere. Ettersom det er mange punktspredere,vil alle de mott<strong>at</strong>te <strong>puls</strong>ene overlappe i tid for alle fokuseringer,så N −4 fordelen uteblir.Påstanden i [21] om <strong>at</strong> et sidelobenivå på −70 dB for punktspreder erønskelig for å skille cyster <strong>fra</strong> svulster i bryst <strong>av</strong>bildning, blir da ikke etgodt nok kriterium.8.3 Framtidig arbeidMye forskning har vært nedlagt i å optimalisere transduser-<strong>array</strong> medhensyn på element plassering og vekting. Dette for å oppnå best muligeultralyd-<strong>av</strong>bildninger med færrest mulige sensor-elementer.Tradisjonellt har CW strålingsmønstre i fjernfeltet blitt analysert [4],ettersom dette kan finnes med Fourier transform gitt i likning (3.20).
100 Kapittel 8 . Oppsummering og <strong>fra</strong>mtidig arbeidI ultralyd brukes svært korte <strong>puls</strong>er for å få best mulig oppløsning. Enanalytisk formel for <strong>puls</strong>ede strålingsmønstre er foreslått i [19], og i[21] er optimalisering <strong>av</strong> UWB strålingsmønstre studert. Optimalisering<strong>av</strong> UWB strålingsmønstre begrunnes ut <strong>fra</strong> simuleringer med enpunktspreder, og hvordan strålingsmønstre blir spredt i tid for storefokuseringsvinkler. I kapittel 7.4 er det vist <strong>at</strong> denne effekten forsvinnernår store deler <strong>av</strong> mediet bidrar med betydelig tilbakespredning.Framtidig arbeid vil derfor bestå i å optimalisere <strong>array</strong> med simuleringsmediumbestående <strong>av</strong> flere punktspredere. Et forslag til slike simuleringsmedierer gitt i [9] og [11] og beskrevet i kapittel 7.4. Andre simuleringsmedierer for eksempel beskrevet i [20] og [23].Grunnen til <strong>at</strong> optimaliserings-kriterier for mer kompliserte simuleringsmediumhar blitt aktuelle, er <strong>at</strong> det i dag er utviklet simuleringsmodellerfor utregning <strong>av</strong> det tilbakespredte feltet <strong>fra</strong> mange punktspredere.Programerte versjoner er også lett tilgjengelige på nettet [13].<strong>Simulering</strong>er med 1D-<strong>array</strong> tar ofte en hel dag hvis vevet blir modellertmed mange punktspredere. 2D-<strong>array</strong> simuleringer <strong>av</strong> vev ligger nokderfor et godt stykke inn i <strong>fra</strong>mtiden. I mellomtiden vil det mest n<strong>at</strong>urligevære å optimalisere 1D-<strong>array</strong> og videreføre result<strong>at</strong>ene til detto-dimensjonale tilfellet.
Bibliografi[1] B. A. J. Angelsen. W<strong>av</strong>es, signals and signal processing in medicalultrasonics, volume 2. NTNU, Institutt for fysiologisk og biomedisinskteknikk, 1996.[2] L. A. Chernov. W<strong>av</strong>e propag<strong>at</strong>ion in a random medium. McGraw-Hill, New York, 1960.[3] C. Elachi. Spaceborne radar remote sensing: applic<strong>at</strong>ions andtechniques. IEEE Press, 1988.[4] S. Holm, B. Elgetun, and G. Dahl. Properties of the beamp<strong>at</strong>tern ofweight- and layout- optimized sparse <strong>array</strong>s. IEEE Trans. Ultrason.,Ferroelect., Freq. Contr., 1997.[5] S. Holm, F. Teigen, L. Ødegaard, V. Berre, and J. E. Erstad. Ultrasim,Program for simul<strong>at</strong>ion of ultrasonic fields. Department of inform<strong>at</strong>ics,university of Oslo, 2.0 edition, 1996.[6] J. A. Jensen. Medical ultrasound imaging, an estim<strong>at</strong>ion based approach.PhD thesis, Technical University of Denmark, 1988.[7] J. A. Jensen. A model for the propag<strong>at</strong>ion and sc<strong>at</strong>tering ofultrasound in tissue. J. Acoust. Soc. Amer, 89(1):182–191, 1991.[8] J. A. Jensen. Ultrasound fields in an <strong>at</strong>tenu<strong>at</strong>ing medium. IEEEIntern<strong>at</strong>ional Ultrasonics Symp., 2:943–946, 1993.[9] J. A. Jensen. Field: A program for simul<strong>at</strong>ing ultrasound systems.In Medical & Biological Engineering & Computing, volume 34, pages351–353, 1996.[10] J. A. Jensen. Ultrasound fields from triangular apertures. J. Acoust.Soc. Amer, 100(4):2049–2056, 1996.[11] J. A. Jensen. Computer phantoms for simul<strong>at</strong>ing ultrasound b-mode and cfm images. In 23rd Acoustical imaging symposium,Boston, Massachusetts, USA, 1997.101
102 BIBLIOGRAFI[12] J. A. Jensen. A new approach to calcul<strong>at</strong>ing sp<strong>at</strong>ial im<strong>puls</strong>e responses.IEEE Intern<strong>at</strong>ional Ultrasonics Symp., 1997.[13] J. A. Jensen. User’s guide for the field II program. Departmentof inform<strong>at</strong>ion technology, technical university of Denmark, 2.5edition, 1998.[14] J. A. Jensen and N. B. Svendsen. Calcul<strong>at</strong>ion of pressure fields fromarbitrarily shaped, apodized, and excited ultrasound transducers.IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr., 39(2):262–267, 1992.[15] D. H. Johnson and D. E Dudgeon. Array signal processing. PrenticeHall, 1993.[16] SLeeman,V.C.Roberts,P.E.Chandler,andL.A.Ferrari. Inverseimaging with strong multiple sc<strong>at</strong>tering. M<strong>at</strong>hem<strong>at</strong>ics and ComputerScience in Medical Imaging, pages 279–289, 1988.[17] G. R. Lockwood and F. S. Foster. Optimizing the radi<strong>at</strong>ion p<strong>at</strong>ternof sparse periodic two-dimensional <strong>array</strong>s. IEEE Trans. Ultrason.,Ferroelect., Freq. Contr., 43(1), 1996.[18] G. R. Lockwood, P.-C. Li, M. O’Donnell, and F. S. Foster. Optimizingthe radi<strong>at</strong>ion p<strong>at</strong>tern of sparse periodic linear <strong>array</strong>s. IEEE Trans.Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr., 43(1), 1996.[19] M. Murino and A. Trucco. An analytical formul<strong>at</strong>ion for widebandbeamp<strong>at</strong>terns using sparse <strong>array</strong>s. Acoustical imaging, PlenumPress, New York, 22, 1996.[20] J. J. Rownd, Medsen E. L., Zagzebski J. A., Frank G. R., and DongF. Phantoms and autom<strong>at</strong>ed system for testing the resolution ofultrasound scanners. Ultrasound in Med. & Biol., 23(2):245–260,1997.[21] J. L. Schwartz and B. D. Steinberg. Ultrasparse ultrawideband <strong>array</strong>.IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr., 45(2), 1998.[22] K. K. Shung, M. B. Smith, and B. M. W. Tsui. Principles of medicalimaging. Academic press, Inc, 1992.[23] S. W. Smith, Wagner R. F., Sanrik J. M., and Lopez H. Low contrastdetectability and contrast/detail analysis in medical imaging. IEEETrans. Sonics Ultrason., 30(3), 1983.[24] S. W. Smith, H. G. P<strong>av</strong>y, and O. T. Ramm. High speed volumetricimaging system–part i: Transducer design and beam steering. IEEETrans. Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr., 38(2), 1991.
BIBLIOGRAFI 103[25] B. D. Steinberg. Principles of aperture and <strong>array</strong> design: Includingrandom and adaptive <strong>array</strong>s. New York: Wiley, 1976.[26] P. R. Stepanishen. The time-dependent force and radi<strong>at</strong>ion impedanceon a piston in a rigid infinite planar baffle. J. Acoust. Soc.Amer, 49:841–849, 1971.[27] P. R. Stepanishen. Transient radi<strong>at</strong>ion from pistons in an infiniteplanar baffle. J. Acoust. Soc. Amer, 49:1627–1638, 1971.[28] D. H. Turnbull and Foster F. S. Beam stearing width <strong>puls</strong>ed twodimensionaltransducer <strong>array</strong>s. IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect.,Freq. Contr., 38(4), 1991.
104 BIBLIOGRAFI
Tillegg AM<strong>at</strong>lab- og C-kode tilultralydmodellI dette kapittelet er M<strong>at</strong>lab -og C-koden til ultralydmodellen lagt med.Hele programmet kjøres rett <strong>fra</strong> M<strong>at</strong>lab. Noen <strong>av</strong> rutinene er skrevet i Cfor å få opp hastigheten. Dette gjelder spesielt utregningen <strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responsen.Det er ant<strong>at</strong>t <strong>at</strong> fs (samplingsfrekvens),c (propageringshastighet), <strong>puls</strong>e(samplet versjon <strong>av</strong> <strong>puls</strong>en), aperture1 (sende aperture) og aperture2(mottaker aperture) er globale størrelser i m<strong>at</strong>lab.A.1 Lage transducereA.1.1Lineært <strong>array</strong>function <strong>array</strong>=sh_linear_<strong>array</strong>(no_elements, width, height, kerf, focus);%% Function : sh_linear_<strong>array</strong>(no_elements, width, height, kerf, focus);%% Description : Returns the d<strong>at</strong>a of a linear <strong>array</strong>%% Input : no_elements -> number of elements in <strong>array</strong>% width -> width of elements% height -> height of elements% kerf -> width between elements% focus -> vector to focal-point%%% Output: <strong>array</strong> -> <strong>array</strong> of elements% Each element has a position (x,y,z),% two angles ( describing the rectangle rot<strong>at</strong>ion),105
106 Kapittel A . M<strong>at</strong>lab- og C-kode til ultralydmodell% apodiz<strong>at</strong>ion and delay due to focusing.%global c;d=width+kerf;xpos=[(-no_elements+1)/2:(no_elements-1)/2] *d;ypos=zeros(size(xpos));zpos=ypos;ang1=ypos;ang2=ypos;apo=ones(size(xpos));focus=focus(:);Rfoc=focus*ones(1,no_elements)-[xpos; ypos; zpos];for i=1:no_elements,delay(i)=(norm(focus)-norm(Rfoc(:,i)) )/c;end<strong>array</strong>=[xpos;ypos;zpos;ang1;ang2;apo;delay];<strong>array</strong>(8,1)=width;<strong>array</strong>(8,2)=height;
A.1 Lage transducere 107A.1.2To-dimensjonalt <strong>array</strong>function <strong>array</strong>=sh_2D_<strong>array</strong>(no_ele_x,no_ele_y, width, height, kerf_x, ...kerf_y,enabled, focus);%% Function : <strong>array</strong>=sh_2D_<strong>array</strong>(no_ele_x,no_ele_y, width, height,% kerf_x,kerf_y,enabled, focus);%% Description : Returns the d<strong>at</strong>a of a 2D <strong>array</strong>%% Input : no_ele_x -> number of elements in x direction% no_ele_y -> number of elements in y direction% width -> width of elements% height -> height of elements% kerf_x -> width between elements in x direction% kerf_y -> width between elements in y direction% enabled -> <strong>array</strong> of zeros and ones (0=element off,1=on)% focus -> vector to focal-point%%% Output: <strong>array</strong> -> <strong>array</strong> of elements% Each element has a position (x,y,z),% two angles ( describing the rectangle rot<strong>at</strong>ion),% apodiz<strong>at</strong>ion and delay due to focusing.%global c;d_x=width+kerf_x;d_y=height+kerf_y;xpos=[(-no_ele_x+1)/2:(no_ele_x-1)/2] *d_x;ypos=[(-no_ele_y+1)/2:(no_ele_y-1)/2] *d_y;i=1;for x=1:length(xpos),for y=1:length(ypos),if enabled(y,x),trans_pkt(1:2,i)=[xpos(x) ; ypos(y)];i=i+1;endendendno_ele=length(trans_pkt);zpos=zeros(1,no_ele);ang1=zpos;ang2=zpos;apo=ones(1,no_ele);focus=focus(:);Rfoc=focus*ones(1,no_ele)-[trans_pkt; zpos];for i=1:no_ele,delay(i)=(norm(focus)-norm(Rfoc(:,i)) )/c;end
108 Kapittel A . M<strong>at</strong>lab- og C-kode til ultralydmodell<strong>array</strong>=[trans_pkt;zpos;ang1;ang2;apo;delay];<strong>array</strong>(8,1)=width;<strong>array</strong>(8,2)=height;
A.1 Lage transducere 109A.1.3Konk<strong>av</strong>t <strong>array</strong>function <strong>array</strong>=sh_conc<strong>av</strong>e(R_trans,R_foc, ele_size);%% Function : <strong>array</strong>=sh_conc<strong>av</strong>e(R_trans,R_foc, ele_size);%% Description : Returns the d<strong>at</strong>a of a conv<strong>av</strong>e <strong>array</strong>%% Input : R_trans -> radius of transducer% R_foc -> focal radius of transducer% ele_size -> Size of rectangle elements%% Output: <strong>array</strong> -> <strong>array</strong> of elements% Each element has a position (x,y,z),% two angles ( describing the rectangle rot<strong>at</strong>ion),% apodiz<strong>at</strong>ion and delay due to focusing.%no_ele_x=round(2*R_trans/ele_size)+1;xpos=[(-no_ele_x+1)/2:(no_ele_x-1)/2]*ele_size;for x=1:no_ele_x,for y=1:no_ele_x,Radius(x,y)=sqrt(xpos(x)^2+xpos(y)^2);endendon=Radius
110 Kapittel A . M<strong>at</strong>lab- og C-kode til ultralydmodellv_zx;v_xy;apo;delay];<strong>array</strong>(8,1)=ele_size;<strong>array</strong>(8,2)=ele_size;return
A.2 Vekting 111A.2 VektingA.2.1M<strong>at</strong>lab kodefunction sh_apodiz<strong>at</strong>ionM(nr, apo);%% Function : sh_apodiz<strong>at</strong>ionM(nr, apo);%% Description : applys apodiz<strong>at</strong>ion to a transducer%% Input : nr -> transducer nr (1=transmitter/2=receiver)% apo -> apodiz<strong>at</strong>ion vector%% Output: none%global aperture1 aperture2if nr==1,aperture1(6,:)=apo;elseif nr==2,aperture2(6,:)=apo;elsedisp(’Ugyldig aperture nummer’);endreturnA.2.2C kode/*% Function : sh_apodiz<strong>at</strong>ion(nr, apo);%% Description : applys apodiz<strong>at</strong>ion to a transducer%% Input : nr -> transducer nr (1=transmitter/2=receiver)% apo -> apodiz<strong>at</strong>ion vector%% Output: none*/#include "mex.h"#include void sh_apodiz<strong>at</strong>ion(double Th[], double apo[], int n){int ele_nr;for (ele_nr=0; ele_nr < n ; ele_nr++)
112 Kapittel A . M<strong>at</strong>lab- og C-kode til ultralydmodellTh[ele_nr*8+5]=apo[ele_nr];return;}void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[],int nrhs, const mxArray *prhs[]){const mxArray *Th;double *Ths;double *apo, *nr;int n;mexPrintf("sh_apodiz<strong>at</strong>ion.c \n");nr=mxGetPr(prhs[0]);if (nr[0]==1)Th=mexGetArrayPtr("aperture1","global");else if (nr[0]==2)Th=mexGetArrayPtr("aperture2","global");elsemexPrintf("Galt aperture nummer");n=mxGetN(Th);Ths=mxGetPr(Th);apo=mxGetPr(prhs[1]);sh_apodiz<strong>at</strong>ion(Ths, apo, n);}
A.3 Fokusering 113A.3 FokuseringA.3.1M<strong>at</strong>lab kodefunction sh_focusM(nr, point);%% Function : sh_focusM(nr, point);%% Description : applys focus to a transducer%% Input : nr -> transducer nr (1=transmitter/2=receiver)% point -> focal point%% Output: none%global c aperture1 aperture2;point=point(:);if nr==1,Rfoc=point*ones(1,size(aperture1,2))-aperture1(1:3,:);for i=1:size(aperture1,2),delay(i)=( norm(point)-norm(Rfoc(:,i)) )/c;endaperture1(7,:)=delay;elseif nr==2,Rfoc=point*ones(1,size(aperture2,2))-aperture2(1:3,:);for i=1:size(aperture2,2),delay(i)=( norm(point)-norm(Rfoc(:,i)) )/c;endaperture2(7,:)=delay;elsedisp(’Ugyldig aperture nummer’);endreturn
114 Kapittel A . M<strong>at</strong>lab- og C-kode til ultralydmodellA.3.2C kode/*% Function : sh_focus(nr, point);%% Description : applys focus to a transducer%% Input : nr -> transducer nr (1=transmitter/2=receiver)% point -> focal point%% Output: none*/#include "mex.h"#include st<strong>at</strong>ic double c;void sh_focus(double Th[], double point[], int n){double R, Rij, d_E[3];int ele_nr, k;for (ele_nr=0; ele_nr < n ; ele_nr++){R=0;Rij=0;for (k=0; k
A.3 Fokusering 115double *point, *nr;int n;mexPrintf("sh_focus.c \n");nr=mxGetPr(prhs[0]);if (nr[0]==1)Th=mexGetArrayPtr("aperture1","global");else if (nr[0]==2)Th=mexGetArrayPtr("aperture2","global");elsemexPrintf("Galt aperture nummer");n=mxGetN(Th);Ths=mxGetPr(Th);point=mxGetPr(prhs[1]);c=*mxGetPr(mexGetArrayPtr("c","global"));sh_focus(Ths, point,n);}
116 Kapittel A . M<strong>at</strong>lab- og C-kode til ultralydmodellA.4 Utregning <strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responsenA.4.1M<strong>at</strong>lab kodefunction [h, start_time]=sh_calc_hM(nr,point);%% Function : [h, start_time]=sh_calc_hM(nr,point);%% Description : Calcul<strong>at</strong>ion of the im<strong>puls</strong>e-response%% Input : nr -> transducer nr (1=transmitter/2=receiver)% point -> point to evalu<strong>at</strong>e the im<strong>puls</strong>e-response%% Output: h -> im<strong>puls</strong>e response% start_time -> start-time for the im<strong>puls</strong>e response%global c fs aperture1 aperture2;disp(’sh_calc_hM.m’);%% Unødvendig stor parameteroverføring%if nr==1,Th=aperture1;elseTh=aperture2;endw_x=Th(8,1);w_y=Th(8,2);point=point(:);dt=1/fs;% Loop over alle transducer elementenefor ele_nr=1:length(Th),if Th(6,ele_nr) > 0,d_E=point-Th(1:3,ele_nr);l=norm(d_E);Phi=Th(4,ele_nr);Ksi=Th(5,ele_nr);rot_xz=[cos(Phi) 0 sin(Phi);0 1 0;-sin(Phi) 0 cos(Phi)];
A.4 Utregning <strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responsen 117rot_xy=[cos(Ksi) sin(Ksi) 0;-sin(Ksi) cos(Ksi) 0;0 0 1];d_V=rot_xz*rot_xy*d_E;d_V=d_V/l;delta_t1=min([ abs(w_y*d_V(2)/c) , abs(w_x*d_V(1)/c) ]);delta_t2=max([ abs(w_y*d_V(2)/c) , abs(w_x*d_V(1)/c) ]);if delta_t2 0,t1s=t1(ele_nr);t2s=t2(ele_nr);t3s=t3(ele_nr);t4s=t4(ele_nr);amps=amp(ele_nr);tid=ceil(t1s/dt)*dt;tp=floor( (t_start(ele_nr)-start_time) /dt+1);
118 Kapittel A . M<strong>at</strong>lab- og C-kode til ultralydmodellwhile tid
A.4 Utregning <strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responsen 119A.4.2C kode/*% Function : [h, start_time]=sh_calc_h(nr,point);%% Description : Calcul<strong>at</strong>ion of the im<strong>puls</strong>e-response%% Input : nr -> transducer nr (1=transmitter/2=receiver)% point -> point to evalu<strong>at</strong>e the im<strong>puls</strong>e-response%% Output: h -> im<strong>puls</strong>e response% start_time -> start-time for the im<strong>puls</strong>e response%*/#include "mex.h"#include #include #define pi 3.14159265358979#define ALLOCSIZE 1000000struct ans {mxArray *mx_impresp;mxArray *mx_start_time;};st<strong>at</strong>ic double allocbuf[ALLOCSIZE];st<strong>at</strong>ic double *allocp = allocbuf;st<strong>at</strong>ic double fs;st<strong>at</strong>ic double c;double *alloc(int n){if (allocbuf + ALLOCSIZE -allocp >=n){allocp+=n;return allocp-n;}elsemexPrintf("Det er ikke nok plass");}void afree(double *p){if (p >= allocbuf && p < allocbuf +ALLOCSIZE)allocp = p;}struct ans sh_calc_h(double Th[], double point[], int n){double dt,tid, start_time, stop_time;double d_E[3], d_V[3];double *amp, *t1, *t2, *t3, *t4, *t_start, *t_stop;double ax, ay, l, delta_t1, delta_t2, t1s, t2s, t3s, t4s;double Areal, amps, proj_faktor;double sin_xz, cos_xz, cos_xy, sin_xy;
120 Kapittel A . M<strong>at</strong>lab- og C-kode til ultralydmodelldouble *impresp;int k, ele_nr, tp;struct ans reply;/* global c fs width height; */double w_x,w_y;t1=alloc(n);t2=alloc(n);t3=alloc(n);t4=alloc(n);t_start=alloc(n);t_stop=alloc(n);amp=alloc(n);w_x=Th[7];w_y=Th[7+8];dt=1/fs;/* Loop over alle transducer elementene */for (ele_nr=0; ele_nr < n; ele_nr++)if (Th[ele_nr*8+5]>0.0){l=0.0;for (k=0; k
A.4 Utregning <strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responsen 121}delta_t2=ay;if (delta_t2 < dt){delta_t2=dt;delta_t1=0.0;}Areal=w_x*w_y/(2*pi*l);/* proj_faktor=d_V[3]; */proj_faktor=1;amp[ele_nr]=proj_faktor*Th[ele_nr*8+5]*Areal/delta_t2;t1[ele_nr]=l/c-(delta_t1+delta_t2)/2;t2[ele_nr]=t1[ele_nr]+delta_t1;t3[ele_nr]=t1[ele_nr]+delta_t2;t4[ele_nr]=t2[ele_nr]+delta_t2;t_start[ele_nr]=t1[ele_nr]+Th[ele_nr*8+6];t_stop[ele_nr]=t4[ele_nr]+Th[ele_nr*8+6];}/* Slutt på loop over transducer-punkt */start_time=10;stop_time=-10;for (ele_nr=0; ele_nr < n; ele_nr++){if (t_start[ele_nr] < start_time)start_time = t_start[ele_nr];}if (t_stop[ele_nr] > stop_time)stop_time= t_stop[ele_nr];reply.mx_impresp = mxCre<strong>at</strong>eDoubleM<strong>at</strong>rix( (int)((stop_time-start_time)/dt+2),1,mxREAL);impresp=mxGetPr(reply.mx_impresp);reply.mx_start_time=mxCre<strong>at</strong>eDoubleM<strong>at</strong>rix(1,1,mxREAL);mxGetPr(reply.mx_start_time)[0]=((int)(start_time/dt))*dt;/* Start på ny løkke over transducerpunktene */for (ele_nr=0; ele_nr < n; ele_nr++)if (Th[ele_nr*8+5]>0.0){t1s=t1[ele_nr];t2s=t2[ele_nr];t3s=t3[ele_nr];t4s=t4[ele_nr];amps=amp[ele_nr];tid=((int) (t1s/dt+1))*dt;
122 Kapittel A . M<strong>at</strong>lab- og C-kode til ultralydmodelltp=(int)((t_start[ele_nr]-start_time)/dt+1);}for (tid=((int) (t1s/dt+1))*dt,tp=(int)((t_start[ele_nr]-start_time)/dt+1); tid < t2s; tid+=dt, tp++)impresp[tp]+=amps*(tid-t1s)/(t2s-t1s);for (; tid < t3s; tid+=dt, tp++)impresp[tp]+=amps;for (; tid < t4s; tid+=dt, tp++)impresp[tp]+=amps*(t4s-tid)/(t4s-t3s);/* Slutt på loop over transducer-punkt */afree(amp);afree(t_stop);afree(t_start);afree(t4);afree(t3);afree(t2);afree(t1);return reply;}void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[],int nrhs, const mxArray *prhs[]){const mxArray *Th;double *point, *Ths;int n;double *nr;struct ans mtr;mexPrintf("sh_calc_h.c \n");nr=mxGetPr(prhs[0]);if (nr[0]==1)Th=mexGetArrayPtr("aperture1","global");else if (nr[0]==2)Th=mexGetArrayPtr("aperture2","global");elsemexPrintf("Galt aperture nummer");n=mxGetN(Th);Ths=mxGetPr(Th);point=mxGetPr(prhs[1]);
A.4 Utregning <strong>av</strong> im<strong>puls</strong>responsen 123fs=*mxGetPr(mexGetArrayPtr("fs","global"));c=*mxGetPr(mexGetArrayPtr("c","global"));mtr=sh_calc_h(Ths, point, n);plhs[0]=mtr.mx_impresp;plhs[1]=mtr.mx_start_time;}
124 Kapittel A . M<strong>at</strong>lab- og C-kode til ultralydmodellA.5 Utregning <strong>av</strong> <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> responsenfunction [hhp, start_time]=sh_calc_hhp(point);%% Function : [hhp, start_time]=sh_calc_hhp(point,<strong>puls</strong>e);%% Description : Calcul<strong>at</strong>ion of <strong>puls</strong>-<strong>ekko</strong> pressure%% Input : point -> point-sc<strong>at</strong>ter position% <strong>puls</strong>e -> ultrasound <strong>puls</strong>e%% Output: hhp -> received response% start_time -> start-time for the received response%global fs <strong>puls</strong>e aperture1 aperture2;% [h1, tstart1]=sh_calc_hM(1,point);% [h2, tstart2]=sh_calc_hM(2,point);[h1, tstart1]=sh_calc_h(1,point);[h2, tstart2]=sh_calc_h(2,point);% hhp=conv2(conv(h1,h2),<strong>puls</strong>e’,’same’);hhp=conv(conv(h1,h2),<strong>puls</strong>e’);% start_time=tstart1+tstart2-length(<strong>puls</strong>e)/2 * (1/fs);start_time=tstart1+tstart2;%% For flere punktspredere vil utregningen bli:%% hh= sum_i ( conv(h1_i,h2_i)*punktspredamp_i )% (summeringen må gjøres for riktige tids-indexer)%% hhp=conv(hh,<strong>puls</strong>e’)%return
Tillegg BM<strong>at</strong>lab-kode for to simuleringerI dette kapittelet er M<strong>at</strong>lab koden for hovedpunktspreder simuleringsresul<strong>at</strong>enei figur 7.9 og cyste result<strong>at</strong>ene i figur 7.21/7.22 vedlagt etterønske <strong>fra</strong> veileder. Denne koden er vanskelig å forstå selv med komplettkjennskap til Field [13].B.1 Kode for hovedpunktspreder result<strong>at</strong>ene i figur 7.9B.1.1Utregning <strong>av</strong> feltet for delta-<strong>puls</strong>function sc<strong>at</strong>_comp(filename)%% Function : sc<strong>at</strong>_comp(filename)%% Description : Calcul<strong>at</strong>ing the received signal% width delta-<strong>puls</strong>e%% Input : filename -> filename of m<strong>at</strong>lab file containig% phantom_positions% phantom_amplitudes%% Written to file : image_d<strong>at</strong>a -> received signal% times -> start-times%% Gener<strong>at</strong>e the transducer apertures for send and receivef0=3e6; % Transducer center frequency [Hz]fs=100e6; % Sampling frequency [Hz]c=1540; % Speed of sound [m/s]125
126 Kapittel B . M<strong>at</strong>lab-kode for to simuleringerlambda=c/f0; % W<strong>av</strong>elength [m]d=lambda/2;rektsize_fakt=0.1;N=4;% Use trianglesset_field(’use_triangles’,0);% Set the sampling frequencyset_sampling(fs);% INT <strong>array</strong>focus=[0 0 0]/1000;width=d*rektsize_fakt;kerf=d-width;% INT <strong>array</strong> med 4 aktive elementerenabled_re=zeros(1,7);enabled_re(1:2:7)=1;% i 4 lambdae=zeros(8,1); e(1)=1;enabled_re=e*enabled_re;enabled_re=enabled_re(:);enabled_re=enabled_re(1:length(enabled_re)-7)’; % i lambda/2no_ele_re=length(enabled_re); % 73enabled_se=[ones(1,2),zeros(1,6),ones(1,2)]; % i 4 lambdaenabled_se=e*enabled_se;enabled_se=enabled_se(:);enabled_se=enabled_se(1:length(enabled_se)-7)’; % i lambda/2no_ele_se=length(enabled_se); % 49xmit_aperture = xdc_linear_<strong>array</strong> (no_ele_se, width, width, kerf,...1, 1,focus);receive_aperture = xdc_linear_<strong>array</strong> (no_ele_re, width, width, kerf,...1, 1,focus);% aperture vektingxdc_apodiz<strong>at</strong>ion (xmit_aperture, 0, enabled_se);xdc_apodiz<strong>at</strong>ion (receive_aperture, 0, enabled_re);fprintf(’Antall sender elementer = %6.0f.\n’, sum(sum(enabled_se)));fprintf(’Antall mottaker elementer = %6.0f. Press any key’,...sum(sum(enabled_re)));%
B.1 Kode for hovedpunktspreder result<strong>at</strong>ene i figur 7.9 127% Regn ut <strong>puls</strong>et respons%% Set the excit<strong>at</strong>ion of the xmit aperture% xdc_excit<strong>at</strong>ion (xmit_aperture, halv<strong>puls</strong>er(fs,f0,ant_halvp));theta_min=0; theta_max=90;% Load the computer phantom% load pht_d<strong>at</strong>a% D=no_ele_x*d;% R=D*4;R=50/1000;if isempty(filename),phantom_positions=[0 0 R];phantom_amplitudes=1;filename=’vann’;elseload(filename);end% Do imaging line by linei=0;for theta_zx=theta_min:1:theta_max,i=i+1theta_zx_rad=2*pi*theta_zx/360;% Set the focus for this directionxdc_focus (xmit_aperture, 0, R*[sin(theta_zx_rad),0,cos(theta_zx_rad)]);xdc_focus (receive_aperture, 0, R*[sin(theta_zx_rad),0,cos(theta_zx_rad)]);% Calcul<strong>at</strong>e the received response[rf_d<strong>at</strong>a, tstart]=calc_sc<strong>at</strong>(xmit_aperture, receive_aperture,...phantom_positions,phantom_amplitudes);% Store the resultimage_d<strong>at</strong>a(1:max(size(rf_d<strong>at</strong>a)),i)=rf_d<strong>at</strong>a;times(i)=tstart;end% Free space for apertures
128 Kapittel B . M<strong>at</strong>lab-kode for to simuleringerxdc_free (xmit_aperture)xdc_free (receive_aperture)fname=[’m<strong>at</strong>/INT4’,filename];s<strong>av</strong>e(fname,’times’,’image_d<strong>at</strong>a’);
B.1 Kode for hovedpunktspreder result<strong>at</strong>ene i figur 7.9 129B.1.2Utregning og <strong>fra</strong>mvisning <strong>av</strong> maksimum projeksjon strålingsmønstrefunction sc<strong>at</strong>_load(spred_amp,ant_halvp)%% Function : sc<strong>at</strong>_load(spred_amp,ant_halvp)%% Description : Calcul<strong>at</strong>ing max-projection of received% signal%% Input : spred_amp -> hovedspreder amplitude% : ant_halvp -> <strong>puls</strong>elength*2%% Read from file : image_d<strong>at</strong>a -> received signal% times -> start-times%ant_sc<strong>at</strong>=10000;st<strong>at</strong>=zeros(length(spred_amp),2);st<strong>at</strong>(:,1)=spred_amp’;figure(1);for i=1:length(spred_amp),ifilename=[’graa’,int2str(ant_sc<strong>at</strong>),’amp’,int2str(spred_amp(i))];fname=[’INT4’,filename];load([’m<strong>at</strong>/’,fname]);% loader image_d<strong>at</strong>a og timesf0=3e6;fs=100e6;Filter = fir1(128,[1.2e6 40e6]/(fs/2),kaiser(129,5))’;theta_min=0;theta_max=90;u_akse=sin((theta_min:1:theta_max)*2*pi/360);% regne ut int_resp og max_resp<strong>puls</strong>=halv<strong>puls</strong>er(fs,f0,ant_halvp);clear med<strong>puls</strong>for k=1:91,lengde=length(image_d<strong>at</strong>a(:,k))+length(<strong>puls</strong>)-1;med<strong>puls</strong>(1:lengde,k)=conv(image_d<strong>at</strong>a(:,k),<strong>puls</strong>’);endmed<strong>puls</strong> = conv2(med<strong>puls</strong>,Filter,’same’);med<strong>puls</strong>=abs(med<strong>puls</strong>);
130 Kapittel B . M<strong>at</strong>lab-kode for to simuleringermed<strong>puls</strong>=med<strong>puls</strong>/max(max(med<strong>puls</strong>));% int_resp=sum(med<strong>puls</strong>,1); %abs?max_resp=max(med<strong>puls</strong>,[],1);st<strong>at</strong>(i,2)=mean(max_resp(10:91));subplot(3,3,i)plot(u_akse,shdb(max_resp))axs=axis;axs(4)=0;axis(axs);tittel=[’INT4 medium=’,filename];title(tittel);ylabel(’max respons’);% xlabel(’sin(theta)’);endkomm=[’s<strong>av</strong>e amp_st<strong>at</strong>’,int2str(ant_halvp),’eval(komm)st<strong>at</strong>’];komm=[’print -deps eps/amp_oversikt.eps’];eval(komm)
B.2 Kode for cyste result<strong>at</strong>ene i figur 7.21 og 7.22 131B.2 Kode for cyste result<strong>at</strong>ene i figur 7.21 og 7.22B.2.1Utregning <strong>av</strong> feltet for delta-<strong>puls</strong>function sc<strong>at</strong>_comp(filename,<strong>array</strong>_nr)%% Function : sc<strong>at</strong>_comp(filename,arry_nr)%% Description : Calcul<strong>at</strong>ing the received signal% width delta-<strong>puls</strong>e%% Input : filename -> filename of m<strong>at</strong>lab cyste file containing% phantom_positions% phantom_amplitudes%% <strong>array</strong>_nr -> <strong>array</strong> numer (1/2)% 1= INT4 <strong>array</strong>% 2= Random36%% Written to file : rf_d<strong>at</strong>a -> received signal% tstart -> start-time%% Gener<strong>at</strong>e the transducer apertures for send and receivef0=3e6; % Transducer center frequency [Hz]fs=100e6; % Sampling frequency [Hz]c=1540; % Speed of sound [m/s]lambda=c/f0; % W<strong>av</strong>elength [m]width=lambda/2; % Width of elementelement_height=5/1000; % Height of element [m]% kerf=0.05/1000; % Kerf [m]kerf=0;focus=[0 0 70]/1000; % Fixed focal point [m]% N_elements=192; % Number of physical elements% N_active=64; % Number of active elements% Do not use trianglesset_field(’use_triangles’,0);% Set the sampling frequencyset_sampling(fs);% Gener<strong>at</strong>e apertureif <strong>array</strong>_nr==1,% INT <strong>array</strong> med 6 aktive elementerenabled_re=zeros(1,16);enabled_re(1:3:16)=1;% i 4 lambdae=zeros(8,1); e(1)=1;enabled_re=e*enabled_re;enabled_re=enabled_re(:);
132 Kapittel B . M<strong>at</strong>lab-kode for to simuleringerenabled_re=enabled_re(1:length(enabled_re)-7)’; % i lambda/2no_ele_re=length(enabled_re); % 121enabled_se=[ones(1,3),zeros(1,15),ones(1,3)]; % i 4 lambdaenabled_se=e*enabled_se;enabled_se=enabled_se(:);enabled_se=enabled_se(1:length(enabled_se)-7)’; % i lambda/2no_ele_se=length(enabled_se); % 161elseif <strong>array</strong>_nr==2,% 36 elementers random <strong>array</strong>no_ele_re=121;r=rand(1,no_ele_re-2);s=fliplr(sort(r));on=r >= s(36-2);enabled_re=[1 on 1];no_ele_se=161;r=rand(1,no_ele_se-2);s=fliplr(sort(r));on=r >= s(36-2);enabled_se=[1 on 1];elseif <strong>array</strong>_nr==3,endno_ele_se=64;enabled_se=hanning(no_ele_se)’;no_ele_re=64;enabled_re=hanning(no_ele_re)’;xmit_aperture = xdc_linear_<strong>array</strong> (no_ele_se, width, element_height, kerf,...1, 1,focus);receive_aperture = xdc_linear_<strong>array</strong> (no_ele_re, width, element_height, kerf,...1, 1,focus);% aperture vektingxdc_apodiz<strong>at</strong>ion (xmit_aperture, 0, enabled_se);xdc_apodiz<strong>at</strong>ion (receive_aperture, 0, enabled_re);% Load the computer phantomload(filename);% Set the different focal zones for receptionfocal_zones=[30:20:200]’/1000;Nf=max(size(focal_zones));
B.2 Kode for cyste result<strong>at</strong>ene i figur 7.21 og 7.22 133focus_times=(focal_zones-10/1000)/1540;z_focus=50/1000; % Transmit focus% Do linear <strong>array</strong> imagingno_lines=50; % Number of lines in imageimage_width=40/1000; % Size of image sectord_x=image_width/no_lines; % Increment for image% Do imaging line by linefor i=[1:no_lines]i% The the imaging directionx= -image_width/2 +(i-1)*d_x;% Set the focus for this directionxdc_focus (xmit_aperture, 0, [x 0 z_focus]);xdc_focus (receive_aperture, 0, [x 0 z_focus]);% xdc_focus (receive_aperture, focus_times,...[x*ones(Nf,1), zeros(Nf,1), focal_zones]);% Calcul<strong>at</strong>e the received response[rf_d<strong>at</strong>a, tstart]=calc_sc<strong>at</strong>(xmit_aperture, receive_aperture,...phantom_positions, phantom_amplitudes);% Store the resultcmd=[’s<strong>av</strong>e m<strong>at</strong>/’,filename,’<strong>array</strong>nr’,int2str(<strong>array</strong>_nr),...’rf_ln’,num2str(i),’.m<strong>at</strong> rf_d<strong>at</strong>a tstart’];eval(cmd)end% Free space for aperturesxdc_free (xmit_aperture)xdc_free (receive_aperture)
134 Kapittel B . M<strong>at</strong>lab-kode for to simuleringerB.2.2Utregning og <strong>fra</strong>mvisning <strong>av</strong> cyste<strong>av</strong>bildningenfunction sc<strong>at</strong>_load(filename, <strong>array</strong>_nr, ant_halvp)%% Function : sc<strong>at</strong>_load(filename, <strong>array</strong>_nr, ant_halvp)%% Description : Calcul<strong>at</strong>ing received signal of cyste%% Input : filename -> filename of m<strong>at</strong>lab cyste-file%% <strong>array</strong>_nr -> <strong>array</strong> number (1/2)% 1= INT4 <strong>array</strong>% 2= Random36%% ant_halvp -> <strong>puls</strong>elength*2%% Compress the d<strong>at</strong>a to show 60 dB of% dynamic range for the cyst phantom image%f0=3e6; % Transducer center frequency [Hz]fs=100e6; % Sampling frequency [Hz]c=1540; % Speed of sound [m/s]no_lines=50; % Number of lines in imageimage_width=40/1000; % Size of image sectord_x=image_width/no_lines; % Increment for image% Read the d<strong>at</strong>a and adjust it in timemin_sample=0;<strong>puls</strong>=halv<strong>puls</strong>er(fs,f0,ant_halvp);<strong>puls</strong>l=length(<strong>puls</strong>);for i=1:no_linesi% Load the result: rf_d<strong>at</strong>a og tstart% cmd=[’load m<strong>at</strong>/rf_ln’,num2str(i),filename,’<strong>array</strong>nr’,...int2str(<strong>array</strong>_nr),’.m<strong>at</strong>’];cmd=[’load m<strong>at</strong>/’,filename,’<strong>array</strong>nr’,int2str(<strong>array</strong>_nr),...’rf_ln’,num2str(i),’.m<strong>at</strong>’];eval(cmd);% Find the envelope% length(rf_d<strong>at</strong>a)rf_d<strong>at</strong>a=conv(rf_d<strong>at</strong>a,<strong>puls</strong>);rf_d<strong>at</strong>a=rf_d<strong>at</strong>a(round((<strong>puls</strong>l-1)/2+1):round(length(rf_d<strong>at</strong>a)-(<strong>puls</strong>l-1)/2));% length(rf_d<strong>at</strong>a)rf_env=abs(hilbert([zeros(round(tstart*fs-min_sample),1); rf_d<strong>at</strong>a]));
B.2 Kode for cyste result<strong>at</strong>ene i figur 7.21 og 7.22 135env(1:max(size(rf_env)),i)=rf_env;end% Do logarithmic compressionD=10; % Sampling frequency decim<strong>at</strong>ion factorlog_env=env(1:D:max(size(env)),:)/max(max(env));log_env=log(log_env+0.1);log_env=log_env-min(min(log_env));log_env=64*log_env/max(max(log_env));% Make an interpol<strong>at</strong>ed imageID=20;[n,m]=size(log_env);new_env=zeros(n,m*ID);for i=1:nif (rem(i,100) == 0)iendnew_env(i,:)=abs(interp(log_env(i,:),ID));end[n,m]=size(new_env);fn=fs/D;% new_env=log_env; % test<strong>array</strong>=[’INT6 ’;’random36 ’;’fullt64 ’];clfimage(((1:(ID*no_lines-1))*d_x/ID-no_lines*d_x/2)*1000,...((1:n)/fn+min_sample/fs)*1540/2*1000,new_env)xlabel(’L<strong>at</strong>eral distance [mm]’)ylabel(’Axial distance [mm]’)colormap(gray(64))%brighten(-0.2)axis([-20 20 30 80])% axis(’image’)title([’<strong>array</strong>:’,<strong>array</strong>(<strong>array</strong>_nr,:),’Medium:’,filename,’ anthalvp:’,...int2str(ant_halvp)]);cmd=[’print -deps eps/’,filename,’<strong>array</strong>nr’,int2str(<strong>array</strong>_nr),’halvp’,...int2str(ant_halvp),’.eps’];eval(cmd);