Last ned hele bladet - Caspar Forlag AS

Olav LundeÅ tilpasseden tilpassede opplæringenKartlegging som grunnlag for tilpasset opplæring ved matematikkvanskerTilpasset opplæring har nærmest blitt et pedagogisktrylleformular. Svaret er ”mer tilpassetopplæring” nærmest uansett hva problemet er.Men skal dette øke elevenes mestring av matematikken,må vi gi den tilpassede opplæringenet konkret innhold og vi må utforme den påbakgrunn av hva vi ønsker eleven skal lære ogdet eleven har muligheter til å mestre.Risikoen er stor for at begrepet tilpasset opplæringblir et utvannet begrep og da uten verdifor de elevene som faktisk trenger en tilpasning.De elevene som krever mer enn vanlig tilrettelagtopplæring, risikerer å få dårlig hjelp [3].Svært ofte tolkes nemlig den tilpassede opplæringensom en langsommere progresjon medenklere stoff. En slik tilpasning vil ofte være tilliten hjelp for elever med matematikkvansker.Mange står igjen …De siste månedene har vi fått resultatene fraPISA 2006 og PIRLS 2006. Norske elever gjørdet dårlig i matematikk og faktisk dårligere enntidligere.Mange av avgangselevene i grunnskolensynes å ha stagnert i sin faglige utvikling. Forskningfra Sverige [2] tyder på at om lag 15 % avavgangselevene har en matematisk ferdighet og2Olav Lunde, Sørlandet kompetansesenterolav.lunde@lyse.netforståelse som tilsvarer gjennomsnitt i 4. klasse.Det er rimelig å tro at vi ville finne noenlundedet samme også i Norge. Disse elevene har stoppetopp i sin matematiske utvikling. Da nytterdet lite med en tilpasset opplæring basert pålangsom progresjon.”Og ingen stod igjen” er den ambisiøse tittelenpå St.m. nr. 16 (2006–2007). Jeg er ikkeoverbevist om at løsningene som skisseres derom tilpasset opplæring, vil endre situasjonen. Viser nå en viss skepsis mot det amerikanske ”NoChild Left Behind” programmet [4].Skaper den norske skolen tapere?Ja, mye tyder på at vår måte å gi tilpasset opplæringpå ikke hjelper elevene, men tvert om gjørdem til tapere [13]. Jeg tror det er tre årsakertil dette:For det første klarer vi ikke tidlig nok åoppdage de elevene som er i ferd med å utviklematematikkvansker. Det kommer trolig av atskolen og PPT har for dårlig kjennskap til slikevansker, og ikke ser kjennetegnene tidlig nok. Itillegg har jeg inntrykk av at det er en ”vente ogse” holdning. En kan nesten si at i stedet for åtilpasse undervisningen, utsetter en den.Vi kommer også altfor sent i gang med hjelpetiltakene.Vanskene har fått vokse. Den manglendemestringen av grunnleggende matematikkbidrar til å skape nye vansker, ikke minstved at elevens tro på seg selv blir redusert [6].2/2008 tangenten

For det tredje mener jeg at utformingen avhjelpen når den endelig gis, er for generell. Ognår eleven ikke lærer, begynner vi å snakke omat eleven må ha ”ansvar for egen læring”. Vi måikke glemme at det er skolen som har ansvaretfor å utforme en undervisningssituasjon someleven lærer i og utvikler seg faglig i.Dette krever ressurser og en bevisst utformingav hjelpen. Elevene blir gjerne testet, menofte brukes testresultatene bare som dokumentasjonpå at eleven er svak faglig. Vi ser i norskskole en øking i bruken av assistenter i stedet forlærere (NRK-nyhetene 19.12.2007). Assistenterer neppe i stand til å gjennomføre et pedagogisktilpasset opplegg for elever med matematikkvansker.Hva er matematikkvansker?Det er et uklart begrep, og det er uklart hvormange elever som bør få denne betegnelsen. Derer likevel noen kjennetegn som går igjen [5].For det første er det å ha matematikkvanskerikke stabilt over tid. For det andre ser det ut tilå være et gjennomgående trekk at disse elevenehar vansker med telling og nøyaktig og automatiskgjenkalling av grunnleggende aritmetiskekombinasjoner, f. eks. å regne ut 6 + 3. Og fordet tredje ser det ut til at en forsinket språkogleseferdighet senker tilegnelseshastigheteni matematikk og slik skaper vansker, spesielt ialderen 6–7 år.Mange av elevene med matematikkvanskerstrever med å kunne sammenligne to tall og sihvilket av dem som er størst, f. eks. 3 og 9. Debruker primitive og tungvinte tellestrategier oghar vansker med raskt å ”se” antall i en mengde,f. eks. 5. Korttidsminnet er svakt og de strevermed å kunne gjenta tallserier (f. eks. 4–7–2),spesielt baklengs.Alt dette har blitt sammenfattet i uttrykket”number sense” eller tallforståelse på norsk.De senere år ser vi stadig større oppmerksomhetrundt dette [14]. Det defineres på sværtulike måter, men vesentlige trekk er telling,kunne navngi tallene, huske tall og bruke demi hverdagssituasjoner. Elever med matematikkvanskersynes å ha en svak tallforståelse. Dettesamsvarer med hva forskning beskriver som degrunnleggende matematiske funksjoner, nemligtelling, oppfatte antall, kunne sammenligne totall, plassverdi, enkel aritmetikk og estimeringav tall, mengder og størrelser ellers.Hva er tilpasset opplæring?Dette ser ut til å være et vanskelig spørsmål.Siste året har vi fått i alle fall tre store artikkelsamlingersom prøver å svare på dette. 1 Jegsynes det blir mange fine ord. Hvis det hele erså enkelt, hvorfor er det da så vanskelig å forklarehva det er? Utdanningsdirektoratet sier ien brosjyre fra 2007: 2Tilpasset opplæring innebærer blant annetvalg av metoder, lærestoff og organiseringfor å sikre at den enkelte utvikler grunnleggendeferdigheter og når kompetansemålene.Dette forutsetter at opplæringssituasjonentilrettelegges på individ- oggruppenivå. Tilpasset opplæring innebærerikke at all opplæring individualiseres, menat alle sider av læringsmiljøet tar hensyn tilvariasjoner hos dem som får opplæringen.Som ledd i tilpasningen av den vanlige undervisningenbør skolen iverksette tiltak uten at detforeligger en sakkyndig utredning, og innenforskolens ordinære ressursrammer. Disse tiltakenekan være av ulik art, som for eksempelbedre bruk av delingstimer til tolærersystemeller gruppedeling. Dersom skolen arbeiderbevisst med generell tilrettelegging, vil enkunne begrense antall elever som får behov forspesial undervisning. Om spesialundervisningensier departementet: 3For enkelte elever vil likevel ikke en tilpasninginnenfor rammen av vanlig undervisningvære nok til at de får et tilfredsstillendeutbytte av det ordinære opplæringstilbudet.Da aktualiseres behovet fortangenten 2/2008 3

spesialundervisning. Det innebærer en meromfattende individuell tilpasning, somblant annet kan omfatte avvik fra regleneom innholdet i opplæringen slik det gårfram av læreplanverkene for skoleslagene.Det blir da en glidende overgang mellom det vikaller tilpasset opplæring og spesialundervisning.Skreddersøm eller konfeksjon?Mye av den tilpassede opplæringen og spesialundervisningeni matematikk er basert på ateleven skal ”lære det han ikke kan” basert påden samme undervisningsformen som vi vetikke fungerte første gang. Dette spissformuleresofte med at ”det som er god undervisningfor elever med lærevansker, er god undervisningfor alle”. Jeg er ikke sikker på om vi kan snuutsagnet og tro at den undervisningen som erutformet med tanke på alle elevene, er god forelever som har matematikkvansker. Det er detMjøs [12] kaller konfeksjon. Vi henter oppleggenefra ferdig hyllevare.Mellin-Olsen [11] påpekte at det eneste vimed sikkerhet vet om en elev med matematikkvansker,er at han ikke har lært på den måtenhan har fått undervisning på. Men han har lærtat han ikke lærer på den måten. Til flere likhetstrekkdet er mellom første og andre møtet medmatematikken, desto mer hemmende virkninghar det på læringsutbyttet. Da må vi utforme enannerledes matematikk basert på denne elevenssituasjon. Jeg tror det er kjernen i den tilpassedeopplæringen. Det er dette Marit Mjøs kaller forskreddersøm. Kartleggingen blir da å ta de målsom er nødvendige for å lage skreddersømmen.Jeg tror vi må ta tre slike mål: 1) En fagmatematiskfunksjonsanalyse 2) En kognitiv funksjonsanalyseog 3) En sosiologisk basert mulighetsanalyse.Den fagmatematiske funksjonsanalysenVanligvis lager en den tilpassede opplæringenut fra en oppfatning av hva eleven mestrer4Figur 1eller ikke mestrer i de ulike fagene. Det vil si atoppmerksomheten rettes mot det pedagogiskeproduktet. En stiller spørsmålet: ”Hvordanklarer eleven posisjonssystemet?” ”Hvordan erforståelsen av desimaltall?” Oppmerksomhetenrettes mot selve regnefunksjonen. Dette kallesden funksjonsanalytiske angrepsmåten og det erden som dominerer i den pedagogiske praksiseni Norge.Det er når en elev viser svikt i den helt grunnleggendetallforståelsen, at vi hurtigst mulig måsette inn hjelpetiltak. For å avdekke slik svikt,bruker vi ofte ulike tester. Den nyeste og mestomfattende er ”Alle teller” [10]. Her kartleggestre sentrale områder: Tallforståelse, forstå regneoperasjonerog beregninger. I tillegg er det enomfattende håndbok med forslag til tiltak. Ogsåde mye brukte M-prøvene kan gi en slik fagligfunksjonsanalyse.Den kognitive funksjonsanalysenInnen testteori har en i det siste begynt å studereselve læringsprosessen for dermed å kunne sinoe om hvordan undervisningen bør tilrettelegges.En undersøker hvordan eleven arbeider ogtenker, bl.a. for å finne ut hvor mye og hva slagshjelp han trenger. Dette kalles ofte ”dynamisktesting”. Dette ser ut til å gi et bedre grunnlagfor at eleven skal få et godt utbytte av den spe-2/2008 tangenten

Figur 2sialpedagogiske hjelpen.Enkelt kan vi si at tradisjonell testing ogkartlegging konsentrerer seg om de tre øverstedelene av globen i figur 1, mens den dynamisketestingen og kartleggingen konsentrerer seg omde tre nederste delene.Den aller enkleste formen for dynamiskkartlegging er vist i figur 2. 4 Bruk et enkelt arkog skriv et tall øverst. Dette velger du ut frahva du mener kan passe for eleven. I figuren ertallet 100 valgt. Så ber du eleven lage så mangeoppgaver han/hun kan der svaret blir 100. Deresnakker sammen om hvorfor det blir slik, ogeleven forklarer deg hvordan han/hun tenker.Du kan gjerne spørre om ”Hvordan tenkte dunå?” når eleven lager en oppgave. Det sentralei dette er dialogen, og at eleven gjennom dialogenkan få hint og hjelp om hva som skal gjøres.Det er derfor fint at tallet velges slik at det blirnoen feil. Feilene er viktige utgangspunkt for åkartlegge tenking, holdninger og tidligere erfaringer.I Norge foreligger et omfattende oppleggfor dynamisk kartlegging i matematikk byggetsammen med det å utforme en tilpasset opplæring[7][8]. Det består av en oversiktskartleggingog 14 små deltester som hver for seg prøverå gi et bilde av bestemte kognitive funksjoner.Det som kjennetegner dynamisk kartlegging,er at alle skal få rett svar! Du som lærerskal hjelpe eleven til å få det til. Da får du etinntrykk av hva slags hjelp det er denne eleventrenger for å mestre oppgaven, samt omfangetav denne hjelpen. Sagt på en annen måte, kan visi at dynamisk kartlegging beskriver det Vygotskykaller ”den nære utviklingssonen”. Og vi vetat det er i denne nære utviklingssonen at læringofte skjer best.MulighetsanalysenDet tredje målet vi må ta for å lage tilpassetopplæring etter skreddersøm, er å analysereden situasjonen eleven er i [9]. Jeg tror det ertre faktorer vi må se på da.Vi må danne oss et bilde av hvordan detførste møtet med matematikken var. Hvordanvar læringssituasjonen? Hvilken lærebok blebenyttet, hvilken metodikk? Fikk eleven noenform for hjelpetiltak?For det andre må vi danne oss et bilde avtangenten 2/2008 5

elevens sosiale situasjon. Det vil si hvordaneleven mestrer sin situasjon i samspill medomgivelsene. Hvordan er forholdet til lærerne?Hvordan er forholdet til medelever? Får elevenhjelp fra foreldrene? Hva er eleven interessert iog deltar i på fritiden?Det tredje vi må danne oss et bilde av, er skolensdidaktiske kompetanse. Hvordan er denplanen som skolen arbeider etter? Hvordan erlærernes kompetanse innen matematikkfaget?Hvordan organiseres hjelpetiltak / spesialundervisning?Har skolen spesialpedagogisk kompetanse?Hvilket materiell og utstyr har skolen?Den didaktiske kontraktenI undervisningssituasjonene oppstår det alltidet samspill mellom de involverte. Det er gjensidigeforventninger, oppfatninger, holdningerog rammebetingelsene disse skal fungere i. Oftekaller en dette for den didaktiske kontrakten[1]. Alle disse tre analysene er viktige deler i enslik didaktisk kontrakt. Når denne endres, vilofte eleven motsette seg endring og forsøke åopprettholde den opprinnelige kontrakten. Nårlæreren opplever slik motstand fra elevens side,kan det lett medføre usikkerhet hos læreren. Daer det lett å vende tilbake til den gamle kontrakten– den vi vet at denne eleven ikke lærer i.Vi har vært flinke til å foreta faganalyse imatematikken. Vi har gitt elevene tester ogkartlagt vansker. Til dels har også skolen, oftemed hjelp av PPT, foretatt en kognitiv analyseog vurdert læringspotensialet hos eleven.Hver av de tre analysene alene gir etter minmening galt resultat. Altfor mye av den tilpassedeopplæringen i matematikk i skolen erbasert på en ren funksjonsanalyse med basis iallmennpedagogikk. Da blir en værende i dengamle didaktiske kontrakten.Det er meget sjelden at skolen foretar enmulighetsanalyse og bruker den informasjonennår de skal utforme den nye undervisningssituasjonen,dvs. gi tilpasset opplæring. Det sentraleer hvilke situasjoner som er nødvendigefor denne eleven for at matematisk læring skal6skje. Sannsynligvis er det dette som gjør at vifinner meget store forskjeller mellom klasser ogskoler mht. elevenes læring. Dessverre finner vilite forskning rundt mulighetstrukturen foreleven.Hvordan skal en da undervise?Ved utformingen av tiltakene for elever medmatematikkvansker, er ofte det viktigste åskape trygghet, tro på egne muligheter og selvtillithvor samspillet lærer-elev blir annerledesenn tidligere. Det blir å lage en ny ”didaktiskkontrakt” som er preget av konstruktivistisklæringssyn. Da legger en vekt på aktiv tenkingog refleksjon. De interne kognitive prosesseneog det ytre miljøet henger sammen.Vi kan skille mellom to ulike retninger nårvi skal utforme selve undervisningen. Den enekan vi kalle direkte instruksjon. Den er preget avoppgaver gitt av læreren, bruk av faste modellerog algoritmer. Vekten legges på den prosedyremessigedelen, på faktakunnskap og automatisering.Eleven må lære det vi kan kalle tellestrategierog læreren viser direkte hvordan dette er.Ved subtraksjon skal eleven lære å veksle ogalgoritmen for dette vises, forklares og elevenskal så bruke den.Hvis undervisningen utformes som strategiinstruksjon,blir arbeidet mer preget av måterå lære og å huske på, f. eks. huske tallfakta ogbruk av gjenkallingsstrategier innen telling ogde fire regningsartene hvor eleven selv oppdagerdette. Vekten legges på den begrepsmessigedelen ved at eleven i størst mulig grad selv oppdagerog setter ord på oppdagingene.Ofte vil en strategiinstruksjon også omfatteen rekke av de vanlige aktivitetene eleven gjør.Det legges en slags ”tallstruktur” på hverdagen.Det kan være å bruke avrivningskalender ogabakus som illustrasjon på sifferplasseringen idato og navngi datoen tallmessig, nummerereordensmannsfunksjonen og oppgavene elevenehar da med f. eks. ordenstall (første oppgave,andre oppgave), måle opp klasserommet, hentemelkekartonger (og telle opp hvor mange ved å2/2008 tangenten

samspill mellom disse toformene for kunnskapmedfører trolig at det blirvanskelig å hente framinformasjon fra langtidsminnet.Denne framhentingener meget viktig formatematikkmestringen.Figur 3trekke fra de som kanskje er syke, ikke skal hamelk osv.) og klassifisere knapper og stein ogmye annet som skjer i klasserommet.Samspillet mellom det å kunne fremgangsmåtenei matematikk (prosedyrekunnskap) ogdet å forstå hva som gjøres (konseptuell kunnskap),er viktig. Problemstillingen er ikke åbruke den ene fremfor den andre, men å lageet samspill mellom dem og veksle mellom dem.Vekten bør ofte legges på strategiundervisning.Strategiinstruksjon gir både prosedyrekunnskapog konseptuel kunnskap.Balansen mellom prosedyrekunnskap ogkonseptuel kunnskap er en del av målsømmenfor den tilpassede opplæringen. ManglendeStart medhverdagsmatematikken!Elever med matematikkvanskermå mestre degrunnleggende funksjoner(telling, tallforståelse,enkel aritmetikk) ogderetter en forståelse avmatematikk i hverdagen.Hverdagsmatematikkenhar tre hovedområder.Det første er kjennskaptil og bruken av matematiskinformasjon. Detkan f. eks. være knyttettil matoppskrifter, brukav dato, tid og klokke,tog- og busstabeller, forståværkart og fotballtabeller.Det andre områdetdreier seg om det å kunne regne og bearbeidematematisk informasjon. En sjåfør bør kunnevurdere fri høyde under en jernbanebro ut fraskilting og viten om høyden på egen bil. Det erviktig å kunne anslå avstander på et vegkartbasert på viten om målestokk, forstå arbeidstegningerog forholde seg til bank utskrifter,selvangivelse og pengebruk.Det tredje området omhandler det å trekkeut resultat og kommunisere matematisk informasjon.En bør kunne regne om valuta, diskutereulike reisemål i forhold til pris og anneninformasjon og drøfte dette med andre.Figur 3 illustrerer hvordan dette kan gjøresfor en elev på 4. årstrinn med store vansker itangenten 2/2008 7

Mål:Finne fellesnevner. Multiplisere og dividere brøker. Gjøre om mellom brøk og desimaltall ogprosent. Finne prosentdelenBlå løype Gul løype Rød løypeOppgaver Oppgaver Oppgaver10.73 b) c) 10.74 a) 2.16 2.252.34 2.35 2.38 a) 2.46 2.52 2.582.64 2.75 2.79 3.1 3.2 3.3 3.43.9 3.12 3.1610.73 10.77 2.41 2.42 2.44 2.462.47 2.53 2.54 2.58 2.59 2.602.61 2.66 2.67 b) c) 2.75 2.782.80 2.82 3.3 3.5 3.9 3.12 3.193.21 3.2510.77 10.80 a) c) 2.45 c) d)2.49 2.50 2.54 2.55 2.60 2.632.66 2.70 2.71 2.72 2.73 2.752.78 2.80 2.82 2.96 3.8 3.9 3.123.19 3.22 3.25Figur 1: Eksempel på arbeidsplan i matematikk. Hvor mange oppgaver er felles for de tre løypene?10ferensiering, noko som kan føre til bådeei sosial og ei fagleg frag mentering; alledriv med sitt. Men ei slik praktisering avopplæringstilpassing strir mot kravet om atlæringsmiljøet skal vere inkluderande.Det finnes gode grunner til å være på skeptisktil en slik individualisering. Birkemo [3]skriv er i et tidligere nummer i Tangenten omresultatene fra The International School EffectivenessResearch Project. I dette prosjektet haren funnet en negativ korrelasjon mellom tidensom blir brukt på individuelt arbeid og hvilketfaglig utbytte elevene får. Dess mer tid som blirbrukt på individuelt arbeid, dess mindre fagligutbytte får med andre ord elevene.I PISA+ prosjektet er et av de sentrale funneneat «matematikktimene er hovedsake ligsentrert rundt lærerstyrt instruksjon/gjennomgangog individuell oppgaveløsning. Innslagetav individuell oppgaveløsning er i vårtmateriale påfallende høyere enn i tidligereundersøkelser.» [11] Det hevdes videre at «helklassesamtalensom et særegent kollektivt romfor meningsutprøving og læring er imidlertidlite systematisk utnyttet.» Det pekes videre påat bruk av arbeidsplaner har vært med på å økeindividualiseringen i norsk skole.Hva skal tilpasses?Hvorfor skal vi være kritisk til denne individualiseringen?På figur 1 vises et eksempel på enarbeidsplan. Her er det laget tre løp som eleveneskal velge (eller blir tildelt). Blå løype er for deelevene som sliter mest med faget, mens rød erfor de «flinkeste». Her er det valgt ut oppgaversom er tilpasset elevene. Således er oppgavenepå blå løype lettere enn de på rød. Svakhetenmed en slik differensiering ser vi når vi leteretter oppgaver og utfordringer elevene har hattfelles i gruppen. Her er det kun to oppgaver somalle elevene har jobbet med! Det blir således etproblem for læreren å ha felles oppsummeringerog diskusjon i klassen ut fra en slik måte å organisereundervisningen på. Et annen moment erhvilke oppgaver eleven faktisk jobber med. Deter vår erfaring at de såkalte svake elevene oftestjobber med rutineoppgaver og terping på reglerog prosedyerer, mens de «sterke» elevene i tilleggkan få jobbe med problemløsningsoppgaver.Det siste er et kritisk punkt. Er det greit atnoen elever får jobbe kun med regler og prosedyrermens andre også får jobbe med andresider ved faget? Og kan vi forvente at elever somikke har mestret det mest grunnleggende somprosedyrer og fakta skal kunne jobbe med matematiskeproblem av en mer utforskende art? Deter vår erfaring at også elever som sliter i fagethar stor glede av mer utforskende oppgaver.Lester [4] påpeker at «de fleste elever tjener påsystematisk undervisning i problemløsning».I beskrivelsen av de grunnleggende ferdig-2/2008 tangenten

«Ren» matematikk,uten noen praktiskanvendelseRike problemVi har tidligere nevnt at alle elever kan profiterepå en systematisk undervisning i problemløsning.Noen vil kanskje synes at dettevirker litt ambisiøst når de tenker på de svakesteelevene. Men hva mener vi egentlig når vitaler om de «svakeste» elevene? Svak est i hva? IKOM-prosjektet inndeles matematisk kompetansei 8 kompetanseklasser. Disse er (1) tankegangskompetanse,(2) problembehandlingskompetanse,(3) resonnements kompetanse(4) modelleringskompetanse, (5) Symbol- ogformalismekompetanse, (6) representasjonskompetanse,(7) kommunikasjonskompetanseog (8) hjelpemiddelskom petanse, se [12]. Nårvi snakker om de svake elevene, så har jeg enmistanke om at vi som oftest mener de som ersvake i symbol- og formalismekompetanse. Deter min erfaring at elever som ikke er så sterk idenne kompetansen, likevel kan ha sin styrke iandre typer kompetanser.Det sier seg selv at dersom vi gir en «svak»elev en oppgave som forutsetter en høy kompetansenår det gjelder symbol- og formalismekompetanse,så vil han eller hun raskt stå fast.Derfor har Hedren mfl. [10] innført begrepetrike problem. Et rikt matematisk problem karak-«Semi»-anvendelser avmatematikkenEkte, reelleanvendelser avmatematikkTradisjonellematematikkoppgavermed et entydig fasitsvar(1) (2)(3) (4)(5) (6)UndersøkelseslandskapFigur 2: Skovsmoses inndeling i ulike oppgavetyper. Tatt fra [5].hetene står det at «å kunne rekne i matem atikkutgjer ei grunnstamme i matematikkfaget. Dethandlar om problemløysing og ut forsking somtek utgangspunkt i praktiske, daglegdagse situasjonarog matematiske prob lem.» Vi har såledesikke mandat til å kutte ut denne siden vedfaget for enkelte av elevene. Spørsmålet er dahvordan vi kan få dette til. Er det slik at vi førstmå terpe på grunn leggende regneferdigheterfør vi kan gi elevene mer utforskende problem?Det er min overbevisning at det er mulig å læregrunnleggende regneferdigheter gjennom merut forskende oppgaver.Ole Skovsmose har innført begrepet undersøkelseslandskapsom et alternativ til det hankaller for oppgaveparadigmet. Det siste karakterisererBotnen [5] som «tradisjonelle matematikkoppgavermed entydige fasitsvar». Skovsmosepresenterer seks ulike typer opp gaversom vist på figur 2.Vi kan selvsagt ikke gå i detalj på de ulikeoppgavetypene i denne artikkelen. Mitt poeng erat en godt tilpasset opplæring ikke er begrensettil (1), (3) eller (5) i figur 2, men at alle elevenemå få jobbe med alle typer oppgaver. Et viktigmoment i et undersøkelseslandskap er deninteraksjon som skjer mellom elever og faget. Viønsker at elevene skal kunne stille matematiskespørsmål og i fellesskap med andre «vandre» idet matematiske landskap.tangenten 2/2008 11

at elevene skal forlate ulike typer representasjoner til fordel for mer abstrfaglige stoffet blir løftet opp og generalisert.FormellGenerellHenvisendeFigur 3: Her jobbes det med ulike typerrepresentasjonerSituasjonsbetingetteriseres ved:Figur 4: Matematikk på ulike plan [7]Figur 4: Matematikk på ulike plan [7]1 Problemet skal introdusere viktige matematiskeidéer eller visse løsningsstrategier. skole jobbet med:2 Problemet skal være lett å Jeg forstå trorog atalle samtalen skal og utveksling av ideer i en større gruppe vil være avha en mulighet til å arbeide dette til. med Vi det. ønsker å brukeSolid problemene idrettslag til eier å jobbe halvparten videreav med Solidhuset.Trott har kjøpt 1/3. Kommunen eierde matemati3 Problemet skal oppleves som en utfordring,kreve anstrengelser og ta tid.resten. Hvor mye er det?4 Problemet skal kunne løses på flere måter,med ulike strategier og representasjoner. Oppgaven, slik den her 5 er formulert skrift-5 Problemet skal kunne initiere en matematiskdiskusjon med utgangspunkt i elevenesløsninger som viser ulike typer strategier,representasjoner og matematiske idéer.6 Problemet skal kunne fungere som brobyggermellom ulike matematiske områder.7 Problemet skal kunne lede til at elever oglærere formulerer nye interessante problem.En god lærer vil alltid være på jakt etter problemersom bærer flere av disse karakteris tikkene.Det viktigste å trekke fram her er at det er lavinngangsterskel til slike problemer. Alle eleveneskal kunne bidra med noe. Det skal også væreknyttet til det faglige tema som jobbes med,slik at det ikke blir et kunstig skille mellom deoppgaver som er på for eksempel arbeidsplanenog problemoppgaven som det jobbes med. Deter også viktig at det er mulig å jobbe med problemetmed ulike typer representasjoner. Detmå ikke være slik at vi legger føringer på hvilketyper representasjoner som skal brukes. Her eret eksempel som elever på femte trinnet ved enlig, legger opp til å bruke abstrakte symboler(«1/3»). Derfor vil en slik oppgave passe bestå gi muntlig. Da blir det ikke lagt føringer forelevene. Alle elevene som fikk denne oppgavengikk løs på den med høy motivasjon sidenalle hadde et eigerforhold til problemet (Solididrettslag står sterkt i denne bygda) og siden defikk mulighet til å bruke de representasjonenesom passet dem. Noen brukte derfor konkretiseringsmateriell(se figur 3) mens andre prøvdeseg med abstrakte symboler. Vi ønsker ikke atelevene kun skal finne et svar på en slik oppgaver.Vi ser at denne oppgaven introdusererviktige matematiske idéer. Disse vil vi så jobbevidere med.Freudenthals begrep Realistic MathematicsEducation (RME) er relevant her. I RME talesdet om modeller av en situasjon og modeller foren situasjon. Gravenmeijer [8] gir et eksempelmed divisjon. Man kan tenke seg at på førstenivå så vil divisjon være knyttet til en situasjon.Det kan være å dele godteri. Barna vil her utførevisse strategier i den gitte situasjonen. På nestenivå kan samme divisjon bli knyttet til tegnin-122/2008 tangenten

VertikalmatematiseringRammeverk avmatematiskerelasjonerReellekonteksterHorisontalmatematiseringMatematiskmodelleringFigur 5: Freudenthal (og Trefers) matematisering i to dimensjonerger eller andre representasjoner av den konkretesituasjonen. Så kan vi tenke oss at barna på nestenivå jobber med regnestykket fra et matematisksynspunkt. Her er det tallene og strategier meddisse som står i fokus. Til slutt, på det fjerdenivå, vil barna jobbe med ulike algoritmer fordivisjon. Dette kan illustreres som på figur 4.Det er viktig å poengtere at vi ikke ønsker atelevene skal forlate ulike typer representasjonertil fordel for mer abstrakte, men at det fagligestoffet blir løftet opp og generalisert.Jeg tror at samtalen og utveksling av idéeri en større gruppe vil være avgjørende for å fådette til. Vi ønsker å bruke problemene til åjobbe videre med de matematiske idéene/strategiene.Derfor er det viktig å bruke god tid i klassenpå å jobbe videre med problemet. La elevenefå vise sine strategier og idéer. Bjørnar Alseth[1, s. 24] poengterer «at det er svært viktig forden matematiske læringen at elevene ikke blirværende i situasjonen, men at de får hjelp til åtrekke matematikken ut av de praktiske forholdenesom situasjonen har skapt.»Det er mange lærere som legger vekt på atde «svake» elevene må få jobbe praktisk medmatematikken. Det er i og for seg bra. Men deter problematisk om det forblir med denne praktiskematematikken. Det er nødvendig for alleelever å få løftet matematikken opp på et høyereplan, slik som vist på figur 4. Ellers vil det blivanskelig for elevene å kunne overføre det dehar lært i en situasjon til det de har lært i enannen.Trefer (og senere Freudenthal [7]) taler såledesom horisontal og vertikal matematisering.«Horisontal matematikk handler om å bevegeseg fra virkelighetens verden til symbol enesverden, mens vertikal matematikk handler omå bevege seg inne i symbolenes ver den.» Detteer illustrert på figur 5.Mitt poeng er derfor at det ikke er nok atelevene sitter individuelt og jobber med oppgaver.I en god tilpasset undervisning er detviktig at ting blir tatt opp til diskusjon i klassenog at matematikken blir drøftet og diskutert ifellesskapet. På den måten kan vi få til en slik«vertikal matematisering».Ingen kongevei til matematikkenÅ undervise i matematikk er en krevende jobb.Elevene vi jobber med er ulike på mange måter,og matematikken vi ønsker at de skal lære harmange aspekter ved seg som må tas hensyn til.Det er mulig at stegark, målark, arbeidsplanerosv. kan hjelpe noen elever i enkelte områder vedfaget, men en bør være kritisk til enkle «løsninger»på utfordrin gen med tilpasset opplæring.Det er ikke noen snarvei til tilpasset opplæring.Peder Haug og Kari Bachmann [9] skriver:tangenten 2/2008 13

14Poenget vårt er at tilpassa opplæring korkjekan sikrast gjennom lærarstyrte ellerelevaktive arbeidsformer i seg sjølv, korkjegjennom individuelt ele varbeid eller gjennomfellesaktivitetar i grupper og klasser,korkje gjennom lærarautonomi eller sentralstyring. Ingen måte å arbeide på som ervanleg i skulen er i utgangspunktet korkjegod eller dårleg, alt avheng av korleis detvert arbeidd.Det er altså måten læreren jobber med elevenepå som er viktig når alt kommer til alt. Det gåraltså ikke an å organisere seg til tilpasset opplæring.Litteratur[1] Alseth, B. (1998): Matematikk på småskoletrinnet.Nasjonalt læremiddelsenter.l[2] Berg, G.D., Nes, K. (2007): Kompetanse fortilpassa opplæring. kva kom petanse, ogkvifor? ein introduksjon. I Kompetanse fortilpassa opplæring, sidene 5–14. Utdanningsdirektoratet.[3] Birkemo, A. (2003): Hvilke arbeidsmåter girbest læringsutbytte i matematikk? Tangenten,1[4] Björkquist, O. (2003): Matematisk problemløsning.I Barbro Grevholm, red, Matematikkfor skolen, kapittel 2. Fagbokforlaget.[5] Botnen, G. (2003): Meningsfyllt matematikk–nærhet og engasjement i læringen. Casparforlag, 2. utgave.[6] Forskning, nr. 7 1999[7] Freudenthal, H. (1991): Revisiting mathematicseducation: China lectures. KluwerAca demic Publishers, Dordrecht, Boston.[8] Gravemeijer, K.P.E. (1994): Developing RealisticMathematics Education. Technipress,Cu lenborg.[9] Haug, P., Bachmann, K. (2007): Grunnleggjandeelement for forståing av tilpas saopplæring. ei utdanningspolitisk og didaktiskramme. I Kompetanse for tilpassaopplæring, sidene 15–38. Utdanningsdirektoratet.[10] Hedrén, R., Taflin, E. og Hagland, K. (2005):Vad menar vi med rika problem och vad ärde bra till? Nämnaren, (1): 36–41.[11] Klette, K. og Lie, S. (2006): Sentrale funn.foreløpige resultater fra PISA+ pros jektet.www.pfi.uio.no/forskning/forskningsprosjekter/pisa+/publikasjoner.htmllest220208[12] Niss, M. og Jensen. T.H. (red.) (2002):Kompetencer og matematiklæring: ideer oginspiration til udvikling af matematikundervisningi Danmark, Uddan nelsesstyrelsenstemahæfteserie; nr. 18, København, Undervisningsministeriet.(fortsatt fra side 1)I videregående skole har vi de siste årene settnivådelte klasser i matematikkfaget. Nå finner viogså ungdomsskoler med tilløp til mer permanentnivådeling som et ledd i arbeid med tilpasset opplæring,se Skiples debattinnlegg i dette heftet. Pådenne måten kan de løsninger skolene velger forå arbeide med tilpasset opplæring prege skolensprofil og fortelle elever og foreldre om viktigeprioriteringer skolen har foretatt selv om dissekanskje tøyer grensene i regelverket.Tilpasset opplæring er et politisk begrep, sierPeder Haug (se artikkel i dette heftet). Ingen kanvære uenig i at undervisningen skal være tilpasset.Samtidig er det mange måter å forstå begrepet på.Derfor er det viktig å belyse forskjellige aspekterved det for å kunne danne seg et mer helhetligbilde. I skolen blir begrepet ”Tilpasset opplæring”gjerne brukt i forbindelse med organisering ogfordeling av ressurser og timer. En kan få en forståelseav at mer individualisering av undervisningenkan være løsningen. Flere artikkelforfattere idette temaheftet tar til orde for at tilpasning ogsåkan skje ved å øke kvaliteten i undervisningen vedfor eksempel bruk av såkalte ”rike oppgaver” ellerved andre grep som tar vare på læring i et sosialtlæringsfelleskap.Vi håper at dette heftet kan berike diskusjonenom tilpasset opplæring og at leserne her vil finneargumenter og stoff for å prøve ut nye og gamletiltak for å få matematikkundervisningen til å blienda bedre.2/2008 tangenten

Olof MagneElevers behållning av målkravför grundskolanMålkrav – undervisning –inlärning – behållningMan hör folk säga: ”Alla barn ska nå målet godkändpå kursen i matte”. Vad de nu kan menamed det. Målprincipen infördes i svensk skola1994/95 och ersatte den äldre normalfördelningsprincipen.Frågor av detta slag har empirisktstuderats inom Medelsta-projektet (Magne1990, Engström och Magne 2008).Detta är ett mycket invecklat kapitel, fulltav fallgropar och fällor. Det visar sig bl.a. i desvenska kontroverserna kring skolmålen i årskurs3. Många kritiska röster har höjts om attdet går för fort och att målen är för konkretaoch styrande, säger tidskriften Skolvärlden den6 februari 2008.Skolans mening är lärarens undervisningoch undervisningen ska leda till individernasinlärning. Undervisning och inlärning är nui själva verket två fullständigt skilda världar.Kursen i läroplanen avses vara styrinstrumenteti bådadera, men regerar egentligen över ingendera.Svensk läroplan har knappast inflytandeOlof Magne,olof.magne@telia.comOlof Magne er en nestor i den svenskedebatten om matematikkvansker ogspesialundervisning. Tangenten har tidligeretrykket noen av hans artikler.I denne artikkelen diskuterer OlofMagne forholdet mellom læreplan somstyringsinstrument og elevers læring. Hanutdyper hvordan læringens kompleksitet måbeskrives gjennom andre kategorier og andretenkemåter enn det som utvikles gjennomlæreplanenes struktur og målkriterier. Hanproblematiserer hvordan en kan få innsikt ielevers beholdning (hva de har lært, kvalitativtog kvantitativt) fra et læringsperspektiv imøte med læreplanens tilnærminger, ogfremholder at læreplanforskning bør anvendemodeller fra læringsforskning når eleverslæringsutbytte skal dokumenteres. Artikkelenhar relevans for målstyringen i LK07 og norskmatematikkundervisning; den er relatert tilOlof Magnes forskning (Medesta-prosjektet)og til svensk læreplan.över annat än bedömning och betygssättningav prestationerna.Eftersom undervisning och inlärning harnära inbördes relationer till varandra, är detviktigt att fundera på vad läroplanen erbjudergenom målkraven i kursplanerna. Vad innebärmålkraven för lärarens undervisning och elevensinlärning?Med läroplanens makt över undervisningtycks det förhålla sig så, att läroplan är ettuttryck för Statens vilja att styra skolan. Någotannat har ingen hävdat. Läroplanen är en del avtangenten 2/2008 15

Statens kontroll av undervisningen och angerden stadfästa struktur som innebär determinism,dvs. yttre begränsningar som i sin turreglerar den totala verksamheten i skolväsendet.Men läroplanen kan inte styra inlärningen.Det råder indeterminism på flera punkter iundervisningen. Sålunda sägs kursplanernavara så utformade, att läraren lämnas utrymmeatt välja stoff och arbetssätt.Låt oss sedan se på inlärningen. Indeterminismenökar i individens lärande. Kursplanenkan inte ”lära ut” matematik. Ingen kan ”läraut” matematik. Inlärande sker uteslutandegenom aktivitet inom individen. Ett samspelråder mellan många separata krafter: hos matematikensjälv (M), inom den lärande individen(I) och i omgivningen (O) samt mellan dessafaktorgrupper. Krafterna samspelar till ett komplextfaktormönster (MIO). Kanske något i stilmed fysikens världsbild där man tänker signågot sådant som ett dussin tänkta dimensioner.Varför tänker inte skolan på liknande sätt?Bland annat använder sig minnesforskningen avett mångdimensionellt rum, likaså begåvningsforskningen.Hur definierar skolan matematikundervisning?De svenska skolförfattningarna saknardefinition på undervisning. Författningarnabehandlar saken indirekt ”som något lärarengör”. För min del har jag föreslagit (Magne2006) att undervisning kan definieras på följandesätt:16Undervisning ska vara en normativ interaktionmellan människor där det gällerför den undervisade individen att genomsjälvstudier aktivt lära sig specificeradeundervisningsstoff i överensstämmelse medundervisarens mål och medel.BehållningNå, hur vet vi att eleverna lärt elementen i densvenska kursplanens målkatalog?Här har inlärningsforskningen något attkomma med. Utför man ett inlärningsexperiment,börjar man med en teori (design ellermodell kring ett problem etc). Sedan omformulerarman teorins delbegrepp till praktisktutförbara uppgifter. Det kallas att operationalisera.Ett experiment konstrueras. Man vill mätahur väl försökspersoner av en viss sort lär sig ettinlärningsmaterial under bestämda betingelser.Resultatet av inlärningen fastställs i relation tillkriterier för behållningens kvantitet och kvalitet.Kriterier för elevens behållning.Om man förstår undervisning som en interaktionmellan lärare och elev innebär det attundervisarens mål och medel ska avspegla sigi att elever i en skolklass räknar korrekt. Mananlägger då ett betraktelsesätt som återfinnsi minnes- och inlärningsforskningen. Vidgenomförandet av ett behållningsexperimentuppställs ett behållningskriterium.Kriteriet kan variera. Man bestämmer exempelvisatt undervisningen ska ha målkravet attvarje elev lär sig svara 100 procent korrekt påuppgifterna inom ett entydigt stoffområde ännuen månad efter undervisningen. Alternativt skaen grupp av elever svara 100 procent rätt på engiven uppgift. En fråga som man bör ta upp,när man diskuterar operationella definitionerav undervisningen, är betydelsen av lösningsfrekvenseroch matematiska fel. Elevens behållningav undervisningen kan anses svara motuppgifternas lösningsfrekvenser. Vi kan bortsefrån snabbhetsfaktorn och begränsar kriteriettill tillförlitlighet och noggrannhet.Låt mig introducera komplexitetshypotesen(Magne 1990b). Definition: Enligt Magne-Thörns komplexitetssystem delas skolmatematikensstoff in i huvudområden och dessai sin tur i delområden (delmoment), och elevuppgifternavarierar från att ingå i ett till attvara del av flera områden. Vi talar om komplexauppgifter och enkla (elementära) uppgifter.Uppgifterna varierar kontinuerligt i gradoch art.2/2008 tangenten

Förklaring: Den första typen av behållninggäller enkla uppgiftslösningar. Många eleverpå lågstadiet klarar ut enkla uppgifter som1 + 1 = 2; 2 · 2 = 4; 1 cm =10 mm; Detta är entriangel. ”Enkel uppgift” går kontinuerligt övertill ”komplex uppgift”.Den andra typen av behållning handlar bl.a.om uppgiftslösningar av problem, till exempelgåtor som är okända, benämnda uppgifter samtautentiska problem, geometriska eller aritmetiskabevis. Lösningen svarar mot en hög tankenivå,beroende på större generalisering och mersofistikerad logisk struktur, kort sagt lösningeninnebär ökad eller mycket stor komplexitet.Exempel: Ett område ska dels avbildas, delsareaberäknas. Uppgiften tillhör två huvudområden.Eleverna har svårt att få höga lösningsfrekvenserpå uppgifter med elementa. sammansatta från flera olika huvudområdenoch delområden,b. med uppgiftslösningar i många och långasteg,c. i autentiska problem.Ska elevens kunskap enligt målprincipen varameningsfull ur det praktiska livets synvinkel,bör man hävda en hundraprocentig lösningsfrekvensför vissa prioriterade uppgiftsslag vidtiden för grundskolans slutbetyg (årskurs 9).Jag föreslår kriterier enligt målprincipen avföljande slag:1. Enkla operationera. Talskrivning och talläsning: För årskurstypiskauppgifter inemot 100 procent säkerhet.b. De enkla kombinationerna (tabellkunskapi addition, multiplikation, enheter) bör haen nära hundraprocentig säkerhet.c. Centrala termer bör anges med nära hundraprocentigsäkerhet.2. Beräkningar i de fyra räknesätten börefter kontroll uppnå nära hundraprocentigsäkerhet. Detta gäller i skolans lägrestadium åtminstone huvudräkning ochräkning med räknemaskin (dator, miniräknare)med naturliga tal, därefter medtal skrivna i decimalform och bråkform.Överslagsräkning bör approximera 100procent korrekt lösning. Eftersom förbiseendefeluppstår bör eleven behärskakontrollmetoder.3. För övriga uppgiftstyper varierar kravet påsäkerhet. Bestämda kriterier kan formuleras.Uppgifter med ett litet antal tankestegbör förslagsvis kunna lösas med ensäkerhet på 90–100 procent lösningsfrekvens.För att lösa autentiska problem ochbenämnda uppgifter ska eleven behärskaalternativa metoder.Kursplaneteori möter inlärningsverklighetKomplexitetshypotesen är en utmaning. Isvenska läroplanen Lpo 94 formuleras målprincipenså här:Huvudprincipen för betygssättningen äratt eleven skall uppfylla alla kriterier för ettbetyg.I Norge är väl bestämmelserna mindre drakoniska.Typiskt för målprincipen i all världenskursplaner är att alla ska kunna allt. Men dettaär orealistiskt.Hur använder vi komplexitetshypotesen föratt studera behållning?Empiriska belägg för behållningen av undervisningenom enkla uppgifter redovisas i figur1. Den visar de enda sex uppgifter av Medelstadiagnosernas269 uppgifter som samtligaelever bedömts ha löst hundraprocentigt korrekt.Dessa uppgifter ingår i diagnoserna förårskurs 1 (1G, 1W och 2B) samt årskurs 2 (3I,3V och 3X). I själva verket är det från komplexitetshypotesensaspekt bara de tre förstnämndasom är enkla. Hundraprocentig säkerhet kanbetraktas som indicium på att eleven upplevertangenten 2/2008 17

SKRIV TAL I RUTANÅTTA1 + 9 =1G1WSÄTT ETT KRYSS VID DET STÖRSTA TALET1001011103IHUR MÅNGA?2BSKRIV TAL I RUTORNA17 18 193V47 48 493WFigur 1uppgiften vara enkel i betydelsen lättförståelig,och detta antas vara fallet i de tre sistnämndauppgifterna. ”Enkelhet” eller ”elementärhet” ärupplevda egenskaper i uppgifterna som hängersamman med elevens subjektiva övertygelse omatt uppgiftens lösande är en enkel process.De tre uppgifterna 3I, 3V och 3X är i denmeningen komplexa att de representerar delsinsikt om antal, dels tiosystemets begrepp.En vuxen uppfattar säkert många för barnen”svåra” uppgifter som enkla. Om vi tar ”40+16= ?”, så upplevs den säkert av en vuxen somenkel. Inte desto mindre är lösningsprocentenså låg som 74 vid slutet av årskurs 2. ”20+85 =?” tycker den vuxne vara lika lätt som den föregående.Elever i årskurs 2 har emellertid bara45 procent korrekta lösningar och först i årskurs3 kommer lösningsprocenten upp till 84.De är inte lika tankekrävande som uppgiften”67 + 28 = ?” ty här ökar komplexiteten (obs!man måste begagna tiosystemet och den associativaegenskapen i addition) så lösningsfrekvensenblir inte högre än 53 procent för elevernavid slutet av årskurs 3.Låt oss se på några uppgifter som är någotmer komplexa. De uppgifter som återges härnedanför, representerar komplexitetsgraden förårskurs 4 i Sverige. De ingick i vårt testbatteri,de så kallade Medelstadiagnoserna. De användesi Medelstaprojektet år 1977, 1986 och 2002. IMedelsta år 2002 kan vi följa vissa uppgifter från18årskurs 4 till årskurs 9 (prototyper för kursplanemomenti 1994 års läroplan för grundskolan).Vi finner att behållningen av undervisningengenerellt stiger till årskurs 7 för att sedan stagnera.Eleverna i avslutningsklassen 9 når aldrig100-procentskriteriet. Se översikt i figur 2.För att sammanfatta elevernas behållning:De här utvalda uppgifterna befinner sig på enganska låg komplexitetsnivå. Behållningen ökarmed skolgångens längd. Medelsta-eleverna iavslutningsklassen stannar i dessa uppgifter på70–90-procent nivån. Undersökningarna visardessutom att bara hälften av niondeklassarnalyckas nå läroplansmålen på 70–90-procentnivån.Några elever, kanske de fem procenthögst presterande, gör utomordentliga resultat.De allra svagaste 15 procenten i årskurs 9 stannari höjd med genomsnittet för årskurs 4.Svenska skolverket har utgivit Mål för alla.Perspektiv på nationella utbildningsmål för tidigaskolår [4] med allmän information, bl.a. tvåartiklar av Siv Fischbein och Inger Eriksson.Vidare har Leif Davidsson [5] gjort en översynav grundskolans mål- och uppföljningssystem.Dessa utredningar och förslag har en beskrivandekaraktär. Kursplaneförslag om matematiki årskurs 3 har i olika omgångar översäntsfrån Skolverket till Regeringen men ännu intemedfört konkreta åtgärder.Slutsatser? Vad blir resultatet av vår gransk-2/2008 tangenten

Genomsnittlig lösningsprocent för eleverna i årskurserna 4–9 i Medelsta år 2002 i vissa uppgifter påen låg komplexitetsnivå (diagnos 8).Uppgift: Årskurs: 4 5 6 7 8 9Skriv med siffror:En miljon 57 81 92 90 94 92Subtrahera 6001 – 5061 77 90 87 88 86 85Multiplicera 8·1076 53 72 78 76 79 70Figur 2ning av målprincipens krav kontra elevernasbehållning? Min uppfattning är att det svenskamålsystemet har kollapsat. Staten har misslyckatsatt med experthjälp utforma målkrav somsvarar mot verkligheten. Medicinen kan vara attta mer hänsyn till elevernas ambition och förmåga.Vi måste låta elevernas verklighet kommai centrum för skolans målsättning.Det råder brist på studier och FOU-arbetenrelaterade till behållningen av svenska kursplaner.Vi behöver stärkta forskningsinsatser specielltmed empirisk inriktning på kursplanersgenomslagskraft och verkan på elevers behållningtill följd av läroplaners målkrav och målkriterier.Medelsta-projektet är en forskningsinsatsav detta slag.Referenser[1] Engström, A. & Magne, O. (2008) MedelstamatematikIV. En empirisk analys av Skolverketsförslag till mål att uppnå i matematiki årskurs 3. Under utgivning.[2] Magne, O. (1990) Medelsta-matematik. Hurväl behärskar grundskolans elever lärostoffetenligt Lgr 69 och Lgr 80? Malmö:Lärarhögskolan.[3] Magne, O. (2006) Bidrag till frågan ommatematikundervisningens teori. s. 45–55.I: L. Häggblom, L. Burman & A.-S. Röj-Lindberg (red.) Perspektiv på kunskapensoch lärandets villkor. Vasa: Åbo Akademi.[4] Skolverket (2007) Mål för alla. Stockholm:Skolverket.[5] SOU 2007:28. Tydliga mål och kunskapskravi grundskolan. Förslag till nytt mål- ochuppföljningssystem. Betänkande av Utredningenom mål och uppföljning i grundskolan.Stockholm: Utbildningsdepartementet.matemania er gratis!Fra mars 2008 er nettstedet matemania åpnet for gratis bruk,både i mellom- ogungdomstrinnversjonen.Bruk dette iundervisningen!www.matemania.notangenten 2/2008 19

Tilpassa opplæringi fagleg homogenegrupperDei siste åra har me ved Hop ungdomsskule iBergen prøvd ut ein modell for ei reell, organisatorisknivådeling i matematikk. Denne ”Hopmodellen”vil eg i det følgjande gjera næraregreie for. For ordens skuld, det er berre i matematikkfagetat elevane ved vår skule er delt igrupper etter fagleg nivå.Intensjonen vår med nivådelinga har vore ågje elevane ein betre matematisk kompetanse,enn den dei ville fått om dei hadde gått i vanlegesamanhaldne klassar. Men me har halde på meddette i alt for kort tid til å dra klare konklusjonar,difor vert dette berre ei personleg oppsummering.Som matematikklærar syntest egdet har vore svært tilfredsstillande å undervisai meir fagleg homogene grupper. Før me startaforsøket med nivådeling hadde eg undervistfemten år i samanhaldne klassar. Det var frustrerande,fordi krava i læreplanen gjorde at egofte var tvungen til å undervisa over hovudetpå dei svake elevane. Med nivådeling føler egat undervisninga er blitt betre for dei svake elevane.Dei har no sjansen til å få positive opplevingarknytt til det å vera best i klassen. Dessutaner det lettare å få dei i tale, for det er ingen20fagleg sterke elevar som ler hånleg om dei seiernoko ”rart”.Flinke elevar i matematikk har alltid hatt eitindre driv, og dei klarar seg nok meir uavhengigav korleis undervisninga blir organisert. Mensom lærar har eg no i langt større grad kunnaproblematisert lærestoffet og dradd linjer innmot meir teoretiske emne, enn eg kunne hagjort om dei hadde vore i ein samanhaldenklasse. Difor er truleg nivådeling også eit godefor dei fagleg sterke elevane.Kanskje er det dei middels flinke elevane somprofitterer minst på ei fagleg nivådeling, fordimatematikklærarane i dei samanhaldne klassarofte har lagt opp undervisninga etter det faglegenivået til denne ”gjennomsnittseleven”?I det følgjande skal eg ta for meg sjølve organiseringaav nivådelinga. Vidare skal eg freistaå svara på det mest kontroversielle spørsmålet,nemleg: Kven skal bestemma kva nivågruppeelevane skal gå i; er det elevane sjølve, er detforeldra, er det matematikklærarane eller er detkontaktlærarane? Men aller først vil eg seia littom sjølve omgrepet nivådeling.I Noreg har det vore tradisjon for den samanhaldneklassen. Då ser eg bort frå ein periodepå 60 og 70-talet, der fleire skular prøvde ut eiordning med tre faglege nivå knytt til tre ulikekursplanar i dei skriftlege faga norsk, engelskog matematikk. På Hop skule går me ikkje så2/2008 tangenten

langt i differanseringa som dei gjorde på 60 og70-talet, for elevane våre har i prinsippet densame læreplanen på dei ulike faglege nivå , deifår dei same prøvane og dei vert vurderte etterdei same kriteria.Opplæringslova av 2003 §8-2 handlar omkorleis elevane kan delast i grupper: ”Til vanlegskal organiseringa ikkje skje etter fagleg nivå,kjønn eller etnisk tilhør” (Mi utheving).Korleis skal ein då legitimera ei fagleg nivådelingi matematikk? Etter mitt skjønn lyt einbruka § 1-2 i første del av lova: ”Opplæringa skaltilpassast evnene og føresetnadene hjå den enkelteeleven, …” Alle med undervisningserfaring imatematikk vil truleg vera einig i at elevane harulike evner og føresetnader for faget, og då erdet vår plikt å tilpassa undervisninga ut frå det.Difor blir det viktig å framheva at me gjev eittilbod om tilpassa opplæring gjennom vår måteå organisera matematikkundervisninga.Hop ungdomsskule ligg i eit etablert bustadområdeom lag ei mil sør for sentrum i Bergen.Skulen er delvis rehabilitert og nybygd dei seinareåra. Inneverande skuleår er det 510 elevar,og på 10. trinnet der eg underviser har me sjuparallelle klassar med til saman 190 elevar.I matematikk er elevane delt inn i ti nivådeltegrupper. Me har fire ulike faglege nivå, der nivå4 er det høgsaste og nivå 1 det lågaste. Fordelingaav grupper er som følgjer; to på nivå 4, trepå nivå 3, 4 på nivå 2 og ei på nivå 1. For å gjedei fagleg svake elevane betre oppfølging, er detfærre elevar i gruppene dess lågare nivået er. Detbetyr at det i nivå 2 gruppene er mellom 12 og15 elevar, og i nivå 4 gruppene er det mellom 24og 28 elevar.For at ein matematikklærar skal kunnaundervisa i to grupper, har me lagt matematikktimaneparallelt med tilvalsfaga fransk og tysk.Alle elevane på trinnet er delt opp i to omtrentlike store team, A og B. Når elevane på A-teamethar matematikk, har elevane på B-teamet tilvalsfag,og så bytter dei fag timen etter. Med eislik ordning er det eigentleg nok med fem matematikklærarar,men me har av ulike grunnarsju lærarar som underviser i matematikk, og detfungerer greitt.Den skisserte organiseringa er uproblematiskså lenge det er like mange timar i tilvalsfagasom i matematikk, men på 10. trinnet erdet som kjent fire veketimar i matematikk ogtre i tilvalsfaga. Det har me løyst ved å leggjaein studietime parallelt med den eine matematikktimen.Då står det att å gjera greie for det problematiskespørsmålet. Kven skal bestemma kvagruppe elevane skal gå i, elevane sjølve, foreldra,kontaktlærarane eller matematikklærarane?Før eg gjev meg ut på eit svar på det ovanfornemnde spørsmålet, er det viktig å avklarakva som skal vera kriteriet for valet. På Hophar vi gjort det slik at det er eleven sin karakteri faget til jul, og til sommaren, som dannargrunnlaget for valet. Det betyr at vi fekk deiførste nivågruppene etter jul i 8.klasse, men atdet i 9. og 10. klasse var to ”bytteperiodar” iløpet av skuleåret. Men sjølv om det vart opnaopp for to bytte i skuleåret, viser det seg at deifleste elevane no på våren i 10. klasse går i densame gruppa som dei vart plassert i etter jul i8.klasse.Den hausten elevane gjekk i åttande klassehadde dei altså undervisning i ein vanlegsamanhalden klasse. Etter jul fekk elevane sjølvefritt velja nivågruppe ut frå ei vag anbefalingfrå matematikklæraren knytt til julekarakteren.Dette førde nok til at vala til venene, og forventningom framtidig lærar, styrde den einskildeeleven sitt val litt for mykje. Ein konsekvens vartat enkelte grupper i praksis vart lite nivådelt, tildømes sprikte karakterane frå 2 til 5 i ei av nivå3 gruppene. Ved det neste valet i 9.klasse vartdifor matematikklærarane si anbefaling uttryktklarare, den vart gjeven i skriftleg form, og detteskrivet vart og sendt heim til foreldra for godkjenning.Dette førte til at om lag 20 prosentav elevane bytta nivågruppe. Ved valet i startenav 10. klasse, og etter jul i 10. klasse, vart detdifor berre små justeringar på gruppene. Berredei elevane som matematikklærarane meintetangenten 2/2008 21

urde bytta gruppe fekk då eit anbefalingsbrevmed heim til godkjenning.Utanom dei to hovudbytta i skuleåret hardet vore nokre få andre bytte, og då gjerne etterat foreldra har engasjert seg. Det har og voreeit tilfelle der ein elev av sosiale grunnar fekkbytta til ei anna gruppe på det same nivået. Idette spesielle tilfellet kom initiativet frå kontaktlærarentil eleven, men normalt har ikkjekontaktlærarane hatt særleg innverknad på kvaelevar som skal gå i kva grupper.Sidan vi har seks karakterar, og berre fireulike faglege nivå, vil det alltid vera elevar somhamnar i ei gråsone mellom to grupper. Detopnar for skjønn, og då har ønskje frå eleven ieinskilde tilfelle blitt tatt til følgje.Kven skal altså bestemma kva gruppe elevenskal gå i? Mi erfaring er at om elevane skalvelja tilnærma fritt, vert det umogeleg å dannanokolunde fagleg homogene grupper med denønskte storleiken. Matematikklærarane lyt diforstyra vala, samstundes som foreldra får høve tilå godkjenna eller forkasta dei klare råda somvert gjevne. Og i dei tilfelle ein elev ligg veldigpå vippen mellom to ulike faglege nivå, er detrimeleg å spørja kva eleven sjølv vil.Vidare bør kontaktlærarane si rolle avgrensasttil å koma med innspel til matematikklæraranei dei tilfella der det føreligg sterke sosialegrunner for at ein elev bør gå i ei bestemt nivågruppe.Det er to grunnar til at eg vil anbefala andreskular til å prøva ut Hopmodellen. For det førsteat eg trur elevane profitterer fagleg på det, og fordet andre at eit slikt utviklingsarbeid i matematikkfører til eit auka matematikkdidaktiskmedvit hjå dei impliserte matematikklærarane.Diskusjonane har innimellom gått høgt, menutan litt ”dynamitt og dynamikk” kjem einikkje vidare.Nils Kristian Skiple,Nils.Skiple@bergen.kommune.noNYHET! MatematikkdidaktikkNettbasert videreutdanning formatematikklærere i videregående skole• Matematikkdidaktikk med vekt på brukav digitale verktøy i undervisninga(høst 2008 – 7,5 studiepoeng)• Matematikkdidaktikk med vekt på FOUi egen praksis (vår 2009 – 7,5 studiepoeng)Kursene kan tas uavhengig av hverandre.To obligatoriske samlinger i Sandvika i Bærum1.-2. september og 27. oktober 2008.Begrenset antall plasser.CICERO ev22NTNU VIDEREHent ny kunnskap der den skapesTelefon 73 59 14 33 eller 73 59 66 43E-post videre@adm.ntnu.nowww.ntnu.no/delta/didaktikk2/2008 tangenten

Geir Botten, Espen Daland, Tone DalvangTilpassetmatematikkopplæring i eninkluderende skoleDe siste tiårene har matematikkundervisningeni Norge (og i mange andre land) gjennomgåttstore forandringer. For 40–50 år siden var matematikktimenei hovedsak preget av at lærerengjennomgikk stoff på tavla, og at elevene deretterregnet side etter side i matematikkbøkenesine. Matematikk var i stor grad enkeltelevensog stillhetens fag, og samarbeid og kommunikasjonmellom elever ble oftest sett på som fusk.De siste årene har aktiviteter utenfor lærebokaog samarbeid blitt bærende elementer imatematikkundervisningen ved mange skoler.Lærebøkene legger i langt større grad opp til enaktivitetsbasert undervisning, der opplæringenmer enn før er blitt tilpasset elevene. Et elementi tilpassingen har vært å bevare et fellesskap oglegge opp til samhandling elevene mellom.Gjennom debatten forut for den nye læreplaneni 2006, og ved innføringen av den, er detimidlertid mye som tyder på at et helt annetsyn på tilpasset opplæring er i ferd med å vinneTone Dalvang, Sørlandet kompetansesentertone.dalvang@statped.noEspen Daland, Sørlandet kompetansesenterog Universitetet i Agderespen.daland@statped.noGeir Botten, Høgskolen i Sør-Trøndelaggeir.botten@hist.noinnpass. Tilpasset opplæring innenfor en fellesramme med samhandling mellom alle eleveneser ut til å erstattes med en mer ekstrem differensiering.Enkelte steder organiseres inndelingav elevene i mer eller mindre permanentenivågrupper ut fra elevenes prestasjoner i faget.Ved noen skoler eller i enkeltklasser ved skolenelegger en opp til individuelle opplegg for hverenkelt elev.Dette fenomenet er beskrevet slik av Bachmannog Haug [1]:L97: Tilpasset opplæring er ikke noe måli seg selv, men som et virkemiddel for åoppnå likeverdig utdanning,L06: Tilpasset opplæring er et overordnethensyn med tanke på å tilrettelegge ut fraden enkelte elevs forutsetninger og læringsmål.Tilpasset opplæring som ensidig individualismeer også i sterk kontrast til verdiene som gjenspeilerden generelle del av L06, s. 5: ”Utdanningenskal oppøve evnen til samarbeid mellompersoner og grupper som er forskjellige.”IndividualiseringIndividuelle arbeidsplaner i matematikk serut til å bli mer og mer utbredt i matematikkundervisningen.Slike planer kan være kombinertmed målark eller stegark og ulike kartleg-tangenten 2/2008 23

gings- og kontrollprøver. En kan spørre seg omlærerne bruker for mye tid til å administrere ogtilrettelegge for den enkelte elev, og om dettegår på bekostning av det å være en fagperson, endialogpartner og en lærer for elevene.Ved ETSs 1 frokostseminar 17. oktober 2006[5] hadde professor Dylan William et fordrag:”Does assessment hinder learning”. I det tankevekkendeforedraget gir han klare eksemplerpå at stor og ensidig vekt på formell testing merhindrer enn fremmer elevenes læring. Han trekkerfram fem forhold som er avgjørende for åskape miljø for læring (key strategies):– Legg til rette for klasseromsdiskusjoner,spørsmål, aktiviteter og oppgaver som fårfram det som elevene har lært– Gi støttende tilbakemelding som kanfremme videre læring– Klargjør og dele intensjonene og målenefor læringen med elevene og bevisstgjørelevene på hva som skal til for å lykkes– Aktiviser elevene slik at de blir eiere av sinegen læring– Aktiviser elevene som ressurser i hverandreslæringEn kan undre seg over om det blir vanskelig ålykkes med disse nøkkelstrategiene samtidigsom en legger hovedvekten på individuell tilpassingav matematikkundervisningen til denenkelte elev.NivådifferensieringI en kort periode fra innføring av 9-årig skolepå slutten av 1960-tallet og fram til den førstemønsterplanen kom i 1974, var det nivådifferensieringi norsk, engelsk, matematikk og tysk påungdomstrinnet. Elevene ble delt i tre grupper(to i tysk) med eget pensum, med egne lærebøkerog egen eksamen. Allerede etter få år bleordningen vurdert til å ha så mange negativesider at den ble fjernet. Siden 1974 har organisertinndeling av elevene i klasser eller grupperut fra nivå vært i strid med den offentlige skolensmålsetting om inkludering og fellesskap24mellom alle elever. Denne målsettingen er forsterketytterligere etter 1974 gjennom avviklingav spesialskolene og integrering av elever medhelt spesielle behov i den ordinære grunnskolen.Den inkluderende fellesskolen er noen gangermed rette blitt kritisert for manglende tilpassingav undervisningen til den enkelte elevs behov.Kritikken har særlig handlet om at skolen ikkehar gitt et godt nok tilbud til elever som hartrengt ekstra utfordringer i matematikkfaget,eller til elever som ikke har forutsetning for åfølge klassen i det tempoet det legges opp til imatematikkbøkene. Mange elever som alleredei første eller andre klasse behersker regning medtall langt over hundre, har eksempelvis måttetfølge klassen når den arbeider med tall under10. Eksempel på ekstraoppgaver for de sterkesteelevene har mange ganger vært meningsløsefargeleggingsaktiviteter, mens de som ikke harklart å følge med i lærebokas tempo, ofte harfått egne lærebøker eller oppgaver på ark somlæreren har kopiert til dem.En annen løsning på utfordringene har vedmange skoler vært å ta i bruk lærebøker medulike spor eller fargekoder som en så delerelevene i forhold til. Slik inndeling av elevenehar hatt samme begrunnelse og funksjon somorganisert nivågruppering av elevene. For endel lærere, hovedsakelig lærere som har lagtstor vekt på formidling fra lærer til elev, kanen slik inndeling av elevene ha fungert som ethjelpemiddel til å gjøre arbeidsforholdene i klasserommetlettere. Vi stiller oss imidlertid spørrendetil om denne organiseringen har resulterti større læringsutbytte for alle elevene.De siste årene ser det ut til at en ny ideologier i ferd med å vinne innpass i skolen. Foross kan det se ut til at en nå kan verdsette denenkelte elevs utvikling og karrieremulighet somoverordnet fellesskapet og behovet for samarbeidog samhandling. Dette er på mange måteret paradoks. Samtidig som faglig samarbeid ogkommunikasjon blir mer og mer avgjørende iarbeid og samfunnsliv, blir individualisering og2/2008 tangenten

nivådifferensiering i skolen mer og mer framtredende.To små episoderEpisode 1Ved en skole var nivådifferensiering gjennomførtfor alle elevene på hvert trinn på mellomtrinnet.Når elevene skal starte på et nytt emne,får elevene først en test knyttet til deres bakgrunni akkurat dette emnet. På grunnlag avtesten deles så elevene inn i tre nivågrupper.Den læreren som har mest utdanning og bestbakgrunn i matematikk, får de sterkeste elevene,den med nest best bakgrunn de nest besteog læreren med minimal bakgrunn i matematikkfår de svakeste. Ved skolen er det full oppslutningom ordningen og gjennom samtalemed lærerne kommer det fram at de er sværttilfreds. Lærerne har ikke registrert en enestenegativ side, og de hevder at alle elevene er sværtgodt fornøyde med ordningen.En person som gjester skolen en matematikktime,observerer følgende ved avslutningenav en time i en fjerdeklasse: I skolelandskapetder undervisningen har foregått, passerer enav de sterkeste elevene gruppa med de svakesteelevene. En av elevene på denne gruppa sittermed ei bok med fargeleggingsoppgaver knyttettil arbeid med addisjon og tierovergang. Denførste eleven henvender seg til henne og utbryter:”Næmen Eva, hva slags bøker er det dereholder på med på denne gruppa?”Som tidligere nevnt: Ingen av lærerne vedskolen hadde registrert en eneste negativ sideved ordningen, og lærerne hevdet at alle, bådelærerne og elevene, var så fornøyde. Hvilke verdierstyrer oss i de valgene vi gjør? Hva er det viser etter av tegn i egen undervisning på at tingfungerer eller går bra?Episode 2Ved en annen skole, var noen lærere opptatt avå prøve organisert nivådifferensiering. Lærernepå fjerde og femte trinn startet et slik forsøk.Etter at ordningen hadde vart om lag et halvtår, spurte elevene på 6. trinn læreren sin omikke de også snart skulle nivågrupperes sidende hadde hørt så mye om ordningen i fjerdeog femte. Læreren var svært godt fornøyd medlæringsmiljøet og fellesskapet i klassen og haddeikke noen umiddelbare ønsker eller behov fororganisert nivådifferensiering. Visst var detnivåforskjeller og det var både svært sterke ogsvært svake elever i klassen. Spredningen skapteutfordringer, men hun så det mer som en berikelsefor læringsmiljøet enn et problem. I denneklassen skjedde den tilpassede opplæringeninnenfor et fellesskap med gjensidig respekt ogforståelse elevene mellom.En av elevene i klassen gjorde det ikke særliggodt på tester. Men samtidig var han en av demest kreative og oppfinnsomme når det gjaldtå finne løsninger på ulike problemløsningsoppgaveri klassen. Læreren valgte å ta elevene medpå avgjørelsen om nivågruppering med følgendeutfordring: ”Dersom en elev er flink på noenområder, for eksempel til å se ulike måter åløse problemer på eller til å dele sine idéer medandre, men ikke gjør det så bra på tester, hvorville dere plassere han?” Elevene syntes det varvanskelig å avgjøre, men ble raskt enige omat nivådifferensiering ikke var noen god idé.”Tenk på alt vi ville gå glipp av” uttrykte flereelever.Matematikk i flerspråklige og flerkulturellelæringsmiljøerInkludering av elever med en annen språklig ogkulturell bakgrunn enn den norske i flerspråkligeog flerkulturelle læringsfellesskap kan væreproblematisk. Individualisering og nivådifferensieringi matematikk er intet unntak. Elevermed ulik språklig og kulturell bakgrunn kanvære svært gjensidig berikende for hverandre.Dette gjelder både i forhold til matematiske tenkemåterog løsningsstrategier. Når det leggestil rette for fellesskap og samhandling mellomulike elevgrupper, og når ulikhetene gjørestil gjenstand for undring og drøfting, kan detmedvirke til at motsetninger og kommunika-tangenten 2/2008 25

sjonsproblemer minker. Dette medfører at detblir lettere å bygge kontakt og forståelse mellomelever med ulik bakgrunn. Det kan finnes etstort potensial i en flerspråklig og flerkulturellelevgruppe dersom en ser på samspillet mellomde to gruppene som en berikelse, og ikke et problem.Et slikt samspill finner vi foreslått i L06,generell del s. 34:26I opplæringen skal mangfoldet i elevenesbakgrunn, forutsetninger, interesser ogtalenter møtes med et mangfold av utfordringer.Inkluderende matematikkundervisningI artikkelen ”Inclusion, learning and teachingmathematics” reiser Mike Ollerton [4] noenfundamentale spørsmål. Blant annet ber hanlærere tenke over hvilke verdier de forankrer sinundervisning i. Dette kan formuleres som:– Hvis du tror det er viktig at alle elever skalha like muligheter, hvordan påvirker detdin undervisning i matematikk?– Hvis målet ditt er inkludering, både prinsipieltog i praksis, hvordan påvirker det hvadu gjør sammen med elevene i klasserommet?Ollertons grunnleggende holdning er at matematikkskal være interessant, meningsfull oginkluderende for alle elevene. Som en konsekvensav disse holdningene avviser han tankenom nivådifferensiering og presenterer noenmomenter som bør være basis for å kunnedrive matematikkundervisning i læringsmiljøersammensatt av alle typer elever. Det første hantrekker fram er at en må utvikle en emnebasertundervisningsplan der en systematisk analysererog reflekterer over innholdet i hvert enkeltemne og lager utviklingslinjer mellom emnene.En slik plan må bryte grunnleggende med spiralprinsippetog ”de små skritt for skritts metodikk”.Videre argumenterer han sterkt for at enmå bruke varierte arbeidsmåter og et mangfoldav læringsmateriell i matematikk. Problembasertog mer analytisk tilnærming til faget medlangt mer omfattende bruk av åpne og rikeoppgaver og aktiviteter, etterfulgt av refleksjonog samtale vil være avgjørende for om en skallykkes. Til slutt argumenterer han for at lærerebør bli langt mer dristige og ta sjanser i sinundervisning.En inkluderende undervisning kan bidra tilbedre kommunikasjon og samhandling i matematikk,og derved også bedre matematikkkunnskaperfor alle. For eksempel kan det innebæreat matematikkundervisningen starter medfelles opplevelser og undringer som elevene kanarbeide videre med på ulike måter. Slik inkluderingvil omfatte både elever som strever medfaget, de som har et vanskelig forhold til fagetog de som trenger spesielle utfordringer i faget.Alle disse gruppene har behov for å få eller lageseg utfordringer og muligheter til å strekke segetter noe i matematikk, men slik at det de skalstrekke seg etter er oppnåelig. Alle elever harrett til å få oppleve glede og tilfredsstillelse vedå mestre noe i matematikk som betyr noe fordem selv.Skolen er kanskje for forsiktig med å utfordreelevene? Våre erfaringer tilsier at skolen istørre grad kan gi elevene mer krevende utfordringeri matematikk. Elevene kan langt ofterefå mulighet til å lage slike utfordringer selv.Dette gjelder alle elever, ikke bare de sterkeste.Men for alle elevene er det viktig å knytte utfordringenetil noe de er motivert for og som deopplever mening med. Å ta elevene med på åskape mening finner vi uttalt i LK06, generelldel s. 14: ”I opplæringen må kunnskap alltidutgjøre et gjennomtenkt utvalg som presenteresmed progresjon, slik at det gir oversikt ogskaper sammenheng.” Å mestre noe vanskeligog utfordrende, gjerne så utfordrende at eleveneikke i utgangspunktet tror det er mulig, tror vikan føre til de største mestringsgledene og destørste sprangene i elevenes læring.2/2008 tangenten

Litteratur[1] Bachmann, K. og Haug, P (2006): Forskningom tilpasset opplæring. Forskningsrapportnr. 62. Høgskolen i Volda - MøreforskningVolda[2] Imsen, G. (2004). ”Hva driver de med itimene? Kateterstyrte og elevaktive praksisformeri grunnskolen.” I Imsen, G. (red.),Det ustyrlige klasserommet. Oslo: Universitetsforlaget.[3] Kunnskapsløftet (2006): Læreplaner forgjennomgående fag i grunnskolen ogvideregående opplæring. Læreplaner forgrunnskolen. Utdannings- og forskningsdepartementet.Oslo: Utdanningsdirektoratet[4] Ollerton, M (2003): ”Inclusion, learning andteaching mathematics.” I Gates, P. (red),Issues in mathematics teaching. Falmer.London.[5] William, D (2006): Does assessment hinderlearning? Speech at ETS Europe breakfastsalon, 11th July 2006[6] www.uk.etseurope.org/home-corpo-uk/news-home/?print=1&news=136&view=detail&no_cache=1Noter1 Educational Testing Service (ETS) presentererseg på nettet som “the largest privateeducational measurement organisation inthe world today. ETS is recognised as theworld leader in educational research and inthe development of performance assessments”.www.etseurope.org/no_cache/choose-your-country/Nøkler -til ferdigheter i matematikkSom matematikklærer vet du atmange strever med å formidlekunnskaper og ferdigheter.NKI Forlaget lanserer en serie, småog praktiske hefter med grunnleggendeog matnyttig stoff innenforsentrale matematiske emner.Følgende hefter foreligger:AlgebranøkkelISBN: 978-82-562-6753-8BrøknøkkelISBN: 978-82-562-6727-9GeometrinøkkelISBN: 978-82-562-6737-8ProsentnøkkelISBN: 978-82-562-6767-5SannsynlighetsnøkkelISBN: 978-82-562-6757-6kr 98,-per bok(fortsatt fra side 51)Litteratur[1] Alseth, B.; Breiteig, T og Brekke, G. (2003):Evaluering av Reform 97 - Endringer ogutvikling ved R97 som bakgrunn for videreplanlegging og justering - matematikkfagetsom kasus. Notodden: TFN-rapport02/2003[2] Mosvold, R. (2006): Mathematics in everydaylife: a study of beliefs and actions.Bergen: Universitetet i Bergen. Doktoravhandling.Kjøpes i bokhandel eller direkte fraNKI Forlaget.Ordretelefon: 67 58 89 00 • Ordrefaks: 67 58 19 02E-post: faordre@nki.no • www.vvnkiforlaget.notangenten 2/2008 27

Gunnar Kristiansen, Ove DragesetTilpassa opplæringog ”kompetencer” imatematikkundervisningaGunnar Kristiansen, Høgskolen i Tromsø,avdeling for lærerutdanningGunnar.Kristiansen@hitos.noOve Drageset, Høgskolen i Tromsø,avdeling for lærerutdanningOve.Drageset@hitos.no28InnleiingI 2005–06 gjennomførte Høgskolen i Tromsø eitFOU-prosjekt for å sjå om kompetanseprofilanefrå nasjonale prøver i matematikk i 2005 kunnebrukast som grunnlag for tilpassa opplæring ifaget. Prosjektet var organisert som et praksisprosjektfor 3. årsstudentar i allmennlærarutdanningaog involverte ti studentar, to faglærararfrå Høgskolen i Tromsø, fire 8. klasser, fire5. klasser og deira lærarar. Prosjektet varte i 3-6månader i kvar klasse slik at elevane kunne følgjastopp over tid. Studentane som deltok haddevalt fordjuping i matematikkdidaktikk i silærar utdanning. Sentralt i denne fordjupinga er”Kompetencer og matematiklæring” [7]. Kompetanseprofilanei dei nasjonale prøvane i 2005bygde på det same grunnlaget. Lærarane somdeltok i prosjektet fekk eit to dagars introduksjonskursom kompetansane slik dei er beskrivei [7] og utforminga av kompetanseprofilane gittav oss og ein forelesar frå Norsk senter for matematikki opplæringa, Matematikksenteret.I denne artikkelen reflekterer vi over erfaringanefrå prosjektet og forsøker å trekke konklusjonartil følgjande problemstillingar:1. Var elevanes kompetanseprofil frå nasjonaleprøver egna som grunnlag for tilpassaopplæring?2. Korleis fungerer kompetansetenkinga tilNiss mfl. [7] som pedagogisk hjelpemiddeli matematikkundervisninga?Konklusjonane bygger på evalueringar i fellesskap,praksisbesøk, rettleiing undervegs ogintervju av kvar enkelt student.Elevane sin kompetanseprofil i matematikkArbeidsgruppa bak Nasjonale prøver la opp tilat resultata skulle føre til ein kompetanseprofilfor kvar enkelt elev. Denne kompetanseprofilenskulle vise kva matematisk kompetanseeleven har på ulike områder [4]. Kompetanseprofilenbygger på ”Kompetencer og matematiklæring”[7]. Her presenterer ei arbeidsgruppemed Mogens Niss i spissen åtte kompetansarsom samla utgjer ein heilskapleg matematiskkompetanse. Desse åtte kompetansane er tankegangskompetanse,modelleringskompetanse,problembehandlingskompetanse, resonnementskompetanse,representasjonskompetanse, symbologformalismekompetanse, kommunikasjonskompetanseog hjelpemiddelkompetanse.Det vert presisert frå arbeidsgruppa at detikkje er slik at ein kompetanse eksisterer uav-2/2008 tangenten

hengig av dei andre, kompetansane går til einviss grad over i kvarandre [7, s. 63].I dei første nasjonale prøvene i matematikk i2004 vart den originale oppdelinga brukt, medunntak av at representasjonskompetanse vartslått saman med symbol- og formalismekompetanseog tankegangskompetanse som vart slåttsaman med resonnementskompetanse.Niss m. fl. [7 s. 63] påpeikar at kompetansanetil dels er nært beslekta. Difor er det slik at eioppgåve i matematikk som oftast krev meirenn ein kompetanse for å løysast. Dette løystearbeidsgruppa som laga dei nasjonale prøvanei 2004 ved at mange oppgåver vart klassifisertinnanfor fleire kompetansar samtidig. I evalueringa”Nasjonale prøver på prøve” [2] vart detframheva at det er problematisk å dobbeltkategorisereoppgåver. Til prøvene i 2005 vart fleirekompetansar slått saman til kompetansegrupper.Kompetansegruppene i nasjonale prøver i2005 var:– Matematisk resonnement, tankegang ogkommunikasjon.– Representasjonar og bruk av symbol ogformalisme– Problembehandling, matematisk modelleringog anvending– Bruk av hjelpemidlarKvar oppgåve vart no plassert i berre ei kompetansegruppe.Bruk av hjelpemiddel vart ikkjemålt [5]. Inndelinga i kompetansegrupper varopplagt eit svar på kritikken frå Lie mfl. [3] omat oppgåver berre skal gi utteljing innafor einkategori, samt at det var for mykje med sekskategoriar. Vår oppfatning er at dette førte tilnye problem. Kompetansane heng saman påmange fleire måtar enn denne oppdelinga viser.Som døme seier Niss mfl. [7, s. 63]:Til slut kan man blant de mange familierelationersom findes mellom kompetencerne,fremhæve forbindelsen mellemmodellerings-, problembehandlings- ogrepræsentationskompetencerne. Således erbåde represæntationskompetencen og problembehandlingskompetencenafgørendefor udøvelsen af modelleringskompetencen.Inndelinga i kompetansegrupper førte til atoppgåver som krev representasjonskompetanseog oppgåver som krev modelleringskompetanseblei plassert i ulike kategoriar. Men sidan representasjonskompetanseni følgje Niss mfl. [7] eravgjerande for modelleringskompetansen erdette eit problematisk skilje. Oppgåver innanformodellering vil ofte krevje kompetanse i representasjon.Viss desse blir plassert i kategorien”Problembehandling, matematisk modelleringog anvendelse” vil det føre til samvariasjon medkategorien ”Representasjonar og bruk av symbolog formalisme”. Dette er eit døme, i ”Kompetencerog matematiklæring” [7] er det framhevafleire slike samanhengar som ikkje passar innmed oppdelinga som vart gjort.Målet med kompetansegrupper var å få utein kompetanseprofil for kvar enkelt elev der einkunne sjå eleven sitt nivå innanfor den enkeltekategori. Innanfor kvar kategori vart elevanevurdert frå nivå 0 (lavast) til nivå 5 (høgast).Ein kan tenke seg at viss dette fungerer så vil einkunne finne ut sterke og svake sider ved ein elevsin matematiske kompetanse. Ein elev som harnivå 4 innanfor ”problembehandling, matematiskmodellering og anvendelse” vil trenge meirutfordringar på dette området. Viss den sameeleven har nivå 2 innanfor ”matematisk resonnement,tankegang og kommunikasjon” er deteit signal om at ein må legge til rette for meirgrunnleggjande arbeid. I tillegg kan ein tenkeseg at fleire elevar på same nivå innanfor samekategorien vil kunne få ei rimeleg lik tilpassing.I tillegg til kompetanseprofil for kvar elev dannanasjonale prøver ein kompetanseprofil for heileklassa.Erfaringar frå praksisUte i klassane opplevde studentane at elevprofilanestort sett viste kven som var svake og sterke,og at dei aller fleste elevane var middels til svake.tangenten 2/2008 29

Det var liten eller ingen forskjell mellom kategoriane.Viss ein elev var på nivå 2 i ein kompetansegruppeså var eleven stort sett på nivå 2 ogsåi dei to andre kompetansegruppa. I den graddet var ulike nivå mellom kategoriane så vardet oftast slik at nivået i kategorien ”representasjonar,bruk av symbol og formalisme” var eitthakk høgare enn i dei andre. Det var også slikat ein vesentlig del av elevane låg på nivå 2 eller3. Lie mfl. [3 s. 124] rapporterer at prøvane for7. klasse viste god spredning mellom svake ogsterke elevar, noko vi ikkje klarte å finne i særleggrad i våre klasser. Lie mfl. [3] rapporterte ogsåom ein svak (ubetydeleg) tendens mot høgareverdiar i kategorien ”representasjonar, bruk avsymbol og formalisme”. Denne tendensen vartydeleg i våre klassar. Lie mfl. [3] meiner atprøva for 4. klasse hadde eit litt høgt gjennomsnitt,noko som tyda på ei litt lett prøve, nokosom fører til dårlegare skilje mellom dei sterkeelevane og større skilnad mellom dei svake.I utgangspunktet ønskte vi å legge til rette foroppgåver og undervisning ut frå kompetanseprofilane.Viss elevar presterte godt innanforkategorien ”representasjonar og bruk av symbolog formalisme” og svakt innanfor kategorien”problembehandling, matematisk modelleringog anvendelse” så kunne ein bruke den informasjonentil å sette i verk felles tiltak for desseelevane. Med studentane si bakgrunn i kompetansetenkingafrå kursa i matematikkdidaktikkskulle dei være i stand til å tenke ut og gjennomføretiltak. Men slik det viste seg å være såvart ikkje kompetanseprofilane det verktøyet vihadde forventa, fordi kompetanseprofilane ikkjefekk fram skilnaden mellom elevar godt nok, ogheller ikkje fekk fram nyansar i den enkelte elevsin matematiske kompetanse.Er det slik at ein elev naturleg ligg på omlag same nivå innanfor desse tre kompetanseområda?Eller er det nyansar som dennekompetanse profilen ikkje fekk fram? Vi trurpåpeikinga frå Lie mfl. [3] om stor samvariasjonmellom kategoriane kan forklare kvifornyansane i ein elev sin kompetanse ikkje kjem30fram. Som kommentar til prøve for 7. klasseskriv dei [3]:Men uavhengig av hvordan resultatene rapportereser vi bekymret for hvordan dissedelskalaene brukes som pedagogisk tilbakemelding.Skåreverdier etter disse delskalaenekan ikke brukes som informasjon omsterke og svake sider av en elevs matematikkompetanseså lenge de framstår med såtvilsom validitet og reliabilitet.I analysen av nasjonal prøve for 7. klasse finndei at kategoriane ”matematisk resonnement,tankegang og kommunikasjon” og ” problembehandling,matematisk modellering og anvendelse”i praksis måler det same. Dei finn ogsåein sterk samanheng mellom desse og den sistekategorien (representasjonar og bruk av symbolog formalisme).Samvariasjonen følgjer naturleg av kompetansanesin natur [7]. Då må ein spørje omkompetansetenkinga var egna til å bruke somanalysereiskap i nasjonale prøver.Studentane rapporterte at elevar som haddelik kompetanseprofil i realiteten presterte sværtulikt. Uansett kva grunnen var så er dette sværtproblematisk i forhold til å kunne bruke kompetanseprofilanei tilpassa opplæring. Viss vitenker oss ei klasse der ei gruppe elevar har fåttnivå 2 i kategorien ”resonnement, tankegang ogkommunikasjon” så vil læraren kunne brukedesse opplysningane til å lage felles oppgåverog øvingsopplegg til desse elevane. Men viss detviser seg at dei i realiteten er på svært ulikt nivåså vil dette ikkje kunne fungere.I fire av klassene rapporterte studentane atkompetanseprofilane var rimeleg samstemtemed deira eigne observasjonar, med nokre fåunntak. I dei fire andre klassene rapportertedei at mange elevar tilsynelatande hadde feilkompetanseprofil. Dei fleste var elevar som iklasserommet presterte betre enn kompetanseprofilenskulle tilseie. Viss kompetanseprofilaneskal kunne brukast så må ein ta høgde for at2/2008 tangenten

elevar kan ha ein dårleg dag, noko som tilseierat ei enkelt prøve er for lite viss lærarane skalha nytte av informasjonen i si undervisning.Hovudproblemet, slik vi ser det, er at dei nasjonaleprøvane ikkje fekk fram kva ein elev er godpå og kva eleven er dårleg på. Det vart betrefor ein lærar å bruke eigne observasjonar somgrunnlag for tilpassa opplæring enn å brukekompetanseprofilane. I beste fall stadfesta profilenlæraren si vurdering av eleven, eller fekklæraren til å gå inn og sjå på si eiga oppfatningpå nytt når det ikkje stemte. Det er sjølvsagtnyttig å få stadfesta det ein sjølv har funne ut,men det er ikkje veldig lærerikt.Vi fann difor ikkje at dei nasjonale prøvenetilførte lærarane noko særleg ny kunnskap omelevane. Kavli mfl. [1] har i ei evalueringa avnasjonale prøver poengtert det same :Rektorer og lærere er likevel samstemte i atprøvene ikke tilfører skolene ny kunnskapom elevene. Blant de rektorer og lærere somtross alt sier at prøvene i ”noen grad” tilførerny informasjon om elevene, er det flestrektorer på videregående. Rektorene, ogkanskje særlig lærerne, kjenner elevene sinegodt fra før, og det skal antagelig mye tilfør de nasjonale prøvene kan få fram tingom eleven som skolene ikke var klar overtidligere. Hvis vi i tillegg ser dette i sammenhengmed resultatene om at prøveneer lite egnet til å få fram bredden i elevenesfagkunnskaper, og at oppfølgingen avprøvene ved skolene har vært liten, er ikkedette funnet overraskende.I vårt tilfelle mangla altså kompetanseprofilennyansar. Den klarte ikkje å få fram ulike siderved eleven sin matematiske kompetanse, og varunøyaktig, fordi elevar som låg på same nivå ikompetanseprofilen ofte presterte svært ulikt.Lærarane hadde også lite nytte av profilanefordi dei fann lite nytt der og dei oppfatta eigneobservasjonar som meir nøyaktige.Bruk av kompetansetenkinga imatematikkundervisningaLærarane som var med på prosjektet hadde problemmed å forstå kva som låg innafor dei ulikekompetansekategoriane. Viss ein elev haddenivå 1 i kategorien ” matematisk resonnement,tankegang og kommunikasjon” så klarte ikkjelærarane å tolke kva det betyr utover at elevener svak på det området. Dei hadde problemmed å forstå kva som låg i omgrepa resonnement,tankegang og kommunikasjon. Det varein klar tendens til å bruke omgrepa intuitivt,noko vi kjenner igjen frå kursa i matematikkdidaktikkder omgrepa vert brukt intuitivt i einperiode før dei er forstått. Eit døme på intuitivbruk er å tru at kommunikasjonskompetanseer det same som å snakke, så alle oppgåver ogaktivitetar der elevar snakkar er gode til å øvekommunikasjonskompetanse. Niss mfl. [7, s.60] seier at kommunikasjonskompetanse er åkunne uttrykke sin eigen matematikk skriftlig,munnleg og visuelt og på ulike nivå, og det erå kunne sette seg inn i og tolke andre sin matematikkuttrykt på ulike måtar og nivå. Berredei oppgåver og aktivitetar der dette er sentraltkan seiast å utfordre eller øve ein elev sin kommunikasjonskompetanse.Både dei åtte enkeltkompetansane [7] og deisamanslåtte kompetansegruppene var tema påintroduksjonskurset for lærarane som deltok iprosjektet. Dei hadde også studentar med segsom i langt større grad forstod kva kategorianeog kompetansane betyr. Likevel hadde dei litereell forståing av kompetansane. Alle studentanerapporterte at lærarane framleis ikkje forstodkategoriane og kompetansane særleg godtetter prosjektperioden. Viss ein skal kunnebruke resultata i oppfølginga av den enkelte elevså treng ein grundig kjennskap til dei 8 kompetansane,eller iallfall kompetansegruppene somer brukt.I forbindelse med gjennomføringa av nasjonaleprøver vart lærarane skolert i korleis deskulle anvende resultata i oppfølginga av denenkelte elev. I ei undersøking finn Kavli mfl.tangenten 2/2008 31

Den tredje er at kategoriane ikkje er forståelegeutan relativt omfattande opplæring.– Teorien bak kompetanseomgrepet i matematikkfrå Niss mfl. er ikkje lett tilgjengeleg.Det er ikkje nok med korte kurs, detkrev ein grundig opplæring for å ha nytteav kompetansetenkinga. Det er grunn til åtru at dette ikkje berre gjeld for lærarane ivårt utval.Erfaringane frå prosjektet viser at kompetanseprofilaneikkje var eit godt analyseverktøy, i allefall ikkje slik dei vart brukt i nasjonale prøver i2005. Kompetanseprofilane vart ikkje eit reiskaplærarane hadde nytte av. Erfaringane viser ogsåat lærarane treng ei grundig innføring i kompetansetenkingatil Niss mfl. dersom dei skalkunne gjere nytte av den i undervisninga. Vi serdifor eit problem med at ein i rettleiinga til læreplaneni matematikk [6] viser til kompetansetenkinga.Viss ein ikkje forstår kompetansane,korleis skal ein då kunne sørgje for at arbeidetmed måla i læreplanen skal trene elevane på alledei 8 kompetansane, slik rettleiinga framhevar?Slik vi ser det krev det grundig etterutdanningav alle lærarar i kompetansane til Niss dersomlærarane skal kunne implementere denne tenkingai si undervisning.Litteratur[1] Kavli, H., Kalve, A. og Tamsfoss, S. (2005):Analyserapport – evaluering av gjennomføringaav de nasjonale prøver. Utarbeiddav MMI på oppdrag frå Utdanningsdirektoratet.(www. utdanningsdirektoratet. no/upload/Rapporter/Evaluering_av_nasjonale_prover_2005.pdf)[2] Lie, S., Caspersen, M. og Björnsson, J.K.(2004): Nasjonale prøver på prøve. Instituttfor lærarutdanning og skoleutvikling vedUniversitetet i Oslo på oppdrag frå Utdanningsdirektoratet(www. utdanningsdirektoratet.no/upload/Forskning/nasjonale_prover_pa_prove. pdf)[3] Lie, S., Hopfenbeck, T.N. , Ibsen, E. ogTurmo, A. (2005): Nasjonale prøver påny prøve. Institutt for lærarutdanning ogskoleutvikling ved Universitetet i Oslo påoppdrag frå Utdanningsdirektoratet (www.utdanningsdirektoratet. no/upload/Nasjonale%20prøver/nasjonale_prover_pa_ny_prove_rapport_ILS. pdf)[4] Matematikksenteret (2004): www. matematikksenteret.no/attachment. ap?id=64[5] Matematikksenteret (2005): www. matematikksenteret.no/content. ap?thisId=204[6] Matematikksenteret (2006): www. matematikksenteret.no/content. ap?thisId=635[7] Niss, M. og Jensen, T. H. (2002): Kompetencerog matematiklæring. Undervisningsministeriet,Danmark (pub. uvm. dk/2002/kom/)[8] Rammeverk for Nasjonale prøver (2006):www. utdanningsdirektoratet. no/upload/Nasjonale%20prøver/Rammeverk_for_nasjonale_prover_2007. pdf. Utdanningsdirektoratet.(fortsatt fra side 8)[12] Mjøs, M. (2006): Skreddersøm, målsømog hyllevare: Spesialundervisning, tilpassetopplæring og ordinær undervisning ien inkluderende skole. Paper 2. nasjonaleforskningskonferanse om forskning omfunksjonshemming, NNFF, Trondheim[13] Schleicher, A. (2007): “Mener Norge akseptererskoletapere.” Intervju med NTB, 16.mars 2007[14] Witzel, B.S.; Ferguson, C.J. & Brown, D.S.(2007): Developing Early Number Sense forStudents with Disabilities. Hentet fra internett:www.ldonline.org/article/14618tangenten 2/2008 33

Peder HaugTilpassa opplæring ifellesskapenTilpassa opplæringKravet om tilpassa opplæring går ut på at alleelevar så langt det er mogleg skal ha opplæringut frå føresetnad, interesser og bakgrunn.Omgrepet står for ei heilskapleg tilnærmingtil og forståing av undervisning og opplæring.Det har eit klart politisk opphav, og ein sterkretorisk funksjon. Mange ser ut til å meine atå gje individuelle tilbod er den einaste og bestemåten å drive tilpassa opplæring på. Mellomanna stiller no eit aukande tal kommunar kravom ulike former for individuelle opplæringsplanarfor alle elevar. Mitt standpunkt er at det erlite teneleg.Om fellesskapenTilpassa opplæring handlar først og fremst omden generelle kvaliteten i skulen. Det understrekarverdien av fellesskapen i opplæringa. Hanhar minst to funksjonar. Den eine er den reintsosiale, verdien av å vere saman med andre,høyre til ein stad, vere kjend med kameratar,vere akseptert osv. Det er vesentleg for trivselog dermed også for læring. Den andre er at fellesskapenkan ha stor innverknad på det faglege.Verdien av å vere saman med andre om ei sak,om eit innhald og om ei utfordring er stor. DetPeder Haug, Høgskulen i Voldapeder.haug@hivolda.no34skjerper appetitten på saka, og endå meir, einkan saman vere stilas for kvarandre i forståingog læring. Forskinga tyder på at slike kollektiver avgjerande for at mange elevar skal få utbyteav skulen, mellom anna er det eit av hovudelementai dei sosiokulturelle teoriane om læring[1].Faglogikken vil verke inn på om dette ergjennomførleg. Om han er leksikalsk, ellerencyklopedisk som i L97 blir det vanskeleg. Dåskal elevane gjennom ei uendeleg mengde medforskjellig lærestoff i kvart fag, og berre dei somarbeider raskt klarer det. Elevane må gå rasktfrå emne til emne. Evalueringa av Reform 97har dokumentert at det maktar ikkje alle [2].Dermed oppstår det ”sprekk i feltet”, og denfaglege fellesskapen lir og forvitrar, og det pressarfram reine individuelle opplegg. Om einderimot arbeider etter det eksemplariske prinsippetsom faglogikk, blir det enklare 859. Dåer ein ikkje så oppteken av at elevane skal komegjennom alt, men av at det dei kjem igjennomskal dei meistre. Å ha god kunnskap om og innsikti noko, gir eit grunnlag for å kunne meistreandre tema og utfordringar seinare.Det føreset ei indre differensiering eller eipedagogisk differensiering, både i mål, innhaldog arbeidsformer. Wolfgang Klafki skilmellom fellesstoff (fundamentum) og tilleggsstoff(additum) som gjeld innanfor ein kvarundervisningssekvens [5]. Alle elevane arbei-2/2008 tangenten

der med den same tematikken samtidig, menpå ulikt nivå og på ulikt vis. Det kombinererfellesskapen med det individuelle. Differensieringai ”additum” er å gå djupare for dei som kanog vil mykje, medan dei som ikkje gjer det, kanhalde på med enklare ting innanfor det same(fundamentum). Poenget er at alle er med samtidig,men på ulikt nivå. LK06 opnar ikkje berrefor ei slik ordning. Den legg særs godt til rettefor den, på grunn av kompetansemåla. At innhaldslisteneer borte bind ein ikkje lenger til eitencyklopedisk kunnskapsideal, det gjer arbeidetmed tilpassa opplæring enklare.Målet om å skape ein fagleg kunnskapskulturfor tilpassa opplæring i skulen gir lærarento store skulefaglege utfordringar, i tillegg tildei reint pedagogiske som eg ikkje går inn på idenne omgangen.Tid for læringDen første er å syte for at så mykje av tida sområd blir brukt til fagleg relevant verksemd, trassi alle andre påtrengjande oppgåver. Eller i detminste å ha eit medvit om tidsbruken, kva einnyttar tid til og kva elevane nyttar tida si til. Deter ikkje alltid like lett. Dei ikkje-skulefaglegeelementa har auka enormt i den offentlegeomtalen av det som skulen skal ha ansvaret for,sjølv om læreplanen gir all tid til skulefaga. Deter ikkje rom for anna, dersom ein då ikkje definereralle dei andre aktivitetane og oppgåveneinn under den skulefaglege fanen.Ved enkelte skular er elevane si tid ikkjeverna. Kven som helst kan bryte inn i ein klassemed kva som helst slags bodskap og tema, ogutan at det vert påtala eller problematisert. Einkan spørje om det som skjer i undervisninga erså lite vesentleg, at så å seie alt anna kan prioriterastframom. I enkelte andre land er det utenkjeleg[11]. Ein kan og vere kritisk til alle interesserog alle instansar som ser på skulen som einarena for seg. Talet på gode, ideelle og viktigeting som vil ha tid i skulen er stort. Spørsmåleter i kva grad dei likevel skal kome inn, og påkva måte. Det er grunn til å vere restriktiv, delspå grunn av tidsbruk, men også fordi vi veit atdet er det langsiktige arbeidet, og ikkje dei kortesatsingane som gir størst effekt. Det er også eitav elementa i tilpassa opplæring.Kva brukar så elevane tida si til? Studiarviser at omfanget av dette ikkje-faglege varierermykje. I enkelte klassar og grupper kan meirenn halvparten av tida gå med til andre aktivitetarenn dei faglege [3]. Så kan ein spørjeetter kor fagleg deler av verksemda er ut overdet. Er å gå på tur eit fag? Kva fag er det i så fall?Å fargeleggje, er det eit fag? Kva fag er det nårein fargelegg i engelsktimane? Å ete medan einvaksen les høgt frå ei bok, er det norsk? Å taopp konfliktar, og å minne elevane om reglarog påbod, er det KRL eller samfunnsfag om detskjer i matematikktimen? Kva fag er det når deter arbeidsplan eller vekeplan, og fleire elevarikkje gjer det skapte grann gjennom nesten einheil dag? Mange elevar ventar mykje, ventar påtur og på læraren. Er det fag? Kva fag er det,når læraren ikkje har kontroll over klassen ellergruppa som er prega av uro og opposisjon?Faglege resultatDen andre utfordringa er at omfanget av detfaglege berre kan legitimerast ved at elevane nårresultat. Elevane må ha utbyte av det, og det mådokumenterast. Fagleg satsing er berre interessantnår opplæringa gir tilstrekkelege og godenok prestasjonar. I dag viser både nasjonale oginternasjonale undersøkingar at elevprestasjonanei skulen er gjennomsnittlege og spreiingaelevar i mellom er stor. Elevane trivest godt,men ikkje med det faglege, i alle fall i naturfagog matematikk [2], [4]. Nokre grupper elevarkjem systematisk dårleg ut avhengig av kjønnog sosial, kulturell og etnisk bakgrunn [2], [9].Den sosiale reproduksjonen er stor. Det kan tydepå at dei faglege arbeidsformene ikkje fungerersom dei skal, eller som det går fram av Kunnskapsløftet,at omfanget av tilpassa opplæring erfor lite. Korleis kan det forklarast?I ein analyse av utviklinga innan utdanningi etterkrigstida går det fram at i forskinga påtangenten 2/2008 35

1970-talet og frametter forklarte ein manglandesatsing på fagleg læring og manglande læring(i den grad ein var opptekne av det), med litetenelege ressursar, systemvilkår og rammer [8].Tenkinga då gjekk ut på at med betre rammevilkår,vil resultata betre seg. Når basisvilkåraikkje er gode, er det uråd å få gjort det som erforventa, eit marxistisk inspirert standpunkt. Idag er tendensen i politikken og faglitteraturenom opplæring ein annan. Det vert sett langtmeir lit til at resultat i skulen blir forklarte avindividuell lærarkompetanse, og at låge resultater ein konsekvens av at han manglar kompetanse[6]. Denne overgangen frå systemforklaringtil individforklaring er sjølvsagt ei følgje avpolitiske skifte i liberal lei, men har begge einomfattande empirisk dokumentasjon bak seg.Det aktualiserer sjølvsagt kva kunnskaparein må krevje at lærarar har, når dei møter elevgruppenemed så ulike individ. Det er eit omfattandetema, som eg ikkje skal ta i full breiddeher. Det å meistre den store variasjonen det ermellom elevane når det gjeld interesser, anleggog motivasjon er både ei stor fagleg og pedagogiskutfordring. Mykje tyder på at mange lærararhar vanskar med dette, og at skulen er fororientert om ”normaleleven” [2]. Her avgrensareg likevel drøftinga til dette eine spørsmålet:Kva slags skulefagleg kunnskap må vi forvente atlærarar har for å kunne nå gode læringsresultathjå elevane, eksemplifisert med matematikk?Skulefagleg kunnskapI 1986 heldt Lee Schulman eit viktig foredrag,der han omtala ’pedagogical content knowledge’,altså skulefagleg kunnskap [10]. Omgrepeter vel kjent og mykje brukt. I det ligg at detikkje er uvesentleg kva slags kunnskap lærararhar i eit fag, og at det å skulle undervise i eitfag krev både akademisk-fagleg kompetanse ogskulefagleg kompetanse. Påstanden hans er atdet ikkje er tilstrekkeleg med grunnleggjandeakademisk dugleik i eit fag, det trengst ein langtmeir spesialisert og kompleks opplæringsorientertkunnskap eller skuleorientert kunnskap ifaget.Vi kjenner alle til at når ein høgt kompetentperson skal undervise, går det ikkje alltid bra.Han eller ho forstår ikkje nødvendigvis kva elevanestrevar med, eller kvifor elevane ikkje kanskjøne dei ’enkle’ bodskapane i undervisninga.For å kome djupare inn i dette kan vi nyttematematikk som døme. Nokre fagmiljø hargjennom fleire år prøvd å identifisere kva kompetansesom trengst for å kunne undervise imatematikk [8]. Ein av dei sentrale konklusjonaneer, at for å kunne undervise godt i matematikktrengst både ei djupne og ei breidde somgår langt ut over det som trengst for å kunneløyse matematikkoppgåver. Å vere matematikarer ikkje tilstrekkeleg. For å seie det enkelt, formatematikaren er det å gå fram på ein rett ellerrelevant måte det viktigaste. For ein matematikklærarer det viktig kunnskap også å forståkva elevane har gjort og kvifor, same om detleier rett av stad eller ikkje. Det krev ein annanog utvida matematisk kompetanse. Dei skilmellom to hovudformer for matematikkunnskap,fagkunnskap i matematikk og skulefaglegkunnskap i faget. Matematikkunnskapen er vivel kjende med, det er den tradisjonelle, alt fråtalomgrep og rekningsartar og til faghorisonten.Den skulefaglege kunnskapen i matematikkhandlar om korleis elevar nærmar seg og forstårfaget. Det gjeld korleis undervisning kan gjerasti matematikk, og kva som er gode måtar åarbeide på, og kunnskapen gjeld kva læreplanenventar av faget.Utfordringa for dette faget, og mange andrebåde i lærarutdanninga og skulen er å identifiseredei skulefaglege elementa som læraranebør meistre. Først når lærarane meistrar dessedelane av faget, vil dei vere i stand til å gjennomføretilpassa opplæring, innanfor fellesskapen.362/2008 tangenten

Litteratur[1] Engen, T. O. (2007). ”Tilpasset læring i etsosiokulturelt perspektiv”. I G. D. Berg & K.Nes (red.), Kompetanse for tilpasset opplæring.Oslo: Utdanningsdirektoratet.[2] Haug, P. (2004). Resultat frå evalueringa avReform 97. Oslo: Noregs forskingsråd.[3] Haug, P. (red.). (2006). Begynnaropplæringog tilpassa undervisning. Bergen: CasparForlag.[4] Kjærnsli, M., Lie, S., Olsen, S. V., & Roe,A. (2007). Tid for tunge løft. Norske eleverskompetanse i naturfag, lesing og matematikki PISA 2006. Oslo: Universitetsforlaget.[5] Klafki, W. (2001). Dannelsesteori og didaktikk- nye studier. Århus: Klim.[6] Krejsler, J. (Ed.). (2004). Pædagogikken ogkampen om individet. Kritisk pædagogik, nyinderlighed og selvets tekniker. København:Hans Reitzels Forlag.[7] Loewenberg Ball, D., Hill, H. C., & Bass, H.(2005). ”Knowing Mathematics for Teaching”.American Educator (Fall).[8] Lundgren, U. P. (2006). Political Governingand Curriculum Change - From Active toReactive Curriculum Reforms. The Need fora reorientation of Curriculum Theory. Studiesin Educational Policy and EducationalPhilosophy., E-tidsskrift 2006-1.[9] Opheim, V. (2004). Equity in Education.Oslo: NIFUSTEP, rapport nr. 7.[10] Schulman, L. (1986). ”Those who understand:Knowledge growth in teaching.”Educational Researcher, 15 (2).[11] Stigler, J. W., & Hiebert, J. (1999). TheTeaching Gap. Best Ideas from the World’sTeachers for Improving Education in theClassroom. New York: The Free Press.DELTA - Matematikkvidereutdanning på nett• Åtte emner (7,5 studiepoeng), kan tas enkeltvis• Gir undervisningskompetanse for videregående skole• Videoforelesninger på nett, tett oppfølging medoppgaveløsning og veiledning underveis• Samlinger i TrondheimHøsten 2008 arrangeres:• Grunnkurs i ananlyse I• Tallteori• Statistiske metoder• Lineær algebra og geometriSøknadsfrist: 15. juni 2008.CICERO evtangenten 2/2008Telefon 73 59 14 33 eller 73 59 66 4337NTNU VIDEREE-post videre@adm.ntnu.noHent ny kunnskap der den skapes www.ntnu.no/delta

Bjørnar Alseth og Inger ThrondsenRegneprøven: Obligatoriskkartlegging av tallforståelseog regneferdighet på 2. trinnInnledningI 2003 ble TIMSS-undersøkelsen gjennomførtfor andre gang. De norske elevene gjorde detsvakt i matematikk, og særlig bekymringsfulltvar det at dette gjaldt spesielt innen elementæretall- og regneferdigheter. I tillegg skårte elevenepå 4. trinn i 2003 dårligere enn det de likegamle elevene gjorde i 1995. Forskerne er enigeom at de skuffende resultatene i stor grad skyldesen manglende faglig orientering i elevenesskolehverdag [6]. I Norge er dette ytterligeredokumentert i klasseromsstudier [7], [1]. Elevenekan være engasjert i mange ulike aktiviteter,men aktivitetene har varierende faglig kvalitet,og de har liten innbyrdes faglig sammenheng. Itillegg bruker lærerne lite tid på å løfte fram desentrale faglige aspektene i de erfaringene elevenegjør.Dette er en av grunnene for at Utdanningsdirektoratethar satt i gang ”Regneprøven”. Denneprøven er obligatorisk for alle elever på 2. trinni barneskolen fra og med inneværende skoleår.Gjennom dette prosjektet er målet å få et øktfokus på de faglige målene elevene skal arbeideBjørnar Alseth, ILS, UiObjornar.alseth@uib.noInger Throndsen, ILS, UiOinger.throndsen@ils.uio.no38Utdanningsdirektoratet har gitt EKVA(Enhet for kvantitative utdanningsanalyser)i oppdrag å utvikle en prøve somkartlegger andreklassingers tallforståelseog regneferdigheter. Artikkelforfatterneer de to som utarbeider prøven og dettilhørende materiellet. Hensikten medprøven er å avdekke behov for individuelloppfølging og tilrettelegging. Prøven erobligatorisk for alle elever og gjennomføresførste gang våren 2008. Den er en del avUtdanningsdirektoratets plan for en helhetligtilnærming til elevvurdering. Til prøven utviklesen veiledning som gir forslag til hvordanlærerne kan følge opp de elevene somkommer dårlig ut på prøven.Det poengteres at alle utdragene i denneartikkelen er fra en foreløpig utgave avKartleggingsmaterialet, slik at mindreendringer vil kunne forekomme.mot de første årene på skolen innen tallforståelseog regning. Dette fokuset er svært viktigfordi de første årene i skolen er ofte avgjørendefor elevens videre framgang på skolen. I matematikkbygger elevene sin kunnskap stein forstein. Om det mangler byggesteiner, er det storrisiko for at byggverket blir dårlig. Dette gjelderalle elevene og spesielt de som kommer til skolenmed dårlige forutsetninger for å lære. En elevsom på et tidlig stadium ikke forstår grunnleg-2/2008 tangenten

$#••••$•••#•••9••••••tangenten Gjennomføring 2/2008 av prøven39Læreren spiller en sentral rolle i administreringen og gjennomføringen av prøven. Det er

gende begreper, kommer til å få mindre utbytteav den vanlige undervisningen. Konsekvensenblir at eleven blir hengende enda lenger etter deandre elevene.For å kunne identifisere og hjelpe disse eleveneog dermed bryte den negative spiralen,kreves: 1) Fokus på de kunnskaper og ferdighetersom er spesielt viktige for elevene, 2) kartleggingsprøversom identifiserer de elevene somennå ikke har tilegnet seg disse ferdighetene, og3) tiltak som hjelper de identifiserte elevene å nåigjen de andre. Materialet i tillegg til selve ”Regneprøven”består av dette: Et rammeverk somutdyper og konkretiserer læreplanen på dettepunktet, og veiledning til lærerne for hvordande kan arbeide med de elevene som kommerdårlig ut på testen. Kartleggingsmaterialet 1 erinnrettet på de svakeste 20% av elevene, mendet er også verdifullt for de øvrige elevene.Rammeverk for kompetanse innen tall ogregningDet er utført mange omfattende studier medtanke på å beskrive elevers utvikling av kompetanseinnen tall og regning [2],[4] og [5]. I prosjektethar vi laget en sammenfatning av denneforskningen. Det er forholdsvis stor enighetmellom disse forskerne om hvordan kompetansenbør beskrives, og det har vært en nokså greijobb å tilpasse dette til norske forhold. Tabell1 viser presiserte kompetanser og hvordan desamsvarer med den norske læreplanen, LK06.Gjennomføring av prøvenLæreren spiller en sentral rolle i administreringenog gjennomføringen av prøven. Det erderfor utviklet en guide som forteller hvordanprøven skal planlegges og gjennomføres påskolen. Elevene skal gjennomføre prøven énside om gangen. Til hver side er det beskrevethva læreren skal si til elevene som forklaring tildenne siden. For eksempel skal læreren til sidenvist i Figur 1 si følgende:40”Her skal dere finne halvparten og tegne enFigur 1 Side fra Regneprøvenring rundt dem. I eksemplet øverst er det 10blomster. Halvparten av 10 er 5. Derfor er dettegnet en ring rundt fem av blomstene. I deto første oppgavene skal dere tegne ring rundthalvparten av blomstene. I de to nedersteoppgavene skal dere finne halvparten av 14 oghalvparten av 46, og så sette ring rundt riktigtall.”Det oppgis hvor lang tid elevene får til å arbeidemed hver side. Til Figur 1 er det 1 ½ min. Deelevene som blir raskt ferdig, må vente til tidener ute, mens andre kanskje ikke rekker å bli ferdigemed alle oppgavene. Når tiden er ute, gåralle elevene over til neste side, hvor læreren igjenstarter med å lese den tilhørende instruksjonen.Arbeidet er underlagt tidsbegrensning fordi enviktig del av den kompetansen som testes, erknyttet til hvorvidt elevene har utviklet effektiveregne- og/eller tellestrategier. For eksempelvil elever som legger sammen to tall ved å telleén for én kunne få problemer med å rekke alleoppgavene på en side, mens de som utnytterfaktakunnskaper i mer effektive strategier vil2/2008 tangenten

Gi eleven fire 1-kroner.– Hvor mange kroner har du? Kan du gi meghalvparten av kronene?– Hvor mange kroner har du nå? Hvor mangekroner har jeg?Gi den samme oppgaven med andrekonkreter; f.eks. blyanter, klosser, knapper,legobrikker.Hvis eleven klarer oppgavene, gi tilsvarendeoppgaver først med åtte 1-kroner, og deretter,om det også går fint, med fjorten 1-kroner. Giogså de samme oppgavene med andre typerkonkreter (klosser, knapper osv.).Se etter: Legg merke til hvordan eleven foretarhalveringen. Fordeler eleven en og en krone(blyant, kloss, knapp, figur) om gangen (”entil deg og en til meg”), eller legges konkreteneto og to slik at mengden halveres ved at dendeles på midten? Legg også merke til omeleven kan holde fast ved antallet, eller omeleven må telle om igjen.Figur 2 Tips til gjennomføring av intervju– Bruk ulike typer konkreter. Legg oppmengder av ulik størrelse (f.eks. 6, 10, 20).La elevene bli fortrolige med at de kanlegge objektene parvis overfor hverandreslik at mengden enkelt kan halveres meden linje langs midten.– Bruk ulike typer konkreter. Arbeid meddobling ved at de enkelte objektene koblesi par (arbeid først i tallområdet 0–10, utvidderetter opp til 20).– La elevene arbeide sammen to og to.Elevene legger opp mengder for hverandresom enten skal halveres eller dobles.– Elevene beveger seg til musikk. De skaldanne grupper etter den størrelsen lærerenangir når musikken stopper, f.eks. ”dobbeltav to” og ”halvparten av seks”.– Lag speilsymmetriske mønstre på rutenett.Gi deretter oppgaver til mønstrene:– Hvor mange mørke felt er det til sammen?(6) Hvor mange er det da på hver side?(Halvparten, 3)– Hvor mange grå felt er det på den enesiden? (7) Hvor mange er det da tilsammen? (Dobbelt, 14)rekke alle.Figur 3 Tips til undervisningsaktiviteterVeiledningsmateriellVeiledningsmateriellet gir hjelp til lærerne ogskoleledelsen til å møte utfordringer som avdekkesgjennom kartleggingen. Materiellet bestårav to deler. For det første gis tips til ytterligerekartlegging av eleven(e). Dernest gis konkreteforslag til hvordan elevene bør følges opp medutgangspunkt i ulike mangler avdekket gjennomkartleggingen. Den ekstra kartleggingensikter mot å avdekke røttene til manglene somer avdekket. Dette blir gjort i et oppgavebasertintervju med eleven, se eksempel i figur 2. Oppgavenevil i stor utstrekning ligne på de som blirgitt i de skriftlige prøvene. Ved at de gis muntligfår læreren mulighet til å diagnostisere denenkelte elev mer presist.Til hvert kompetanseelement i rammeverketsom elevene kartlegges etter, gis forslag tilaktiviteter og oppgaver som elevene kan arbeidemed for å styrke den kompetansen. Dette erkonkret beskrevne aktiviteter som nokså direktekan brukes i undervisningssammenheng. Aktiviteteromfatter alt fra lærerstyrt klasseromsundervisningtil spill og utforsking som elevenegjør alene eller i grupper.tangenten 2/2008 41

Undervisningsveiledningen vil bli utvikletmed tanke på å avhjelpe de svakhetene somkartleggingen avdekker hos elever. I tillegghåper vi at både rammeverket, kartleggingsprøveneog veiledningsmateriellet over tidvil kunne gi et betydelig, positivt bidrag ogsåtil den øvrige undervisningen. Ved at de viktigekompetansemålene innen tall og regningtydeliggjøres gjennom kartleggingsprøvene, villærerne få økt bevissthet omkring disse. Det ergodt dokumentert at en slik økt bevissthet vil hapositiv effekt på undervisningen de første årenepå skolen (for eksempel [4]).Litteratur[1] Alseth, B., Breiteig, T. og Brekke, G. (2003):Endring og utvikling ved R97 som bakgrunnfor videreplanlegging og justering - matematikkfagetsom kasus. Notodden: TFN[2] Anghileri, J. (2000): Teaching NumberSense. London: Continuum[3] Bobis, J., Clarke, B., Clarke, D., Thomas,G., Wright, R., Young-Loveridge og Gould,P. (2005): ”Supporting teachers in thedevelopment of young children’s mathematicalthinking: Three large scale cases.”Mathematics Education Research Journal,16, s. 27–57[4] Carpenter, T.A, Fennema, E., Franke,M.L., Levi, L., og Empson, S.B. (1999):Children’s mathematics: Cognitively guidedinstruction. Portsmouth, NH: Heinemann[5] Denvir, B., Brown, M. (1986): ”Understandingof number concepts in low attaining7–9 year olds: Part I.” Educational Studiesin Mathematics, 17, s. 15–36[6] Grønmo, L.S. et. al. (2004): Hva i all verdenhar skjedd med realfagene? Norske eleversprestasjoner i matematikk og naturfag iTIMSS 2003. ILS, Universitetet i Oslo, ActaDidactica. nr. 5[7] Haug, P. (2003): Evaluering av Reform97. Sluttrapport frå styret for Program forevaluering av Reform 97. Oslo: NorgesforskningsrådVox forvalter utviklingsprogrammetBasiskompetansei arbeidslivet ogandre tilskuddsordninger tilvoksnes læring. Vi analysererog dokumenterer kompetansebehov.Vi arbeiderfor å heve grunnleggendeferdigheter hos voksne oghar ansvar for læreplaneni norsk og samfunnskunnskapfor innvandrere. Voxhar spisskompetanse påvoksnes rett til utdanning,herunder dokumentasjon avrealkompetanse. Vox eies avKunnskapsdepartementet.VoxPb 6139 Etterstad0602 Oslo23 38 13 00postmottak@vox.no 42Lærer møter forsker – enmøteplass for matematikkdidaktikkVox arrangerer seminar om matematikkdidaktikk for matematikklærere.Håkan Lennerstad fra Blekinge Tekniska Högskola og Thomas Lingefjärdfra Göteborgs universitet er to av forskerne som vil lede workshopene.Seminaret er en del av arbeidet innenCORMEA-nettverket hvor formålet er åutvikle kommunikasjonen mellom lærere ogforskere.Tid og stedTorsdag 5. juni kl. 10.00 –15.30 iVox sine lokaler i Olaf Helsets vei 5b.Seminaret er gratis og lunsj er inkludert.Påmeldingwww.vox.no/cormea0506Påmeldingsfrist 15. mai.CORMEA, Connecting Research andMathematic Education for Adults, er etnordisk prosjekt med partnere fra Danmark,Norge og Sverige.Les mer om prosjektet på www.cormea.org2/2008 tangentenIMP kommunikasjon | Sviggum 03/08

Håvard JohnsbråtenKIM – nå også som et digitaltkartleggingsverktøyDet opprinnelige KIM-prosjektet ble gjennomførtved Telemarksforsking-Notodden (TFN)fra 1995 til 2002. I prosjektet ble det utvikletkartleggings prøver innen de fleste emner i matematikki grunnskolen. Noen av prøvene ble ogsåutviklet for 1. trinn i videregående opplæring.Det ble skrevet veiledningshefter med resultaterfra utprøvingen og ideer til undervisningsaktiviteterog -metoder.Nå er KIM-oppgavene for grunnskolendigitalisert, og programmet planlegges lanserti løpet av våren 2008. Programmet blir gratistilgjengelig for alle skoler. Se [1] for nærmereinformasjon.Hva er KIM?For enkelhets skyld vil betegnelsen KIM blibrukt både om det tidligere prosjektet, omvidereføringen av dette prosjektet og om selvedataprogrammet. KIM står forøvrig for KvalitetI Matematikkundervisningen.Hovedmannen bak prosjektet er høgskoledosentGard Brekke ved Høgskolen i Telemarkog TFN. Han har vært prosjekt leder for ”denskriftlige delen av KIM” fra starten av og framtil 2006. Etter det har undertegnede overtattHåvard Johnsbråten, Høgskolen i Telemarkog Telemarksforsking-NotoddenHavard.Johnsbraten@hit.noansvaret for ”den digitaliserte delen av KIM”.I det opprinnelige KIM-prosjektet ble detutviklet kartleggingsprøver og skrevet veiledningshefterinnen følgende emner for grunnskolen:Tall, Tallregning og Funksjoner for 5., 7.og 9. trinn, Algebra for 6., 8. og 10. trinn, ogGeometri og Måling og enheter for 6. og 9. trinn.Oppgavene ble prøvd ut i stor skala, og resultateneer lagt inn i veilednings heftene. Der finnesdet også egne kapitler med idéer til undervisningsaktiviteter.Det ble også utviklet kartleggingsprøverog veiledningshefter innen emnene Tallog tallregning, Geometri og Måling og enheterfor 1. trinn i videregående opplæring.I tillegg ble det skrevet veiledningshefter medtitlene Introduksjon til diagnostisk undervisningi matematikk, Matematikk på småskoletrinnetog Tanker om matematikkfaget hos elever oglærere.Alle veiledningshefter kan bestilles i papirutgavefra Utdanningsdirektoratets nettsider,se [2]. Heftet Introduksjon til diagnostisk undervisningi matematikk kan også lastes ned i pdfformatfra den samme nettsiden. Når KIM-programmetblir lansert, planlegges det å legge utkapitlene med idéer til undervisningsaktiviteterfra alle heftene i pdf-format.Oppgavene som er utviklet i KIM-prosjektetgår i stor grad på forståelsen av begreper innensentrale emner i matematikk. De fleste oppga-tangenten 2/2008 43

vene er laget som såkalte diagnostiske oppgaver,der hensikten er å få fram hvordan elevenetenker om et emne og i hvilken grad de harmangelfullt utviklede begreper eller misoppfatningerinnen emnet.Vi gir et eksempel innen tallregning. Eleveneskal velge riktig regneoperasjon for denneoppgaven:44Kjøttdeig koster 69,50 kroner per kg, hvormye koster 0,86 kg?Her velger mange elever divisjon. Det er ikkeunaturlig å svare dette, for da elevene arbeidetmed hele tall, ble de vant til å tenke at multiplikasjongjør svaret større og divisjon gjør svaretmindre. Overføres dette til desimaltall, vil imidlertiddenne tankegangen være en misoppfatning.I KIM-prosjektet ble mange av oppgavenetestet ut på flere klassetrinn. Hensikten var åkunne følge utviklingen av elevenes forståelseover tid. Siden oppgavene går på helt grunnleggendeemner i matematikkfaget, vil de være likeaktuelle for undervisning etter LK06 som da deble utviklet.Digitalisering av KIM-oppgaveneI 2006 besluttet Utdanningsdirektoratet å lageen nettbasert og interaktiv versjon av KIM isamarbeid med TFN. Formålet var bl.a. å øketilgjengeligheten til KIM-oppgavene og å bidratil et nasjonalt løft innen IKT og matematikk.I den første testversjonen av programmet bleoppgavesettene for de forskjellige emneområdenelagt inn utfra de klassetrinnene som oppgaveneopprinnelig ble prøvd ut på. I den versjonensom nå blir lansert vil denne inndelingenbli forenklet: De oppgavene som passer på trinn5–7 vil bli samlet innen hvert emneområde, ogdet samme vil bli gjort med de oppgavene sompasser på trinn 8–10. Denne inndelingen vilgjøre det lettere for læreren å velge ut oppgaver.Når det gjelder KIM-oppgavene i algebra,så er det svært få av disse oppgavene som egnerseg for trinn 5–7 utfra LK06. Emnet funksjonerer ikke med som noe hovedområde i LK06 førpå ungdomstrinnet. Derfor vil det bare bli lagtut oppgavesett innen algebra og funksjoner påtrinn 8–10.Den første versjonen av KIM-programmetinneholder oppgaver i emnene:– Tall (trinn 5–7 og 8–10)– Tallregning (trinn 5–7 og 8–10)– Funksjoner (trinn 8–10)– Algebra (trinn 8–10)– Geometri (trinn 5–7 og 8–10)– Måling (trinn 5–7 og 8–10)Figuren på neste side viser skjermbildet for enoppgave i tall, slik læreren vil se det når han/hun går gjennom besvarelsene. (Oppgaven ermed både på trinn 5–7 og trinn 8–10.) Nedersttil venstre er oppgavene markert. Ved hjelp avfargekoder (rødt/grønt) kan læreren se hvilkeoppgaver og oppgavepunkter som er godkjentav programmet og hva som er de riktige svarene.Denne oppgaven tester misoppfatningenlengst desimaldel er størst. Eleven har markertdet svaralternativet som har lengst desimaldelog begrunnet sin misoppfatning. Programmetevaluerer svaret i pkt. a, men læreren må selvvurdere elevens tekstsvar i pkt. b.Hvis læreren klikker på ”Åpne veiledning”,vil det åpnes en tekst med resultater og kommentarertil denne oppgaven, hentet fra KIMheftetom tall og tallregning. Her vil lærerenbl.a. kunne se at svaralternativet som viser misoppfatningenlengst desimaldel er størst velges avhele 66 % av elevene i 5. klasse, mens det i 7.klasse er 26 % som svarer dette og i 9. klassebare 7 %.Når KIM-programmet blir lansert, vil det blilagt ut informasjon og brukerveiledning til programmetpå Utdanningsdirektoratets nettsider.Der vil det også bli lagt ut en ”trailer” som vilgjennomgå bruken av programmet på en visuellmåte.2/2008 tangenten

Hvordan bør oppgavene brukes?KIM-materialet skal være læringsstøttende.Oppgavene bør derfor ikke brukes som grunnlagfor å sette karakterer. En ”prøve” kan gjerneinneholde noen ganske få oppgaver som går påelevenes forståelse av bestemte begreper. Oppgaverkan også vises fram ved hjelp av videokanonog diskuteres i samlet klasse.Siden mange av oppgavene er laget for å fåfram hvordan elevene tenker om et begrep, kanenkelte oppgaver også brukes før stoffet er gjennomgått.Da vil læreren få vite mye om hvilketanker elevene har om disse begrepene, ogundervisningen kan legges opp utfra dette. Meni og med at noen av oppgavene da kan synesvanskelige for elevene, bør læreren opplyse omhensikten med disse oppgavene på forhånd.I veiledningsheftene står det mer om dette,og der finnes det også idéer til undervisningsaktivitetersom kan hjelpe elevene til bedrebegrepsforståelse og gi lærerne idéer til undervisningsmetoder.Se også [3].Videre planer for KIM– I KIM-prosjektet er alle hovedområder igrunnskolens matematikk dekket, bortsettfra Statistikk og sannsynlighet. Det arbeidesnå med å utvikle oppgaver for 8. trinninnen dette emnet. Oppgavene vil bli prøvdut i digitalisert versjon og lagt inn i KIMprogrammeti løpet av 2008.– Det planlegges også å utgi et veiledningshefteom Statistikk og sannsynlighet medresultater fra utprøvingen og idéer tilundervisningsaktiviteter.– For første trinn i videregående opplæringer det utviklet oppgaver innen Tall ogtallregning, Geometri og Måling og enheter.Disse oppgavene planlegges lagt inn i KIMprogrammeti løpet av 2008.– Det planlegges også å utvikle oppgaver fordette trinnet innen Funksjoner, Algebratangenten 2/2008 45

og Statistikk og sannsynlighet, slik at alleemner i matematikk også blir dekket avKIM-oppgaver for første trinn i videregåendeopplæring. Dette arbeidet ventesfullført i løpet av skoleåret 2008/09.Kilder[1] Skoler kan få tilsendt brukernavn til KIMprogrammetved å sende epost til KIMtfn@hit.no. Oppgi skolens navn, fylke og kommune.På TFNs nettside www.tfn.no vilinformasjon om KIM-programmet bli ajourførtfortløpende. Ved lansering vil programog veiledningstekster bli gjort tilgjengeligpå Utdanningsdirektoratets nettside www.utdanningsdirektoratet.no/ under ”Eksamenog vurdering” og ”Kartleggingsprøver”.[2] Veiledningsheftene fra KIM-prosjektet kanbestilles i papirutgave slik: Gå til bestilling.utdanningsdirektoratet.no/ og velg Kartlegging,Åpne kategori for Kartleggingsmateriellog Matematikk.[3] Konferanserapporten til Novemberkonferansen2007 i Trondheim vil foreliggeutpå våren. Den inneholder en artikkel avundertegnede som er en utvidelse av denforeliggende artikkelen. I tillegg inneholderrapporten en artikkel av Anne Rasch-Halvorsenom bruk av KIM-materialet i undervisning.Følg med på www.matematikksenteret.no.Matematikk for små –inspirasjon for voksne– om arbeid med matematikk i barnehagenI disse dager sender Tangenten ut et inspirasjonshefte til allebarnehager, grunnskoler og førskolelærerstudenter.Det er et spennende inspirasjonshefte for alle som er opptatt avhva matematikk er og kan være for små barn. Heftet handler omhvordan barn lærer seg matematikk gjennom lek, samtale ogandre aktiviteter, og hvordan barnehagepersonell og lærere kanstøtte barna i deres utvikling. Artiklene er nær knyttet opp motrammeplanen, særlig fagområdet ”Antall, rom og form”. I tilleggbelyses språkets rolle for matematikklæring. Ansattes tanker ogkompetanseutvikling i arbeid med matematikk i barnehagen erogså et sentralt tema. Forfatterne gir et levende bilde på noe av det mangfoldige arbeidet som pågåri barnehager og gir oss en kritisk diskusjon om hva det innebærer å arbeide med matematikk for deminste.Redaktør: Magni Hope Lossius Bidragsytere: Gerd Åsta Bones, Elena Bøhler, Else Devold, VigdisFlottorp, Line I. Rønning Føsker, Sølvi Melvold Gjennestad, Mette Gustavsen, Monica Kristiansen,Inger Elin Lilland, Kari Haukås Lunde, Marit Lunde, Vivian Olsen, Per M. Schjelderup, May RenateSettemsdal, Janita Sandvik Sjøvold, Ingvill Merete Stedøy-Johansen, Oddveig ØgaardHeftet kan også kjøpes fra forlaget. 72 sider. Pris 50,– + portoCaspar Forlag AS46www.caspar.no · post@caspar.no · fax 55 28 89 982/2008 tangenten

Reidar MosvoldRefleksjoner omkringhverdagsmatematikkMatematikk i dagliglivet kom inn som egetemne i norske læreplaner med L97. En undersøkelseav tidligere læreplaner viser at en praktisktilknytning alltid har vært til stede i matematikkfaget,i større eller mindre grad. En skulle tautgangspunkt i praktiske og dagligdagse situasjonerog legge til rette for en utforsking av dematematiske begrepene og teoriene ut fra dissesituasjonene. Denne tanken har blitt videreført iKunnskapsløftet, selv om matematikk i dagliglivethar forsvunnet som eget målområde.Verken i L97 eller i Kunnskapsløftet brukesordet «hverdagsmatematikk». Når det har blittbrukt i denne artikkelens overskrift, er det enbevisst bruk for å oppmuntre til bevisstgjøringomkring begrepet. Hverdagsmatematikk ser jegsom den matematikken en har bruk for i dagliglivet,eller den matematikken vi kan trekkeut fra dagliglivet. Dersom vi med utgangspunkti en slik definisjon sier at hverdagsmatematikkbør ha hovedfokus i matematikkfaget i norskskole, gjør vi matematikk til et svært begrensetfag. De siste norske læreplanene nevner entilknytning til livet utenfor skolen. Det er etpoeng i både i L97 og Kunnskapsløftet at enmed utgangspunkt i praktiske situasjoner skalla elevene utforske og oppdage matematikk. IReidar Mosvold, Universitetet i Stavangerreidar.mosvold@uis.nodenne artikkelen vil eksempler fra tre læreresundervisning danne utgangspunkt for diskusjonomkring det å knytte matematikken tildagliglivet [2]. Lærernes navn er endret.Tre eksemplerJeg tar utgangspunkt i undervisningen til treulike lærere. Undervisningssekvensene gireksempler på hvordan lærere knytter matematikkentil dagliglivet på ulike måter. Eksemplenedanner så utgangspunkt for en mer generell diskusjonomkring det å knytte matematikken tildagliglivet.Ikke alle lærere er enige i at en skal knyttematematikken til dagliglivet, og noen er til ogmed sterkt uenige i en slik tankegang. De som eruenige i en tilknytning til dagliglivet kan oppfattematematikk som et dannelsesfag, en måtefor elevene å trene opp og utvikle sin evne tillogisk tenkning. Matematikk har en verdi i segselv, det trenger ikke nødvendigvis være noe målat den matematiske kunnskapen skal ha noennytteverdi utover dette. Karin er en lærer medslike oppfatninger, og vi skal starte med å se pået eksempel fra hennes undervisning.Bestemors knapperDette eksemplet er hentet fra en 8. klasse somnettopp har begynt med algebra. Karin startermed å fortelle elevene en liten historie omda hennes bestemor døde. Da de skulle ryddetangenten 2/2008 47

i dødsboet fant de to skuffer fulle av binders,sikkerhetsnåler, knapper og knappenåler. Hunskriver en oversikt på tavla over innholdet i deto skuffene, og hun lar binders være representertved bokstaven b, sikkerhetsnåler ved s, knapperved k og knappenåler ved kn:Eksempel 3(75b + 55s + 275k) + (25b + 15s + 80kn)= (75b + 25b) + (55s + 15s) + 275k + 80kn= 100b + 70s + 275k + 80knTotalt var det altså 100 binders, 70 sikkerhetsnåler,275 knapper og 80 knappenåler i skuffene tilbestemor. Etter dette gir hun et nytt eksempelmed a-er og b-er, hvor hun forklarer at a-enekan være en forkortelse for apekatter og b-enefor bananer. I forlengelsen av dette eksempletviser hun regneregler for hvordan vi kan regnemed bokstavuttrykk. Disse regnereglene skriverelevene opp i regelbøkene sine.Karin var, som tidligere nevnt, uenig i at enskulle forsøke å knytte matematikken til dagliglivet,og her ser vi et eksempel på en oppgavesatt i en sammenheng som tilsynelatende erhentet fra dagliglivet. Det blir derimot snartklart at denne sammenhengen ikke har noenbetydning for selve oppgaven. Historien ombestemors knapper ser ut til å være tatt medsom en litt morsom innpakning til et matematiskproblem.Vi kan være enig eller uenig i en slik bruk avkontekster i matematikkoppgaver, men hvis viser litt nærmere på lærebøkene i matematikksom er i bruk i norske klasserom vil vi finnemange slike eksempler. Elevenes oppgave blirda i hovedsak å trekke ut den informasjonenfra oppgavekonteksten som er nødvendig for åløse oppgaven. Slik bruk av kontekster kan vikalle for kunstige tilknytninger til dagliglivet.De gir inntrykk av å være problemer eller situasjonerfra dagliglivet, men sammenhengen somblir beskrevet har egentlig ingen betydning forselve oppgaven. Naturligvis kan en argumenterefor at slike kontekster er motiverende. Men48ikke alle kontekster oppleves som motiverendefor alle elever, og elevenes kilde til motivasjonkan også variere. Dersom motivasjon er argumentasjonenvi støtter oss på, bør vi være villigetil å diskutere noen av de andre utfordringenesom ligger i bruken av slike kontekster.Størrelsen til en vinkelDet neste eksemplet vi skal se på er en undervisningssekvenssom fant sted i klassen tilAnne. I motsetning til Karin mente Anne detvar et mål å knytte matematikken til dagliglivet.I den daglige undervisningen møtte hunderimot mange hindringer og problemer somgjorde det vanskelig å nå dette målet. Dermedklarte hun ikke alltid å undervise på den måtenhun ønsket. Undervisningen hennes bar preg avdialog mellom lærer og elever.Eksemplet er hentet fra en 9. klasse. Annestarter timen med å holde opp et vanlig ark,og hun spør elevene hva slags geometrisk figurdette er. En elev svarer at det er et rektangel, ogAnne følger opp med å spørre hva som kjennetegneret rektangel. Deretter følger en diskusjonom hvorvidt sidene i et rektangel må være parallelleeller ikke, og om størrelsen på vinklene. Enelev mener at vinklene må være 90 grader, ogAnne spør hva som egentlig menes med det. «Atden er rett,» foreslår en annen elev. Så tegnerAnne en skisse av fjellformasjonen Prekestolensom et eksempel på en tilnærmet rett vinkel inaturen. De fortsetter med en dialog omkringvinkelsummen i ulike geometriske figurer førde tar til med oppgaveregning.Læreren starter med å presentere et fysiskobjekt (et ark) som elevene er kjent med, og hunbruker dette som utgangspunkt for en samtalemed elevene. Hun forsøker hele tiden å få elevenetil å komme fram til svarene, og hun stillermange spørsmål som skal motivere elevene til åtenke selv. Fremgangsmåten er ganske forskjelligfra den Karin brukte. Mens Karin presenterteen oppgave i det vi kalte for en kunstig innpakning,forsøkte Anne å bruke ting elevene kjentetil fra før og lede dem gjennom en utforsking2/2008 tangenten

av matematikken. Anne tok utgangspunkt i etobjekt som var kjent for elevene og la til rette foren diskusjon omkring dette. Hun forsøkte å ledeelevene på veien slik at de selv kunne kommefram til matematiske sammenhenger. Det kannok diskuteres om Anne brukte en situasjonfra dagliglivet eller ikke, men fremgangsmåtenhennes kan i alle fall betegnes som et skritt iden retningen.SykkeloppgavenDet tredje eksemplet vi skal ta for oss her fantsted i klassen til Harry. I likhet med klassentil Anne, var dette også en 9. klasse. Harry lastor vekt på å knytte matematikken til dagligliveti undervisningen, og han arrangerte ofteulike typer praktiske aktiviteter i timene. Hanunderviste også i naturfag, og han benyttetenhver anledning til å trekke linjer mellom deto fagene.Dagen i forveien har noen av elevene fått ioppgave å ta med syklene sine til neste matematikktime.Når timen starter står et par syklerstilt opp inne i klasserommet. Harry gir elevenefølgende oppgave:Når dere skal jobbe med sykkeloppgaven idag, så skal dere tegne sykkelen i målestokk1:5. Dere skal ha så nøyaktige mål og vinklersom overhodet mulig. Tegn en skisse idag, så lager dere en mer nøyaktig tegningneste gang. Og dere skal plukke ut så mangegeometriske fenomener som mulig.Dermed går elevene i gang med å måle alledeler av syklene og lage en skisse. De må selvavgjøre hva slags måleinstrumenter de skullebruke, men læreren har tatt med skyvelær så dekan måle diameteren på rørene nøyaktig. Detoppstår en rekke diskusjoner knyttet til ulikeproblemstillinger som dukker opp underveis.Hvordan kan vi måle tverrsnittet av et rør? Harpedalenes lengde noen betydning? Hvor stortark må vi ha når vi skal tegne sykkelen i målestokk1:5? Flere ganger kan læreren komme inni diskusjonen og trekke koblinger til naturfag ogandre fagområder.Svært mange av de oppgavene elevene møteri læreboka er det vi kan kalle «som-om oppgaver».Elevene skal gjøre beregninger og løseproblemer, som om de skulle gjort det i virkeligheten.Som regel vil elevene være fullstendigklar over at dette er lærebokproblemer og ikke«virkelige» problemer, og de vet at de ikke skalgjøre dette i virkeligheten. De mer tradisjonellematematikkoppgavene som vi finner i lærebøkeneunngår også å ta med de komplekse forholdenesom ville vært i et tilsvarende problemi virkeligheten. Denne sykkeloppgaven er eteksempel på en helt annen måte å jobbe på. Hermå elevene faktisk måle ekte sykler, med alle deutfordringene det medfører, og de blir tvungettil å reflektere over en del ting som de sannsynligvisikke ville brukt tid på hvis dette var enoppgave de skulle løse i læreboka.Harry var forøvrig en lærer som ikke bruktelæreboka så mye. Stort sett ble den benyttet somkilde til oppgaver som elevene kunne ha i hjemmelekse.På skolen jobbet de oftest med uliketyper småprosjekter og aktiviteter, slik somdette sykkelprosjektet.Hva skal vi så gjøre?De tre eksemplene jeg har presentert over er tattmed for å illustrere tre ulike grader av tilknytningtil dagliglivet. Eksemplet fra Karins undervisningviser hvordan en hverdagskontekst kanbrukes på en kunstig måte i undervisningen.Det kan godt være at oppgaven eller kontekstenoppleves som motiverende for noen elever, mendenne bruken av en situasjon som tilsynelatendeer fra dagliglivet passer ikke helt inn i tankenom å ta utgangspunkt i situasjoner eller problemerfra dagliglivet og la elevene få utforske ogoppdage matematikken ut fra dem. I så måte erAnnes fremgangsmåte et langt skritt nærmere,selv om hverdagstilknytningen i denne situasjonenkanskje var mest på diskusjons- og tankeplanet.I sykkeloppgaven til Harry måtte elevenemåle og tegne konkrete sykler, og dermed måttetangenten 2/2008 49

de også ta hensyn til alle de praktiske problemstillingenesom kom opp i aktiviteten. På denmåten skiller denne aktiviteten seg klart fra demange «som-om problemene» som elevene oftemøter.Alle lærere er forskjellige, og ikke alle følerat de kan undervise slik Harry gjorde. Noenlærere føler seg sterkt knyttet til læreboka, mensandre finner det naturlig å ha en dialog medelevene slik Anne la vekt på. Meningen meddisse eksemplene er å belyse dette med å knyttematematikken til dagliglivet ut fra tre ganskeulike tilnærmingsmåter. Eksempler på uliketilnærmingsmåter kan hjelpe oss til å reflektereover egen undervisning, og de ulike metodenehar sine fordeler og ulemper.Karins strukturerte og noe mer «tradisjonelle»undervisning kan passe for noen elever.Hennes bruk av tavle, regelbok og oppgaveregningvar ment å legge til rette for at alle eleveneskulle få anledning til å få med seg noen av deviktigste ferdighetene og kunnskapene, mens deflinke ville få utfordringer ved at oppgavene vargitt i ulik vanskelighetsgrad. Selv om tilknytningentil dagliglivet – som hun jo faktisk varmotstander av – var av en mer kunstig karakter,kan en argumentere for at hennes vektleggingav grunnleggende ferdigheter passer godt inn idet som nå har blitt en hovedtrend i norsk skole.Annes reflekterende samtaler med elevene varment å motivere dem til å tenke selv. Hun ønsketat elevene selv skulle få oppdage matematikkenheller enn at hun skulle gi dem svarene før dehadde fått sjansen til å prøve seg på egen hånd.Harrys bruk av aktiviteter og småprosjekterpasser godt inn i den sosialkonstruktivistisketenkingen som ligger bak L97, men dette er enkrevende måte å undervise på som ikke enkeltkan kopieres av alle lærere. Denne måten å jobbepå krever dessuten at læreren har idéer og kildertil ressurser som gjør at han eller hun kan leggebort læreboka innimellom. I eksemplet medsykkeloppgaven ble elevene også tvunget tilå tenke og reflektere over det de gjorde på enannen måte enn hva som ofte er tilfelle i mer50tradisjonell undervisning.Videre skal jeg rette fokus mot hvordan vikan knytte matematikken til dagliglivet medutgangspunkt i de eksemplene vi har sett over.Følgende tre momenter vil være med: organisering,hjelpemidler og lærernes praksisteorier.Ved en analyse av hvordan lærere knyttermatematikken til dagliglivet kan vi ha fokus påselve organiseringen av undervisningen. Skalelevene jobbe i grupper eller individuelt? Skal vilegge til rette for større eller mindre prosjekterog aktiviteter, eller kanskje tverrfaglige temaarbeider?Skal undervisningen organiseres somen reflekterende samtale mellom lærer og elev,eller mellom elevene? Skal vi bruke tavle, dataeller ulike tekniske hjelpemidler for å løfte framdet elevene skal lære? Noe av dette har vi setteksempler på her, og alle disse organisatoriskevalgene kan gjøres uavhengig av om en velgerå ha fokus på tilknytningen til dagliglivet ellerikke. Hvis en skal ta utgangspunkt i et problemeller en situasjon fra dagliglivet, slik både L97 ogKunnskapsløftet vektlegger, må en nødvendigvista i bruk andre kilder enn læreboka fra tid tilannen. Da er vi inne på et annet moment: brukav kilder og ressurser i undervisningen.Mange lærere er sterkt knyttet til læreboka,og tradisjonelt sett har nok matematikkfagetvært blant de fagene hvor denne tilknytningener sterkest. Evalueringen av Reform 97 formatematikkfaget (Alseth, Breiteig og Brekke,2003) viste at dette stadig er tilfelle blantmange lærere. Læreboka har stadig en sentralplass i matematikkundervisningen. De flestevil være enig i at vi må ha en eller annen formfor lærebok i matematikk. Samtidig vil de problemeneog situasjonene som presenteres i enlærebok aldri kunne ha utgangspunkt i dagliglivettil hver enkelt elev. De vil alltid forblilærebokoppgaver. Kontekstene som presenteresi oppgavene vil alltid bære preg av at dette er eilærebok og ikke «virkeligheten». Læreboka kanderimot legge til rette for og foreslå ulike typeraktiviteter og småprosjekter som læreren kangjennomføre i klassen sin, og her er det mulig2/2008 tangenten

å ta utgangspunkt i elevenes hverdag. I seg selvvil en lærebok alene ikke være noen god måte åta utgangspunkt i problemer og situasjoner fraelevenes hverdag. Problemet eller utfordringenfor lærere blir da å finne fram til andre kilderog ressurser de kan bruke. Lærerveiledningenekan være en slik kilde, egne erfaringer og tipsfra gode kolleger kan være andre. L97 listet oppen del forslag til kilder lærere kan bruke, ogdisse blir nok brukt av lærere i ulik grad. Mangelærere bruker internett som kilde til idéer, menher er utfordringen å finne gode sider med stoffsom er av passende vanskelighetsgrad. Nettstedersom matematikk.org og matemania.nohar blitt populære, men kanskje burde vi hattnoen fora hvor det var lagt til rette for at hverenkelt lærer fritt kunne kommunisere sine idéerog synspunkter. En matematikklærers svar påYouTube eller Wikipedia kunne kanskje værten idé.Et tredje moment i diskusjonen omkringhvordan vi kan knytte matematikken til dagliglivethar sammenheng med lærernes oppfatningerog praksisteori, og her er vi ved et sentraltpunkt. For å forandre på undervisningen trengervi kunnskap. Mange lærere ser ut til å manglekunnskaper og idéer om hvordan de kan gjøredette i den praktiske undervisningssituasjonen.Samtidig skal det mer enn kunnskap og opplysningtil for å endre på undervisningen. De oppfatningeneog holdningene en lærer har til et faghar også sterk innflytelse på hvordan undervisningenblir. Dersom en lærer er motstander avå knytte matematikken til dagliglivet, slik Karinvar, må det mer til enn kunnskap og opplysningfor at slike lærere skal endre sin undervisningspraksis.Noen lærere har som grunnholdningat de vil fortsette å undervise slik de alltid hargjort, uansett hva nye læreplaner måtte si, ogda hjelper det heller ikke med kunnskaper ogidéer fra annet hold. Evalueringen av L97 visteat lærerne hadde gode kunnskaper om innholdeti læreplanen. Likevel forble undervisningeni stor grad uendret (Alseth, Breiteig og Brekke,2003).Noen forskere beskriver undervisning somen kulturell størrelse, og det tar tid å endre på enkultur. «Det fins ingen kongevei til matematikken»er det mange som har sagt, og det å knyttematematikken til dagliglivet er nok heller ikkenoen slik kongevei. Likevel er det mye som tyderpå at det å ta utgangspunkt i situasjoner fra elevenesdagligliv kan være fruktbart. Dette er ogsåhelt på linje med den sosialkonstruktivistisketenkingen som er rådende i dagens pedagogikk.I denne sammenhengen må det også nevnes atdet er en del forskere som mener at kunnskapi sterk grad er bundet til kontekst. Det vi læreri en sammenheng kan ikke nødvendigvis overførestil en annen kontekst. Barn som beherskerprosentregning for å finne ut hva det koster nårprisen på en vare på kjøpesenteret er satt ned,men samtidig kan de ha problemer når de møtertilsvarende oppgaver i matematikktimene påskolen. Dette er et av de problematiske aspektenemed å knytte matematikken til dagliglivet,og som lærer bør vi ta denne problemstillingenpå alvor.I denne artikkelen har det vært et mål åtrekke fram praktiske eksempler for å belysenoen teoretiske funderinger knyttet til undervisningeni matematikk. Eksempler fra andrelæreres undervisning kan ofte danne et godtutgangspunkt for refleksjon omkring egenundervisning. Dersom vi observerer og reflektererover eksempler på en undervisningspraksissom er forskjellig fra vår egen, kan vi se våregen praksis i et nytt lys. En slik faglig refleksjonomkring egen praksis kan hjelpe oss til å utvikleoss som lærere, og det kan være et verktøy til åendre de mer dype oppfatningene en har av etfag. Et systematisk fokus på refleksjon omkringegen undervisning har vist seg fruktbar, og inoen tilfeller har dette blitt satt i system. Gjennomen slik prosess kan vi endre på en undervisningskultur.Det hele kan starte med noe såenkelt som at en gjør seg noen tanker omkringet eksempel fra en annens undervisningshverdag.(fortsettes side 27)tangenten 2/2008 51

Dette er starten på en ny spalte der Audun Holme tar opp tema fra matematikkens historie.Audun Holme er professor ved Universitetet i Bergen og har skrevet flere bøker om emnet.audun.holme@math.uib.noAudun HolmeMatematikk-loftetDette er den første i en rekke av små epistler ommatematikk, som kommer til å stå i Tangentenfremover. Det er meningen å presentere ulikesider av matematikken i dag og for i morgen,men sett i historiens lys. Når vi skal stikke utkursen fremover, er det som oftest lurt å holderede på hvor vi kommer fra, slik at vi ikke blirvirrende omkring uten mål og mening! Vi skalstarte med ikke gamle, men tidløse og allmenngyldigeregnemetoder. I dag skal vi ta for oss åregne ut kvadratrøtter.KvadratrøtterDa min gamle kollega ved Universitetet iBergen, professor Ernst S. Selmer, hadde mottattSt. Olav-ordenen, var han i audiens hos KongOlav V på slottet. Stor ble Selmers forbløffelseda han så at kongen hadde et stort regnestykkeskriblet på baksiden av en konvolutt. Da hanspurte hva det var for noe, svarte kongen at for åholde seg i trim, begynte han gjerne dagen medå trekke ut kvadratroten av dagens dato. Dabrukte han selvfølgelig ikke kalkulator, det blirdet ikke mye hjernetrim av! Det fins nok enkeltematematikkprofessorer som ville kommet i forlegenhetdersom kongen hadde utfordret demtil å gjøre det samme! Men det gjorde kongenikke, selv om jeg nok er sikker på at en garvetnumeriker og tallteoretiker som Selmer haddetatt den på strak arm.Nå skal vi forsøke om vi kan komme fra52utfordringen med æren i behold. I dag, nårdette skrives, har vi datoen 20. desember, altså20.12. Vi tolker nå, i strid med Norsk Språkrådsforeldede konvensjon, dette punktumetsom desimalmerke, og setter N = 20.12. Sidenkvadratet av 4 er 16 mens kvadratet av 5 er 25,må kvadratroten av N ligge mellom 4 og 5. Nåskal vi først se på den metoden som kongen ikkebrukte, men som de aller fleste både vet om ogkan bruke for alt den er verdt. Vi skal finnestadig bedre tilnærmelser, og begynner medmidtpunktet mellom, altså gjennomsnittet avtallene, 4 og 5. Det er n = 4.5. Da er n 2 = 20.25.Det er litt mer enn N, så kvadratroten liggermellom 4 og 4.5. Midtpunktet mellom 4 og4.5 er 4.25, kvadratet av dette er 18.0625, somer for lite, slik at n ligger mellom 4.25 og 4.5.Gjennomsnittet er 4.375. Kvadratet av 4.375 er19.140625. Husk nå på at multiplikasjonene skalutføres for hånd!Ved å gjøre dette i alt fem ganger, finner vi atden søkte kvadratroten ligger mellom 4.484375og 4.490234375. I neste skritt skal vi da førstfinne midtpunktet mellom disse tallene, og såkvadrere. Da legger vi først sammen 4.484375og 4.490234375:4.484375000+ 4.490234375= 8.974609375Deretter halverer vi ved å dividere med 2. Men2/2008 tangenten

8 .9 7 4 6 0 9 3 7 5 : 2 = 4. 4 8 7 0 4 6 8 7 580 981 71 61 41 40 660 000 981 31 21 71 61 51 41halvering ble i gamle dager sett på som en egenregningsart, som er enklere enn divisjon. Kandu se det på dette eksemplet?Men til den lange divisjonen (se rammen).Følger man denne metoden strengt, skalman nå egentlig utføre multiplikasjonen4.487046875 × 4.487046875. Jeg skal spareleserne for den. Men prosessen må gjentas forå avgjøre om den søkte kvadratroten er 4.485,4.486 eller 4.487 med 3 desimalers nøyaktighet.I virkeligheten er denne metoden ikke særliggod til uttrekning av kvadratrøtter. Men metodener jo vesentlig mer generell, og kan brukestil å beregne røtter i en hvilken som helst ligningav formen f(x) = 0, enten f(x) er et polynomi x eller en annen funksjon som man kanberegne for hver verdi av x. Det er altså, i parentesbemerket, helt galt å påstå at det ikke finnesnoen generell metode til å løse femtegradsligninger!Niels Henrik Abel beviste som vi vet atdet ikke finnes en formel for løsningen ved dearitmetiske operasjoner og rottegn, men det erjo en annen sak.Dersom man vil programmere en løsningsprosedyreog ikke vil skrive for mye programmeringskodekan denne metoden være praktiskå bruke. Jeg har selv benyttet den for å illustreremine forelesninger i elementær algebraiskgeometri her i Bergen, dessuten også under etopphold ved det nå nedlagte Geometry Centeri Minneapolis. Her var det oppgaven å kunneplotte plane kurver gitt ved én ligning, som foreksempel 2x 4 − 3x 2 y + y 4 − 2y 3 + y 2 = 0, pådataskjermen. Dette var for mange år siden nå,og før det ble gjort så effektivt i slike programpakkersom MAPLE.Vi skal så se på uttrekning av kvadratrotenved den andre metoden. Dette er den sammemetoden som for eksempel ble brukt av Teonfra Alexandria, Hypatias far, da han arbeidetmed sine kommentarer til den store astronomenPtolemaios. Denne metoden er helt overlegenover den vi startet med. Her får vi sifrenei kvadratroten, ett etter ett, og nøyaktig riktigførste gang.Vi skal først trekke ut kvadratroten av et helttall N, senere skal vi se på et rasjonalt tall. Vitenker oss først at kvadratroten er et helt tall n,vi skal se nærmere på egenskapene til n. Anta atdet siste sifferet i n er b. Da har vi n = 10a + b,der a er et helt tall, og b er ett av de hele tallenefra 0 til 9. Vi fårN = n 2 = (10a + b) 2= 100a 2 + 20ab + b 2Hvis vi altså kjenneralle sifrene ibortsett fra detsiste, lar vi a væretallet med de kjenteførste sifrene og bdet siste, ukjente sifferet.Da har vi enførste tilnærmelsetil b ved å ta b ≈ b’= [(N − 100a 2 )/20a],der [r] betegner heltallsdelentil detreelle tallet r, slikat for eksempel4.487046875 tangenten × 2/2008 4.487046875534.485, 4.486 4.487

[3.5] = 3. Dersom nå 100a 2 + 20ab’+b’ 2 er størreenn N, må vi forsøke med den mindre verdienb = b’ − 1. Det er klart at slik finner vi den retteverdien for b, etter noen få forsøk.Generelt har vi at dersom N er et vilkårlighelt tall, og vi kjenner det hele tallet a somligger nærmest opp under , finner vi bved denne metoden og har da at n = 10a + b erdet hele tallet som ligger nærmest opp under.Denne observasjonen kan vi bruke til å finnekvadratroten av et vilkårlig helt tall N:Vi starter med å dele inn sifrene i N i grupperpå to og to sifre, slik at den høyeste gruppen harett eller to sifre, de øvrige har to, for eksempelblir 31415926540 skrevet slik:03 | 14 | 15 | 92 | 65 | 40Poenget er nå at vi begynner med å finne denbeste tilnærmelsen nedenfra til kvadratrotenav 3, deretter den beste tilnærmelsen nedenfratil kvadratroten av 314, så 31415, og så videre.Vi starter altså med a = 1, siden 1 2 = 1 mens2 2 = 4, så skal vi finne b av b ≈ (314 − 100)/20= 214/20 som er større enn 10. Så vi forsøkermed b = 9, som også er for stor fordi 19 2 =361, 8 er også for mye fordi 18 2 = 324, menb = 7 er OK, siden 17 2 = 289. Nå fortsetter vimed 31415 og med a = 17. Denne gangen blirb ≈ (31415 − 28900)/(20·17) som gir b = 7 somførste mulighet. Denne er brukbar, viser det seg,og vi fortsetter.Nå tar vi fatt på tallet N = 20.12, som er våregentlige oppgave her. Vi erstatter dette talletmed 2012, og setter komma på rett sted etterpå.Da får vi svaret med en desimal. Hvis vi vil ha toeller tre … eller seks desimaler bruker vi 201200eller 20120000, …, eller 2012000000000000.Som vi skal se er det praktisk å fylle på alle dissenullene etter hvert som regningen skrider frem.Når vi har et rasjonalt tall, lar vi selvsagt desimalenebak desimalmerket inngå i stedet for deførste nullene.Vi setter regnestykket opp i en tabell, meden kortfattet forklaring for hvert enkelt skritt. Iskritt nr. 1 har vi bare en a, som betegnes meda 1. I skritt 2 finner vi en b 2som gir oss den nyeverdien for a, kalt a 2, osv.4. 4 8 5 5 3 220 12 a 1 =416 00 a 2 1 = 164 12 20a 1 b 2 ≈ 412 b 2 ≈ 5,20a 1 b 2 + b 2 2 = 425. b 2 =4.3 36 20a 1 b 2 + b 2 2 = 336, a 2 = 44.76 00 20a 2 b 3 ≈ 880b 3 b 3 =8. 20a 2 b 3 + b 2 371 04 = 7104, a 3 = 4484 96 00 20a 3 b 4 ≈ 49600, 8960b 4 ≈ 496004 48 25 b 4 =5. 20a 3 b 4 + b 2 4 = 44825. a 4 = 4485.47 75 00 20a 4 b 5 = 89700b 5 ≈ 47750044 85 25 b 5 =5. 20a 4 b 5 + b 2 5 = 448525. a 5 = 44855.2 89 75 00 20a 5 b 6 = 897100b 6 ≈ 28975002 69 13 09 00 b 6 =3. 20a 5 b 6 + b 2 6 = 2691309. a 6 = 448553.20 61 91 00 20a 6 b 7 = 8971060b 7 ≈ 2061910017 94 21 24 b 7 =2. 20a 6 b 7 + b 2 7 = 17942124 a 7 = 4485532.2 67 69 24√20.12 ≈ 4.485532542/2008 tangenten

Nasjonalt senterfor matematikki opplæringenRealfagbygget A4, NTNU7491 TrondheimTelefon: +47 73 55 11 42Faks: +47 73 55 11 40merete.lysberg@matematikksenteret.noGerd NilsenIkke bare du og jeg,men … ALLE TELLER– noen innspill etter et års liv medhåndboken ”Alle Teller”Jeg har jobbet i ungdomsskolen ”hele livet”,er for tiden også student. Utgangspunktet formasteroppgaven min er kartleggingsmateriellet”Alle Teller” og 10. trinnstesten. På ensamling for ressurspersoner, tidlig i 2006, fikkjeg vite at ”noe var på gang”. Dette noe var etsamarbeidsprosjekt hvor tallforståelse var etviktig stikkord. Tall har ”alltid” fascinert meg,derfor ble jeg ekstra nysgjerrig. ”Alle Teller”er resultatet av et samarbeidet mellom NCM(Matematikksenteret i Sverige), Matematikksentereti Norge og professor Alistair McIntosh(University of Tasmania), hvor sistnevntehar forfattet boken. McIntosh har i flere tiår, iflere land, forsket på ”number sense” (tallforståelse/talloppfatning) blant elever i grunnskolealder.Materialet omfatter skriftlige testerfor 1. –10. trinn, veiledning for gjennomføringog vurdering av testene, vurderingsskjemaer,samt veiledning til elevintervjuer. I tillegg tiltestmaterialet har McIntosh skrevet en håndbokfor lærerne.En håndbok for lærere i grunnskolenBoken inneholder et unikt system hvor viktigematematiske begreper innenfor området tall,tallforståelse og tallbehandling i grunnskolenomhandles svært grundig. Innholdet i ”AlleTeller” er flerdelt. Hoveddelen er en lærerveiledningom tall og tallbehandling. Materialetbærer preg av McIntosh sin overbevisning omat alle elever i utgangspunktet kan og har lysttil å lære matematikk.Jeg mener at ”Alle Teller” kan regnes somet etterutdanningskurs. Hva består så dette”kurset” av? Som leser blir du oppdatert på devanligste misoppfatningene som gjelder tall ogtalloperasjoner, og de er ikke få. I tillegg får dumange tips til hva som kan gjøres i klasserommetfor at feiloppfatningene skal bli korrigert.Boken er ordrik og omfattende, det er derforikke å forvente at alle lærere leser den fra A tilÅ. Jeg tror leserne må gjøre innholdet til sitteget og finne et realistisk nivå på hvordan devil bruke håndboken.Forslag til bruk av håndbokenSelv har jeg brukt boken flittig, gjort egnenotater, særlig vedrørende misoppfatninger ogNasjonalt senter for matematikk i opplæringen 55

de anbefalte aktivitetene. Alt er viktig stoff,men et sted må man begynne. Til dere somhar kjøpt håndboken, ikke tenk at dette er noesom kommer i tillegg til alt annet. Gå rolig ut,gjør deg kjent med oppbyggingen av boken,begynn med noe av det som interesserer deg,ta notater. Tenk på hva som er vesentlig i forholdtil eget klassetrinn. Men her må jeg rasktlegge til, ikke start for langt ut i boken, eller pået for ”høyt nivå”. Hvis du jobber i ungdomsskolen,så bør du ha kjennskap til misoppfatningersom er vanlig blant yngre elever også.Prøv ut enkelte av anbefalingene, plukk utnoen elever til intervju, fremfor mange og tenknøye over de forklaringene elevene gir. Jeg erogså overbevist om at det vil være i AlistairMcIntosh sin ånd, å dvele mer ved et emnefremfor å haste ”videre”. Hva er poenget i atlæreren ”kommer gjennom læreboken”, hviselevene ikke får det med seg?Jeg har fordypet meg mest i kapitlene 4, 5,og 6 om desimaltall, brøk og prosent, særligom brøk og brøkbegrepet. Jeg vil fraråde ogstarte lesingen av kapitlene dagen før du ogklassen skal jobbe med dette. En mer langsiktigtenkning er viktig, stoffet må få tid til å”virke” i deg. Mange lærere vil nok få noe åtygge på med hensyn til hva som er vanligemisoppfatninger og teoriene bak.TesteneJeg har brukt deler av testene på 8. og 10. trinnved egen skole. Det er flere grunner til at jegikke valgte å bruke hele testen. For det første,hvis hoderegningsoppgavene skal være med,bør elevene starte med disse. Dette grunnetintensjonen om at elevene skal ha nok tid påde skriftlige oppgavene og derfor kan de ikkeavbrytes underveis for å skulle gjøre hoderegningsom krever høytlesing. I skrivende stundhar jeg ikke gjennomført hoderegningsoppgavene,da jeg har mer enn nok stoff i det innsamletemateriale. Et annet poeng er viktighetenav at elevene yter sitt beste under heletesten og da kan kanskje 25–30 oppgaver væretilstrekkelig? Her står den enkelte lærer/skoleganske fritt, det viktigste er ikke antall oppgaver,men hva lærerne får ut av elevbesvarelseneog den konsekvens dette vil få for hva somvektlegges av læreren i etterkant. Jeg sløyfetogså de siste oppgavene som skulle teste elevenskjennskap til kalkulatoren, da jeg menerde er av mindre interesse etter så mange årsbruk i norsk skole.På 8. trinn valgte jeg et utvalg fra testenepå 7. trinn og 8. trinn, da jeg vurderteenkelte av oppgavene fra 7. trinn som viktigeå ta med. Etter et langt liv i skolen har manen viss innsikt i hvilke oppgaver elevene slitermed, og denne sammensatte testen viste seg åvære vrien nok. Antall emner ble noe redusertsammenliknet med 8. trinns testen slik denforeligger i ”Alle teller”.Som lærer bør du være forberedt på denstore mengden informasjon som ligger i elevbesvarelsene.Noe er delvis skjult, men densom leter finner. Dere bør se nøye gjennombesvarelsene, og kanskje velge det som et temafor fagseksjonen ved skolen? Jeg tror alle lærerevil finne noe av interesse. Selv har jeg valgt ågå dypere inn i noen av elevbesvarelsene. Etenkelt multiplikasjonstykke for Tangentenslesere, med 30 oppgaver og 25 elever i klassen,ja, da får man et stort materiale å ”leke”seg med.Hvis man kun gjennomfører testen vil detvære bortkastet tid. Hovedpoenget må være,hvilke konsekvenser får resultatene for minvidere undervisning? Hvis alt viser seg å værefryd og gammen, så er det flott, men det var56Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

ikke tilfellet hos elevene som hadde vært utsattfor min undervisning gjennom tre år.Intervju av eleverDet ideelle, i følge håndboken, er å intervjuealle elevene etter at testen er gjennomført. Jegvil hevde, uten å gå på tvers av intensjonene iboken, at dette trenger ikke å være den enestemetoden. Jeg mener det er noe urealistisk åtro at det vil bli gjort på flertallet av skolene,da lærerens hverdag er for travel. Mye godtarbeid kan utføres, selv om ikke alle eleveneblir intervjuet. Etter avholdt test, vil det sannsynligvisvære noen resultater som viser segmer interessante enn andre. Kanskje gjelderdet kun noen oppgaver, da er tidsbruken overkommelig.Læreren kan ha samtaler med endel av elevene. Hvis man har litt ”flaks” så kanfem til ti informanter dekke klassens hovedstrategierpå de utvalgte oppgavene. Uansettså makter man ikke å gripe fatt i all den informasjonenelevsvarene samlet gir. Det må værebedre å ta tak i noen av misoppfatningene oggjøre dette grundig enn å bruke den berømteharelabben.Blir man en bedre matematikklærer av ålese ”Alle Teller”?Neppe bare ved å lese, men hvis man samtidigstopper opp, prøver noen av anbefalingeneog relaterer innholdet til egen undervisning,tenker over de vanligste misoppfatningeneog får tak i hvorfor/hvordan disse oppstår, såtvinges man til refleksjon. For egen del vil jeglegge til at lesingen gjør litt vondt, fordi detlangsomt går opp for en at mye burde værtgjort annerledes. Men fortvil ikke, kjære leser,den dårlige samvittigheten fordamper raskt,delvis under dekke av at jeg ikke har visstbedre.Og … til dere som er utlærte: ikke kjøp, leseller bruk boken!Til alle andre: les den og bruk den for altden er verdt. Lykke til!Oliv KlingenbergGeometri når eleven erblindForunderlig!?Hvorfor forstår ikke Ann lærerens beskjedom at kassen med akebrett er plassert vedenden av hylla? Ann går i fjerde klasse og huner blind. Ann liker matematikk og er helt påhøyde med de seende klassekameratene. Hyllastår rett bak Ann sin skolepult og er plassertvinkelrett på veggen. Ann går rundt dennehylla nesten hver skoletime, så det er et kjent”geometrisk landskap” læreren viser til.Figur 1. Skisse over klasserommet. Ann sitterlengst framme til høyre. Hylla er ca. en meter høy(mørkebrun på denne skissen).Bakgrunn i et doktorgradsprosjektObservasjonen av Ann og erfaring med hvordanelever som er synshemmet forstår og misforstårfysiske omgivelser, er utgangspunktfor refleksjon om undervisning i geometri tildenne elevgruppen. Kan geometri bidra til atelever som er synshemmet øker sin forståelseNasjonalt senter for matematikk i opplæringen 57

om omverdenen? Hvis svaret er ja, er dette etfagområde som er viktig også utover skolefagetsordinære målsettinger.Doktorgradsprosjektet er initiert av Tambartunkompetansesenter 1 der jeg er tilsattsom synspedagog. Matematikk utgjør en stordel av min stilling, både i form av utredning,veiledning og kurs for lærere og elever. Datainnsamlingener gjennomført i sammenhengmed et elevkurs for elever på 4. og 5. skoletrinn.I denne presentasjonen vil jeg først gjørerede for ulikheter i forutsetninger for åforstå omverdenen mellom elever som ser ogelever som ikke ser. Først med tanke på detå kunne kjenne igjen gjenstander og deretterfor å forstå relasjoner mellom objekter og detomkringliggende rommet. Jeg avslutter meden refleksjon over ”geometrifagets mulighet”til å bidra til at barn med synshemmingerbedre kan forstå den omverdenen som de eren del av. Refleksjonene er utgangspunkt forproblemstillingene i doktorgradsprosjektet.Å oppfatte en fysisk verden med andresanser enn synetNår en elev som er blind kommer inn i et klasserom,har hun lært at der er det mange pulterog stoler, en vask, hyller og skap, osv. Det erimidlertid gjenstandenes funksjon mer ennhelhetlig form som har betydning i elevensforestilling av rommet [4], [10].Å gjenkjenne objekter går raskt og effektivtfor både seende og synshemmede, men måtendet blir gjort på er forskjellig [5]. Ved visuellmodalitet er kanter som danner form framtredendeholdepunkter for å kjenne igjen engjenstand [8]. Når vi derimot skal finne engjenstand uten å se, er det materialegenskaper(tekstur, motstand, hardhet) som er framtredende.Tenk bare på hvordan du kjenner igjenlommeboken eller nøklene som ligger dypt ien veske. Det er metallet i nøklene og ikke”nøkkelformen”, og skinnet i pengepungen ogikke rektangelformen som er kjennetegn.Synssansen fanger mange aspekter vedomgivelsene samtidig (simultansans). Vi kanse på et bord og samtidig se både enkeltdelenesom bordet består av, og sammenhengen tilomgivelsene. Vi ser at:– bordflata er en avgrenset flate (en geometriskform)– bordplata er horisontalt plassert og tilpassetvanlig sittehøyde (sammenhenger idet tredimensjonale planet)– de fire bordbeina er tilpasset bordetslengde, bredde og bordplatas tykkelseSpatiale (romlige) dimensjoner som form,størrelse, distanse og lokalisasjon er komplisertå oppfatte med taktilsansen 2 , bl.a. fordikontaktflaten mellom håndflatene og objekteter avgrenset. Å oppfatte store figurer, kreveren sammensmelting (integrering) av en serietaktile sanseinntrykk (suksessive sanseinntrykk).Med utgangspunkt i at tidsintervalletfor korttidshukommelsen er mellom 10 til 15sekunder [1], er det forståelig at det å oppfattestore objekter med taktilsansen er komplekst.Det er vanskelig å sette sammen sekvensiellesanseinput (taktile og kinestetiske) og forestilleseg en global form som en Euklidskfigur. En elev som er født blind vil derfor ikkebruke spatiale holdepunkter (f. eks form) påsamme måte som en seende elev. Dermed bliren stedsbeskrivelse som ”ved enden av hylla”vanskelig å forstå.Ann bekrefter på mange måter denne teorieni samtale om episoden med hylla. Hunforklarer at det var vanskelig å forstå det somble sagt fordi hylla har så mange kanter. Deter nærliggende å anta at hun da refererer tilsidekanter og hjørner, og at hun bruker kantog ende som synonymer. Ann har trolig ikkefokus på at kantene danner en rektangulærform, - grunnformen for hylla (global form).Denne tolkningen har jeg drøftet med en kollegasom er blind. Han sier at i forflytning erdet gjenstandenes forside og detaljer på forsidensom er viktige. Slike fysiske holdepunk-58Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

ter/møtepunkter kan i noen sammenhengerrepresentere en fare i forflytningen og derforer de i fokus. Baksidene har mindre (elleringen) betydning. Når Ann går rundt hylla,blir alle sider forsider etter hvert som hunforflytter seg. Hyllas bakside (dybden) kaneksistere i hennes bevissthet som en mentalforestilling, men baksiden er ikke nødvendigfor henne. ”Objekter uten bakside/dybde ermer todimensjonale enn tredimensjonale” ogderfor kan en anta at mange forholdsord (preposisjoner)som angir posisjoner i rom ellerrelasjoner mellom objekter, kan være forvirrende.Begrepene passer ikke til den sensoriskemåten å oppleve gjenstandene på [7].Kunnskap om romKunnskap om rom blir gjerne strukturert i trehovednivåer. Mikrorommet tilsvarer aktivitetersom knytter seg til lærebok og pult. For enelev som er synshemmet vil det bety hendenesarbeidsområde med referanse i egen kropp.Mesorommet tilsvarer de kjente, nære omgivelseneinnendørs og utendørs, og makrorommettilsvarer ukjente byer og land- og sjøområder[2]. Ved forflytning både i mesorom ogmakrorom må den som er blind kontinuerligendre det mentale bildet for egen posisjon iforhold til (de mentale) objektene. I et forsøkpå å forstå kompleksiteten i dette, kan vi sammenlignemed hvor vanskelig det er å holdekontroll på retning hvis man blir overrasket avtåke i fjellet. Når vi ikke kan vurdere forflytningut fra faste holdepunkter, er det vanskeligå holde kontroll med ”mønsteret” i egenbevegelse.Selv om Ann både kjenner rektangel- ogprismeform fra taktile illustrasjoner og modellerhun har arbeidet med på pulten (mikrorommet/småskala),er det ikke nødvendigvisslik at hun tenker på den store hylla som rektangulær.Verken seende eller synshemmedebarn forholder seg til små objekter på sammemåte som til store. Nevrologisk forskninghar vist dette gjennom å påvise hvilke hjerneområdersom blir aktivert i arbeid medsmåskala, og at det er andre områder som er”spesialområder for storskala” [6]. Hjernen eret ufattelig komplisert og dynamisk nettverk,der nevrale forbindelser som blir mye brukt,både blir forsterket og utviklet i antall. Seendeelever ser både rektangelet i læreboka og rektangeletsom lærer viser fram, samtidig medden rektangelformede tavla, døra og hylla, osv.Synet er med andre ord godt eget til å knyttesammen erfaringer fra småskala og storskalaslik at det blir utviklet nevrale forbindelsermellom hjerneområdene. For blinde elever vilspråket være spesielt viktig i prosessen med åknytte de to ”skalaene” sammen.Geometri som bindeledd til omverdenenLitteraturen er bemerkelsesverdig fri for teorierom hvordan synshemmede barn lærer.Siden vi mennesker utvikler oss i det samfunnetvi er en del av, kan en også forvente at deter grunnleggende fellestrekk med hensyn tilhvordan utviklingen skjer [10]. Det er imidlertiden vesentlig forskjell mellom seendebarn og blinde barn, som Foulke og Hatlenuttrykker på denne måten: “The world seeksinfants who can see, but infants who cannotsee must learn to seek the world” [3, side 7].I dette utsagnet ligger det store utfordringerrettet mot kvaliteten i opplæringen, implisitter det også en påstand om at elever som ersynshemmet kan mangle en naturlig tilbøyelighet(indre motivasjon) for å utforske enfysisk omverden.Pierre van Hiele framhever undervisningsom avgjørende for hvordan (seende)barnutvikler en geometrisk forståelse [9]. Hanhar beskrevet fem undervisningsfaser, som ien viss grad også har sammenheng med defem nivåene i teorien om geometriforståelse 3 .De tre første nivåene i van Hieles teori omgeometriforståelse vil være ramme for analyseneav datamaterialet i min studie. Den førsteundervisningsfasen: ”Å finne aktiviteter somkan gi læreren/forskeren mulighet til å tolkeNasjonalt senter for matematikk i opplæringen 59

elevens forforståelse”, er god spesialpedagogiskfilosofi. Det er nødvendig å ha innsikt ogkunnskap om hvordan elevene forstår ellermisoppfatter begrepene, når begrepene skalbrukes i ulike aktiviteter. Hovedfokus for studiener derfor hvordan en gruppe blinde eleverpå mellomtrinnet forstår vinkelbegrepet ogegenskaper ved firkantformen.Geometri er forenklinger av virkelige problemstillinger.For en elev som er blind kangeometri også være et grunnlag for å begripevirkelige problemstillinger. I studien er det enarbeidshypotese at aktiviteter som henlederelevene mot egenskaper ved figurer i mikrorommet,kan være viktige bidrag til å forståoppbyggingen av store objekter og rom. Etannet fokus for studien er derfor å belyse omelevene anvender kunnskaper som de tilegnerseg i et undervisningsopplegg på pulten (imikrorommet), når de undersøker store gjenstanderi omgivelsene (mesorommet).Referanser[1] Elmerskog, B., Martinsen, H., Storliløkken,M. & Tellevik, J.M. (1993). Førlighetsopplæring.Mobility i en funksjonellsammenheng. Trondheim: Tapir Forlag.[2] Berthelot, R., & Salin, M. H. (1998). “Therole of pupil’s spatial knowledge in theelementary teaching of geometry”. I C.Mammana & V. Villani (red.). Perspectiveson the Teaching of Geometry for he 21stCentury (s. 71–78). Dordrecht: KluwerAcademic Publishers.[3] Foulke, E., & Hatlen, P. H. (1992). ”Acollaboration of two technologies. Part2: Perceptual and cognitive training: itsnature and importance”. The British Journalof Visual Impairment, 10. (2), 8.[4] Hatwell, Y., Streri, A. & Gentaz, E. (2003).Touching for Knowing (Vol. 53). Amsterdam/Philadelphia:John Benjamins PublishingCompany.[5] Klatzky, R. & Lederman, S. (2003).”The haptic identification of everydaylife objects”. I Y. Hatwell, A. Streri & E.Gentaz (red.). Touching for knowing (Vol.53, s. 105–121). Amsterdam/Philadelphia:John Benjamins Publishing Company.[5b] Klingenberg, O. G. (2008). ”Taktil/haptiskpersepsjon i pedagogisk perspektiv”. I P.Fosse & O.G. Klingenberg (red.). Pedagogiskeog psykologiske perspektiver påopplæring av synshemmede. Melhus:Snøfugl Forlag / Tambartun kompetansesenter.[6] Potter, L. E. (1995). “Small-scale versusLarge-scale Spatial Reasoning: EducationalImplications for Children WhoAre Visually Impaired”. Journal of Visualimpairment and Blindness (Mar–Apr),142–152.[6b] Smestad, B: (2008): ”Geometriaktiviteter ilys av van Hieles teorier”, Tangenten 1[7] Tellevik, J.M. (2008) ”Kognitive, sosiale ogemosjonelle konsekvenser av synstap”.I P. Fosse & O. Klingenberg (red.). Pedagogiskeog psykologiske perspektiver påopplæring av synshemmede. Melhus:Snøfugl forlag / Tambartun kompetansesenter.[8] Valberg, A (2008). “Visuell persepsjonog nevrale prosesser”. I P. Fosse ogO. Klingenberg (red.). Pedagogiske ogpsykologiske perspektiver på opplæringav synshemmede. Melhus: Snøfugl forlag/ Tambartun kompetansesenter.[9] van Hiele, P. M. (1986). Structure andInsight. Orlando, USA: Academic Press,Inc.[10] Warren, D.H. (1994). Blindness and Children.An individual Differences Approach:Cambridge University Press.Noter1 Tambartun kompetansesenter gir tjenestertil synshemmede personer og til dereshjemmekommuner. Se www.statped.no/Tambartun2 Taktilsans er et upresist begrep. Det ermer korrekt å bruke begrepet taktil/haptiskom denne sansemodaliteten. Sidenhaptisk er et ukjent for mange, velger jegher å bruke bare taktil. Se [5b]3 Det er ikke rom for å presentere denneteorien her. Se for eksempel [6b].60Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

kengurusideneAnne-Gunn Svorkmo3. april går startskuddet for årets kengurukonkurranse.I år er siste frist for å registrere elevenesresultater på matematikksenterets sinenettsider 30. april. I fjor var det over 11 000påmeldte, og vi håper at det blir enda flere deltakerei år ettersom konkurransen nå er åpenfor elever på 8. trinn.Vi setter alltid stor pris på å få tilbakemeldingerpå oppgavesettene, og det håper viat vi får i år også. Kengurukonkurransen erkun fire år gammel i Norge, og ønsket er atden stadig skal bli bedre. Da er vi avhengigav å få vite hva som fungerer og hva som kanendres.Vi er alltid spente på hvordan årets oppgaverfaller i smak hos elevene. Er 3-poengsoppgaveneenkle nok slik at mange eleverkommer i godt i gang? Gir 5-poengsoppgavenenok utfordringer til de som trenger det?Oppgavene i Ecolier og Benjamin er valgtut fra over 500 innsendte forslag fra heleverden. Hva skjer med de oppgavene som ikkeblir brukt? Faktisk ingenting! Derfor benyttervi anledningen til å presentere noen av dissei dette nummeret av Tangenten. I motsetningtil de vanlige kenguruoppgavene har vi herutelatt svaralternativer.Lykke til!1. Hvis a = 2 og b = 3, hvor mye er da a 2 + a+ ab + b + b 2 ?2. Ranger disse tallene i riktig rekkefølge fradet minste til det største:2 6 3 5 4 4 5 3 6 23. Vi velger oss to tall, for eksempel 51 og3, og multipliserer tallene med hverandre.Produktet er lik 153. Vi ser atsifrene i tallene og sifrene i produktet erde samme. Klarer du å finne flere slikeeksempler?4. En hage med form som et rektangel erinndelt slik som tegningen viser. Hvorstort er arealet av plenen?BlomsterPlen36 m 2 ? m 2Grønnsaker Frukt30 m 215 m 25. Daniel har ni mynter og hver mynt erverd 2 cent. Anne har åtte mynter og hvermynt er verd 5 cent. Hvordan kan defordele pengene slik at begge får like mye?Er dette mulig?6. Et fotballag med elleve spillere har engjennomsnittsalder på 21 år. En spillerblir utvist i løpet av kampen. Da er gjennomsnittsalderenplutselig 20 år. Hvorgammel er den utviste spilleren?7. Hver bokstav representerer hvert sittsiffer. Hva er da A + B + C + D?A B C DA B CA B+ A= 4 3 2 1Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 61

LAMISLandslaget for matematikk i skolenv/Randi HåpnesNTNU, Realfagbygget, A47491 Trondheimpost@lamis.no · www.lamis.noBankgiro: 7878 0500882 Organisasjonsnr: 980 401 103Fra formålsparagrafenDet overordnede målet forLands laget for matematikk iskolen er å heve kvaliteten påmatematikk undervisningen igrunnskolen, den videregåendeskole og på universitet/høyskole.Landslaget skal stimulere tilkontakt og samarbeid mellomlærere på ulike utdannings nivåerog mellom lærere og andre somer opptatt av matematikk.Styret for LAMISFra barnetrinnetTrine Foss Pedersen,DrammenKari Haukås Lunde, BryneFra ungdomstrinnetGrete Tofteberg, VålerHugo Christensen, NotoddenFra videregående skoleJan Finnby, LillehammerSidsel Ødegård, Hundvåg(leder)Fra høyskole/universitetLisbeth Karlsen, VestfoldKristian Ranestad, OsloMedlemskontingentSkole/institusjon 580,–Enkeltmedlem 330,–Husstandsmedlem 150,–Studenter 200,–Tangenten inngår i kontingenten.(Gjelder ikke husstandsmedlemmer.)OrganisasjonssekretærSvein H. Torkildsensvein.torkildsen@matematikksenteret.no73551125 / 99560580MedlemsfordelerTangenten fire ganger per år – ordinær abonnementspris kr. 275,–Hefte med opplegg for Matematikkdag – ordinær pris kr. 350,–Rabatt på publikasjoner fra LAMIS.5 % rabatt hos Simplicatus: nettbutikk.simplicatus.com15 % rabatt hos Okani: www.okani.no Tlf 55 34 28 04.15 % på konkretiseringsmateriell hos BSNorli: www.bsnorli.no/62Landslaget for matematikk i skolen

Lederen har ordetSidsel ØdegårdKjære matematikklærere – deter vår! Dagene blir lengre og vigår lysere tider i møte, forhåpentligvispå flere måter. Detspekuleres i media om detdenne våren er lærerne, og spesieltlektorene som skal bli åretslønnsvinnere. I forhold til andreyrkesgrupper som vi kan sammenlignesmed, henger vi etteri lønnsutviklingen. Lærerne harikke hatt noe ordentlig lønnshoppsiden 2002. Så nå er detpå tide, sies det. Hvorfor i alledager skal nå læreren ha merlønn? Har ikke vi det så braallerede at vi nå burde slutte åklage? NHO varsler renteoppgangom lærerne får innfriddsine krav. Likelønnskommisjonenvil ha lønnsløft. Diskusjonener altså i full gang.Undersøkelser i den videregåendeskolen viser mer enn30 % av lærerne vurderer åslutte i løpet av de nærmestetre årene. Av disse vurderer ca.10 % å skifte bransje, mens20 % går av med alderspensjon.I årene som kommer økerelevtallet i videregående skole.Når vi samtidig registrerer atrekrutteringen av nye lærere erlav, er det all grunn til bekymring.Politikere engasjerer seg.Venstre har fremmet forslag tilnasjonale rekrutteringsplanerog Høyre har foreslått å ettergideler av studielånet til studentersom fullfører lærerutdanningen.Disse forslagene er blittnedstemt av den rød–grønneregjeringen, så da venter vi ispenning på hva regjeringenselv foreslår. Enn så lenge sierdepartementet at de følger medpå situasjonen, og vil kommemed en stortingsmelding omsaken.Om lærerne fortjener merlønn eller ikke er vel egentligikke diskusjonen. Men spesieltnår det gjelder realfagslærerekonkurrerer skolen med det privatenæringsliv om å rekrutterede nyutdannede. Og når lærerlønnenligger betydelig underlønnen i det private, er det klartat nyutdannede med studielånfaktisk tenker økonomi. Blirlønnen til læreren konkurransedyktigmed lønninger i detprivate, vil nyutdannende ha etreelt valg når de er ferdige medsine studier.Med høyere lønninger vil ogsåstatusen til læreryrket heves.Det er skremmende med oppslagi media, der lærere i Osloskjemmes over å si at de jobbersom lærere. Men jeg er overbevistom at det ikke bare gjelderOslo–lærere. Det gir ingenhøy status å si at du jobbersom lærer. Media er med på åbygge opp under slike holdningermed mye negativ vinklingbåde i forhold til lærere og dennorske skolen. Det er sanneligikke lett å overbeise de småhåpefulle at skolen er viktig, nårde hører på tv og leser i aviserat den norske skole er dårlig,og at lærerne ikke gjør jobbensin. Media har løsningen pådette, det er å heve standardenpå lærerutdanningen. Nå børmedia også fokusere på alt detpositive som skjer i den norskeskolen. I tilegg må man sørgefor at forholdene for lærerne blirså gode at lærene ikke velgerandre yrker, og at statusenheves slik at de som velger å gåinn i skolen kan gjøre det medstolthet. Vi går inn i våren medstore forhåpninger om at våreforventninger innfris.Når det er sagt, så vil jegminne alle glade matematikklærerepå årets sommerkurs.I dette nummer av Tangentenvil dere finne mer informasjon,og på LAMIS sine nettsider vildet utover våren kommer fleredetaljer. Meld dere på. Vi sees iSandnes 080808!Landslaget for matematikk i skolen 63

Abelske spirerEndelig snart sommerkurs!Om noen få måneder braker detløs igjen! For mange av oss harikke begeistringen fra sommerkurseti fjor rukket å legge seg,og til alle dere nye er det bareå si: Vær tidlig ute. Her blir detrift om plassene!Med stor glede og forventningkan LAMIS Rogalandønske alle som underviser imatematikk, fra barnehage tilhøgskole/universitet, velkommentil årets sommerkurs iSandnes. Sammen med Liverpooler Sandnes og Stavangerkulturbyhovedsteder 2008.Hvorfor akkurat Sandnes i2008?Det er flere grunner til at LAMISvalgte rogalendingene som vertskapfor sommerkurset i år.LAMIS Rogaland har utvikletseg til å bli et svært aktivt lokallag,med mange medlemmermed stort pågangsmot og godnettverksånd. Det gjør mulighetenefor å arrangere sommerkursmeget gode.I tillegg er 2008 året da VITEN-FABRIKKEN i Sandnes åpnes– regionens nyeste populærvitenskapeligeopplevelsessenterfor teknologi og realfag. 22. maivil årets Abelprisvinner åpnedørene til utstillingen ABELSSKISSEBOK, der publikum fårutforske og gjøre åpningsutstillingen.Emner i utstillingen erbl.a. hjernen, intelligens, gener,teknologi, håndverkshistorikk,astronomi (planetarium til 60personer) materiallære knyttettil fiber, metall, tre, leire m.m..Vitenfabrikken huser ogsåden interaktive matematikkutstillingenALLE TELLER,forprosjektet til Abelske spirer,som på grunn av sin popularitetog etterspørsel blir ståendefrem til 2010.ABELSKE SPIRERÅrets sommerkurs har fått tittelenABELSKE SPIRER, entittel som går rett inn i beskrivelsenav vårt daglige virke.Spirer må ha godt jordsmonnog omsorgsfull og kunnskapsrikpleie – ferdigheter og kunnskapervi har lang og god erfaringmed på Jæren.Verksteder, foredrag ogarrangementer vil dekke ulikeemner rettet mot undervisere irealfag på ulike nivåer i utdanningssystemet,fra barnehagetil høyere utdanning. Målet forsommerkurset er å favne bredt,slik at deltakerne har flere relevanteog faglig gode verkstederå velge mellom. Verkstedsoversikt– innhold og kursholdere– finner du på LAMIS’ hjemmesider,under sommerkursetsegne sider.Tidspunkt, faglig og sosialtprogramSommerkurset starter fredag08.08.08 og avsluttes mandag11.08.08. Kommer du dagenfør, kan vi anbefale besøk i kulturbyhovedstadenStavanger(15 min. unna), eller hva medå bli med på felles utflukt tilDalsnuten (20 min. unna) for ånyte utsikt over nær sagt helefylket?Det faglige programmet harplenumsforedrag og to kursøkterdaglig. Programoversiktfinner du på sommerkursetsnettsider. I tillegg arrangeresmatematikk– og realfagsirkus iSandnes gågate lørdag formiddagsamt utflukt til Vitengardenpå søndag. Vitengarden byr påinteraktive eksperimenter oginstallasjoner knyttet til biologi,landbruk og kulturhistorie. Itillegg til foredrag og dagensandre kursøkt blir det middag,etterfulgt av tur til en av Jærensaller vakreste attraksjoner: deidylliske jærstrendene.Regionen huser flere av landetseminente komikere. Den64Landslaget for matematikk i skolen

mest omdiskuterte og kjente ervår kjære Per Inge Torkildsen.Med en økt spesiallaget kun formatematikklærere vil han medsin begeistring og evner innenmatematikk, tryllekunst og lattermuskulaturtreningvære vårkonferansier under festmiddagenpå lørdagen.OvernattingKonferansens deltakere innlosjerespå Quality Hotel Residencei Sandnes sentrum (5min. gange fra Vitenfabrikken).Morgenens plenumsforedragog store deler av det sosialeprogrammet foregår på hotellet.PlenumsforedagRaymond BjulandBjuland er førsteamanuensisved Universitetet i Agder. Hanavslutter høsten 2008 et treårigpostdoktorstipend vedUiA der han har vært knyttettil forsknings- og utviklingsprosjektetLæringsfellesskap imatematikk (LCM). Bjuland sineinteresser er knyttet til klasseromsforskning(dialogen i klasserommet)og problemløsingmed fokus på elevers arbeidmed matematiske problemer ismågrupper.Per Arne Bjørkum:”Hvordan annerledestenkerneendret vårt syn pånaturen”Bjørkum (dr. philos) er utdannetpetroleumsgeolog og har værtansatt i Statoil som sjefsforskerog spesialist før han ble dekanved Universitetet i Stavanger.Han er særlig kjent for sin bokAnnerledestenkerne (1998), hvorhan viser at sentrale framskrittinnen vitenskapene kommer frade som våger å tenke radikaltannerledes.For sommerkursets deltakerevil han med sitt plenumsforedraginnlede sommerkursetsavsluttende plenumsdebatt:Abelske spirer – hvordan fortsettervi arbeidet?Elin Reikerås:”Barnehagematematikk –matematikklæring i barnehagekulturen”Reikerås er førsteamanuensisved Nasjonalt senter for leseopplæringog leseforskning,Cand, scient i matematikk ogansatt ved Universitetet i Stavangermed barns matematikkutviklingsom arbeidsområde.Hun underviser på førskole- ogallmennlærerutdanningen ogved mastergradsutdanningeni spesialpedagogikk. Hennesdoktorgradsavhandling handlerom hvordan regneferdigheterer relatert til leseferdigheter.Reikerås skal gi oss innspill påmatematikk i barnehagekulturen,der grunnlaget og begynneropplæringenfor mange avde Abelske spirer igangsettes.Sigbjørn Hals:”Takk for at du såg meg”Hals er utdannet lektor ogunderviser på Måløy videregåendei realfag. Han er lederi LAMIS – Nordfjord. SigbjørnHals er ressursperson for Matematikksenteretog har holdt enrekke kurs og foredrag rundt omi landet. I 2007 vant han SophusLies minnepris for arbeidet medbruk av IKT i matematikkopplæringen.Han lover latter, litt tårerog en god porsjon klokskap ogetteranke med sitt plenumsforedrag.Inge Brigt Aarbakke:”Mye spennende i en sirkel”Aarbakke er grunnlegger ogadministrerende direktør iBrynefirmaet Aarbakke AS ogvinner av Entrepreneur of theYear i 2003. Aarbakke begyntesin karriere i farens hesteskobutikk,og har i dag besøk frainn og utland fra interessertesom ønsker å komme til Jærenfor å lære om moderne industri.Aarbakke samarbeider medungt entreprenørskap og ungdomsbedrifter,og har et stortengasjement for fremtidensgründere. I sitt plenumsforedragfokuserer han på hvordangeometrien er viktig – fra ungdomsskolenvia videregåendeskole til arbeidslivet. Som hansier selv: “det er mye ukjent ien sirkel!”.Landslaget for matematikk i skolen 65

Matematikkbiennalen 2008Kari Haukaas LundeMatematikk er et viktig fag vedsiden av morsmålet i skolen.”Matematikk – En hovedsak”var temaet for matematikkbiennalen2008. Denne store matematikkfestensamlet i år rundt3500 matematikklærere. Imponerendeat så mange samlesmed samme interesse: et løftfor bedre matematikkunnskaperhos lærere og elever. Herligger det en nasjonal kraft somvil vise igjen i det daglige arbeidi svensk skole. Det var forelesninger,verksteder, læremiddelutstillingerog prosjektarbeid imatematikk fra barnehagen tilvideregående. Her var det noefor enhver smak. Problemet varbare hva du maktet å få meddeg. Det var rundt 300 tema/emne å velge mellom på todager. For en som synes myekan være interessant, var detikke lett å velge. Heldigvis varvalget gjort en god stund før vikom til konferansen.Hvor skal vi sette fokus forat elevene forstår matematikkslik at de kan gjøre nytte av deni hverdagen, og samtidig få seog oppleve at matematikk eret gledesfag? Det samme er vinordmenn opptatt av. Det serog hører vi både i media ogaviser.Svenskene er flinke medstruktur og orden. Selv omkøene til både innregistrering ogbespisning kunne se endeløseut, gikk det veldig fort unna,takket være et velorganisertarrangement. Men ikke prøvdeg på å gå utenom din tur.Lunsjen foregikk i to omgangermed billetter som viste klokkeslettnår du skulle gå. Vi varto fra Norge som hadde så lysttil å spise lunsj sammen, menhadde fått tildelt billetter medulikt tidspunkt. Vi bad om å fåspise samtidig, men nei – detgikk ikke.Noe av det viktigste på slikekonferanser er pausene der viknytter nye kontakter, diskuterermatematikk og legger nyeplaner og visjoner for faget vibrenner for. Det ble en lang oghektisk torsdag med forelesningerog verksteder som tok forseg problemløsing, matematikki hverdagen, tallmønster iulike tallrekker og hvor matematikkog språk stod sentralt.Om kvelden var det dekket tilfest i Victoriahallen i ”Svenskamessan”. Her var det hviteduker med tøyservietter og entreretters middag med utsøktunderholdning. Det gjennomgåendetemaet var lærerens umuligerolle i den svenske skolen,illustrert ved sanger, danser,sketsjer og rammende replikker.Mens vi ventet på middagen,underholdt vi oss selv medfyrstikkoppgaver. På bordene lådet hvite fine fyrstikkesker medforslag til oppgaver. Middagog dessert smakte godt, menmengden var ikke til å bli mettav for en voksen mann, og heller(fortsettes side 72)66Landslaget for matematikk i skolen

Kunnskap og kompetanse IIOrganisasjonssekretær Svein H. TorkildsenFakta eller begrep?Omkrets : diameter = πEr dette et faktum eller etbegrep – eller noe helt annet?Jeg fortsetter artikkelen fra forrigenummer av Tangenten meddette spørsmålet. Stopp opp ogtenk deg om en aldri så litenstund. Jeg stiller spørsmålet itilknytning til den oversikten forrigeartikkel sluttet med:– fakta– begrep– prinsipp– kunnskapsstrukturerMange ser åpenbart på dettemed omkrets og diameter ogπ som et faktum det bare erå forholde seg til. Og de flestehusker nok sammenhengen ien annen form: Omkretsen =π diameteren eller bare O =πd. Eller var det kanskje 2πr?Hvis det da ikke var πr 2 ? Forikke å gå seg helt bort i dettemylderet av formler, kan detmuligens være lurt med noenhuskeregler. Kanskje vi skullesette dette inn i ”trekanten” såvi får det riktig uansett hvilkenberegning vi skal foreta meddisse størrelsene:Oπ dMin favoritt blant huskeregleneer den danske varianten:”Med to pi–er går det heltrundt.”På villspor?Fra en side sett er det et faktumat sammenhengen mellom deto størrelsene er som beskrevet.Men om vi ser på dette kun somfakta vi belaster hukommelsenmed, mener jeg absolutt vi er påville veier. I denne sammenhengenfinner vi nemlig både fakta,begrep og prinsipp, og de måbehandles hver for seg som detde er i undervisningen.Jeg ser på faktakunnskapsom noe som ”bare er slik”,for eksempel at vi bruker dengreske bokstaven π – pi – for åbetegne et irrasjonalt tall meduendelig mange desimaler. Vikunne selvsagt valgt et annetsymbol. Men valget er nå engang gjort av noen, og det erbare å forholde seg til det. Utover dette snakker vi her omsammenhengen mellom tosentrale begreper: Omkrets ogdiameter i en sirkel.Begrep, filos., sammenfatningav kjennetegn som karakterisereren gruppe gjenstander.(Caplex).I eksemplet finner vi to viktigebegrep: omkrets og diameter.Ofte tar vi det nok for gittat elevene er fortrolige medbegrepene, men går vi dem littetter i sømmene vil vi i mangetilfelle finne usikre og til delsmanglende begrep. Areal ogomkrets kan gjerne tjene someksempler. Svært mange eleverhar sine begreper knyttet tilformler, som antydet innledningsvis.Mange lærere kjennerelever som gjetter på hvilkenformel de skal bruke utenå ha noen som helst kontroll påhvilken som er riktig og hvorforden må være riktig.Jeg har testet det ut på egneelever og bedt kolleger gjøredet samme. Vi har spurt elevertidlig på ungdomstrinnet: Hvaer areal? Et av svaralternativenemed høyest frekvens er: lengdegange bredde. Ofte oppstår detden dypeste taushet om vi såspør: Har en sirkel areal? OgLandslaget for matematikk i skolen 67

etterpå eventuelt: Hva er lengdeog bredde på en sirkel? Menut av denne tausheten kan detvokse fruktbare diskusjoner. Etannet svaralternativ som ofteforekommer: Det som er inni.Men hva er ”det”?Solid grunnlagVi må spørre oss selv hva det ersom fører til at så mange eleverhenger fast ved slike begrep såpass lenge. Er det noen grepvi kan gjøre for at elevene skalutvikle rikere og mer solidebegrep? En eksamensoppgavefor noen år siden viste etblad på et rutenett med ruter på1 cm x 1 cm. Hvis arealbegrepethenger på en eller flere formlereller på ”det som er inni”, blir viute av stand til å svare på en slikoppgave. En urovekkende delav elevene svarte da heller ikkepå denne eksamensoppgaven.Det må da tyde på at eleveneikke hadde en klar forestillingom at arealet er ”det antall kvadratcentimeteren får plass tilpå flaten”. Elevene bør arbeidemed areal på en konkret måteved å legge ut brikker som arealenheterog bruke arealmaler sålenge at dette danner grunnlageti arealbegrepet. At man kanforeta en effektiv ”opptelling”av det antall arealenheter deter plass til f. eks. i et rektangelved å multiplisere to av sidenevil da være en utvidelse av arealbegrepet.Formler eller regnereglerer for øvrig noe elevenemed fordel kan utvikle selv –eller i alle fall ikke få dem servertfor tidlig. Og vi bør siden stadigvende tilbake til utgangspunktetmed arealenheter.Tilsvarende praktiske oppgaverbør elevene få når det gjelderomkrets. Og den praktisketilnærmingen bør vi holde fastved inntil begrepene får anledningtil å feste seg, Oppmålingenkan foregå både ved å måleside for side og legge sammendel for del av omkretsen. Ellervi kan måle omkretsen med ettau og siden måle lengden påtauet. En slik måte å arbeide pågir mulighet for at flere eleverfår utnytte sine sterke sider ilæringsprosessen.Prinsipp kommer fra latinprincipium, som betyr «opprinnelse»eller «første årsak».Prinsipp brukes i betydningengrunnsetning, som i en overordneteller grunnleggende setningfor tenkning eller handling.(Wikipedia).Innen vårt fagområde vil et prinsippi denne betydning av ordetgjerne dreie seg om sammenhenger.Det er en sammenhengmellom sidene i et rektangelog arealet til rektanglet. Det erogså en sammenheng mellomomkretsen og diameteren til ensirkel. Det kreves både modenhetog erfaring om vi skal seslike sammenhenger hvis deblir presentert ved en formel.Forholdet mellom omkrets ogdiameter er en konstant. Herkommer forholds begrepetinn som et kompliserende tillegg.Det tar lang tid å utvikleet godt forholdsbegrep. Flerevitensentre illustrerer forhodetmellom diameter og omkretsved å ha tre litt tykke bøyeligegummistenger med lengde likdiameteren i en sirkel. Legger vidisse tre etter hverandre langsomkretsen, ser vi at det blir enliten del til overs. Omkretsener altså litt mer enn tre gangerdiameteren.Fra praksis til matematikkDet er etter mitt skjønn vesentligfor utviklingen av solide68Landslaget for matematikk i skolen

egrep at elevene knytter slikepraktiske erfaringer sammenmed det matematiske språket.Det vi gjør kan uttrykkes slik:omkretsen er litt mer enn treganger så stor som diameteren.Vi kan også snu på flisa og sepå omkrets : diameter, og vi serat forholdet er litt mer enn tre.Variert arbeid med denne sammenhengenpå flere sirkler vil giet annet forhold til matematikkeni den enn om vi ber elevenemåle omkrets og diameter ogutføre divisjonen. Ofte skjer nokdet uten at vi samtidig reflektererover hva denne divisjoneninnebærer. Da knyttes det ikkesterke bånd mellom det praktiskearbeidet og matematikken,og det er en forutsetning for atelevene skal bli gode problemløsere.Som nevnt i forrige artikkelviser PISA-undersøkelsenat norske elever ikke er godeproblemløsere. En prosess dervi inkluderer praktisk arbeid,samtale om hva vi registrererog den matematiske måten åuttrykke det på, gir et annet forholdtil reglene eller formlene.Da vil også elevene kunne lesemening ut av uttrykkene πd, 2πrog 2πr 2 . De vil kunne se at toav uttrykkene dreier seg om enlengde som multipliseres medπ, og det blir det ikke et arealav.KunnskapsstrukturerOm elevene er fortrolige medsammenhengen mellom multiplikasjonog divisjon, kan dettrekkes paralleller til sammenhengenmellom omkrets og diameter.Når vi vet at 5 · 4 = 20,vet vi samtidig at 20 : 5 = 4 og20 : 4 = 5. På samme vis: Nåromkrets = diameter · π, vil viha omkrets : π = diameter ogomkrets : diameter = π. Det trengervi ikke huske. Vi kan ut fraden ene sammenhengen resonnereoss fram til de to andre. Ogvi kan trekke paralleller til alle deproporsjonale sammenhengenevi kjenner fra grunnskolematematikken:vei–fart–tid, masse–tetthet–volum, NOK–kurs–euro,pris–kilopris–mengde, osv. Alledisse sammengenhene har noefelles, de danner en struktursammen som vi kan kalle ennettverkstruktur.Har vi gode begrep, trengervi ikke huske formlene. Vi kanrekonstruere dem på et øyeblikknår vi har behov for å brukedem. Er vi i en situasjon der viskal gjøre mange beregningermed samme sammenheng,kan vi lage formelen og eventueltsette den inn i ”trekanten”.Da ser vi raskt om vi skal multiplisereeller dividere uten at vitrenger tenke oss grundig omhver gang vi velger operasjon.Da er trekanten ikke lenger blittnoe vi må huske, men et verktøyvi bruker når forholdene gjørdet rasjonelt. Vi tenker matematisk.Saker til årsmøtet 2008?Årsmøtet blir som vanlig gjennomført i forbindelse med sommerkurset.Styret planlegger en gjennomgang av vedtektene for å justerenoen punkter, blant annet om lokallagene.Saker som ønskes behandlet av årsmøtet må sendes styretinnen utgangen av mai.Sendes til sidselodegard@gmail.com eller svein.torkildsen@matematikksenteret.no.Innkalling og sakspapirer til årsmøtet blir lagt ut på nettsidenei løpet av juni.Landslaget for matematikk i skolen 69

Matematikk på andre sidenav jordenMona RøsselandDet filippinske skolesystemetEtter 7 måneder på Filippinenehar jeg fått mange opplevelserog erfaringer som jeg ikke villevært foruten. Spesielt spennendehar det vært å se hvordanandre skolesystemer fungerer.Det filippinske skolesystemeter delt i to, det offentligeog det private, og vi kan trygtsi at det er to forskjellige verdener.Det offentlige systemetsliter med dårlige lokaler, manglendeutstyr og svært mangeelever i hver klasse (gjerneover 50–60). I tillegg strever deoffentlige skolene med å få kvalifisertelærere, spesielt i realfag.Dette har sin naturlige årsak i atde private skolene tilbyr bådehøyere lønn og bedre rammevilkår.Filippinene har storeklasseskiller der en stor delav befolkningen er svært fattige.Dette gjør at mange barnslutter tidlig på skolen, entenfordi foreldrene ikke har råd tilå betale for noe så enkelt somtransporten til skolen, eller fordibarna må arbeide for at familienskal overleve. De fattige barnasom får anledning til å fortsettepå skolen, har vanskelige kårfor læring. Blant annet er detikke uvanlig at de må arbeideetter skoletid slik at lekselesingblir umulig. Det er vanskelig foross i den rike delen av verdenå forstå hvilke utfordringerdisse barna har for å lykkes påskolen. Men motivasjonen forlæring er stor, for i dette landeter utdanningen eneste nøkkelenfor å komme seg ut av fattigdommen.Matematikk på Filippinene ogi SingaporeJeg har brukt litt tid på å se påprogresjonen i matematikk oghvilke type lærebøker de bruker.Også her er det forskjell på deoffentlige og private skolene,selv om de i utgangspunktet harsamme læreplan å gå ut ifra. Deoffentlige skolene bruker bøkersom er billige å produsere, i gråpapiruten særlig bruk av farger.Men på de lavere trinnene erdet greie illustrasjoner til hjelpi konkretiseringen av fagstoffet.Den faglige progresjonener forholdsvis rask sammenlignetmed Norge. Allerede påførste trinn (elevene starter som7-åringer) møter de brøk ogmultiplikasjon. På fjerde trinn,både multipliserer og dividererde tresifrete tall med femsifretetall. Bøkene er preget av mangesider med ferdighetstrening.Mange av de private skolenehar valgt å se til Singaporenår det gjelder matematikkundervisning.Flere av skolenebruker også lærebøker fra Singaporeeller USA. Språklig erdette helt uproblematisk, forbåde Singapore og Filippinenebruker engelsk som undervisningsspråk.Disse bøkene erfargerike og slettes ikke så ulikevåre norske, med mye bruk avillustrasjoner og bilder. Bøkenehar også et annet læringssynder problemløsning og åpneoppgaver har en fremtredendeplass. Jeg var på en konferanseher i Manila om matematikkundervisningeni Singapore, som70Landslaget for matematikk i skolen

mange av dere vet ligger høyestoppe i internasjonale undersøkelsersom TIMSS.Det var fascinerende å høreforsker Dr. Yeap Ban Har fraSingapore fortelle hvorfor deklarer seg så bra i matematikk.Han sier de har laget en læreplanmed svært høye krav, ogsiden alle i landet er enige omhvor viktig utdanning er, har debestemt seg for at de skal fåelevene til å klare dette. Hansier: “The global, technologicalsituation is such that we cannotbuild the future for our youthsbut we can build our youths forthe future”.Siden Singapore ikke har oljeeller noen andre naturressurser,er de fullstendig avhengige avsine innbyggeres “Brainpower”for å klare å opprettholde sinhøye levestandard. Det er altsåikke snakk om at det er nok at1/3 av elevene lykkes på skolen,det er heller ikke nok at 2/3lykkes! De har som mål at 95 %av elevene skal klare målene ien svært ambisiøs læreplan. Jegspurte ham hvordan de klartedette, og da svarte han at dethandler om tid og hvordan enlegger opp undervisningen slikat elevene forstår og lærer segå tenke selv, fremfor å puggeregler og fremgangsmåter. Dethører også med til historien atSingapore har plukket ut noenbasisfag som de sier er viktigstog det meste av undervisningstidengår med til disse fagene.Mest tid bruker de på engelskog matematikk!Han sa også noe annet somjeg la meg til hjertet: ”Vi underviseri matematikk fordi vi viltrene barnas hjerne til å tenkeabstrakt. Mennesker kan utviklenye ting fordi vi har evne tilabstraksjon. Denne evnen mådyrkes frem hos elevene, og detskjer ikke gjennom memoriseringog pugging av huskeregler.Den evnen kan vi bare skapeved å la elevene få arbeide medoppgaver som krever kreativttankearbeid.” Her er et eksempelpå denne typen oppgave,hentet fra avgangsprøven til 6.trinn:John hadde 1,5 m koppertråd.Han kuttet en del av trådenfor å lage figuren det er bildeav. På figuren er det 6 likesidetetrekanter, og lengden XY er 19cm. Hvor mye av koppertrådenvar til overs?XYI tillegg til å fremheve viktighetenav å utvikle evnen tilabstrakt tenkning, er det avgjørendeå gi barn en matematiskkompetanse som gjør dem istand til å mestre hverdagsligegjøremål. Vi skal ikke på noenmåter nedtone bruksaspektetved matematikken.Hva gjør de og ikke vi?Et annet kjennetegn på skolesystemetbåde på Filippinene(det private) og i Singapore, erde store kravene til elevene (oglærerne). Elevene blir fulgt opphele veien, hver eneste lekse blirkontrollert og den har betydningfor karakterene. Leksemengdenkan for enkelte være betydelig,og det er ikke uvanlig at elevenesitter fra 4-6 timer med lekserhver dag. Kun enkelte helgeri året er leksefri. Jeg har ikkevalgt å fokusere på lærerensrolle denne gangen, men kannevne at arbeidsdagen deresofte er fra kl 6.30–17.00.Elevene får karakterer alleredepå barnetrinnet og haravsluttende ”eksamen” etterhvert trinn. Presset på elevenekan synes noe urimelig ut fravårt ståsted, men både barnaog familien vet at uten utdanninghar en liten mulighet i disselandene. Men jeg kan ikke frimeg fra tanken om at for eleversom strever med basisfagene,må dette skolesystemet væreet sant mareritt. Lærerne sierde tilpasser undervisningen,men alle elevene skal gjennomsamme avsluttende eksamenhvert år, og foreldrene er livreddefor at barna ikke skalklare denne. Jeg kjenner blantannet folk som tar fri fra jobbeni uken før barnas eksamen, slikat de kan sitte og drille medbarna.Jeg er sikker på at jeg harde fleste med meg når jeg sierat vi ikke ønsker oss et skolesystemder elevene må arbeideLandslaget for matematikk i skolen 71

10–14 timer med skole hver dagog ingen helgefri. Vi ønsker atelevene våre skal få anledningtil å være barn og tilbringe tidsammen med venner og ulikefritidsaktiviteter. Men når det ersagt så tror jeg at vi må strammekravene noe. Vi, både foreldreog skole, må øke forventningenetil hva barna våre kan mestre.De må få større prestasjonskravog vi må følge opp slik atde blir motiverte til å innfri. Jegvet at i den ideelle verden skalelevene være drevet av en indremotivasjon for skole, at de skalha et sterkt ønske om å læreog at de synes at det er bådeinteressant og moro. Vi skal påalle måter prøve å etterstrevedette idealet, men det kan godtvære at vi må stoppe opp oginnse at mange av våre eleverikke får denne indre motivasjonen.Da må vi kanskje gjøre somdisse landene og satse mer påytre motivasjon. Det kan være”karakterer” eller så enkelt atleksene blir sjekket og at detfår konsekvenser for endeligvurdering. Men uten en samfunnsdreiningmot at utdanninger viktig, vil sannsynligvis hellerikke den ytre motivasjonen hanoen særlig virkning.Jeg er også sikker på at detbør skje en umiddelbar omprioriteringi norsk skole. Det er heletiden blitt presset mer og merinn i skolen som lærerne skalgjøre og ta hensyn til. Dermeder noe av det faglige fokusetforsvunnet på veien. Lærerenmå få tilbake tiden til å væreunderviser og faglig motivator.Sommerleirensom glapp!I forrige nummer av Tangenten fortalte vi om planene for en sommerleiri matematikk. Slike tiltak er avhengig av sponsorstøttehvis ikke utgiftene for den enkelte deltaker skal bli urimelig høye.Samtidig trenger vi tid for å gjøre grundige forberedelse. Ikkeminst gjelder det den viktige samarbeidspartneren matematikk.org som i tillegg ville hatt en del utgifter på forberedelsene. Vimåtte derfor sette en tidsfrist for når økonomien skulle være påplass. Det var den ikke innen midten av februar, og da var detbare å gi opp forsøket på å starte opp i år.Men vi gir ikke opp idéen. Styret vil arbeide videre med åskaffe sponsorer slik at vi kan gjøre et nytt forsøk neste år,sommeren 2009.(fortsatt fra side 66)ikke for en middelstor dame.Jeg tror aldri jeg har spist fraså små dessertskåler som der.Fredag var det på sammevis med forelesninger og verksteder,og i pausene gikk vi frastand til stand i håp om å se noenytt og revolusjonerende innenbøker og materiell. Så mye nyttvar det ikke å hente. Men deter litt greitt å få konstatert at viligger på omtrent samme nivåsom svenskene når det gjelderbøker og utstyr.Avslutningsforedraget bleholdt av den svenske undervisningsministeren.Han beskrevfire framtidsvyer for den svenskeskolen, nemlig at1. Alle elever ikke skal gå i densamme takten og ha densamme undervisningen.2. Alle elevene skal vurdereshelt fra de går i barnehagen.Ministeren mener vurderingvil være motiverende for alleelevene.3. Elever skal belønnes for åarbeide og gjøre en innsatsi skolen.4. Det skal settes fokus pålæreren og hans fagkunnskap.Skolemyndighetenevil ha bedre matematikklærere,og at elevresultateneskal bli bedre på de internasjonaleprøvene.Jeg synes vi ser spor av altdette også i norsk skole.72Landslaget for matematikk i skolen