Grundlæggende funktioner for B-niveau i stx

GrundlÄggendefunktionerfor B-niveau i stx2013 Karsten Juul

GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stxProcent1. Procenter pÅ en ny mÅde. ..................................................................................................................... 1LineÄr vÄkst2. LineÄr funktion.................................................................................................................................... 23. LineÄr vÄkst........................................................................................................................................ 24. Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineÄr vÄkst. ................................................................................. 25. Skriv hvad a og b i lineÄr forskrift fortÄller. ...................................................................................... 3Eksponentiel vÄkst6. Eksponentiel funktion. ......................................................................................................................... 37. Eksponentiel vÄkst. ............................................................................................................................. 38. Skriv ligning ud fra beskrivelse af eksponentiel vÄkst........................................................................ 49. Skriv hvad a og b i eksponentiel forskrift fortÄller. ............................................................................ 4PotensvÄkst10. Potensfunktion. .................................................................................................................................... 411. PotensvÄkst. ........................................................................................................................................ 512. Udregn procentÄndring for potensfunktion. ........................................................................................ 513. Udregn procentÄndring for potensfunktion. ........................................................................................ 5Grafer14. Graf for lineÄr funktion. ...................................................................................................................... 615. Graf for eksponentiel funktion............................................................................................................. 616. Graf for potensfunktion........................................................................................................................ 6Regression17. LineÄr regression................................................................................................................................. 718. Regression, Årstal. ................................................................................................................................ 719. Eksponentiel regression. ...................................................................................................................... 820. Potensregression. ................................................................................................................................. 9Bestem forskrift for lineÄr og eksponentiel funktion21. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter.................................................................................. 1022. Bestem a og b i y = ax+b ud fra punkter givet ved tekst.............................................................. 1123. Bestem b i f (x) = ax+b ud fra a og punkt. .................................................................................... 1124. Bestem a i f (x) = ax+b ud fra b og punkt. .................................................................................... 1125. Udregn a og b i y=ba x ud fra to punkter pÅ grafen...................................................................... 1226. ba x og be xk ................................................................................................................................... 13Fordoblings- og halveringskonstant27. Fordoblingskonstant og halveringskonstant....................................................................................... 1328. AflÄs fordoblingskonstant og halveringskonstant pÅ graf. ................................................................ 1429. Udregn fordoblings- og halveringskonstant ud fra forskrift. ............................................................. 1530. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortÄller................................................................... 1531. Udregn funktionsvÄrdier (y-vÄrdier) med fordoblingskonstant og halveringskonstant.................... 16Beviser32. Bevis for hvad a og b i y = ax+b fortÄller. ................................................................................... 1633. Bevis for hvad a og b i y = ba x fortÄller. ...................................................................................... 1734. Bevis for reglen om potensvÄkst. ...................................................................................................... 17Proportionale og omvendt proportionale variable35. Proportionale variable........................................................................................................................ 1836. Omvendt proportionale variable. ....................................................................................................... 1937. Opgave hvor variable fra virkeligheden er omvendt proportionale. .................................................. 20Logaritmefunktioner38. Naturlig logaritme og titalslogaritme. ................................................................................................ 21Polynomier39. Polynomier og rÇdder. ....................................................................................................................... 22Andengradspolynomier40. Andengradspolynomium.................................................................................................................... 2341. Toppunkt............................................................................................................................................ 2342. Diskriminant. ..................................................................................................................................... 2443. Betydning af a, b, c og d for grafen.................................................................................................... 2444. Nulpunkt. ........................................................................................................................................... 2545. Antal nulpunkter eller lÇsninger. ....................................................................................................... 2546. LÇs andengradsligning. ...................................................................................................................... 2647. Ligninger af typen x 2 = r .................................................................................................................. 2748. Bevis for formlen for lÇsning af andengradsligninger. ...................................................................... 2849. Regel for at faktorisere andengradspolynomium ............................................................................... 2950. Eksempel pÅ faktorisering af andengradspolynomium ...................................................................... 2951. Find forskrift for andengradspolynomium ......................................................................................... 29GÅ ind pÅ http://mat1.dk/noter.htm for at downloade nyeste version af dette hÄfte.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, Å 2013 Karsten Juul . Dette hÄfte kan downloades frawww.mat1.dk. Det mÅ bruges i undervisningen hvis lÄreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1.dk somoplyser at det bruges (skriv fulde titel og Årstal) og oplyser hold, niveau, lÄrer og skole. 29/3-2013

1. Procenter pÅ en ny mÅde.ProcentT er 34 % af 600T = 34 % af 60034= 600 É 0,34 da 34% = 100= 204= 0,34Du plejer nok at udregne 34 %ved at dividere med 100 oggange med 34.I nogle opgavetyper dur dennemetode ikke.Du er nÇdt til at vÄnne dig tilat gange med 0,34 for at udregne34 %.S er 34 % stÅrre end 600S = 134 % af 600 da 100 % + 34 % = 134 %134= 600 É 1,34 da 134 % = = 1,34100= 804NÅr du udregner det der er34 % stÇrre end et tal, sÅ plejerdu nok at udregne 34 % aftallet og lÄgge til talletI nogle opgavetyper dur dennemetode ikke.Du er nÇdt til at vÄnne dig tilat gange med 1,34 for at udregnedet der er 34% stÇrre.R er 34 % mindre end 600R = 66 % af 600 da 100 % – 34% = 66 %66= 600 É 0,66 da 66% = 100= 396= 0,66NÅr du udregner det der er34 % mindre end et tal, sÅplejer du nok at udregne 34 %af tallet og trÄkke fra talletI nogle opgavetyper dur dennemetode ikke.Du er nÇdt til at vÄnne dig tilat gange med 0,66 for at udregnedet der er 34% mindre.EksempelAntal ansatte skal stige 10% hvert År. 100 % 10 % 110 % 1, 10I År er antal ansatte 1000Om 1 År er antal ansatte 1000 1,10 1100Om 2 År er antal ansatte 1000 1,101,10 121016 Om 16 År er antal ansatte 1000 1,104595Om x År er antal ansattex1000 1,101101001,101,1021,10GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 1 2013 Karsten Juul

LineÄr vÄkst2. LineÄr funktion.En funktion f er lineÄr hvis den har en forskrift af typenf ( x) ax ba og b kan vÄre alle tal.Tallet a i en lineÄr forskrift f ( x) ax b kaldes hÄldningskoefficienten.3. LineÄr vÄkst.3a. Reglen for lineÄr vÄkst (reglen for hvad a i lineÄr sammenhÄng y ax bHver gang vi gÇr x Ön enhed stÇrre, bliver der lagt a til vÄrdien af y.fortÄller):3b. Reglen for hvad b i lineÄr sammenhÄng y ax bNÅr x er 0, er y lig b.fortÄller:4. Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineÄr vÄkst.OpgaveMan skal betale 10 kr. for at starte pÅ et computerspil, og herefter skal man betale 0,50 kr. pr.minut man spiller.Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne prisen for at spille nÅr vi kender antal minutter vispiller.BesvarelseVi bruger x og y til at betegne fÇlgende talstÇrrelser:x = antal minuttery = prisen i kr.SÅ kan vi oversÄtte oplysningerne til fÇlgende:NÅr x 0 er y 10Hver gang vi gÇr x Ön enhed stÇrre, bliver der lagt 0,50 til y .Af reglerne for hvad a og b if ( x) ax b fortÄller, fÅr vi:y0,50x 10nÅr x = antal minutter og y = prisen i kr.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 2 2013 Karsten Juul

5. Skriv hvad a og b i lineÄr forskrift fortÄller.OpgaveFor en cirkel pÅ et elektronisk billede kan radius udregnes ved hjÄlp af formleny 2x 80 hvor x er temperaturen i C og y er radius i mm.Hvad fortÄller tallene 2og 80 om radius?BesvarelseAf reglerne for hvad a og b iy ax bfortÄller, fÅr vi:2er det tal der bliver lagt til radius y hver gang vi gÇr temperaturen x engrad stÇrre .NÅr temperaturen x er 0, er radius y lig 80 .Dvs.:Radius er 80 mm ved 0 C og bliver 2 mm mindre for hver grad temperaturen stiger .6. Eksponentiel funktion.Eksponentiel vÄkstEn funktion f er eksponentiel hvis den har en forskrift af typenf ( x) ba xhvor a og b er positive.Tallet a i en eksponentiel forskriftxf ( x) ba kaldes fremskrivningsfaktoren.7. Eksponentiel vÄkst.x7a. Reglen for eksponentiel vÄkst (reglen for hvad a i eksponentiel sammenhÄng y bafortÄller):Hver gang vi gÇr x Ön enhed stÇrre, bliver vÄrdien af y ganget med a.x7b. Reglen for hvad b i en eksponentiel sammenhÄng y baNÅr x er 0, er y lig b.fortÄller:GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 3 2013 Karsten Juul

8. Skriv ligning ud fra beskrivelse af eksponentiel vÄkst.OpgaveKl. 9 er der 275 celler, og hver time bliver antal celler 20 % stÇrre.Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne antallet af celler nÅr vi kender tidspunktet.BesvarelseNÅrx = antal timer efter kl. 9y = antal cellergÄlder:NÅr antal timer x bliver 1 stÇrre, vil antal celler y blive 20 % stÇrre, dvs.antal celler y bliver ganget med 1,20 . (Start: 100%. Efter stigning: 120%=120:100=1,20).NÅr antal timer x er 0 , er antal celler y lig 275 .Af reglerne for hvad a og b ixy 275 1, 20xy bafortÄller, fÅr vi9. Skriv hvad a og b i eksponentiel forskrift fortÄller.OpgaveAntallet af dyr Ändres sÅdan atxy 270 0, 90hvorx = antal dage efter 1. juniy = antal dyrHvad fortÄller tallene 270 og 0,90 om antallet af dyr.BesvarelseAf reglerne for hvad a og b iDvs.xy bafortÄller, fÅr viNÅr antal dage x bliver 1 stÇrre, bliver antal dyr y ganget med 0,90 , dvs.antal dyr y bliver 10 % mindre. (Start: 100%. 100%0,90=90%. 90%–100%= –10%)NÅr antal dage x er 0 , er antal dyr y lig 270 .Den 1. juni er antallet af dyr 270, og hver dag bliver antallet af dyr 10 % mindre.10. Potensfunktion.PotensvÄkstEn funktion f er en potensfunktion hvis den har en forskrift af typenaf ( x) bxhvor b er positiv og x kun kan vÄre positive tal.Tallet a i potensforskriftenaf ( x) bx kaldes eksponenten.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 4 2013 Karsten Juul

11. PotensvÄkst.10a. Reglen for potensvÄkst:aOm en potenssammenhÄng y bxgÄlder for et positivt tal k:NÅr x bliver ganget med k , sÅ bliver y ganget med k a .12. Udregn procentÄndring for potensfunktion.Opgave1,6Et dyr vokser sÅdan at y 2,7 x hvor y er vÄgten i gram, og x er lÄngden i cm.NÅr dyret er blevet 40 % lÄngere, hvor mange procent tungere er det sÅ blevet?BesvarelseAt x bliver 40%stÇrre, er det samme somat x bliver ganget med 1 , 40 . (Start: 100%. Efter stigning: 140%=140:100=1,40)NÅr x bliver ganget med 1 , 40 , sÅ bliver y ganget med1,61,40 1,71319 1,71At y bliver ganget med 1 , 71 , er det samme somat y bliver 71%stÇrre. (Start: 100%. 100%1,71=171%. 171%–100%=71%)Dyret bliver 71%tungere nÅr det bliver 40%lÄngere.BemÄrk at vi IKKEsÄtter 1,40 ind iligningen. Vi brugereksponenten fra ligningen.13. Udregn procentÄndring for potensfunktion.OpgaveDer gÄlder0,51f ( x) 240 xhvor x er rutens lÄngde i km, og f (x)er antal deltagere.Hvor mange procent falder antal deltagere hvis vi fordobler rutens lÄngde?BesvarelseNÅr rutens lÄngde x bliver ganget med 2, sÅ bliver antallet af deltagere f (x)ganget med2Dvs.:0,51 0,702222 0,70Antal deltagere bliver 30%mindre (Start: 100%. 100%0,70=70%. 70%–100%= –30%)hvis vi fordobler rutens lÄngde.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 5 2013 Karsten Juul

Grafer14. Graf for lineÄr funktion f ( x) ax bGrafen er en ret linje.dPÅ grafen ser vi:DefinitionsmÄngde: alle tal dvs. alle tal kan indsÄttes for x.VÄrdimÄngde: alle tal dvs. funktionsvÄrdien y kan vÄre alle tal(hvis a ikke er 0 sÅ f ( x) b ).Voksende: a positiv eksempel: dAftagende: a negativ eksempel. ggxHvis a 0i f ( x)axbeller i f ( x)bx, eller a 1i f ( x)ba,sÅ er f ( x)b, sÅ grafen er en vandret linje.aHvis a 1iaf ( x)bx, er f ( x)bx, sÅ grafen er en skrÅ linje.x15. Graf for eksponentiel funktion f ( x) ba hvor a og b er positivePÅ grafen ser vi:DefinitionsmÄngde: alle tal dvs. alle tal kan indsÄttes for x.VÄrdimÄngde: de positive tal dvs. funktionsvÄrdien y kanvÄre alle positive tal(hvis a ikke er 1 sÅ f ( x) b ).Voksende: a stÇrre end 1 eksempel: hAftagende: a mellem 0 og 1 eksempel: kGrafen kommer vilkÅrlig tÄt pÅ x-aksen, men nÅr den aldrig.BemÄrk at grafen krummer sÅdan: eller sÅdan: IKKE sÅdan: , og IKKE sÅdan: kh16. Graf for potensfunktionaf ( x) bx hvor b er positivPÅ grafen ser vi:DefinitionsmÄngde: de positive tal dvs. alle positive tal kan indsÄttes for x.VÄrdimÄngde: de positive tal dvs. funktionsvÄrdien y kan vÄre alle positive tal(hvis a ikke er 0 sÅ f ( x) b ).Voksende og graf krummer op: a over 1 eksempel: mVoksende og graf krummer ned: a mellem 0 og 1 eksempel: nAftagende: a negativ eksempel: pAftagende potensfunktion:grafen kommer vilkÅrlig tÄt pÅx-aksen, men nÅr den ikke.mnpBemÄrk at grafen IKKEkrummer sÅdan: GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 6 2013 Karsten Juul

Regression17. LineÄr regression.OpgaveVi har mÅlt lÄngde og bredde for nogle komponenter:Bredden f (x), mÅlt i cm, er med god tilnÄrmelsegivet vedf ( x) ax bBesvarelselÄngde i cm 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5bredde i cm 5,1 5,3 5,9 6,1 6,6hvor x er lÄngden mÅlt i cm.Find tallene a og b.Vi indtaster tallene sÅdan atlÄngde kommer pÅ den vandrette akse ogbredde kommer pÅ den lodrette akse.Nspire laver lineÄr regression pÅ de indtastede talog fÅrf ( x) 0,38x 0,67 .Dvs.a 0,38 og b 0, 67SÇdan taster vi pÇ NspireVi vÄlger vindue aftype ”Lister og Regneark”og taster tabel sÅdan Lad ikke markÇr stÅ i sidstefelt du Ändrer.I menuen vÄlger viStatistik/Statistiske beregninger.../LineÄr regression (mx+b)...SÅ fremkommer et vindue vi udfyldersom vist nedenfor. I X-liste-feltet ogY-liste-feltet, skal du ikke taste navnet,du skal vÄlge det.NÅr vi i et matematikfelt i etnotevindue taster f (x)og trykkerpÅ Ä fÅr vi18. Regression, Årstal.OpgaveTabellen viser antallet af boliger i et bestemt omrÅde.Antallet af boliger kan med god tilnÄrmelse beskrives ved en ligning af typenhvor y er antallet af boliger, og x er antal År efter 1998.Find tallene a og b.BesvarelseVi taster fÇlgende tabel:Ürstal 1998 2000 2002 2004 2006 2008Antal boliger 133 170 186 218 232 247x 0 2 4 6 8 10y 133 170 186 218 232 247Nspire laver lineÄr regression pÅ hele denne tabel og fÅr y 11,2571x141,381Dvs. a 11,3og b 141y ax bVi taster ikke Årstalda x ikke er Årstallet.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 7 2013 Karsten Juul

19. Eksponentiel regression.OpgaveBesvarelseTabellen viser antallet af indbyggere i et omrÅde i perioden 2000-2005.Udviklingen kan med god tilnÄrmelse beskrives med en funktion af typenf ( x) ba xhvor f (x)er antallet af indbyggere (mÅlt i tusinder), og x er antal År efter 2000.Find a og b .Ud fra den givne tabel laver vi tabellen nedenfor hvor Årstallet er erstattet af vÄrdien af x.Denne tabel taster vi. Nspire laver eksponentiel regression pÅ hele tabellen og fÅrDvs.Ür 2000 2001 2002 2003 2004 2005Antal (i tusinder) 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10,2x 0 1 2 3 4 5y 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10,2f ( x) 8,47906 1,03686a 1,037 og b 8, 48xBemÄrkHvis vi ikke bruger hele tabellen, sÅ duer besvarelsen ikke.xGrafen for y 8,479061,03686 gÅr ikke gennem tabel-punkterne,men det er den eksponentielle graf der afviger mindst fra punkterne.SÇdan taster vi pÇ NspireVi vÄlger et vindue af typen ”Lister og Regneark” og taster tabellensom vist til hÇjre.I menuen vÄlger viStatistik/Statistiske beregninger.../Eksponentiel regression...SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til hÇjre.Du skal ikke taste det der stÅr i X-liste-feltet og Y-liste-feltet,du skal vÄlge det.NÅr vi i et matematikfelt i et notevinduefÅr vitaster f (x)og trykker pÅ ÄGrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 8 2013 Karsten Juul

20. Potensregression.OpgaveDe mÅlte tal i tabellen viser for et bestemt dyr sammenhÄngen mellem alder og lÄngde .SammenhÄngen kan med god tilnÄrmelse beskrives med en funktion af typenhvor f (x)Besvarelsef ( x) bxBestem a og b .aer lÄngde (mÅlt i mm), og x er alder (mÅlt i dÇgn).Denne tabel taster vi sÅ alder er i x-sÇjlen og lÄngde er i y-sÇjlen . Nspire laverpotensregression pÅ hele tabellen og fÅrDvs.BemÄrkAlder i dÇgn 10 15 20 30 40 50LÄngde i mm 43 60 74 105 132 155f ( x) 6,79203x0,802027a 0,802 og b 6, 79Hvis vi ikke bruger hele tabellen, sÅ duer besvarelsen ikke.0,802027Grafen for f ( x) 6,79203x gÅr ikke gennem tabel-punkterne,men det er den potensgraf der afviger mindst fra punkterne.SÇdan taster vi pÇ NspireVi vÄlger et vindue af typen ”Lister og Regneark” og taster tabellensom vist til hÇjre.I menuen vÄlger viStatistik/Statistiske beregninger.../Potensregression...SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til hÇjre.Du skal ikke taste det der stÅr i X-liste-feltet og Y-liste-feltet,du skal vÄlge det.NÅr vi i et matematikfelt i et notevinduefÅr vitaster f (x)og trykker pÅ ÄHvis potensfunktionen er aftagende, skriver Nspire en brÇk:Dette skal du selv skrive om til formenab x. Husk at tilfÅje et minus foran eksponenten:GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 9 2013 Karsten Juul

Bestem forskrift forlineÄr og eksponentiel funktion21. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter.Opgave 1: Punkterne ( x,y) ( 7,1)og ( x,y) (8, 4)ligger pÅ grafen for sammenhÄngeny ax b . Find tallene a og b .Metode 1: Vi indsÄtter i formler for a og b :Af ( x1,y1) ( 7,1)og ( x2 , y2) (8, 4)fÅr viy2 y14 1 3a 0,2x x 8 ( 7)1521b y1 ax1 10,2 (7) 2,4Metode 2: Nspire lÇser ligningssystem:Da ( x,y) ( 7,1)og ( x,y) (8, 4)ligger pÅ grafen, er1 a ( 7) b4 a 8 bNspire lÇser dette ligningssystemmht. a og b og fÅra 0,2 og b 2, 4SÅdan tastede vi pÅ Nspire:Metode 3: Vi lÇser ligningssystem uden hjÄlpemidler:Da ( x,y) ( 7,1)og ( x,y) (8, 4)ligger pÅ grafen, er(1) 1 a ( 7) b(2) 4 a 8 bAf (1) fÅr vi(3) 1 7a bVi indsÄtter dette i (2) og fÅr4 8a (1 7a)hvoraf3 15a3 15a15 150,2 aDette indsÄtter vi i (3) og fÅr1 7 0, 2 bhvoraf2,4 bMetode 4: Nspire laver lineÄr regression:Nspire laver lineÄr regression pÅ punkterne ( x,y) ( 7,1)og ( x,y) (8, 4)ogfÅr y 0,2x 2, 4Dette er konklusionen i Opgave 1 uansetKonklusion: a 0, 2 og b 2, 4om vi bruger Metode 1, 2, 3 eller 4.Opgave 2: Punkterne ( x,y) ( 7,1)og ( x,y) (8, 4)f . Find en forskrift for f .Konklusion: f ( x) 0,2x 2, 4ligger pÅ grafen for en lineÄr funktionMetoder er ens foropgave 1 og 2.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 10 2013 Karsten Juul

22. Bestem a og b i y = ax+b ud fra punkter givet ved tekst.OpgaveDer er en lineÄr sammenhÄng mellem temperatur og overskud.NÅr temperaturen er –3 C , er overskuddet 12 mio. kr.NÅr temperaturen er 5 C , er overskuddet 28 mio. kr.Skriv en ligning der viser sammenhÄngen mellem temperatur og overskud.BesvarelseVi sÄtterx = temperatur (mÅlt i C)y = overskud (mÅlt i mio. kr.)Der er oplyst to x-vÄrdier og tilhÇrende y-vÄrdier:Til x1 3svarer y 112 .Til x 5 svarer y 28 .2 2 Da sammenhÄngen er lineÄr, er den sÇgte ligning pÅ formenabDvs.:yx22yx1128 125 ( 3)168y1 ax1 12 2 ( 3)Ligningen y 2x18182viser sammenhÄngen mellemtemperaturen x i C og overskuddet y i mio. kr.Det er nÇdvendigt at fortÄlle lÄserendette da det ikke stÅr i opgaven.y ax b , ogAlle fire metoderfra ramme 20 kanbruges her.23. Bestem b i f (x) = ax+b ud fra a og punkt.OpgavePunktet ( 4, 35)ligger pÅ grafen for funktionen f ( x) 8x b . Find tallet b .BesvarelseVi indsÄtter 4 for x og 35 for f (x)i f ( x) 8x b og fÅr 35 8 4 b .Vi lÇser denne ligning mht. b og fÅr b 3 .Dvs. b 324. Bestem a i f (x) = ax+b ud fra b og punkt.OpgavePunktet ( 5, 8)ligger pÅ grafen for sammenhÄngen f ( x) ax 18. Find tallet a .BesvarelseVi indsÄtter 5 for x og 8 for f (x)i f ( x) ax 18og fÅr 8 a 5 18.Vi lÇser denne ligning mht. a og fÅr a 2.Dvs. a 2GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 11 2013 Karsten Juul

x25. Udregn a og b i y baud fra to punkter pÅ grafen.Opgave: Punkterne ( x,y) (4, 3)og ( x,y) (7, 24)y b. Udregn tallene a og b .a xligger pÅ grafen for sammenhÄngenMetode 1: Vi sÄtter ind i formler for a og bAf x , y ) (4, 3)og x , y ) (7, 24)( 1 1 abx xa2y1x11yy21( 2 2 342fÅr vi7424 3 833162Metode 2: Vi lÇser ligningssystem med elektronisk hjÄlpemiddelxPunkterne ( x,y) (4, 3)og ( x,y) (7, 24)ligger pÅ grafen for y ba43 baog 24 baNspire lÇser dette ligningssystem mht. a og b og fÅra 2 og b 3167, sÅMetode 3: Vi lÇser ligningssystem uden hjÄlpemidlerxPunkterne ( x,y) (4, 3)og ( x,y) (7, 24)ligger pÅ grafen for y ba, sÅ3 ba4og724 baVi dividerer hÇjre ligning med venstre:724 ba3 4baNÅr vi forkorter de to brÇker, fÅr vi38 asÅa3 8dvs. a 2aa74 a474Vi indsÄtter denne vÄrdi af a i ligningen 3 baog fÅr 3 b243Ved at dividere begge sider med 2 fÅr vi b423sÅb 16Metode 4: Vi bruger eksponentiel regressionNspire laver eksponentiel regression pÅ punkterne ( x,y) (4, 3)og ( x,y) (7, 24)og fÅra 2 og b 0, 1875daaa744a a a a a a aa a a aGrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 12 2013 Karsten Juul

26. ba x og be xk .RegelxForskriften f ( x) bafor en eksponentiel funktion kan skrives pÅ formenkhvor a e .f ( x) bekxOpgaveSkrivBesvarelsef ( x) 200,76e kxpÅ formenkxf ( x) be.0,76Nspire lÇser denne ligning mht. k og fÅr k 0, 274437 .f ( x) 20e0,274xOpgaveSkriv f ( x) 3,8 eBesvarelse1,41,4 xpÅ formen f ( x) ba.a eNspire udregner hÇjre side og fÅr a 4, 0552 .f ( x) 3,8 4, 06xxFordoblings- og halveringskonstant27. Fordoblingskonstant og halveringskonstant.Tabellen viser hvordan hÇjden af en plante er vokset eksponentielt.I tabellen ser vi:Antal uger efter kÇb: 0 1 2 3 4 5 6HÇjde i cm: 12 15 19 24 30 38 481 uge efter kÇbet er hÇjden 15 cm.3 uger senere er hÇjden 30 cm, som er det dobbelte af 15 cm.2 uger efter kÇbet er hÇjden 19 cm.3 uger senere er hÇjden 38 cm, som er det dobbelte af 19 cm.Uanset hvornÅr vi starter, sÅ vil der gÅ 3 uger fÇr hÇjden er fordoblet.Man siger at hÇjdens fordoblingskonstant er 3 uger.27a En eksponentielt voksende sammenhÄng har en fordoblingskonstant T 2 .NÅr x-vÄrdien bliver T2enheder stÇrre, sÅ bliver y-vÄrdien fordoblet.27b En eksponentielt aftagende sammenhÄng har en halveringskonstant T1 .NÅr x-vÄrdien bliverT12enheder stÇrre, sÅ bliver y-vÄrdien halveret.2GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 13 2013 Karsten Juul

28. AflÄs fordoblingskonstant og halveringskonstant pÅ graf.OpgaveFiguren viser grafen for en eksponentielt aftagende sammenhÄng.Hvad er halveringskonstanten for denne sammenhÄng?BesvarelseResultatet bliver det samme uanset hvilken x-vÄrdi vi starter med. Vi kan fx starte med x 1:Som vist pÅ figuren nedenfor aflÄser vi at nÅr x 1 er y 3, 1 .Det halve af 3,1 er ,1 1, 55 2Som vist pÅ figuren nedenfor aflÄser vi at nÅr y 1, 55 er x 3, 7 .For at halvere y skal vi altsÅ Çge x med 3,71 2, 7 sÅhalveringskonstanten er 2,7 .BemÄrkningHvis funktionen er eksponentielt voksende, kan fordoblingskonstanten aflÄses pÅ nÄstensamme mÅde: Vi finder to grafpunkter hvor y-koordinaten til det ene er 2 gang y-koordinatentil det andet. Forskellen pÅ de to punkters x-koordinater er fordoblingskonstanten.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 14 2013 Karsten Juul

29. Udregn fordoblings- og halveringskonstant ud fra forskrift.ReglerFor funktionenf ( x) bagÄlderHvis f er voksende ( a 1), erHvis f er aftagende ( 0a 1), erFor funktionenf ( x) bexk xgÄlderHvis f er voksende ( k 0), erHvis f er aftagende ( k 0), erln(2)T2ln( a)ln( 1 2)T12ln( a)TT2 1 2ln(2)kln( 1 2)kEksemplerHvisHvisxln(2)f ( x) 12,5 1,063 er T2 11,345411,3ln(1,063)1,3xln( 1f ( x) 30 e er 2)T1 0,53319 0, 5321,330. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortÄller.OpgaveDer er en eksponentiel sammenhÄngy bax = lÄngden (i cm)y = omkredsen (i cm)Vi har fÅet at vide atfordoblingskonstanten er 7 .Hvad fortÄller dette om lÄngde og omkreds.xmellem de variableBesvarelseAt fordoblingskonstanten er 7 betyder:Dvs:NÅr x-vÄrdien bliver 7 enheder stÇrre, sÅ bliver y-vÄrdien fordoblet.NÅr lÄngden bliver7 cm stÇrre, sÅ bliver omkredsen fordoblet.Hvis vi i stedet havde fÅet at vide athalveringskonstanten er 7ville svaret vÄreNÅr lÄngden bliver7 cm stÇrre, sÅ bliver omkredsen halveret.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 15 2013 Karsten Juul

31. Udregn funktionsvÄrdier ( y-vÄrdier) medfordoblingskonstant og halveringskonstant.OpgaveOm en eksponentiel funktion f er oplyst at f ( 4) 9 og at fordoblingskonstanten er 3.Udregn f (10).BesvarelseNÅr vi lÄgger 3 til 4, fÅr vi 7, sÅ f ( 7) 2918.NÅr vi lÄgger 3 til 7, fÅr vi 10, sÅ f ( 10) 218 36 .f ( 10) 36OpgaveOm en eksponentiel funktion f er oplyst at f ( 0) 12og at halveringskonstanten er 1.Udregn f (3).Besvarelse1 21 21 2f (1) 126 , f (2) 6 3 og f (3) 31, 5 .f ( 3) 1,5Beviser32. Bevis for hvad a og b i y = ax+b fortÄller.SÄtningFor en lineÄr sammenhÄng y ax b gÄlder:32a. NÅr vi gÇr x Ön enhed stÇrre, bliver der lagt a til vÄrdien af y.32b. NÅr x er 0, er y lig b.BevisVi udregner vÄrdien af y nÅr x er t , og nÅr x er t 1:NÅrx t er y at b(Vi har indsat t for x i y ax b )NÅr x t1er y a( t1) b (Vi har indsat t1for x i y ax b )FÇlgende viser at nÅr vi lÄgger a til fÇrste vÄrdi af y, sÅ fÅr vi den anden vÄrdi af y :at b a at a b a( t 1) b(Vi har sat a uden for parentes)Dvs. nÅr x Ändres fra t til t 1, sÅ lÄgges a til vÄrdien af y.Nu har vi bevist 32a (reglen om lineÄr vÄkst).NÅr x 0 er y a0 b bNu har vi bevist 32b.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 16 2013 Karsten Juul

33. Bevis for hvad a og b i y = ba x fortÄller.SÄtningFor en eksponentiel sammenhÄng y bagÄlder:33a. NÅr vi gÇr x Ön enhed stÇrre, bliver vÄrdien af y ganget med a .33b. NÅr x er 0, er y lig b.BevisVi udregner vÄrdien af y nÅr x er t , og nÅr x er t 1:NÅrx tNÅr x t1ereryt baxt1(Vi har indsat t for x iy ba(Vi har indsat t1for x ixy ba)FÇlgende viser at nÅr vi ganger fÇrste vÄrdi af y med a, sÅ fÅr vi den anden vÄrdi af y :tba atb a a1 t1b aifÇlge potensreglenDvs. nÅr x Ändres fra t til t 1, sÅ bliver vÄrdien af y ganget med a .Nu har vi bevist 33a (reglen om eksponentiel vÄkst).ar asxy ba)arsNÅr x 0 er y b a b 1 bNu har vi bevist 33b.034. Bevis for reglen om potensvÄkst.SÄtningOm en potenssammenhÄngay bxgÄlder for et positivt tal k:NÅr x bliver ganget med k , sÅ bliver y ganget med k a .BevisVi udregner vÄrdien af y nÅr x er t , og nÅr x erk t :NÅrx terybta(Vi har indsat t for x iay bx)NÅrx kteray b( kt)(Vi har indsat ktfor x iay bx)FÇlgende viser at nÅr vi ganger fÇrste vÄrdi af y medaab t k b ( tk)aak , sÅ fÅr vi den anden vÄrdi af y :ifÇlge potensreglenDvs. nÅr vÄrdien af x bliver ganget med k, sÅ bliver vÄrdien af y ganget medDet var dette vi ville bevise.rrp q ( p q)ak .rGrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 17 2013 Karsten Juul

Proportionale og omvendt proportionalevariable35. Proportionale variable.DefinitionOm to variable x og y siger vi athvisOpgavey er proportional med xy k xog k er det samme tal for alle vÄrdier af x .De to variable x og y er proportionale.Tabellen viser nogle sammenhÇrende vÄrdier af x og y.Hvad er y nÅr x er 10 ?Hvad er x nÅr y er 15?BesvarelseUdregne k :Da x og y er proportionale, er der et tal k sÅ(1) y k x .I tabellen ser vi at nÅr x 24 er y 18 .Dette indsÄtter vi i (1):18 k 24Denne ligning lÇser vi mht. k og fÅr0,75 kdvs.(2) y 0, 75xUdregne y :For at finde y nÅr x er 10, sÄtter vi x til 10 i (2):y 0,7510Heraf fÅr vi y 7, 5sÅy er 7,5 nÅr x er 10x 24 36 92y 18 27 69I opgaven stÅr ikke at vi skal udregne k.Vi skal selv vide at vi skal udregne k fÇrst,sÅ vi kan bruge k til at udregne de tal der er spurgt om.Vi kan lÇse ligningen ved atdividere begge sider med 24.Udregne x :For at finde x nÅr y er 15, sÄtter vi y til 15 i (2):15 0, 75xVi lÇser denne ligning mht. x og fÅr20 xsÅx er 20 nÅr yer 15Vi kan lÇse ligningen ved atdividere begge sider med 0,75.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 18 2013 Karsten Juul

36. Omvendt proportionale variable.DefinitionOm to variable x og y siger vi athvisy er omvendt proportional med xky og k er det samme tal for alle vÄrdier af x .xOpgaveDe to variable x og y er omvendt proportionale.Hvad skal der stÅ pÅ de tomme pladser i tabellen?x 12 36y 9 6BesvarelseUdregne k :Da x og y er omvendt proportionale, er der et tal k sÅk(1) y .xI tabellen ser vi at nÅr x 12 er y 6 . Dette indsÄtter vi i (1):6k12Vi lÇser denne ligning mht. k og fÅr72kDer gÄlder altsÅ:(2)Udregne y :y72xFor at finde y nÅr x er 36, sÄtter vi x til 36 i (2):72y 36Heraf fÅr vi y 2 sÅy er 2 nÅr x er 36I opgaven stÅr ikke at vi skal udregne k.Vi skal selv vide at vi skal udregne k fÇrst,sÅ vi kan bruge k til at udregne de tal der er spurgt om.Vi kan lÇse ligningen ved atgange begge sider med 12.Udregne x :For at finde x nÅr y er 9, sÄtter vi y til 9 i (2):729 xVi lÇser denne ligning mht. x og fÅrx 8sÅx er 8 nÅr y er 9Vi kan lÇse ligningen vedfÇrst at gange begge sidermed x og derefter atdividere begge sider med 9.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 19 2013 Karsten Juul

37. Opgave hvor variable fra virkeligheden er omvendtproportionale.OpgavePÅ en skÄrm er et rektangel som vi kan Ändre ved at trÄkke med musen.HÇjde og bredde er omvendt proportionale.HÇjden er 2,5 nÅr bredden er 8Hvad er hÇjden nÅr bredden er 3,2 ?BesvarelseVi kalder hÇjden for h og bredden for b.Udregne k :Da h er omvendt proportional med b, findes et tal k sÅkh bDa h 2, 5 nÅr b 8mÅk2,5 8Vi ganger begge sider med 8 og fÅr k 20 , dvs.(1)Udregne h :h20bVi sÄtter b 3, 2 i (1):h203,2Heraf fÅr vi h 6, 25sÅhÇjden er 6,25 nÅr bredden er 3,2GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 20 2013 Karsten Juul

Logaritmefunktioner38. Naturlig logaritme og titalslogaritme.Funktionen ln(x)hedder den naturlige logaritmefunktion.Funktionen log(x)hedder titalslogaritmefunktionen.Funktionerne ln(x)og log(x)er pÅ Nspire.Logaritmereglerne:ln( a b) ln( a) ln( b)log( a b) log( a) log( b)ln(a) ln( a) ln( b)log(a) log( a) log( b)bbGrafer:ln( ) x ln(a)log( ) x log(a)ln( 1) 0log( 1) 0ln(e) 1log( 10) 1a xa xlnlogDefinitionsmÄngden for ln og log er de positive tal, dvs. alle positive tal kan indsÄttes for x.VÄrdimÄngden for ln og log er alle tal, dvs. funktionsvÄrdien y kan vÄre alle tal.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 21 2013 Karsten Juul

39. Polynomier og rÇdder.PolynomierPolynomierEt fÇrstegradspolynomium er en funktion af typenEt andengradspolynomium er en funktion af typenEt tredjegradspolynomium er en funktion af typenOsv.f ( x) ax b hvor a 0 .f ( x)ax bx c hvor a 0 .23 2f ( x)ax bx cx d hvor a 0 .Nulpunkter og rÅdderHvis vi if ( x)ax bx c sÄtter2a 1 , b 3 og c 5, fÅr vi4andengradspolynomietffx) 1 x 3x 5(24Til hÇjre har vi tegnet grafen for detteandengradspolynomium.PÅ grafen ser vi at hvis vi sÄtter 4 ind for x i forskriften og regner ud, sÅ fÅr vi y-vÄrdien 3.PÅ grafen ser vi ogsÅ at hvis vi sÄtter 10 ind for x og regner y-vÄrdien ud, sÅ fÅr vi 0.Et tal kaldes et nulpunkt for f hvis vi fÅr 0 nÅr vi indsÄtter tallet for x i forskriften og regnerud. Et nulpunkt kaldes ogsÅ en rod. At finde rÇdderne er det samme som at lÇse ligningenf ( x) 0 .1 24PÅ grafen ser vi at rÇdderne er 2 og 10. Hvis vi lÇser ligningen x 3x 5 0 , sÅ fÅr vialtsÅ lÇsningerne 2 og 10.Opgave(1 24Vis at 10 er rod i polynomiet f x) x 3x5 .Besvarelsef (10) 21 10 310 5 1100 30 5 25 25 4Da f ( 10) 0 , er 10 rod.40Regel om antal rÅdder, antal fÄllespunkter med x-akse og antal lÅsningerEt polynomium af grad n kan hÇjst have n rÇdder.EksempelEt tredjegradspolynomium kan ikke have mere end 3 rÇdder.Grafen for et tredjegradspolynomium kan hÇjst have 3 punkter fÄlles med x-aksen.En tredjegradsligning kan hÇjst have 3 lÇsninger.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 22 2013 Karsten Juul

40. Andengradspolynomium.AndengradspolynomierEt andengradspolynomium er er en funktion af typen2(1) f ( x) ax bx c hvor a 0Hvis vi skriver 0 pÅ a 's plads,sÅ bliver det ikke et andengradspolynomiumda x 2 forsvinder.Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?Vi sÄtter a 1 b 2c 0if ( x)ax2 bx cog fÅr f ( x) 1x ( 2)x 0sÅ22 f ( x) x 2xer et andengradspolynomium.I dette og andre andengradspolynomier skal vi kunne se hvada, b og c er for at kunne indsÄtte i formler med a, b og c .41. Toppunkt.Grafen for et andengradspolynomium2f ( x) ax bx c , a 0er en parabel.Grafens toppunkt har x-koordinatenbx T 2 aEksempel Udregn toppunktfx Tf ( x)Vi ser at 0,4xf ( x)21,2x 3,4ax2 bx cog a 0, 4 b 1, 2 c 3, 4Toppunktets x-koordinat erb ( 1,2)x T 1,52a2 ( 0,4)Toppunktet ligger pÅ grafen og har x-koordinaten 1,5 sÅ y-koordinaten ery T 0,4 ( 1,5)Vi udregner hÇjresiden og fÅry T4,321,2 ( 1,5) 3,4Toppunktet er T (1,5 , 4,3)fGrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 23 2013 Karsten Juul

42. Diskriminant.Diskriminanten for et andengradspolynomiumer tallet2f ( x) ax bx c , a 0d2 b 4acEksempel Udregn diskriminantenVi ser atf ( x)2 3xf ( x) x 5ax2 bx cog a 3 b 1c 5Diskriminanten erdb2 4ac( 1)2 4355943. Betydning af a, b, c og d for grafen.2f ( x) ax bx c , a 0d er diskriminantena 2a 0,5a 1a : a positiv: grene vender opa negativ: grene vender nedparablen er bredere nÅr a er tÄttere pÅ nulb :b er hÄldningskoefficient for tangent tilgraf i skÄringspunkt med y-akseb 0lfb positiv:b nul:b negativ:graf gÅr op mod hÇjre i skÄring med y-aksegrafs toppunkt er pÅ y-aksegraf gÅr ned mod hÇjre i skÄring med y-aksel er tangent til f-grafen i dennesskÄringspunkt med y-aksen.b er lig l 's hÄldningskoefficient.c : Graf skÄrer y-akse i punktet (0 , c)c positiv: graf skÄrer y-akse over x-aksec nul: graf gÅr gennem punktet (0 , 0)c negativ: graf skÄrer y-akse under x-aksec 0c 0d : d positiv: graf har to punkter pÅ x-aksed nul: graf har Öt punkt pÅ x-aksed negativ: graf har ingen punkter pÅ x-aksed 0d 0 d 0GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 24 2013 Karsten Juul

44. Nulpunkt.Atet tal er nulpunkt for en funktionbetyder atnÅr vi indsÄtter tallet for x i forskriften og regner ud,sÅ fÅr vi nul.Ordet nulpunkt er misvisende.Et nulpunkt er IKKE et punkt.Et nulpunkt er et tal.Eksempel NulpunktAt2 1,5er nulpunkt for f ( x) 2x3xbetyder at2 1,52 31,5Dette er det samme som at01,5er lÇsning til ligningen 2x2 3x 0og det samme som atgrafpunktet med x-koordinat 1,5 ligger pÅ x-aksen.f0 og 1,5 er nulpunkter for f45. Antal nulpunkter eller lÇsninger.2f ( x) ax bx c , a 0d er diskriminantenDer gÄlder atantallet af nulpunkter for andengradspolynomiet2ax bx cdvs.antallet af lÇsninger til andengradsligningen2ax bx c 0er2 hvis d 01 hvis d 00 hvis d 0Eksempel Antal nulpunkter eller lÄsningerVi vil bestemme tallet k sÅ andengradsligningen2k x 2x 3 0har netop Ön lÇsning.2Ligningen er pÅ formen ax bx c 0 med a k , b 2, c 3 ,sÅ diskriminanten er22d b 4ac ( 2) 4k3 4 12kVi vil finde ud af hvornÅr der er Ön lÇsning, dvs. vi vil finde ud af hvornÅr d er 0:4 12k 0 er ensbetydende med at2Ligningen k x 2x 3 0k 13har netop Ön lÇsning nÅrk 13GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 25 2013 Karsten Juul

46. LÇs andengradsligning.En andengradsligning2ax bx c 0 , a 0kan vi lÇse sÅdan:FÇrst udregner vi diskriminanten:d2 b 4acSÅ bruger vi fÇlgende regel:Hvis d 0Hvis d 0har ligningen ingen lÇsninger.bhar ligningen lÇsningen2aHvis d 0BemÄrkninghar ligningen lÇsningerneBÅde nÅr d 0 og d 0b d2aer lÇsningerneb d2aogb d2aFormlen for at lÇse andengradsligninger.Eksempel LÄs andengradsligningLigningen3x2 2x 1er af typenax2 bx c 00meda 3 , b 2og c 1Diskriminanten erdb2 4ac( 2)2 43 (1)16Da d > 0 har ligningen lÇsningerneb2ad ( 2)2 3162 4613b2ad ( 2)2 3162 461Konklusion:Ligningen 3x 2 2x 1 01har lÇsningerne 3og 1GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 26 2013 Karsten Juul

47. Ligninger af typen x 2 = r .OplÄg Ligninger af typen x 2 = r2NÅr x 3er x xx 33 92NÅr x 3er x xx ( 3)(3) 9x 2 9 netop nÅr x 3eller x 347a. Regel Ligninger af typen x 2 = rNÅr n er negativ:x2 n er falsk uanset hvilket tal der indsÄttes for xNÅr p er positv:x 2 0 netop nÅr x 0x2 p netop nÅr x p eller x pEksempel Ligninger af typen ( udtryk ) 2 = rVi vil lÇse ligningen( x2)2 9Af regel 47a fÅr vix2 9 eller x2 9x2 3 eller x2 3dvs.x 5 eller x 1Eksempel Andengradsligning uden x-ledNÅr en andengradsligning ikke har noget x-led, kan vi lÇse den ved at omskrive og bruge regel 47a:2x2 6 02x2 x 2 x 633 eller x 3GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 27 2013 Karsten Juul

48. Bevis for formlen for lÇsning af andengradsligninger.Ved udregning fÅr vi2(2ax b) (2ax) b 2 2ax bVi reducerer hÇjre side:2(1) (2ax b) 4ax b 4abxVi omskriver andengradsligningen:22222ifÇlge formlen22( u v) u v 2uv2I ligningen2ax bx c 0 , a 0ganger vi begge sider med 4 a :4a2ax bx c 4a 0Vi ganger ind i parentesen:4a2x2 4abx 4acVi lÄgger diskriminanten2202 d b 4actil begge sider:4a x 4abx 4ac b 4ac 0 b 4acVi reducerer:4a2x2Af (1) fÅr vi(2ax b) 4abx bVi bruger nu de tre dele af 47a:Hvis d 0 :22d(2ax b) dhar ingen lÇsninger2d22Hvis d 0 :(2ax b)2ax b bx 2a2 00Hvis d 0 :(2ax b)2ax b2axx2 b b 2addddNu har vi bevist alle tre dele af reglen i ramme 46.GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 28 2013 Karsten Juul

49. Regel for at faktorisere andengradspolynomiumHvis andengradspolynomiet2f ( x) ax bx c , a 0har nulpunkterne x1og x 2 , erf ( x) a(x x1)(x x2) formlen for at faktorisere et andengradspolynomiumNÅr vi skriver andengradspolynomiet sÅdan, sÅ har vi faktoriseret andengradspolynomiet.Tal der ganges, kaldes faktorer. Her er der tre faktorer, nemlig a , xx1og x x2.50. Eksempler pÅ faktorisering af andengradspolynomium50a. Vi vil faktorisere andengradspolynomietf ( x) 2x2 5x 3Vi bruger formlen for at lÇse andengradsligninger og fÅr at2x2 5x 3 0 har lÇsningerne1 2og 3Vi bruger formlen for at faktorisere et andengradspolynomium og fÅr atf ( x) 2x1 x ( 3) 2Vi reducerer dette og skriver faktoriseringen sÅdan:f ( x) (2x1)(x 3)50b. I g( x) x2 4x 4 er a 1 og rÇdderne er begge 2 , sÅ faktoriseringen erg ( x) 1( x ( 2)) ( x ( 2)) ( x 2) ( x 2) ( x 2) .Vi ganger 2 ind i parentesen for at undgÅbrÇk. Ellers havde vi ikke ganget ind.251. Find forskrift for andengradspolynomiumVi har fÅet at vide at2f ( x) ax bx cf (x) har nulpunkterne 2 og 5punktet ( 3, 8)ligger pÅ grafen for f (x)Vi vil finde a , b og c .Vi indsÄtter i formlen for at faktorisere et andengradspolynomium:f ( x) a(x 2)( x 5)NÅr vi indsÄtter et grafpunkts x-koordinat i forskriften og regner ud,sÅ fÅr vi grafpunktets y-koordinat. Da ( 3, 8)ligger pÅ grafen, era( 3 2)(3 5) 8dvs. a 1( 2) 8 , sÅ a 4.Vi fÅr f ( x) 4(x 2)( x 5) 4x 28x 40sÅ a 4, b 28 og c 402Nedenfor er vist to mÅder at udregne dette pÅ.Uden hjÄlpemidler:4(x 2)( x 5)( 4x 8)( x 5) 4x2 20x 8x 404x2 28x 40Med Nspire:GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx Side 29 2013 Karsten Juul

Aandengradsligning ........................................26andengradsligning uden x-led ......................27andengradsligning, bevis..............................28andengradsligning, lÇsninger .......................26andengradspolynomium...............................23andengradspolynomium, find a, b og c........29andengradspolynomium, find forskrift ........29andengradspolynomium, graf.......................24Bbevis .................................................16, 17, 28Ddiskriminant .....................................24, 25, 26Eeee ....................................................13, 15, 21eksponentiel funktion.....................................3eksponentiel graf ............................................6eksponentiel regression..................................8eksponentiel vÄkst ...................................3, 17eksponentiel, bestem forskrift/ligning......4, 12eksponentiel, fortÄller....................................4Ffaktor ............................................................29faktorisere.....................................................29fordoblingskonstant................................13, 16fordoblingskonstant, aflÄs ...........................14fordoblingskonstant, fortÄller......................15fordoblingskonstant, udregn.........................15Ggraf .....................................................6, 21, 24Hhalveringskonstant .................................13, 16halveringskonstant, aflÄs.............................14halveringskonstant, fortÄller........................15halveringskonstant, udregn ..........................15LlineÄr funktion ...............................................2lineÄr graf......................................................6lineÄr regression............................................7lineÄr vÄkst .............................................2, 16lineÄr, bestem forskrift/ligning..........2, 10, 11lineÄr, fortÄller..............................................3logaritme ......................................................21logaritmefunktion, graf ................................21logaritmeregler.............................................21lÇsning..........................................................26lÇsninger, antal.......................................22, 25Nnaturlig logaritme.........................................21nulpunkt .................................................22, 25nulpunkter, antal ....................................22, 25Oomvendt proportional.............................19, 20Ppolynomium.................................................22potensfunktion ...............................................4potensfunktion, procentÄndring ..............5, 17potensgraf.......................................................6potensregression.............................................9potensvÄkst..............................................5, 17procent ...................................................1, 4, 5proportional..................................................18Rregression, eksponentiel.................................8regression, lineÄr...........................................7regression, potens...........................................9regression, Årstal ........................................7, 8rod ................................................................22rÇdder...........................................................22rÇdder, antal ...........................................22, 25Ttitalslogaritme ..............................................21toppunkt .......................................................23