Fourier-rekker på kompleks form. - Universitetet i Tromsø

Forelesningsnotater i matematikk.Fourier-rekker.a) Dersom n = 0 , blir1 T+ L −⋅ i 0⋅ t 1L2 3c = f () t e πdt = t ⋅ 1dt = ⎡ t ⎤2LT2⋅0 ⎣ ⎦2 11110 1 3 0 32∫ ∫ = .Dersom n ≠ 0 , blir (når det ubestemte integralet løses med dataverktøy):1 T+ 2L π −in t 1 1L()2 −in⋅2 π tcn= f t e dt t e dt12L∫=T2 ⋅∫011−⋅ i 2πnt 2 2 2= ⎡e 3 3 ( 2iπn t 2πnt i)⎤4πn ⎣+ −⎦01 −⋅ i 2πn 2 2 0=3 3( e ( 2iπn + 2πn−i) − e ( 0+ 0−i))4πn1= − + ⋅ − + −3 34πn1= + + − +3 34πn1= + ⋅ − + =3 33 34πn4πn1 1= + i ⋅2 22πn 2πn1b) Når n = 0 , blir a = c = .22 2(( cos( 2πn) i sin( 2πn))( 2πn i( 2πn 1)) + i)2 2(( 1 0i) ( 2πn i( 2πn 1)) i)2 2 12 2( 2πn i 2πn i i)( 2πn+ i⋅2πn )0 0 3Når n ≠ 0 , finner vi anog bnved å plukke deler av cnslik:1 1a = 2 ⋅ nRe( c ) = n2 ⋅ 22 2 2 2π n= π n.1 1b =− 2 ⋅ nIm( cn)=− 2 ⋅ 2 π n=− π n.Dette stemmer med resultatene fra Eksempel 3.3.Ved å sammenlikne løsningen av Eksempel 5.3 ovenfor med løsningen av Eksempel 3.3, servi at arbeidsmengden er omtrent lik i begge eksemplene. Faktisk kan det noen ganger værelettere å finne anog bnved å gå veien om cn, både fordi vi da slipper unna med å løse ettintegral istedenfor to, og fordi det ofte er lettere å løse integral med eksponential-faktorer ennå løse integral med sinus- og cosinus-faktorer. Ulempen er at vi til slutt må splitte opp c ni enrealdel og en imaginærdel.Når vi sammenlikner ei Fourier-rekke på amplitude-fase-form med den tilsvarende Fourierrekkapå kompleks form, får vi et par nyttige resultater:An= 2 c , ϕ = arg( c ).nnnDette ser vi slik: Fourier-rekka på amplitude-fase-form erBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2011.

∞∑n=0A cos n tnπ( + ϕn)Lder2 2bnAn = an + bn, ta nϕ n=− .anAv sammenhengen1 1cn= a2 n−i⋅ b2 nser vi at( ) ( )Forelesningsnotater i matematikk.Fourier-rekker.12121 1 1 2 2 1n 2 n 2 n24 n 4 n 2 n n 2 n nc = a + − b = a + b = a + b = A ⇔ A = cn.Videre ser vi at argumentvinkelen tilc ner gitt ved1− b btan arg tan arga a2 n n( ( cn)) = =− = ( ϕn) ⇔ ϕ = ( c )12nnn n.Det faktum at absoluttverdi og argumentvinkel til cn gir oss amplitude og fasevinkel til dentilhørende cosinus-svingningen, gjør at vi har stor nytte av Fourier-rekker på kompleks form.Fourier-rekka på kompleks form kan også oppfattes som en overgang til Fourier-transformen.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2011.