Styrkeberegning grunnlag - Materialteknologi

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)BEREGNING AV SPENNINGER GENERELT Ved konstruksjon – hvilke spenninger blir konstruksjonen utsatt for? Tegn skisseF1 Fastlegg kreftene- ytre krefter- tyngdekrefter- dynamiske krefter (eks. sentripetalkrefter) Beregn spenningene- forutsetter at Hooke's lov gjelder- Gjør forenklinger hvor uregelmessighet i spenningene- Benytter tilnærmede løsninger(standarder, eks. NS - bygger på erfaringer)- Benytter overslagsberegninger Velg materialeF2σmgTegn skisse.αF3εSpenning - tøyning ved strekkprøving.tanα=E=σ/εhvor:E = Elastisitetsmodulσ = spenningε = tøyning ∆L/L Fastlegg dimensjonene- Ta hensyn til belastningstypen- statisk- dynamisk- Vær nøye med den konstruktive utformingenHenning Johansen © side 1

FORHOLDET MELLOM KONSTRUKTIV UTFORMING, SPENNINGER OG FASTHET• En konstruksjons styrke er i mye bestemt av dens geometriske form.• Ytre krefter i bare en retning kan gi krefter også i andre retninger.• Ett opprinnelig seigt materiale kan ved belastning da oppføre seg som et sprøtt materiale.Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Prøvestaver med samme tverrsnittareal,men med forskjellig form på tverrsnittetog utsatt for strekkbelastning.To glatte prøvestaver med og uten inndreid spor utsatt for statisk og dynamiskbelastning. Prøvestavene har samme minste diameter, d.Figuren viser at konstruksjonsdetaljer med inndreide spor (kjerver) gir:- FASTHETSØKNING når utsatt for STATISK BELASTNING og- FASTHETSREDUKSJON når utsatt for DYNAMISK BELASTNINGHenning Johansen © side 2

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)3-akset spenningstilstand i bunnen av en kjerv.Prøvestav kun utsatt for enakset ytrespenningstilstand.Spenning - forlengelse diagram for forskjellige prøvestaver av bløtt stål.Alle prøvestavene har samme minste diameter, d = 10mm.Henning Johansen © side 3

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)SPENNINGSANALYSEEn-akset spenningstilstandDetalj utsatt for kun strekkspenning, σVi betrakter en vilkårlig flate ACPå flaten virker spenningene σ α og τ αSetter t = tykkelse av elementSummerer krefter i σ α og τ α retning:FFσ= F AAsnittflate Avilkårlig elementBBetrakter et vilkårlig element i detalj.ατ ασσ αCΣFσσσααα= 0σ α2( AC ⋅ t) − σ( BC ⋅ t)sin α = 0BC= σ ⋅sinα = σ ⋅sinα ⋅sinαAC= σ ⋅sinασ α =σ når α=90 0σ α =0 når α=0 0ΣFτττααα= 0τ α2( AC⋅t) − σ( BC⋅t)cosα = 0BC= σ ⋅cosα = σ⋅sinα ⋅cosαAC1= σ⋅sinα2τ α =1/2σ = τ maks når α=45 0τ α =0 når α=0 0Henning Johansen © side 4

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)To-akset spenningstilstandEks. trykkbeholderDetalj utsatt for strekkspenning, σ x og σ y og skjærspenningVi betrakter en vilkårlig flate ACPå flaten virker spenningene σ α og τ αSetter arealplan AC = 1 ⇒ AB = 1⋅cosα og BC = 1⋅sinαSummerer krefter i σ α og τ α retning:trykk ppyvilkårlig elementσ xτ xyτ yxσ yτ yxτ xyσ xσ xAταBτ ασ αCΣFσα− τ⇒ σ= 0σ α⋅1− σx( 1⋅cos α) cos α − σy( 1⋅sinα)sin α( 1⋅cos α) sin α − τ( 1⋅sinα)cos α = 01cos 2 sin 2α=12( σ + σ ) + ( σ − σ ) α + τ αxy2xyxσ yτ xy = τ yxBetrakter et vilkårlig element i detalj.σ yΣFτα− τ⇒ τ= 0τ α2⋅1+ σx( 1⋅cos α) sin α − σy( 1⋅sin α)( 1⋅cos α) cos α + τ( 1⋅sin α)sin α =α=12( σ − σ ) sin 2α − τ cos αxycos α0Henning Johansen © side 5

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Hovedspenningerer normalspenninger (strekk eller trykk) som opptrer på hovedplanene.Ligning :1σα= σx+ σ21( ) + ( σ − σ )y2xycos2α + τ⋅sin 2αPytagoras gir:12 2( σ x − σ y) + 4τ2τσα=121( σ + σ ) + ( σ − σ )xy2xy⎡⎢⋅ ⎢±⎢⎣1212( σ − σ )2 2 1( σ − σ ) + 4τ⎥ ⎢ ( σ − σ )xxyy⎤ ⎡⎥ ⎢⎥ + τ⋅ ⎢±⎦⎣2xτy2+ 4τ2⎤⎥⎥⎥⎦122α( σ − )x σ yσα12 2( σ + σ ) ± ( σ − σ ) + 4τ1=x yx y2 2= maksimum og minimum verdiene av normalspenningenHovedspenningene:112σ . = σ x + σ y + σ x − σ y +222⇒ maks( ) ( ) 4τσ xσ min.90 0α τ α = 0 σ maks.122⇒ σ min.= ( σ x + σ y) − ( σ x − σ y) + 4τ122τσ yHenning Johansen © side 7

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Maksimum skjærspenningVi betrakter element A-B-C som inneholder hovedplanene i opprinnelig element:σ yττSummerer krefter i τ α retning, ΣF τ α= 0 :τ + σ ⋅ 1⋅cos α ⋅ sin α − σ ⋅ 1⋅sin ατττ α σAασ x ασ x.(α)Cαα=maks12=σ maks.maks( ) ( )( σ − σ ) sin 2α12maksmin( σ − σ )maksBminσ minσ ymin⋅ cos α = 0σ maks.ABατ ασCσ minAB og BC er hovedplan hvor τ = 0Setter arealplan AC = 1AB = 1⋅cosαBC = 1⋅sinατ α = τ maks når 2α = 90 0 , α = 45 0 , dvs. på plan 45 0 i forhold til hovedplanene.Maksimum skjærspenning:12τ = σx− σy+2⇒ ( )2maks4τ (fra og )Henning Johansen © side 8

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Element med element som viser hovedspenningene, σ min og σ maks samt maksimal skjærspenning τ maks .σ yτσ min.σ maksτ maksσ x(α)45 0Hovedplanσ xσ maks.τ=0σ min.τσ yMohr’s spenningssirkelEn grafisk løsning av ligningene:τσσmaks.maks.min.==12121=2( σ − σ )( σ + σ )+ R( σ + σ ) − Rxxxyyy2+ 4τ2=⎛ σ⎜⎝x− σ2y⎞⎟⎠2+ τ2= R= radiusisirkelτRσ y , ττ maksσ x , τσHenning Johansen © side 9

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)+τσ xCσ y122 2( σ − σ ) + 4τyAσ-(trykk)x( )τ maks.ττα2 α2 1 σ1Rσ+(strekk)x −σ y2Bσ min.-τ1( σ x + σ y)2σ maks.D122 2( σ − σ ) + 4τxyHenning Johansen © side 10

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)METODE for løsning, hvordan tegne Mohr’s spenningssirkel:Tegn først aksekors med σ på x-aksenog τ på y-aksenτσ x1) Hvis σ x , σ y og τ er kjent (vanligvis):- Avsett punkt A (σ x , τ) og B (σ y , τ)- Slå en sirkel med AB som diameter- Les av σ maks. (pkt. 1) og σ min. (pkt. 2)og τ maks.Mål vinkel 2α eller α2) Hvis σ maks. og σ min. er kjent:- Avsett σ maks og σ min. (pkt. 1 og 2)- Slå en sirkel gjennom pkt. 1 og 2- Beregn 2α. Tegn ABσ y(σ x ,τ)2α2αRτ(σB y ,τ)σ min.σ maks.Aτ1τ maks.σHenning Johansen © side 11

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)TVERRKONTRAKSJON VED STREKK OG TRYKKFlat stavb 0b 1l 0 l 1Enhetsforlengelse:∆ll1− l0ε = =l0 l0Tverrkontraksjon :∆bb1− b0=b0b0For elastisk deformasjon gjelder:∆bb0∆ll0= konst. = µhvor µ = Poissons tall∆lP, σFlat stav utsatt for strekk. Tverrkontraksjon∆bb0= µ ⋅ εσ= µEFor elastiske materialer gjelder Hooke's lov.σαtanα=E=σ/ε (Hooke’s lov)εSpenning - forlengelse diagramfor sirkulær prøvestav i bløtt stål.Henning Johansen © side 12

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Kube med sider = 1Enhetsvolumøkning =1+ε111-µε1-µε1∆VV 0σσKube med sider = 1.∆VV1− V0=V0 V0∆V( 1+ ε)( 1− µε)( 1− µε)−1⋅1⋅1=V0 1⋅1⋅1∆Vσ≈ ε( 1−2µ) = ( 1−2µ)VE0hvor µ = Poissons tall∆Vµ = 0,5 for gummi = 0Vµ = 1/8 - 1/12 for betong∆Vµ ≈ 0 for kork ≈ ε0V 0µ = 0,3 for konstruksjonsstålµ = 0,2 for støpejernHenning Johansen © side 13

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)FORMENDRINGSARBEIDKraften øker jevnt fra 0 - PFormendringsarbeidet pr. volumenhet, W/VPl 0l1PW = ⋅ ∆l=22σW = ⋅V2 EWV2σ=2EP⋅ε⋅l=2P σ⋅ ⋅l2 Eσ ⋅ A σ= ⋅ ⋅l2 EStav utsatt forjevnt økende last.Formendringsarbeidet er lik arealet under kurven i spenning – forlengelsesdiagrammet i det elastiske området.σWV=21 1 σ σσ ⋅ε= σ ⋅ =2 2 E 2EεSpenning - forlengelse diagramfor sirkulær prøvestav i bløtt stål.Henning Johansen © side 14

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)BRUDDHYPOTESERStrekkprøvestav med en-akset spenningstilstand gir et oversiktlig spenningsbilde.Fσ =Aστ maks. =σ/2σ Fbrud45 0 σε =EσPrøvestav utsatt forstrekk. SPRØ MATERIALERstøpejern, glass, stein, betong FULLSTENDIG SEIGE MATERIALER SEIGE MATERIALER(vanligvis)d 045 0 d 0d 0Slitebrudd, grovkornet, ingentverrkontraksjonGlidebrudd i et plan hvor τ = τ maks (α=45 0 )Kombinert brudd finkornet,tverrkontraksjonHenning Johansen © side 15

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Flerakset spenningstilstand gir et uoversiktlig spenningsbilde, vanskelig å bestemme hvilke spenninger som fører til flytingeller brudd. En konstruksjonsdel er vanligvis påkjent av spenninger som opptrer samtidig i flere retninger(strekk, trykk, vridning, bøyning, skjær)FORENKLER, innfører JEVNFØRENDE SPENNING, σ j :Spenningstilstanden omgjøres til en TENKT ENAKSET NORMALSPENNING som påkjenner materialet like sterkt.σ j kan sammenlignes med materialets flytegrense, σ F og bruddgrense, σ BDet finnes flere forskjellige SPENNINGSHYPOTESER:• HOVEDSPENNINGSHYPOTESENMaterialet ødelegges nårmaks. hovedspenning når σ F eller σ B .Passer bra for sprø materialer, for eksempel støpejern.• SKJÆRSPENNINGSHYPOTESENPasser forholdsvis bra for seige materialer, f.eks.konstruksjonstål.στ1212 2( σ + σ ) + ( σ − σ ) + τmaks.=x yx y41222 2( σ − σ ) + τmaks=x y4• DEVIASJONSHYPOTESEN (formendringshypotesen)Formendringsarbeidet p.g.a. skjærspenningene(deviasjonsarbeidet) må holdes under det arbeidet somtilføres en strekkprøvestav ved flyting eller brudd.Denne er mye brukt.σσjj==σσ2maks.2x+ σ+ σ2y2min.− σx− σ⋅ σymaks.⋅ σ+ 3τ2min.Henning Johansen © side 16

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)KJERVVIRKNINGTyper kjerver:plate med:rund stang med:hull rundkjerv avtrapping hull rundt spor avtrapping gjenger- Nominell (teoretisk) spenning σ nom og τ nom i bunn av kjerv:F4FM32MM=16M=bbvvσnom= =σ2nom= =3nom3A πdWxπdWpπdτ- Maksimal normalspenning: σ maks. = α·σ n- Maksimal skjærspenning: τ maks. = α·τ nhvor:σ n og τ n = nominell spenningα = formfaktor(α tar bare hensyn til formen og forutsetter atmaterialet er fullkomment elastisk. α tar ikkehensyn til materialet)Henning Johansen © side 17

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Formfaktor α bestemmes:• Teoretisk - f.eks. elementanalyser (Finite Elements, FEM)• Eksperimentelt - tøyningsmålinger- fotoelastiske målingerEksempel på fotoelastisk måling.Bøyebelastet aksel med avtrapping.- spenningsopptisk modell er laget i et spesielt plastmateriale- belyses med polarisert lys- kraftlinjene fremkommer som fargede isokromlinjer i materialet- de forskjellige farger og tettheten av linjene forteller om spenningenes størrelseLangs en isokromlinje : σ 1 - σ 2 = konstant · nhvor n isokromlinjens ordningstallVed kanten (P og Q) gjelder: σ 2 = 0⇒ Hovedspenningen σ 1 er proporsjonal med ni punkt Q : σ n ≈ konstant · 6,4 (fra fig.)i punkt P : σ n ≈ konstant · 9α ≈9 ≈ 1,46,4Spenningsoptisk modell.Henning Johansen © side 18

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Formfaktor αEksempel. Aksling med avtrapping utsattfor strekk F, bøying M b og vridning M v :Henning Johansen © side 19

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Kjervfaktor ββ tar også hensyn til materialtype. (Formfaktor α tar bare hensyn til formen)Maksimal spenning kan skrives som σ maks. = β·σ nhvor: β = kjervfaktor = 1 + η (α-1)η = kjervfølsomhetsfaktorsom er materialavhengigBestemmelse av η:1η =A1+ρ(Neuber, Kuhn)hvor:A = elementradie (materialkonstant)ρ = kjervradieKjervfølsomhetsfaktor,η.Materiale η Anmerkningseige materialer ≈ 0 lokal flyting i materialetgrått støpejern ≈ 0 inneholder grafittflak som gir indre kjerver –ytre kjerver gir liten virkningherdet og anløpt stål ≈ 0,15herdet stål uten ≈ 0,25anløpingfjærstål, herdet ≈ 1,0Kjervfølsomhetsfaktorer,η, for noen materialer.Henning Johansen © side 20

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)MATERIALENES FASTHETSEGENSKAPERStatisk belastning• De fleste materialprøver er utført som statiske prøver:- med langsomt økende last- ved konstant temperatur (20 0 C)- i et normalt innemiljø- over et kort tidsintervall• I en virkelig konstruksjonsdel arbeider materialene vanligvis under helt andre forhold:- med varierende belastning- ved lave og / eller høye temperaturer- i et fuktig / kystmiljø- etc.S235MaterialtypeFlytegrense(N/mm 2 )Strekkfasthet(N/mm 2 )Forlengelse(%)E-modulHardhetKommentarer(N/mm 2 ) (HB)235 363-441 18-25 206000 100-210 VarmvalsetS275 275 412-490 16-22 206000 100-210 konstruksjonsstål,S355 355 510-608 16-22 206000 100-210sveisbartNiMo4 460 690-830 15 - 210-225 Seigherdingsstål,seigherdetCr-Ni-stål 190 490-690 45 200000 200 Rustfritt stål,rør, platerSjG 40 - 400 0,4-0,9 127000 180 Grått støpejern,maskin- og motorgodsMekaniske egenskaper.Henning Johansen © side 21

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Dynamisk belastning- Konstruksjonsdel utsatt for varierende belastning, varierende spenninger.- Varierende spenninger over lang tid kan gi utmattingsbrudd ved lavere spenninger enn ved samme tilfelle i statiskbelastning.- Utmattingsfastheten er lavere enn den statiske fastheten målt ved vanlig materialprøving.a) tannhjul b) akselTypiske utmattingsbrudd.- Utmattingsbruddet brer seg i konsentriske sirkler over tid, og er derfor utsatt for korrosjon.- Restbruddet er plastisk uten korrosjonsangrep.Henning Johansen © side 22

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)UtmattingstestingUtmattingstesting.a) roterende bøying som viser spenningsvariasjonen over prøvestavens tverrsnittb) roterende bøying i sylindrisk prøvestavc) varierende aksiell strekk eller trykkHenning Johansen © side 23

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Spenningsvariasjoner ved utmattingsprøving.Eksempel, prøvestav utsatt for varierende strekk / trykk:Spenningsvariasjoner.+σ = strekk spenning, -σ = trykk spenning og N = antall lastvariasjoner.σ maks = maksimal spenning, σ min = minimal spenning, σ m = midlere spenning, σ a = amplitude spenning.a symmetrisk vekslende σ maks = σ minb utsvingende strekk σ min = 0 σ m = ½ · σ maksc pulserende strekkd utsvingende trykk σ maks = 0 σ m = ½ · σ mine pulserende trykkHenning Johansen © side 24

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)UTMATTINGSDIAGRAMEksempel:Al-legering 2024 T36- analyse: Al + 4,5% Cu, 1,5% Mg, 0,6% Mn- tilstand (T36):Varmutherdet og hardbearbeidet- bruddfasthet: σ b = 530N/mm 2- flytegrense: σ 0,2 = 385N/mm 2Utmattingstest overført til Wöhlerdiagram:ved forskjellige middelspenninger σ m :Verdiene ved N=10 7 lastveksler overføres fra Wöhlerdiagrammet tilSmith diagram:- tegn aksekors σ m - σ max- trekk strek-punkt-linje i 45 0 gjennom origo- denne linjen representerer σ m hvor σ a avsettes oppover og nedover- de øverst punktene representerer σ max og de nederste σ minUtmattingsdiagrammer, Wöhlerdiagrammer.Konstruksjon av Smith diagram.Henning Johansen © side 25

- det trekkes en kurve gjennom σ max -punktene og en gjennom σ min -punktene- kurvene avsluttes ved flytegrensen σ 0,2 = 385N/mm 2 som vist- materialet kan ha varierende spenninger σ = σ m ± σ a som ligger innenfor kurvene for σ max og σ min- dette Smith diagrammet gjelder kun for dette materialet, denne legeringenStyrkeberegning grunnlag (lectures notes)Ferdig Smith diagram.Henning Johansen © side 26

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Forenklet utmattingsdiagramUlike belastningstilfeller:Gitt:- utmattingsgrense ved symmetrisk vekslendebelastning, σ u- utmattingsgrense ved utsvingende strekk, σ up- flytegrense, σ s (=σ F )σσminForholdet = µmaksσ u σ up σ s (=σ F )σ m =0, σ a =σ u , µ=-1 σ min =0, σ m =σ a =1/2σ up , µ =0 σ maks =σ s (=σ F )Forenklet utmattingsdiagram.Henning Johansen © side 27

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)variasjon av amplitude σ a med negative midtspenninger (eksempler):bløtt stål stål og andre metaller støpejernσ a som for positive σ m σ a konstant eller øker negativt σ a øker kraftigAmplitudens σ a variasjon med negative midtspenninger.Figuren viser at støperjern tåler større spenningsvariasjoner i trykk enn i strekk.Henning Johansen © side 28

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Utmattingsdiagram for ulike typer belastningFor stål 1550-01:Belastning Statisk Utmattingsgrense (N/mm 2 )strekkspenning(N/mm 2 )sym.vekslendeµ=-1utsvingendeµ=0strekk /trykkσ s =270 σ u =±180 σ up =160±160bøyning σ sb =360 σ ub =±240 σ ubp =210±210vridning τ sv =190 τ uv =±140 τ uvp =140±140Utmattingsgrense vedvekslende bøying σ ub og vekslende strekk / trykk σ u :Statistisk teori:Mindre volum er utsatt for σ b maks enn for σ maksUtmattingsdiagram for ulike typer belastning.Henning Johansen © side 29

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)VOLUM- OG OVERFLATEEFFEKTσaDDimensjonsfaktor χd= δ ⋅ λ = ≤ 1σhvor:δ = Geometrisk dimensjonsfaktor:- σ (τ) avtar langsommere i overflateskiktet,- større volum inneholder flere svakhetstilfeller⇒ lavere utmattingsfastheta10λ = Teknologiskisk dimensjonsfaktor:Nedsmiing, valsereduksjon, mm.⇒ forbedrer fasthetsegenskapeneGeometrisk dim. faktor δ: Teknologiskisk dim.faktor λ: Dimensjonsfaktor χ d = δ•λ: Dimensjonsfaktor. (D* = valsediameter)Henning Johansen © side 30

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)a(rå−flate)Overflatefaktor χ = ≤ 1σσa(polert−flate)Overflatefaktor,σa(rå−flate)χ = ≤ 1σa(polert−flate)Overflatefaktor.Henning Johansen © side 31

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)ANVENDELSE AV UTMATTINGSDIAGRAMEksempel.Utmattingsdiagram for bøying.Smith diagram for bøyebelastning.Henning Johansen © side 32

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Redusert utmattingsdiagramσa redusert= χd⋅ χ ⋅ σaellerσ= δ ⋅ λ ⋅ χ ⋅a redusertσ ahvor:- χ d = Dimensjonsfaktor- δ = Geometrisk dimensjonsfaktor- λ = Teknologiskisk dimensjonsfaktor- χ = OverflatefaktorRedusert Smith diagram.Henning Johansen © side 33

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Opptredende (virkelig) spenningi aktuelt tilfelle:Nominell spenning:σ = σm ± σ aRegner:- Middelspenningen σ m som statisk- Amplitudespenningen σ a som dynamisk⇒ Opptredende spenning:σ = α ⋅ σm ± β ⋅ σ aσ = α ⋅ σ( 1+ η( α − )) ⋅ σam± 1α⋅σ mhvor:- α = Formfaktor- β = Kjervfaktor- η = KjervfølsomhetsfaktorOpptredende spenning innlagt i Redusert Smith diagram.Henning Johansen © side 34

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)Sikkerhetsfaktorer nSikkerhet med hensyn på:Aamplitude n a== største amplitude σaA / virkelig amplitude β·σ a ved virkelig middelspenning α·σ m (σ m = konst.)midtspenningMn m== største middelspenning σmM med virkelig ampl. β·σ a / virkelig middelspenning α·σ m (σ a = konst.)amplitude og midtspenningAMn am== største ampl. σamA ved beste kombinasjon σ a og σ m / virkelig ampl. β·σ a ved virkelig middelsp. α·σ m (σ min /σ maks = konst.)reduserteutmattingsdiagramα⋅σ mα⋅σ mSikkerhetsfaktorer.A, a, M, m, AM ogam refererer tillengder i figurene.α⋅σ mα⋅σ mHenning Johansen © side 35