Rette linjer.pdf

Repetition 2b
af Matematik 0‐B Efterår 2012
Rette linjer og tangenter
1.grads polynomier
Første grads polynomier er af typen f(x) = ax + b. Forskriften beskriver en ret linje, hvor a er linjens
hældningskoefficient og b er linjens skæring med y‐aksen.
Hældningskoefficienten kan enten aflæses direkte, hvis vi har en ligning af formen: y = ax + b, hvor tallet
”foran” x er hældningskoefficienten. Eksempel: y = ‐3x +4; her er a = ‐3.
Angives linjens ligning i stedet på formen: 2x ‐4y +6 = 0; så skal udtrykket omskrives således, at y står alene
på den ene side af lighedstegnet, før hældningskoefficienten a kan aflæses! Ligningen omskrives til:
y = ½x + 3/2. Du kan få lommeregneren til at foretage denne omskrivning vha. ” solve(2x‐4y+6=0,y)”‐
”enter”.
Hældningen a kan også findes på baggrund af 2 punkter A(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2):
a
y
−
−
y
2 1
= og linjens ligning opskrives vha.
x2
x
y = a(
x − x ) + y 0 0
1
7 − 4
Eksempel: A(1,4) og B(2,7) hældningen findes: a = = 3
2 −1
Dette indsættes i linjens ligning: y = 3 ( x −1)
+ 4 og y bliver: y = 3 x + 1
Parallelle linjer:
To linjer er parallelle hvis deres hældningskoefficienter er lig med hinanden. a l = a m
y = 2x ‐5 er parallel med y = 2x +14, da hældningskoefficienten er 2 for begge linjer.
Vinkelrette (ortogonale) linjer
To linjer står vinkelret på hinanden er ortogonale, hvis produktet af deres hældningskoefficient er ‐1:
a a = −1
l
⋅
m
1
y = ‐½x+ 4 står vinkelret på y = 2x – 5, idet − ⋅ 2 = −1.
2
Tangent ligning
En funktion f er givet ved forskriften f(x) = x 3 – 2x 2 + 4. Bestem ligningen for tangenten til grafen f i punktet
P(2, f(2)).
For at kunne opskrive tangentens ligning skal man kende et punkt og linjens hældningskoefficient.
Ligningen: y = a(x – x 0 )+ y 0 kan omskrives til: y = f ’(x 0 ) (x – x 0 )+ f(x 0 )
1

Repetition 2b
af Matematik 0‐B Efterår 2012
Med udgangspunkt i ovennævnte opgave, skal vi først finde f(2)= 2 3 – 2*2 2 + 4 = 4, så har vi punktet, hvor
vi skal finde tangenten (2, 4), så skal vi finde hældningskoefficienten til tangenten, som jo er f ’(x) i punktet
altså f ’(2). Så først differentieres funktionen f ’(x) = 3x 2 – 4x, derefter indsættes 2, f ’(2) = 3*2 2 – 4*2= 4.
Dette indsættes i formlen: y = 4(x – 2)+4. Tangentens ligning bliver: y = 4x‐ 4.
Støtte af lommeregner: start med at gemme funktionen i f(x). Skriv x 3 ‐2x 2 +4 tryk på STO og ALPHA og f(x)
‐ så skulle der gerne stå ”Done” på din skærm. For at få funktionsværdien i x = 2 skriver du bare f(2) og så
står der 4 på din skærm. Brug lommeregneren til at differentiere funktionen tryk på F3 og vælg
differentiate. Skriv d(f(x),x) . der står nu 3x 2 ‐4x på din skær. Gem dette i g(x) ved at trykke på STO og ALPHA
og g(x). For at finde hældningskoefficienten til tangenten i x = 2, skriver du nu bare g(2) og på din skærm
står der: 4. Du er nu klar til at skrive ligningen op. Også her kan du bruge LR skriv: (y = g(2)*(x ‐2)+ f(2)) så
står tangentligningen på din skærm: y = 4x‐4. Alternativt kan du tegne grafen og trykke på F5 og vælge en
af de allernederste funktioner ”tangent”. Den spørger hvor du vil have tangenten og der skriver du 2 – så
står tangentligningen på din skærm: y = 4x‐4!
2
En funktion er givet ved: f ( x)
= x + 3x
− 4 . Bestem koordinaterne til det punkt på grafen, hvor
tangenten har en hældning på 1.
Først differentieres funktionen: f ′( x)
= 2x
+ 3 .
Derefter sættes f’(x) = 1: 1 = 2x
+ 3 ⇔ 2x
= −2
⇔ x = −1Så mangler vi y‐koordinaten:
2
( −1) + 3( −1) − 4 = −6
f ( −1)
=
. Koordinaterne er (x, y) = (‐1, ‐6)
OPGAVER
1. En linje l går gennem punkterne A(‐1, 2) og B(2, ‐4). En anden linje m går gennem punktet C(0, ‐2)
og har hældningskoefficienten 2. Beregn koordinaterne til skæringspunktet mellem l og m.
2. En funktion f er givet ved forskriften f(x) = x 3 – 4x 2 + 3x + 2. Bestem ligningen for tangenten til
grafen f i punktet P(1, f(1)).
3. Bestem ligningen for den linje l, der har hældningskoefficienten a = ½ og går gennem punktet
P(‐3, 2).
4. En lineær funktion f har en regneforskrift af typen f(x) = ax + b. Beregn a og b, når det er givet, at
f(‐3) = 5 og f(6) = 2. løs derefter ved beregning f(x) = ‐2.
5. Bestem ligningen for tangenten til grafen for funktionen f(x) = 2x 5 – x 2 +3 i punktet med
1. koordinaten ‐1.
6. En linje m har ligningen y = 3x – 4. Beregn ligningen for den linje l, som er ortogonal på linjen m og
som går igennem punktet P(2, ‐1).
7. Funktionen f er givet ved f(x) = e 2x + 1 . Beregn ligningen for tangenten til grafen for f i punktet
(‐½, f(‐½)).
1
8. En funktion er givet ved: f ( x)
= x − . Bestem Koordinatsættene til de punkter på grafen for f,
2x
hvor tangenten har en hældning på 3.
2

Repetition 2b
af Matematik 0‐B Efterår 2012
9. To linjer l og m er givet ved
l: 7x – 4y + 6 = 0 og m: x + 4y ‐ 2 = 0
‐ Beregn skæringspunktet mellem linjerne l og m.
10. Funktionen f er givet ved f(x) = x 3 + 4x 2 + 3. Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i punktet
(‐1, f(‐1)).
11. En funktion f er givet ved f(x) =3x e ‐x + 2. Beregn koordinaterne til det punkt, hvor funktionens graf
har vandret tangent.
12. I et koordinatsystem er linjen l bestemt ved ligningen 2x – 3y = ‐10, og linjen m ved ligningen
2x + y = 14. Beregn koordinaterne til linjernes skæringspunkt.
13. En funktion f er givet ved forskriften f(x) = 2x 3 – x 2 + 1. Bestem ligningen for tangenten til grafen f i
punktet P(1, f(1)).
2
ln( x )
14. En funktion f er givet ved f ( x)
= , x > 0.
Beregn koordinaterne til det punkt, hvor
x
funktionens graf har vandret tangent.
15. En funktion f er givet ved f(x) = x 3 + 2x 2 – 4x + 3. Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i
punktet (1, 2).
1
16. En funktion f er givet ved forskriften f ( x)
= . Beregn ligningen for tangenten til grafen for f
x
2 + 3
i punktet P(1, f(1)).
17. To linjer l og m er givet ved
l: 2x – y ‐ 4 = 0 og m: kx ‐2y +12 = 0
‐ Bestem konstanten k således, at l og m står vinkelret på hinanden.
‐ Bestem derefter konstanten k således, at l og m er parallelle
18. En funktion f er givet ved f(x) = ax + b. Beregn a og b, når det gælder, at
f(2) =‐35 og f(7) – f(4) = 12. løs derefter ved beregning f(x) = ‐2.
3