3. Krefter. Newtons 2. lov. - Universitetet i Tromsø
3. Krefter. Newtons 2. lov. - Universitetet i Tromsø
3. Krefter. Newtons 2. lov. - Universitetet i Tromsø
- No tags were found...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong>.<br />
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 1<br />
<strong>3.</strong>1. Innledning.<br />
Hittil har vi sett hvordan vi kan beskrive bevegelse. Den delen av mekanikken kalles gjerne<br />
kinematikk. Men et viktig spørsmål står nå for tur: Hva er det som forårsaker bevegelse<br />
For å svare på dette spørsmålet, må vi introdusere to vanskelige begrep: kraft og masse. Den<br />
delen av mekanikken som tar for seg krefter og deres virkninger, kalles gjerne dynamikk.<br />
Kraft og masse er to ulne begrep, som det er vanskelig å definere på en enkel og eksakt måte.<br />
Det hele kompliseres ved at vi i dagligtalen ofte blander sammen disse begrepene, eller bruker<br />
dem feil.<br />
La oss se på et eksempel: Du går opp på badevekta, og utbryter: ”Uff da, jeg veier 80 kg!”. Så<br />
tar du badevekta med deg på en tripp til månen. Der veier du bare 14 kg. Betyr det at du har<br />
gått drastisk ned i vekt<br />
Svaret på det spørsmålet kan være ”ja” eller ”nei”, avhengig av hva du mener med at du<br />
”veier” noe. Badevekta måler egentlig en kraft, nemlig gravitasjonskraften som virker<br />
mellom deg og jordkloden (eller månen). Denne kraften er drastisk redusert når du drar til<br />
månen. Men produsenten av badevekta har tilpasset skalaen slik at denne kraften skal være et<br />
mål for noe helt annet, nemlig din masse (i alle fall så lenge du bruker vekta på jorda). Litt<br />
upresist kan vi si at massen er et mål for ”hvor mye” det er av deg. Dette medfører at din<br />
masse ikke endrer seg når du drar til månen (vi ser bort fra lunsjen du spiste under veis).<br />
Masse måles i kilogram, forkortet kg. Ett kg er pr definisjon massen av et platina-legeme som<br />
oppbevares i Paris. Massen til andre legemer sammenliknes deretter med massen til dette<br />
standardlegemet. Denne sammenlikningen kan skje ved å sammenlikne krefter.<br />
Det er to hovedtyper krefter:<br />
• Nærkrefter, som virker når to legemer er i kontakt med hverandre. Eksempel: Når en<br />
bokser lander et velrettet slag på motstanderens hakespiss, virker det nærkrefter.<br />
• Fjernkrefter, som virker mellom legemer som ikke er i kontakt med hverandre.<br />
Eksempel: Gravitasjonskrefter (”tyngdekraft”), elektriske og magnetiske krefter.<br />
<strong>Krefter</strong> måles i Newton, forkortet N. En kraft på 1 N er pr definisjon den kraften som skal til<br />
2<br />
for å gi en masse på 1 kg en akselerasjon på 1 m/s (dersom ingen andre krefter virker i<br />
2<br />
akselerasjonsretningen). Benevningen N er derfor ekvivalent med kg ⋅ m/s .<br />
Vi har etter hvert utviklet redskaper til å måle (egentlig til å sammenlikne) krefter. Grundige<br />
og nøyaktige eksperimenter har vist at uansett hvilke krefter det er tale om, er det en enkel<br />
matematisk sammenheng mellom kraft og masse. Denne sammenhengen kalles <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong><br />
<strong>lov</strong>, og vi skal se grundig på den etter hvert. Men vi må gjøre litt mer forarbeid først.<br />
Eksperimenter har vist at krefter er vektorer. Dette innebærer at dersom flere krefter virker<br />
samtidig på samme legeme, kan de erstattes av en kraft (kalt resultantkraften) som er vektorsummen<br />
av enkeltkreftene. Det innebærer også at krefter kan dekomponeres. Eksemplet<br />
nedenfor viser hvordan vi kan gå fram.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 2<br />
⎡2⎤<br />
Eksempel <strong>3.</strong>1.1: En kraft F<br />
1<br />
er gitt ved F<br />
1<br />
= ⎢<br />
3 ⎥ .<br />
⎣ ⎦<br />
En annen kraft F<br />
2<br />
har størrelse 5, og danner en vinkel ϕ = 127<br />
med positiv x-akse.<br />
a) Finn x- og y-komponentene til F<br />
2<br />
.<br />
b) Finn størrelse og retning til F = F1+<br />
F<br />
2, og tegn inn F i samme figur som F<br />
1<br />
og F<br />
2<br />
.<br />
Løsning:<br />
F<br />
F 2 4<br />
3<br />
F 1<br />
127 o<br />
-3 -1 0 2<br />
y<br />
7<br />
x<br />
Av figuren ser vi at<br />
<br />
F2x<br />
= F2 ⋅ cosϕ<br />
= 5cos127 =−<strong>3.</strong>00<br />
.<br />
<br />
F2y<br />
= F2 ⋅ sinϕ<br />
= 5sin127 = 4.00 .<br />
Dette betyr at<br />
⎡F2<br />
x ⎤ ⎡−3⎤<br />
F<br />
2<br />
= ⎢<br />
F<br />
⎥ = ⎢<br />
2 y 4<br />
⎥<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
slik at<br />
F ⎡2⎤ ⎡−3⎤ ⎡−1⎤<br />
= F 1+ F 2<br />
= ⎢ + =<br />
3<br />
⎥ ⎢<br />
4<br />
⎥ ⎢<br />
7<br />
⎥ .<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
Størrelsen til F er<br />
F = F<br />
2 + F<br />
2 = − 1 + 7 2 = 50<br />
x<br />
= 5 2 = 7.07<br />
F danner en vinkel θ med positiv x-akse som er gitt ved<br />
Fy<br />
7<br />
tanθ<br />
= = =−7 ⇔ θ =− 81.9 + 180 = 98.1<br />
F −1<br />
x<br />
.<br />
y<br />
( ) 2<br />
<strong>3.</strong><strong>2.</strong> <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er.<br />
<strong>3.</strong><strong>2.</strong>1. <strong>Newtons</strong> 1. <strong>lov</strong>.<br />
For noen hundre år siden mente man at det måtte krefter til for å opprettholde en bevegelse.<br />
Det er ikke så rart, når man tenker på at man må bruke krefter for å holde en vogn i bevegelse<br />
eller for å bære en tung gjenstand. Isaac Newton snudde opp ned på denne forestillingen. Han<br />
sa tvert imot at:<br />
<strong>Newtons</strong> 1. <strong>lov</strong>:<br />
Et legeme bevarer sin hastighet dersom summen av kreftene som<br />
virker på det er lik null.<br />
Et par merknader er på sin plass:<br />
• Hastighet er en vektorstørrelse. Det innebærer at hastigheten verken kan endre<br />
størrelse eller retning uten at det virker krefter på legemet.<br />
• <strong>Krefter</strong> er også vektorstørrelser. ”Summen av kreftene” er derfor en vektorsum.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 3<br />
Dersom du står i en buss, og bussen bråbremser eller tar en brå sving, vil du settes i bevegelse<br />
inne i bussen dersom du ikke bruker krefter for å holde deg fast. Dette er tilsynelatende i strid<br />
med <strong>Newtons</strong> 1. <strong>lov</strong>. Vi må derfor gjøre en tilføyelse: <strong>Newtons</strong> 1. <strong>lov</strong> gjelder kun når<br />
bevegelsen beskrives i forhold til et koordinatsystem som vi skal kalle et inertialsystem eller<br />
et treghetssystem. Hva er så et inertialsystem Det er rett og slett definert som et koordinatsystem<br />
der <strong>Newtons</strong> 1. <strong>lov</strong> gjelder. Tilsynelatende er dette en forunderlig definisjon som kun<br />
har til hensikt å ”redde” <strong>Newtons</strong> 1. <strong>lov</strong>. Men det viser seg at det er svært nyttig å beskrive all<br />
bevegelse i slike inertialsystemer. Da vi i kapitlet om bevegelse sa at vi skulle ta utgangspunkt<br />
i et koordinatsystem “i ro”, var det egentlig et slikt inertialsystem vi mente.<br />
Når vi først har påvist et inertialsystem, er alle andre koordinatsystemer som beveger seg med<br />
konstant hastighet og uten å rotere i forhold til inertialsystemet også inertialsystemer. Jorda er<br />
strengt tatt ikke et inertialsystem, fordi jorda roterer om sin egen akse i tillegg til at jordas<br />
hastighet i banen rundt sola ikke er konstant (merk at hastighet er en vektor). For kortvarige<br />
bevegelser kan vi imidlertid regne som om Jorda er et inertialsystem.<br />
<strong>3.</strong><strong>2.</strong><strong>2.</strong> <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong>.<br />
Hva skjer dersom summen av kreftene som virker på et legeme ikke er lik null <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong><br />
<strong>lov</strong> gir oss svaret:<br />
<strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong>:<br />
Dersom et legeme med masse m påvirkes av en kraftsum F, vil<br />
legemet få en akselerasjon a slik at<br />
F = m ⋅a<br />
Denne tilsynelatende enkle sammenhengen omtales gjerne som mekanikkens grunn<strong>lov</strong>. Den<br />
kan ikke bevises matematisk. Den er et resultat av et utall eksperimenter, kombinert med<br />
forståelse av begrepene kraft og masse.<br />
Det kan knyttes mange kommentarer til denne tilsynelatende enkle <strong>lov</strong>en. Foreløpig kan vi<br />
nøye oss med disse:<br />
• <strong>Krefter</strong> er vektorstørrelser. En ”kraftsum F” er derfor en vektorsum.<br />
• <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> er en vektorlikning. Dette innebærer at a og F har samme retning. Det<br />
innebærer også at både a og F kan dekomponeres, og at likningen må gjelde for alle<br />
komponentene.<br />
• <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> gjelder kun i et inertialsystem.<br />
Det kan se ut som om <strong>Newtons</strong> 1. <strong>lov</strong> bare er et spesialtilfelle av <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> med F = 0. Men så<br />
enkelt er det ikke. Vi må formulere <strong>Newtons</strong> 1. <strong>lov</strong> først, og bruke den til å definere begrepet<br />
”inertialsystem”. Først da kan vi formulere <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong>.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 4<br />
<strong>3.</strong><strong>2.</strong><strong>3.</strong> <strong>Newtons</strong> <strong>3.</strong> <strong>lov</strong>.<br />
Mens <strong>Newtons</strong> 1. og <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> gjelder for krefter som virker på ett legeme, gjelder <strong>Newtons</strong> <strong>3.</strong><br />
<strong>lov</strong> for vekselvirkningen mellom to legemer:<br />
<strong>Newtons</strong> <strong>3.</strong> <strong>lov</strong>:<br />
Dersom et legeme virker på et annet med en kraft F, virker det andre<br />
legemet tilbake på det første med en motsatt like stor kraft −F .<br />
Dette innebærer bl.a. at dersom to personer trekker i hver sin ende av et tau, vil de alltid virke<br />
på hverandre med motsatt like stor kraft. Er det da mulig at den ene kan vinne tautrekkingen<br />
Slike problemer skal vi ta for oss senere.<br />
<strong>3.</strong><strong>2.</strong>4. Masse og tyngde.<br />
Da vi studerte prosjektilbevegelse, slo vi fast at dersom et legeme slippes nær jordas overflate<br />
og vi innretter oss slik at luftmotstand kan neglisjeres, vil alle legemer få en akselerasjon med<br />
2<br />
størrelse g ≈ 9.81m/s med retning inn mot jordas sentrum. Ifølge <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> må det da<br />
virke en kraft på legemet med retning inn mot jordas sentrum. Dersom legemet har massen m,<br />
må størrelsen av denne kraften være<br />
G = m⋅ g.<br />
Denne kraften er det vi kaller legemets tyngde.<br />
Når vi veier oss på ei vanlig badevekt, er det egentlig vår tyngde (en kraft) vi måler. Men<br />
2<br />
skalaen på badevekta er utformet slik at vi leser av massen forutsatt at g ≈ 9.81m/s .<br />
<strong>3.</strong><strong>2.</strong>5. <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> og <strong>Newtons</strong> <strong>3.</strong> <strong>lov</strong>.<br />
La oss se nærmere på vår venn på badevekta, og sortere ut de kreftene<br />
som virker. Situasjonen er vist til venstre, der vår venn står på badevekta<br />
som igjen står på gulvet. Vi velger positiv retning oppover som<br />
angitt med pila. <strong>Krefter</strong> som virker oppover er da positive, mens<br />
krefter som virker nedover er negative. Da virker det en tyngdekraft<br />
G =−m⋅<br />
g<br />
på vår venn der m er hans masse og g er tyngdens akselerasjon.<br />
Men vi vet også at vår venn står i ro. Ifølge <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> må det<br />
virke en annen kraft F slik at vektorsummen av alle kreftene er lik<br />
null. Denne kraften må komme fra badevekta mot vår venn.<br />
F<br />
G<br />
Person<br />
Når vi illustrerer krefter som virker på et legeme, er det ofte gunstig å<br />
erstatte legemet med et punkt og tegne kreftene som om de virker på<br />
dette punktet. Dette viser seg å være nyttig, i alle fall så lenge legemet<br />
ikke roterer. En slik forenkling er vist til venstre der vår venn er<br />
erstattet av et punkt og kreftene er tegnet som om de angriper i dette<br />
punktet. Vi ser at<br />
F + G = 0 ⇔ F =− G =− − mg = mg .<br />
( )<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 5<br />
F’<br />
F 1<br />
G vekt<br />
La oss nå konsentrere oss om badevekta. Siden det virker en kraft<br />
F = mg<br />
fra badevekta mot personen, må det ifølge <strong>Newtons</strong> <strong>3.</strong> <strong>lov</strong> virke en<br />
motsatt like stor kraft<br />
F ' =− F =− mg<br />
fra personen mot badevekta. Dessuten har badevekta en tyngde G<br />
vekt<br />
.<br />
Begge disse kreftene virker nedover. Men badevekta står i ro. Ifølge<br />
<strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> må det da virke en tredje kraft F<br />
1<br />
på badevekta slik at<br />
summen av kreftene er lik null. Denne kraften må virke fra gulvet mot<br />
badevekta. Dersom vi setter badevektas masse til m<br />
vekt<br />
, får vi:<br />
F' + Gvekt + F1<br />
= 0<br />
F =−F'<br />
− G =− −F − −m g<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
1 vekt vekt<br />
= F + m g = mg+ m g = m+<br />
m g<br />
vekt vekt vekt<br />
Merk hvordan vi bruker <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> når vi studerer krefter på ett legeme, og <strong>Newtons</strong> <strong>3.</strong><br />
<strong>lov</strong> når vi studerer kraftvirkning mellom to legemer.<br />
Hvis du har holdt regnskap med kreftene, vil du ha funnet tre krefter som vi ikke har satt opp<br />
motkrefter til i henhold til <strong>Newtons</strong> <strong>3.</strong> <strong>lov</strong>. De to tyngdekreftene G og G<br />
vekt<br />
har begge<br />
motkrefter som virker på jordkloden, og som har retning mot personen og badevekta. Kraften<br />
F<br />
1<br />
har en motkraft som virker på gulvet, og som har retning nedover (prøver å presse gulvet<br />
ned i kjelleren). For enkelhets skyld tar vi ikke med disse kreftene i vårt kraftregnskap.<br />
<strong>3.</strong><strong>3.</strong> Bruk av <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er.<br />
Vi skal nå se hvordan vi kan bruke <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er på praktiske problem. Når vi går løs på<br />
slike problem, kan det lønne seg å følge en fast prosedyre:<br />
1. Tegn en figur. Du kan godt erstatte de legemene som inngår med massepunkter.<br />
<strong>2.</strong> Tegn inn de kreftene som virker. Når du tegner, kan det lønne seg å huske at:<br />
• Dersom et legeme ikke har akselerasjon, er vektorsummen av kreftene lik null.<br />
• Dersom et legeme har akselerasjon, har kraftsummen samme retning som<br />
akselerasjonen.<br />
Det er viktig at figuren blir stor og oversiktlig. Små, rotete figuren tegnet uten linjal er en<br />
sikker vei til fiasko.<br />
Dersom problemet ditt inneholder flere legemer, tar du for deg ett legeme om gangen. Tenk<br />
på <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> når du tegner inn kreftene på legemet, og husk at tyngden alltid virker<br />
loddrett nedover. Bruk <strong>Newtons</strong> <strong>3.</strong> <strong>lov</strong> når du tegner inn krefter som virker mellom legemer.<br />
I de fleste oppgavene må du dekomponere kreftene. Da lønner det seg å dekomponere langs<br />
fornuftige akser. Disse rådene kan forhåpentlig hjelpe:<br />
• Dersom ingen legemer har akselerasjon, kan det lønne seg å legge en akse loddrett<br />
med positiv retning oppover (eller nedover) og en akse vannrett.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 6<br />
• Dersom legemer har akselerasjon, kan det lønne seg å legge en akse i<br />
akselerasjonsretningen og en akse vinkelrett på denne.<br />
Mange av løsningsdetaljene kan utføres på ulike måter. Finn et system som du selv forstår, og<br />
føler deg trygg med.<br />
Eksempel <strong>3.</strong><strong>3.</strong>1:<br />
F<br />
F1<br />
2<br />
10 o 15 o<br />
Motor<br />
Løsning:<br />
F 2<br />
F1<br />
10 o 15 o<br />
F’<br />
y<br />
F<br />
x<br />
Motor<br />
−mg<br />
En motor med masse m = 100 kg hektes<br />
opp i en ring som er festet til to snorer som<br />
danner vinkler på henholdsvis θ<br />
1<br />
= 10<br />
og<br />
θ<br />
2<br />
= 15<br />
med horisontalplanet som vist på<br />
figuren.<br />
Finn størrelsene av kreftene F<br />
1<br />
og F<br />
2<br />
.<br />
Vi legger et koordinatsystem som vist på<br />
figuren. Vi erstatter motoren med et<br />
massepunkt. Siden motoren henger i ro,<br />
må det virke en kraft F oppover som er<br />
motsatt like stor som motorens tyngde som<br />
er G = − mg . På vektorform får vi (med de<br />
positive retningene som er angitt):<br />
⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤<br />
F = ⎢ =<br />
−( −mg<br />
)<br />
⎥ ⎢<br />
mg<br />
⎥.<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
Denne kraften virker på motoren fra ringen. Da må det virke en motsatt like stor kraft F ' fra<br />
motoren på ringen, slik at<br />
⎡ 0 ⎤<br />
F'<br />
=− F = ⎢<br />
−mg<br />
⎥ .<br />
⎣ ⎦<br />
Siden ringen er i ro, gir <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> at<br />
F1+ F2 + F'<br />
= 0.<br />
Nå må vi dekomponere de to ukjente kreftene F<br />
1<br />
og F<br />
2<br />
. Jeg skal skrive F<br />
1<br />
istedenfor det mer<br />
korrekte F<br />
1<br />
når jeg mener absoluttverdien av F<br />
1, og tilsvarende for F<br />
2<br />
. Fortegnet til<br />
komponentene ser jeg av figuren. Da får jeg:<br />
⎡−F1cos θ1⎤ ⎡F2cos θ2⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0⎤<br />
⎢<br />
F1sinθ<br />
⎥+ ⎢ + =<br />
1<br />
F2sinθ<br />
⎥ ⎢<br />
2<br />
−mg<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
⎥.<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
Dette gir de to likningene:<br />
<br />
cos15<br />
− F1cosθ1+ F2cosθ2 = 0 ⇔ F1 = F2 ≈0.981F2<br />
.<br />
<br />
cos10<br />
<br />
<br />
F sinθ<br />
+ F sinθ<br />
− mg = 0 ⇔ 0.98F sin10 + F sin15 = mg<br />
1 1 2 2 2 2<br />
2<br />
<br />
<br />
mg 100kg ⋅9.81m/s<br />
⇔ F2( 0.981⋅ sin10 + sin15 ) = mg ⇔ F2<br />
= = ≈2290 N<br />
0.429 0.429<br />
F = 0.981F<br />
= 0.981⋅2290 N ≈ 2250 N .<br />
1 2<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 7<br />
Her kan det være verd å merke seg at kreftene i snorene er mer enn dobbelt så store som<br />
motorens tyngde. Dette skyldes at snorene danner så stor vinkel med tyngden.<br />
Hittil har vi brukt <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er for å holde et legeme i ro. Nå skal det settes i bevegelse.<br />
Eksempel <strong>3.</strong><strong>3.</strong>2: En kloss med masse m glir friksjonsfritt ned et skråplan som danner en<br />
vinkel θ med horisontalplanet. Finn et uttrykk for klossens akselerasjon ned skråplanet, og<br />
kraften fra skråplanet mot klossen.<br />
Løsning:<br />
G=mg<br />
N<br />
θ<br />
Vi starter med å lage en figur, der vi tegner inn de<br />
kreftene som virker. Vi kan uten videre tegne inn<br />
tyngden G som en vektor med retning nedover, der<br />
G = mg . Videre vet vi at klossen glir ned langs<br />
skråplanet. Dersom tyngden G virket alene, ville<br />
klossen falt rett ned. Det må altså være en kraft som<br />
holder klossen på skråplanet. Siden det ikke er friksjon,<br />
må denne kraften virke vinkelrett fra skråplanet mot<br />
klossen. Denne kraften skal vi kalle N. Figuren med<br />
krefter inntegnet er vist til venstre.<br />
G y<br />
θ<br />
N<br />
G x<br />
θ<br />
G=mg<br />
θ<br />
y<br />
Langs skråplanet:<br />
Gx<br />
mg sinθ<br />
Gx<br />
= m⋅a ⇔ a = = = gsinθ<br />
.<br />
m m<br />
Vinkelrett på skråplanet:<br />
N − G = 0 ⇔ N = G cosθ<br />
= mg cosθ<br />
.<br />
y<br />
x<br />
Vi vet at akselerasjonen har retning ned langs skråplanet.<br />
Det er da lurt å dekomponere slik at vi får en<br />
kraftkomponent ned langs skråplanet og en komponent<br />
vinkelrett på skråplanet som figuren til venstre viser. Nå<br />
vet vi at summen av komponentene langs skråplanet (i<br />
x-retning) gir akselerasjon, mens summen av komponentene<br />
vinkelrett på skråplanet må være lik null (ingen<br />
akselerasjon vinkelrett på skråplanet).<br />
Hittil har vi bare sett på ett legeme. Vi kommer ofte bort i problemer som inneholder to eller<br />
flere legemer. De kan da være forbundet med tau. Vanligvis antar vi at disse tauene er masseløse.<br />
Av <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> følger at når massen er lik null, må også summen av de kreftene som<br />
virker på tauet være lik null. Dette innebærer at F1 = F<br />
2<br />
i figuren til venstre nedenfor. Det er<br />
kanskje mindre innlysende at vi har samme situasjon dersom tauet legges over en talje (uten<br />
friksjon) som vist nedenfor til høyre. Men også her må F1 = F<br />
2<br />
.<br />
F 2<br />
F 1 F 2<br />
F 1<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 8<br />
Eksempel <strong>3.</strong><strong>3.</strong>3: To personer, A og B, står på et horisontalt underlag og trekker tau. Tegn inn<br />
de kreftene som virker på de to personene, og forklar ut fra <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er hva som skjer når<br />
den ene vinner.<br />
Løsning: Situasjonen er tegnet inn nedenfor.<br />
F A<br />
A<br />
F Ay<br />
S A<br />
S B<br />
B<br />
F B<br />
F Ax<br />
F By<br />
F Bx<br />
G A<br />
G B<br />
Disse kreftene virker på hver av personene:<br />
G og G er tyngdene til hver av personene.<br />
•<br />
A<br />
B<br />
• S<br />
A<br />
og S<br />
B<br />
er kreftene som virker på de to personene via tauet.<br />
• F<br />
A<br />
og F<br />
B<br />
er kreftene fra underlaget mot hver av de to personene.<br />
Det er nærliggende å si at den ene vinner fordi han trekker i tauet med større kraft enn den<br />
andre. Men ifølge <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> er S<br />
A<br />
og S<br />
B<br />
motsatt like store hele tiden, også når en av<br />
dem vinner tautrekkingen. Hvordan kan da en av dem vinne<br />
Forklaringen ligger i kreftene F<br />
A<br />
og F<br />
B<br />
fra underlaget mot personene. Disse kreftene<br />
dekomponeres i x- og y-retningene. Da ser vi at for hver person må y-komponenten av F være<br />
motsatt lik tyngden til personen. Så lenge en person står i ro, er x- komponenten av F motsatt<br />
lik S. For at en person skal vinne, må x-komponenten av F bli større enn S. Det er altså den<br />
personen som sparker kraftigst fra mot underlaget som vinner. Begge trekker med nøyaktig<br />
like stor kraft i tauet hele tiden.<br />
Eksempel <strong>3.</strong><strong>3.</strong>4:<br />
a) A<br />
L<br />
En kloss K med masse m K = 1.50kg ligger på et horisontalt<br />
bord. Ei masseløs, ustrekkelig snor går horisontalt fra klossen,<br />
over ei trinse og til et lodd L med masse m L = 0.50kg slik<br />
figuren til venstre viser. Se bort fra alle former for friksjon.<br />
Systemet slippes. Finn akselerasjonen, og finn kraften i snora.<br />
b)<br />
A<br />
L<br />
Klossen legges på et skråplan med helningsvinkel 30 slik<br />
figuren til venstre viser. Loddet prøver å trekke klossen<br />
oppover. Hvor stor blir akselerasjonen nå, og hvor stor blir<br />
kraften i snora Se fremdeles bort fra friksjon.<br />
Løsning: Vi løser slike problem ved å sette opp <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> for hvert del-legeme for seg,<br />
og starter med å definere positive retninger for hvert del-legeme slik at begge legemene har<br />
samme akselerasjon med samme fortegn.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 9<br />
a)<br />
A<br />
N<br />
mK<br />
g<br />
S<br />
L<br />
S<br />
mg L<br />
All erfaring sier oss at loddet vil få akselerasjon<br />
nedover, mens klossen får akselerasjon mot høyre<br />
slik figuren til venstre viser. Kraften i snora<br />
(snordraget S) er like stort i begge ender av snora.<br />
Akselerasjonen er også lik for både loddet og<br />
klossen. Da kan vi sette opp <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> som<br />
vist nedenfor, der vi benytter de positive retningene<br />
vi har valgt:<br />
For loddet: mg L − S= ma L .<br />
For klossen: S= ma.<br />
K<br />
Så legger vi sammen disse to likningene, og får<br />
b)<br />
mg= ma+ ma= ( m + m ) a<br />
L L K L K<br />
mg 0.50kg ⋅ 9.81m/s<br />
a = = = <strong>2.</strong>45m/s<br />
mL<br />
+ mK<br />
0.50kg + 1.50kg<br />
Snordraget blir da<br />
2<br />
S= ma K = 1.50kg ⋅ <strong>2.</strong>45m/s = <strong>3.</strong>68N .<br />
K<br />
2<br />
L 2<br />
N<br />
A<br />
K<br />
S<br />
m gsinθ θ<br />
θ<br />
m g<br />
m gcosθ<br />
K<br />
S<br />
L<br />
mg L<br />
Vi legger som før sammen disse to likningene:<br />
mg L − mKgsinθ<br />
= ma L + ma K<br />
( m − m sinθ<br />
) g = ( m + m ) a<br />
L K L K<br />
Vi må nå dekomponere klossens tyngde i en<br />
komponent langs skråplanet og en vinkelrett på<br />
skråplanet slik figuren til venstre viser. Nå er det<br />
bare komponenten langs skråplanet som bidrar<br />
til akselerasjonen. Den har størrelse<br />
mK<br />
g ⋅ sinθ<br />
.<br />
Nå er det ikke like opplagt hvilken vei systemet<br />
vil bevege seg. Men vi velger de samme positive<br />
retningene som i sted. Da blir <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong>:<br />
For loddet: mg L − S= ma L .<br />
For klossen: S−mg K ⋅ sinθ<br />
= ma K .<br />
<br />
( mL −mKsinθ<br />
) g 0.50kg −1.50kg ⋅sin30<br />
2 2<br />
a = = ⋅ 9.81m/s = −1.23m/s<br />
mL<br />
+ mK<br />
0.50kg + 1.50kg<br />
Dette betyr at akselerasjonen går motsatt vei av det vi gjette på i starten.<br />
Så var det snorkraften S:<br />
mg ( 2 ( 2<br />
L − S= ma L ⇔ S= mg L − ma L = 0.50kg ⋅ 9.81m/s − − 1.23m/s ) ) = 5.52 N<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 10<br />
<strong>3.</strong>4. Friksjonskrefter.<br />
Hittil har vi konsekvent sett bort fra friksjon i våre eksempler. I virkelighetens verden er det<br />
alltid en eller annen form for friksjon til stede. Vi må derfor ta hensyn til friksjon når vi skal<br />
lage realistiske modeller av fysiske system.<br />
Grovt sett kan vi skille mellom to hovedtyper friksjon:<br />
• Glidende friksjon der to faste legemer glir mot hverandre (eller prøver å gli mot<br />
hverandre). Eksempler kan være en kloss som glir på et skråplan, en bil som bremser,<br />
en skiløper som kjører ned en bakke osv.<br />
• Viskøs friksjon der et fast legeme beveger seg gjennom en væske eller en gass.<br />
Eksempler kan være luftmotstand når vi kaster noe, eller vannmotstand når en båt går i<br />
stille vann.<br />
Friksjon er et vanskelig tema dersom vi skal gå i detalj. Vi skal nøye oss med noen hovedtrekk.<br />
Vi skal likevel få fram de viktigste sidene ved friksjonskrefter.<br />
<strong>3.</strong>4.1. Glidende friksjon.<br />
Vi skal starte med å se på friksjonskrefter som oppstår når to faste legemer glir mot hverandre<br />
(eller prøver å gli mot hverandre). Utgangspunktet for våre undersøkelser kan være at en kloss<br />
kan gli på et horisontalt underlag:<br />
F f<br />
N<br />
mg<br />
F<br />
Figuren viser en kloss med masse m som påvirkes av<br />
en trekk-kraft med størrelse F i horisontal retning.<br />
Klossen må også påvirkes av tyngdekraften G = mg ,<br />
og en kraft N fra underlaget. N og G må være motsatt<br />
like store.<br />
Vi trekker med stadig større trekk-kraft F. Så lenge F er tilstrekkelig liten, vil klossen ligge i<br />
ro. Da må det være en kraft F<br />
f<br />
som holder igjen. Denne kraften skal vi kalle den statiske<br />
friksjonen, der ordet statisk kommer av at kraften virker mens legemene er i ro i forhold til<br />
hverandre.<br />
Når F er blitt tilstrekkelig stor, begynner klossen å gli. Vi har den største verdien F<br />
f , max<br />
av<br />
den statiske friksjonen like før klossen begynner å gli. Vi definerer nå det statiske friksjonstallet<br />
(eller friksjonsfaktoren eller friksjonskoeffisienten) µ<br />
s<br />
slik:<br />
Ff<br />
, max<br />
µ<br />
s<br />
= .<br />
N<br />
Det viser seg at µ<br />
s<br />
avhenger av hvor glatt eller ru overflatene til de to legemene som berører<br />
hverandre er, men er tilnærmet uavhengig av flatenes størrelse og av m (og dermed også av<br />
N). Dette gjelder så lenge N ikke er så stor at flatene deformeres.<br />
F<br />
f<br />
være friksjons-<br />
Så lar vi klossen gli med konstant fart på det horisontale underlaget, og lar<br />
kraften mens klossen glir. Eksperimenter viser da at:<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 11<br />
• F<br />
f<br />
har retning mot fartsretningen.<br />
• F<br />
f<br />
avhenger av hvor glatt eller ru de flatene som glir mot hverandre er.<br />
• F<br />
f<br />
avhenger ikke av farten til klossen som glir.<br />
• F<br />
f<br />
avhenger ikke av størrelsen på berøringsflaten.<br />
• F<br />
f<br />
er proporsjonal med normalkraften N.<br />
Den siste egenskapen fører til at vi definerer den kinetiske friksjonskoeffisienten (eller<br />
friksjonsfaktoren eller friksjonstallet) µ<br />
k<br />
slik:<br />
Ff<br />
µ<br />
k<br />
= .<br />
N<br />
Merk at i denne definisjonen er F<br />
f<br />
friksjonskraften mens klossen glir på underlaget.<br />
Det viser seg at µ<br />
s<br />
alltid er litt større enn µ<br />
k<br />
. Dette innebærer bl.a. at når et bildekk begynner<br />
å gli mot underlaget, blir friksjonskraften mindre enn når dekket ikke glir. Derfor oppnås<br />
størst bremsekraft dersom vi bremser slik at hjulet er på grensen til å gli.<br />
Noen ganger er forskjellen mellom µ<br />
s<br />
og µ<br />
k<br />
såpass liten at vi ikke trenger å ta hensyn til<br />
den. Da setter vi µ<br />
s<br />
= µ<br />
k<br />
= µ , og snakker bare om ”friksjonstallet”. Her er en liten oversikt<br />
over friksjonstall:<br />
Materialer Statisk friksjonstall µ<br />
s<br />
Kinetisk friksjonstall µ<br />
k<br />
Stål mot stål 0.74 0.57<br />
Aluminium mot stål 0.61 0.47<br />
Kopper mot stål 0.53 0.36<br />
Glass mot glass 0.94 0.40<br />
Kopper mot glass 0.68 0.53<br />
Teflon mot teflon 0.04 0.04<br />
Gummi mot tørr asfalt 1.0 0.8<br />
Gummi mot våt asfalt 0.30 0.25<br />
Eksempel <strong>3.</strong>4.1: Du trekker en kasse med masse m = 50.0kg med konstant fart langs et<br />
horisontalt gulv, og ser at når trekk-kraften er horisontal må du bruke en kraft F = 230 N .<br />
Hvor stor kraft må du bruke dersom du trekker kassen med et tau som danner en vinkel på<br />
30 med horisontalplanet<br />
Løsning:<br />
F f<br />
N<br />
mg<br />
F<br />
Så lenge trekk-kraften F er horisontal og farten er<br />
konstant, er<br />
F − F = 0 ⇔ F = F.<br />
f<br />
Videre er<br />
N − mg = 0 ⇔ N = mg .<br />
Da blir<br />
µ = Ff<br />
F 230 N<br />
k<br />
2<br />
N<br />
mg<br />
50.0kg ⋅ 9.81m/s<br />
= 0.469 .<br />
f<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 12<br />
F f<br />
N<br />
mg<br />
F y<br />
Selv om trekk-kraften F skifter retning, er friksjonstallet<br />
F<br />
µ<br />
30 0 k<br />
uendret. Vi dekomponerer kreftene i en horisontal<br />
F x (x- ) og en vertikal (y- ) retning, og får:<br />
(1): F − F = 0<br />
x<br />
(2): F + N − mg = 0<br />
Her må vi merke oss at normalkraften N ikke lenger er motsatt lik tyngden mg fordi<br />
trekker oppover. Vi benytter at<br />
<br />
F = Fcos 30 = 0.866F,<br />
x<br />
F = Fsin 30 = 0.500F<br />
,<br />
y<br />
y<br />
f<br />
F<br />
y<br />
også<br />
og at<br />
Ff<br />
= µ<br />
k<br />
= 0.469 ⇔ Ff<br />
N<br />
= 0.469N<br />
.<br />
Da blir:<br />
(1): 0.866F<br />
− 0.469N<br />
= 0<br />
(2): 0.500F + N = mg .<br />
Dette er to likninger med to ukjente, som jeg velger å løse ved å finne N uttrykt ved F fra (1)<br />
og sette inn i (2):<br />
(1): 0.866F − 0.469N = 0 ⇔<br />
0.866<br />
N = F = 1.85F.<br />
0.469<br />
(2): 0.500F + 1.85F = mg ⇔<br />
2 490.5 N<br />
<strong>2.</strong>35F = 50.0 kg ⋅9.81m/s ⇔ F = = 209 N .<br />
<strong>2.</strong>35<br />
Vi ser at vi må bruke mindre kraft nå enn da vi trakk horisontalt. Grunnen er at når kraften<br />
virker skrått oppover, blir normalkraften N og dermed også friksjonskraften mindre.<br />
<strong>3.</strong>4.<strong>2.</strong> Viskøs friksjon.<br />
Når et legeme beveger seg i en væske eller en gass, vil legemet vil møte en motstand mot<br />
bevegelsen som avhenger av bl.a. farten. Eksperimenter viser at dersom farten v er liten, kan<br />
vi med brukbar nøyaktighet anta at friksjonskraften F er gitt ved<br />
Ff<br />
= −k⋅<br />
v<br />
der k er en konstant som avhenger av legemets størrelse og form, og av den væsken eller<br />
gassen som legemet beveger seg gjennom. En tyktflytende væske vil gi mye større k enn en<br />
gass. Minustegnet angir at friksjonskraften og farten har motsatte retninger. Dersom vi kun er<br />
interessert i størrelsen av friksjonskraften, utelater vi minustegnet. Konstanten k får<br />
benevningen<br />
2<br />
N kg ⋅m/s kg<br />
= = .<br />
m/s m/s s<br />
Dersom farten øker, blir formelen over mindre nøyaktig. Da kan sammenhengen<br />
2<br />
Ff<br />
= −k⋅<br />
v<br />
(der k ikke har samme verdi som i formelen Ff<br />
= −k⋅ v) gi bedre nøyaktighet. Men generelt<br />
sier man gjerne at størrelsen til viskøs friksjonskraft er gitt ved<br />
f<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Ff<br />
= −k⋅<br />
v<br />
n<br />
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 13<br />
der n ligger i området 1 – 2, og både k og n avhenger av farten v.<br />
Vi merker oss at ved viskøs friksjon er akselerasjonen ikke konstant. Det fører til at vi ikke<br />
kan bruke våre vanlige bevegelseslikninger. Vi må "skreddersy" bevegelseslikninger for hver<br />
situasjon. Dette fører til at vi må løse differensiallikninger. Jeg vil ikke forvente at du kan løse<br />
slike likninger, og flytter derfor resten av dette avsnittet til et tillegg.<br />
<strong>3.</strong>5. Krumlinjet bevegelse.<br />
<strong>3.</strong>5.1. Generelle prinsipper.<br />
I de eksemplene vi har sett på hittil, har enten legemene vært i ro eller har hatt rettlinjet<br />
bevegelse. Men det er også krefter med i spillet i forbindelse med krumlinjet bevegelse.<br />
I kapitel 2 om bevegelse kom vi fram til at akselerasjonen til en partikkel kan skrives slik:<br />
2<br />
dv v<br />
a = ˆ ˆ<br />
T<br />
N<br />
dt<br />
⋅ u + R<br />
⋅ u<br />
der dv er baneakselerasjonen (endring av størrelsen av farten) med retning langs tangenten<br />
dt<br />
2<br />
v<br />
til banen, og er sentripetalakselerasjonen som har retning inn mot krumingssenteret, og<br />
R<br />
som skyldes at fartsvektoren endrer retning. Da må vi også kunne skrive <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> slik:<br />
2<br />
dv v<br />
F = m ⋅ a = m ⋅ ˆ ˆ<br />
T<br />
m<br />
N<br />
dt<br />
⋅ u + ⋅ R<br />
⋅ u .<br />
2<br />
v<br />
m u R<br />
ˆ N<br />
F = mg<br />
dv<br />
m u dt<br />
ˆ T<br />
v<br />
Vi ser at kraften må kunne dekomponeres i to<br />
komponenter. Den ene er tangent til banen og<br />
forårsaker at størrelsen av farten endres, mens den<br />
andre står vinkelrett på banen og får hastighetsvektoren<br />
til å endre retning.<br />
Figuren til venstre viser hvordan tyngdekraften<br />
F = m ⋅ g kan dekomponeres slik at en komponent<br />
endrer størrelsen av hastigheten mens den andre<br />
komponenten endrer retningen.<br />
<strong>3.</strong>5.<strong>2.</strong> Sirkelbevegelse.<br />
Vi skal nå se på en partikkel som beveger seg med konstant fart v i en sirkel med radius R.<br />
Denne partikkelen har en sentripetalakselerasjon inn mot sentrum i sirkelen. Den kraften som<br />
gir opphav til en slik sentripetalakselerasjon kalles en sentripetalkraft. Den må også ha<br />
retning inn mot sentrum i sirkelen.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 14<br />
Eksempel <strong>3.</strong>5.1: Ei kule med masse m = 0.10kg er festet i ei snor, og roterer med konstant<br />
fart i en horisontal sirkelbane med radius R = 0.10 m på et friksjonsfritt underlag. Snora et<br />
horisontal. Kula bruker 24 sekunder på 100 omdreininger. Hvor stor kraft virker det i snora<br />
Løsning: Det virker tre krefter på kula: Tyngden av kula, en kraft fra underlaget mot kula, og<br />
trekk-kraften i snora. Men siden kula ikke har noen akslerasjon i vertikal retning, må tyngden<br />
og kraften fra underlaget mot kula være motsatt like store. For oversiktens skyld er de ikke<br />
tatt med på figuren nedenfor. Det er da bare trekk-kraften F i snora som gir akselerasjon.<br />
Denne kraften gir en sentripetalakselerasjon. Tiden på en rotasjon er<br />
24s<br />
T = = 0.24s .<br />
100<br />
Da er sentripetalakselerasjonen<br />
F R<br />
2<br />
2<br />
4π<br />
R 4π<br />
⋅ 0.10m<br />
2<br />
aN<br />
= = = 68.5m/s .<br />
2 2<br />
T 0.24s<br />
Kraften i snora blir<br />
2<br />
F = m⋅ a N<br />
= 0.10kg ⋅ 68.5m/s = 6.85 N .<br />
( )<br />
Nå skal vi bevege oss ut på glattisen med bil:<br />
Eksempel <strong>3.</strong>5.2: En bil kjører i en sving med svingradius R = 50 m . Veien og veibanen er<br />
horisontal. Det er is på veien, slik at friksjonstallet mellom bilhjul og veibane er µ = 0.15.<br />
Hva er den største farten bilen kan ha uten å skrense i svingen<br />
Løsning: Når bilen kjører med en fart v i svingen, er det en sentripetalakselerasjon<br />
2<br />
v<br />
aN<br />
= .<br />
R<br />
Da må det virke en sentripetalkraft<br />
2<br />
v<br />
F = maN<br />
= m R<br />
inn mot sentrum i den sirkelen som svingen er en del av. Så lenge veibanen er horisontal, må<br />
friksjonen mellom hjul og veibane utgjøre denne sentripetalkraften. Vi må da kreve at<br />
2<br />
v<br />
2 2<br />
m ≤ µ m g ⇔ v ≤ µ gR ⇔ v ≤ 0.15⋅9.81m/s ⋅ 50 m = 8.6 m/s .<br />
R<br />
Dette svarer til<br />
3600s/h<br />
8.6 m/s ⋅ = 31km/h .<br />
1000 m/km<br />
Moderne veier konstrueres med doserte svinger. Du finner et eksempel på slik dosering i et<br />
lite tillegg, der du også finner et annet eksempel på sirkelbevegelse.<br />
I neste eksempel skal vi se på bevegelse i en vertikal sirkel.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 15<br />
Eksempel <strong>3.</strong>5.3: En passasjer på et pariserhjul beveger seg i en vertikal sirkel med konstant<br />
fart. Anta at passasjeren har massen m = 60.0kg , at pariserhjulet har radien R = 8.00 m og at<br />
perioden til sirkelbevegelsen er T = 20.0s . Finn et uttrykk for kraften fra setet på passasjeren<br />
a) I det øverste punktet i sirkelen.<br />
b) I det nederste punktet i sirkelen.<br />
Løsning: På figuren har vi erstattet passasjeren med et massepunkt (en partikkel). Denne<br />
partikkelen er hele tiden i en sirkelbevegelse, og har en sentripetalakselerasjon<br />
2<br />
2<br />
4π<br />
R 4π<br />
⋅8.00 m<br />
2<br />
aN<br />
= = ≈ 0.790 m/s .<br />
2 2<br />
T 20.0s<br />
( )<br />
F topp<br />
mg<br />
F bunn<br />
mg<br />
a) På toppen av sirkelbanen må sentripetalkraften virke<br />
nedover (inn mot sirkelens sentrum). Da er<br />
mg − F = ma<br />
topp<br />
topp<br />
N<br />
N ( N )<br />
( )<br />
F = mg − ma = m g −a<br />
2<br />
60.0kg 9.81 0.79 m/s 541N<br />
= − =<br />
b) På bunnen av sirkelbanen må sentripetalkraften virke<br />
oppover (inn mot sirkelens sentrum). Da er<br />
F − mg = ma<br />
bunn<br />
bunn<br />
N<br />
N ( N )<br />
( )<br />
F = mg + ma = m g + a<br />
= + =<br />
2<br />
60.0kg 9.81 0.79 m/s 636 N<br />
<strong>3.</strong>6. Gravitasjon.<br />
Eksperimenter viser at:<br />
Når to punktformede masser m<br />
1<br />
og m<br />
2<br />
har innbyrdes avstand R, påvirker de hverandre med<br />
en like stor gjensidig tiltrekningskraft<br />
m1⋅<br />
m2<br />
F = γ<br />
2<br />
R<br />
der γ er den universelle gravitasjonskonstanten og har verdien<br />
m<br />
γ = ⋅ .<br />
2<br />
−11<br />
6.674 10 N kg<br />
2<br />
Dersom massene ikke er punktformede, kan vi la R være avstanden mellom legemenes<br />
massesentre. For homogene, kuleformede legemer betyr dette avstanden mellom sentrene.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 16<br />
Dersom et punktformet legeme med massen m har en avstand R til jordas sentrum, og<br />
jordkloden har massen M, får vi at legemet trekkes mot jordas sentrum med en kraft<br />
M ⋅m<br />
F = γ .<br />
2<br />
R<br />
Men vi har allerede sagt at tyngdekraften har en størrelse<br />
G = mg .<br />
Det er innlysende at<br />
M ⋅m<br />
M<br />
G = F ⇔ mg = γ ⇔ g = γ .<br />
2 2<br />
R<br />
R<br />
Eksempel <strong>3.</strong>6.1: Beregn jordas masse når du vet at jordas radius er<br />
Løsning:<br />
( 6.38⋅10 m) 2<br />
2<br />
2 6<br />
M<br />
gR 9.81m/s ⋅<br />
g = γ ⇔ M = = = ⋅<br />
2<br />
R<br />
γ<br />
m<br />
2<br />
−11<br />
6.674⋅10 N kg<br />
2<br />
24<br />
5.98 10 kg<br />
6<br />
R = 6.38⋅ 10 m .<br />
.<br />
Eksempel <strong>3.</strong>6.2: En geostasjonær satellitt (for eksempel en TV-satellitt) holder seg i samme<br />
posisjon sett fra jorda fordi den ligger i ekvatorplanet og roterer en gang rundt jorda samtidig<br />
som jorda roterer en gang om sin egen akse. Hvor langt fra jordsenteret må en slik satellitt<br />
plasseres<br />
Løsning: Gravitasjonskraften fungerer som sentripetalkraft på satellitten. Dersom satellitten<br />
har masse m og ligger i en avstand x fra jordas sentrum, blir<br />
2<br />
4π<br />
x M ⋅ m<br />
m ⋅ = γ<br />
2<br />
2<br />
T x<br />
2<br />
−11 m<br />
24<br />
2<br />
2<br />
6.674⋅10 N ⋅5.98⋅10 kg ⋅<br />
2<br />
( 24⋅60⋅60s)<br />
3 γ MT<br />
kg<br />
22 3<br />
x = = = 7.55⋅10 m<br />
2 2<br />
4π<br />
4π<br />
3<br />
22 3 7<br />
x = 7.55⋅ 10 m = 4.23⋅10 m<br />
Tillegg.<br />
<strong>3.</strong>4.<strong>3.</strong> Mer om bevegelse ved viskøs friksjon.<br />
Vi skal nå se hvordan vi kan handtere bevegelse med viskøs friksjon, og skal begrense oss til<br />
at friksjonskraften er gitt ved<br />
F = −k⋅ v.<br />
f<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Eksempel <strong>3.</strong>4.1:<br />
−kv<br />
mg<br />
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 17<br />
Vi antar at fallskjermhopperen på figuren til venstre har masse<br />
og møter en luftmotstand gitt ved<br />
F =−k⋅<br />
v<br />
f<br />
m = 80kg ,<br />
der k = 100 N/ ( m/s)<br />
. Forklar at fallskjermhopperen etter en tid får<br />
tilnærmet konstant fart (kalt terminalfarten), og finn størrelsen på denne<br />
farten.<br />
Løsning: Under hele hoppet er akselerasjonen gitt ved <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong>:<br />
mg − kv = m ⋅ a .<br />
Når farten v er liten, er a ≈ g . Men etter hvert som v øker, vil venstre side<br />
av likningen bli stadig mindre slik at a → 0 . Konstant fart innebærer at<br />
2<br />
mg 80 kg ⋅9.81m/s<br />
a = 0 ⇔ mg = kv ⇔ v = = = 7.85m/s .<br />
k 100 N/ ( m/s)<br />
Vi skal nå sette opp bevegelseslikninger når friksjonskraften<br />
Ff<br />
= −k⋅<br />
v<br />
F<br />
f<br />
er gitt ved<br />
der k er en konstant som avhenger av legemets størrelse og form, og av den væsken eller<br />
gassen som legemet beveger seg gjennom. Dette fører til differensiallikninger.<br />
F f<br />
= -kv<br />
m<br />
v<br />
F(t)<br />
Vi antar at et legeme med masse m trekkes gjennom en<br />
F t , der t er tid.<br />
gass eller væske med en kraft ( )<br />
<strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> blir nå<br />
dv dv dv k 1<br />
F( t) + Ff<br />
= m⋅ ⇔ F( t) −k⋅ v = m⋅ ⇔ + v = F( t)<br />
.<br />
dt dt dt m m<br />
Dette er en lineær 1.ordens differensiallikning, som løses med formel. Vi får:<br />
kt<br />
m<br />
( ∫ m<br />
)<br />
− kt<br />
m 1<br />
( ) ( )<br />
v t = e ⋅ F t e dt + C<br />
der C er en konstant som finnes av startbetingelsene.<br />
Jeg vil anbefale at du ikke bruker formelen over slavisk. Du bør alltid tegne en figur og sette<br />
opp <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> for hver enkelt situasjon. Noen ganger viser det seg at vi får en separabel<br />
v t , kan vi<br />
differensiallikning, som er enklere å løse enn en lineær 1.ordens. Når vi kjenner ( )<br />
finne tilbakelagt strekning x ved å løse differensiallikningen<br />
dx<br />
v( t)<br />
= .<br />
dt<br />
Eksempel <strong>3.</strong>4.2: En liten båt går med konstant fart v<br />
0<br />
når motoren plutselig stopper.<br />
a) Finn en formel for båtens fart v( t ) etter at motoren er stoppet uttrykt ved k, båtens masse<br />
m og opprinnelig fart v<br />
0<br />
.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 18<br />
b) Finn k når du vet at båtens masse er m = 1000kg og opprinnelig fart var v<br />
0<br />
= 8.0m/s , og<br />
du oppdager at 10 sekunder etter at motoren stoppet var båtens fart er redusert til<br />
v = 5.0 m/s .<br />
c) Hvor langt går båten før den stopper helt<br />
Løsning:<br />
a) Når motorkraften bortfaller, er F( t ) = 0<br />
dv<br />
= ⋅ ⇔ − ⋅ = ⋅ .<br />
Ff<br />
m a k v m dt<br />
. Da blir <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong><br />
Jeg synes det er enklest å oppfatte denne likningen som separabel (ikke lineær 1.ordens):<br />
dv k dv k dv<br />
−k ⋅ v = m ⋅ ⇔ − dt = ⇔ − dt<br />
dt m v m<br />
∫ = ∫<br />
v<br />
k t<br />
v k ⎛ v ⎞<br />
− [ t] = [ ln v] ⇔ − t = ln v− ln v<br />
0<br />
0<br />
= ln<br />
v<br />
⎜ ⎟<br />
0<br />
m m ⎝v0<br />
⎠<br />
v − kt<br />
− kt<br />
m<br />
m<br />
= e ⇔ v( t) = ve<br />
0<br />
.<br />
v<br />
0<br />
b) Vet at v( 0) = v0<br />
= 8.0 m/s , og at v ( 10)<br />
= 5.0 m/s . Setter inn i formelen for ( )<br />
v t :<br />
k<br />
− k⋅10s<br />
− ⋅10s<br />
1000 kg − k s/kg 5.0<br />
m<br />
100<br />
v( 10) = ve<br />
0<br />
⇔ 5.0m/s = 8.0m/s ⋅e ⇔ e = = 0.625<br />
8.0<br />
k<br />
⇔ − s/kg = ln 0.625 =−0.47 ⇔ k = 47 kg/s .<br />
100<br />
c) For å finne hvor langt båten går før den stopper, må vi først finne en formel for x( t ) . Det<br />
gjøres slik:<br />
dx<br />
− kt<br />
dx<br />
− kt<br />
m<br />
m<br />
v( t) = ⇔ v0e = ⇔ dx = v0e dt<br />
dt<br />
dt<br />
k k t<br />
− t x ⎛ m⎞ − t m − kt<br />
m m m<br />
∫ dx = ∫ v0e dt ⇔ x = v0 ⎡ e ⎤ x x0 v0<br />
e 1<br />
x ⎜− ⎟ ⇔ − =− −<br />
0<br />
⎝ k ⎠ ⎣ ⎦ 0<br />
k<br />
m<br />
0 0( 1 − k<br />
m t<br />
⇔ x= x + v − e ) .<br />
k<br />
[ ] ( )<br />
k<br />
m<br />
Her legger vi merke til at når t →∞, vil e − t<br />
→ 0 . Da vil<br />
m<br />
1000kg<br />
x → x0 + v0( 1+ 0)<br />
= 0 m + ⋅ 8.0m/s = 170m .<br />
k<br />
47 kg/s<br />
Dette viser at etter lang tid vil båten stoppe 170 meter fra det stedet der motoren stoppet.<br />
Eksempel <strong>3.</strong>4.3: Et legeme med masse m = 20kg beveger seg rettlinjet gjennom et fluid. Vi<br />
observerer at terminalfarten er v<br />
0<br />
= 4.0 m/s når legemet påvirkes av en konstant kraft<br />
F<br />
0<br />
= 72 N i tillegg til en friksjonskraft F<br />
f<br />
som virker mot fartsretningen.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
a) Anta at friksjonskraften er gitt ved Ff<br />
= − kv<br />
1<br />
.<br />
Bestem<br />
1<br />
k , og finn v( t ) når ( )<br />
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 19<br />
v 0 = 0.<br />
b) Anta at friksjonskraften er gitt ved<br />
k , og finn v( t ) når ( )<br />
Ff<br />
2<br />
= − kv<br />
2<br />
.<br />
Bestem<br />
2<br />
v 0 = 0.<br />
Hint: Det kan lønne seg å innføre en ny variabel u = 4 − v.<br />
c) Anta at friksjonskraften er gitt ved<br />
F kv kv<br />
2<br />
f<br />
=−<br />
1<br />
−<br />
2<br />
.<br />
For å finne k<br />
1<br />
og k<br />
2<br />
, reduserer vi den konstante kraften til 2 3<br />
F<br />
0<br />
= 48 N , og ser at da blir<br />
terminalfarten <strong>3.</strong>0m/s . Bruk disse opplysningene til å finne k<br />
1<br />
og k<br />
2<br />
.<br />
Finn deretter v( t ) når F<br />
0<br />
= 72 N .<br />
Hint: Det kan lønne seg å innføre en ny variabel u = 4 − v.<br />
Tegn til slutt grafene til v( t ) i de tre tilfellene i samme koordinatsystem.<br />
Løsning: I alle de tre tilfellene blir<br />
dv<br />
m⋅ = F0 + Ff<br />
.<br />
dt<br />
Terminalfarten framkommer når<br />
dv<br />
= 0 ⇔ Ff<br />
=− F0<br />
=− 72 N .<br />
dt<br />
a) Når Ff<br />
= − kv<br />
1<br />
, og terminalfarten er v<br />
0<br />
= 4.0 m/s , får vi (når vi dropper benevninger):<br />
−k<br />
⋅ 4.0 =−72 ⇔ k = 18.<br />
1 1<br />
Da blir differensiallikningen<br />
dv dv dv<br />
20⋅ = 72 −18v ⇔ = <strong>3.</strong>6 − 0.9v =−0.9( v −4)<br />
⇔ =−0.9dt<br />
dt dt v − 4<br />
Integrerer begge sider:<br />
ln v− 4 =− 0.9t+ C.<br />
Av problemstillingen er det opplagt at 0≤ v < 4. Finner C av startbetingelsen:<br />
ln 4 − 0 =− 0 + C ⇔ C = ln 4 .<br />
Da blir<br />
ln 4 − v =− 0.9t+ ln 4 ⇔<br />
−0.9t<br />
4 − v= 4e ⇔ v t<br />
−0.9t<br />
= 4 1− e .<br />
( ) ( ) ( )<br />
b) Når<br />
Ff<br />
2<br />
= − kv<br />
2<br />
, og terminalfarten er v<br />
0<br />
= 4.0 m/s<br />
−k<br />
⋅ 4.0 =−72<br />
⇔ k = = .<br />
2 72 9<br />
2 2 16 2<br />
Da blir differensiallikningen<br />
dv<br />
9 2<br />
20⋅ = 72 −<br />
2<br />
v .<br />
dt<br />
Innfører<br />
, får vi (når vi dropper benevninger):<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 20<br />
u 4 v ⇔ v 4 u ⇒ du dv<br />
dt<br />
dt<br />
og får<br />
du<br />
9<br />
2<br />
9 2 9 2<br />
−20⋅ = 72 −<br />
2( 4 − u) = 72 −<br />
2( 16 − 8u+ u ) = 36u−<br />
2u<br />
dt<br />
du 2 du<br />
9<br />
du 9<br />
− 40 = 72u− 9u =−9u( u−8) ⇔ =<br />
40<br />
u( u−8)<br />
⇔ = dt .<br />
dt dt u u −8 40<br />
Delbrøkoppspalter venstre side, og får<br />
1 1<br />
1<br />
8 8<br />
=− +<br />
u u−8 u u−8<br />
( )<br />
( )<br />
som gir<br />
1⎛1 1 ⎞ 9 ⎛1 1 ⎞ 9<br />
− ⎜ − ⎟du = dt ⇔ ⎜ − ⎟du =− dt<br />
8 ⎝u u−8 ⎠ 40 ⎝u u−8 ⎠ 5<br />
Integrerer begge sider:<br />
9 ⎛ u ⎞ 9<br />
ln u −ln u− 8 =−<br />
5t+ C ⇔ ln ⎜ ⎟=− 8<br />
5t+<br />
C<br />
⎝ − u ⎠<br />
der jeg benytter at siden 0≤ v < 4 må 0< u ≤ 4. Setter inn for v og finner C:<br />
⎛ 4−v<br />
⎞ ⎛4−v⎞ 9<br />
⎛4−0⎞<br />
ln = ln ⎜ ⎟=− 5<br />
t+ C ⇔ C = ln ⎜ ⎟=<br />
0 .<br />
⎜8 ( 4 v)<br />
⎟<br />
⎝ − − ⎠ ⎝4+ v⎠ ⎝4−0⎠<br />
Da blir<br />
c) Når<br />
− 9<br />
( ) 5 t<br />
4−v<br />
−9t<br />
−9t<br />
41−e<br />
5 5<br />
= e ⇔ 4− v= ( 4+ v) e ⇔ v( t)<br />
=<br />
4 + v<br />
1+<br />
e<br />
2<br />
f<br />
=−<br />
1<br />
−<br />
2<br />
, og terminalfarten er v<br />
0<br />
= 4.0 m/s<br />
F kv kv<br />
benevninger):<br />
−k ⋅4.0 −k 2<br />
⋅ 4.0 =−72 ⇔ k + 4k<br />
= 18.<br />
1 2 1 2<br />
− 9<br />
5 t<br />
.<br />
, får vi (når vi dropper<br />
Når den konstante kraften er 2 3<br />
F<br />
0<br />
= 48 N , og terminalfarten er v<br />
0<br />
= <strong>3.</strong>0 m/s , får vi (når vi<br />
dropper benevninger):<br />
2<br />
−k1⋅<strong>3.</strong>0 −k2⋅ <strong>3.</strong>0 =−48 ⇔ k1+ 3k2<br />
= 16 .<br />
Trekker den nederste likningen fra den øverste, og får<br />
k =<br />
2<br />
2<br />
som videre gir<br />
k = 16 − 3k<br />
= 16 −3⋅ 2 = 10 .<br />
1 2<br />
Da blir differensiallikningen<br />
dv<br />
2<br />
20⋅ = 72 −10v− 2v<br />
.<br />
dt<br />
Innfører<br />
u 4 v ⇔ v 4 u ⇒ du dv<br />
dt<br />
dt<br />
og får<br />
du<br />
−20⋅ = 72 −10( 4 −u) −2( 4 − u) dt<br />
= 72 −( 40 −10u) −2( 16 − 8u+ u ) = 26u−<br />
2u<br />
2 2 2<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 21<br />
du<br />
dt<br />
1 2 13 1<br />
du 1<br />
=<br />
10<br />
u −<br />
10<br />
u =<br />
10<br />
u ( u −13)<br />
⇔ = dt .<br />
u u 13 10<br />
( − )<br />
Delbrøkoppspalter venstre side, og får<br />
1 1<br />
1<br />
13 13<br />
=− +<br />
u u−13 u u−13<br />
( )<br />
som gir<br />
1 ⎛1 1 ⎞ 1 ⎛1 1 ⎞ 13<br />
− ⎜ − ⎟du = dt ⇔ ⎜ − ⎟du =− dt .<br />
13 ⎝u u−13 ⎠ 10 ⎝u u−13 ⎠ 10<br />
Integrerer begge sider:<br />
13 ⎛ u ⎞ 13<br />
ln u −ln u− 13 =−<br />
10<br />
t+ C ⇔ ln ⎜ ⎟=− 13<br />
10<br />
t+<br />
C<br />
⎝ − u ⎠<br />
der jeg benytter at siden 0≤ v < 4 må 0< u ≤ 4. Setter inn for v og finner C:<br />
⎛ 4−v<br />
⎞ ⎛4−v⎞<br />
10<br />
4<br />
ln = ln ⎜ ⎟=− 13<br />
t+ C ⇔ C = ln .<br />
⎜13 ( 4 v)<br />
⎟<br />
⎝ − − ⎠ ⎝9 + v⎠<br />
9<br />
Da blir<br />
4 − v<br />
13 13 13 13<br />
4 − t 10 4 − t − t 10<br />
( ) ( 10 ) 4 − t<br />
=<br />
10<br />
9e ⇔ 4 − v = 4 +<br />
9v e ⇔ 41 − e = ( 1 +<br />
9e<br />
)<br />
9 + v<br />
−13<br />
( ) 10 t<br />
41−<br />
e<br />
⇔ v( t)<br />
=<br />
1+<br />
e<br />
4<br />
9<br />
−13t<br />
10<br />
Figuren nedenfor viser v( t ) i de tre tilfellene, med tilfelle c) i midten.<br />
4<br />
3<br />
2<br />
v( t)<br />
a)<br />
b)<br />
1<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5<br />
t<br />
<strong>3.</strong>5.<strong>3.</strong> Mer om sirkelbevegelse.<br />
Vi skal nå se på noen flere eksempler på sentripetalakselerasjon og sentripetalkreft.<br />
Eksempel <strong>3.</strong>5.4: Ei kule med masse m henges opp i ei snor med lengde L. Kula settes i sirkelbevegelse<br />
med konstant fart slik at snora danner en konstant vinkel θ med vertikalen. Vi får<br />
en kjeglependel. Finn svingetiden T for en hel svingning, og finn kraften i snora.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 22<br />
Løsning:<br />
På samme måte som i eksemplet foran, går kula i en sirkelbane med radius R, og har derfor en<br />
sentripetalakselerasjon. Men nå er det ingen snorkraft som virker rett inn mot sirkelens<br />
sentrum. De to kreftene som virker, er tyngden G = mg og snordragskraften S. Vektorsummen<br />
av disse to kreftene må da være den kraften F som virker inn mot sentrum. Se<br />
figuren på neste side. Av den figuren ser vi at radien R i sirkelen er<br />
R = L⋅ sinθ<br />
.<br />
Vi ser også at kraften F inn mot sentrum i sirkelen er<br />
F = mg tanθ<br />
.<br />
θ<br />
Men siden F er en sentripetalkraft, er<br />
2<br />
L<br />
4π<br />
R<br />
F = m⋅ a = m . T<br />
mg<br />
θ<br />
S<br />
F<br />
θ<br />
R<br />
Svingetiden blir altså<br />
L cosθ<br />
T = 2π<br />
.<br />
g<br />
Av figuren ser vi også at<br />
F mg tanθ<br />
S sinθ<br />
⇔ sinθ<br />
mg<br />
cosθ<br />
mg<br />
S sinθ<br />
sinθ<br />
N<br />
2<br />
Vi setter disse to uttrykkene lik hverandre, og får<br />
2<br />
4π<br />
R<br />
m gtanθ = m<br />
2<br />
T<br />
2<br />
sinθ<br />
4π<br />
L sinθ<br />
⇔ g<br />
2<br />
cos T<br />
2<br />
2 4π<br />
Lcosθ<br />
⇔ T =<br />
g<br />
θ = ( )<br />
Her er det uttrykket for T som er mest interessant. Vi ser bl.a. at:<br />
• Massen m inngår ikke i formelen for T. Dette betyr at svingetiden er uavhengig av kulas<br />
masse.<br />
• Dersom θ er liten, er cosθ ≈ 1. Da blir<br />
L<br />
T ≈ 2π<br />
.<br />
g<br />
Vi kan også si at<br />
blir<br />
H<br />
T = 2π<br />
.<br />
g<br />
• Av formelen<br />
får vi<br />
T ≈ 2π<br />
L<br />
g<br />
2<br />
4π<br />
L<br />
L cosθ er høyden H fra opphengingspunktet til sirkelens sentrum. Da<br />
g ≈ .<br />
2<br />
T<br />
Denne formelen kan brukes til å finne tyngdens akselerasjon g med stor nøyaktighet.<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 23<br />
På moderne veier er ikke veibanen horisontal i svinger. Der er veibanen dosert slik at<br />
veibanen er høyere i yttersving enn i innersving. Dette motvirker at biler skrenser ut av veien<br />
på glatt føre. I neste eksempel skal vi se nærmere på slik dosering.<br />
Eksempel <strong>3.</strong>5.5: En vei-ingeniør vil dosere en sving med svingradius R = 100m slik at en bil<br />
som kjører i 60 km/h skal kunne komme gjennom svingen uten skrens uansett hvor glatt det<br />
er.<br />
a) Hvor stor må helningsvinkelen innover i svingen (doseringsvinkelen) da være<br />
b) Mellom hvilke grenser må farten til en bil da være for å unngå å gli når friksjonstallet<br />
mellom bilhjul og veibane er µ = 0.20<br />
Løsning: Her må vi ta en figur til hjelp:<br />
a)<br />
Doseringsvinkelen er θ. Vårt første problem er å legge inn<br />
et fornuftig koordinatsystem for dekomponering av krefter.<br />
N cos θ N<br />
Siden bilen kjører i en horisontal sving, er sentripetalakselerasjonen<br />
rettet horisontalt innover i svingen. Da er det<br />
θ<br />
θ<br />
naturlig å dekomponere med en x-komponent horisontalt<br />
y<br />
inn mot svingens sentrum og en y-komponent vertikalt med<br />
retning oppover som vist på figuren.<br />
x<br />
N sin θ Legg merke til at det ikke er tegnet inn noen friksjonskrefter<br />
θ<br />
på figuren. Det innebærer at det kun er x-komponenten av<br />
normalkraften som gir sentripetalakselerasjon.<br />
G = mg<br />
I x-retningen får vi da:<br />
Nsinθ = m⋅ aN<br />
.<br />
I y-retningen får vi:<br />
N cosθ<br />
− mg = 0 ⇔<br />
mg<br />
N = .<br />
cosθ<br />
Så setter jeg uttrykket for N inn i likningen for sentripetalakselerasjon:<br />
1000 m<br />
m g<br />
( ) 2<br />
2 2<br />
sinθ<br />
m<br />
cosθ v<br />
v 60 ⋅<br />
3600s<br />
⇔ tanθ<br />
= = = 0.283<br />
R<br />
Rg 100 m ⋅9.81s<br />
⇔ θ = 15.8<br />
.<br />
b)<br />
N cos θ<br />
F f<br />
N<br />
θ<br />
θ<br />
N sin θ<br />
θ<br />
y<br />
G = mg<br />
x<br />
Nå er det ikke alle biler som kjører med nøyaktig 60 km/h<br />
gjennom svingen. Dersom bilen kjører saktere, må det være<br />
en friksjonskraft som hindrer bilen i å gli ned i den doserte<br />
veibanen. Vi får da den situasjonen som er vist på figuren til<br />
venstre, der bilen er erstattet av et massepunkt. Vi<br />
dekomponerer kreftene i x- og y-retning som før:<br />
x-retning: Nsinθ<br />
− Ff<br />
cosθ<br />
= m⋅ aN.<br />
y-retning: N cosθ<br />
+ Ff<br />
sinθ<br />
− mg = 0 .<br />
Vi ønsker å finne den minste farten v som bilen kan ha uten<br />
å gli ned doseringen. Da har friksjonskraften F<br />
f<br />
sin største<br />
verdi, som er<br />
Ff<br />
= µ N .<br />
Vi setter inn dette uttrykket i de dekomponerte<br />
kraftlikningene:<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>
Fysikk for ingeniører.<br />
<strong>3.</strong> <strong>Krefter</strong>. <strong>Newtons</strong> <strong>lov</strong>er. Side 3 - 24<br />
2<br />
v<br />
Nsinθ − µ Ncosθ = m⋅aN<br />
⇔ N( sinθ − µ cosθ)<br />
= m⋅ . R<br />
mg<br />
N cosθ + µ N sinθ − mg = 0 ⇔ N ( cosθ + µ sinθ)<br />
= mg ⇔ N =<br />
cosθ + µ sinθ<br />
Setter uttrykket for N inn i den første likningen:<br />
2 1<br />
m g ( sinθ − µ cosθ)<br />
v<br />
2 sinθ −µ cosθ cosθ<br />
tanθ −µ<br />
= m ⋅ ⇔ v = Rg ⋅ = Rg .<br />
1<br />
cosθ + µ sinθ<br />
R<br />
cosθ + µ sinθ cosθ<br />
1+<br />
µ tanθ<br />
Vi setter inn tall for å finne den minste farten bilen må ha for ikke å gli innover i den<br />
doserte svingen:<br />
v<br />
tanθ −µ<br />
tan15.8 −0.20<br />
1+ µ tanθ<br />
1+<br />
0.20 tan15.8<br />
<br />
2<br />
min<br />
= Rg = 100m ⋅ 9.81m/s<br />
= 8.8m/s .<br />
<br />
Hva er så den maksimale farten bilen kan ha for ikke å skrense ut av svingen Dersom<br />
bilen kjører fortere enn 60 km/h, må friksjonskraften virke innover i svingen for å gi et<br />
ekstra bidrag til sentripetalkraften. Når vi er på grensen til å gli, er som før F = µ N . En<br />
dekomponering av <strong>Newtons</strong> <strong>2.</strong> <strong>lov</strong> gir nå (kontroller!)<br />
2<br />
v<br />
Nsinθ + µ Ncosθ = m⋅aN<br />
⇔ N( sinθ + µ cosθ)<br />
= m⋅ . R<br />
mg<br />
N cosθ −µ N sinθ − mg = 0 ⇔ N ( cosθ − µ sinθ)<br />
= mg ⇔ N =<br />
cosθ − µ sinθ<br />
Setter uttrykket for N inn i den første likningen:<br />
2<br />
m g ( sinθ + µ cosθ)<br />
v<br />
2 sinθ + µ cosθ tanθ + µ<br />
= m ⋅ ⇔ v = Rg = Rg .<br />
cosθ − µ sinθ<br />
R<br />
cosθ −µ sinθ 1−µ tanθ<br />
Vi setter inn tall for å finne den største farten bilen må ha for ikke å gli utover i den<br />
doserte svingen:<br />
v<br />
tanθ + µ<br />
tan15.8 + 0.20<br />
1−<br />
µ tanθ<br />
1−<br />
0.20 tan15.8<br />
<br />
2<br />
max<br />
= Rg = 100m ⋅ 9.81m/s<br />
= 2<strong>2.</strong>4m/s .<br />
<br />
Omregning til km/h gir at farten må ligge mellom 31.7 km/h og 80.6 km/h for at en bil<br />
med friksjonstall mellom bilhjul og veibane på µ = 0.20 skal kunne kjøre gjennom den<br />
doserte svingen uten å gli.<br />
Det kan være nyttig å kontrollere formlene for minimal og maksimal fart ved å se på noen<br />
spesialtilfeller:<br />
• Dersom det ikke er friksjon slik at µ = 0 , blir<br />
vmin = vmax = Rg tanθ<br />
.<br />
Dette stemmer med det vi fant i del a) av eksemplet.<br />
• Dersom det ikke er noen dosering slik at θ = 0 , blir<br />
vmax<br />
= Rgµ .<br />
Dette stemmer med det vi fant i forrige eksempel.<br />
f<br />
Bjørn Davidsen, <strong>Universitetet</strong> i Tromsø. 201<strong>2.</strong>