Den komplekse eksponentialfunktion
Den komplekse eksponentialfunktion
Den komplekse eksponentialfunktion
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
Preben Alsholm<br />
11. februar 2008
De…nitionen<br />
I <strong>Den</strong> velkendte <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
x ! e x<br />
vil vi ofte ligesom i Maple give navnet exp. Vi har altså<br />
exp (x) = e x<br />
for alle x 2 R.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
De…nitionen<br />
I <strong>Den</strong> velkendte <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
x ! e x<br />
vil vi ofte ligesom i Maple give navnet exp. Vi har altså<br />
exp (x) = e x<br />
for alle x 2 R.<br />
I <strong>Den</strong>ne funktion har den fundamentale egenskab<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
exp (x + y) = exp (x) exp (y)<br />
eller anderledes skrevet e x +y = e x e y for alle x, y 2 R.
De…nitionen<br />
I <strong>Den</strong> velkendte <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
x ! e x<br />
vil vi ofte ligesom i Maple give navnet exp. Vi har altså<br />
exp (x) = e x<br />
for alle x 2 R.<br />
I <strong>Den</strong>ne funktion har den fundamentale egenskab<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
exp (x + y) = exp (x) exp (y)<br />
eller anderledes skrevet e x +y = e x e y for alle x, y 2 R.<br />
I Vi de…nerer nu<br />
exp (x + iy) = exp x (cos y + i sin y)<br />
eller anderledes skrevet<br />
gældende for alle x, y 2 R.<br />
e x +iy = e x (cos y + i sin y)
Egenskaber for exp<br />
I Tallet e x +iy har åbenbart modulus e x og argument y:<br />
<br />
e x +iy = e x arg e x +iy = y<br />
når x, y 2 R.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
Egenskaber for exp<br />
I Tallet e x +iy har åbenbart modulus e x og argument y:<br />
<br />
e x +iy = e x arg e x +iy = y<br />
når x, y 2 R.<br />
I For alle z 1 , z 2 2 C gælder<br />
exp (z 1 + z 2 ) = exp z 1 exp z 2<br />
eller anderledes skrevet e z 1+z 2<br />
= e z 1<br />
e z 2<br />
.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
Egenskaber for exp<br />
I Tallet e x +iy har åbenbart modulus e x og argument y:<br />
<br />
e x +iy = e x arg e x +iy = y<br />
når x, y 2 R.<br />
I For alle z 1 , z 2 2 C gælder<br />
exp (z 1 + z 2 ) = exp z 1 exp z 2<br />
eller anderledes skrevet e z 1+z 2<br />
= e z 1<br />
e z 2<br />
.<br />
I Bevis: Sæt z 1 = x 1 + iy 1 og z 2 = x 2 + iy 2 , så har vi:<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
je z 1<br />
e z 2<br />
j = je z 1<br />
j je z 2<br />
j = e x <br />
1+iy 1 e x <br />
2+iy 2 = e x 1<br />
e x 2<br />
= e x 1+x 2<br />
<br />
= e x 1+x 2 +i(y 1 +y 2 ) <br />
= e z 1 +z 2 arg (e z 1<br />
e z 2<br />
) = arg (e z 1<br />
) + arg (e z 2<br />
) = arg e x <br />
1+iy 1 + arg e<br />
x 2 +iy 2<br />
= y 1 + y 2 = arg<br />
e x 1+x 2 +i(y 1 +y 2 )<br />
= arg e z <br />
1+z 2<br />
Tallene e z 1+z 2<br />
og e z 1<br />
e z 2<br />
har altså samme modulus og<br />
samme argument. De er derfor ens.
Polær form<br />
I <strong>Den</strong> polære form for tallet a med modulus r og<br />
argument v blev sidste gang skrevet<br />
a = r (cos v + i sin v)<br />
<strong>Den</strong> vil i fremtiden blive skrevet således:<br />
a = r exp (iv) = re iv<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
Polær form<br />
I <strong>Den</strong> polære form for tallet a med modulus r og<br />
argument v blev sidste gang skrevet<br />
a = r (cos v + i sin v)<br />
<strong>Den</strong> vil i fremtiden blive skrevet således:<br />
a = r exp (iv) = re iv<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
I Eksempel. Vi …nder den polære form for tallet<br />
p<br />
3 i. Modulus er<br />
r p<br />
3<br />
2<br />
+ ( 1) 2 = 2 og et<br />
argument er<br />
p<br />
3<br />
5π<br />
6<br />
. Tegn! Så<br />
<br />
i = 2 exp<br />
i 5π 6<br />
<br />
= 2e i 5π 6
Polær form<br />
I <strong>Den</strong> polære form for tallet a med modulus r og<br />
argument v blev sidste gang skrevet<br />
a = r (cos v + i sin v)<br />
<strong>Den</strong> vil i fremtiden blive skrevet således:<br />
a = r exp (iv) = re iv<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
I Eksempel. Vi …nder den polære form for tallet<br />
p<br />
3 i. Modulus er<br />
r p<br />
3<br />
2<br />
+ ( 1) 2 = 2 og et<br />
argument er<br />
p<br />
3<br />
5π<br />
6<br />
. Tegn! Så<br />
<br />
i = 2 exp<br />
i 5π 6<br />
<br />
= 2e i 5π 6<br />
I Maple-worksheet til og med Eksempel 25.
Moivres formel<br />
I For n 2 N og x 2 R gælder<br />
(cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
Moivres formel<br />
I For n 2 N og x 2 R gælder<br />
(cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx<br />
I Bevis:<br />
(cos x + i sin x) n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
Moivres formel<br />
I For n 2 N og x 2 R gælder<br />
(cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx<br />
I Bevis:<br />
(cos x + i sin x) n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx<br />
I Eksempel.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re<br />
(cos x + i sin x) 3<br />
= Re cos 3 x + 3i cos 2 x sin x 3 cos x sin 2 x i sin 3 x <br />
= cos 3 x 3 cos x sin 2 x = cos 3 x 3 cos x 1 cos 2 x <br />
= 4 cos 3 x 3 cos x
Moivres formel<br />
I For n 2 N og x 2 R gælder<br />
(cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx<br />
I Bevis:<br />
(cos x + i sin x) n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx<br />
I Eksempel.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re<br />
(cos x + i sin x) 3<br />
= Re cos 3 x + 3i cos 2 x sin x 3 cos x sin 2 x i sin 3 x <br />
= cos 3 x 3 cos x sin 2 x = cos 3 x 3 cos x 1 cos 2 x <br />
= 4 cos 3 x 3 cos x<br />
I Ved ovenfor at erstatte Re med Im fås formlen<br />
sin 3x = 3 cos 2 x sin x sin 3 x<br />
= 3 1 sin 2 x sin x sin 3 x<br />
= 4 sin 3 x + 3 sin x
Moivres formel<br />
I For n 2 N og x 2 R gælder<br />
(cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx<br />
I Bevis:<br />
(cos x + i sin x) n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx<br />
I Eksempel.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re<br />
(cos x + i sin x) 3<br />
= Re cos 3 x + 3i cos 2 x sin x 3 cos x sin 2 x i sin 3 x <br />
= cos 3 x 3 cos x sin 2 x = cos 3 x 3 cos x 1 cos 2 x <br />
= 4 cos 3 x 3 cos x<br />
I Ved ovenfor at erstatte Re med Im fås formlen<br />
sin 3x = 3 cos 2 x sin x sin 3 x<br />
= 3 1 sin 2 x sin x sin 3 x<br />
= 4 sin 3 x + 3 sin x<br />
I Maple-worksheet Eksempel 27
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
I En binom ligning er en ligning af formen<br />
z n = a (1)<br />
hvor n 2 N og a 2 C. Ubekendt: z.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
I En binom ligning er en ligning af formen<br />
z n = a (1)<br />
hvor n 2 N og a 2 C. Ubekendt: z.<br />
I Vil …nde "samtlige <strong>komplekse</strong> n’te rødder af a". En<br />
kompleks n’te rod af a er et tal som opløftet til n’te<br />
giver a.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
I En binom ligning er en ligning af formen<br />
z n = a (1)<br />
hvor n 2 N og a 2 C. Ubekendt: z.<br />
I Vil …nde "samtlige <strong>komplekse</strong> n’te rødder af a". En<br />
kompleks n’te rod af a er et tal som opløftet til n’te<br />
giver a.<br />
I Formel. Rødderne i den binome ligning (1), hvor<br />
a = re iv , r 0, v 2 R, er givet ved<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
z = np re i( v n +p 2π n ) , p = 0, 1, 2, . . . , n 1
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
I En binom ligning er en ligning af formen<br />
z n = a (1)<br />
hvor n 2 N og a 2 C. Ubekendt: z.<br />
I Vil …nde "samtlige <strong>komplekse</strong> n’te rødder af a". En<br />
kompleks n’te rod af a er et tal som opløftet til n’te<br />
giver a.<br />
I Formel. Rødderne i den binome ligning (1), hvor<br />
a = re iv , r 0, v 2 R, er givet ved<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
z = np re i( v n +p 2π n ) , p = 0, 1, 2, . . . , n 1<br />
I Bevis: Sæt z = ρe i θ , med ρ 0 og θ 2 R. Ved<br />
indsættelse i (1) fås<br />
<br />
ρe i θ n<br />
= re iv og hermed ρ n e inθ = re iv<br />
De to sider af denne ligning er polære former af samme<br />
tal, så ρ n = r og nθ = v + p2π, hvor p 2 Z. Heraf<br />
følger formlen.
<strong>Den</strong> binome ligning, eksempler I<br />
I Ligningen z 5 = 32. Vi bruger formlen. Da 32 = 32e i0<br />
fås<br />
z = 5p 0<br />
32 exp i<br />
5 + p 2π <br />
= 2 exp ip 2π <br />
5<br />
5<br />
hvor p = 0, 1, 2, 3, 4. Rødderne er på polær form. <strong>Den</strong><br />
rektangulære er ikke så køn.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
<strong>Den</strong> binome ligning, eksempler I<br />
I Ligningen z 5 = 32. Vi bruger formlen. Da 32 = 32e i0<br />
fås<br />
z = 5p 0<br />
32 exp i<br />
5 + p 2π <br />
= 2 exp ip 2π <br />
5<br />
5<br />
hvor p = 0, 1, 2, 3, 4. Rødderne er på polær form. <strong>Den</strong><br />
rektangulære er ikke så køn.<br />
I Rødderne ligger jævnt fordelt på en cirkel med radius 2.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
<strong>Den</strong> binome ligning, eksempler I<br />
I Ligningen z 5 = 32. Vi bruger formlen. Da 32 = 32e i0<br />
fås<br />
z = 5p 0<br />
32 exp i<br />
5 + p 2π <br />
= 2 exp ip 2π <br />
5<br />
5<br />
hvor p = 0, 1, 2, 3, 4. Rødderne er på polær form. <strong>Den</strong><br />
rektangulære er ikke så køn.<br />
I Rødderne ligger jævnt fordelt på en cirkel med radius 2.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
I Se Maple-illustration.
<strong>Den</strong> binome ligning, eksempler I<br />
I Ligningen z 5 = 32. Vi bruger formlen. Da 32 = 32e i0<br />
fås<br />
z = 5p 0<br />
32 exp i<br />
5 + p 2π <br />
= 2 exp ip 2π <br />
5<br />
5<br />
hvor p = 0, 1, 2, 3, 4. Rødderne er på polær form. <strong>Den</strong><br />
rektangulære er ikke så køn.<br />
I Rødderne ligger jævnt fordelt på en cirkel med radius 2.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
I Se Maple-illustration.<br />
I Ligningen z 4 = 1 + i. Da 1 + i = p 2e i π 4<br />
z = 4 q p2<br />
exp<br />
i<br />
π<br />
4<br />
4 + p 2π 4<br />
<br />
fås<br />
= 8p π<br />
2 exp i<br />
16 + p π <br />
2<br />
hvor 0, 1, 2, 3. Rødderne er jævnt fordelt på en cirkel<br />
med radius 8p 2.
<strong>Den</strong> binome ligning, eksempler I<br />
I Ligningen z 5 = 32. Vi bruger formlen. Da 32 = 32e i0<br />
fås<br />
z = 5p 0<br />
32 exp i<br />
5 + p 2π <br />
= 2 exp ip 2π <br />
5<br />
5<br />
hvor p = 0, 1, 2, 3, 4. Rødderne er på polær form. <strong>Den</strong><br />
rektangulære er ikke så køn.<br />
I Rødderne ligger jævnt fordelt på en cirkel med radius 2.<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II<br />
I Se Maple-illustration.<br />
I Ligningen z 4 = 1 + i. Da 1 + i = p 2e i π 4<br />
z = 4 q p2<br />
exp<br />
i<br />
π<br />
4<br />
4 + p 2π 4<br />
<br />
fås<br />
= 8p π<br />
2 exp i<br />
16 + p π <br />
2<br />
hvor 0, 1, 2, 3. Rødderne er jævnt fordelt på en cirkel<br />
med radius 8p 2.<br />
I Se Maple-illustration.
<strong>Den</strong> binome ligning, eksempler II<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
I Ligningen z 3 = 125. Vi bruger formlen. Da<br />
125 = 125e i π fås<br />
z = 3p π<br />
125 exp i<br />
3 + p 2π π<br />
= 5 exp i<br />
3<br />
3 + p 2π <br />
3<br />
hvor p = 0, 1, 2. Hermed har vi rødderne på polær form.<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
<strong>Den</strong> binome ligning, eksempler II<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
I Ligningen z 3 = 125. Vi bruger formlen. Da<br />
125 = 125e i π fås<br />
z = 3p π<br />
125 exp i<br />
3 + p 2π π<br />
= 5 exp i<br />
3<br />
3 + p 2π <br />
3<br />
hvor p = 0, 1, 2. Hermed har vi rødderne på polær form.<br />
I <strong>Den</strong> rektangulære er for p = 1 simpelthen<br />
z 1 = 5e i π = 5.<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
<strong>Den</strong> binome ligning, eksempler II<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
I Ligningen z 3 = 125. Vi bruger formlen. Da<br />
125 = 125e i π fås<br />
z = 3p π<br />
125 exp i<br />
3 + p 2π π<br />
= 5 exp i<br />
3<br />
3 + p 2π <br />
3<br />
hvor p = 0, 1, 2. Hermed har vi rødderne på polær form.<br />
I <strong>Den</strong> rektangulære er for p = 1 simpelthen<br />
z 1 = 5e i π = 5.<br />
I For p = 0 fås<br />
z 0 = 5 exp i π <br />
3 = 5 cos<br />
π<br />
3 + i sin π <br />
3 =<br />
5<br />
2 + 5 2 ip 3.<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
<strong>Den</strong> binome ligning, eksempler II<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
I Ligningen z 3 = 125. Vi bruger formlen. Da<br />
125 = 125e i π fås<br />
z = 3p π<br />
125 exp i<br />
3 + p 2π π<br />
= 5 exp i<br />
3<br />
3 + p 2π <br />
3<br />
hvor p = 0, 1, 2. Hermed har vi rødderne på polær form.<br />
I <strong>Den</strong> rektangulære er for p = 1 simpelthen<br />
z 1 = 5e i π = 5.<br />
I For p = 0 fås<br />
z 0 = 5 exp i π <br />
3 = 5 cos<br />
π<br />
3 + i sin π 3<br />
I For p = 2 fås z 2 = 5 exp i<br />
5 exp i 5π 3<br />
= 5 cos<br />
5π<br />
3 + i sin 5π 3<br />
=<br />
5<br />
2 + 5 2 ip 3.<br />
π<br />
3 + 2 2π <br />
3 =<br />
=<br />
5 5<br />
2 2 ip 3.<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II
<strong>Den</strong> binome ligning, eksempler II<br />
Eksponentialfunktion<br />
Preben Alsholm<br />
I Ligningen z 3 = 125. Vi bruger formlen. Da<br />
125 = 125e i π fås<br />
z = 3p π<br />
125 exp i<br />
3 + p 2π π<br />
= 5 exp i<br />
3<br />
3 + p 2π <br />
3<br />
hvor p = 0, 1, 2. Hermed har vi rødderne på polær form.<br />
I <strong>Den</strong> rektangulære er for p = 1 simpelthen<br />
z 1 = 5e i π = 5.<br />
I For p = 0 fås<br />
z 0 = 5 exp i π <br />
3 = 5 cos<br />
π<br />
3 + i sin π 3<br />
I For p = 2 fås z 2 = 5 exp i<br />
= 5 cos<br />
5π<br />
3 + i sin 5π 3<br />
5 exp i 5π 3<br />
I Se Maple-illustration.<br />
=<br />
5<br />
2 + 5 2 ip 3.<br />
π<br />
3 + 2 2π <br />
3 =<br />
=<br />
5 5<br />
2 2 ip 3.<br />
<strong>Den</strong> <strong>komplekse</strong> <strong>eksponentialfunktion</strong><br />
De…nitionen<br />
Egenskaber for exp<br />
Polær form<br />
Moivres formel<br />
<strong>Den</strong> binome ligning<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler I<br />
<strong>Den</strong> binome ligning,<br />
eksempler II