Den komplekse eksponentialfunktion

Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
Preben Alsholm
11. februar 2008

De…nitionen
I Den velkendte eksponentialfunktion
x ! e x
vil vi ofte ligesom i Maple give navnet exp. Vi har altså
exp (x) = e x
for alle x 2 R.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

De…nitionen
I Den velkendte eksponentialfunktion
x ! e x
vil vi ofte ligesom i Maple give navnet exp. Vi har altså
exp (x) = e x
for alle x 2 R.
I Denne funktion har den fundamentale egenskab
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
exp (x + y) = exp (x) exp (y)
eller anderledes skrevet e x +y = e x e y for alle x, y 2 R.

De…nitionen
I Den velkendte eksponentialfunktion
x ! e x
vil vi ofte ligesom i Maple give navnet exp. Vi har altså
exp (x) = e x
for alle x 2 R.
I Denne funktion har den fundamentale egenskab
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
exp (x + y) = exp (x) exp (y)
eller anderledes skrevet e x +y = e x e y for alle x, y 2 R.
I Vi de…nerer nu
exp (x + iy) = exp x (cos y + i sin y)
eller anderledes skrevet
gældende for alle x, y 2 R.
e x +iy = e x (cos y + i sin y)

Egenskaber for exp
I Tallet e x +iy har åbenbart modulus e x og argument y:
e x +iy = e x arg e x +iy = y
når x, y 2 R.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Egenskaber for exp
I Tallet e x +iy har åbenbart modulus e x og argument y:
e x +iy = e x arg e x +iy = y
når x, y 2 R.
I For alle z 1 , z 2 2 C gælder
exp (z 1 + z 2 ) = exp z 1 exp z 2
eller anderledes skrevet e z 1+z 2
= e z 1
e z 2
.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Egenskaber for exp
I Tallet e x +iy har åbenbart modulus e x og argument y:
e x +iy = e x arg e x +iy = y
når x, y 2 R.
I For alle z 1 , z 2 2 C gælder
exp (z 1 + z 2 ) = exp z 1 exp z 2
eller anderledes skrevet e z 1+z 2
= e z 1
e z 2
.
I Bevis: Sæt z 1 = x 1 + iy 1 og z 2 = x 2 + iy 2 , så har vi:
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
je z 1
e z 2
j = je z 1
j je z 2
j = e x
1+iy 1 e x
2+iy 2 = e x 1
e x 2
= e x 1+x 2
= e x 1+x 2 +i(y 1 +y 2 )
= e z 1 +z 2 arg (e z 1
e z 2
) = arg (e z 1
) + arg (e z 2
) = arg e x
1+iy 1 + arg e
x 2 +iy 2
= y 1 + y 2 = arg
e x 1+x 2 +i(y 1 +y 2 )
= arg e z
1+z 2
Tallene e z 1+z 2
og e z 1
e z 2
har altså samme modulus og
samme argument. De er derfor ens.

Polær form
I Den polære form for tallet a med modulus r og
argument v blev sidste gang skrevet
a = r (cos v + i sin v)
Den vil i fremtiden blive skrevet således:
a = r exp (iv) = re iv
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Polær form
I Den polære form for tallet a med modulus r og
argument v blev sidste gang skrevet
a = r (cos v + i sin v)
Den vil i fremtiden blive skrevet således:
a = r exp (iv) = re iv
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
I Eksempel. Vi …nder den polære form for tallet
p
3 i. Modulus er
r p
3
2
+ ( 1) 2 = 2 og et
argument er
p
3
5π
6
. Tegn! Så
i = 2 exp
i 5π 6
= 2e i 5π 6

Polær form
I Den polære form for tallet a med modulus r og
argument v blev sidste gang skrevet
a = r (cos v + i sin v)
Den vil i fremtiden blive skrevet således:
a = r exp (iv) = re iv
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
I Eksempel. Vi …nder den polære form for tallet
p
3 i. Modulus er
r p
3
2
+ ( 1) 2 = 2 og et
argument er
p
3
5π
6
. Tegn! Så
i = 2 exp
i 5π 6
= 2e i 5π 6
I Maple-worksheet til og med Eksempel 25.

Moivres formel
I For n 2 N og x 2 R gælder
(cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Moivres formel
I For n 2 N og x 2 R gælder
(cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx
I Bevis:
(cos x + i sin x) n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Moivres formel
I For n 2 N og x 2 R gælder
(cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx
I Bevis:
(cos x + i sin x) n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx
I Eksempel.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re
(cos x + i sin x) 3
= Re cos 3 x + 3i cos 2 x sin x 3 cos x sin 2 x i sin 3 x
= cos 3 x 3 cos x sin 2 x = cos 3 x 3 cos x 1 cos 2 x
= 4 cos 3 x 3 cos x

Moivres formel
I For n 2 N og x 2 R gælder
(cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx
I Bevis:
(cos x + i sin x) n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx
I Eksempel.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re
(cos x + i sin x) 3
= Re cos 3 x + 3i cos 2 x sin x 3 cos x sin 2 x i sin 3 x
= cos 3 x 3 cos x sin 2 x = cos 3 x 3 cos x 1 cos 2 x
= 4 cos 3 x 3 cos x
I Ved ovenfor at erstatte Re med Im fås formlen
sin 3x = 3 cos 2 x sin x sin 3 x
= 3 1 sin 2 x sin x sin 3 x
= 4 sin 3 x + 3 sin x

Moivres formel
I For n 2 N og x 2 R gælder
(cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx
I Bevis:
(cos x + i sin x) n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx
I Eksempel.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re
(cos x + i sin x) 3
= Re cos 3 x + 3i cos 2 x sin x 3 cos x sin 2 x i sin 3 x
= cos 3 x 3 cos x sin 2 x = cos 3 x 3 cos x 1 cos 2 x
= 4 cos 3 x 3 cos x
I Ved ovenfor at erstatte Re med Im fås formlen
sin 3x = 3 cos 2 x sin x sin 3 x
= 3 1 sin 2 x sin x sin 3 x
= 4 sin 3 x + 3 sin x
I Maple-worksheet Eksempel 27

Den binome ligning
I En binom ligning er en ligning af formen
z n = a (1)
hvor n 2 N og a 2 C. Ubekendt: z.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Den binome ligning
I En binom ligning er en ligning af formen
z n = a (1)
hvor n 2 N og a 2 C. Ubekendt: z.
I Vil …nde "samtlige komplekse n’te rødder af a". En
kompleks n’te rod af a er et tal som opløftet til n’te
giver a.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Den binome ligning
I En binom ligning er en ligning af formen
z n = a (1)
hvor n 2 N og a 2 C. Ubekendt: z.
I Vil …nde "samtlige komplekse n’te rødder af a". En
kompleks n’te rod af a er et tal som opløftet til n’te
giver a.
I Formel. Rødderne i den binome ligning (1), hvor
a = re iv , r 0, v 2 R, er givet ved
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
z = np re i( v n +p 2π n ) , p = 0, 1, 2, . . . , n 1

Den binome ligning
I En binom ligning er en ligning af formen
z n = a (1)
hvor n 2 N og a 2 C. Ubekendt: z.
I Vil …nde "samtlige komplekse n’te rødder af a". En
kompleks n’te rod af a er et tal som opløftet til n’te
giver a.
I Formel. Rødderne i den binome ligning (1), hvor
a = re iv , r 0, v 2 R, er givet ved
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
z = np re i( v n +p 2π n ) , p = 0, 1, 2, . . . , n 1
I Bevis: Sæt z = ρe i θ , med ρ 0 og θ 2 R. Ved
indsættelse i (1) fås
ρe i θ n
= re iv og hermed ρ n e inθ = re iv
De to sider af denne ligning er polære former af samme
tal, så ρ n = r og nθ = v + p2π, hvor p 2 Z. Heraf
følger formlen.

Den binome ligning, eksempler I
I Ligningen z 5 = 32. Vi bruger formlen. Da 32 = 32e i0
fås
z = 5p 0
32 exp i
5 + p 2π
= 2 exp ip 2π
5
5
hvor p = 0, 1, 2, 3, 4. Rødderne er på polær form. Den
rektangulære er ikke så køn.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Den binome ligning, eksempler I
I Ligningen z 5 = 32. Vi bruger formlen. Da 32 = 32e i0
fås
z = 5p 0
32 exp i
5 + p 2π
= 2 exp ip 2π
5
5
hvor p = 0, 1, 2, 3, 4. Rødderne er på polær form. Den
rektangulære er ikke så køn.
I Rødderne ligger jævnt fordelt på en cirkel med radius 2.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Den binome ligning, eksempler I
I Ligningen z 5 = 32. Vi bruger formlen. Da 32 = 32e i0
fås
z = 5p 0
32 exp i
5 + p 2π
= 2 exp ip 2π
5
5
hvor p = 0, 1, 2, 3, 4. Rødderne er på polær form. Den
rektangulære er ikke så køn.
I Rødderne ligger jævnt fordelt på en cirkel med radius 2.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
I Se Maple-illustration.

Den binome ligning, eksempler I
I Ligningen z 5 = 32. Vi bruger formlen. Da 32 = 32e i0
fås
z = 5p 0
32 exp i
5 + p 2π
= 2 exp ip 2π
5
5
hvor p = 0, 1, 2, 3, 4. Rødderne er på polær form. Den
rektangulære er ikke så køn.
I Rødderne ligger jævnt fordelt på en cirkel med radius 2.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
I Se Maple-illustration.
I Ligningen z 4 = 1 + i. Da 1 + i = p 2e i π 4
z = 4 q p2
exp
i
π
4
4 + p 2π 4
fås
= 8p π
2 exp i
16 + p π
2
hvor 0, 1, 2, 3. Rødderne er jævnt fordelt på en cirkel
med radius 8p 2.

Den binome ligning, eksempler I
I Ligningen z 5 = 32. Vi bruger formlen. Da 32 = 32e i0
fås
z = 5p 0
32 exp i
5 + p 2π
= 2 exp ip 2π
5
5
hvor p = 0, 1, 2, 3, 4. Rødderne er på polær form. Den
rektangulære er ikke så køn.
I Rødderne ligger jævnt fordelt på en cirkel med radius 2.
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II
I Se Maple-illustration.
I Ligningen z 4 = 1 + i. Da 1 + i = p 2e i π 4
z = 4 q p2
exp
i
π
4
4 + p 2π 4
fås
= 8p π
2 exp i
16 + p π
2
hvor 0, 1, 2, 3. Rødderne er jævnt fordelt på en cirkel
med radius 8p 2.
I Se Maple-illustration.

Den binome ligning, eksempler II
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
I Ligningen z 3 = 125. Vi bruger formlen. Da
125 = 125e i π fås
z = 3p π
125 exp i
3 + p 2π π
= 5 exp i
3
3 + p 2π
3
hvor p = 0, 1, 2. Hermed har vi rødderne på polær form.
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Den binome ligning, eksempler II
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
I Ligningen z 3 = 125. Vi bruger formlen. Da
125 = 125e i π fås
z = 3p π
125 exp i
3 + p 2π π
= 5 exp i
3
3 + p 2π
3
hvor p = 0, 1, 2. Hermed har vi rødderne på polær form.
I Den rektangulære er for p = 1 simpelthen
z 1 = 5e i π = 5.
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Den binome ligning, eksempler II
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
I Ligningen z 3 = 125. Vi bruger formlen. Da
125 = 125e i π fås
z = 3p π
125 exp i
3 + p 2π π
= 5 exp i
3
3 + p 2π
3
hvor p = 0, 1, 2. Hermed har vi rødderne på polær form.
I Den rektangulære er for p = 1 simpelthen
z 1 = 5e i π = 5.
I For p = 0 fås
z 0 = 5 exp i π
3 = 5 cos
π
3 + i sin π
3 =
5
2 + 5 2 ip 3.
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Den binome ligning, eksempler II
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
I Ligningen z 3 = 125. Vi bruger formlen. Da
125 = 125e i π fås
z = 3p π
125 exp i
3 + p 2π π
= 5 exp i
3
3 + p 2π
3
hvor p = 0, 1, 2. Hermed har vi rødderne på polær form.
I Den rektangulære er for p = 1 simpelthen
z 1 = 5e i π = 5.
I For p = 0 fås
z 0 = 5 exp i π
3 = 5 cos
π
3 + i sin π 3
I For p = 2 fås z 2 = 5 exp i
5 exp i 5π 3
= 5 cos
5π
3 + i sin 5π 3
=
5
2 + 5 2 ip 3.
π
3 + 2 2π
3 =
=
5 5
2 2 ip 3.
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II

Den binome ligning, eksempler II
Eksponentialfunktion
Preben Alsholm
I Ligningen z 3 = 125. Vi bruger formlen. Da
125 = 125e i π fås
z = 3p π
125 exp i
3 + p 2π π
= 5 exp i
3
3 + p 2π
3
hvor p = 0, 1, 2. Hermed har vi rødderne på polær form.
I Den rektangulære er for p = 1 simpelthen
z 1 = 5e i π = 5.
I For p = 0 fås
z 0 = 5 exp i π
3 = 5 cos
π
3 + i sin π 3
I For p = 2 fås z 2 = 5 exp i
= 5 cos
5π
3 + i sin 5π 3
5 exp i 5π 3
I Se Maple-illustration.
=
5
2 + 5 2 ip 3.
π
3 + 2 2π
3 =
=
5 5
2 2 ip 3.
Den komplekse eksponentialfunktion
De…nitionen
Egenskaber for exp
Polær form
Moivres formel
Den binome ligning
Den binome ligning,
eksempler I
Den binome ligning,
eksempler II