Likninger og ulikheter - Cappelen Damm

4
Likninger og ulikheter
Mål
I dette kapitlet vil du få lære
. å løse likninger med parenteser og brøker
. å løse enkle likninger grafisk
. å løse to likninger med to ukjente – både grafisk og ved
regning
. å løse enkle ulikheter
. å kunne bruke likninger i problemløsing
2x +3< x +5

Å løse likninger
De to likningene
er jo egentlig like!
2x + 3 = 9
2x = 9 – 3
Hva mener Simen med at likningene er like
Likninger og ulikheter
Når vi løser likninger, kan vi bruke disse reglene:
Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet eller
variabeluttrykket på begge sider av likhetstegnet.
Vi kan multiplisere eller dividere alle leddene på begge
sider av likhetstegnet med det samme tallet eller
variabeluttrykket.
Vi kan løse likningen 2x + 3 = 9 slik:
2x +3=9
2x +3--3=9--3
2x =9--3
2x
2 = 6 2
x =3
Vi trekker fra 3 på begge sider.
Husk! Du kan
ikke multiplisere eller
dividere med 0!
142

Når vi sammenlikner likningene 2x + 3=9og2x =9--3, ser vi at tallet 3
har kommet over på høyre side og skiftet fortegn. Denne regelen gjelder for
alle likninger:
Regel
I en likning kan vi flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet
hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet.
Eksempel
Løs likningen og sett prøve på svaret.
4x -- 2 = 2x +6
Løsning
4x -- 2 = 2x +6
4x =2x +6+2
Vi flytter –2 over til høyre og skifter fortegn.
4x -- 2x ¼ 6+2
2x =8
2x
2 = 8 2
x =4
Vi flytter 2x over til venstre og skifter fortegn.
Vi dividerer alle ledd med 2.
Vi setter prøve på svaret x =4:
Venstre side:
4x -- 2
4 4--2
16 -- 2
14
Høyre side:
2x +6
2 4+6
8+6
14
Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. Løsningen x =4er
derfor riktig.
Likninger og ulikheter 143

Oppgaver
4.1 Løs likningene.
a) 5x -- 2 = 13 c) 3x -- 2 = 2x -- 5
b) 3x -- 1 = 11 d) 5x +1=2x +7
4.2 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a) x -- 2 = --2x + 1 c) 7x -- 5 = --2x +4
b) 4--x =5--2x d) 8 = --2x +4
4.3 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a) 3x -- 2 + x =2x + 10 c) 4,2x -- 1,0 = 11,6
b) 4 + x -- 2 = --x + 8 d) 1,7x + 0,2 = 0,7x + 0,8
Likninger med parenteser
Når vi skal løse likninger med parenteser, får vi bruk for de regnereglene vi
har lært i algebra. Vi går da fram i en bestemt rekkefølge.
Eksempel
Løs likningen.
Likninger og ulikheter
2ðx -- 1Þ +3=6--ðx -- 1Þ
Løsning
2ðx -- 1Þ +3=6--ðx -- 1Þ
2x --2+3=6--x +1
2x +1=7--x
2x + x =7--1
3x =6
3x
3 = 6 3
x =2
Vi utfører multiplikasjonen
og løser opp parentesen.
144

Oppgaver
4.4 Løs likningene.
a) 3x -- ð2x -- 1Þ = 7 c) 3ðx -- 1Þ =5--ðx -- 3Þ
b) 4x -- ð2x +4Þ = x -- 2 d) 4 -- ð3x +1Þ = ðx -- 3Þ +2
4.5 Løs likningene.
a) 3ðx +1Þ =2ðx +5Þ c) 8x -- ð4 --5xÞ =2ðx--1Þ
b) 4ð2x -- 4Þ =3ð3x -- 7Þ d) 2ðx -- 1Þ +4=2--ðx -- 2Þ
4.6 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a) 3x -- ðx +1Þ = x c) 4 -- ðx -- 2Þ =8--2x
b) ð2x -- 2Þ -- 3 = x -- 1 d) 2ðx -- 1Þ +3=4--ðx -- 9Þ
Likninger med brøker
Vi tenker oss at Simen har x kroner. Han bruker halvparten av pengene til en
kinobillett, og en tredel til bussen fram og tilbake til kinoen. Til sammen
bruker han 125 kr.
Fra filmen Harry Potter og ildbegeret
Halvparten av x er x 2 , og tredjeparten av x er x 3 .
Da kan vi sette opp denne likningen:
x
2 + x 3 = 125
Likninger og ulikheter 145

Når vi skal løse en slik likning, finner vi først fellesnevneren. Her er
fellesnevneren 6. Deretter multipliserer vi hvert ledd i likningen med
fellesnevneren.
x
2 + x 3 = 125
x 6
2 + x 6
3 = 125 6 Vi multipliserer hvert ledd med 6 og forkorter brøkene.
3x +2x = 750
5x = 750
5x
5 = 750
5
x = 150
Dette viser at Simen hadde 150 kr.
Regel
Når vi skal løse en likning med brøker, multipliserer vi hvert ledd i
likningen med fellesnevneren.
Eksempel
Likninger og ulikheter
Løs likningen.
2x
3 -- x 4 = x 6 + 1 4
Løsning
2x 12
3
2x
3 -- x 4 = x 6 + 1 4
-- x 12
4
= x 12
6
8x -- 3x =2x +3
8x -- 3x -- 2x =3
3x =3
3x
3 = 3 3
x =1
+ 1 12
4
Vi multipliserer hvert ledd
med fellesnevneren 12.
146

Oppgaver
4.7 Løs likningene.
a) x 2 +1=x 3
b) x 2 + 1 3 = 5 6
c) x 3 = x 4 + 1 6
4.8 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a) 3x
2
5x
= x -- 3 b)
4 + 1 2x
= x c)
2 7 + 5x
14 = 9 7
4.9 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a) 2x
5 + 3
10 = 3x
10 + 2 5
b) 3x
4 -- 2 3 = 5 3x
--
6 4
c) 1 3 + 1 x = 1 2
Noen ganger får vi bruk for å løse likninger som har flere ledd i tellerne. Da
kan vi gå fram slik eksempelet nedenfor viser.
Eksempel
Løs likningen.
x -- 2
3
-- x +3
4
=1
Løsning
12 ðx -- 2Þ
3
x -- 2
3
--
-- x +3
4
12 ðx +3Þ
4
=1
=12 1
4ðx -- 2Þ -- 3ðx +3Þ = 123
Vi multipliserer alle ledd
med fellesnevneren 12.
ð4x -- 8Þ -- ð3x +9Þ =12
4x -- 8 -- 3x -- 9 = 12
4x -- 3x =12+8+9
x =29
Likninger og ulikheter 147

Oppgaver
4.10 Løs likningene.
a) x -- 1
2
= x +2
4
b) x +1
3
+ x = x 2
+2 c)
x +1
3
+ x -- 1
5
= 6 5
Når vi setter
prøve, setter vi inn verdien av
x og regner ut venstre og høyre
side hver for seg.
Likninger og ulikheter
4.11 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a)
2x -- 1
2
b) x -- 1
3
c)
2x -- 1
6
-- x -- 2
3
= x +4
4
+ x =2-- x +1
2
+
3x -- 4
4
= x -- 1 3
4.12 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a)
x -- 1Þ
2
--
2ðx -- 2Þ
3
=-- x 4
2ðx -- 1Þ
b) =2-- x +1
3
2
c)
x -- 1Þ
6
+
3ðx -- 1Þ
4
=0
148

Problemløsing og likninger
Du er
dobbelt så gammel
som meg!
Ja, og så er vi
45 år til sammen!
Hvordan kan vi sette opp en likning for å finne ut hvor gamle Sara og
Fredrik er
Hvis Sara er x år, så er Fredrik 2x år. Til sammen er de 45 år. Da får vi denne
likningen:
x +2x =45
3x =45
3x
3 = 45 3
x =15
Sara er altså 15år, og Fredrik er 2 15 år = 30 år.
Noen ganger har vi oppgaver som vi ikke uten videre ser løsningen på. Det
kan for eksempel være problemer som vi ikke kan løse ved å sette tall inn i
formler. Da må vi sette oss godt inn i oppgaven, finne ut hva oppgaven går
ut på, og hva det er vi skal finne svar på. Da kan det være lurt å sette opp en
likning for å løse problemet.
Likninger og ulikheter 149

Eksempel
Martin kjøpte tre kinobilletter og godteri for 30 kr. Han betalte 270 kr.
Hvor mye kostet én kinobillett
Løsning
Én kinobillett koster x kr. Da koster tre kinobilletter 3x kr. Martin betaler
270 kr til sammen. Vi får denne likningen:
3x + 30 = 270
3x = 270 -- 30
3x = 240
3x
3 = 240
3
x =80
Én kinobillett koster 80 kr.
Oppgaver
Likninger og ulikheter
4.13 Lotte kjøper ny hodelykt og fire batterier. Hodelykta koster 850 kr.
Hun betaler 910 kr til sammen.
Sett opp en likning for å regne ut hvor mye ett batteri koster.
4.14 Simen selger aviser hver søndag. Han får 100 kr i fast lønn. I tillegg får
han 3,50 kr for hver avis han selger. En søndag tjente han 205 kr.
Hvor mange aviser solgte Simen den søndagen
150

4.15 Hanna, Herman og Sara diskuterer hvor mye penger de har igjen etter
ferien i Tyrkia. Hanna har dobbelt så mye som Sara, og Herman har tre
ganger så mye som Sara. De har 180 kr igjen til sammen.
Hvor mange kroner har de igjen etter ferien
Den blå moskeen i Istanbul
4.16 Tante Klara og onkel Karl er like gamle. Martin er 28 år yngre enn dem.
Til sammen er de 104 år.
Hvor gamle er tante Klara og onkel Karl
4.17 På engård er halvparten av
dyrene sauer, en seksdel er
hester, og resten er kyr.
Det er 12 kyr på gården.
Hvor mange dyr er det
på gården
Likninger og ulikheter 151

4.18 Lotte jogger noen turer hver uke. En uke jogget tre av vennene hennes
2 km lenger enn Lotte, og fire av vennene hennes 3 km kortere enn
Lotte. Til sammen jogget de 114 km.
Hvor mange kilometer jogget Lotte denne uka
4.19 Simen, Hanna og Herman har spart penger til ferien i Sørøst-Asia.
Hanna har spart 200 kr mer enn Simen, mens Herman har spart 100 kr
mindre. Simen bruker alle sparepengene, Hanna bruker halvparten av
sparepengene sine, og Herman bruker en tredel av sparepengene sine.
Til sammen bruker de 1900 kr.
Hvor mye sparepenger hadde Simen
Likninger og ulikheter
Baytontemplet i sentrum av Angkor Thom, Kambodsja.
152

Grafisk løsning av likninger
Vi kan finne
verdien av x ved å tegne grafen
til likningen!
Hvordan gjør vi det
2x = 9
Hvordan kan vi løse likningen 2x =9grafisk
Vi tegner først linja y = 2x. I tabellen har vi satt inn tre verdier for x:
x 0 2 4
y 0 4 8
Vi får denne grafen:
Å løse likningen 2x = 9 grafisk vil
si å finne den x-verdien på
førsteaksen som svarer til tallet 9
på andreaksen. Dermed er løsningen
her: x =4 1 2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
1 2 3 4 5 6 7
Likninger og ulikheter 153

Eksempel
Løs likningen x + 2 = 7 grafisk.
Løsning
Vi tegner linja y = x +2.
I tabellen har vi satt inn tre verdier for x.
x 0 2 4
y 2 4 6
Vi får denne grafen:
8
7
y
y = x + 2
6
5
4
3
Likninger og ulikheter
Når vi skal løse likningen x +2=7,går vi fra tallet 7 på andreaksen og
bort til grafen. Fra grafen leser vi av på førsteaksen. Vi får svaret x =5.
Løsningen på likningen x +2=7erx =5:
Oppgaver
4.20 Løs likningene grafisk.
a) x -- 1 = 7 b) 2x +1=5 c)--2x +3=1
4.21 Løs likningene grafisk og ved regning.
2
1
1 2 3 4 5
a) 3x -- 1 = 8 b) 2x +5=12 c)--x + 5 2 =4
x
154

4.22 Sara har et mobilabonnement til 200 kr per måned.
Hun må betale 1,50 kr for hver MMS-melding hun
sender. Hvis hun sender x MMS-meldinger, blir
prisen y i kroner:
y = 1,5x + 200
a) Hvor store blir utgiftene hvis Sara sender
70 SMS-meldinger
b) Finn grafisk hvor mange SMS-meldinger hun
kan sende for 380 kr.
4.23 Løs likningene grafisk og ved regning.
a) --2x -- 5 3 =1 b)--3 2 x +1=5 2
Grafisk løsing av likninger ved hjelp av to grafer
Når vi skal løse grafisk en likning som har en ukjent på begge sider av
likhetstegnet, må vi tegne to linjer.
Eksempel
Løs likningen
x +2=2x -- 3 grafisk.
7
6
y
Løsning
Vi tegner linja y = x +2
og linja y =2x -- 3 i det
samme koordinatsystemet:
5
4
y = x + 2
y = 2x – 3
3
Linjene skjærer hverandre
i et punkt som har
førstekoordinaten x =5.
I dette skjæringspunktet
har y = x +2og
y =2x -- 3 samme verdi.
2
1
1 2 3 4 5 6
x
Løsningen på likningen
x +2=2x -- 3 er derfor:
x =5
–1
–2
–3
Likninger og ulikheter 155

Oppgaver
4.24 Løs likningene grafisk.
a) 2x -- 1 = x +2
b) x -- 3 = 3x +1
c) x +1=2x -- 1
d) 1 x -- 1 = --x +3
2
4.25 Løs likningene grafisk og ved regning.
a) 2x -- 1 = --x +2
b) --2x +5=x -- 2
c) 2x = x -- 4
d) 3 2 x -- 1 = -- 1 2 x +4
Likninger og ulikheter
4.26 Martin har et mobilabonnement til 200 kr per måned. Han må betale
1,50 kr for hver MMS-melding han sender. Lotte har ingen fast avgift,
men må betale 2,50 kr for hver MMS-melding.
Hvis de sender x meldinger, må Martin betale 1,50x + 200, mens Lotte
må betale 2,50x.
a) Hvor mye må Martin og Lotte betale hvis de begge sender
120 MMS-meldinger
b) Finn grafisk hvor mange meldinger de må sende for at de skal betale
like mye.
156

To likninger med to ukjente
Jeg er fire år eldre
enn deg, Hanna!
Ja, og så er vi
34 år til sammen.
Hvordan kan vi finne alderen til Morten og Hanna ved å bruke likning
Morten er fire år eldre enn Hanna. De er 34 år til sammen. Hvis vi kaller
alderen til Morten for y og alderen til Hanna for x, får vi denne likningen:
y = x +4
Denne likningen har mange løsninger:
x = 13, y =17
x = 14, y =18
x = 15, y =19
Osv.
Regel
En likning med to ukjente har mange løsninger.
Vi kan altså ikke finne alderen til Morten og Hanna med bare én likning. Men
når vi vet at Morten og Hanna er 34 år til sammen, kan vi undersøke om noen
av de løsningene som står ovenfor passer til dette.
Likninger og ulikheter 157

Vi kan sette opp en ny likning:
x + y =34
Vi har nå to likninger med to ukjente. Slike likningssett kan vi løse.
y = x +4
x + y =34
Regel
Å løse to likninger med to ukjente vil si å finne verdier for de ukjente
som passer i begge likningene.
I den første likningen er y uttrykt med x: y = x +4
Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen:
Likninger og ulikheter
x + y =34
x + x +4=34
2x +4=34
2x =30
2x
2 = 30
2
x =15
Vi setter denne verdien for x inn i uttrykket for y.
y = x +4=15+4=19
Likningssettet
I y = x +4
II x + y =34
har dermed løsningen x =15ogy =19:
Hanna er 15 år gammel, og Fredrik er 19 år gammel.
Vi setter ofte
romertall foran likningene
i et likningssett.
158

Eksempel
Løs likningssettet ved regning.
Sett prøve på svaret.
I x +2y =5
II 3x -- y =8
Løsning
Vi finner et uttrykk for x i den første likningen.
I x +2y =5
x =5--2y
Nå setter vi dette uttrykket for x
inn i den andre likningen.
II 3x -- y =8
3ð5 --2yÞ -- y =8
Vi setter inn (5 – 2y) i stedet for x.
15 -- 6y -- y =8
--6y -- y =8--15
--7y =--7
--7y
--7 = --7
--7
y =1
Til slutt setter vi y = 1 inn i uttrykket for x.
x =5--2y
=5--2 1
=5--2
=3
Løsningen er x =3ogy =1:
Likninger og ulikheter 159

Vi setter prøve på begge likningene:
I Venstre side: Høyre side:
x +2y
3+2 1
3+2
5
5
II Venstre side: Høyre side:
3x -- y
3 3--1
9--1
8
8
Løsningen passer i begge likningene.
x =3ogy = 1 er riktig løsning på likningssettet.
Oppgaver
Likninger og ulikheter
4.27 Finn tre løsninger på likningene.
a) x + y =15 b)x -- y = 7 c) 2x -- 3y =1
4.28 Løs likningssettene.
a) y = x +3 c)x + y =5
x + y =11 2x +3y =11
b) x +2y = 5 d) 2x + y =7
3x -- y =1 y -- x =1
4.29 Løs likningssettene og sett prøve på svaret.
a) x + y = 3 c) 3x -- 3y =3
2x + y =4 2x +2y =6
b) 2x +4y =6 d)y =2x +3
3x -- 2y =1 y =--3x -- 2
4.30 Simen og Lisa er 28 år til sammen. Simen er to år eldre enn Lisa.
Sett opp to likninger, og bruk disse til å finne ut hvor gamle Simen og
Lisa er.
160

4.31 Lotte kjøper fire kort og to penner. Hun betaler 44 kr til sammen.
Simen kjøper fem kort og en penn. Han betaler 37 kr til sammen.
Hvor mye koster kortene og pennene per stk.
Grafisk løsning av likningssett
Sara kjøper en bolle og en flaske brus. Hun betaler 17 kr til sammen.
Hvis bollene koster x kr per stk. og brusen y kr per flaske, får vi likningen:
x + y =17
Vi finner et uttrykk for y:
y =--x +17
Martin kjøper 4 boller og 2
flasker brus. Han betaler 44 kr til
sammen.
Da får vi denne likningen:
4x +2y =44
Vi finner et uttrykk for y:
4x +2y =44
2y =--4x +44
y =--2x +22
Vi lager tabeller og tegner linjene i et koordinatsystem:
I y =--x +17
x 0 5 4
x 17 15 13
II y =--2x +22
x 0 2 4
y 22 18 14
Likninger og ulikheter 161

Løsningen på likningssettet
I x + y =17
II 4x +2y =44
er altså x =5ogy = 12.
Brus
y (kr)
22
20
18
En bolle koster 5 kr,
og en flaske brus
koster 12 kr.
16
14
12
10
y = –x + 17
8
6
4
y = –2x + 22
2
Likninger og ulikheter
Eksempel
Løs likningssettet grafisk.
I --2x + y =1
II y + x =4
Løsning
Vi finner y i likning I:
--2x + y =1
y =2x +1
Vi finner y i likning II:
y + x =4
y =--x +4
2 4 6 8 10
x (kr)
Bolle
162

Vi regner ut verdier for y når x =0,x =2ogx =4.
I y =2x +1
x 0 2 4
y 1 5 9
10
9
y
II y =--x +4
x 0 2 4
y 4 2 0
8
7
6
y = –2x + 1
5
4
3
Løsningen er x =1
og y =3:
2
1
y = –x + 4
1 2 3 4 5
x
Oppgaver
4.32 Løs likningssettene grafisk.
a) y = x -- 3 c) y =2x
y =--2x +6 y =--x +6
b) y =--x +5 d)y =--2x
y = x +1 y =3x -- 5
4.33 Løs likningssettene grafisk og ved regning.
a) x +2y = 4 c) 2x + y =6
x + y =3 --2x +2y =3
b) 3x + y =2 d)--x +2y =4
5x + y =4 2x +4y =4
Likninger og ulikheter 163

4.34 Hanna kjøper 2 pølser og 3 flasker brus. Hun betaler 84 kr til sammen.
Herman kjøper 4 pølser og 2 flasker brus. Han betaler 96 kr til sammen.
En pølse koster x kr, og en flaske brus koster y kr.
a) Sett opp to likninger med to ukjente ut fra opplysningene ovenfor.
b) Løs likningene grafisk.
c) Hvor mye koster en pølse, og hvor mye koster en flaske brus
Likninger og ulikheter
4.35 Hanna og Herman har forskjellig abonnement på mobiltelefonene sine.
Hanna betaler fast 200 kr per måned i tillegg til 0,90 kr per melding.
Herman betaler fast 100 kr per måned i tillegg til 1,90 kr per melding.
En måned betalte de like mye. De sendte x meldinger hver, og de
betalte y kr hver.
a) Sett opp to likninger med to ukjente ut fra opplysningene ovenfor.
b) Løs likningene grafisk.
c) Hvor mange meldinger sendte de, og hvor mye betalte de til
sammen
4.36 Løs likningssettene grafisk og ved regning.
a) 2y = x +3 b)--x + y =2
y +2x =4 2y =9x +9
164

Ulikheter
På Vang skole var det 239 elever i juni. Da skolen begynte igjen etter
ferien, var det flere enn 250 elever på skolen.
Hvor mange elever hadde kommet i tillegg etter ferien
Når vi setter opp en likning, har vi ett uttrykk på hver side av likhetstegnet
som har samme verdi. I eksempelet over kan vi ikke sette opp en likning, for
vi vet ikke nøyaktig hvor mange elever som hadde kommet i tillegg. Vi vet
bare at det hadde blitt flere enn 250 elever til sammen.
Det var 239 elever på skolen før ferien. Vi sier at det har kommet x elever i
tillegg, slik at det til sammen blir flere enn 250 elever. Da kan vi sette opp
ulikheten:
x + 239 > 250
Vi flytter 239 over på høyre side og skifter samtidig fortegn:
x > 250 – 239
x > 11
Det vil si at det har kommet flere enn 11 elever i tillegg etter ferien.
Likninger og ulikheter 165

Regel
I en ulikhet kan vi flytte et ledd over på motsatt side av ulikhetstegnet
hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet.
Eksempel
Løs ulikheten:
2x +3< x +5
Løsning
2x +3< x +5
2x < x +5--3
2x -- x < 2
x < 2
På Vang skole er det nå flere enn 250 elever. Det er 10 grupper på skolen.
Hvor mange elever er det i gjennomsnitt per gruppe
Likninger og ulikheter
Vi sier at det er x elever i gjennomsnitt per gruppe. Da er det 10x elever til
sammen på skolen. Vi får denne ulikheten:
10x > 250
Vi dividerer på begge sider av ulikheten med 10:
10x
10 > 250
10
x > 25
Det betyr at det er flere enn 25 elever i gjennomsnitt per gruppe på skolen.
Vi kan kontrollere at det stemmer:
10 grupper med 25 elever i hver gruppe blir 10 25 elever = 250 elever. Hvis
det er flere enn 25 elever i hver gruppe, blir det flere enn 250 elever til
sammen på skolen.
166

Regel
I en ulikhet kan vi dividere med et positivt tall på begge sider av
ulikhetstegnet.
> betyr
større enn, < betyr
Oppgaver
mindre enn!
4.37 Løs ulikhetene.
a) x +4> 7
b) x +10> 15
c) x -- 4 < 13
d) x -- 9 < 21
4.38 Løs ulikhetene.
a) 2x +4> x +7
b) 3x -- 7 > 2x +1
c) 4x -- 4 < 3x -- 3
d) 3x +2x +2< 12 + 4x
4.39 Løs ulikhetene.
a) 3x +2> x +10 c)4x -- 9 < x -- 3
b) 4x -- 7 > 2x + 1 d) 3x +2x +2< 12 + x
4.40 Martin skal på skoletur. Han vil ha mer enn 500 kr i lommepenger, men
ennå har han bare 420 kr. Det Martin trenger i tillegg, setter vi lik x kr.
a) Sett opp en ulikhet ut fra opplysningene ovenfor.
b) Løs ulikheten.
Likninger og ulikheter 167

4.41 Simen betaler 150 kr i fast abonnement
per måned på mobiltelefonen sin. I
tillegg betaler han 0,40 kr per SMSmelding
han sender. En måned hadde
han brukt mer enn 330 kr.
a) Sett opp en ulikhet som du kan bruke
for å finne ut hvor mange SMSmeldinger
Simen hadde sendt denne
måneden.
b) Hvor mange meldinger hadde
han sendt
4.42 Broren til Lotte betaler 150 kr i fast abonnement per måned på
mobiltelefonen sin. I tillegg betaler han 0,90 kr per MMS-melding han
sender. Moren til Lotte betaler 50 kr i fast abonnement per måned,
men må betale 1,40 kr per MMS-melding hun sender.
a) Sett opp en ulikhet som viser hvor mange meldinger de har sendt
for at regningen til moren til Lotte skal bli større enn regningen
til broren.
b) Løs ulikheten og finn ut hvor mange meldinger de har sendt.
Likninger og ulikheter
Mer om ulikheter
I regelen på s. 171 står det at vi kan dividere med et positivt tall på begge
sider av en ulikhet.
Hva skjer hvis vi dividerer med et negativt tall på begge sider av en ulikhet
Vi vet at
--10 < --2
Vi dividerer med – 2 på begge sider av ulikhetstegnet:
--10
--2 < --2
--2
5 2
168

Regel
Hvis vi dividerer med et negativt tall på begge sider av en ulikhet, må vi
samtidig snu ulikhetstegnet.
Eksempel
Løs ulikheten.
--2x +2< 8
Løsning
--2x +2< 8
--2x < 8--2
--2x < 6
--2x
--2 > 6
--2
x > --3
Vi snur ulikhetstegnet.
Oppgaver
4.43 Løs ulikhetene.
a) --2x > --6 c) --2x +1< 9
b) --3x > 12 d) --4x -- 2 < 14
4.44 Løs ulikhetene.
a) x -- 2 > 3x + 6 c) --2x +1< x -- 5
b) --5x +3> --2x +6 d)x < 3x -- 4
4.45 Herman har 750 kr. Han bruker 120 kr per uke.
Etter hvor mange uker har Herman mindre enn
30 kr igjen
Bruk en ulikhet når du løser oppgaven.
Likninger og ulikheter 169

Omforming av formler
Vi kan
regne ut volumet av et
prisme ved å bruke formelen
V = G h:
Men da er jo
G = V h !
Likninger og ulikheter
Hvordan kan vi lage en ny formel av en annen formel
Vi kan bruke en formel til å lage en ny formel. Da bruker vi regnereglene for
likninger.
Hvis volumet av et prisme er V, grunnflaten G og høyden h, såer
V = G h
Vi dividerer med h på begge sider av likhetstegnet:
V
h = G h
h
V
h = G
G = V h
Vi bytter plass på de to sidene i formelen.
Grunnflaten er volumet dividert på høyden.
170

Eksempel
Formelen for omkretsen O av en sirkel er
O =2r
r
der O er omkretsen og r er radien i sirkelen.
a) Finn en formel for r.
b) Regn ut radien når omkretsen er 15,6 cm.
Løsning
a) O =2r
O
2 = 2r
2
O
2 = r
r = O 2
b) Vi bruker den formelen vi har funnet for r:
r = O 2 = 15,6
2 3,14 2,5
Radien er ca. 2,5 cm.
Oppgaver
4.46 Formelen U = R I gir sammenhengen
mellom elektrisk spenning U målt i volt,
motstand R målt i ohm og strømstyrke I
målt i ampere.
a) Finn en formel for R uttrykt ved
U og I.
b) Bruk formelen til å regne ut
motstanden R når spenningen
er 220 volt og strømstyrken
er 20 ampere.
Likninger og ulikheter 171

4.47 Formelen for arealet A av
et rektangel er
A = l b
2 cm
der A er arealet, l er lengden
og b er bredden av rektangelet.
5 cm
a) Finn en formel for b uttrykt ved A og l.
b) Bruk formelen til å regne ut bredden når arealet er 25,2 cm 2 og
lengden er 5,6 cm.
4.48 Formelen for arealet A av
en trekant er
C
A = g h
z
h
der A er arealet, g er grunnlinja
og h er høyden i trekanten.
A
g
B
Likninger og ulikheter
a) Finn en formel for g uttrykt ved A og h.
b) Bruk formelen til å regne ut grunnlinja når arealet er 42 cm 2 og
høyden er 14 cm.
4.49 Faren til Simen betaler 150 kr i fast abonnement per måned på
mobiltelefonen sin. I tillegg betaler han 0,90 kr per tekstmelding han
sender. Hvis han sender x tekstmeldinger, blir prisen P:
P = 0,90x + 150
a) Finn en formel for x uttrykt ved prisen P.
b) Bruk formelen til å finne hvor mange tekstmeldinger han kan sende
for 285 kr.
4.50 Formelen for arealet A av en sirkel er
A = r 2
der A er arealet og r er radius i sirkelen.
a) Finn en formel for r uttrykt ved arealet A.
b) Bruk formelen til å finne radien når arealet er 78,5 cm 2 .
172

Prøv deg selv
1 Løs likningene og sett prøve.
a) 3x -- 1 = 8 b) 4x +3=2x +9
2 Løs likningene og sett prøve.
a) 2ðx -- 1Þ -- 2 = x +5
b) 3ðx -- 2Þ -- ðx -- 1Þ = x +1
3 Løs likningene og sett prøve.
a) 5x
2 =2x +3 b)x 4 -- 2 3 ==x 6 +1
4 Herman, Lotte og Sara sammenlikner hvor mye penger de har på
slutten av uka. Herman har 100 kr mer enn Sara, mens Lotte har
dobbelt så mye som Sara.
Sett opp en likning for å regne ut hvor mye penger hver av dem har.
5 Løs likningen grafisk.
2x -- 1 = 4
6 Løs likningssettet og sett prøve.
I y -- x =--1
II 2y +2x =8
7 Løs likningssettet grafisk.
I 6x +2y =4
II y =--5x +4
Likninger og ulikheter 173

8 Løs ulikheten.
5x -- 3 < 9--x
9 Løs ulikheten.
2x +3> 4x -- 1
10 Formelen for volumet V av en pyramide er
V = G h
3
der V er volumet, G er grunnflaten og h er høyden i pyramiden.
h
G
Likninger og ulikheter
a) Finn en formel for h uttrykt ved V og G.
b) Bruk formelen til å regne ut høyden når volumet er 175,5 cm 3 og
arealet av grunnflaten er 81 cm 2 .
174

Noe å lure på
1 To flaggstenger, en på 30 m og en på 15 m står plassert som vist på
figuren. Hvor høyt over bakken møtes de to diagonalene
2 Lærer L. Ur satte opp denne likningen på tavla:
2x -- 3 = 4x -- 6 -- 2x +3
Læreren sa: «I denne likningen er løsningen både x =1,x =10og
x = 1000. Forresten er det uendelig mange løsninger på likningen.»
Undersøk om læreren har rett og begrunn svaret ditt.
Likninger og ulikheter 175

3 Hanna og Simen skal løse et likningssett med to ukjente.
Likningssettet er:
I 2x -- y =5
II 4x =2y +10
Hanna påstår at det er umulig
å løse likningssettet.
Har Hanna rett, og hva er
isåfall grunnen til det
4 Hvordan kan du vise på en
graf løsningen til ulikheten:
2x -- 3 > 3 2
Likninger og ulikheter
5 En mann spurte Pytagoras
hvor mange elever han
hadde. Pytagoras svarte:
«Halvparten av elevene mine
studerer matematikk, firedelen
studerer fysikk, og
sjudelen lærer å tie stille.
Dessuten har jeg tre små
gutter til å hjelpe til.»
Hvor mange elever hadde
Pytagoras
Pythagoras fra Crotana av
J. Augustus Knapp, 1928
176

Oppsummering
Å løse likninger
I en likning kan vi flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis
vi samtidig skifter fortegn på leddet.
Vi kan dividere med det samme tallet på begge sider av likningen.
2x -- 1 = 7
2x =7+1
2x =8
2x
2 = 8 2
x =4
Når vi skal løse en likning med brøk, multipliserer vi hvert ledd i likningen
med fellesnevneren.
2x 12
3
2x
3 -- x 4 = x 6 + 1 4
-- x 12 = x 12
4 6
8x -- 3x =2x +3
8x -- 3x -- 2x =3
3x =3
3x
3 = 3 3
x =
+ 1 12
4
Her er fellesnevneren 12.
7
y
Grafisk løsing av likninger
Vi løser likningen x +2=2x -- 3 grafisk
ved å tegne linjene y = x +2og
y =2x -- 3 i det samme
koordinatsystemet.
Førstekoordinaten til skjæringspunktet
gir løsningen.
6
5
4
3
y = x + 2
y = 2x – 3
Løsningen er x =5.
2
1
1 2 3 4 5
x
Likninger og ulikheter 177

To likninger med to ukjente
Å løse to likninger med to ukjente vil si å finne verdier for de ukjente som
passer i begge likningene.
Løsning av likningssett ved regning:
I 2x + y =7
II y -- x =1
II y = x +1
Vi finner et uttrykk for en av de
ukjente fra en av likningene.
I 2x + x +1=7
3x =6
x =2
II y = x +1=2+1
y =3
Vi setter dette uttrykket inn i den
andre likningen og løser denne.
Vi finner verdien av den andre ukjente.
x =2ogy =3
Grafisk løsning av likningssett:
Likninger og ulikheter
I 2x + y =7
II y -- x =1
I y =--2x +7
II y = x +1
Vi tegner til slutt de to linjene i det
samme koordinatsystemet og leser
av koordinatene til skjæringspunktet.
Løsningen er:
x =2ogy =3
Vi uttrykker y ved hjelp av x i begge likningene.
7
6
5
4
3
2
1
y
y = x + 1
y = –2x + 7
178
1 2 3 4
x

Ulikheter
I en ulikhet kan vi flytte et ledd over på motsatt side av ulikhetstegnet hvis vi
samtidig skifter fortegn på leddet.
2x -- 3 < 7
2x < 7+3
2x < 10
x < 5
Vi kan dividere med positive tall på begge sider av ulikhetstegnet.
3x > 12
3x
3 > 12 3
x > 4
Vi kan dividere med negative tall på begge sider av ulikhetstegnet hvis vi
samtidig snur ulikhetstegnet.
--3x > 12
--3x
--3 < 12
--3
x < --4
Omforming av formler
Vi kan bruke en formel til å lage en ny formel.
Formelen for omkretsen O av et kvadrat er O =4s, der s er siden i kvadratet.
Vi kan lage en formel for s:
O =4s
O
4 = 4s
4
O
4 = s
s = O 4
Likninger og ulikheter 179