En kort note om Cobb-Douglas nyttefunktioner [ ]
En kort note om Cobb-Douglas nyttefunktioner [ ]
En kort note om Cobb-Douglas nyttefunktioner [ ]
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>En</strong> <strong>kort</strong> <strong>note</strong> <strong>om</strong> <strong>Cobb</strong>-<strong>Douglas</strong> <strong>nyttefunktioner</strong><br />
N.B. Denne <strong>note</strong> er ikke pensum og er bare tænkt s<strong>om</strong> en opsummering af nogle af de resultater, vi<br />
har udledt til øvelsestimerne i de forskellige opgaver. Dette er første udgave. Hvis I finder fejl,<br />
mangler eller uklarheder, må I meget gerne sige/skrive det til mig hurtigst muligt, og så vil jeg rette<br />
det til og lægge det ud på hjemmesiden.<br />
<strong>Cobb</strong>-<strong>Douglas</strong> er en af de mest almindelige <strong>nyttefunktioner</strong>. Generelt skrives den sådan:<br />
u x x x<br />
c x d<br />
1<br />
,<br />
2<br />
)<br />
1 2<br />
( = , c > 0 , d > 0<br />
<strong>Cobb</strong>-<strong>Douglas</strong> funktioner er populære, da de har mange ”pæne” egenskaber, s<strong>om</strong> vi ofte gerne vil<br />
antage, at præferencer har. Fx er <strong>Cobb</strong>-<strong>Douglas</strong> præferencer altid monotone og konvekse.<br />
Når vi har <strong>Cobb</strong>-<strong>Douglas</strong> præferencer, kender vi også løsningen til forbrugerens problem på<br />
forhånd:<br />
x<br />
*<br />
1<br />
c m<br />
= , x<br />
c + d p<br />
1<br />
*<br />
2<br />
d<br />
=<br />
c + d<br />
m<br />
p<br />
(Dette kan fx vises ved at opstille tangeringsbetingelsen.)<br />
2<br />
Ved en monton transformation, kan vi sørge for at potenserne summerer til en:<br />
c d<br />
+<br />
v ( x1 , x2<br />
) =<br />
1 2<br />
)<br />
1 2<br />
Hvis vi definerer<br />
v(<br />
x1 , x2<br />
)<br />
1<br />
c d c d<br />
[ ] c d<br />
+<br />
u(<br />
x , x + = x x<br />
= x a x<br />
1<br />
1−a<br />
2<br />
c<br />
a ≡ kan vi skrive funktionen s<strong>om</strong><br />
c + d<br />
s<strong>om</strong> naturligvis repræsenterer de samme præferencer s<strong>om</strong> u x 1,<br />
x ) .<br />
Løsningen er dermed<br />
* *<br />
⎛ m m ⎞<br />
( x =<br />
⎜ −<br />
⎟<br />
1<br />
, x2<br />
) a ,(1 a)<br />
.<br />
⎝ p1<br />
p2<br />
⎠<br />
(<br />
2<br />
Nu har potenserne en dejlig nem fortolkning: a er andelen af indk<strong>om</strong>st brugt på x 1 og (1-a) er<br />
andelen af indk<strong>om</strong>st brugt på x 2 . (Fx er andelen af indk<strong>om</strong>st på vare 1 =<br />
p x<br />
m<br />
p<br />
m<br />
1 1 1 m<br />
= ( a p<br />
) = a .)<br />
1
Hvis vi ser nemmere på den generelle løsning for <strong>Cobb</strong>-<strong>Douglas</strong> præferencer, er der nog le andre<br />
egenskaber, der kan <strong>note</strong>res:<br />
• For givne priser er efterspørgslen<br />
en lineær funktion af indk<strong>om</strong>st, m.<br />
Dette betyder, at hvis vi ganger m<br />
med et positivt tal t, vil<br />
efterspørgslen blive t gange så<br />
stor. Dette medfører, at<br />
ekspansionsvejen (inc<strong>om</strong>e offer<br />
curve) er en ret linie igennem<br />
origo.<br />
• Af de samme årsager er<br />
<strong>En</strong>gelkurven også en ret linie<br />
igennem origo.<br />
• Efterspørgselsfunktionen for den<br />
ene vare er ikke funktion af prisen<br />
på den anden vare (fx er x * 1<br />
ikke<br />
x 2<br />
∆p 1 > 0<br />
afhængig af prisen på v are 2). Det<br />
betyder, at varerne hverken er<br />
k<strong>om</strong>plementer eller substitutter.<br />
Grafisk betyder det, at<br />
*<br />
x 2<br />
offerkurve<br />
offerkurven er vandret for<br />
ændringer i p<br />
1<br />
og lodret for<br />
ændringer i p<br />
2<br />
.<br />
*<br />
x 1<br />
'<br />
m<br />
p 1<br />
'<br />
*<br />
x 1<br />
m<br />
p 1<br />
x 1<br />
Der findes også <strong>Cobb</strong>-<strong>Douglas</strong> produktionsfunktioner: Se især Varian kapitel 19 (appendix).<br />
Paul Sharp<br />
23. november 2003