Kort om potenssammenhænge - Matematik i gymnasiet og hf
Kort om potenssammenhænge - Matematik i gymnasiet og hf Kort om potenssammenhænge - Matematik i gymnasiet og hf
2. Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. x-aksen og y-aksen er inddelt på en speciel måde. Man siger at de er logaritmiske skalaer. Hvis akserne blev fortsat nedad, så ville vi se at alle tallene er positive. Der er hverken 0 eller negative tal. Advarsel: Antallet af delestreger mellem to hele tal er ikke det samme alle steder på akserne. Koordinatsystemet er dobbeltlogaritmisk fordi både x-aksen og y-aksen er logaritmiske. −0,73 Den skrå linje er graf for y = 68 ⋅ x . I et sædvanligt koordinatsystem er denne graf en krum kurve. Grafen for en potenssammenhæng er en ret linje når vi tegner den i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. For ingen andre sammenhænge er grafen en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. 3. Potensligning En ligning af følgende type (hvor x er opløftet til en potens) (3.1) b⋅ x a = c har løsningen a (3.2) x = c b 3,5 Vi vil løse ligningen 1,6 ⋅x = 8, 2 Metode 1: Vi bruger elektronisk ligningsløser 3,5 Vi taster ligningen 1,6 ⋅x = 8, 2 og får den løst mht. x for x > 0 og får x = 1, 59503 . Løsningen er x = 1, 6 Metode 2: Vi bruger formel (3.2) 3,5 3,5 8,2 1,6 Ligningen 1,6 ⋅x = 8, 2 har løsningen x = = 1, 59503 . Løsningen er x = 1, 6 Metode 3: Vi omskriver ligningen 1,6 ⋅x x x 3,5 = 3,5 = 3,5 = 8,2 8,2 1,6 8,2 1,6 x = 1,59503 Løsningen er x = 1, 6 Kort om potenssammenhænge Side 2 2011 Karsten Juul
4. Sådan vokser potenssammenhænge. Sætning Bevis Om en potenssammenhæng a y = b⋅x gælder for et positivt tal k: Hver gang x bliver ganget med k , så bliver y ganget med k a . Vi starter med en tilfældig x-værdi: x 1 Vi ganger x 1 med k og får en en ny x-værdi: x2 = k ⋅ x1 y-værdierne som hører til x 1 og x 2 kalder vi y 1 og y 2 Opgave y 2 a b⋅ x 2 = da y 2 er y-værdien hørende til x-værdien x 2 for a = b ⋅ ( k ⋅ x1 ) da x2 = k ⋅ x1 a b ⋅ k a ⋅x1 = ifølge potensreglen a a k ⋅ b ⋅ x1 ( a ⋅ b) = da vi blot har byttet om på rækkefølgen = k a ⋅ for y 1 a y1 b ⋅ x1 Der gælder altså at vi får y 2 når vi ganger y 1 med Det var dette vi skulle bevise. 1,6 r = a r ⋅ b = da y 1 er y-værdien hørende til x 1 a k . Et dyr vokser sådan at y = 2,7 ⋅ x hvor y er vægten i gram, og x er længden i cm. Når dyret er blevet 40 % længere, hvor mange procent tungere er det så blevet Metode 1 som IKKE bruger sætningen ovenfor Vi kan f.eks. starte med længden 1 : Når x = 1 er y = 2,7 ⋅1 = 2, 7 Længden der er 40 % længere end 1 , er 1 ⋅ 1,40 = 1, 40 . 1,6 Når x = 1, 40 er y = 2,7 ⋅1,40 = 4, 6256 Vi regner ud hvor mange procent vægten 4 , 6256 er større end vægten 2 , 7 : 1,9256 4 ,6256 − 2,7 = 1,9256 = 0,713185 = 71,3185% 2,7 Dyret bliver 71 % tungere når det bliver 40 % længere. 1,6 r y = b⋅x a Metode 2 som bruger sætningen ovenfor At x bliver 40 % større, er det samme som at x bliver ganget med 1 , 40 . Når x bliver ganget med 1 , 40 , så bliver y ganget med 1,6 1,40 = 1,71319 At y bliver ganget med 1 , 71319 , er det samme som at y bliver 71 ,319% større. Bemærk at vi IKKE sætter 1,40 ind i ligningen. Vi bruger eksponenten fra ligningen. Dyret bliver 71 % tungere når det bliver 40 % længere. Kort om potenssammenhænge Side 3 2011 Karsten Juul
- Page 1 and 2: Kort om Potenssammenhænge 2011 Kar
- Page 3: 1. Ligning og graf for potenssammen
- Page 7 and 8: 6. Potensregression. Opgave De mål
- Page 9 and 10: 8. Omvendt proportionale variable.
2. Dobbeltl<strong>og</strong>aritmisk koordinatsystem.<br />
x-aksen <strong>og</strong> y-aksen er inddelt på en speciel måde.<br />
Man siger at de er l<strong>og</strong>aritmiske skalaer.<br />
Hvis akserne blev fortsat nedad, så ville vi se<br />
at alle tallene er positive. Der er hverken 0 eller<br />
negative tal.<br />
Advarsel: Antallet af delestreger mellem to hele tal<br />
er ikke det samme alle steder på akserne.<br />
Koordinatsystemet er dobbeltl<strong>og</strong>aritmisk fordi<br />
både x-aksen <strong>og</strong> y-aksen er l<strong>og</strong>aritmiske.<br />
−0,73<br />
Den skrå linje er graf for y = 68 ⋅ x .<br />
I et sædvanligt koordinatsystem er denne graf en<br />
krum kurve.<br />
Grafen for en potenssammenhæng er en<br />
ret linje når vi tegner den i et dobbeltl<strong>og</strong>aritmisk<br />
koordinatsystem. For ingen andre sammenhænge<br />
er grafen en ret linje i et dobbeltl<strong>og</strong>aritmisk<br />
koordinatsystem.<br />
3. Potensligning<br />
En ligning af følgende type (hvor x er opløftet til en potens)<br />
(3.1) b⋅<br />
x<br />
a = c<br />
har løsningen<br />
a<br />
(3.2) x =<br />
c<br />
b<br />
3,5<br />
Vi vil løse ligningen 1,6 ⋅x = 8, 2<br />
Metode 1: Vi bruger elektronisk ligningsløser<br />
3,5<br />
Vi taster ligningen 1,6 ⋅x = 8, 2 <strong>og</strong> får den løst mht. x for x > 0 <strong>og</strong> får x = 1, 59503 .<br />
Løsningen er x = 1, 6<br />
Metode 2: Vi bruger formel (3.2)<br />
3,5<br />
3,5 8,2<br />
1,6<br />
Ligningen 1,6 ⋅x = 8, 2 har løsningen x = = 1, 59503 . Løsningen er x = 1, 6<br />
Metode 3: Vi <strong>om</strong>skriver ligningen<br />
1,6 ⋅x<br />
x<br />
x<br />
3,5<br />
=<br />
3,5<br />
=<br />
3,5<br />
= 8,2<br />
8,2<br />
1,6<br />
8,2<br />
1,6<br />
x = 1,59503 Løsningen er x = 1, 6<br />
<strong>Kort</strong> <strong>om</strong> potenssammenhænge Side 2 2011 Karsten Juul
Change language