Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning ∗

Konstruksjon og bruk av rutenett i
perspektivtegning ∗
Gert Monstad Hana
Sammendrag
Teksten tar for seg hvordan å lage et perspektivisk bilde av kvadratiske
rutenett. Bildet av slike rutenett kan være til stor hjelp når en skal lage
perspektiviske tegninger. De forteller nemlig hvor bildet av en gjenstand
vil være dersom vi kjenner gjenstandens plassering i forhold til
rutenettet. Det blir gitt eksempel på hvordan rutenett og plantegninger
kan brukes til å lage en perspektivtegning.
1 Konstruksjon av bildet av et vannrett kvadratisk
rutenett med et forsvinningspunkt
Dette er det enkleste tilfellet. Siden det er et forsvinningspunkt vil linjene
i det kvadratiske rutenettet enten være parallelle med grunnlinjen
eller de vil være perpendikulære til grunnlinjen. Linjene som går vekk
fra betrakteren vil da ha hovedpunktet som forsvinningspunkt. Diagonalene
i det kvadratiske rutenettet som går fra venstre mot høyre er alle
parallelle med hverandre. Det perspektiviske bildet av disse linjene vil
derfor ha et felles forsvinningspunkt. Dette forsvinningspunktet ligger
på horisontlinjen siden diagonalene er vannrette. Som vi så tidligere
vil dette forsvinningspunktet være et av distansepunktene.
Avsnittet over forteller oss faktisk alt vi trenger for å forstå og
gjennomføre konstruksjonen. Vi vil først gjennomføre konstruksjonen
i tilfelle hvor fremste linje i rutenettet er grunnlinjen i bildet. Velg
hovedpunkt (H) og distansepunkt (D) på horisontlinjen. Sett av ønsket
antall punkter med fast avstand mellom dem på grunnlinjen. Som
et eksempel vil vi lage et perspektivisk bilde av et 6 x 6 kvadratisk
rutenett.
∗ Versjon av 25. november 2009. Denne teksten er et utdrag fra en tekst om perspektivtegning
som jeg holder på å arbeide med. Utdraget greier mer eller mindre å stå på
egne ben, selv om enkelte ord og uttrykk som benyttes kan være ukjente da de er presentert
tidligere i teksten. For å forstå alle argumentene, må en kjenne til distansepunkt og
distansepunktkonstruksjonen. Kort fortalt er distansepunktet forsvinningspunktet til de
linjene som står 45 ◦ på billedplanet. Ikke la deg skremme av det første avsnittet som er
ganske teknisk dersom du ikke er vant med terminologien - fortsett å lese og gå tilbake
til det i etterkant. Teksten er fortsatt under bearbeiding og den er ikke skikkelig korrekturlest,
så det vil nok være noen feil her og der. Ta kontakt (gmh@hib.no) dersom du har
kommentarer.
1

Neste punkt er å tegne opp linjestykkene mellom hovedpunktet og
punktene på grunnlinjen.
2

For å nne bildet av hjørnene i rutenettet trekker vi opp bildet av
diagonalene. Det er faktisk nok å trekke opp en diagonal dersom vi
trekker opp den diagonalen som går fra punktet på grunnlinjen som er
lengst vekke fra distansepunktet.
Siden de resterende linjestykkene i rutenettet er parallelle med
grunnlinjen kan vi tegne de opp gjennom skjæringspunktene til bildet
av diagonalen.
3

Nå har vi alt vi trenger, så det er bare å fullføre guren. Vi ser
at dersom vi trekker opp de andre diagonalene, så går alle disse mot
distansepunktene (sjekk dette).
Konstruksjonen her er gammel og velkjent. Figur 1 viser samme
konstruksjon i de Vries lærebok. Der er diagonalene til begge distansepunktene
trukket opp.
Vi har nå laget et perspektivisk bilde av et vannrett kvadratisk
rutenett i tilfellet hvor den fremste siden i rutenettet er grunnlinjen.
I dette tilfellett blir det kvadratiske rutenettet seende ut som et gulv.
For å lage perspektiviske bilder av tilsvarende rutenett hvor den fremste
siden i rutenettet ikke er grunnlinjen kan vi bruke akkurat samme
4

Figur 1: Plansje 2 i de Vries, Perspective (1604).
5

(a) Under horisontlinjen
(b) Over horisontlinjen
Figur 2: Forskjellige plasseringer av fremre side i rutenettet
(a) Tilstrekkelige opplysninger
(b) Ferdig rutenett
Figur 3: Rutenett hvor fremre side i rutenettet ikke er horisontal
fremgangsmåte, bare at vi nå først må nne ellers bestemme den fremste
siden i rutenettet. To eksempler på dette er vist i gur 2. I gur
2 b) er den fremste siden i rutenettet høyere enn horisontlinjen. Da
ser rutenettet ut som et tak.
Samme fremgangsmåte kan brukes til å lage et vilkårlig perspektiviske
rutenett med et forsvinningspunkt. Da vil ene siden i alle kvadratene
være parallell med billedaten. For å tegne rutenettet trenger vi bare å
kjenne bildet til den siden i rutenettet som er parallell med billedaten
og to punkter til på billedaten. Et av disse punktene (P) er forsvinningspunktet
til de sidene i kvadratene som går vekk fra betrakteren.
Det andre (Q) er forsvinningspunktet til en diagonal. Et eksempel vises
i gur 3.
Bildet i gur 4 viser et bilde av et rutenettmønster i en hage. Dersom
vi forlenger alle sidekantene, får vi gur 5. Vi ser at vi i teorien kan
fortsette rutenettet så langt vi ønsker ved å tegne inn ere linjer. Siden
rutenettet bare har et forsvinningspunkt, må forsvinningspunktet også
være hovedpunktet.
I gur 6 er også diagonalene tegnet inn og forlenget. Disse møtes
som ventet i to forsvinningspunkt, et på hver side av hovedpunktet.
6

Figur 4: Bilde fra en hage med rutenettmønster. Foto: lragerich
(http://www.flickr.com/photos/lrargerich/2944465915/)
Figur 5: Bilde av rutenett med et forsvinningspunkt.
Disse forsvinningspunktene blir distansepunktene til bildet. De ligger
også i samme høyde på bildet som hovedpunktet. De ligger da på horisontlinjen.
Dette er akkurat som ventet ettersom rutemønsteret er
vannrett.
7

Figur 6: Bilde av rutenett med diagonaler og forsvinningspunkt.
2 Konstruksjon av bildet av et loddrett rutenett
når bildet av et kvadratisk rutenett er gitt
Metoden som ble brukt over kan også brukes til å tegne et loddrett
rutenett. Men dersom vi allerede har tegnet et kvadratisk rutenett
nnes det en raskere metode. Denne metoden bygger på at bildet av
en loddrett linje også er en loddrett linje.
Vi starter med 6 x 6 rutenettet som ble konstruert over. Vi vil lage
et 5 x 6 loddrett rutenett på venstre side av dette. Vi starter med å
tegne en loddrett linje gjennom nedre venstre hjørnet i rutenettet vårt
(normalen til grunnlinjen gjennom nedre venstre hjørne). På denne
setter vi av punkter med fast avstand i mellom dem.
8

Sidene i det loddrette rutenettet vil enten være loddrette eller vannrette.
De vannrette sidene vil ha hovedpunktet som forsvinningspunkt.
Vi trekker derfor opp linjestykkene fra punktene på den loddrette linjen
til hovedpunktet.
De loddrette sidene i rutenettet vil starte ved hjørnepunktene på
den venstre siden av det vannrette rutenettet. Vi trekker derfor opp de
loddrette linjene som går gjennom disse punktene.
9

Skjæringspunktene vi da får er hjørner i bildet av det loddrette
rutenettet. Så nå er det bare å fullføre rutenettet.
Dersom vi hadde trukket opp diagonalene i det loddrette rutenettet
ville vi sett at disse har forsvinningspunkt på den loddrette linjen gjennom
hovedpunktet. Avstanden mellom hovedpunktet og disse forsvinningspunktene
er det samme som avstanden mellom hovedpunktet og
distansepunktet (hvorfor).
10

3 Å bruke rutenettet til å plassere gjenstander
i riktig høyde i en perspektivtegning
For å plassere gjenstander ved hjelp av et rutenett er det tre ting vi
må ha i tankene:
A.1 Alle rutene i perspektivtegningen representerer ruter som er like
store i virkeligheten.
A.2 Bildet av loddrette linjer er loddrette.
A.3 Hvis en vannrett rute i den perspektiviske tegningen har sin horisontale
sidelengde lik x, så vil en loddrett rute i den perspektiviske
tegningen med hjørne i samme reelle posisjon også ha
vertikal sidelengde lik x.
Dette kan illustreres gjennom gur 7. Her er det tegnet inn det horisontale
rutenettet og deler av mulige loddrette rutenett. Fra punktet
Q ønsker vi å nne punktet R som er bildet av et punkt som ligger 8
rutelengder loddrett ovenfor det punktet som har Q som bilde. I kapittelet
om distansepunktkonstruksjonen så vi på en måte å nne R på
ved å sette av en normal på grunnlinjen. Fra guren ser vi at Vignola
har gjort det samme i høyre billedkant. Men guren til Vignola viser
også en annen måte å nne R på. Vi tenker oss at bare det vannrette
rutenettet er tegnet inn. Fra punktet Q vil vi nne R. Fra A.2 ser vi
at R må ligge på den loddrette linjen som går gjennom Q. Ved å kombinere
A.1 og A.3 ser vi at avstanden fra Q til R er den samme som
avstanden fra Q og 8 rutelengder horisontalt mot venstre. Vi kan derfor
sette passerspissen i Q, den andre enden i P som ligger 8 rutelengder
horisontalt mot venstre fra Q og slå sirkelbuen. Der hvor sirkelbuen
treer den loddrette linjen gjennom Q ligger R.
Dette ble en tungvint beskrivelse for et prinsipp som er ganske
enkelt å anvende. La oss ta et par eksempler fra de Vries bok Perspective
(1604) for å illustrere det bedre. Først hans plansje 14 (gur
8). Vi skal se nærmere på den rektangulære inngjerdingen i midten
av rommet. La oss tenke oss at inngjerdingen ikke er tegnet enda og
vi ønsker å gjøre dette (for enkelhetsskyld beskriver jeg bare den ytre
rammen - den indre blir tilsvarende). For å benytte oss av rutenettet
må vi vite dimensjonene til inngjerdingen. Denne er tre ruter bred, re
ruter dyp og en rute høy. Når vi vet dette er det greit å plassere den
korrekt på tegningen. Vi merker av de fremre nedre hjørnene med tre
horisontale rutelengders avstand. Så nner vi de bakre nedre hjørnene
ved å teller re ruter "innover"i tegningen. Siden inngjerdingen er en
rute høy kan vi nne de øvre hjørnene ved å gå en virtuell rutelengde
vertikalt oppover fra alle de nedre hjørnene. 1
Det samme er gjort i den noe mer avanserte plansje 18 (gur 9).
Her er bordet tre ruter høyt og benken er litt over en rute høy. Denne
1 Ser vi på den ferdige tegningen til de Vries så ser det ut som om høyden er større
enn en rutelengde på baken. Dette er et synsbedrag som skyldes at vi prøver å tolke den
todimensjonale tegningen som tredimensjonal. Dersom en måler på tegningen vil en se at
høyden er akkurat like stor som den horisontale rutelengden på samme plass i bildet.
11

Figur 7: Figuren er fra Jacopo Barozzi Vignolas Le due regole della prosppettiva
(1583)
12

Figur 8: Plansje 14 i de Vries, Perspective (1604).
13

plansjen får leseren studere nærmere selv.
Se også GeoGebra-arbeidsarket: http://home.hib.no/ansatte/
gmh/geogebra/perspektiv/distansepunktkonstruksjon4.html.
4 Å lage perspektivtegning med bruk av
plantegninger og rutenett
Vi så nettopp hvordan å plassere bildet av et punkt dersom vi har
tegnet inn et rutenett. I denne delen skal vi gjøre noe helt tilsvarende,
bare at vi nå går ut i fra at vi har plantegninger av det vi vil tegne.
En plantegning er en ortogrask projeksjon. 2 Ved en ortogrask
projeksjon nner vi bildet av punkt som følger: gitt et punkt P i rommet,
så vil dette bli avbildet på punktet i planet P' som ligger nærmest
P. Da vil linjestykket PP' være ortogonalt (altså perpendikulært eller
vinkelrett) på planet. Se gur 10 og 11.
Det går faktisk an å se på plantegninger som en type perspektivtegning.
Dersom vi tenker oss en perspektivtegning med øyepunktet
uendelig langt vekke fra billedplanet, slik at øyepunktet ligger i den
retningen som er ortogonal på billedplanet, så vil perspektivtegningen
være det samme som en ortogonal projeksjon på billedplanet. Dette fordi
at alle synsstrålene vil være parallelle og ortogonale på billedplanet.
Se gur 12.
Ortogrask projeksjon blir brukt både i arkitektur (plantegninger
til hus) og i kart. Plantegninger til hus er velkjent (se gur 13). Alle
kart over områder som er så små at vi kan se på jorden som at er
også tilnærmet gitt ved en ortogrask projeksjon. For kart over større
områder er det umulig å unngå distorsjon - det er umulig å få både
vinkler og lengder til å samsvare med tilsvarende vinkler og lengder
på sfæren - ettersom kartet er en plan representasjon av jordsfæren.
Forskjellige typer projeksjon vil være hensiktsmessig, for slike kart,
alt etter situasjonen, og av og til blir ortogrask projeksjon brukt (et
eksempel er vist i gur 14).
Som et eksempel skal vi tegne et rektangulært prisme som er re
ruter høyt, re ruter bredt og tre ruter dypt. For å gjøre konstruksjonen
lettere å følge har jeg valgt å gjøre prismet fargerikt: venstre
(og høyre) sideate er blå, fremre sideate er rød og toppen er grønn.
Plantegninger forfra, ovenfra og fra høyre følger i gur 15-17. Alt etter
hva vi ønsker å tegne trenger vi plantegninger fra forskjellige sider. I
dette tilfellet her får vi nok informasjon til å fullføre tegningen med
de tre plantegningene under. I andre, mer kompliserte, tilfeller kan det
2 I ordet ortogonal er oρθoς (ortos - gresk for rett) satt sammen med γωνια (gonia -
betyr nå vinkel, men opprinnelig kne (så polygon betyr bokstavelig mange knær)). Ordet
ortogonal brukes nå om to geometriske gurer (f. eks. linje og plan) som står vinkelrett
på hverandre. En projeksjon er en gjengivelse av et romlig gur på en plan ate. Etymologisk
henspeiler ordet projeksjon på skyggene som kastes på en ate (denne betydningen
nner vi igjen i ordet projektor - maskiner som projiserer et bilde på et lerett). En ortogrask
projeksjon er en gjengivelse av en romlig gur på en plan ate slik at punkter
blir yttet til aten gjennom linjer som står vinkelrett på aten.
14

Figur 9: Plansje 18 i de Vries, Perspective (1604).
15

Figur 10: Eksempel på ortogrask projeksjon. Vi starter med et plan i rommet
som resten av rommet skal projiseres på. Punktet P projiseres (avbildes)
på P', som ligger i dette planet, slik at linjestykket PP' står ortogonalt
(vinkelrett) på planet.
Figur 11: Et prisme avbildet ved ortogrask projeksjon. Bildet av prismet
avhenger av hvilken orientering planet det avbildes på har.
16

Figur 12: Ortogrask projeksjon sett på som en perspektivtegning med
øyepunktet uendelig langt borte. Da blir linjene PP', QQ' og RR' synsstråler.
Figur 13: Plantegning av et hus. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/
commons/9/9a/Sample_Floorplan.jpg
17

Figur 14: Ortogrask projeksjon av jorden sentrert over Nordpolen.http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/
Orthographic_Projection_Polar_North.jpg
18

Figur 15: Prisme forfra
Figur 16: Prisme ovenfra
hende vi trenger ere plantegninger (ekstra plantegninger i tilfellet her
vil være plantegninger nedenfra eller fra venstre). 3
Vi kan nå skissere plantegningene på vegger og gulv i rutenettet
vårt. Plantegningen fra høyre kommer på venstre vegg (gur 18).
Plantegningen ovenfra kommer på gulvet. Plantegningen forfra kommer
på bakre vegg. Og tilsvarende for andre plantegninger. Grunnen
til at vi gjør det på denne måten er at vi nesten uansett gur vil trenge
plantegning forfra og for å slippe en uoversiktlig gur med ere rutenett
oppå hverandre er det greiest å skissere denne plantegningen på bakre
vegg.
For å nne det perspektiviske bildet av prismet trenger vi nå en
del hjelpelinjer. Det perspektiviske bildet P' av et punkt P som er
avbildet ved plantegning til punktet P på venstre (eller høyre) vegg vil
ligge på den horisontale linjen i perspektivtegningen som går gjennom
P. Tilsvarende vil det perspektiviske bildet P' av et punkt P som er
3 Dersom vi tenker oss gjenstandene som gjennomsiktige er det alltid nok med plantegninger
forfra og ovenfra.
19

Figur 17: Prisme fra høyre side
Figur 18: Plantegninger skissert i rutenettet
20

Figur 19: Omriss gitt av plantegningene
avbildet ved plantegning til punktet P på gulv (eller tak) ligge på
den vertikale linjen i perspektivtegningen som går gjennom P. Og det
perspektiviske bildet P' av et punkt P som er avbildet ved plantegning
til punktet P på bakre vegg vil ligge på strålen fra hovedpunktet
gjennom P. Vi tegner så inn disse linjene for strategisk valgte punkter
på plantegningene (gur 19).
Vi har nå nok perspektiviske bilder av punkter på prismet til å
tegne inn prismet (gur 20).
Vi har faktisk "overødig"informasjon. Vi hadde fått nok informasjon
til å tegne inn prismet selv om vi ikke hadde tatt med strålene
fra hovedpunktet (se gur 21). Tilsvarende kunne vi i stedet for å
droppe strålene ha droppet de vertikale eller horisontale hjelpelinjene.
I praksis vil gurene bli svært uoversiktlige med alle disse hjelpelinjene,
spesielt når en skal tegne mer kompliserte gurer enn prismet
som er tegnet inn her. I tillegg vil en jo gjerne unngå alle hjelpelinjene
på den ferdige tegningen. En måte å unngå dette på er ved å
bruke to linjaler og nne ut hvor disse skjærer uten å faktisk tegne opp
hjelpelinjene.
Til slutt kan vi pusse litt på tegningen og ferdigstille den (gur 22).
5 Rutenett med to forsvinningspunkt
For et rutenett med to forsvinningspunkt vil ingen av sidekantene i
rutenettet være parallelle med grunnlinjen. Som et eksempel skal vi
lage en perspektivtegning av et 5 x 5 rutenett. 4 Et omriss av dette er
gitt i gur 23.
4 Se også GeoGebra-arbeidsarket: http://home.hib.no/ansatte/
gmh/geogebra/perspektiv/RutenettToForsvinningspkt.html.
21

Figur 20: Prismet gitt av plantegningene
Figur 21: Prismet gitt av plantegningene ovenfra og fra høyre
22

Figur 22: Ferdig prisme
Figur 23: Omriss av et 5 x 5 rutenett
23

For å lage perspektivtegning er det nok å kjenne til plasseringen
av horisontlinjen og det perspektiviske bildet til de to fremre, ytre
sidekantene av rutenettet. 5
Vi starter med å tegne en linje m' parallell med grunnlinjen gjennom
det fremre punktet i rutenett (denne linjen er også parallell med
horisontlinjen). Denne linjen svarer til linjen m i gur 23. Det neste
vi gjør er å nne forsvinningspunktene F og G til de to sidekantene i
rutenettet som vi kjenner til (dette er forsvinningspunktene til linjene
a og l i gur 23).
5 Vi skal etterpå nne ut hvor hovedpunktet og distansepunktene må være plassert.
24

Linjene a, b, c, d, e, og f er parallelle, så bildet av de vil ha samme
forsvinningspunkt F. Vi kjenner da til to punkter som bildet f' av f går
i gjennom og kan tegne inn f' på guren.
I tillegg, siden linjene a, b, c, d, e og f er parallelle og ligger med
jevn avstand fra hverandre, vil de skjære linjen m med jevn avstand.
Siden m er parallell med billedplanet, vil bildet av disse skjæringene
ligge med jevn avstand på m'. Deler vi linjestykket PQ inn i fem like
store deler, nner vi da de andre skjæringene.
25

Nå kjenner vi to punkter på bildet av alle linjene b, c, d og e, så
det er bare å tegne de inn.
Nå kan vi gjøre akkurat det samme for bildet av linjene g, h, i, j, k
og l.
26

Skjæringene mellom de forskjellige forsvinningslinjene er hjørnene
i rutenettet, så nå er det bare å gjøre guren ferdig.
Merk at i konstruksjonen av rutenettet brukte vi ingen plass at
rutene var kvadratiske. Det ble bare brukt at sidekantene i rutenettet
alle var like lange, altså at rutene var romber. Om perspektivtegningen
faktisk viser det perspektiviske bildet av et kvadratisk rutenett
avhenger av hvor hovedpunktet og distansepunktene ligger. Hvor må
så hovedpunktet og distansepunktene ligge for at rutenettet skal være
bildet av et kvadratisk rutenett Faktisk blir disse entydig bestemt dersom
rutenettet skal være bildet av et kvadratisk rutenett. Se gur 24
27

Figur 24: La P , Q og R være tre forskjellige punkter i samme vannrette plan,
med perspektiviske bilder P ′ , Q ′ og R ′ , slik at P Q = P R og P ligger nærmest
billedaten. Videre La m være linjen gjennom P parallell med grunnlinjen,
F være forsvinningspunktet til P Q og G være forsvinningspunktet til P R.
Da vil ∠QP R = 90 ◦ hvis og bare hvis hovedpunktet H er gitt sånn at F H
HG =
(Q ′ 2 Q′ /Q ′ Q ′ 1 )2
. Hvis ∠QP R = 90 ◦ , så ligger distansepunktet D
(R 2 ′ R′ /R ′ R 1 ′ 1 på linjen R ′ V
)2
hvor T V = SP ′ og distansepunktet D 2 på linjen Q ′ U hvor US = P ′ T .
Dersom P , Q og R er hjørner i et kvadratisk rutenett, som på guren, gir
dette plasseringen av hovedpunktet og distansepunktene.
for de eksakte betingelsene. 6 Betingelsene kan også brukes til å nne
hovedpunkt og distansepunkt i mange situasjoner som er tegnet med
topunktsperspektiv.
I gur 25 ser vi bilde av et iselagt gulv. Det er tydelig at sideakantene
til isene har to forsvinningspunkt. Trekker vi opp diagonalene til
isene så ser vi at de enten er vannrette på bildet eller forsvinner mot
et forsvinningspunkt som ligger på linjen gjennom forsvinningspunktene
til sidekantene til isene (se gur 26). I dette tilfelle blir forsvinningspunktet
til de gule linjene hovedpunktet, mens forsvinnignspunktene
til sidekantene til isene blir distansepunktene. Dette betyr at
bildet er tatt akkurat sånn at sidekantene til isene står 45 ◦ på billed-
aten. Vi ser også at de gule og svarte linjene gir et kvadratisk rutenett
med et forsvinningspunkt. De røde og blå linjene blir diagonalene til
dette rutenettet.
6 Jeg tar ikke med beviset for dette her. Betingelsene følger primært av å se på hvor Q ′
og R ′ plasserer seg ved distansepunktkonstruksjonen.
28

Figur 25: Fliselagt gulv med noen linjer tegnet inn.
Figur 26: Fliselagt gulv med enda ere linjer tegnet inn.
29