Kapittel 1 Algebra
Kapittel 1 Algebra
Kapittel 1 Algebra
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Kapittel</strong> 1<br />
<strong>Algebra</strong><br />
1.1 Potensar<br />
Trekk saman dei følgjande uttrykka mest mogleg:<br />
a) 2 7 · 2 3 , a n−2 · a 5−n , a 2n−1 · a n+2<br />
b) 315<br />
3 13 , a 3 · a 5<br />
a 4 ,<br />
a n+2 · b n+1<br />
a n−2 · b n−1 , a 1+2n · b 1+3n<br />
a 3n · b 5n<br />
c) a n + a n , 2a n + a n − 3a n<br />
1.2 Rotuttrykk og faktorisering<br />
Døme: 2 √ 5 + √ 45 = 2 √ 5 + √ 9 · 5 = 2 √ 5 + 3 √ 5 = 5 √ 5<br />
a) Set størst mogleg rasjonal faktor utanfor rotteiknet: √ 8, √ 18, √ 128, √ 722, √ 6075<br />
Trekk saman disse uttrykka så mykje som råd:<br />
b) √ 18 − √ 50 + √ 98 − √ 162 + √ 242 − 2 √ 8<br />
c) √ 54 + 3 √ 24 − √ 294 + √ 150 + √ 1014 − √ 24<br />
d) √ 12 + √ 200 + √ 147 − √ 242 − √ 192<br />
1.3 Potensar og rotuttrykk<br />
Hugs: Du kan skifte mellom rotuttrykk og potensuttrykk ved formlane x 1/n = n√ x og x m/n =<br />
n√<br />
xm = ( n√ x) m . Du kan også skifte «rekkjefølgja» på potensar: (x m ) n = (x n ) m = x n·m .<br />
Skriv som rotuttrykk (og skriv så enkelt som råd):<br />
a) 9 1/2 , 27 2/3 , 81 3/4<br />
b)<br />
( 1<br />
9<br />
) 1/2<br />
,<br />
( 1<br />
9<br />
) −1/2<br />
,<br />
( ) 64 −2/3<br />
27<br />
c) (2 3 ) 1/2 · (2 1/2 ) −5 ,<br />
(8 −1/2 ) −8/3<br />
(8 −2/3 ) −5/2 , (((a−1 ) −1/2 ) 1/2 ) −4<br />
1
2 Oppgåver – <strong>Algebra</strong> Repetisjonskurs 2011<br />
1.4 Faktorisering av polynom/polynomdivisjon<br />
Faktoriser disse polynoma:<br />
a) x 2 + 5x − 14<br />
b) x 2 − 3x − 18<br />
c) x 2 − 2x − 15<br />
d) x 2 − 64<br />
Forkort disse uttrykka (om mogleg):<br />
e) x3 − 1<br />
x − 1<br />
f)<br />
x 2 − 16<br />
x 2 − 2x − 8<br />
x ̸= 1<br />
x ̸= 4, x ̸= −2<br />
g)<br />
x 2 − 4<br />
x 2 − 4x<br />
h) x3 − x 2 − 4x + 4<br />
x 2 − 3x + 2<br />
x ̸= 0, x ̸= 4<br />
x ̸= 2, x ̸= 1<br />
Utfør polynomdivisjonane:<br />
i) (x 2 + x) : x x ̸= 0<br />
j) (x 4 − x 2 ) : x 2 x ̸= 0<br />
k) (x 2 − 1) : (x + 1) x ̸= −1<br />
l) (x 2 − 16) : (x − 4) x ̸= 4<br />
m) (x 2 − 4x + 3) : (x − 1) x ̸= 1<br />
n) (x 2 + 2x + 3) : (x + 1) x ̸= −1<br />
o) (x 2 + 4x + 5) : (x + 2) x ̸= −2<br />
p) (x 2 − 6x − 9) : (x − 3) x ̸= 3<br />
1.5 Likningar<br />
Løys likningane<br />
a) x − 3 = 3 − 2x<br />
b)<br />
c)<br />
1<br />
x − 1 − 1<br />
x + 1 = 1<br />
x<br />
x + 2 − 1 x =<br />
1 + x<br />
x 2 + 2x<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
x<br />
x − 3 + 1 x =<br />
3x<br />
x 2 − 3x<br />
1<br />
x − 4 + x − 4<br />
x + 4 = x + 8<br />
x 2 − 16<br />
1<br />
x − 1 + 1<br />
x 2 − 2x + 1 = x2 − 2x + 2<br />
(x − 1) 2<br />
1.6 Ulikskapar<br />
Løys ulikskapane<br />
a) −x2 + x + 2<br />
< 0<br />
2x − 10<br />
e) 2x − 3<br />
x + 1 ≤ −3<br />
d) x + 1<br />
x − 2 < 1 g) x + 7<br />
x + 2 > x − 1<br />
b) 2x − 1<br />
x 2 − 9 > 0<br />
f) x > x + 2<br />
x<br />
c)<br />
x − 2 + 1 ≥ 0<br />
x
3 Oppgåver – <strong>Algebra</strong> Repetisjonskurs 2011<br />
1.7 Logaritmar<br />
Hugs:<br />
log x er Briggsk logaritme og ln x er naturleg logaritme.<br />
Trekk saman disse uttrykka så mykje som råd:<br />
( a<br />
)<br />
a) log(a · b) + log<br />
b<br />
b) log(3x) + log(9x 2 )<br />
c) log(2x 3 ) − log 4 x 2 − log(8x4 )<br />
d) log √ 5x + log √ 20x<br />
e) log(xy) + log(x 2 y) − log(xy 2 )<br />
f) ln x 5 − ln 1 − 2 ln x4<br />
x3 g) ln(x 2 y)0 ln y x2<br />
− ln<br />
x2 y<br />
h) ln 3 y + ln(9y3 ) − ln 27<br />
Løys likningane:<br />
i) log x − 2 = 0<br />
j) 4 log x = −12<br />
k) log x 2 − 4 = 0<br />
l) log x 4 − log x 3 + 2 = 0<br />
m) (log x) 2 − 4 = 0<br />
n) (log x) 2 − 2 log x − 15 = 0<br />
o) 2(log x) 2 − log x = 0<br />
p) log(8 − 2x) = 2 log x<br />
q) ln(x + 1) + ln(x − 1) = ln 3<br />
r) ln x + ln(2 − x) = 0<br />
Løys ulikskapane:<br />
s) 2 log x − 2 > 0<br />
w) 2 ln x + 2 > ln x − 1<br />
t) 2 log x + 1 < log x + 2<br />
x) 2 ln x 2 − 9 < 1 − ln x<br />
u) log x 2 + log x − 6 > 0<br />
y) (ln x − 1)(ln x − 2) < 0<br />
v) log x − 2<br />
x − 50 < 0 z) (1 − ln x)(ln x + 1) < 0<br />
1.8 Eksponentialfunksjonar<br />
Løys likningane:<br />
a) 3, 50 · 2 x = 14<br />
b) 6, 25 · 3 x = 37, 5<br />
( ) 1 x<br />
c) 0, 25 · = 0, 75<br />
3<br />
d) e x = 5<br />
e) e −x = 4<br />
f) e x2 = 81<br />
g) 3e −x = 18<br />
h) 2 2x − 3 · 2 x − 10 = 0<br />
i)<br />
18 − 5x<br />
5 x = 5 x + 2<br />
j) 3 x − 4 · 3 −x = 0<br />
k) e 2x + 2e x = 3<br />
l) 13ex − 48<br />
e x − 1<br />
= e x
4 Oppgåver – <strong>Algebra</strong> Repetisjonskurs 2011<br />
Løys ulikskapane:<br />
m) 3 x − 5 > 0<br />
n) 3 · 2 x > 9<br />
s)<br />
( 1<br />
10<br />
) x<br />
− 10 > 0<br />
o) 4e x > 16<br />
p) 5e −x < 1<br />
q) 5 · 3 x > 12 · 5 x<br />
r) 10 2x − 7 · 10 x + 10 < 0<br />
t)<br />
( 1<br />
2<br />
) 2x ( ) 1 x<br />
− 9 · + 8 < 0<br />
2<br />
u) e 2x + 4e x − 5 > 0<br />
v)<br />
e x + 1<br />
2e x − 3 ≥ 1
<strong>Kapittel</strong> 2<br />
Trigonometri<br />
2.1 Vinkelmål<br />
Gjer følgjande vinklar om til absolutt vinkelmål (radianar):<br />
a) v = 360 ◦<br />
c) v = 180 ◦<br />
e) v = 9 ◦<br />
b) v = 36 ◦ d) v = 18 ◦ f) v = 90 ◦<br />
Gjer disse vinkelmåla om til gradar:<br />
a) v = π/4 b) v = π/3 c) v = π/2 d) v = π<br />
2.2 Trekantar<br />
a) I △ABC er ∠B = 64 ◦ , AB = 8, 5 cm og BC = 6, 4 cm. Finn arealet av trekanten. Normalen<br />
frå A til BC treff BC i D. Finn lengda av AD og BC.<br />
b) Finn arealet av trekanten ABC når<br />
i) ∠A = 120 ◦ , AB = 12 cm og AC = 15 cm.<br />
ii) ∠A = 150 ◦ , AB = 25 cm og AC = 8, 5 cm.<br />
c) I △PQR er PQ = 10, PR = 14 og arealet er 35, 3. Finn ∠P<br />
d) I △ABC er ∠A = 62 ◦ , BC = 9, 0 cm og AC = 6, 5 cm. Finn ∠B og ∠C. Finn arealet av<br />
trekanten.<br />
e) I △ABC er ∠A = 125 ◦ , AC = 22 m og BC = 48 m. Finn først ∠B og deretter ∠C. Finn<br />
arealet av trekanten.<br />
f) I △ABC er ∠A = 60 ◦ , AB = 6 og AC = 8. Finn BC og dei to andre vinklane ved hjelp av<br />
cosinussetninga.<br />
g) I △ABC er ∠A = 43, 5 ◦ og AB = 7, 7. Sida BC = a. For kva verdiar av a kan vi få<br />
i) ein trekant<br />
ii) to trekantar<br />
Rekn ut ∠C og AC når a = 5, 6.<br />
5
6 Oppgåver – Trigonometri Repetisjonskurs 2011<br />
2.3 Likningar – del 1<br />
Finn x ut frå disse likningane (x ∈ [0, 2π〉 og det kan vere fleire løysingar):<br />
a) cos x = 0, 5<br />
b) cos x = 0, 8<br />
c) sin x = 0, 3<br />
d) sin x = −0, 4<br />
e) 2 tan x = 11<br />
f) 4 sin x = 1<br />
g) 12 cos x = 5<br />
h) tan x = 9<br />
i) sin x 2 = 0, 5<br />
2.4 Likningar – del 2<br />
Finn dei fire løysingane til kvar likning (x ∈ [0, 2π〉):<br />
a) cos x(1 − 3 cos x) = 0 b) sin 2 x = 1 4<br />
Finn x frå likningane (x ∈ [0, 2π〉 og det kan vere fleire løysingar):<br />
l) 5 sin x = −3<br />
m) 3 sin x + 2 = 5<br />
n) 4 sin x + 3 = 0<br />
o) 2 − 5 cos x = 0<br />
p) 3 tan x − 7 = 0<br />
q) 13 cos x + 12 = 0<br />
r) sin x(sin x + 1) = 0<br />
s) cos x(2 cos x − 5) = 0<br />
t) tan x(tan x + 5) = 0<br />
2.5 Likningar – del 3<br />
Løys likningane:<br />
( π<br />
)<br />
a) sin<br />
4 x = 0, x ∈ [0, 8]<br />
( π<br />
)<br />
b) 2 cos<br />
2 x = 1, x ∈ [0, 4]<br />
c) √ 3 tan(πx) = 1, x ∈ [−2, 2]<br />
√<br />
3<br />
d) + 2 = 0, x ∈ [−1, 1]<br />
sin(2πx)<br />
Løys likningane (x ∈ [0, 2π〉 og det kan vere fleire løysingar):<br />
e) 4 sin x + sin x = 0<br />
f) 6 sin x + sin x − 1 = 0<br />
g) 4 cos x − 9 cos x + 2 = 0<br />
h) tan + tan x − 6 = 0<br />
2.6 Likningar – del 4<br />
a) Vis at vi kan skrive om sin x − cos x = 0 til tan x − 1 = 0 (når cos x ̸= 0, dvs. når x ̸= π/2<br />
og x ̸= 3π/2). Løys denne likninga.<br />
b) Løys likninga √ 3 sin x + cos x = 0 ved ei tilsvarande omskriving som i a).<br />
c) Løys likninga sin 2 x − 2 sin x · cos x + cos x = 0 ved ei tilsvarande omskriving som i a). Hint:<br />
du må først skrive om uttrykket ved hjelp av ei av kvadratsetningane!
<strong>Kapittel</strong> 3<br />
Derivasjon<br />
3.1 Fart–veg–tid<br />
Finn farten v(t) til ein bil når tilbakelagt strekning s(t) er<br />
a) s(t) = 2t + 3 b) s(t) = − 1 2 t + 4 c) s(t) = t2 + 2t<br />
Ein bil starter å køyre. Etter t sekund har bilen køyrt s(t) = 2t 2 meter.<br />
d) Finn farten etter 3s.<br />
e) Kor lang tid tar det før farten er 20 m/s<br />
f) Finn akselerasjonen a(t) = v ′ (t). Kva er akselerasjonen etter 3s<br />
Vi kastar ein stein rett opp. Etter t sekund er steinen s(t) = 20t − 5t 2 meter frå utgangspunktet.<br />
g) Finn farten etter 1) 0 s 2) 2 s<br />
h) Finn akselerasjonen a(t) = s ′′ (t)<br />
Ein skiløper renn utfor ein bakke. Etter t sekund (frå starten ved toppen av bakken) har skiløparen<br />
tilbakelagt strekninga s(t) = 6t + 0, 5t 2 .<br />
i) Finn farten etter 1) 3 s 2) 5 s<br />
j) Bakken er 80 m lang. Kor stor er farten ved botn av bakken<br />
k) Finn akselerasjonen.<br />
3.2 Kjerneregelen<br />
Finn f ′ (x) ved hjelp av kjerneregelen.<br />
a) f (x) = (3x + 1) 2<br />
f) f (x) = (1 − 3x) 12<br />
b) f (x) = (5x − 1) 2<br />
g) f (x) = (3x 2 + 1) 2<br />
c) f (x) = (2x − 1) 3<br />
h) f (x) = (1 + √ x) 3<br />
d) f (x) = (1 − x) 3<br />
i) f (x) = (1 + x + x 2 ) 6<br />
e) f (x) = (2x + 1) 10 j) f (x) = √ x 2 − 4<br />
k) f (x) = √ 2x − x 4<br />
l) f (x) = √ 1 + (1 + x) 2<br />
m) f (x) = √ 2 + √ x<br />
7
8 Oppgåver – Derivasjon Repetisjonskurs 2011<br />
3.3 Logaritmer og eksponentialfunksjonen<br />
Finn f ′ (x).<br />
a) f (x) = x 2 + ln 3x<br />
g) f (x) = e −x<br />
m) f (x) = e x2 −1<br />
e) f (x) = 2 + ln x − 1 2 x k) f (x) = x 0,5<br />
f) f (x) = 2e x l) f (x) = e 2x+1 q) f (x) = 1 + x2 + x 6,7<br />
x<br />
b) f (x) = 2 + x + x 2 + ln x<br />
c) f (x) = ln(kx)<br />
d) f (x) = x − ln x<br />
h) f (x) = e 2x<br />
i) f (x) = e −3x<br />
j) f (x) = x 1,5<br />
n) f (x) = e √ x<br />
o) f (x) = x 2 + ln x + e x2<br />
p) f (x) = 2x 2,2 + 3x 2,7<br />
3.4 Brøken 1 x n<br />
Finn f ′ (x).<br />
a) f (x) = − 1 e) f (x) = 3<br />
h) f (x) =<br />
x<br />
2x<br />
b) f (x) = x + 2 x<br />
c) f (x) = x 2 − 2x − 3 f) f (x) = 1 x + 1<br />
2x<br />
x<br />
d) f (x) = x 2 − 1 x 2 g) f (x) = 1 x (x − 1) j) f (x) =<br />
1<br />
(x + 1) 2<br />
i) f (x) = 2 x + 1<br />
x 3 − 1<br />
1<br />
√ x + 1<br />
3.5 Produktregelen<br />
Finn f ′ (x).<br />
d) f (x) = xe −x<br />
a) f (x) = x 2 e x<br />
c) f (x) = (1 − x)e x f) f (x) = x ln(2x)<br />
b) f (x) = 2x ln x<br />
e) f (x) = x 2 e 2x<br />
g) f (x) = e x ln x<br />
3.6 Brøkfunksjonar<br />
Finn f ′ (x).<br />
a) f (x) = x + 1<br />
x<br />
b) f (x) = x − 1<br />
x<br />
c) f (x) = x<br />
x − 1<br />
d) f (x) = 2x<br />
2x + 1<br />
e) f (x) = x − 1<br />
x − 2<br />
f) f (x) = x 2 − 5<br />
x − 5<br />
g) f (x) = x + 1<br />
x − 2<br />
h) f (x) = 2 − x<br />
1 − 2x<br />
i) f (x) = x e x<br />
j) f (x) = x<br />
ln x
9 Oppgåver – Derivasjon Repetisjonskurs 2011<br />
k) f (x) = ln x<br />
e x<br />
l) f (x) = e3x<br />
x<br />
m) f (x) = ln x + x<br />
ln x − x<br />
3.7 Utseende til ein graf<br />
Undersøk for kvar funksjon om grafen til f (x) har topp- eller botnpunkt, og vis i kva intervall<br />
grafe veks eller avtar (monotonieigenskaper). Teikn ei skisse av grafen.<br />
a) f (x) = 2<br />
x + 2<br />
b) f (x) = 5<br />
x 2 + 5<br />
c) f (x) = (x − 1) · ln x<br />
d) f (x) = (x − 1) · e x<br />
3.8 Såpeboblar<br />
Henta frå coSinus 2mx, utgitt av J.W.Cappelens Forlag AS, 2001<br />
Lille Vigleik blåser såpebobler. Vi forutsetter at såpeboblene er kuleformet, slik at volumet<br />
V er gitt ved V = 4 3 πr3 der radien r er en voksende funksjon av tiden t. Bruk kjerneregelen til<br />
å vise at<br />
V ′ (t) = 4πr 2 r ′ (t)<br />
Tenk deg at Vigleik blåser luft med en fart på 10 cm 3 /s, slik at vekstfarten til V er 10 cm 3 /s.<br />
Finn vekstfarten til r når r = 1 cm og når r = 5 cm.<br />
3.9 Bakteriekultur<br />
Henta frå Tala talar, utgitt av Universitetsforlaget, 1994.<br />
På eit gitt tidspunkt er det i ein bakteriekultur 15 milliardar bakteriar. Det kjem noko gift<br />
opp i kulturen, og ein kan rekne at talet på bakteriar t timar etter dette er gitt ved<br />
f (t) = −0, 024t 3 + 0, 36t 2 + 15 milliardar.<br />
Denne funksjonen gjeld i tidsrommet frå ein time til 17 timar etter at gifta kom opp i kulturen,<br />
det vil seie for t ∈ [1, 17].<br />
a) Kor stor er tilveksten av bakteriar etter 3 timar Etter 8 timar Og etter 12 timar<br />
b) Når er det flest bakteriar i kulturen<br />
c) Når er tilveksten av bakteriar størst<br />
d) Kor lang tid tar det før talet på bakteriar er redusert til 5 milliardar<br />
3.10 Geometri<br />
Henta frå Tala talar, utgitt av Universitetsforlaget, 1994.<br />
Gavlen i eit hus har form som ein likebeint trekant med høgd 6 m og grunnlinje 10 m. Vi<br />
skal setje inn eit rektangulært vindauge i gavlen, og ønskjer at vindauget skal ha størst mogleg<br />
flateinnhald.
10 Oppgåver – Derivasjon Repetisjonskurs 2011<br />
Figuren viser gavlen (i svart) og vindauget (i raudt), og alle nødvendige mål. Oppgåva vert<br />
altså: finn den verdien av x som gjev størst mogleg flateinnhald av vindauget.<br />
6 m x<br />
y<br />
10 m
<strong>Kapittel</strong> 4<br />
Integrasjon<br />
4.1 Antiderivert<br />
Vis at ein mogleg antiderivert til f (x) er gitt ved F(x) i kvart tilfelle.<br />
a) f (x) = 2x + 3, F(x) = x 2 + 3x<br />
b) f (x) = 2 cos 2x − 1, F(x) = sin 2x − x<br />
c) f (x) = 1<br />
2 √ x + ex , F(x) = √ x + e x + 2<br />
d) f (x) = 2x 3 − x 2 , F(x) = 1 2 x4 − 1 3 x3 − 1<br />
Finn alle antideriverte til f (x):<br />
h) f (x) = 3x 2 − 2e x<br />
e) f (x) = 1<br />
2 √ x<br />
g) f (x) = 2x + 4x 3 j) f (x) = 2 − sin x<br />
f) f (x) = e x + x<br />
i) f (x) = cos x + 2x<br />
4.2 Ein bestemt antiderivert<br />
Finn den bestemte antideriverte til f (x) som oppfyller kravet.<br />
a) f (x) = 2x + 2 og f (2) = 10<br />
b) f (x) = 3x 2 − 3 og f går gjennom punktet (−1, 6).<br />
4.3 Ubestemte integral – del 1<br />
Finn det ubestemte integralet i kvart tilfelle:<br />
a) ∫ 3 dx<br />
b) ∫ (1 + x) dx<br />
c) ∫ (6x − 2) dx<br />
d) ∫ (1 + x + x + x) dx<br />
e) ∫ (3x − 1) dx<br />
f)<br />
g)<br />
h)<br />
11<br />
∫ (<br />
x + 1 )<br />
dx<br />
x<br />
∫<br />
∫<br />
3<br />
x dx<br />
6<br />
t dt
12 Oppgåver – Integrasjon Repetisjonskurs 2011<br />
i)<br />
∫ (<br />
1 − 1 )<br />
dx<br />
x<br />
k) ∫ e 4x dx<br />
j) ∫ e 2x dx<br />
l) ∫ (e x + e −x ) dx<br />
Vis ved derivasjon at<br />
m) ∫ ln x dx = x · ln x − x + K<br />
Finn dei ubestemte integrala:<br />
n) ∫ sin 2x dx<br />
o) ∫ cos 3x dx<br />
p) ∫ (sin x − cos x) dx<br />
q) ∫ (cos x − sin x) dx<br />
r) ∫ 2 sin x dx<br />
s) ∫ −3 cos 2x dx<br />
4.4 Bestemte integral<br />
a) Teikn grafen til f (x) = x + 1 frå x = 0 til x = 5. Bruk trekantar til å finne arealet mellom<br />
grafen og x-aksen. Finn så ved integrasjon det bestemte integralet<br />
∫ 5<br />
(x + 1) dx<br />
0<br />
Finn dei bestemte integrala. I ein del tilfeller kan du kontrollere svaret ved å teikne ei skisse av<br />
grafen. Prøv det!<br />
b) ∫ 4<br />
0 (x2 + 1) dx<br />
h) ∫ 1<br />
0 (3x2 − 2x dx<br />
c) ∫ ∫<br />
1<br />
4<br />
(<br />
2x dx<br />
1<br />
0 i)<br />
d) ∫ 0 2 x − 1 dx<br />
4)<br />
3<br />
0 x2 dx<br />
j) ∫ 2<br />
(x + 4) dx<br />
e) ∫ 1<br />
4<br />
0 3 dx<br />
k) ∫ 4<br />
2 (4x − 9x2 ) dx<br />
g) ∫ 3<br />
0 (1 − 2x) dx m) ∫ 5<br />
2 4x3 dx<br />
f) ∫ 2<br />
(2x − 1) dx<br />
0 l) ∫ 3<br />
(6 − x) dx<br />
1<br />
Finn dei bestemte integrala (NB! Hugs å bruke radianer!). I ein del tilfeller kan du kontrollere<br />
svaret ved å teikne ei skisse av grafen. Prøv det!<br />
n) ∫ π<br />
0<br />
o) ∫ π<br />
0<br />
sin x dx<br />
cos x dx<br />
p) ∫ 2π<br />
0<br />
sin x dx<br />
q) ∫ 2π<br />
0<br />
cos x dx<br />
4.5 Ubestemte integral – del 2<br />
Finn det ubestemte integralet i kvart tilfelle<br />
r) ∫ π<br />
0<br />
s) ∫ π<br />
0<br />
sin 2x dx<br />
2 sin x dx<br />
t) ∫ 2π<br />
0<br />
(sin x + cos x) dx<br />
u) ∫ 2π<br />
(cos x − sin x) dx<br />
π
13 Oppgåver – Integrasjon Repetisjonskurs 2011<br />
a) ∫ (x 2 + 1) dx<br />
b) ∫ (x + 1) 2 dx<br />
c) ∫ √ x dx<br />
d) ∫ ( √ x + 1) 2 dx<br />
∫ ( ) 2<br />
e)<br />
x 2 dx<br />
∫<br />
f)<br />
(− 1 )<br />
x 3 dx<br />
g)<br />
h)<br />
∫ ( 1<br />
2x 4 )<br />
dx<br />
∫ ( ) 1<br />
x 5 dx<br />
i) ∫ 2 x dx<br />
j) ∫ 3 2x dx<br />
4.6 Bestemte integral – del 2<br />
Finn disse bestemte integrala:<br />
a) ∫ 4<br />
0 x1,5 dx<br />
b) ∫ e<br />
c) ∫ 2<br />
1<br />
1 xe dx<br />
(x 3 + 1 )<br />
x 3 dx<br />
d) ∫ 2<br />
−2 2x dx<br />
e) ∫ ln 3<br />
0<br />
e 3x dx<br />
f) ∫ 3<br />
0 2x+1 dx<br />
4.7 Substitusjon – skifte av variabel<br />
Finn integrala ved å skifte variabel frå x til u<br />
a) ∫ cos 4x dx, u = 4x<br />
b) ∫ sin(2x + 1) dx, u = 2x + 1<br />
c) ∫ cos(2x − π) dx, u = 2x − π<br />
d) ∫ sin(x/6) dx, u = x/6<br />
e) ∫ e 2x+1 dx, u = 2x + 1<br />
f) ∫ e 1−2x dx, u = 1 − 2x<br />
g)<br />
h)<br />
∫<br />
∫<br />
1<br />
x − 3 dx, u = x − 3<br />
2<br />
dx, u = 4 − 3x<br />
4 − 3x<br />
4.8 Bestemte integral<br />
Finn dei bestemte integrala.<br />
a) ∫ 1<br />
0<br />
2<br />
2x + 1 dx<br />
b) ∫ 1<br />
0 3e3x dx<br />
c) ∫ 2<br />
0<br />
d) ∫ 4<br />
0<br />
1<br />
2 √ x + 2 dx<br />
2x<br />
√<br />
x2 + 2 dx<br />
4.9 Delvis integrasjon<br />
Finn disse integrala. Dersom dei to delane u = u(x) og v ′ = v ′ (x) er oppgitt kan du bruke<br />
disse.
14 Oppgåver – Integrasjon Repetisjonskurs 2011<br />
a) ∫ (x + 1)e x dx, u = x + 1, v ′ = e x<br />
b) ∫ (x − 1) sin x dx, u = x − 1, v ′ = sin x<br />
c) ∫ 2 ln x dx, u = ln x, v ′ = 2<br />
d) ∫ (x − 2) cos x dx, u = x − 2, v ′ = cos x<br />
e) ∫ xe 2x dx<br />
f) ∫ x sin(3x) dx<br />
g) ∫ x 2 ln x dx<br />
h) ∫ x sin(ax) dx<br />
i) ∫ x 2 cos x dx<br />
j) ∫ (x 2 + x)e x dx<br />
k) ∫ π<br />
0<br />
x(sin x + cos x) dx<br />
l) ∫ ln x<br />
x dx, u = ln x, v′ = 1 1<br />
m) ∫ ln x dx, u = ln x, v ′ = 1
<strong>Kapittel</strong> 5<br />
Vektorar<br />
5.1 Vektoralgebra<br />
Trekk saman disse uttrykka så mykje som råd:<br />
a) 2 · (⃗a +⃗ b) + 3 · (⃗a − 2 ⃗ b)<br />
b) −3 · (⃗a − 2⃗ b) − (2⃗a + 6 ⃗ b)<br />
c) 4 · (−⃗a +⃗ b) − 2 · ( ⃗ b − 2⃗a)<br />
d) 2 · (3⃗a − 2⃗ b +⃗c) − 3 · (2⃗a − 3 ⃗ b +⃗c)<br />
La ⃗a og ⃗ b vere to vektorar som ikkje er parallelle. Undersøk om vektorane ⃗u og ⃗v er parallelle<br />
når:<br />
e) ⃗u = ⃗a +⃗ b ⃗v = 2⃗a + 2 ⃗ b<br />
f) ⃗u = ⃗a − 2⃗ b ⃗v = 2⃗a − 6 ⃗ b<br />
g) ⃗u = ⃗a −⃗ b ⃗v = −⃗a + ⃗ b<br />
h) ⃗u = 2⃗a + 3⃗ b ⃗v = 4⃗a − 6 ⃗ b<br />
5.2 Skalarprodukt/vinklar<br />
La ⃗a og⃗ b vere to vektorar, der |⃗a| = 2 og | ⃗ b| = 4. La u vere vinkelen mellom vektorane. Finn<br />
skalarproduktet når<br />
a) u = 45 ◦ b) u = 60 ◦ c) u = 90 ◦ d) u = 120 ◦<br />
La no |⃗a| = 3 og |⃗ b| = 5, og vinkelen u mellom vektorane ligg i intervallet 0 ≤ u ≤ 90 ◦ . Finn<br />
vinkelen mellom vektorane når skalarproduktet er<br />
e) 10 f) 12 g) 15 h) 6<br />
15
16 Oppgåver – Vektorar Repetisjonskurs 2011<br />
5.3 Delingspunkt / trekantar<br />
a) I △ABC er AB = 6, BC = 4 og ∠B = 90 ◦ . Vi set −→ AB = ⃗a og −→ BC = ⃗ b. Eit punkt D er bestemt<br />
ved at −→ AD = 2⃗ b.<br />
i) Teikn trekanten, og teikn så inn punktet D.<br />
ii) Finn −→ BD uttrykt ved⃗a og⃗ b.<br />
iii) Finn | −→ BD|.<br />
iv) Kva slags firkant er ABCD Du kan velje mellom kvadrat, rektangel, trapes, parallellogram,<br />
rombe eller berre «firkant» dersom det ikkje er nokon av disse.<br />
b) I △ABC er AB = 3, BC = 4 og AC = 5. Vi set −→ AB = ⃗a og −→ BC =⃗ b.<br />
i) Teikn trekanten. Bruk Pythagoras’ setning til å forklare at ∠B = 90 ◦ .<br />
ii) Finn ∠A.<br />
iii) Eit punkt D er bestemt ved at −→ AD = 2⃗a +⃗ b. Kva slags firkant er ABCD<br />
c) I △ABC set vi −→ AB = ⃗a og −→ AC = ⃗c. Midtpunktet på sida BC kaller vi M.<br />
i) Forklar for deg sjølv (gjerne med ei enkel skisse) at −−→ AM = 1 2 ⃗a + 1⃗ 2b.<br />
ii) På linja gjennom B og C ligg eit punkt D slik at −→ BD = − 2 −→ −→<br />
3 BC. Finn AD uttrykt ved⃗a og<br />
⃗ b.<br />
d) I △ABC set vi −→ AB = ⃗a og −→ AC = ⃗<br />
−→ b. Punkta P og Q er bestemt ved at BP =<br />
3−→ −→ BC og AQ =<br />
1<br />
4−→ AB. I tillegg set vi S som skjæringspunktet mellom linjene AP og CQ.<br />
i) Finn −→ AP uttrykt ved⃗a og⃗ b.<br />
ii) Finn −→ CQ uttrykt ved⃗a og⃗ b.<br />
iii) Forklar at det finst ukjente tal x og y slik at<br />
−→ AS = x · −→ AP og<br />
−→ AS =<br />
−→ AC + y · −→ CQ<br />
iv) Bruk oppgåve iii) til å finne −→ AS uttrykt ved⃗a og⃗ b.<br />
4
<strong>Kapittel</strong> 1<br />
<strong>Algebra</strong><br />
1.1 Potensar<br />
a) 2 10 = 1024, a 3 , a 3n+1<br />
b) 3 2 = 9, a 4 , a 4 · b 2 , a 1−n · b 1−2n<br />
c) 2a n , 0<br />
1.2 Rotuttrykk og faktorisering<br />
a) 2 √ 2, 3 √ 2, 8 √ 2, 19 √ 2, 45 √ 3<br />
b) 3 √ 2<br />
c) 18 √ 6<br />
d) √ 3 − √ 2<br />
1.3 Potensar og rotuttrykk<br />
a) 3, ( 3√ 27) 2 = 9, ( 4√ 81) 3 = 27<br />
b)<br />
√<br />
1<br />
√<br />
9<br />
= 1 3 , √<br />
9 = 3,<br />
( 3√ 27) 2<br />
( 3√ 64) 2 = 32<br />
4 2 = 9<br />
16<br />
c) (2 3 ) 1/2 · (2 −5 ) 1/2 = √ 2 3 ·<br />
1<br />
√<br />
2 5 = 2√ 2 ·<br />
1<br />
4 √ 2 = 1 2 ,<br />
8 8/6<br />
8 10/6 = 88/6−10/6 = 8 −2/6 = 8 −1/3 = 1<br />
3√<br />
8<br />
= 1 2 ,<br />
a (−1)·(−1/2)·(1/2)·(−4) = a −1 = 1 a<br />
1.4 Faktorisering av polynom/polynomdivisjon<br />
a) (x + 7)(x − 2)<br />
c) (x − 5)(x + 3)<br />
b) (x + 3)(x − 6)<br />
d) (x − 8)(x + 8)<br />
1
2 Fasit – <strong>Algebra</strong> Repetisjonskurs 2011<br />
e) x 2 + x + 1<br />
f) x + 4<br />
x + 2<br />
g) Kan ikkje forkorte brøken.<br />
h) x + 2<br />
i) x + 1<br />
j) x 2 − 1<br />
k) x − 1<br />
l) x + 4<br />
m) x − 3<br />
n) x + 1 + 2<br />
x + 1<br />
o) x + 2 + 1<br />
x + 2<br />
p) x − 3 − 18<br />
x − 3<br />
1.5 Likningar<br />
a) x = 2<br />
b) x = ± √ 3<br />
c) x = 3, x = −1<br />
d) x = −1<br />
e) x = 6, x = 2<br />
f) x = 2<br />
1.6 Ulikskapar<br />
a) x ∈ 〈−1, 2〉 ∪ 〈5, →〉<br />
1<br />
b) x ∈ 〈−3,<br />
2<br />
〉 ∪ 〈3, →〉<br />
c) x ∈ 〈←, 1] ∪ 〈2, →〉<br />
d) x < 2<br />
e) x ∈ 〈−1, 0]<br />
f) x ∈ 〈−1, 0〉 ∪ 〈2, →〉<br />
g) x ∈ 〈←, −3〉 ∪ 〈−2, 3〉<br />
1.7 Logaritmar<br />
a) 2 log(a)<br />
b) 3 log(x) + 3 log(3) eller 3 log(3x)<br />
c) −4 log(2) + log(x)<br />
d) log(5) + log(2) + log(x) eller log(10x)<br />
e) 2 log(x)<br />
f) 0<br />
g) −2 ln x + 3 ln y<br />
h) 2 ln y<br />
i) x = 10 2 = 100<br />
j) x = 10 −3 = 0, 001<br />
k) x = 10 2 = 100<br />
l) x = 10 −2 = 0, 01<br />
m) x = 10 −2 = 0, 01, x = 10 2 = 100.<br />
n) x = 10 −3 = 0, 001, x = 10 5 = 100000<br />
o) x = 10 1/2 = √ 10, x = 1<br />
p) x = 2. Det er fristande å bruke x = −4<br />
også, men då får du 2 log(−4) på høgre<br />
side i likninga, og det går ikkje!<br />
q) x = 2. Det er fristande å bruke x = −2<br />
også, men då får du log(−1) + log(−3) på<br />
venstre side i likninga, og det går ikkje!<br />
r) x = 1
3 Fasit – <strong>Algebra</strong> Repetisjonskurs 2011<br />
1.8 Eksponentialverdiar<br />
a) x = 2<br />
b) x = 2<br />
c) x = −1<br />
d) x = ln(5)<br />
e) x = − ln(4) = −2 ln(2)<br />
f) x = 2 ln(3)<br />
g) x = − ln(6)<br />
h) x = 0<br />
i) x = ln(6), x = ln(8)<br />
j) x = ln(5)<br />
ln(2)<br />
k) x = ln(5)<br />
ln(3)<br />
l) x = ln(2)<br />
ln(3)<br />
m) x > ln(5)<br />
ln(3)<br />
n) x > ln(3)<br />
ln(2)<br />
o) x > ln(4)<br />
p) x > ln(5)<br />
q) x < ln(12/5) ≈ −1, 7138<br />
ln(3/5)<br />
Kommentar: hugs at når du ganger/deler<br />
på begge sider av eit ulikskapsteikn med<br />
ein faktor mindre enn 1, så vil ulikskapsteiknet<br />
skifte retning!
4 Fasit – <strong>Algebra</strong> Repetisjonskurs 2011
<strong>Kapittel</strong> 2<br />
Trigonometri<br />
2.1 Vinkelmål<br />
a) v = 2π<br />
b) v = π/5<br />
c) v = π<br />
d) v = π/10<br />
e) v = π/20<br />
i) v = 90 ◦<br />
f) v = π/2<br />
j) v = 180 ◦<br />
g) v = 45 ◦<br />
h) v = 60 ◦<br />
2.2 Trekantar<br />
a) Arealet: 24 cm 2 ; AD = 7, 6 cm, BD = 3, 7 cm.<br />
b) i) 78 cm 2 ii) 53 cm 2<br />
c) ∠P = 30, 3 ◦<br />
d) ∠B = 39, 6 ◦ , ∠C = 78, 4 ◦ , arealet er 28,7 cm 2<br />
e) ∠B = 22, 1 ◦ , ∠C = 32, 9 ◦ , arealet er 1 2<br />
AC · BC · sin C = 287, 2 cm2<br />
( AC<br />
f) BC = 7, 2, ∠B = cos −1 2 − BC 2 − AB 2 )<br />
= 73, 9 ◦ , ∠C = 46, 1 ◦ .<br />
−2 · BC · AB<br />
g) For a = 5, 3 og a > 7, 7 er det berre råd å lage ein trekant; for 5, 3 < a < 7, 7 kan du lage to.<br />
For a = 5, 3 får vi ein rettvinkla trekant.<br />
2.3 Likningar – del 1<br />
a) x = 60 ◦ , x = 300 ◦<br />
f) x = 14, 5 ◦ , x = 165, 5 ◦<br />
e) x = 79, 7 ◦ , x = 259, 7 ◦ i) x = 60 ◦ , x = 300 ◦<br />
b) x = 36, 9 ◦ , x = 322, 1 ◦<br />
g) x = 65, 4 ◦ , x = 294, 6 ◦<br />
c) x = 17, 5 ◦ , x = 162, 5 ◦<br />
d) x = 203, 6 ◦ , x = 336, 4 ◦<br />
h) x = 83, 7 ◦ , x = 263, 7 ◦<br />
5
6 Fasit – Trigonometri Repetisjonskurs 2011<br />
2.4 Likningar – del 2<br />
Nummereringa i denne oppgåva er heilt rar, men det er samsvar mellom oppgåva og fasiten<br />
. . .<br />
a) x = π/2, x = 3π/2, x = 1, 23, x = 5, 05<br />
b) x = π/6, x = 5π/6, x = 7π/6, x = 11π/6<br />
l) x = 3, 79, x = 5, 64<br />
m) x = π/2, x = 3π/2<br />
n) x = 3, 99, x = 5, 44<br />
o) x = 1, 16, x = 5, 12<br />
p) x = 1, 17, x = 4, 31<br />
q) x = 2, 75, x = 3, 54<br />
r) sin x = 0 : x = 0, x = π, sin x + 1 = 0 : x = 3π/2<br />
s) cos x = 0 : x = π/2, x = 3π/2, 2 cos x − 5 = 0 : ingen løysingar<br />
t) tan x = 0 : x = 0, x = π, tan x + 5 = 0 : x = 1, 77, x = 4, 91<br />
2.5 Likningar – del 3<br />
a) x = 0, x = 4, x = 8<br />
b) x = 2/3, x = 10/3<br />
c) x = −11/6, x = −5/6, x = 1/6, x = 7/6<br />
d) x = −2/3, x = −1/6, x = 2/3, x = 5/6<br />
e) sin x = 0 : x = 0, x = π sin x = −0, 25 : x = 3, 39, x = 6, 03<br />
f) sin x = −0, 5 : x = 3, 67, x = 5, 76 sin x = 1/3 : x = 0, 34, x = 2, 80<br />
g) cos x = 0, 25 : x = 1, 32, x = 4, 97 cos x = 2 : ingen løysingar<br />
h) tan x = −3 : x = 1, 89, x = 5, 03 tan x = 2 : x = 1, 11, x = 4, 25<br />
2.6 Likningar – del 4<br />
a) Del på cos x i alle ledd i likninga:<br />
sin x<br />
cos x − cos x<br />
cos x = 0<br />
og bruk at sin x/ cos x = tan x:<br />
tan x − 1 = 0<br />
som har løysingane x = 45 ◦ , x = 225 ◦ , x = 405 ◦ , . . .<br />
b) Oppgåva er dårleg formulert; du kan godt sjå vekk frå denne!<br />
c) x = 5π/6, x = 11π/6
<strong>Kapittel</strong> 3<br />
Derivasjon<br />
3.1 Fart–veg–tid<br />
a) v(t) = 2 b) v(t) = − 1 2<br />
c) v(t) = 2t + 2<br />
d) v(t) = 4t, altså er v(3) = 12 m/s.<br />
e) v(t) = 20 ⇒ 4t = 20 ⇒ t = 5 s<br />
f) a(t) = 4. Den er konstant lik 4 (m/s 2 )<br />
g) v(t) = 20 − 10t v(0) = 20 v(2) = 0<br />
(Steinen har altså nådd toppen av kulebana etter 2 sekund.)<br />
h) a(t) = −10 m/s 2<br />
i) v(t) = 6 + t v(3) = 9 v(5) = 11.<br />
j) Finn først tida det tar å nå botnen av bakken:<br />
s(t) = 80 ⇒ 6t + 0, 5t 2 = 80 ⇒ t = 8<br />
som gjev at v(8) = 14 m/s er farten i botnen av bakken. t = −20 er også ei løysing av<br />
likninga, men denne kan vi ikkje bruke!<br />
k) a(t) = v ′ (t) = 1 m/s 2<br />
3.2 Kjerneregelen<br />
a) f ′ (x) = 6(3x + 1)<br />
g) f ′ (x) = 12x(3x 2 + 1)<br />
b) f ′ (x) = 10(5x − 1)<br />
h) f ′ (x) = 3(1 + √ x) 2<br />
c) f ′ (x) = 6(2x − 1) 2<br />
2 √ x<br />
d) f ′ (x) = −3(1 − x) 2 i) f ′ (x) = 6(1 + x + x 2 ) 5 (1 +<br />
2x)<br />
e) f ′ (x) = 20(2x + 1) 9<br />
f) f ′ (x) = −36(1 − 3x) 11 j) f ′ x<br />
(x) = √<br />
x2 − 4<br />
k) f ′ (x) = 2 − 4x3<br />
2 √ 2x − x 4<br />
l) f ′ (x) =<br />
1 + x<br />
√<br />
1 + (1 + x) 2<br />
m) f ′ 1<br />
(x) =<br />
4 √ 2 + √ x √ x<br />
3.3 Logaritmer og eksponentialfunksjonen<br />
7
8 Fasit – Derivasjon Repetisjonskurs 2011<br />
a) f ′ (x) = 2x + 1 x<br />
g) f ′ (x) = −e −x<br />
m) f ′ (x) = 2xe x2 −1<br />
f) f ′ (x) = 2e x l) f ′ (x) = 2e 2x+1 q) f ′ (x) = − 1 + 1 + 5, 7x4,7<br />
x2 b) f ′ (x) = 1 + 2x + 1 h) f ′ (x) = 2e<br />
x<br />
n) f ′ (x) = 1<br />
c) f ′ (x) = 1 i) f ′ 2 √ x e√ x<br />
(x) = −3e −3x<br />
x<br />
d) f ′ (x) = 1 − 1 x<br />
e) f ′ (x) = 1 x − 1 2<br />
j) f ′ (x) = 1, 5x 0,5<br />
k) f ′ (x) = 0, 5x −0,5<br />
o) f ′ (x) = 2x + 1 x + 2xex2<br />
p) f ′ (x) = 4, 4x 1,2 + 8, 1x 1,7<br />
3.4 Brøken 1 x n<br />
Finn f ′ (x).<br />
a) f ′ (x) = 1 x 2<br />
e) f ′ (x) = − 3<br />
2x 2<br />
h) f ′ 2<br />
(x) = −<br />
(x + 1) 3<br />
b) f ′ (x) = 1 − 2 x 2<br />
c) f ′ (x) = 2x − 2 + 3 f) f ′ (x) = − 1 x 2 − 1<br />
i) f ′ (x) = − 2 2x 2<br />
x 2 − 3x2<br />
(x 3 − 1) 2<br />
x 2<br />
d) f ′ (x) = 2x + 2 x 3 g) f ′ (x) = − 1 j) f ′ 1<br />
(x) = −<br />
x 2 2( √ x + 1) 3<br />
3.5 Produktregelen<br />
d) f ′ (x) = e −x − xe −x<br />
a) f ′ (x) = 2xe x + x 2 e x<br />
c) f ′ (x) = −e x + (1 − x)e x f) f ′ (x) = ln(2x) + 1<br />
b) f ′ (x) = 2 ln x + 2<br />
e) f ′ (x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x<br />
g) f ′ (x) = e x ln x + ex<br />
x<br />
3.6 Brøkfunksjonar<br />
a) f ′ (x) = − 1 x 2<br />
f) f ′ 5<br />
(x) = 2x +<br />
(x − 5) 2 j) f ′ (x) = ln x − 1<br />
(ln x) 2<br />
b) f ′ (x) = 1 x 2<br />
g) f ′ 3<br />
(x) = −<br />
c) f ′ 1<br />
(x − 2) 2 k) f ′ (x) = 1 − x ln x<br />
xe x<br />
(x) = −<br />
(x − 1) 2<br />
d) f ′ 2<br />
h) f ′ 3<br />
(x) =<br />
(x) =<br />
(2x + 1) 2<br />
(1 − 2x) 2<br />
l) f ′ (x) = e3x (3x − 1)<br />
x 2<br />
e) f ′ 1<br />
(x) = 1 +<br />
(x − 2) 2 i) f ′ (x) = ex − xe x<br />
m) f ′ (x) = 2 ln x − 2<br />
e 2x (ln x − x) 2
9 Fasit – Derivasjon Repetisjonskurs 2011<br />
3.7 Utseende til ein graf<br />
a) f ′ 2<br />
(x) = −<br />
(x + 2) 2 har ingen nullpunkt, altså har grafen ikkje topp- eller botnpunkt. f ′ (x)<br />
er alltid negativ, difor er grafen avtar grafen alltid.<br />
b) f ′ (x) = − 10x<br />
(x 2 + 5) 2 har eitt nullpunkt i x = 0. f ′ (x) er positiv for x < 0 og negativ for x > 0,<br />
altså har grafen eit toppunkt i x = 0.<br />
c) f ′ (x) = ln x + 1 − 1 har eitt nullpunkt i x = 1 (det er ikkje mogleg å finne ved symbolsk<br />
x<br />
rekning; du kan berre finne det ved «prøving og feiling»). Den deriverte er negativ for x < 1<br />
og positiv for x > 1, så det er eit botnpunkt.<br />
d) f ′ (x) = xe x har eitt nullpunkt (i x = 0), og er negativ for x < 0 og positiv for x > 0. Altså er<br />
det eit botnpunkt.<br />
3.8 Såpeboblar<br />
Dersom r er ein funksjon av t kan vi setje V(t) = 4 3 πr(t)3 , og den deriverte vert<br />
V ′ (t) = 4πr 2 r ′ (t)<br />
Vi veit at V ′ (t) = 10, og då vert<br />
r ′ (t) = V′ (t)<br />
4πr 2 = 10<br />
4πr 2<br />
Vi får då r ′ (1) = 10/(4π1 2 ) = 0, 80 (cm/s) og r ′ (5) = 0, 03 cm/s.<br />
3.9 Bakteriekultur<br />
a) Tilveksten er bestemt av den deriverte: f ′ (t) = −0, 072t 2 + 0, 72t. Vi får då f ′ (3) ≈ 1, 512,<br />
f ′ (8) ≈ 1, 152 og f ′ (12) ≈ −1, 728.<br />
b) Det er flest bakteriar når tilveksten er 0 (etter det vert tilveksten negativ, og det vert færre<br />
bakteriar), altså når f ′ (t) = 0. Vi løyser likninga:<br />
−0, 072t 2 + 0, 72t = 0 ⇒ −0, 72t(0, 1t − 1) = 0 ⇒ t 1 = 0 ∨ t 2 = 10<br />
Ut frå føresetnadane i problemformuleringa kan vi berre ha t mellom 1 og 17, så t 2 = 10 er<br />
einaste løysing.<br />
NB! Vi kan også argumentere for at det er færrast bakterier når tilveksten er lik 0. Vi manglar<br />
difor eitt viktig poeng for at argumentasjonen ovanfor er rett. Kva poeng er det<br />
c) Tilveksten er størst når den deriverte av tilveksten er lik 0, altså når f ′′ (t) = −0, 144t + 0, 72 =<br />
0, eller når t = 5. Dette er også ein «lovleg» verdi for t, så vi kan bruke den.<br />
d) No må vi løyse likninga −0, 024t 3 + 0, 36t 2 + 15 milliardar = 0. Dette kan vi (innanfor vårt<br />
pensum) ikkje gjere for hand; vi må bruke kalkulator / datamaskin. Teikn til dømes ein graf<br />
Uansett korleis du gjer det får du t ≈ 16, 53 timar, altså litt over 16 timar og 31 minutt.<br />
«Seksten og ein halv time» er presist nok svar.
10 Fasit – Derivasjon Repetisjonskurs 2011<br />
3.10 Geometri<br />
Først må vi finne ein samanheng mellom x og y. Det kan vi gjere ved å teikne inn nokre hjelpelinjer<br />
og -bokstavar i figuren:<br />
C<br />
6 m x<br />
y<br />
E<br />
A<br />
10 m<br />
D<br />
B<br />
Ut frå teorien om formlike trekantar ser vi no at DE<br />
AC = DB , eller med x og y:<br />
AB<br />
y 5 − 0, 5x<br />
=<br />
6 5<br />
⇒ y = 6 − 0, 6x.<br />
Arealet av vindauga er A(x) = x · y = x · (6 − 0, 6x) = 6x − 0, 6x 2 , og vi kan no derivere A(x)<br />
og setje denne lik 0 for å finne størst areal:<br />
A ′ (x) = 6 − 1, 2x og A ′ (x) = 0 ⇒ x = 5 (og y = 3)
<strong>Kapittel</strong> 4<br />
Integrasjon<br />
4.1 Antiderivert<br />
Vis a)–d) ved å derivere kvar funksjon F(x).<br />
e) F(x) = √ x + K<br />
f) F(x) = e x + 1 2 x2 + K<br />
g) F(x) = x 2 + x 4 + K<br />
h) F(x) = x 3 − 2e x + K<br />
i) F(x) = sin x + x 2 + K<br />
j) F(x) = 2x + cos x + K<br />
4.2 Ein bestemt antiderivert<br />
a) F(x) = x 2 + 2x + 2<br />
b) F(x) = x 3 − 3x + 4<br />
4.3 Ubestemte integral – del 1<br />
a) 3x + K<br />
b) x + 1 2 x2 + K<br />
c) 3x 2 − 2x + K<br />
d) x + 1 2 x2 + 1 3 x3 + 1 4 x4 + K<br />
e) x 3 − x + K<br />
f) 1 2 x2 + ln x + K<br />
g) 3 ln x + K<br />
h) 6 ln t + K<br />
i) x − ln x + K<br />
j) 1 2 e2x + K<br />
k) 1 4 e4x + K<br />
l) e x − e −x + K<br />
m) Bruk produktregelen for derivasjon, og trekk saman svaret så mykje som råd.<br />
n) − 1 2<br />
cos 2x<br />
o) 1 3<br />
sin 3x<br />
p) − cos x − sin x<br />
q) sin x + cos x<br />
r) −2 cos x<br />
s) − 3 2<br />
sin 2x<br />
11
12 Fasit – Integrasjon Repetisjonskurs 2011<br />
4.4 Bestemte integral<br />
a) Du skal få same svaret ved trekantrekning eller integrasjon: 17,5 ☺<br />
b) 76/3 ≈ 25, 333 . . .<br />
c) 1<br />
d) 9<br />
e) 12<br />
f) 2<br />
g) −6<br />
h) 0<br />
i) 3<br />
j) 5, 5<br />
k) −144<br />
l) 8<br />
m) 609<br />
n) 2<br />
o) 0<br />
p) 0<br />
q) 0<br />
r) 0<br />
s) 4<br />
t) 0<br />
u) 2<br />
4.5 Ubestemte integral – del 2<br />
a) 1 3 x3 + x<br />
g) − 1<br />
6x 3<br />
b) 1 3 x3 + x 2 + x<br />
c) 2 3 x3/2<br />
h) − 1<br />
4x 4<br />
d) 1 2 x2 + 4 3 x3/2 + x<br />
2 x<br />
i)<br />
e) −2/x<br />
ln 2<br />
1<br />
3 2x<br />
f)<br />
2x 2 j)<br />
2 ln 3<br />
4.6 Bestemte integral – del 2<br />
a) 64/5 = 12, 8<br />
b) ee+1 − 1<br />
e + 1<br />
c) 33/8 = 4, 125<br />
≈ 10, 80971199307218<br />
d)<br />
15<br />
≈ 5, 41<br />
4 ln 2<br />
e) 26/3 ≈ 8, 67<br />
f)<br />
14<br />
≈ 20, 20<br />
ln 2<br />
4.7 Substitusjon – skifte av variabel<br />
d) −6 cos(x/6)<br />
a) 1 4 sin(4x)<br />
c) − 1 2 sin(2x − π) f) − 1 2 e1−2x<br />
b) − 1 2<br />
cos(2x + 1)<br />
e) 1 2 e2x+1
13 Fasit – Integrasjon Repetisjonskurs 2011<br />
g) ln(x − 3) h) − 2 3<br />
ln(4 − 3x)<br />
4.8 Bestemte integral<br />
a) ln 3<br />
b) e 3 − 1<br />
c) 2 − √ 2<br />
d) 4 √ 2<br />
4.9 Delvis integrasjon<br />
a) xe x<br />
sin(ax) − ax cos(ax)<br />
h)<br />
a 2<br />
b) sin x + (1 − x) cos x<br />
i) (x 2 − 2) sin x + 2x cos x<br />
c) 2x ln x − 2x<br />
j) (x<br />
d) (x − 2) sin x + cos x<br />
2 − x + 1)e x<br />
e) 1 4<br />
(2x − 1)e2x<br />
k) π − 2<br />
f) 1 9<br />
(sin 3x − 3x cos 3x)<br />
l) 1 2<br />
(ln x)2<br />
g) 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 m) x ln x − x
14 Fasit – Integrasjon Repetisjonskurs 2011
<strong>Kapittel</strong> 5<br />
Vektorar<br />
5.1 Vektoralgebra<br />
a) 5 −→ a − 4 −→ b b) −5 −→ a c) 2 −→ b d) 5 −→ b − −→ c<br />
e) Parallelle: −→ v = 2 −→ u<br />
f) Ikkje parallelle<br />
g) Parallelle: −→ v = − −→ u<br />
h) Ikkje parallelle<br />
5.2 Skalarprodukt/vinklar<br />
a) 4 √ 2<br />
b) 4<br />
c) 0<br />
d) −4<br />
e) 48, 19 ◦<br />
f) 36, 87 ◦ g) 0 ◦<br />
h) 66, 42 ◦<br />
5.3 Delingspunkt / trekantar<br />
a) ii) 2 −→ b − −→ a<br />
iii) 10<br />
iv) Trapes (dei to sidene AD og BC er parallelle; dei andre sidene kan vere kva som helst).<br />
b) i) Dei tre sidene oppfyller likninga 3 2 + 4 2 = 5 4 , og det gjeld berre for rettvinkla trekantar.<br />
I tillegg er B hjørnet mellom dei to katetane, difor er det ∠B som er 90 ◦ .<br />
ii) 53, 13 ◦<br />
iii) Parallellogram (to og to sider er parallelle).<br />
c) ii) 5 3−→ a −<br />
2<br />
3−→ b<br />
d) i) −→ AP = 1 4−→ a +<br />
3<br />
4−→ b<br />
ii) −→ CQ = 1 4−→ a −<br />
−→ b<br />
iii) Linjene −→ AS og −→ AP er parallelle, og då må −→ AS = x · −→ AP for ein eller annan verdi x.<br />
Tilsvarande argument for det andre uttrykket, men der må du først gå frå A til C.<br />
15
16 Fasit – Vektorar Repetisjonskurs 2011<br />
iv) Dersom du set inn for −→ AP og CQ −→ i uttrykka i iii) får du dei to likningane −→ AS = x · 1<br />
4−→ a +<br />
x · 3 −→ −→<br />
4 b og AS = y · 1<br />
−→ −→<br />
4−→ a + (1 − y) b . Sidan begge to har AS på ei side av likhetsteiknet<br />
kan du setje høgresidene like kvarandre, og du får<br />
x · 1<br />
4<br />
−→ a + x · 3<br />
4<br />
−→ 1 b = y ·<br />
−→ −→ a + (1 − y) b<br />
4<br />
Ser du no på det som høyrer til −→ a på begge sider, og det som høyrer til −→ b på begge<br />
sider, får du dei to likningane<br />
og<br />
x · 1<br />
4 = y · 1<br />
4<br />
x · 3 = (1 − y)<br />
4<br />
Frå disse finn du så at x = 4 7 (du treng ikkje y-verdien, men den er også y = 4 7 dersom<br />
du lurte på det). Set du så dette inn i den første likninga −→ AS = x · 1 −→<br />
4 a + x · 3<br />
4−→ b får du<br />
−→ 1 AS =<br />
−→ 3−→ a + b<br />
7 7