Tusen millioner Ny utgave 7B - Cappelen Damm

Er kvitveisen
speglsymmetrisk?

11
Geometri 2
MÅL
I dette kapitlet skal du lære om
•
•
å flytte figurar ved spegling, parallellforskyving og dreiing
speglingssymmetri og dreiingssymmetri
KOPIERINGSORIGINALAR
11.1
Spegling av samansette figurar
11.7
Speglingssymmetri
11.2
Skrå spegl og trekantar
11.8
Felles problemløysing
11.3
Skrå spegl og firkantar
11.9
Spegelbilete
11.4
Rutenett
11.10
Dreiing 90° og 120°
11.5
Forskyving
11.11
Speglingslinjer
11.6
Dreiing 45°, 70° og 135°
11.12
Mangekantar
Geometri 2 105

Spegling
Du har klokka på
venstre arm, men på
spegelbiletet har du
henne på høgre arm!
Når eg flytter
meg, flytter spegelbiletet
seg òg!
Korleis flytter spegelbiletet av
Kaja seg når ho beveger seg framfor spegelen?
Kva er det Jon legg merke til?
Når vi flytter oss fram og attende framfor ein spegel, vil spegelbiletet
vårt også flytte seg på den same måten.
Det betyr at alle
punkt på kroppen
får eit spegelbilete
som heile tida ligg
like langt unna
spegelen på baksida
og vinkelrett
på spegelen.
106

1
A
Spegl
B
Spegl
a) Kva for ein av figurane viser spegling?
b) Sjå på den figuren som ikkje viser spegling.
Forklar kvifor det ikkje er spegling.
2
a) Kva for ein av figurane viser
eit spegelbilete av trekanten
til venstre?
Grunngi svaret.
b) Kor lange er
linjestykka i den
spegla trekanten
samanlikna med
utgangsfiguren?
A
B
C
kopi
11.1
3
Teikn spegelbilete av kvar figur på arbeidsarket.
4
a) Teikn eit kvadrat med sider 4 cm, og spegl det om ei av
sidene.
b) Kor lange er sidene i det nye kvadratet? Grunngi svaret.
Geometri 2
107

5
a) Teikn ein rettvinkla trekant der sidene som går ut frå den rette
vinkelen, er 3 cm og 4 cm. Kor lang er den tredje sida?
Bruk linjal for målingane. Spegl trekanten om den sida
som er 4 cm.
b) Kor lange er sidene i den nye trekanten? Grunngi svaret.
6
a) Teikn eit rektangel med sider 3 cm og 6 cm. Spegl rektangelet
om ei av sidene.
b) Kor lange er sidene i det nye rektangelet? Grunngi svaret.
7
a) Teikn ein likesida trekant der sidene er 5 cm. Spegl trekanten
om ei av sidene.
b) Kor lange er sidene i den nye trekanten? Grunngi svaret.
Når vi tenkjer oss spegelen
skråstilt i høve til ein figur,
finn vi spegelbiletet på
denne måten:
Spegel
3 cm 3 cm
1 cm 1 cm
Den grøne figuren er
spegelbilete av den raude
figuren.
2 cm 2 cm
Sidene i dei to figurane er
parvis like lange.
8
A B C
a) Kva for ein av figurane viser spegling?
b) Sjå på dei figurane som ikkje viser spegling. Forklar kvifor
figurane ikkje er spegelbilete av kvarandre.
108

kopi
11.2
9
Teikn spegelbilete av kvar trekant på arbeidsarket. Merk av linjene
som viser kvar det må vere rette linjer.
kopi
11.3
10
Teikn spegelbilete av kvar firkant på arbeidsarket. Merk av linjene
som viser kvar det må vere rette linjer.
11
a) Teikn eit rektangel med sider 10 cm og 4 cm.
Diagonalane
i ein firkant er linjestykke
som går frå
hjørne til hjørne inne
i figuren.
b) Spegl rektangelet om ein av diagonalane.
c) Kor lange er sidene i det nye rektangelet? Grunngi svaret.
12
a) Teikn eit kvadrat med sider 5 cm.
b) Spegl kvadratet om ei av sidene.
Sjå på figuren som består av dei to kvadrata som du no
har på teikninga.
c) Kva type firkant er dette?
d) Kor lange er sidene i den nye firkanten?
13
a) Teikn ein firkant der ingen vinklar er 90º.
b) Spegl firkanten om ein av diagonalane.
c) Kor lange blir sidene i den nye firkanten?
Geometri 2
109

Parallellforskyving
Trekanten
er flytt skrått
oppover.
Ja, men
han har ikkje
blitt spegla
eller dreidd!
Korleis har figuren flytt seg?
Når ein figur blir flytt ved parallellforskyving,
blir kvart punkt i figuren flytt i ei bestemt retning og like langt.
Den gule pila viser både
retninga til parallellforskyvinga
og lengda av henne.
Parallellforskyvinga er 6 ruter
loddrett oppover.
Sidene i dei to figurane er
parvis like lange.
110

14
a) I kva retning er figuren parallellforskyvd?
b) Kor mange ruter er figuren parallellforskyvd?
15
a) I kva retning
er figuren
parallellforskyvd?
b) Kor mange ruter
er figuren
parallellforskyvd?
16
a) Beskriv retninga
figuren er
parallellforskyvd i.
For å vise parallellforskyvinga,
kan vi
trekkje opp éi pil på
figuren.
b) Mål kor
lang denne
pila må vere.
Geometri 2
111

17
a) I kva retning er draken parallellforskyvd?
b) Kor mange ruter er draken parallellforskyvd?
kopi
11.4
18
Teikn ein figur på arbeidsarket, og parallellforskyv han fem ruter til
høgre og åtte ruter nedover.
kopi
11.5
19
20
Parallellforskyv figurane på arbeidsarket.
Når vi skal vise ei parallellforskyving, teiknar vi alltid ei pil.
Kva fortel denne pila?
21
Ein av påstandane er sanne. Skriv han i kladdeboka di.
1) Når vi parallellforskyver ein figur, blir han større samtidig som
han flytter seg.
2) Når vi parallellforskyver ein figur, blir han mindre samtidig som
han flytter seg.
3) Når vi parallellforskyver ein figur, endrar han ikkje storleik,
men flytter seg.
22
To av påstandane er sanne. Skriv av desse.
1) Pila viser berre retninga figuren blir forskyvd i.
2) Pila viser både retninga og lengda figuren blir forskyvd i.
3) Pila viser berre lengda som figuren blir forskyvd.
4) Alle linjestykka i ein figur er uendra etter ei parallellforskyving.
112

Dreiing
Kor stor del av ein sirkel dreier Simen og Mia
dersom dei dreier 60º?
Kor mange grader dreier Kaja
når ho har snurra rundt seg sjølv éin gong?
Når ein figur blir dreidd, betyr det at kvart punkt i figuren blir flytt
like mange grader rundt eit bestemt punkt. Punktet blir kalla
omdreiingspunktet. Det kan ligge både inne i figuren og utanfor.
Omdreiingspunktet er
sentrum av klokka.
x P
Omdreiingspunktet er P.
Sidene i figurane er
parvis like lange.
Den lengste visaren har dreidd 90º rundt midtpunktet
etter at klokka var tolv.
Geometri 2
113

23
Kor mange grader har den lengste visaren dreidd etter
at klokka var tolv?
a) b) c)
24
Kor mange grader har figurane dreidd?
a) b)
x
x
c) d)
x
x
kopi
11.6
25
a) Drei figurane på arbeidsarket 45º, 70º og 135º om punktet
som er avmerkt.
b) Kor lange er sidene i figurane etter at dei er dreidde?
For kvar figur skal du samanlikne med utgangsfiguren.
114

Symmetri
Nokre figurar
kan delast i to, slik
at dei to halvdelane
dekkjer kvarandre når
dei blir bretta.
Ja, sjå på
trekanten. Med den
kan vi få det til i tre
ulike retningar!
Korleis kan vi brette figurane på tavla slik
at halvdelane dekkjer kvarandre?
Dersom vi kan trekkje ei linje gjennom ein figur,
slik at dei to delane vi får, dekkjer kvarandre,
har figuren speglingssymmetri. Ein figur kan ha
fleire speglingssymmetriar.
Speglingslinje
Speglingslinje
Speglingslinje
kopi
11.7
26
Gjer ferdig figurane på arbeidsarket slik at dei blir symmetriske
om speglingslinjene.
Geometri 2
115

27
Kva for ein av figurane har
a) berre éi speglingslinje c) tre speglingslinjer
b) to speglingslinjer
A
B
C
28
Teikn av figurane i oppgåve 27, og merk av speglingslinjene.
29
Kva for nokre av figurane under har speglingssymmetri?
Skisser figurane med speglingslinjer.
A B C
D E F
116

30
Teikn ein figur som har speglingssymmetri. Merk av speglingslinjene.
Dersom ein figur dekkjer seg sjølv éin eller fleire gonger når vi dreier
han 360º om eit punkt inne i figuren, har figuren
dreiingssymmetri.
Alle figurar
dekkjer seg sjølv
etter at vi har
dreidd dei 360º.
Derfor har alle
figurar minst
éin dreiingssymmetri.
P
x
Punktet vi dreier om,
blir kalla omdreiingspunktet.
P er omdreiingspunkt
for den
likesida trekanten.
31
a) Kor mange gonger vil
figuren dekkje seg sjølv
på éi omdreiing? Du skal
rekne med 360º.
Omdreiingspunktet er S.
b) Kor mange speglingslinjer
har figuren?
xS
32
a) Kor mange gonger vil
figuren dekkje seg sjølv
på éi omdreiing?
Du skal rekne med 360º.
Omdreiingspunktet er S.
b) Kor mange speglingslinjer
har figuren?
x S
Geometri 2
117

33
P
x
a) Kor mange gonger vil figuren dekkje seg sjølv på ei omdreiing?
Omdreiingspunktet er P. Du skal rekne med 360º.
b) Kor mange speglingslinjer har figuren?
34
x K
a) Kor mange gonger vil figuren, med mønster, dekkje seg sjølv på
ei omdreiing? Omdreiingspunktet er K.
b) Kor mange speglingslinjer har figuren?
kopi
11.8
35
Klar for felles problemløysing! Klipp ut korta på arbeidsarket.
Gå saman i grupper, og fordel korta. Finn løysinga saman.
118

Kan eg?
Oppgåve 1
Teikn ein trekant og ein spegl utanfor trekanten.
Teikn deretter spegelbiletet av trekanten.
Oppgåve 2
Teikn ein trekant. Drei trekanten 90º om eit av hjørna.
Oppgåve 3
Teikn av figuren, og parallellforskyv
han 5 cm i den retninga pila viser.
Oppgåve 4
Kor mange speglingslinjer har
trekanten til høgre?
Vis ved teikning.
3 cm
3 cm
Oppgåve 5
a) Kva for ein av figurane under har speglingssymmetri?
A B C D
2,5 cm
2,5 cm
b) Skisser figurane som har speglingssymmetri, og teikn inn
symmetrilinjene på kvar figur.
2,5 cm
Geometri 2
119

Oppgåve 6
Kva for nokre av figurane har meir enn éin dreiingssymmetri?
a) b) c) d)
Oppgåve 7
Kva for nokre av figurane har speglingssymmetri og meir enn éin
dreiingssymmetri?
a) b) c) d)
Oppgåve 8
Sant eller usant?
a) Ved spegling får vi ein ny figur som alltid er større.
b) Ved parallellforskyving blir ein figur flytt utan at han
endrar form.
c) Ved dreiing blir ein figur alltid rotert 360º om eit punkt.
d) To spegelvende figurar har alltid den same forma.
e) To spegelvende figurar har alltid det same arealet.
f) Eit rektangel har fire speglingslinjer.
g) Ein sirkel vil dekkje seg sjølv uendeleg mange gonger dersom
han blir dreidd rundt sentrum.
120

Eg reknar meir
36
Kva for ein av
figurane viser
eit spegelbilete
av trekanten
over spegelen?
A B C
Spegl
kopi
11.9
37
Teikn spegelbilete av kvar figur på arbeidsarket.
38
a) Teikn eit kvadrat med sider 5 cm. Spegl kvadratet om ei av sidene.
b) Kor lange er sidene i det nye kvadratet? Grunngi svaret.
39
a) Teikn eit rektangel med sider 2 cm og 5 cm. Spegl rektangelet
om ei av sidene.
b) Kor lange er sidene i det nye rektangelet? Grunngi svaret.
40
Teikn ein T og ein M slik figuren under viser.
Teikn spegelbiletet av bokstavane.
Geometri 2
121

41
a) I kva retning er figuren
til høgre parallellforskyvd?
b) Kor mange ruter er figuren
parallellforskyvd?
c) Kor mange speglingslinjer
har figuren som vi har
parallellforskyvd?
Teikn figuren med speglingslinjer.
42
a) I kva retning er denne figuren
parallellforskyvd?
b) Kor mange ruter er figuren
parallellforskyvd?
c) Kor mange speglingslinjer
har figuren som vi har
parallellforskyvd?
Teikn figuren med speglingslinjer.
43
a) I kva retning er figuren
under parallellforskyvd?
b) Kor mange ruter er figuren parallellforskyvd?
kopi
11.4
44
Teikn ein figur på rutearket og parallellforskyv han 7 ruter til høgre
og 10 ruter nedover.
122
45
a) Teikn ein trekant på rutearket, og parallellforskyv han slik at du
får eit mønster.
b) Skriv kor mange ruter og i kva retning trekanten er
parallellforskyvd.

46
a) Kor mange gonger må
Kaja og Mia dreie 90º
før dei er attende der dei
starta?
b) Kor mange gonger må dei
dreie 45º før dei er attende
der dei starta?
c) Kor mange gonger må dei
dreie 60º før dei er attende
der dei starta?
d) Kor mange gonger må dei
dreie 120º før dei er attende
der dei starta?
Vi dreier
med hendene
som sentrum!
47
Kor mange grader har
brytaren dreidd når plata står på
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
f) 6
0
1 5
x
2 4
3
kopi
11.10
48
a) Drei figuren på arbeidsarket 90º og 120º om punktet
som er avmerkt.
b) Kor lange er sidene i figurane etter at dei er dreidde?
For kvar figur skal du samanlikne med utgangsfiguren.
Geometri 2
123

49
Kor mange speglingslinjer har kvar av desse figurane?
a) b)
c) d)
kopi
11.11
50
Teikn speglingslinjene i kvar av figurane på arbeidsarket.
51
Teikn ein figur som har to speglingslinjer. Merk av speglingslinjene.
52
Teikn av figuren under.
a) Trekk opp så mange speglingslinjer som du finn.
b) Kor mange dreiingssymmetriar har figuren?
c) Kor mange grader er kvar dreiing?
124

53
A
B
C
D
E
a) Kor mange speglingslinjer har kvar av figurane?
b) Teikn figurane med speglingslinjene.
54
Tenk deg at du dreier figurane under omkring punktet
som er merkt av.
Kva for nokre av figurane har meir enn éin dreiingssymmetri?
a) b)
x
x
c) d)
x
x
Geometri 2
125

55
Tenk deg at du dreier figurane under omkring punktet som er
merkt av.
Kor mange gonger vil kvar av figurane dekkje seg sjølv på
éi omdreiing?
a) b)
x
x
c) d)
x
Du treng:
Saks og
papir
56
57
a) Klipp papiret slik at det får form som ein sirkel eller eit kvadrat.
Brett deretter arket fleire gonger, og klipp ut hakk i sidene.
Brett ut att.
b) Kor mange speglingslinjer har figuren din?
c) Har figuren dreiingssymmetriar? Forklar.
a) Teikn ein regulær åttekant.
b) Kor mange gonger vil
figuren dekkje seg sjølv
dersom du dreier han 360º?
c) Kor mange
speglingslinjer
har figuren?
I ein regulær
figur er alle sidene
like lange.
126

Du treng:
Passar
58
a) Bruk passaren og lag ei passarrose slik som vist under.
b) Lag ein regulær sekskant av passarrosa ved å trekkje opp
linjer med linjalen.
c) Kor mange gonger vil figuren dekkje seg sjølv dersom du
dreier han 360º?
d) Kor mange speglingar har figuren?
kopi
11.12
Du treng:
Saks
59
a) Undersøk dei regulære mangekantane på arbeidsarket, og finn
ut om dei har dreiingssymmetriar og speglingssymmetriar.
Ser det ut som
om det kan vere ein
samanheng mellom talet
på speglingssymmetriar
og talet på dreiingssymmetriar?
b) Kva vil du svare Matellitten?
Geometri 2
127

Oppsummering
Spegling
Vi kan spegle ein figur om ei speglingslinje ved å flytte alle punkta
i figuren vinkelrett, like langt og i den same retninga over på motsett
side av speglingslinja.
Spegel
Verkeleg
punkt
x
Spegelbilete
Verkeleg
punkt
x
Spegelbilete
x
Parallellforskyving
Vi kan parallellforskyve ein figur
ved å flytte kvart punkt
i figuren like langt og
i den same retninga.
Figuren er parallellforskyvd
5 ruter til høgre og 6 ruter opp.
Dreiing
Vi kan dreie ein figur om eit punkt som ligg i eller utanfor figuren.
Punktet blir kalla omdreiingspunktet.
128
P
x
Figuren er dreidd 180º
om punktet P.
S
x
Figuren er dreidd 90º om punktet S.

Speglingssymmetri
Dersom vi kan trekkje ei linje gjennom ein figur, slik at dei to delane
vi får, dekkjer kvarandre, har figuren speglingssymmetri. Linja blir
kalla speglingslinje. Ein figur kan ha fleire speglingssymmetriar.
Den likesida
trekanten har tre
speglingslinjer.
Kvadratet har fire
speglingslinjer.
Dreiingssymmetri
Dersom ein figur dekkjer seg sjølv éin eller fleire gonger når vi
dreier han 360º rundt eit punkt inne i figuren, har han
dreiingssymmetri. Punktet blir kalla symmetripunktet.
P
x
Figuren over har fire dreiingssymmetriar:
90° om punktet P
180° om punktet P
270° om punktet P
360° om punktet P (attende til utgangspunktet)
Geometri 2
129