København, januar 2011 Kære selvstuderende i matematik ... - KVUC

København, januar 2011
Kære selvstuderende i matematik A
Jeg hedder Kresten Bremer og kan kontaktes på mail: br@kvuc.dk eller på tlf. 31 41 18 65.
Herunder ser du et forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag.
Eksaminationsgrundlaget for matematik B indgår også i eksaminationsgrundlaget for selvstuderende i
matematik A. Der vil altså til den skriftlige og mundtlige eksamen forekomme spørgsmål i både B- og
A-niveau. Foruden de sider i B-niveau bogen jeg har med i eksaminationsgrundlaget til A-niveau kan
det derfor være nyttigt for dig at repetere hele B-niveauet, enten efter en bog du tidligere har brugt,
eller den jeg har medtaget i materialet.
Eksamensspørgsmålene til den mundtlige eksamen ses nedenfor. I nogle af spørgsmålene henvises til
projekter, som jeg anbefaler at du gennemregner. Dog står der ”evt.” i spørgsmålene, så du behøver
ikke inddrage projektet. Projektoplæggene kan du se til sidst i materialet.
Tidligere eksamenssæt til den skriftlige eksamen kan findes her: eksamenssæt - se dem som omhandler
Matematik A, STX.
På undervisningsministeriets hjemmeside kan du ligeledes finde læreplanen.
Du skal bruge et CAS-værktøj ligesom på B-niveau. Det kan f. eks være en lommeregner som TI nSpire
eller TI-89. Evt. kan du bruge en TI-89 emulator. Altså et lille (gratis) program til en pc, der ”efterligner”
den fysiske lommeregner. Bemærk at emulatoren mangler visse funktionaliteter, fx regression. Du
kan finde emulatoren her: emulator. Vejledning og eksempelsamling til TI nSpire og TI-89 kan findes
her: CAS - hjælp mm..
Du kan selvfølgelig også bruge en pc med andre matematikprogrammer.
Hvis du vil medbringe pc til eksamen, så husk at ansøge skolen om det.
God læselyst.
Kresten Bremer

Oversigt over de forskellige temaer
Titel 1
Titel 2
Titel 3
Titel 4
Titel 5
Titel 6
Titel 7
Titel 8
Titel 9
Udvalgte emner fra B-niveau (repetition)
Differentialregning (repetition og udbygning)
Integralregning (repetition og udbygning)
Differentialligninger
Trigonometriske funktioner
Vektorer og analytisk geometri i 2 dimensioner
Vektorer og analytisk geometri i 3 dimensioner
Infinitesimale modeller (sammenhæng med fysik samt historiske aspekter)
Statistik (repetition og udbygning)

Beskrivelse af de forskellige temaer
Titel 1
Indhold
Særlige fokuspunkter
Udvalgte emner fra B-niveau (repetition)
Undervisningsmateriale:
• Carstensen, Frandsen, Studsgaard: Mat B hf, Systime, s 38-68, 75-92, 95-
117,173-182
• Vækstmodeller
• Andengradspolynomiet
• Trigonometri
Titel 2
Differentialregning (repetition og udbygning)
Indhold
Særlige fokuspunkter
Kernestof:
Emner:
• Differentiabilitet, regneregler, herunder bl.a. differentiation af sum, differens
og produkt
Undervisningsmateriale:
• Carstensen, Frandsen, Studsgaard: Mat B hf, Systime, s. 129-147,151-169,195-
198
• Carstensen, Frandsen, Studsgaard: Mat B til A, Systime, s. 102-111
Supplerende stof:
• Differentiation af brøk
• Vise formler fra B-niveau vha. nye regneregler fra A-niveau
• skabe grundlag for integralregning ved at uddybe forståelse af differentialregning
Titel 3
Integralregning (repetition og udbygning)
Indhold
Kernestof:
Emner:
• Repetition af stamfunktion og bestemte/ubestemte integraler
• Areal mellem grafer
• Integration ved substitution
• Integralet som grænseværdi for summer samt rumfang af omdrejningslegeme
Undervisningsmateriale:
• Carstensen, Frandsen, Studsgaard: Mat B hf, Systime, s. 217-221,225-239

Særlige fokuspunkter
• Carstensen, Frandsen, Studsgaard: Mat B til A, Systime, s. 111-128
• overveje hvornår der skal regnes "i hånden" og hvornår der skal benyttes
CAS
Titel 4
Indhold
Særlige fokuspunkter
Differentialligninger
Kernestof:
Emner:
• Opstilling af differentialligning
• Løsning vha. CAS
• Eksakt løsning af lineær differentialligning og den logistiske differentialligning
Undervisningsmateriale:
• Carstensen, Frandsen, Studsgaard: Mat B til A, Systime, s. 132-151
• forståelse af begrebet
• opstilling af model
• bevisførelse
• arbejde med ”specialtilfælde”
Titel 5
Trigonometriske funktioner
Indhold
Særlige fokuspunkter
Kernestof:
Emner:
• Radiantal, grafer for trigonometriske funktioner, differentiation af trigonometriske
funktioner, svingninger: betydningen af forskellige konstanter (parametre)
for grafen af en svingning
Undervisningsmateriale:
• Carstensen, Frandsen, Studsgaard: Mat B til A, Systime, s. 80-100
Supplerende stof:
• Beviserne i ovenstående sider
• forståelse af CAS' muligheder til visning af grafer
• bevisførelse i øvrigt
Titel 6
Vektorer og analytisk geometri i 2 dimensioner
Indhold
Kernestof:
Emner:
• Afstandsformlen, linjens ligning og parameterfremstilling, vektorer (regnereg-

Særlige fokuspunkter
ler, koordinater), basisvektorer, retningsvektor, tværvektor, normalvektor, ortogonalitet,
cirklens ligning, linjers skæring, 2 ligninger med 2 ubekendte, skalarprodukt,
vinkel mellem linjer, projektion, afstand fra punkt til linje, skæring
mellem linje og cirkel, cirkeltangenter, determinantbegrebet
Undervisningsmateriale:
• Carstensen, Frandsen, Studsgaard: Mat B til A, Systime, s. 8-75
Supplerende stof:
• Intet specielt men kraftig fokus på beviser ud over hvad der forventes i kernestoffet.
• forståelse af vektorbegrebet, herunder forskel på regning med tal og med
vektorer
• træning i at læse matematiske tekster
• forståelse af den deduktive opbygning og bevisernes nødvendighed
Titel 7
Vektorer og analytisk geometri i 3 dimensioner
Indhold
Særlige fokuspunkter
Kernestof:
Emner:
• Koordinater, vektorer, regneregler, skalarprodukt, vinkel mellem vektorer, linjens
parameterfremstilling, skæring mellem linjer, planens ligning, krydsprodukt,
skæring mellem linje og plan, afstand mellem punkt og plan, projektion
af punkt på plan, vinkel mellem planer, vinkel mellem linje og plan, kuglens
ligning, tangentplan, skæring mellem kugle og linje
Undervisningsmateriale:
• Carstensen, Frandsen, Studsgaard: Mat B til A, Systime, s. 154-208, 286-289
Supplerende stof:
• skæring mellem planer, fokus på beviser ud over hvad der forventes i kernestoffet
• rumlig visualisering
• forståelse af CAS's muligheder til "regnetunge" opgaver
• bevisførelse i øvrigt
Titel 8
Indhold
Infinitesimale modeller (historisk emne samt sammenhæng med fysik)
Supplerende stof:
• separation af variable
• differentialligninger i fysik

Særlige fokuspunkter
• differentielle argumenter til bestemmelse af længder, arealer og voluminer
Undervisningsmateriale:
• Carstensen, Frandsen, Studsgaard: Mat B til A, Systime, s. 210-232
• indblik i differential- og integralregningens historiske udvikling
• sammenhængen mellem matematik og fysik
• anvendelser af matematik
Titel 9
Indhold
Særlige fokuspunkter
Statistik (repetition og udbygning)
Kernestof:
Emner:
• Deskriptiv statistik
(grupperede og ikke-grupperede observationer, deskriptorer, boksplot)
Normalfordelingen
• Stikprøver
• Binomialfordelingen og test
Undervisningsmateriale:
• Carstensen, Frandsen, Studsgaard: MAT B hf, Systime, s. 247-263 samt s.
293-313
• Noter vedr. boksplot og deskriptorer
• Noter vedr. normalfordelingen
• Noter vedr. chi i anden test
• Om stikprøver (Skrivelse fra fagkonsulent Bjørn Grøn)
• elementære grundbegreber til behandling af et talmateriale
• systematiske fejl og skjulte variable i forbindelse med stikprøver
• binomialsandsynligheder på CAS
• normalfordelingen
• testbegrebet (chi i anden test)

Eksamensspørgsmål i matematik A for selvstuderende 2011
I kan komme ind på hvad som helst, der hører under overskriften, men I skal i hvert fald nå at gennemgå
det, I er bedt om specielt at gøre rede for. Det forventes at I beviser de sætninger, der indgår
som bevises i bogen.
Eksaminationstiden er 30 minutter inkl. votering. Der gives 30 minutters forberedelsestid.
Prøven er todelt. Første del består af eksaminandens præsentation af sit svar på det udtrukne spørgsmål
suppleret med uddybende spørgsmål fra eksaminator. Anden del former sig som en samtale mellem
eksaminand og eksaminator med udgangspunkt i det overordnede spørgsmål (dvs. overskriften).
1 Vektorer og analytisk geometri
Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 2 dimensioner samt vinklen mellem to (egentlige)
vektorer.
2 Vektorer og analytisk geometri
Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 2 dimensioner, tværvektor-begrebet og determinanten
af vektorpar.
3 Vektorer og analytisk geometri
Du skal specielt gøre rede for parameterfremstilling for den rette linje i 3 dimensioner, herunder skæring mellem
to linjer i rummet.
4 Vektorer og analytisk geometri
Du skal specielt gøre rede for parameterfremstilling for den rette linje i 3 dimensioner, samt afstand fra punkt til
plan i 3 dimensioner.
5 Vektorer og analytisk geometri
Du skal specielt gøre rede for krydsproduktet mellem to vektorer i 3 dimensioner samt hvad krydsproduktet
kan anvendes til.
6 Vektorer og analytisk geometri
Du skal specielt gøre rede for parameterfremstilling for den rette linje i 3 dimensioner, herunder skæring mellem
to linjer og skæring og vinkel mellem linje og plan i 3 dimensioner.

7 Vektorer og analytisk geometri
Du skal specielt gøre rede for planens ligning samt skæringslinje og vinkel mellem to planer.
8 Vektorer og analytisk geometri
Du skal specielt gøre rede for planens ligning samt afstanden mellem punkt og plan.
9 Vektorer og analytisk geometri
Du skal specielt gøre rede for afstandsformlen i 3 dimensioner samt kuglens ligning og tangentplan til kugle.
10 Trigonometri
Du skal specielt gøre rede for sinusrelationerne og cosinusrelationerne for en vilkårlig trekant.
11 Differentialregning
Du skal specielt gøre rede for, hvad det vil sige, at en funktion er differentiabel og give konkrete eksempler
på hvordan man kan vise at en funktion er differentiabel.
Du skal også gøre rede for Monotoniforhold for differentiable funktioner.
Du kan evt. inddrage dit projekt om differentialregning.
12 Differentialregning
Du skal specielt gøre rede for regneregler for differentiable funktioner.
Du kan evt. inddrage dit projekt om differentialregning.
13 Differentialregning
Du skal specielt gøre rede for regneregler for differentiable funktioner.
Du kan evt. inddrage dit projekt om differentialregning.
14 Vækstmodeller
Du skal specielt gøre rede for lineær vækst, eksponentiel vækst og potensvækst.
15 Integralregning
Du skal specielt gøre rede for det ubestemte integral af en funktion f. Du skal også komme ind på regneregler
for ubestemte integraler.
16 Integralregning
Du skal specielt gøre rede for det bestemte integral af en funktion f.

Du skal også gøre rede for arealbestemmelse vha. integraler.
17 Differentialligninger
Du skal specielt gøre rede for den lineære differentialligning y' k y .
Du kan evt. inddrage dit projekt om differentialligninger.
18 Differentialligninger
Du skal specielt gøre rede for den lineære differentialligning y' a
y b .
Du kan evt. inddrage dit projekt om differentialligninger.
19 Differentialligninger
Du skal specielt gøre rede for den lineære differentialligning y'
a y h(
x)
.
Du kan evt. inddrage dit projekt om differentialligninger.
20 Differentialligninger
Du skal specielt gøre rede for den lineære differentialligning y'
g(
x)
y h(
x)
.
Du kan evt. inddrage dit projekt om differentialligninger.
21 Deskriptiv statistik og stikprøver
Du skal specielt gøre rede for hvordan man kan beskrive et grupperet observationsmateriale gerne med udgangspunkt
i et konkret datamateriale.

Oplæg til projekt om differentialregning
Formål
at repetere begrebet differentialregning fra mat B med henblik på mundtlig eksamen.
at træne forståelsen for 3-trinsreglen.
at vise at nogle af beviserne fra mat B kan laves enklere ved at anvende regneregler
fra mat A.
at regne et par opgaver med monotoniforhold.
Spørgsmålene
I skal besvare nedenstående spørgsmål. NB! De spørgsmål der er markeret Ekstra kan overspringes!
1: Begreberne differentialkvotient og tangent
Lav en oversigt (som I kan bruge til den mundtlige eksamen) over hvad det vil sige at en funktion er
differentiabel, herunder eksempler på anvendelse af 3-trinsreglen til bestemmelse af differentialkvotienten
for nogle konkrete funktioner [B-niveau bogen 141-144].
2: Regneregler for differentiable funktioner
I B-bogen vises side 151 sumreglen (f+g)’(x o )= f’(x o )+g’(x o ) og i A-bogen vises side
104-105 produktreglen ( f g) ( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) I skal på tilsvarende måde lave et bevis
o o o o o
for mindst én af regnereglerne for differentiation af f(x)-g(x), kf(x) eller hvis I vil have mere udfordring
så differentiation af f(x)/g(x).
3: Bevis for formlen (x n )’=nx n-1 hvor n er et helt tal
Formlen vises i B-bogen for n>0 og n=0 si158-159 desuden vises den når n=-3 på s. 159.
Prøv tilsvarende at vise den for et vilkårligt negativt n ved at bruge brøkreglen.
4: Bevis for formlen (e kx )’=ke kx
Formlen er vist i B-bogen side 162. Et andet (lettere) bevis fås ved i stedet at udnytte at funktionen e kx
er sammensat af funktionerne g(x) =kx og f(x) = e x og dernæst benytte regnereglen for differentialkvotient
at sammensat funktion til at vise formlen.
5: Bevis for formlen (a x )’ = ln(a)a x
Begrund først hvorfor a = e ln(a) for alle positive tal a.

Forklar derefter omskrivningen a x = (e ln(a) ) x = e ln(a)x .
Benyt så resultatet i spørgsmål 4 til at vise formlen (a x )’ = ln(a)a x .
6: Ekstra: Bevis for formlen (x a )’ = ax a-1 for x>0 og vilkårligt a
Omskriv først x a til formen e g(x) .
Brug dernæst reglen om differentiation af en sammensat funktion.
7: Ekstra: Bevis for formlen (ln(x))’=1/x
Sæt g(x) = ln(x). I skal ikke bevise at funktionen g er differentiabel (dvs. at man i 3. trin i tretrins-reglen
kan finde en grænseværdi), men hvis man går ud fra at funktionen er differentiabel kan man let bestemme
differentialkvotienten ved at benytte reglen om differentiation af sammensat funktion:
Gør først rede for at e g(x) = x.
Differentier nu på begge side af lighedstegnet og husk at (lade som om) I ikke ved hvad g’(x) er.
Bemærk: på venstre side benyttes reglen for sammensat funktion.
I skulle nu kunne slutte at g’(x)= 1/x dvs. at (ln(x))’ = 1/x.
8: Opgaver der skal regnes
Vejledende eksamensopgaver STX A nr. 1.013, 1.014 (trykfejl i opgaven f´(x) skal være negativ i ]8;10[
ikke positiv), 6.002, 6.004.

Oplæg til projekt i differentialligninger
1. Forklar hvad der forstås ved ”en første ordens differentialligning”
2. f ’(x) (eller dy ) kaldes den første afledede.
dx
Differentieres f ’(x) får vi den anden afledede f ’’(x)
Differentieres f ’’(x) får vi den tredje afledede f ’’’(x) (eller f (3) (x))
osv.
Hvis f(x) = x 3 +2x 2 -5x+1 hvad er da f ’(x), f ’’(x), f (3) (x) og f (4) (x)?
3. Der findes også 2.ordens differentialligninger, 3.ordens differentialligninger osv.
En 2. ordens differentialligning er en ligning, hvor den anden afledede indgår og evt. også den
første afledede.
Tilsvarende er en n’te ordens differentialligning en differentialligning, hvor den højest forekommende
afledede funktion er f (n) (x).
Hvilken orden har følgende differentialligninger?
f ’’(x) = - 4 f(x) f ’(x) + f ’’’(x) = x 2 f ’’(x) = 12x 2
Løs på CAS differentialligningerne f ’’(x) = - 4 f(x) og f ’’(x) = 4 f(x).
4. Regn de vejledende eksamensopgaver STX A nr. 8.010, 8.009, 8.018, 8.019, 8.020, 8.022.