Dataøving 2 - Institutt for teknisk kybernetikk - NTNU

NTNU
Norges teknisknaturvitenskapelige
universitet
Institutt for teknisk kybernetikk
vårsemesteret 2004
TTK 4140 Reguleringsteknikk m/elektriske kretser
Dataøving 2
Fiskelabben G-116/G-118
Uke 16: Onsdag 14. april kl. 16.00-20.00
Uke 17: Onsdag 21. april kl. 16.00-20.00
Uke 18: Onsdag 28. april kl. 16.00-20.00
Det er veiledning 17.00-20.00
Innlevering : Fredag 30. april kl. 14.30.
Innledning
I denne dataøvingen skal vi se nærmere på det samme systemet som ble behandlet i Dataøving
1. Det vil ikke bli bruk for noe av det dere laget der, men vi skal istedet se på andre aspekter
ved systemet. Frekvensanalyse og regulatordesign vil være sentralt
Praktisk gjennomførelse
Fiskelabben finner dere bak EL5.
Det vil være studasser tilstede på labben i de oppsatte tidene. For å få utnyttet ressursene
bedre, skal øvingene gjøres i grupper på 2-3 personer. Disse organiserer dere selv. Benytt
gjerne samme gruppe som dataøving 1.
Det er mulig at noen vil finne enkelte oppgaver ganske vanskelige, kanskje spesielt når det
gjelder implementasjonen i Matlab. Ikke være redd for å spørre om hjelp! Hvis det likevel
skulle bli altfor mye å gjøre bør det fremgå av rapporten hva som var vanskelig og hvorfor
dere ikke har gjort det. Som en hovedregel vil besvarelser hvor mindre enn halvparten av oppgavene
ikke er gjennomførte ikke bli godkjent.
Dere skal levere én rapport pr. gruppe i innleveringsboksene i kjelleren, og aktuelle
grafer skal legges ved. Dette betyr ikke at absolutt alle grafer skal skrives ut, men heller
et representativt utvalg. Ingen krever at man skal gjøre all verden ut av rapporten, men
den skal klart og tydelig vise at dere har forstått oppgavene. Husk å skrive navn, avdeling,
årskurs, e-mail adresse (for alle gruppemedlemmer) på besvarelsen .
side 1

Matlab
Det er svært viktig at dere har satt dere litt inn i Matlab før dere begynner på øvingen. Ett godt
utgangspunkt finner dere på ;
http://www.itk.ntnu.no/fag//TTK4140/nyttig/Matlab_lenker.pdf
Help-funksjonen i Matlab er også nyttig.
Teori
Som tidligere nevnt, er det varmluftsrøret fra dataøving 1 som representerer systemet vårt
denne gangen også. I D1 fant vi at følgende forenklede blokkdiagram kunne representere systemet
(hvis vi ser bort fra forstyrrelsen):
u
h p (s)
Θ
e – τs y
Figur 1: Systemet som transferfunksjon og tidsforsinkelse
Transferfunksjonen h p (s) skulle finnes på forrige øving. Skrevet ut med tallverdier blir det:
h p
( s)
=
-----------------------------------
1
0,177s + 0,248
Denne skal vi anta kjent her. Tidsforsinkelsen skulle være τ = 0,2818 , og denne skal tilnærmes
med en Padèapproksimasjon av 2. orden i denne oppgaven. Systemet skal reguleres
med en begrenset PID-regulator, og denne kan skrives som :
( T
h r
( s) K i T f + T i T d )s 2 + ( T i + T f )s + 1
= p
---------------------------------------------------------------------------
T i T f s 2 + T i s
lign.(1)
Oppgave 1: Ziegler-Nichols’ lukket-sløyfe-metode
I denne oppgaven skal vi finne en god regulator for systemet vha. Ziegler-Nichols’ metode for
lukkede sløyfer (se 9.3.2 i læreboken). Følgende m-fil kan lagres som f.eks. init2.m på din
egen katalog:
side 2

init2.m
% Initieringsfil til dataoeving 2 i fag TTK4140
% Prosessens transferfunksjon funnet i dataoeving 1
thp=1;
% Teller hp
nhp=[0.1770 0.2480]; % Nevner hp
% Regulatorparametre
Kp=0;
Ti=1000000; % Satt stor i starten = Uendelig
Td=0;
% Regulatorens transferfunksjon
Tf=Td/10; % Vanlig antakelse for begrensningen
thr=Kp*[(Ti*Tf+Td*Ti) (Ti+Tf) 1]; % Teller hr
nhr=[Ti*Tf Ti 0];
% Nevner hr
% Padeapproksjimasjon av tidsforsinkelse
tau=0.2818;
[tpade,npade]=pade(tau,2); % 2.ordens tilnaermelse
% Sloeyfetransferfunksjonen
th0=conv(thr,thp);
th0=conv(th0,tpade);
nh0=conv(nhr,nhp);
nh0=conv(nh0,npade);
Her er transferfunksjonene representert ved tellere og nevnere, noe som er hensiktsmessig i
Matlab. Denne filen bør som sagt ligge under din egen katalog, f.eks. D:\user\
Se D1 for nærmere informasjon.
Husk at denne filen må lagres og kjøres for hver gang du forandrer noe i den. Til å begynne
med er det kun regulatorparametrene som trengs å forandres.
Det er også lurt å lage følgende modell i Simulink:
side 3

Alle nødvendige byggeklosser skal finnes i bibliotekene. Merk spesielt bruken av “Workspace”
og “Clock”. Disse sender variable direkte til Matlab. Legg også merke til at vi ikke har
tatt med noen forstyrrelse i systemet slik som forrige gang. Referansen (“Step”-boksen) kan
settes til å starte på verdien 10 for så å sprette opp til verdien 12 etter 5 tidsenheter.
For å se grafen kan man nå gå i Matlabvinduet og skrive:
>> plot(t,y)
Ellers kan det være nyttig å gjøre bruk av kommandoene:
grid, xlabel, ylabel, title, axis og zoom.
Skriv f.eks.:
>> help zoom
for å få mer hjelp.
For å forandre aksene kan man benytte kommandoen:
>> axis([ ])
Flere grafer kan plottes i samme vindu hvis en benytter hold-kommandoen. Videre kan man
få frem flere forskjellige figurvinduer ved å benytte:
figure()
Prøv dere frem og spør studass hvis det blir for vanskelig!
side 4

a.) Nedenfor er gitt transferfunksjonen for en PID-regulator med begrenset derivatvirkning:
u --------- ( s)
e( s)
K K K
------ p p T d s
= + + ----------------
p T i s T f s + 1
Vis at denne transferfunksjonen kan skrives som ligning (1).
b.) Bruk Ziegler-Nichols metode til å finne en best mulig PID regulator for systemet. Simuler
og se at regulatoren virker. Hvorfor velger man som oftest en regulator med begrenset
derivatvirkning ? Tips: La T i = ∞ og T d =0 (dvs. negliser integral og derivat leddene). Skru
på regulatorforsterkningen K p inntil vi får stående svingninger på utgangen. Noter denne
K p -verdien, som kalles for den kritiske forsterkningen K p,k . Ut fra plottet, finn perioden T k
for de stående svingningene. Beregn så regulatorparametrene ut fra tabellen i boken om
Ziegler-Nichols.
c.) Finn også regulatorparametre for PI og P-regulatorer. Implementer disse og se om det er
noen forskjell i systemets tidsforløp. Kommenter og forklar hvorfor vi har statisk avvik når
vi bruker P-regulator.
d.) Hvis referansen hadde vært en rampefunksjon istedet for et sprang, ville PID-regulatoren
fått statisk avvik? Forklar (simulering trengs ikke.).
Oppgave 2: Regulatordesign
I den vedlagte m-filen er det illustrert hvordan man kan finne teller og nevner til sløyfetransferfunksjonen
h 0 (s). Når man har disse, kan MATLAB hjelpe oss med å analysere systemet. De
fleste funksjoner som er tilgjengelige der kan kalles på følgende måte:
>> funksjonsnavn(teller,nevner)
Viktige funksjoner nå vil bl.a. være:
bode og margin.
a.) Tegn opp bodediagrammet til sløyfetransferfunksjonen h 0 (s). Hva er systemets båndbredde?
b.) Finn forsterkningsmarginen og fasemerginen til systemet. Skru på K p slik at man oppnår
6dB forsterkningsmargin. Hva blir den nye K p ? Hvorfor ønsker man å spesifisere slike
marginer når man designer en regulator for et system?
c.) Simuler systemet med den nye K p . Blir innsvinget til stasjonærverdien raskere eller
tregere? Hvorfor?
d.) Tegn opp det nye bodediagrammet og kommenter den nye båndbredden til systemet i forhold
til den gamle. Hvilke motstridende ønsker møter vi på når båndbredden og forsterknings/
fasemargin skal spesifiseres?
e.) Tenk på frekvensinnholdet til den Fouriertransformerte av et enhetssprang. Kan du ut fra
side 5

dette si noe om sammenhengen mellom hastigheten til innsvingningsforløpet og båndbredden
til systemet?
Bruk den nye regulatoren i de videre oppgavene!
Oppgave 3: Følgeforhold og sensitivitet
Vi skal nå se litt på følgeegenskaper og sensitivitet til systemet. For å implementere funksjonene
T(s) og S(s)=1-T(s) vil det være lurt å skrive h 0 (s) som en brøk og herfra utlede
uttrykk for disse. Når en så har funnet uttrykket vil det bli behov for å legge sammen tellervektoren
og nevnervektoren til h 0 (s), men disse har sannsynligvis forskjellige lengde. For å utvide
f.eks. tellervektoren med en null i starten (den har jo ingen innvirkning) kan man skrive følgende:
>> th0=[0 th0]
Det vil også være behov for å tegne opp følgende system i Simulink:
Vi skal nå først konsentrere oss om følgenegenskapene, så amplituden til forstyrrelsen kan settes
til null (dobbelklikk på “Sine Wave”-boksen for å forandre).
Poenget her er altså at vi av en eller annen grunn vil ha temperaturen i varmluftsrøret vårt til å
forandre seg med en gitt hastighet. Den ønskede temperaturen er (som du sikkert skjønner)
referansen. Vi skal nå benytte frekvensanalyse for å se hvor raskt vi kan forandre referansen
samtidig som regulatoren klarer å forandre utgangen y.
a.) Tegn opp et bodeplott av følgeforholdet til systemet. For hvilke frekvenser har vi gode følgeegenskaper
(husk at 0dB=1...)?
Vi skal nå teste dette ut, og skrur litt på parametrene til referanse-sinusen. Sett ampituden til 1.
side 6

Det kan også bli nødvendig å forandre sluttid for simuleringene. Denne kan forandres ved å gå
inn i rullegardinmenyen “Simulation” og velge “Parameters”.
For å plotte både referansen og utgangen i samme figur kan man f.eks. skrive:
>> plot(t,y,’-’,t,r,’--’)
Her vil utgangen være en heltrukken linje mens referansen er stiplet.
b.) Sjekk om resultatet fra forrige deloppgave stemmer ved å prøve forskjellige frekvenser på
referansesinusen. Husk at gode følgeegenskaper betyr at referansen og utgangen er like i
tallverdi og uten tids- (fase-)forskyvning.
Nå er det tid for å se på sensitiviteten for støy. Sett amplituden til referansen lik null, og amplituden
til forstyrrelsen lik 0.5. Her tenker vi oss at en støykilde (f.eks. en annen varmekilde)
påvirker temperaturen i varmluftsrøret. Målet er å undersøke om vår regulator kan begrense
innvirkningen av denne.
c.) Tegn opp et bodeplott av sensitivitetsfunksjonen til systemet. For hvilke frekvenser på
støykilden klarer regulatoren vår å undertrykke innvirkningen? (Husk at veldig negativ
desibelverdi roots(nT)
hvor nT er nevneren til T(s).
Dette vil gi oss røttene til nevneren i transferfunksjonen fra referansen til utgangen, altså T(s).
Dette er røttene til 1+h 0 (s), og disse vil som kjent være lik egenverdiene til A-matrisa når systemet
er på tilstandsromform. 1+h 0 (s) er forøvrig et vedlig sentralt uttrykk når man undersøker
stabilitet.
a.) Finn polene til systemet. Systemets transferfunksjon, h p (s), er av 1. orden og regulatoren
har bare 2. ordens s-ledd i nevneren, hvorfor får du likevel fem poler?
b.) Hvordan kan du ut fra polenes beliggenhet si at systemet er stabilt?
side 7

Vi skal nå se på Nyquistkurven til systemet. Skriv følgende for å få den frem:
>> w=logspace(-1,1,100);
>> sys=tf(th0,nh0);
>> nyquist(sys,w);
Vær oppmerksom på at dette kun viser deler av kurven!
c.) Argumenter ut fra Nyquists stabilitetskriterium at systemet er stabilt. TIPS: Se læreboken
kapittel 8.4. Argumenter også ut fra bodeplottet til h 0 (s) at systemet er stabilt.
La oss gjøre systemet ustabilt. Forandre forsterkningen K p i regulatorparametrene til en verdi
som gjør at systemet aldri svinger seg inn. Prøv f.eks. K p =1.9. Hvis du vil plotte polenes
beliggenhet kan du f.eks. skrive:
>> plot(roots(nT),’x’),grid
d.) Hva blir de nye polene? Simuler systemet med den første simulinkmodellen og verifiser at
systemet ikke svinger seg inn til en stasjonærverdi.
e.) Tegn opp Nyquistkurven til systemet nå. Argumenter ut fra denne at systemet er ustabilt.
Forklar også ut fra bodeplottet til h 0 (s) at systemet har blitt ustabilt.
Et delmål med øvingen har vært å demonstrere viktigheten og anvendeligheten til sløyfetransferfunksjonen
h 0 (s). Tenk gjennom hvor mange deloppgaver denne har vært i bruk, og husk på
alle disse bruksområdene når eksamen nærmer seg!
side 8