Lab 1

Ved å stokke om på uttrykket får vi:
V 0 = V i ·
Z 2 ‖Z 3
Z 1 + Z 2 ‖Z 3
. (7)
Dette er kjent som spenningsdeling. I henhold til g. 1b har vi følgende denisjoner:
Z 1 = R 1 (8)
Z 2 =
1
jωC
(9)
Z 3 = R osc (10)
Finn Z 2 ‖Z 3 uttrykt ved C, R osc , og ω = 2πf ved hjelp av likn.
(5). Bruk dette til å nne et uttrykk for V 0 /V i . Finn deretter
amplituden |V 0 /V i |.
Vi har altså funnet en likning som relaterer de målbare størrelsene |V i |, |V 0 |
og ω = 2πf til C. Før vi kan sette i gang med målinger må vi imidlertid først
bestemme hvilken frekvens f og størrelse R 1 som skal brukes i kretsen.
Frekvensavhengig impedans
Vi skal bruke oscilloskopet til å måle |V 0 | slik vist i g. 1b. Det er derfor viktig
at oscilloskopet ikke påvirker spenningsfallet over parallellplatekondensatoren
og at det dermed kun går en forsvinnende liten strøm gjennom oscilloskopet.
Med andre ord må vi kreve at |Z 2 | ≪ |Z 3 |. I motsatt fall, hvis |Z 2 | ≫ |Z 3 |, vil vi
nemlig ikke se eekten av at gapavstanden eller at materialet mellom platene på
parallellplatekondensatoren endres. Siden Z 2 avhenger av ω = 2πf må vi nne
en frekvens f c hvor |Z 2 | = |Z 3 | slik at vi kan sørge for å bruke vekselspenning
med frekvens f > f c i kretsen vår.
Finn et analytisk uttrykk for frekvensen f c som funksjon av C
og R osc , gitt at |Z 2 | = |Z 3 |. Vi har at R osc ∼ 1MΩ. Regn ut et
estimat for f c når d = 5mm.
For de verdiene som er blitt oppgitt bør vi operere med frekvenser en del
høyere enn ca. 5 kHz. Det eneste som nå mangler er verdien for R 1 . Siden vi skal
måle |V 0 /V i | for å nne C trenger vi å operere kretsen i et regime der forholdet
|V 0 /V i | endrer seg mye når vi varierer C. Dette får vi for eksempel til ved å
kreve at |V 0 /V i | = 1/2. Vi kan regne ut R 1 fra dette, og nner:
[
R osc √1
R 1 =
+ 3(ω2
ω 2 C 2 Rosc 2 C
+ 1
2 Rosc 2 + 1) − 1]
(11)
Siden impedansen til parallellplatekondensatoren Z 2 = 1/jωC varierer med
frekvens, vil følgelig den nødvendige verdien av R 1 for at |V 0 /V i | = 1/2 også
variere. Siden Z 2 avtar med økt frekvens, vil også den nødvendige verdien av
R 1 avta med økt frekvens.
4