Ord. 2003 - Høgskolen i Narvik - hovedside

HØGSKOLEN I NARVIK
Institutt for Bygg- drifts- og konstruksjonsteknikk
Studieretning: Industriteknikk (Allmenn Maskin)
Studieretning: Allmenn Bygg
E K S A M E N
I
MEKANIKK
Fagkode: ILI 1439
Tid: 06.06.03, kl. 0900 - 1400
Tillatte hjelpemidler: Lærebøkene Irgens: Statikk og Irgens: Fasthetslære
Godkjent programmerbar kalkulator med tomt minne.
Eksamen består av to deler:
Alle kandidatene skal først regne mest mulig av del 1 med oppgavene 1, 2, 3 og 4,
som har vanskelighetsgrad på grunnleggende nivå for faget.
Del 2 består av oppgavene 5, 6, 7 og 8, og har høyere vanskelighetsgrad.
Vedleggene utgjør sidene 5 - 9
Faglærer: Roar Andreassen

HiN Eksamen i Mekanikk ILI 1439 6. juni 2003
Side 2 av 9
Oppgaver del 1. Oppgaver med vanskelighetsgrad på grunnleggende nivå for
faget
Oppgave 1
Et fagverk består av 11 staver. Det er opplagret i punktene A og B og belastet med en kraft på
20 kN som vist på figuren. I denne oppgaven skal fagverket kun delvis beregnes.
a) Beregn stavkreftene i stav 3 og stav 11.
b) Beregn opplagerreaksjonene i A og B.
2
B
A
4 5
9
6 7
Figur oppgave 1
10
8
11
1 2 3
2 2 2
20 kN
q = 2 kN/m
A B
2
F = 2 kN
Figur oppgave 2
3 [m]
Oppgave 2
En fritt opplagret bjelke er belastet med en punktlast og en jevnt fordelt last, se figuren.
Opplagerreaksjonene er beregnet til A y = 3 kN og B = 5 kN .
a) Tegn skjærkraft- og momentdiagram. Karakteristiske verdier skal angis.
b) Punktlasten F = 2 kN fjernes. Benytt en passende formel og beregn nedbøyningen på
midten av bjelken når den kun er belastet med den jevnt fordelte lasten over 3 meter
som vist. E-modulen er 9 GPa og annet arealmoment for bjelketverrsnittet er
−5
4
I = 3,1⋅10m .
Oppgave 3
En bjelke har et tverrsnitt som vist på figuren.
a) Beregn annet arealmoment (treghetsmomentet) for
bjelketverrsnittet.
Belastningen på bjelken fører til at det i et gitt snitt virker
et bøyemoment på 6 kNmog
en skjærkraft på 4 kN.
b) Beregn de ekstremale bøyespenningene i dette snittet.
c) Beregn skjærspenningen i overgang mellom flens og
steg, markert med S.
S
6
60
[mm]
Figur oppgave 3
10
40
10

HiN Eksamen i Mekanikk ILI 1439 6. juni 2003
Side 3 av 9
Oppgave 4
Et vannreservoar A er oppdemmet av en
rektangulær platedam med høyde 5 meter og
bredde 3 meter.
a) Beregn trykkresultanten fra
vanntrykket på platedammen.
Platedammen er markert på figuren
med BC. Bestem trykksenterets
beliggenhet.
Dammen støttes av en stav DE som festes med bolteledd i 4 meters høyde, midt på dammens
bredde.
b) Vis ved beregning at kraften i staven er 217 kN når BC betraktes som leddet i punkt B.
c) Beregn nødvendig annet arealmoment for staven DE slik at den er sikret mot
knekking. Staven utføres i stål med E-modul 210 GPa.
A
C
B
D
45°
Figur oppgave 4
=================================================
Oppgaver del 2. Oppgaver med høyere vanskelighetsgrad
Oppgave 5
En bjelke ACD er belastet med kraften F = 6 kN.
Bjelken er opplagret med et boltelager i A og støttes
av en stav BC, som hindres i å gli av friksjonskraften
mot underlaget. Vinkel BCD er 90°.
a) Beregn kraften i staven BC,
opplagerreaksjonene i A og nødvendig
friksjonskoeffisient for at staven ikke skal gli.
b) Tegn diagrammer for skjærkraft,
bøyemoment og normalkraft for bjelken
ACD.
Bjelken har et rektangulært tverrsnitt på 200 x 100
mm. Den legges slik at tverrsnittet belastes i den
sterke retningen.
c) Beregn maksimal strekkspenning og
trykkspenning i bjelkens lengderetning.
A
30°
C
F = 6 kN
B
3 2
D
µ
Figur oppgave 5
E
[m]
1
4
100
200

HiN Eksamen i Mekanikk ILI 1439 6. juni 2003
Side 4 av 9
Oppgave 6
En bjelke er fast innspent i punkt A og hviler i punkt B på
et forskyvelig boltelager. Bjelken er belastet med en kraft
F, se figuren.
a) Forklar at bjelken er statisk ubestemt. Finn
opplagerreaksjonene uttrykt ved F og L, og skisser
diagram for bøyemomentet (Hint: Benytt
passende formler for tangentrotasjon).
b) Forklar hvordan man kan finne nedbøyningen
under kraften F. Hva blir nedbøyningen uttrykt
ved bjelkens mål og bjelkestivheten EI ?
Oppgave 7
En pumpeledning skal løfte vann 20 meter
fra et reservoar A til et høydebasseng B,
der vannet strømmer inn i bunnen av
bassenget. Vannet tas inn gjennom et filter
F med tapskoeffisient C F = 1,5 .
Volumstrømmen er Q = 600 liter /min .
Ledningen FP er 8 meter lang og har
diameter 65 mm. Ledning PB er 30 meter
lang og har diameter 50 mm.
Rørfriksjonstallet er λ= 0,025 for begge
ledningene. Se også figuren.
A
Figur oppgave 6
F
2
31 1
L
1
3 L
Figur oppgave 6
a) Beregn nødvendig pumpehøyde, hp
for pumpen P.
b) Beregn den maksimale høyden, H x , som pumpen kan plasseres over vannflaten i A.
Pumpen krever et absolutt inngangstrykk på 5 mVS og det er normalt lufttrykk,
5
10 Pa .
Oppgave 8
En bjelke har et tverrsnitt som vist på figuren. Belastningen på
bjelken fører til at det i et gitt snitt virker et bøyemoment på
6 kNmog
en skjærkraft på 4 kN. (Samme som i oppgave 3).
Anta at det er plan spenningstilstand og beregn den maksimale
hovedspenningen σ1
i overgang mellom flens og steg, markert
med S. Vertikale normalspenninger er neglisjerbare.
A
F
P
H
x
1
S
6
60
B
[mm]
Figur oppgave 8
B
20
10
40
10

HØGSKOLEN I NARVIK, side 5 av 9
Formler for mekanikk
1. Tverrsnittsstørrelser
Flatesenter, tyngdepunkt
Generelt, flatesenteravstand fra akse L
SL
r = , SL
= ∫ rdA
A
A
Den elastiske linje for en bjelke
dV
dx
= −q,
dM
dx
= V ,
2
d u M ( x)
=
2
dx EI
SL: arealmoment (statisk moment) om L Den enkle bjelketeori, små tøyninger
Bøyespenning
M
I0 y σ=
Flater som kan deles opp:
∑ xi
⋅ Ai
S x
x = = ,
A A
∑ yi
⋅ Ai
y =
A
S y
=
A
Normalspenninger
M N
σ = y +
A
Annet arealmoment (treghetsmoment)
Generelt I = dA ,
L
∫
A
r 2
der r er avstand til akse L
Annet arealmoment om akse gjennom flatesenteret:
Rektangel:
Sirkel:
Sirkulær ring:
B, H: Bredde, høyde
d: diameter
r: radius
t: tykkelse
y,i: (indeks) ytre, indre
3
BH
I 0 = , H ⊥ aksen
12
I
I
0
0
4
πd
=
64
4
π d y − d
=
64
4 ( )
i
I0
V
Akseparallell skjærkraft K = ⋅ S'
I
Skjærspenning (jevnt fordelt)
0
0
K
τ =
b
Tangentrotasjon
L
1
∆ϕ = M( x) dx
EI ∫ =
EI
AM
0 0
0
Tangentavsett
L
1
ν= ( L−x) M( x) dx
EI ∫
0 0
AM( L−x) =
EI0
M(x) er bøyemoment som funksjon av x
AM er arealet, regnet med fortegn, av krumningsflaten
(under momentkurven).
Steiners setning: x angir senteret i krumningsflaten.
I ' = I
2
+ b A, b: avstand til ny akse.
0
2. Fra plane kraftsystemer
Maksimal friksjon R = µ N
Pilhøyde, forenklet kabel
2
qL
f =
8S0
µ: Friksjonskoeffisient N: Normalkraft
q: Horisontalt fordelt last L: Horisontal lengde
S Horisontalstrekk
0
3. Fasthetslære
∆l
Generelt: ε = , σ = E ⋅ ε
l
Spenninger i tynne vegger:
Sirkulærsylindrisk trykktank:
Tangensialt:
pr
pr
σ θ = , aksialt: σ z =
t
2t
T
τ=
2πrt
Skjærspenning i rør med torsjon: 2
Knekklast, Eulerteori
p: Trykk
T: Torsjonsmoment
r: Radius
t: Veggtykkelse
x: Bjelkens
lengdekoordinat
q: Lastintensitet
V: Skjærkraft
M: Bøyemoment
u: Nedbøyning
E: Elastisitetsmodul
σ: Normalspenning
P
E
π
=
EI
2
0
2
Lk
τ: Skjærspenning
y: Bjelkens
høydekoordinat
N: Normalkraft
A: Tverrsnittsareal
S’: Arealmoment av
betraktet delflate
b: Tverrsnittstykkelse
L: Lengde
LK: Knekklengde

HØGSKOLEN I NARVIK, side 6 av 9
Formler for mekanikk
4. Spenningsanalyse
Hovedspenninger.
Et snitt i en materialpartikkel roteres slik at
skjærspenningene i snittplanet får verdien null. Da vil
normalspenningene på snittplanet oppnå
ekstremalverdier. Disse kalles hovedspenninger.
Plan spenningstilstand
har vi når det finnes ett spenningsfritt plan. Ved plan
spenningstilstand beregnes to hovedspenninger.
Tap i rør h f
l v
= λ ⋅
d 2g
Ved vilkårlig tverrsnittsform
l
erstattes
d
l A
med , der R =
4R
U
Singulærtap
h s
2
v
= C
2g
h = h + s h
Samlet tap m f
2
∑ ∑
Normalspenning som funksjon av snittvinkel Strømning i åpen renne, helningsvinkel α
σ x + σ y σ x − σ y
σ( φ)
= + cos 2φ
+ τ xy sin 2φ
2 2
Skjærspenning
2
λ U v
sin α = ⋅ ⋅
4 A 2g
σ x − σ y
τ( φ)
= sin 2φ
− τ xy cos 2φ
2
Hovedspenningsretningene
2τxy
π
tan φ1,
2 = , φ2
= φ1
+
σx
− σ y
2
Hovedspenningene
Effektbehov pumper
γ⋅Q⋅hp P = γ⋅Q⋅ hp,
Pbrutto
=
η
ρ: densitet
λ: motstandstall
γ: spesifikk tyngde A: tverrsnittsareal
σx
+ σ y
σ 1,
2 = ±
2
2
⎛ σx
− σ y ⎞ 2
⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
+ τxy
⎝ ⎠
z:
h:
v:
stedshøyde
trykkhøyde
hastighet
l: rørlengde
d: diameter
U: fuktet omkrets
g: tyngdens
C: tapskoeffisient
x,y: Koordinater 1,2: Indeks, for hhv. 1. og
akselerasjon 1,2: (Indeks) for hhv. sted
φ: Snittets dreiningsvinkel
andre hovedspenning hm:
hp:
tapshøyde
pumpehøyde
og sted 1.
5. Inkompressible fluider
Hydrostatikk
Trykk som følge av væskesøyle
p =ρ gh =γ h
Trykkresultantens angrepspunkt på neddykket flate
I 0
p =ρ gh, e =
Ay
h: Dyp h : Flatesenterets dyp.
A: Flatens areal
y : Avstand fra overflaten til flatesenter i flatens
retning
e: Avstand fra flatesenter til trykksenter
Væskestrømning i rør
Bernoullis ligning på høydeform med pumpe- og
friksjonsledd. Fra sted 1 til sted 2
2
2
v1
v2
z 1 + h1
+ + hp
= z2
+ h2
+ +
2g
2g
Volumstrøm
Q =
vA
h
m

HØGSKOLEN I NARVIK, side 7 av 9
Formler for mekanikk

HØGSKOLEN I NARVIK, side 8 av 9
Formler for mekanikk

HØGSKOLEN I NARVIK, side 9 av 9
Formler for mekanikk
L
b ≤
2