Ekstraord. 2003 - Høgskolen i Narvik - hovedside
Ekstraord. 2003 - Høgskolen i Narvik - hovedside
Ekstraord. 2003 - Høgskolen i Narvik - hovedside
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
HØGSKOLEN I NARVIK<br />
Institutt for Bygg- drifts- og konstruksjonsteknikk<br />
Studieretning: Industriteknikk (Allmenn Maskin)<br />
Studieretning: Allmenn Bygg<br />
E K S T R A O R D I N Æ R<br />
E K S A M E N<br />
I<br />
MEKANIKK<br />
Fagkode: ILI 1439<br />
Tid: 11.08.03, kl. 0900 - 1400<br />
Tillatte hjelpemidler: Lærebøkene Irgens: Statikk og Irgens: Fasthetslære<br />
Godkjent programmerbar kalkulator med tomt minne.<br />
Eksamen består av to deler:<br />
Alle kandidatene skal først regne mest mulig av del 1 med oppgavene 1, 2, 3, 4 og<br />
5, som har vanskelighetsgrad på grunnleggende nivå for faget.<br />
Del 2 består av oppgavene 6, 7, 8 og 9, og har høyere vanskelighetsgrad.<br />
Vedleggene utgjør sidene 6 - 10<br />
Faglærer: Roar Andreassen
HiN <strong>Ekstraord</strong>inær eksamen i Mekanikk ILI 1439 aug. <strong>2003</strong><br />
Side 2 av 10<br />
Oppgaver del 1. Oppgaver med vanskelighetsgrad på grunnleggende nivå for<br />
faget<br />
Oppgave 1<br />
En konstruksjon ABCD er støpt fast i underlaget i punkt A. 3 meter til høyre for A virker en<br />
vertikal last på 50 kN. Finn opplagerreaksjonene som virker i punkt A.<br />
Oppgave 2<br />
En kabel er opphengt i boltene A og B. Man skal regne med at kabelens tyngde er jevnt<br />
fordelt i horisontal retning med q = 150 N/m . Den horisontale avstanden mellom A og B er<br />
50 meter. B ligger 10 meter høyere enn A. Pilhøyden er f = 14 m.<br />
a) Beregn det horisontale strekket i kabelen<br />
b) Beregn så de vertikale opplagerreaksjonene y A og B y samt den maksimale<br />
A<br />
boltekraften.<br />
D<br />
B C<br />
3 m<br />
Figur oppgave 1<br />
50 kN<br />
A<br />
q = 150 N/m<br />
1<br />
f<br />
50 1m<br />
Figur oppgave 2<br />
Oppgave 3<br />
En fast innspent bjelke med lengde 5 meter er belastet med en jevnt fordelt last over en<br />
strekning på 3 meter, se figuren. Det oppgis at innspenningsmomentet i punkt A har<br />
absoluttverdi 52,5 KNm.<br />
a) Tegn skjærkraft- og momentdiagram. Karakteristiske verdier skal angis.<br />
b) Benytt en passende formel og beregn maksimal nedbøyning. E-modulen er 210 GPa<br />
−4<br />
4<br />
og annet arealmoment for bjelketverrsnittet er I = 510 ⋅ m .<br />
Oppgave 4<br />
En bjelke har tverrsnitt som vist på figuren.<br />
a) Vis ved utregning at nøytralaksen ligger ca 25,4 mm fra bjelkens underkant.<br />
b) Beregn annet arealmoment (treghetsmomentet) for bjelketverrsnittet.<br />
Belastningen på bjelken fører til at det i et gitt snitt virker et bøyemoment på 0,6 kNm .<br />
c) Beregn bøyespenningene i ytterste fiber, øverst og nederst på bjelken.<br />
B<br />
1<br />
10 m
HiN <strong>Ekstraord</strong>inær eksamen i Mekanikk ILI 1439 aug. <strong>2003</strong><br />
Side 3 av 10<br />
A<br />
q = 5 kN/m<br />
2 3<br />
Figur oppgave 3<br />
Oppgave 5<br />
En vannledning skal føre vann<br />
fra et reservoar A til et<br />
forbrukssted B, som ligger 50<br />
meter lavere. Vannledningen er<br />
200 meter lang og har diameter<br />
30 mm. Motstandstallet for<br />
rørfriksjon er λ= 0,025 .<br />
Finn volumstrømmen Q når det<br />
er fritt utløp ved B.<br />
B<br />
A<br />
15<br />
Figur oppgave 5<br />
60<br />
10 10<br />
[mm]<br />
Figur oppgave 4<br />
l = 200 m<br />
λ= 0,025<br />
d = 30 mm<br />
=================================================<br />
40<br />
B<br />
50
HiN <strong>Ekstraord</strong>inær eksamen i Mekanikk ILI 1439 aug. <strong>2003</strong><br />
Side 4 av 10<br />
Oppgaver del 2. Oppgaver med høyere vanskelighetsgrad<br />
Oppgave 6<br />
En konstruksjon består av bjelkene ABC<br />
og DEF samt aksialstavene BE og CF.<br />
Konstruksjonen er opplagret i boltelagrene<br />
A og D. I leddet C virker det en vertikal<br />
kraft på 10 kN.<br />
Beregn kreftene i aksialstavene BE og CF.<br />
A<br />
1<br />
B<br />
F = 12 kN<br />
2 4<br />
Figur oppgave 7, bjelke med last.<br />
2<br />
q = 6 kN/m<br />
D E F<br />
A B<br />
1 2 2<br />
C<br />
Figur oppgave 6<br />
[m]<br />
190<br />
200<br />
6,5<br />
x x<br />
[mm]<br />
Figur oppgave 7<br />
Tverrsnitt HE200A<br />
10<br />
C<br />
10 kN<br />
Oppgave 7<br />
En bjelke AC er belastet med en horisontal kraft F = 12 kN som virker på en stiv utstikker<br />
samt en jevnt fordelt last på 6 kN/m over en del av bjelken, se figuren. Bjelken er fritt<br />
opplagret, det er forskyvelig boltelager i A<br />
a) Finn opplagerreaksjonene og tegn diagrammer for skjærkraft, bøyemoment og<br />
normalkraft.<br />
Bjelken utføres i HE200A profil med mål som vist på figuren. Profilets tverrsnittskonstanter<br />
3 2 6 4<br />
er: Tverrsnittsareal A = 5,38⋅10 mm , annet arealmoment I = 36,9 ⋅10<br />
mm og<br />
3 3<br />
arealmoment for det halve tverrsnittet S x = 215⋅10 mm .<br />
b) Beregn maksimal strekkspenning og trykkspenning i bjelkens lengderetning samt<br />
maksimal skjærspenning i steget.<br />
x
HiN <strong>Ekstraord</strong>inær eksamen i Mekanikk ILI 1439 aug. <strong>2003</strong><br />
Side 5 av 10<br />
Oppgave 8<br />
En fritt opplagt bjelke ABC med overheng er belastet av<br />
to krefter som begge har størrelsen F. Den ene virker<br />
midt mellom A og B, og den andre virker i enden, C.<br />
Benytt passende formler og beregn forskyvningen av<br />
punktet midt mellom A og B.<br />
Oppgave 9<br />
I et prosessanlegg skal væske sirkuleres ved<br />
hjelp av pumpen P fra et reservoar A<br />
gjennom en reaktor R og tilbake til A. En<br />
strupeventil V, som befinner seg 8 meter<br />
lavere enn vannoverflaten i reservoaret A,<br />
reguleres slik at trykket ved utløpet av<br />
reaktoren er p = 2 bar (relativt). Det er<br />
ubetydelig avstand mellom reaktoren og<br />
ventilen.<br />
3<br />
Væskens tetthet er ρ= 1000 kg/m .<br />
5<br />
1 bar = 10 Pa .<br />
Rørlengdene er l1 = 20 m og l 2 = 25 m . Alle<br />
rør har diameter 50 mm og<br />
rørfriksjonsfaktoren er λ = 0,025.<br />
Væskestrømmen skal være 8 liter pr sekund.<br />
8 m<br />
1<br />
V<br />
R<br />
A B<br />
F F<br />
L L<br />
12 12 L<br />
1<br />
Figur oppgave 8<br />
A<br />
p=2 bar<br />
C = 3<br />
l = 25 m<br />
Figur oppgave 9<br />
Beregn nødvendig pumpehøyde og nettoeffekt for pumpen. Rørledningen fra V til A er<br />
tilstrekkelig kort til at det ikke virker inn på beregningen.<br />
2<br />
1<br />
P<br />
C<br />
l = 20 m
HØGSKOLEN I NARVIK, side 6 av 10<br />
Formler for mekanikk<br />
1. Tverrsnittsstørrelser<br />
Flatesenter, tyngdepunkt<br />
Generelt, flatesenteravstand fra akse L<br />
SL<br />
r = , SL<br />
= ∫ rdA<br />
A<br />
A<br />
Den elastiske linje for en bjelke<br />
dV<br />
dx<br />
= −q,<br />
dM<br />
dx<br />
= V ,<br />
2<br />
d u M ( x)<br />
=<br />
2<br />
dx EI<br />
SL: arealmoment (statisk moment) om L Den enkle bjelketeori, små tøyninger<br />
Bøyespenning<br />
M<br />
I0 y σ=<br />
Flater som kan deles opp:<br />
∑ xi<br />
⋅ Ai<br />
S x<br />
x = = ,<br />
A A<br />
∑ yi<br />
⋅ Ai<br />
y =<br />
A<br />
S y<br />
=<br />
A<br />
Normalspenninger<br />
M N<br />
σ = y +<br />
A<br />
Annet arealmoment (treghetsmoment)<br />
Generelt I = dA ,<br />
L<br />
∫<br />
A<br />
r 2<br />
der r er avstand til akse L<br />
Annet arealmoment om akse gjennom flatesenteret:<br />
Rektangel:<br />
Sirkel:<br />
Sirkulær ring:<br />
B, H: Bredde, høyde<br />
d: diameter<br />
r: radius<br />
t: tykkelse<br />
y,i: (indeks) ytre, indre<br />
3<br />
BH<br />
I 0 = , H ⊥ aksen<br />
12<br />
I<br />
I<br />
0<br />
0<br />
4<br />
πd<br />
=<br />
64<br />
4<br />
π d y − d<br />
=<br />
64<br />
4 ( )<br />
i<br />
I0<br />
V<br />
Akseparallell skjærkraft K = ⋅ S'<br />
I<br />
Skjærspenning (jevnt fordelt)<br />
0<br />
0<br />
K<br />
τ =<br />
b<br />
Tangentrotasjon<br />
L<br />
1<br />
∆ϕ = M( x) dx<br />
EI ∫ =<br />
EI<br />
AM<br />
0 0<br />
0<br />
Tangentavsett<br />
L<br />
1<br />
ν= ( L−x) M( x) dx<br />
EI ∫<br />
0 0<br />
AM( L−x) =<br />
EI0<br />
M(x) er bøyemoment som funksjon av x<br />
AM er arealet, regnet med fortegn, av krumningsflaten<br />
(under momentkurven).<br />
Steiners setning: x angir senteret i krumningsflaten.<br />
I ' I b<br />
2<br />
= 0 + A, b: avstand til ny akse.<br />
2. Fra plane kraftsystemer<br />
Maksimal friksjon R = µ N<br />
Pilhøyde, forenklet kabel<br />
2<br />
qL<br />
f =<br />
8S<br />
µ: Friksjonskoeffisient N: Normalkraft<br />
q: Horisontalt fordelt last L: Horisontal lengde<br />
S Horisontalstrekk<br />
0<br />
3. Fasthetslære<br />
∆l<br />
Generelt: ε = , σ = E ⋅ ε<br />
l<br />
Spenninger i tynne vegger:<br />
Sirkulærsylindrisk trykktank:<br />
Tangensialt:<br />
pr<br />
pr<br />
σ θ = , aksialt: σ z =<br />
t<br />
2t<br />
T<br />
τ=<br />
2πrt<br />
Skjærspenning i rør med torsjon: 2<br />
0<br />
Knekklast, Eulerteori<br />
p: Trykk<br />
T: Torsjonsmoment<br />
r: Radius<br />
t: Veggtykkelse<br />
x: Bjelkens<br />
lengdekoordinat<br />
q: Lastintensitet<br />
V: Skjærkraft<br />
M: Bøyemoment<br />
u: Nedbøyning<br />
E: Elastisitetsmodul<br />
σ: Normalspenning<br />
P<br />
E<br />
π<br />
=<br />
EI<br />
2<br />
0<br />
2<br />
Lk<br />
τ: Skjærspenning<br />
y: Bjelkens<br />
høydekoordinat<br />
N: Normalkraft<br />
A: Tverrsnittsareal<br />
S’: Arealmoment av<br />
betraktet delflate<br />
b: Tverrsnittstykkelse<br />
L: Lengde<br />
LK: Knekklengde
HØGSKOLEN I NARVIK, side 7 av 10<br />
Formler for mekanikk<br />
4. Spenningsanalyse<br />
Hovedspenninger.<br />
Et snitt i en materialpartikkel roteres slik at<br />
skjærspenningene i snittplanet får verdien null. Da vil<br />
normalspenningene på snittplanet oppnå<br />
ekstremalverdier. Disse kalles hovedspenninger.<br />
Plan spenningstilstand<br />
har vi når det finnes ett spenningsfritt plan. Ved plan<br />
spenningstilstand beregnes to hovedspenninger.<br />
Tap i rør h f<br />
l v<br />
= λ ⋅<br />
d 2g<br />
Ved vilkårlig tverrsnittsform<br />
l<br />
erstattes<br />
d<br />
l A<br />
med , der R =<br />
4R<br />
U<br />
Singulærtap<br />
h s<br />
2<br />
v<br />
= C<br />
2g<br />
h = h + s h<br />
Samlet tap m f<br />
2<br />
∑ ∑<br />
Normalspenning som funksjon av snittvinkel Strømning i åpen renne, helningsvinkel α<br />
σ x + σ y σ x − σ y<br />
σ( φ)<br />
= + cos 2φ<br />
+ τ xy sin 2φ<br />
2 2<br />
Skjærspenning<br />
2<br />
λ U v<br />
sin α = ⋅ ⋅<br />
4 A 2g<br />
σ x − σ y<br />
τ( φ)<br />
= sin 2φ<br />
− τ xy cos 2φ<br />
2<br />
Hovedspenningsretningene<br />
2τxy<br />
π<br />
tan φ1,<br />
2 = , φ2<br />
= φ1<br />
+<br />
σx<br />
− σ y<br />
2<br />
Hovedspenningene<br />
Effektbehov pumper<br />
γ⋅Q⋅hp P = γ⋅Q⋅ hp,<br />
Pbrutto<br />
=<br />
η<br />
ρ: densitet<br />
λ: motstandstall<br />
γ: spesifikk tyngde A: tverrsnittsareal<br />
σx<br />
+ σ y<br />
σ 1,<br />
2 = ±<br />
2<br />
2<br />
⎛ σx<br />
− σ y ⎞ 2<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
+ τxy<br />
⎝ ⎠<br />
z:<br />
h:<br />
v:<br />
stedshøyde<br />
trykkhøyde<br />
hastighet<br />
l: rørlengde<br />
d: diameter<br />
U: fuktet omkrets<br />
g: tyngdens<br />
C: tapskoeffisient<br />
x,y: Koordinater 1,2: Indeks, for hhv. 1. og<br />
akselerasjon 1,2: (Indeks) for hhv. sted<br />
φ: Snittets dreiningsvinkel<br />
andre hovedspenning hm:<br />
hp:<br />
tapshøyde<br />
pumpehøyde<br />
og sted 1.<br />
5. Inkompressible fluider<br />
Hydrostatikk<br />
Trykk som følge av væskesøyle<br />
p =ρ gh =γ h<br />
Trykkresultantens angrepspunkt på neddykket flate<br />
I 0<br />
p =ρ gh, e =<br />
Ay<br />
h: Dyp h : Flatesenterets dyp.<br />
A: Flatens areal<br />
y : Avstand fra overflaten til flatesenter i flatens<br />
retning<br />
e: Avstand fra flatesenter til trykksenter<br />
Væskestrømning i rør<br />
Bernoullis ligning på høydeform med pumpe- og<br />
friksjonsledd. Fra sted 1 til sted 2<br />
2<br />
2<br />
v1<br />
v2<br />
z 1 + h1<br />
+ + hp<br />
= z2<br />
+ h2<br />
+ +<br />
2g<br />
2g<br />
Volumstrøm<br />
Q =<br />
vA<br />
h<br />
m
HØGSKOLEN I NARVIK, side 8 av 10<br />
Formler for mekanikk
HØGSKOLEN I NARVIK, side 9 av 10<br />
Formler for mekanikk
HØGSKOLEN I NARVIK, side 10 av 10<br />
Formler for mekanikk<br />
L<br />
b ≤<br />
2