Intro til læreboka

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 1 av 14
Introduksjon til mekanikk - Statikk og fasthetslære,
1 Innledning
Mekanikken er i vitenskapelig sammenheng en del av fysikken. Det er ikke så lett å ramse
opp alle tema som inngår i mekanikk, men det kan virke avklarende å nevne noen deler av
fysikken ikke inngår, for eksempel læren om lys (optikk) og læren om elektrisitet. Videre
omfatter den mekanikken som inngår i statikk og fasthetslære kun det som har betydning for
at stillestående (ikke-aksellererte) konstruksjoner skal kunne bære de laster som de utsettes
for. Vi skal i dette faget ikke behandle det som kalles dynamikk, altså mekanikken for
legemer som har rotasjonsbevegelser og svingninger. Imidlertid danner kunnskapene i statikk
og fasthetslære grunnlaget både for videregående konstruksjonsteknikk og for dynamikk.
1.1 Krefter
I statikken er målet å kunne regne ut hvor store belastningene på en konstruksjon er, og i
fasthetslæren skal vi finne ut hvor kraftig man må lage en konstruksjon av et gitt material for
at den skal kunne bære lastene. Vi vil uttrykke lastene med dra- eller skyv-virkninger fra
omgivelsene (fra bilen på ei bru eller fra underlaget på brufundamentet) samt virkningen av
konstruksjonens egentyngde. Denne type virkninger kaller vi krefter. Vi skal benytte en
intuitiv tilnærming i oppfatningen av hva krefter er. Det vil si at vi skal ”føle” at ting stemmer
med erfaringen. Kraftbegrepet er likevel komplisert og det tar litt tid å venne seg til
tankegangen. Kraftbegrepet fikk da heller ikke en entydig og klar beskrivelse før i Isac
Newtons ”Pricipia” publisert i 1687 (til tross for at menneskene lenge hadde laget
imponerende byggverk, les gjerne lærebokas innledning). Det er innholdet i Newtons tekster
som vi i dag har omskrevet til moderne språk og formulert som ”Newtons lover”.
1.1.1 Å isolere systemet, å betrakte et legeme
Vi skal oppfatte en kraft som en virkning som søker å sette et legeme i bevegelse. Kraften kan
få legemet til å bevege seg (eksempel: en gjenstand slippes i fritt fall og får bevegelse pga.
tyngden). Andre ganger blir det ingen bevegelse (eksempel: en ball på skrått underlag hindres
i å rulle pga. noen steiner, det virker krefter, men de opphever hverandres virkning). Tenk på
hver kraft som et ”skyv eller drag” som søker å sette legemet i bevegelse eller å endre
bevegelsen. Det som ligger i ”skyv eller drag” er at man får samme virkning av å skyve som å
dra, når dette skjer langs samme linje. Så langt har vi sett på enkle tilfeller. Ser vi på
skyvkraften som får en bil til å bevege seg, støter man på problemer med klarheten:
Gasstrykket i motorens sylinder trykker på stempelet, som trykker på veivakselen slik at
akselen går rundt osv… Dette blir for komplisert! Vi bør gjøre en abstraksjon, en forenkling,
der vi velger ut det som vi vil konsentrere oss om. For eksempel slik:
Betrakt bilen. (Vi må bestemme oss for hvilket legeme vi vil betrakte).
På bilen virker en skyvkraft som får bilen til å akselerere.
Fra eksemplene kan vi si:
En kraft er et skyv eller et drag som virker på et legeme.
Ordet på er understreket fordi vi må holde rede på hvilket legeme som vi velger å
betrakte. Vi kan si at vi isolerer systemet, avgrenser oss til det som er interessant.

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 2 av 14
1.1.2 Virkningen av kraftens størrelse, definisjon av Newton
En liten og lett bil vil akselerere hurtigere enn en stor og tung bil med gitt motorkraft. Dersom
motorkraften er den eneste kraften som virker i fartsretningen, kan vi formulere følgende
formel for denne bevegelsen:
F m a
Der F er kraften. Størrelsen m er et tall som uttrykker om bilen er lett eller tung, vi skal kalle
den massen (den trege masse). Størrelsen a er akselerasjonen.
Massen måles i [kg]. Akselerasjonen måles i meter pr sekund pr sekund, dvs.
m m/s /s =
2
s . Kraften F måles i enheten Newton, som defineres ved: m
1N 1kg 2
s
.
Eksempel
Hvor stor er motorkraften (nettovirkningen av motoren når vi ser bort fra friksjon etc.) på en
bil som veier 1500 kg, og som akselererer fra null til hundre kilometer i timen på 8 sekunder?
(regnet som et gjennomsnitt over de 8 sekundene).
Løsning:
km 1 1000m 1 1001000 m m
a 100km / h / 8s 100 100 3,47
2 2
h 8s 3600s 8s 3600 8 s s
m
F 1500kg 3,47 15003,47N5,2 kN
2
s
Legg merke til at vi kaller m [kg] for massen, ikke ”vekten”.
1.1.3 Tyngde
Vi husker fra historien Galilei’s eksperimenter med fallende legemer. I jordens tyngdefelt
faller alle legemer like fort (dersom vi ser bort fra luftmotstanden). Fallet foregår med en jevn
akselerasjon på 9,81 m/s 2 2
. Dette tallet kalles tyngdens akselerasjon, g 9,81 m/s .
Eksempel:
Bilen veier 1500 kg. Hva er dens tyngde?
Løsning:
F ma . Vi betegner tyngden (tyngdekraften) med G og bytter ut a med g:
2
G mg 1500kg 9,81m/s 14,7 kN (ca 15 kN, i overslagsregninger kan vi sette
2
g 10
m/s )
1.1.4 Fritt legeme diagram
Hvorfor beveger ikke bilen seg nedover (gjennom underlaget) når det virker en så stor kraft
som tyngden på den? Tyngden virker riktignok på bilen og søker å sette den i bevegelse
nedover, men vertikalt virker det flere krefter, nemlig støtten fra underlaget, som altså også er
en kraft. Figuren til høyre viser et fritt-legeme diagram for bilen med tre krefter inntegnet (vi
har sett bort fra rullemotstand og vindmotstand).

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 3 av 14
G
R
F
I et fritt legeme diagram tegnes kun det
legemet vi betrakter, omgivelsene erstattes
med krefter.
Kreftene R og G opphever hverandre. Den
samtidige virkningen av R og G er null
kraft vertikalt.
Kraften R kaller vi reaksjonen fra underlaget. Egl. er det vel 4 reaksjoner, en på hvert hjul,
men vi gjør ofte slike forenklinger og sier at (den samlede) reaksjonskraften er R.
1.2 Typer av krefter. Årsak til krefter.
I bileksempelet er reaksjonen (støttekraften) R en kontaktkraft fordi den kun er tilstede når
bilen har kontakt med underlaget. Kraften G (tyngden) er en fjernkraft fordi den virker selv
om det ikke kontakt med omgivelsene. På den måten kommer vi inn på årsaken til kreftene.
Årsaken til kraften R er underlaget (underlaget er i seg selv et legeme). Årsaken til tyngden G
er jordkloden, dvs. legemet jorda, som pga. av sin store masse skaper gravitasjonen.
I mekanikken definerer vi alltid krefter slik at vi kan knytte dem til legemer som vi betrakter.
Når det oppstår kraft etter denne forklaringen, er det alltid to legemer involvert, for eksempel
bilen og underlaget, eller bilen og jordkloden. Slike krefter kalles newtonske krefter 1 .
En kraft er et skyv eller et drag som virker på et legeme (som vi betrakter) og har sin årsak i et
annet legeme (enn det legemet vi betrakter).
Vi lar den ”egentlige” årsaken til motorkraften ligge fordi vi gjorde en abstraksjon, det tjener
ikke formålet i slike betraktninger å forklare hvilke deler som er kontakt med hverandre hele
veien fra stempel til hjul. I abstraksjonen er motorkraften en tenkt ytre kraft som har samme
mekaniske virkning på bilen som motoren er i stand til å utøve. Denne betydningen av
”motorkraft” kan brukes når det er bilen i sin helhet som betraktes.
1.3 Newtons lover for krefter knyttet til én retning
Ut fra oppfatningen om krefter kan vi formulere noen prinsipper, som vi kaller Newtons
lover.
Newtons 1. lov:
Når ingen kraft virker på et legeme, eller når kreftene som virker på et legeme
opphever hverandre, vil legemet stå i ro eller bevege seg rettlinjet med jevn hastighet.
Eksempel: tyngden og støtten fra underlaget opphever hverandre, i vertikalretningen
står bilen i ro.
Eksempel: Dersom rullemotstand og motorkraft er like store, vil bilen bevege seg
horisontalt med jevn hastighet.
1 Når vi sitter i en karusell kan vi kjenne en ”sentrifugalkraft”. Denne er ikke en newtonsk kraft fordi årsaken
ligger i sirkelbevegelsen og ikke i et annet legeme.

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 4 av 14
Newtons 2. lov:
G
Fvind F
Frulle
R
Figuren illustrerer Newtons første lov. Bilen holder konstant
hastighet på horisontalt underlag når:
Vertikalt: R G ,
F F F
Horisontalt: rulle vind
Når et legeme påvirkes av en kraft F vil det få en akselerasjon
massen, eller formulert slik: F ma.
Eksempel: Se regnstykket med motorkraft.
F
a , der m er
m
Eksempel: Dersom det virker flere krefter, og de opphever hverandre blir a 0 , dvs.
vi får Newtons 1. lov som et særtilfelle av Newtons 2. lov.
Newtons 3. lov:
Dersom et legeme A påvirker et annet legeme B med en kraft F, vil B påvirke A med
en motsatt rettet og like stor kraft R.
Kreftene F og R betegnes aksjon og reaksjon (kraft og motkraft). Legg merke til at
aksjon og reaksjon er to forskjellige krefter (årsakene er forskjellige). Legg også
merke til at vi kun betrakter ett legeme og har én kraft av gangen. Enten betrakter vi
legeme B og setter på kraft F, eller så betrakter vi legeme A og setter kraft R.
A
B
F
B A
R
Figur for Newtons 3. lov. R = F.
Legg merke til at aksjon og reaksjon i Newtons 3. lov alltid er like store og at de virker på
hver sitt legeme. Vi må ikke blande disse kreftene begrepsmessig sammen med
reaksjonskraften på at et legeme som har en tyngde. Tyngden og reaksjonskraften virker på
samme legeme og er ikke nødvendigvis like store. (Hvis underlaget bryter sammen kommer
legemet i bevegelse fordi reaksjonskraften er mindre enn tyngden!)
Vi har sett i bileksempelet at det er behov for å dele opp kreftene ut fra hvilken retning de
virker i. Noen ganger opphever de hverandres virkning (som tyngden og støtten fra
underlaget). I andre tilfeller ser de ut til å være uten innvirkning på hverandre (som
skyvkraften og tyngden ved kjøring på horisontalt underlag). For å hanskes med dette skal vi
hente noen matematiske regnestørrelser som kan håndtere både retning og størrelse på én
gang.

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 5 av 14
2 Tall og størrelser i flere dimensjoner, skalarer og
vektorer
Ved anvendelse av matematikk har man bruk for å kvantifisere både enkle og mer kompliserte
forhold.
Dersom man har 3 epler og skaffer seg 5 til, så man helt enkelt 8 epler. Hvis en magnet
påvirker et jernstykke, som har en viss tyngde, så blir forholdene mer kompliserte fordi
tyngden og magneten i det generelle tilfellet virker i forskjellige retninger. Vi kan ikke på en
enkel måte legge sammen virkningene. Virkningene fra hhv. magneten og tyngden søker å få
jernstykket til å bevege seg, men ikke nødvendigvis i samme retning.
Når vi skal regne med kreftene, må vi benytte ”sammensatte tall”. Disse vil vi i matematikken
kalle vektorer.
Når vi regner med enkle tall (som ved eplene), benytter vi skalarer. Skalarer er enkle tall.
Vektorer er sammensatte tall.
Todimensjonale vektorer kan beskrive forhold i et plan (for eksempel x- og y-retning, eller én
horisontal retning og vertikalretningen).
Tredimensjonale vektorer kan beskrive ting i rommet (for eksempel x- y- og z-retning, eller to
horisontale retninger samt vertikalretningen).
En enkel definisjon av vektor 2 :
En vektor er en størrelse som har retning og lengde.
Noen egenskaper til vektorer:
En vektor kan anses som en pil med gitt lengde og retning, som ligger ”overalt” (når vi
tegner én pil, tegner vi egl. kun en representant for vektoren).
To vektorer kan adderes. Summen blir en ny vektor med retning og lengde lik de to
pilene (to representantene) lagt etter hverandre. Alternativt kan man addere dem med
parallellogram.
En vektor i planet kan løses opp i to retninger. Dette kalles dekomponering. Det er ofte
hensiktsmessig å dekomponere i x- og y-retning.
En vektor i planet kan beskrives med et tallpar som angir komponentene.
Vektorer i rommet har tilsvarende egenskaper, men det blir nå 3 komponenter.
En vektor kan ganges med en skalar, eks. 3 a
. Ganger vi med 1 får vi en like lang,
men motsatt rettet vektor, a .
Det finnes en null-vektor, 0 .
2 Gjelder to- og tredimensjonale vektorer. Ved 4-dimensjonale eller n-dimensjonale vektorer har ”retning” ingen
mening.

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 6 av 14
4 representanter for vektoren
a
a
a
c
Vektoraddisjon og vektorregning:
abc, abc0 Dekomponering til koordinatretninger.
Vi bruker et koordinatsystem der x-retning angir 1. koordinat (den øverste koordinaten når vi
setter dem over hverandre) og y-retning angir 2. koordinat.
4 4 0 Dersom a ,
vil vi kalle ax
og ay
for koordinatkomponentene.
1 0 1
En koordinat er en skalar, mens en koordinatkomponent er en vektor. x-koordinaten til a vil
vi kalle a x (uten vektorpil). Den er selvsagt lik x-koordinaten til vektoren x a , som har 0 som
y-koordinat.
y
r
B
r sin
O A
r cos
x
b
Å finne komponentene (koordinatene) med
trigonometri:
La vektoren r være gitt ved linjestykket OB med
retning fra O mot B (kan også skrives OB , merk
bokstavenes rekkefølge).
Med skalaren r (uten pil) mener vi lengden av
vektoren r .
Lengden av en vektor
Når koordinatkomponentene er kjent kan man lett
regne ut lengden av en vektor med pytagoras:
2 2
a a axay 3 3 3
Oppgave: Finn generell vinkel og lengde av vektorene i) a og ii) b
(svar )
4 4
Vektor angitt med lengde og vinkel
Fra figuren ser vi (erstatt r med a) at en generell vektor a kan skrives
cos
aa , der aa sin
cos
Dette uttrykket består av tallet a gange med en enhetsvektor, e .
En enhetsvektor er
sin
en vektor med lengde 1. At lengden av e er lik 1 ser vi fra den trigonometriske formelen
3 Svar: i): 5, 53,13. ii): 5, 233,13 (eller -128,87)
=
b
a
c

HIN IBDK
Side 7 av 14
RA 26.08.09
e
2 2
a a
2 2
cos sin 1 1
for alle verdier av . Alternativt fremgår det
x y
direkte av enhetssirkelen.
Kjenner man komponentene og ikke vinkelen, kan vinkelen finnes ved å løse ut fra
ay
tan
a
3 Krefter, kraftvektorer og kraftkomponenter
Når vi skal benytte kraftbegrepet i praktisk mekanikk, må vi gjøre noen utvidelser i forhold til
innledningskapittelet. Vi skal ta i bruk kreftenes retningsegenskaper, og vi skal utvide fra
A B
F F
A
x
krefter som angriper (virker på)
punktformede legemer (eller
legemer som vi betrakter som
punkter) og til stive legemer med
utstrekning. Dette blir ganske
raskt komplisert. Se bare på
følgende:
En bjelke, AB, med ubetydelig egentyngde er belastet med en kraft F. Bjelken hviler på
lagrene
A og B og er i likevekt (se figur).
Figuren til venstre er en ”teknisk figur” som viser hvordan bjelken er lagret. Begge lagrene A
og B har bolter slik at bjelken kan rotere friksjonsfritt. Lager B er glidende, slik at reaksjonen
er blir vertikal. Figuren til høyre er fritt-legemediagrammet som viser at vi betrakter bjelken
og tegner kreftene som virker på bjelken. Siden bjelken er i likevekt, må virkningen av
kreftene på en eller annen måte oppheve hverandre. Vi ser at det ikke er likegyldig
hvor
reaksjonene A og B angriper. Det må være slik at de oppstår i punktene A og B
(kontaktkrefter), der bjelken er opplagret,
og på en slik måte at kreftene A, B og F opphever
hverandres
virkning, bjelken er jo i ro.
3.1 Postulater om krefter
Vi vil formulere følgende postulat for
krefter:
Postulat
1. Kjennetegn:
En kraft som angriper et stivt legeme har 3 karakteristiske kjennetegn:
1) Et mål (tallstørrelsen for hvor stor kraften er i målt i Newton)
2) En pilretning
(dette kan vi bruke en vektor eller vektorkomponenter til å
beskrive)
3) En angrepslinje (dette sier ve ktorbeskrivelsen ikke noe om)
Punkt 3 i postulatet kommer ikke til anvendelse ved punktformede legemer. Ved legemer med
utstrekning bruker vi vektorregning (eller i praksis komponentregning) til å finne tallstørrelser
for kreftene og angrepslinjer for å finne beliggenheten for kreftene. B

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 8 av 14
Neste postulat omhandler den samtidige virkningen av to krefter:
Postulat 2: Samvirke av krefter
Når to krefter med skjærende angrepslinjer virker samtidig på et stivt legeme, har disse
samme virkning som den geometriske summen som fremkommer ved
parallellogramsummering ut fra angrepslinjenes skjæringspunkt.
Den geometriske summen i postulat 2 kalles kreftenes resultant.
Vi ser fra vektorkapittelet at resultantens mål (tallstørrelse) og retning er lik vektorsummen,
mens dens angrepslinje er linjen gjennom skjæringspunktet for de summerte kreftenes
angrepslinjer.
A
F2
F1
A1
A2
R
F1
F2
Eksempel: La et legemet være angrepet av kreftene 1 i
punkt 1 og F
A F2 i punkt A 2 .
Kraftresultanten er vektorsummen R F1F2. Alternativt
kan vi regne ut komponentsummene Rx F1x
F2x
og
R F F . Kraftresultantens angrepslinje er gitt ved
y 1y 2y
retningen til R og punktet A, som er skjæringspunkt
mellom angrepslinjene til hhv. 1 og F F 2
Det omvendte av å summere to krefter til en resultant er å dekomponere en kraft i to andre
krefter. Ved praktisk regning er det vanlig å dekomponere til x- og y-retning, men generelt
kan man (og det er også ofte nyttig) dekomponere i vilkårlige retninger.
Eksempel: På figuren over kan vi la kraften R være gitt. R kan dermed dekomponeres i
komponentkreftene og (eller i andre retninger, om ønskelig).
F
F1 2
Vi har hittil summert to ikke-parallelle krefter. Hva om de er parallelle? For parallelle krefter
oppstår det tre tilfeller.
Tilfelle 1: Summering av to krefter
med sammenfallende angrepslinjer:
Dette er enkelt, fordi resultantens
angrepslinje blir den samme, og
resultantens mål blir bare lik
skalarsummen (vanlig tall-sum) av
kreftene som adderes.
F1F2
R
2 3 5
F F
=
R
1
2

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 9 av 14
Tilfelle 2: Summering av to parallelle, ikke like
store krefter, med forskjellige angrepslinjer. Dette
er litt komplisert. Vi løser det ved å dekomponere
begge kreftene på en spesiell måte. Det spesielle
er at vi lager to komponenter, H, som er like store,
men motsatt rettede med sammenfallende
angrepslinje. Når begge kreftene er dekomponerte
har vi fire ikke-parallelle krefter å addere. Disse
adderes to og to, der to faller vekk, nettopp fordi
de er like store og motsatt rettede med felles
angrepslinje.
H
H
K2
K1
F2
F1
K2
R F1F2
H H K K
K1
Tilfelle 3: de to kreftene er parallelle, like store og motsatt retning, og har ikke
sammenfallende angrepsliner. Disse kreftene kan ikke summeres til én kraft. Slike krefter
kalles et kraftpar.
R
1 2
3.2 Kraftpar
Dersom vi forsøker å summere to like store, motsatt rettede krefter med ikke-sammenfallende
angrepslinjer, vil vi se at det ikke lar seg gjøre. Et kraftpar kan
kun virke på et legeme med utstrekning og har i seg selv kun en
dreiende virkning. Størrelsen på den dreiende virkningen kalles
F
dreiemomentet, T F a,
der F er størrelsen på kreftene og a
er anstanden mellom angrepslinjene. Enheten for kraftparets
dreiemoment, T, blir [Nm] eller [kNm]
Postulat 3: Egenskaper for kraftpar:
1) Et mål, dreiemomentet T Fa
2) Dreieretningen, med elle mot urviseren
3) Dreieplanet. Det planet som dreiningen vil skje i.
Kreftene i et kraftpar kan ikke reduseres til et enklere kraftbilde.
3.3 Kraftsystemer
Når flere krefter virker samtidig, har vi et kraftsystem. De fleste av eksemplene våre er hentet
fra plane kraftsystemer, dvs. at alle kreftene kan tegnes i ett plan, dvs. vi har to dimensjoner.
Generelt for romslige konstruksjoner vil vi ha 3-dimensjonale kraftsystemer.
Ved generelle beregninger må vi benytte vektorregning for 3 dimensjoner, der et kraftpar er
en vektoriell størrelse (T Fae, der e er en enhetsvektor vinkelrett på kraftparets plan,
evt. skrevet slik: T Fa,
der a er a-vektor i kraftparets plan).
I mekanikk-faget vil alle eksamensoppgaver omhandle plane kraftsystemer, men det vil
komme enkelte øvingsoppgaver der vi må tenke i tre dimensjoner. Oftest kan man i disse
oppgavene legge plane snitt og betrakte to dimensjoner av gangen (f.eks. øst-vest og vertikalt
eller nord-syd og vertikalt). For kraftpar blir det mer komplisert i 3 dimensjoner, idet alle plan
kan være dreieplan.
a
F

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 10 av 14
Ethvert kraftsystem vil kunne reduseres til 1) en kraftresultant og 2) et resulterende kraftpar.
Kraftresultanten uttrykker kraftsystemets translaterende virkning (rettlinjet bevegelse), og
resultantkraftparet uttrykker kraftsystemets roterende virkning.
3.4 Newtons lover for kraftsystemer
Newtons 1. lov:
Dersom summen av alle krefter og alle kraftpar som virker på et legeme er null, vil
legemet være i stillstand eller i en jevn rettlinjet og/eller jevnt roterende bevegelse.
Matematisk uttrykt for plant kraftsystem: F 0
og T 0
Newtons 2. lov formulerer vi kun delvis fordi mekanikkfaget vårt kun omhandler statikk
(ikke-akselererte konstruksjoner). For punktformede legemer kan vi skrive:
F ma
, der a er akselerasjonsvektoren.
(Legemer med utstrekning vil generelt kunne få akselererende bevegelser med
translasjoner og rotasjoner).
Newtons 3. lov:
Dersom et legeme A påvirker et annet legeme B med en kraft FA
, vil B påvirke A med
en motsatt rettet og like stor kraft FB . Matematisk: FA FB
Dersom et legeme A påvirker et annet legeme B med et kraftpar TA
, vil B påvirke A
med et motsatt rettet og like stort kraftpar TB . Matematisk: TA TB
.
Se figuren.
FA
TA
A
Figur for Newtons 3. lov
B A
3.5 Sammenløpende krefter
Vi skal la det generelle kraftsystemet ligge litt og starte med kraftsystemer der alle
angrepslinjer skjærer hverandre i ett punkt. Slike krefter kalles sammenløpende. Har man kun
to krefter, er de naturligvis alltid sammenløpende. I det følgende kommer noen
oppgaveeksempler.
TB
FB
B

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 11 av 14
4 Oppgaveeksempler
Eksempel 1
En snor er festet til en skrue i en vertikal vegg. I snora er det en strekkraft på 800 N. Snora
danner en vinkel på 60 med veggen. Finn grafisk og analyttisk horisontal- og
vertikalkomponentene av kraften. Skriv opp kraftvektoren for snorstrekket på
komponentform.
vegg
60,0°
snor
Løsning:
Grafisk: Tegn opp snorstrekket som kraften S, lengde f.eks 40 mm, med vinkel 60 i forhold
til vertikalretningen. Mål opp horisontalkomponenten, 35 mm. Da blir
35 20
Sx 800 N = 700 N . Mål opp vertikalkomponenten, 20 mm. S y 800 N = 400 N
40
40
Analyttisk: Det er nå lurt å finn vinkelen i forhold til horisontal: 90 60 30. S Scos 800cos30 693 N og S Ssin 800sin 30 400 N
x
Kraftvektoren kan skrives:
y
40
35
cos30 693 S 800N N.
sin 30 400 Eksempel 2
To snorer er festet i skruen i veggen, krefter og vinkler er angitt på figuren. Finn
kraftresultanten for de to snordragene. Angi både størrelse og retning. Regn grafisk og
analyttisk med komponenter og vektorer.
vegg
60,0°
40,0°
S 800 N
1
S 1200
N
2
40
30,0°
60
30,0°
S1
S
20
R
S2
94
10,0°
5,8°

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 12 av 14
Løsning:
Grafisk: Tegn kraften med vinkel og lengde f.eks. 40 mm. Kraft tegnes med vinkel og
S
S1 2
40mm
med lengde 1200N = 60 mm . Konstruer resultantkraften R og mål den opp, 94 mm.
800N
94
Dermed R 800N = 1900 N . Mål opp at R danner en vinkel på ca 6 med horisontalen.
40
Svar: 1900 N, 6 oppover mot høyre
Analyttisk: Vi finner først vinklene med horisontalen, 1 90 60 30 for S og
2 90 60 40 10 for S2
. Vi bruker ikke fortegnet i vinkelen, men i
komponentregnestykket bruker vi figuren, vi får:
R S S S cos30S cos10800cos301200cos10 1875 N
x 1x 2x 1 2
R S S S sin 30S sin10800sin 301200sin10 192 N
y 1y 2y 1 2
R R R 1875 192 1884 N
2 2 2 2
x y
Ry
192
tanR R 5,8
oppover mot høyre.
Rx
1875
Med vektorregning:
cos30 cos -10
1875 cos5,8
R S1S2 800N 1200N
N 1884N
sin 30 sin -10
192 sin5,8
Anmerkning: Det er normalt ikke behov for å regne med vektorer i praktisk oppgaveregning,
det er komponentregningen som er ”normalmetoden”. Vi ser at det ligger den samme
informasjonen i de to analyttiske metodene, så det er uansett unødvendig å gjøre arbeidet to
ganger. Vi skal dog bemerke at komponentregnestykket skal ha figur, fordi kun figuren
forklarer fortegnene. Vektorregning trenger ikke figur fordi matematikken tar seg av
fortegnene. Vinkelen er en generell vinkel ( 180v 180). Eksempel 3
K
K
F
Elv m. strøm
45°
S2
25°
S1
En pram befinner seg i en strømmende
elv. Når prammen holdes i ro har man
funnet at kraften fra elven på prammen, K,
er 8 kN. Når prammen skal holdes i ro, må
man anbringe ennå en kraft på prammen,
nemlig F. Prammen er i ro når
F K 8 kN , se figur.
For å holde prammen i ro i praksis vil
man bruke to tau til land. Tauene spennes
opp slik at de danner hhv. vinklene 25 og
45 med strømmens retning.
1

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 13 av 14
Oppgave:
Finn strekkreftene i tauene, 1 og
S 2 S
Løsning
Siden prammen er i ro er som nevnt F K 8 kN . Vi må derfor dekomponere kraften F i to
krefter med vinkler hhv. 25 og 45.
Grafisk løsning
Ved hjelp av linjal, transportør (vinkelmåler) og vinkelhake konstruerer vi parallellogrammet
som vist, idet vi velger en målestokk for den kjente kraften F, 8 kN tilsv. 40 mm (f.eks):
45°
l2
40
25°
l1
F
Kraften F tegnes opp med lengde 40 mm. Linjene l og l tegnes med vinkler hhv. 25 og
45. Parallellogrammet fullføres. Kreftene S1
og S2
merkes opp og deres lengder måles til
hhv. 30 mm og 18 mm.
8 kN
8 kN
Vha. målestokken finner vi da: S1 30 6 kN og S2 18 3,6 kN
40
40
Analyttisk løsning
y
S2
45°
25°
S1
F
18
1
30
S2
2
40
Vi legger inn et koordinatsystem som vist. Vi ser
at vinklene er angitt i forhold til x-aksen.
S1
Så ser vi for oss x- og y-komponentene av hhv. S 1
og S2
. I x-retning skal summen bli F og i y-retning
skal summen bli null. Det gir oss to ligninger:
Rx
S1x S2x F
, der R er resultanten når vi
Ry S1y S2y 0
summerer S1 S og 2 som vektorer.
Med innsatte tallverdier må vi nå løse to ligninger med to ukjente:
S1x S2x 8 kN S1cos
25S2cos 458
S1y S2y 0 S1sin 25S2sin 450 x
F

HIN IBDK RA 26.08.09
Side 14 av 14
Vi setter inn desimalverdier for sinus og cosinus og utnytter at det er like koeffisienter for den
ene av de ukjente (koeffisientmetoden). Ligningene adderes og S2
elimineres:
0,906S10,707S2
8
1,329S1 8S1 6,02
0,
423S10,707S2 0
Verdien for S1
settes inn i den nederste av ligningene i siste ligningssett:
0,423S10,707 S2 0
2,546
0,4236,02 0,707 S2 00,707 S2 2,546 S2 3,602
0,707
Dermed har funnet kreftene:
S
S
1
2
6,02 kN
3, 60 kN
Det kan være lurt å sjekke med ens intuisjon at svaret virker rimelig (vi kan sjekke evt.
fortegnsfeil, grove regnefeil eller forbytninger av symboler).
Begge kreftene virker mot høyre, det gjør også F. Da må de begge hver for seg være
mindre enn F. OK, det er de.
Kraften S 1 danner den minste vinkelen med F. Da må den ”dra mest” og være større
enn S 2 . Det er også OK.
Vi konkluderer med at svaret virker rimelig.
Vektorligningen for dette regnestykket er: S1S2 F . Vi skal ikke gjennomføre dette fordi
regnestykket blir akkurat som over, bortsett fra at negativt fortegn i y-komponenten for
S kommer fra faktoren sin( 45 )
.
2
Etter dette skal det være greit å regne alle oppgavene i læreboka, kap. 2.