Fasthet

RA nov 2007
Spenningstyper
F
F
A
Skjærspenning
F
τ =
A
F
A
Normalspenning
+ strekk
- trykk
Spenning
1 N
mm
2
10
1 N
= −6
m
2
fasthet 1
= 1MPa

RA nov 2007
Materialers respons på p krefter
• Strekkspenning gir forlengelse
• Trykkspenning gir sammenstrykning
• Elastiske deformasjoner:
– Går tilbake når lasten tas vekk
• Plastiske deformasjoner:
– Er varige, også etter at lasten er tatt
vekk
Et stykke duktilt metall (for eksempel
en spiker) belasten så kraftig med
bøyning at det blir plastisk deformasjon
på midten. Når lasten tas vekk vil det
bli en tilbakefjæring.
fasthet 2

RA nov 2007
Tøyning yning
La en stang med lengde l 0 bli belastet med en liten strekkraft.
Stangen vil da forlenges med et lite stykke ∆ l .
Vi definerer tøyningen som
∆l
ε =
l
0
I praksis må vi måle lengden før og etter,
la disse være hhv. l 0 og l, da blir tøyningen:
l − l
ε =
l
0
0
Den samlede deformasjonen er lik summen av elastisk og plastisk deformasjon
ε = ε
elastisk
+ ε
plastisk
Så lenge tøyningene er elastiske, gjelder Hookes lov: σ = Eε
, dvs. ε = 0 .
plastisk
Dersom en belastning fører til ε plastisk ≠ 0 , har vi overskredet den elastiske grensen
F
F
∆l
l0
fasthet 3

RA nov 2007
Hookes lov, E-modul E modul
Elastisk deformasjon, Hooke’s lov
Elastisk grense:
brudd for sprø materialer
varig deformasjon = ”flyt” for deformerbare materilaer = ”duktile” materialer
E : Elastisitetsmodul, E-modul
σ
ε = , eller σ = E ⋅ ε
E
Stål: ca 200 GPa (200 000 MPa eller 200 000 N/mm 2 )
Gummi: 1-10 MPa
stiv plast: 1-3 GPa
Aluminium: 70 GPa
Beryllium 300 GPa (og densitet 2000 N/m 3 = 2 kg/dm 3 )
Glassfiberarmert plast 30 GPa
Betong 30 GPa
Karbonfiberarmert plat: 100 – 400 GPa
OBS: fiberarmerte plaster: kun stive i plate-planet
fasthet 4

RA nov 2007
Strekkprøving
Strekkpr ving
En strekkprøvingsmaskin Innspenning og ekstensometer
fasthet 5

RA nov 2007
F
Fmax
50
50,5
60
A0
F
Fmax
Strekkstav før og etter brudd. Prøvestaven klemmes
fast i de tykke endene. Den tynne delen er prøveområdet,
som har tverrsnitt A. Vi ser hvordan en
lengde som opprinnelig var 50 mm øker under
strekkingen. Etter en viss strekking, blir det en
innsnøring.
Strekkprøving
Strekkpr ving
Tøyningen:
l − l
l
0
0
( − )
50,5 50 mm
= = 0,01 = 10%
50 mm
N
Spenningen regnes ut med σ = , men legg merke til at A enten regnes
A
som det opprinelige arealet A 0 eller det virkelige arealet A, som må måles
under hele prøvingen (hvilket ikke er vanlig) .
Vi kan derfor formulere to spenninger:
Nominell spenning:
og
Sann spenning:
N
σ =
A
0
σ =
N
A
fasthet 6

RA nov 2007
σ =
F
A
σ
[MPa]
σ flyt
Strekkprøving
Strekkpr ving
∆ε
∆σ
σbrudd
σSann
σNominell
Plotting av spenning mot tøyning. I det lineære området til venstre kan man beregne Emodul:
E ∆σ
= . Det hvor det lineære området slutter, har vi den elastiske grensen. For
∆ε
duktile materialer kalles dette flytegrensen. Der spenningen går nedover har vi egl. ”falsk”
informasjon fordi vi har beregnet spenningen med det opprinnelige arealet. Den virkelige,
lokale spenningen i materialet fortsetter å øke. Vi ville kunne sann spenning dersom vi også
målte tverrsnittet under prøvingen.
ε
fasthet 7

RA nov 2007
Deformasjonsarbeid
F [N]
Wtot
W = ∫ Fdl
l
0
Welastisk
Vandring [mm]
Det fremgår at et duktilt material vil absorbere energi ved deformasjon. Energien blir til
indre friksjonsarbeid i materialet. Elastisk energi kan man få tilbake (som å spenne en fjær)
Dersom man beregner
∫
ε
0
1
σdε , får man energi pr volum.
fasthet 8

RA nov 2007
MPa
600
σNominell
0,5 %
Herdet stål
Herdet aluminium
GRP
Duktilt stål
20 %
Div. materialer
εNominell
MPa
20
σNominell
HDPE
5 %
100 %
Gummi
εNominell
fasthet 9

RA nov 2007
R
R
t ⋅ ∆A
∆A
q
F
Spenning i et punkt
T
q
F
T
M
V
T
N
Kreftenes gang gjennom et legeme vises ved at et snitt påfører vi snittkrefter.
Slår sammen
∆ N + ∆ V = ∆ F = t∆A
∆F
der t = lim
∆A→0 ∆A
Fordi M og T må ha ”arm”, blir lim 0 M = og lim 0 T =
∆A→0
t
q
F
∆A→0 Til ethvert i punkt i snittet kan det dermed knyttes en størrelse, t , som betegnes en
spenningsvektor. Denne er generelt ujevnt fordelt
T
q
F
T
fasthet 10

RA nov 2007
Koordinatspenninger
τzx
τxz
σz
τ yz
τzy
σx τyx τxy
y σ
Idet τ yx = τxy , τ yz = τzy , τ zx = τ xz vil spenningene kunne
samles i matrisen:
⎡σ x τxy τ ⎤ xz
⎢ ⎥
⎢τxy σ y τ yz ⎥
⎢τ τ σ ⎥
⎣ xz yz z ⎦
Som er symmetrisk, dvs. den har ortogonale egenskaper
De ortigonale egenskapene fører til at materialelementet kan dreies til en tilstand der
τ yx = τ zy = τ xz = 0 og der normalspenningene antar ekstremalverdier, σ1, σ2, σ3 slik at
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 , σ 1 = σmax , σ 3 = σ min
Det kan da vises at den maksimale skjærspenningen vil opptre midt mellom de ortogonale
maksimumsretningene for de ekstremale normalspeningene:
σ1
45,0°
σ2
σ − σ
τ max =
2
1 3
σ3
σ1 − σ3
Altså τ max = ved vinkel 45° på
2
hovedspenningsretningene
fasthet 11

RA nov 2007
σ y
τ xy
σ( φ)
σ2
σ x
45°
σ1
τmax
φ1
Hovedspenninger
σ( φ)
τ( φ)
φ
σ x + σ y ⎛ σx − σ y ⎞
σ 1,2 = ± ⎜ ⎟ + τ
2 ⎝ 2 ⎠
2τ
tan 2 φ = , φ = φ + 45°
1
xy
σx − σ y
2 1
τ =
max
σ − σ
2
1 2
2
fasthet 12
2
xy

RA nov 2007
τmax
σb
Plan spenningstilstand
σa
σ = 0
Egentlig 3 hovedspenninger:
σ ≥ σ ≥ σ
1 2 3
σ = max( σ , σ ,0)
1
σ = min( σ , σ ,0)
3
a b
a b
fasthet 13

RA nov 2007
Dimensjoneringskriterier
• Gitt en struktur med last
– dimensjonerende last = det vi regner med at lasten kan
være, N d , M d osv.
• Strukturen skal ha nok kapasitet
– Lasten fører til spenninger, opptredende spenninger, σ, τ
• materialet skal holde, ha høy nok fasthet
– strekkfasthet f u + , trykkfasthet fu - , bøyefasthet (eks.
plate) σ b,u mm
• Konstruksjonen skal holde med sikkerhetsmargin
• bruker standarder
– Regelverk for kontrakter
– Regelverk som er myndighetspålagt
fasthet 14

RA nov 2007
Standarder, regelverk, ”koder koder” (Codes)
• NS 3471 Prosjektering av aluminiumskonstruksjoner
• NS 3472 Prosjektering av stålkonstruksjoner
• Eurocode 3: Design of steel structures
• ASME (Amerikansk) f.eks. offshore piping (process
area - bemannet)
• API (Am. Petroleum Inst), f.eks. transportrørledninger
– ubemannet)
• TBK, norsk vedr. trykkbeholdere – myndighetspålagt
for “kjelkontroll”
• Fabrikk-standarder
fasthet 15

RA nov 2007
• Sikkerhetsfaktor, n
• eks.:
• Partialkoeffisienter
Sikkerhetsmargin, filosofier
σ =
tillatt
f
y
n
f y
qd = q ⋅ γ f fd = Rd = regnestykke( fd
)
γ
q
d
: dimensjonerende lastvirkning
q:
karakteristisk lastvirkning (fra "regnestykket")
γ
f
f
γ
R
f
d
y
m
d
: lastkoeffisient (fra regelverk), ofte 1,3 eller 1,5
: dimensjonerende fasthet
m
: eksempel her - materialets flytegrense
: materialkoeffisient, ofte 1,1
: Konstruksjonens dimensjonerende kapasitet
KRAV: R ≥ q
d d
fasthet 16

RA nov 2007
Dimensjoneringskriterier
• Bruddgrensetilstand:
– en tilstand som svarer til en definert kapasitet hos
en konstruksjon eller et konstruksjonselement.
Brudd eller store uelastiske forskyvninger eller
tøyninger som kan sammenlignes med brudd
• Bruksgrensetilstand:
– en tilstand som svarer til en definert grense som
ikke skal overskrides ved normal bruk av en
konstruksjon eller et konstruksjonselement. Ikke
akseptable forskyvninger, tøyninger, rissdannelse
etc. i et bruksperspektiv
• Materialfastheten
– flytekriterier, bruddkriterier
fasthet 17

RA nov 2007
σ2 − σ 1 = f y
( − f y, − f y )
σ2
Flytekriterier, Tresca og Mises
( f y , f y )
Tresca
Mises
σ
1
σ1 − σ 2 = f y
1
τ max = ( σ1 − σ2
)
2
f y
Tresca: τmax ≤
2
Mises: σ + σ − σ σ ≤ f , dvs. innenfor ellipsen
2 2 2
1 2 1 2 y
Mises gir jevnføringsspenningen: σ = σ + σ − σ σ
2 2
1 2 1 2
2 2
Med koordinatspenninger: j x y x y 3 xy
I ren skjærspenningstilstand: τ = τ
xy
j
σ = σ + σ − σ σ + ⋅τ
f y f y
Mises τ = Tresca τ = τ ≈1,15 ⋅τ
3 2
M T M T
fasthet 18

RA nov 2007
Eksempel
fasthet 19

RA nov 2007
− − ( − fu , − fu
)
max stor τ
σ2
+ + ( fu , fu
)
Bruddkriterier
+ −
f : strekkbruddspenningen, f : trykkbruddspenningen
u u
Normalspenningskriteriet : σ < f og -σ
< f
+ −
max u min u
σ1
max liten τ
Indrefriksjonskriteriet
Normalspenningskriteriet
(Coulomb, Rankine)
Indrefriksjonskriteriet :
max min
Brudd når: − ≥ 1
+ −
fu fu
Bruddskjærspenning
τ
u
+ −
u u
+ −
u + u
Ved isotrop strekkspenning σ = σ = σ = σ
σ
k
=
=
f ⋅ f
f f
f ⋅ f
f f
+ −
u u
+ −
u − u
σ σ
1 2 3
fasthet 20
k

RA nov 2007
Glasser og keramer
• er sprø – dvs. tåler ikke strekkrefter, heller ikke bøying
strekk
• Sprø materialer tåler mye høyere trykk enn strekk, typisk
15 ganger mer for mange keramer
• Ved bruk av metaller ønsker man å utnytte duktiliteten
fasthet 21

RA nov 2007
Bruddanvisning
meget høye lokale
spenninger
Sprøtt Spr tt vs. duktilt material
strekk
fasthet 22
Bruddanvisningen mister
sin skarphet pga. flyt.
Langt lavere lokale
spenninger

RA nov 2007
Alle materialer har defekter
I sprø materialer er det den største defekten som utløser
brudd
Bruddseigheten viser motstand mot sprøtt brudd
stål: Ic
Plast Ic
Glass Ic
K 250 MPa m
=
K 25 MPa m
=
K 0,5 MPa m
=
Maksimal strekkspenning σ og defekt a: Ic
Brudd i sprøtt spr tt material
K ≥ σ π a
Defekter forekommer tilfeldig fordelt i materialet.
Jo grovere komponent – jo større er det sannsynlig at den
maksimale defekten vil være. Altså:
En tynn komponent (eks. en glassfiber) tåler mye
større strekkspenning enn en grov komponent (eks. en
glasstav eller en isolator).
---------
Sprø materialer tåler mye høyere trykk enn strekk, typisk
15 ganger mer. Bøyefastheten er høyere enn
strekkfastheten.
σ
Bøyeprøving av glasstav
ε
F
L
d
fasthet 23
Sprøtt brudd,
plutselig, uten
varsel, ingen flyt

RA nov 2007
Defekter er bruddutløsende
Defektene er tilfeldig fordelt, både mht. antall og størrelse
Sprø materialer får stor spredning i fasthet
Eksempel, simulering med Weibull-fordelingen av 10 000
prøvinger:
Brudd i sprøtt spr tt material
Maksimal bruddlast (sterkeste stav): 1283 N
Minimal bruddlast (svakeste stav): 22 N
Gjennomsnittsverdi (”Bruddmodul”): 51 N
Den nest-sterkeste i serien: 1060 N
Den femte (5.) sterkeste: 450 N
F
Bøyeprøving av glasstav
L
d
fasthet 24

RA nov 2007
RA 2006 RA 2004
Andre bruddårsaker
brudd rsaker
Utmatting
Eks.: Roterende aksel
Spenningsvekslinger
Strekk-trykk-strekk-trykk-…………
fasthet 25

RA nov 2007
http://www.disastercity.info
Andre bruddårsaker
brudd rsaker
Konstruksjonsstål Konstruksjonsst l i kulde
Duktil brudd
romtemperatur
RA 2006
RA 2006
Sprøtt brudd, kulde
fasthet 26

RA nov 2007
http://www.civil.usyd.edu.au
Andre bruddårsaker
brudd rsaker
Konstruksjonsstål Konstruksjonsst l i sterk varme
http://hms.cobuilder.no/doc/GLAVA
Brannbeskyttelse
fasthet 27
Flytegrensen for metaller faller dramatisk ved temperatur over 400 °C