Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit
Vektorer
1. Oppgave: Avgjør om
⎡
⎣ 1
3
5
⎤
⎦,
⎡
⎣ 2
4
6
⎤
⎦ og
⎡
⎣ 3
5
7
⎤
⎦ er lineært uavhengige.
Fasit: Dette er spørsm˚alet om det finnes vekter x1, x2, x3 - ikke alle lik 0 - slik at
⎡
x1 ⎣ 1
⎤ ⎡
3 ⎦ + x2 ⎣
5
2
4
⎤ ⎡
⎦ + x3 ⎣
6
3
5
⎤ ⎡
⎦ = ⎣
7
0
0
⎤
⎦
0
Vi skriver det p˚a augmentert matriseform, og løser:
⎡
⎣ 1
3
2
4
3
5
0
0
⎤ ⎡
⎦ ∼ ⎣
5 6 7 0
1
0
0
Vi ser at første og andre kolonne er pivotkolonner, mens tredje kolonne ikke er en pivotkolonne. x3
er alts˚a en fri cvariabel, noe som betyr at vi har ikke-trivielle løsninger.
Vektorene er lineært avhengige.
(Du kan ogs˚a finne dette svaret ved˚a jobbe med koeffisientmatrisen i stedet for med den augmenterte
matrisen.)
⎡
1
2. Oppgave: For hvilke verdier av h er ⎣ 2
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
3
⎦, ⎣ 4 ⎦ og ⎣
5
6
⎤
⎦ er lineært uavhengige.
3 5 h
Fasit: Dette er spørsm˚alet om det finnes vekter x1, x2, x3 - ikke alle lik 0 - slik at
⎡ ⎤ ⎡
1 2
x1 ⎣ 3 ⎦ + x2 ⎣ 4
⎤ ⎡
⎦ + x3 ⎣
3
5
⎤ ⎡
0
⎦ = ⎣ 0
⎤
⎦
5 6 h 0
Vi skriver det p˚a augmentert matriseform, og løser:
⎡
1 2 3 0
⎤ ⎡
1 0
⎣ 3 4 5 0 ⎦ ∼ ⎣ 0 1
5 6 7 0 0 0
0
1
0
−1
2
0
−1
2
h − 7
Vi ser at første og andre kolonne er pivotkolonner, mens tredje kolonne kun er en pivotkolonne
dersom h = 7. x3 er alts˚a en fri variabel dersom h = 7, noe som betyr at vi har ikke-trivielle
løsninger. Hvis h = 7 har vi ingen fri variable, og ligningen har kun trivielle løsninger.
Vektorene er lineært uavhengige n˚ar og kun n˚ar h = 7.
(Du kan ogs˚a finne dette svaret ved˚a jobbe med koeffisientmatrisen i stedet for med den augmenterte
matrisen.)
.
Transformasjoner
3. Oppgave: 4 × 8-matrisen A er standardmatrisen transformasjonen T : R a → R b . Hva er a og b?
Fasit: a = 8, b = 4
1
0
0
0
0
0
0
⎤
⎦
⎤
⎦

⎡
4. Oppgave: Matrisetransformasjon: A = ⎣ 6
−3
3
Fasit: Dette er ligningen Ax = 0 ...
⎡
⎣ 6 1
−3 −2
3 5
−8
4
−4
⎤ ⎡
⎦
⎡
⎣ 6
−3
∼
3
1
−2
5
⎣ x1
x2
⎡
⎣ 1
0
0
x3
1
−2
5
−8
4
−4
0
1
0
⎤
⎦ =
⎤
−8
4
−4
−1
2
0
⎦. Hvilke vektorer x sender A p˚a 0?
⎡
⎣ 0
0
0
som vi leser av, og ved ˚a flytte frie variable over p˚a høyre side f˚ar
som vi skriver p˚a vektorform:
⎡
x =
⎣ x1
x2
x3
⎤
⎦ =
⎡
x1 = x3
x2 = −2x3
x3 = x3
⎣ x3
−2x3
x3
0
0
0
0
0
0
⎤
⎦
⎤
⎦
⎤
⎦
⎤ ⎡
⎦ = x3 ⎣ 1
⎤
−2 ⎦, x3 ∈ R
1
5. Oppgave: Finn standardmatrisen for transformasjonen T : T (e1) =
1
T (e3) =
−1
1 2
Fasit: A = [T (e1) T (e2)] =
2 1
1
2
, T (e2) =
6. Oppgave: Er matrisen i oppgave 5 injektiv? Begrunn svaret.
1 2 1 0
Fasit:
∼ .
2 1 0 1
Matrisen er injektiv dersom alle kolonner er pivotkolonner. Det er de. Matrisen er injektiv.
7. Oppgave: Er matrisen i oppgave 5 surjektiv? Begrunn svaret.
Fasit: Matrisen er surjektiv dersom alle rader har en pivot. Det har de. Matrisen er surjektiv.
8. Oppgave: Transformasjonen T : R2 → R2 er rotasjon 5π
2 radianer mot klokka. Finn standardmatrisen.
Fasit: Bruk den generelle formelen for rotasjon θ radianer mot klokka, sett inn, og regn ut:
A =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
5π cos
= 2
sin 5π
2
2
5π − sin
=
2
cos 5π
2
0 −1
1 0
2
1
,

.
Matriseoperasjoner
9. Oppgave: Du har følgende matriser: A = ⎣
⎡
1
4
2
5
3
6
7 8 8
⎤
⎡
⎦, B = ⎣
5
2
5
2
5
2
1 1 1
Beregn følgende, hvis mulig. Hvis du mener det ikke er mulig, begrunn dette.
(a) 2A + C
(b) A + 2B
(c) AC
(d) CA
(e) C T
(f) 1
2 I3B
(g) A T C T T
Fasit:
(a) Matrisene kan ikke legges sammen, siden de har forskjellige dimensjoner.
⎡
⎤
11 12 13
(b) ⎣ 8 9 10 ⎦
10 10 10
(c) G˚ar ikke. Antall rader i C m˚a være likt antall kolonner i A.
48 57 61
(d)
36 42 44
⎡ ⎤
1 0
(e) ⎣ 3 2 ⎦
5
⎡
−4
⎤
(f)
⎣
5
2
5
2
5
2
1 1 1
1
2
1
2
1
2
⎦
(g) AT CT
T 48
= CA =
36
57
42
61
44
10. Oppgave: A−1 ⎡
1
= ⎣ 2
1
3
⎤
1
2 ⎦. Finn a12 og a33 fra A.
3 8 2
Fasit: (A −1 ) −1 = A. Sett opp [A −1 |I3] for ˚a finne [I3|A]:
⎡
⎣ 1
2
3
1
3
8
s˚a a12 = −6 og a33 = −1
1
2
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎤
⎦ ∼
⎡
⎣ 1
0
0
3
0
1
0
0
0
1
10
−2
7
−6
1
5
1
0
−1
⎤
⎦, C =
⎤
⎦
1 3 5
0 2 −4
.

11. Oppgave: Er følgende matrise inverterbar? ⎣
⎡
1 −2 −1
−1 5 6
5 −4 5
⎤
⎡
⎣ 1 0 7
3
⎡
1 −2 −1
−1 5 6
5 −4 5
Fasit: ⎣ ⎦ ∼ 0
0
1
0
5
3
0
⎦
Matrisen har en ikke-pivot-kolonne, og er derfor ikke inverterbar.
12. Oppgave: Gjør kun en av oppgavene under:
⎤
(a) Finn et eksempel p˚a anvendelse av lineær algebra i ditt fagfelt. Bruk gjerne læreboka for ˚a
finne eksempel. Sett opp en ligning eller sammenheng; du trenger ikke løse ligningen.
(b) A er en 3 × 3-matrise. To eller tre av de følgende fire p˚astandene er ekvivalente (impliserer
hverandre). Hvilke er det? Begrunn for hver av p˚astandene.
i. Kolonnene til A utspenner R 3 .
ii. Radene til A utspenner R 3 .
iii. A kan transponeres.
iv. A kan inverteres.
Fasit: Alle matriser er transponerbare, s˚a det kan ikke være ekvivalent til noe som ikke er sant for
alle matriser. Se s˚a p˚a de tre andre p˚astandene. Teorem 8 i Lay 2.3 sier at det at A er inverterbar
(a) er ekvivalent med at kolonnene til A utspenner R 3 (h). Men vi ser ogs˚a (l), at dette er ekvivalent
med at A T er inverterbar, og da er jo alt dette ogs˚a ekvivalent med at kolonnene til A T utspenner
R 3 . Men radene til A er kolonnene til A T . Det betyr at alle p˚astandene i oppgaven, unntatt at A
kan transponeres, er ekvivalente.
.
Differensialligninger
13. Oppgave: Under følger noen differensialligninger med forslag til svar. Noen av svarene er riktige,
andre er gale. Vurdér og si hvilke som er hvilke. For de som er gale, si en setning om hva du mener
vedkommende som skrev løsningen kan ha gjort galt eller misforst˚att. Skriv ogs˚a opp rett svar.
Mellomregning ikke nødvendig.
(a) Ligning: y ′′ − 9y = 0. Svar: y(t) = e −3t + e 3t
(b) Ligning: y ′′ + 9y = 0. Svar: y(t) = e −3t + e 3t
(c) Ligning: y ′′ + y ′ − 2y = 0. Svar: y(t) = c1e t + c2e −2t
(d) Ligning: y ′′ − 12y ′ + 36y = 0. Svar: y(t) = c1e 6t + c2e 6t
(e) Ligning: y ′′ − y = 0. Svar: y(t) = c1e t + c2te −t
(f) Ligning: y ′′ − y = 0. Svar: y(t) = c1e t + c2te t
(g) Ligning: y ′′ − y = 0. Svar: y(t) = c1e t + c2e −t
(h) Ligning: y ′′ + 8y ′ + 25y = 0. Svar: y(t) = c1e −t + c2e −7t
Fasit:
(a) Nesten rett. Kandidaten har glemt konstantene c1 og c2. Rett svar: y(t) = c1e −3t + c2e 3t
(b) Feil. Kandidaten har trolig lest fortegnet feil eller gjort feil med komplekse tall. Kandidaten
har ogs˚a glemt konstantene. Rett svar: y(t) = A cos(3t) + B sin(3t)
4
⎤
⎦

(c) Rett.
(d) Feil. Kandidaten har løst karakteristisk ligning og f˚att dobbel rot r = 6 og funnet ut at dette
gir løsning y = e 6t . Kandidaten har dog ikke kunnskap om ˚a h˚andtere dobbel rot. Rett svar:
y(t) = c1e 6t + c2te 6t
(e) Feil. Kandidaten har trolig glemt at fortegnet p˚a røttene m˚a være like for at vi skal ha en
dobbel rot, eller tenkt at e t og e −t er den samme funksjonen. Kandidaten har derfor ganget
med t der det ikke trengtes. Rett svar: y(t) = c1e t + c2e −t
(f) Samme type feil som i oppgaven over. Rett svar: y(t) = c1e t + c2e −t
(g) Rett.
(h) Karakteristisk ligning er r 2 + 8r + 25, som har løsning r = −4 ± 3i. Dette gir rett svar
y(t) = e −4t (A cos(3t) + b sin(3t). Kandidaten har trolig rotet med den komplekse delen av
løsningen til den karakteristiske ligningen og f˚att r = −4 ± 3, alts˚a r1 = −7 og r2 = −1, noe
som ville gitt løsningen han fikk.
14. Oppgave: I et masse-demper-fjær-system er demper-koeffisienten γ = 2; vi har funnet ut at
systemet er underkritisk dempet, og ved en praktisk m˚aling finner vi ut at amplitudefunksjonen er
2e −3t . Hva er massen?
Fasit: my ′′ + γy ′ + ky = 0 har karakteristisk ligning mr 2 + γr + k = 0, som igjen har løsning
r = − γ
2m ±
√
γ2−4km 2m . Underkritisk dempet betyr at svaret er p˚a formen y(t) = eαt (A cos(βt) +
B sin(βt)), hvor da løsningen p˚a den karakteristiske ligningen var r = α ± β. Sammenligner vi de to
m˚atene ˚a se svarene p˚a den karakteristiske ligningen p˚a, ser vi at α = − γ
2m . Siden vi vet at α = −3
og γ = 2 finner vi da at m = − γ 2 2
2α = − −3 = 3
15. Oppgave: Et masse-demper-fjær-system har m = 2, γ = 3. Systemet er kritisk dempet. Hva er
fjærkonstanten k?
Fasit: my ′′ + γy ′ + ky = 0 har karakteristisk ligning mr 2 + γr + k = 0, som igjen har løsning
r = − γ
2m ±
√
γ2−4km 2m . Kritisk dempet betyr at vi har dobbel rot, alts˚a at r = γ
2m ± 0, eller alts˚a
√
γ2−4km at 2m = 0. Dette f˚ar vi kun n˚ar det vi har under rottegnet er 0: γ2 − 4km = 0, alts˚a
32 − 4k · 2 = 0. Svaret er k = 9
8
16. Oppgave: I et masse-fjær-system er m = 3 og sirkelfrekvensen 5. Hva er fjærkonstanten k?
Fasit: my ′′ + ky = 0 har karakteristisk ligning mr2
k
+ k = 0, som har løsning r = ±iω = ±i m .
Løsningen p˚a differensialligningen er y(t) = A cos(ωt)+B sin(ωt), alts˚a en løsning med sirkelfrekvens
= 25, og siden m = 3 er k = 75.
ω. Siden vi vet sirkelfrekvensen, ser vi at ω = 5. Da er alts˚a k
m
17. Oppgave: Hvilke av differensialligningene i oppgave 13 er kan beskrive masse-(demper)-fjærsystemer?
Er systemene udempet eller dempet, og i s˚a fall hvilken type dempet?
Fasit: For at vi skal ha et masse-demper-fjær-system m˚a alle koeffisientene være ikke-negative.
Det ser vi kun i oppgave (b) og oppgave (h). Demperkoeffisienten i (b) er 0, s˚a dette er et udempet
system. I (h) ser vi at vi har dempning; siden vi her har γ 2 = 8 2 = 64 og 4km = 4 · 25 · 1 = 100, er
γ 2 < 4km, og vi har et underkritisk dempet system.’
5