2 Definition af komplekse tal
2 Definition af komplekse tal
2 Definition af komplekse tal
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Komplekse <strong>tal</strong><br />
Sætning 6.4. Opløsning <strong>af</strong> polynomium i faktorer.<br />
n n−1<br />
Lad Pn() z = anz + an−1z + ... + a1z+ a0,<br />
hvor n er et positivt helt <strong>tal</strong>,<br />
koefficienterne an, an−1,, . . . , a1, a0<br />
er reelle <strong>tal</strong> og an ≠ 0 .<br />
Pn z kan opløses i et produkt <strong>af</strong> førstegradsfaktorer med reelle koefficienter og andengradsfak-<br />
()<br />
torer med reelle koefficienter.<br />
Bevis:<br />
Ifølge sætning 6.1 (algebraens fundamen<strong>tal</strong>sætning har et n’te grads polynomium Pn( z)<br />
n rødder. Det betyder, at<br />
Pn( z)<br />
kan opløses i et produkt <strong>af</strong> n førstegradsfaktorer<br />
n−1<br />
P () z = a z + a z + ... + a z+ a = a ( z − α )( ⋅ z − α ) ⋅ ...( z−<br />
α )<br />
14<br />
n n n<br />
n−1<br />
1 0 n 1 2<br />
n<br />
Nogle <strong>af</strong> disse er førstegradsfaktorer med reelle koefficienter.<br />
Er en rod α ikke reel ved vi fra sætning 6.3 at så er den konjugerede α også rod.<br />
2<br />
( z−α)( z− α) = z − ( α + α) z+<br />
α⋅α .<br />
Da α + α = ( α + iα ) + ( α − iα ) = 2α<br />
er et reelt <strong>tal</strong> og a⋅ a = ( a + ia ) ⋅( a − ia ) = a + a også er et reelt<br />
1 2 1 2 1<br />
1 2 1 2 1 2<br />
2<br />
<strong>tal</strong>, ses, at andengradspolynomiet z − ( α + α) z+<br />
α⋅α er et polynomium med reelle koefficienter.<br />
Hermed er sætningen bevist.<br />
Er specielt α p gange rod, vil Pn z indeholder andengradsfaktoren p gange.<br />
()<br />
Eksempel 6.4. Opløsning <strong>af</strong> polynomium i faktorer<br />
5 4 3 2<br />
Opløs polynomiet Pz ()= 2z− 10z+ 30z− 50z+ 48z−20 iet produkt <strong>af</strong> førstegradsfaktorer<br />
med reellle koefficienter og andengradsfaktorer med reellle koefficienter.<br />
Løsning:<br />
Ti89: MATH, ALGEBRA, FACTOR(2z^5-10z^4+30z^3-50z^2+48z-20,x)<br />
2 2<br />
Resultat: 2( z−1)( z − 2z+ 2)( z − 2z+ 5)<br />
Maple: factor(2*z^5-10*z^4+30*z^3-50*z^2+48*z-20);<br />
Resultat:<br />
6.4 Dekomponering <strong>af</strong> polynomiums brøker<br />
Px ( )<br />
Vi betragter i dette <strong>af</strong>snit brøker hvor tæller og nævner er polynomier med reelle<br />
Qx ( )<br />
3<br />
x + 7<br />
koefficienter.Et eksempel herpå er brøken<br />
3 2<br />
x −3x− x + 3<br />
Ved nogle anvendelser, bl.a, når man skal løse visse typer differentialligninger, får man brug for<br />
at opløse sådanne brøker i en sum <strong>af</strong> simple “stambrøker”<br />
3<br />
x + 7<br />
Skal man eksempelvis integrere f ( x)<br />
=<br />
vil dette være nødvendigt, da man så kan<br />
3 2<br />
x − 3x− x + 3<br />
integrere hver <strong>af</strong> disse simplere stambrøker hver for sig.<br />
Ver dekomponeringen faktoriserer man nævneren som beskrevet i sætning 6.4, og derefter spaltes<br />
op i en sum <strong>af</strong> brøker med disse faktorer som nævnere .Stambrøkerne er brøker, hvor tællerens grad<br />
n<br />
er minder end nævnerens, og hvor nævneren enten er ( x − α ) , eller ( ax bx c) , hvor<br />
n<br />
2 + +<br />
α, abc , , er reelle <strong>tal</strong> og n er et helt positivt <strong>tal</strong>.<br />
En sådan “dekomponering” <strong>af</strong> en brøk og kan opfattes som det modsatte <strong>af</strong> at sætte på fælles<br />
brøkstreg.<br />
2 2