2 Definition af komplekse tal

Eksempel 6.3. Andengradsligning med komplekse koefficienter.
2
Løs ligningen z + 2iz− 4+ 4i = 0
Løsning:
2
− 2i
±α
z + 2iz− 4+ 4i = 0⇔
z =
2
2
Diskriminanten er D= ( 2i) −4⋅( − 4+ 4i) = − 4+ 16− 16i = 12−16i 6. Polynomier
Da Im(D)=-16 < 0 og D =
2 2
12 + 16 = 400 = 20 fås α =
20 + 12
− i
2
20 −12
= 4−2i 2
2
2i 4 2i
z + 2iz− 4+ 4i = 0⇔
z = z 2 z 2 2i
Vi har derfor 2
− ± − ( )
⇔ = − ∨ = −
6.3 Polynomier af højere grad end 2
I forbindelse med eksempelvis løsning af visse typer differentialligninger, kan man få brug for at
studere polynomer af højere grad end 2.
Langt de fleste anvendelser vil dog være polynomier med reelle koefficienter, så vi vil i det
følgende begrænse os til sådanne.
For andengradspolynomier med reelle koefficienter
fandt vi, at hvis a = a + ia var en rod, så var
også a = a −ia
en rod.
1 2
1 2
Man kalder a = a −ia
for det konjugerede tal
1 2
til a = a + ia (se figuren)
1 2
Generelt gælder det for alle polynomier med reelle koeficienter, at er a en rod vil også a være en
rod.
Sætning 6.3, Rødder i polynomier med reelle koefficienter
n−1
Lad Pz () = az + a z + ... + az+ a , hvor n er et positivt helt tal,
n n
n−1
1 0
koefficienterne a , a ,, . . . , a , a er reelle tal og .
n n−1
1 0 an ≠ 0
Hvis α er en kompleks (ikke-reel) rod i så vil det konjugerede tal α også være en rod.
Bevis:
Af definitionen på konjugeret følger
a + b = a + b (da a + b = ( a1 − ia2) + ( b1 − ib2 = a1 + b2 − i( a2 + b2) = a+ b )
a⋅ b = a⋅b (da a⋅ b = ( a1 −ia2) ⋅( b1 − ib2 = a1⋅b1 −a2b2 −i( a2 ⋅ b2 + a2 ⋅ b1) = a⋅b) Hvis α = a1+ ia2
er en "kompleks rod" er P ana a a
n n−1
( α) = 0⇔ α + n−1α
+ ... + 1α + 0 = 0
Ved konjugering fås under brug af de ovennævnte regler for konjugering
P( α ) = 0 ⇔
n n−1
anα + an−1α + ... + a1α + a0
= 0
Da koefficienterne er reelle tal og dermed an = an
osv.fås
n n−1
anα + an−1α + ... + a1α + a0
= 0 . Heraf ses, at α er en rod i Pz ()
13