2 Definition af komplekse tal
2 Definition af komplekse tal
2 Definition af komplekse tal
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Komplekse <strong>tal</strong><br />
12<br />
2<br />
6.2 Andengradsligningen Az + Bz + C = 0 , A ≠ 0<br />
Sætning 6.2. Andengradsligning<br />
2<br />
Andengradsligningen Az + Bz + C = 0 , med <strong>komplekse</strong> koefficienter A ≠ 0 , B og C og<br />
2<br />
B D<br />
diskriminanten D= B −4AC<br />
har rødderne z = , hvor bestemmes som en rod<br />
A<br />
− ±<br />
α = D<br />
2<br />
i den binome ligning α .<br />
2 = D<br />
Bevis: Vi foretager omskrivningen<br />
2 2 2 2<br />
2 2 B C ⎛ B ⎞ B C<br />
B B<br />
Az + Bz + C = 0⇔ z + z + = 0⇔<br />
⎜z<br />
+ ⎟ − 0 z<br />
A A ⎝ 2A⎠2AA 2 A 2<br />
4 A<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ + = ⇔ ⎜ + ⎟ = −<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
2 2<br />
2<br />
⎛ B ⎞ B − 4 AC ⎛ B ⎞ D<br />
⇔ ⎜z<br />
+ ⎟ = ⇔ ⎜z<br />
+ ⎟ =<br />
⎝ 2 A⎠<br />
2<br />
4 A ⎝ 2 A⎠<br />
2<br />
4 A<br />
Idet α er en rod i den binome ligning α fås<br />
2 = D<br />
⎛ B ⎞<br />
⎛ B ⎞<br />
B<br />
B D<br />
⎜z<br />
+ ⎟ = ⇔ ⎜ z + ⎟ = z<br />
z<br />
⎝ A⎠ A ⎝ A⎠A A A<br />
A<br />
⎛<br />
2 2<br />
2 2<br />
α α ⎞<br />
α − ±<br />
⎜ ⎟ ⇔ + =± ⇔ =<br />
2 2<br />
4 2 ⎝ 2 ⎠ 2 2 2<br />
Problemet er derfor nu reduceret til at løse den binome ligning α . 2 = D<br />
Tilfælde I: A, B og C reelle <strong>tal</strong>:<br />
Diskriminanten er da et reelt <strong>tal</strong>, så for D ≥ 0 er løsningen den kendte fra reelle <strong>tal</strong>. Er D < 0<br />
benyttes blot, at i , idet f.eks (jævnfør eksempel 6.2)<br />
2<br />
=− 1 ± − 9 = ± i 9 = ± 3i<br />
Eksempel 6.2. Andengradsligning med reelle koefficienter<br />
2<br />
Løs ligningen 4z− 8z+ 13= 0<br />
Løsning:<br />
2<br />
8± 4z − 8z+ 13= 0⇔<br />
z =<br />
8 −4⋅4⋅13 8<br />
⇔ z =<br />
24 ⋅<br />
144 8<br />
z<br />
8<br />
i 12<br />
8<br />
± − z = 1± i<br />
±<br />
⇔ =<br />
⋅<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
Tilfælde II: A, B. C er <strong>komplekse</strong> <strong>tal</strong>.<br />
I dette tilfælde kan formlen omskrives til<br />
B<br />
z = , hvor<br />
A<br />
− ±α<br />
⎧ D + Re( D) D − Re( D)<br />
⎪<br />
+ i<br />
⎪ 2 2<br />
α = ⎨<br />
2<br />
⎪ D + Re( D) D − Re( D)<br />
⎪<br />
− i<br />
⎩ 2 2<br />
for<br />
for<br />
Im( D)<br />
≥ 0<br />
Im( D)<br />
< 0<br />
C<br />
A<br />
8 12i<br />
⇔ z =<br />
8<br />
±