2 Definition af komplekse tal

Komplekse tal
12
2
6.2 Andengradsligningen Az + Bz + C = 0 , A ≠ 0
Sætning 6.2. Andengradsligning
2
Andengradsligningen Az + Bz + C = 0 , med komplekse koefficienter A ≠ 0 , B og C og
2
B D
diskriminanten D= B −4AC
har rødderne z = , hvor bestemmes som en rod
A
− ±
α = D
2
i den binome ligning α .
2 = D
Bevis: Vi foretager omskrivningen
2 2 2 2
2 2 B C ⎛ B ⎞ B C
B B
Az + Bz + C = 0⇔ z + z + = 0⇔
⎜z
+ ⎟ − 0 z
A A ⎝ 2A⎠2AA 2 A 2
4 A
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟ + = ⇔ ⎜ + ⎟ = −
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2 2
2
⎛ B ⎞ B − 4 AC ⎛ B ⎞ D
⇔ ⎜z
+ ⎟ = ⇔ ⎜z
+ ⎟ =
⎝ 2 A⎠
2
4 A ⎝ 2 A⎠
2
4 A
Idet α er en rod i den binome ligning α fås
2 = D
⎛ B ⎞
⎛ B ⎞
B
B D
⎜z
+ ⎟ = ⇔ ⎜ z + ⎟ = z
z
⎝ A⎠ A ⎝ A⎠A A A
A
⎛
2 2
2 2
α α ⎞
α − ±
⎜ ⎟ ⇔ + =± ⇔ =
2 2
4 2 ⎝ 2 ⎠ 2 2 2
Problemet er derfor nu reduceret til at løse den binome ligning α . 2 = D
Tilfælde I: A, B og C reelle tal:
Diskriminanten er da et reelt tal, så for D ≥ 0 er løsningen den kendte fra reelle tal. Er D < 0
benyttes blot, at i , idet f.eks (jævnfør eksempel 6.2)
2
=− 1 ± − 9 = ± i 9 = ± 3i
Eksempel 6.2. Andengradsligning med reelle koefficienter
2
Løs ligningen 4z− 8z+ 13= 0
Løsning:
2
8± 4z − 8z+ 13= 0⇔
z =
8 −4⋅4⋅13 8
⇔ z =
24 ⋅
144 8
z
8
i 12
8
± − z = 1± i
±
⇔ =
⋅
3
2
2
2 2 2
Tilfælde II: A, B. C er komplekse tal.
I dette tilfælde kan formlen omskrives til
B
z = , hvor
A
− ±α
⎧ D + Re( D) D − Re( D)
⎪
+ i
⎪ 2 2
α = ⎨
2
⎪ D + Re( D) D − Re( D)
⎪
− i
⎩ 2 2
for
for
Im( D)
≥ 0
Im( D)
< 0
C
A
8 12i
⇔ z =
8
±