2 Definition af komplekse tal

Komplekse tal
6. Polynomier.
Ved et polynomium af n’te grad (n helt positivt tal) forstås funktionen
n
P () x = a x + a
n−1
x + .... + a x+ a , a ≠
10
n n
n−1
1 0 n 0
Ved polynomiets rødder forstås løsningerne til ligningen Pn ( x)
= 0 .
I afsnit 3.4 i “Matematiske grundbegreber” forudsatte vi at såvel koefficienter som rødder var reelle
tal, og da indså vi, at et sådant polynomium af n’te grad højst har n rødder.
Tillader vi nu både koefficienter og rødder at være komplekse tal gælder følgende sætning:
Sætning 6.1 Algebraens fundamentalsætning,
Polynomiet P () z = a z + a
n−1
z + ... + a z + a hvor n er et helt positivt tal
n n n
n−1
1 0 a n ≠ 0
har netop n rødder α1, α2, . . . , αn(hvoraf
nogel kan være ens).
Polynomiet derfor på kun én måde kan opløses i førstegradsfaktorer
Pn z anz a z a z a a z z z
n n−1
( ) = + n−1
+ . . . + 1 + 0 = n( − α1) ⋅( − α2) ⋅ , , , ⋅( − αn)
Et generelt bevis for sætningen kan findes i “matematik for Ingeniører “ Bind 1 supplement 5A.
Vi vil i det følgende betragte nogle af de polynomier, som er af særlig interesse, og her indse, at
sætningen er korrekt.
n
6.1 Den binome ligning z = a
Lad n være er et helt positivt tal, og a er et vilkårligt komplekst tal forskelligt fra 0.
n
For at finde en rod z til den binome ligning z = a omskrives såvel a som z på polær form, dvs.
a ae og . Vi har da
iθ
= z ze iu
n n inu iθ
= z = a ⇔ z e = ae
At de to komplekse tal er ens betyder, at
n
θ 2π
z = a ∧ nu = θ + 2 pπ ⇔ z = n a ∧ u=
+ p , p er et helt tal.
n n
Geometrisk ligger rødderne altså på en cirkel med radius n a og vinklen mellem stedvektorerne
2π
til to på hinanden følgende rødder er . Rødderne er derfor vinkelspidser i en regulær n - kant.
n
4
Eksempelvis vil ligningen z = aligge
som vinkelspidser i et kvadrat (se figur i eksempel 6.1)
n iθ
Vi har følgelig, at den binome ligning z = ae ( a ≠ 0)
har netop n forskellige rødder.
n
z = a e
⎛ θ 2π
⎞
i⎜ + p ⎟
⎝ n n ⎠
,
hvor p = 0, 1, 2, 3, . . . .,n - 1
Eksempel 6.1 Binom ligning.
4
Løs ligningen z =− 1+ i 3 .
Rødderne ønskes angivet på såvel polær som rektangulær form.
Endvidere ønskes de afsat i en kompleks talplan.
Anvendelse. Fire ens systemer, hver med kompleks forstærkning z, serieforbindes, og man måler, at den samlede
komplekse forstærkning er − 1+ i
3 Hvilke værdier kan z have?