2 Definition af komplekse tal

Komplekse tal
Sætning 5.1. Regler for eksponentialfunktionen.
Lad zz , 1, z2, avære
komplekse tal, lad t være et reelt tal og lad n være et helt tal.
Der gælder da følgende regler
z1
z1 z2 z1+ z e
2
z1−z 1
2
z
1) e ⋅ e = e , 2) = e 3) = e 4)
z2
z
e
e
− z ( e ) e
n
nz ⋅
=
de ( ) at
at 1 at
5) = ae 5) e dt e a
dt
∫ = ( ≠ 0)
a
8
at
Bevis:
1) Når e = [stedvektoren til drejet ] multipliceres med = [stedvektoren til drejet ] fås =
z1 e x1 y1 e z2 e x2 y2 e z1 x1+ x2
x + x + i( y + y ) z + z
[stedvektoren til e drejet y + y ] = e = e
1 2
1 2 1 2 1 2
2) Fremkommer af 1) ved at erstatte z1 med z1 − z2
og dividere igennem med e z2 3) Fremkommer af 2) for z1 = 0 og z2 = z .
4) Fremkommer ved gentagen anvendelse af 1) for z1 = z2 = z og suppleret med 3) for n < 0
5) Lad a = a1+ ia2
Vi får da
de d
dt dt e
at
at iat d at at
= 1 + 2 = ⎛⎜
e 1 cos( a t + ie 1 a t ⎞⎟ dt ⎝ 2 ) sin( 2 )
⎠
at
= ae 1
at at at
1 cos( at 2 ) − ae 1 sin( at 2 ) + iae 1
1 sin( at 2 ) + iae 1
2 cos( at 2 )
2
= ⎛⎜
at
+
⎞⎟ + ⎛⎜
+
⎞⎟ = + ⎛⎜ +
a e 1 at at at at iat
a t ie a t ia e a t ie a t a ia e ⎞⎟ at
1 cos( = ae
⎝ 2 ) 1 sin( 2 ) 1
⎠ 2 cos(
⎝ 2 ) 1 sin( 1 2
2 ) (
⎠ 1 2)
⎝ ⎠
1
6) Ved differentiation af fås netop
a eat
e at
Eulers formler. cos sin
u
iu −iu e + e
=
2
og
iu −iu
e − e
u =
2i
iu −iu
Bevis: Af e = cosu+ i⋅ sin u og e = cosu−i⋅sinu fås ved at lægge ligningerne sammen og trække dem fra hinanden.
iu −iu e + e = 2⋅cosu og
iu −iu e + e
iu −iu
e − e = 2i⋅sinu
og dermed cosu =
2
og
iu −iu
e − e
sinu
=
2i
Eulers formler benyttes til eksempelvis i integraler at erstatte de trigonometriske funktioner med eksponentialfunktioner,
som er nemmere at integrere.