2 Definition af komplekse tal
2 Definition af komplekse tal
2 Definition af komplekse tal
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Komplekse <strong>tal</strong><br />
Sætning 5.1. Regler for eksponentialfunktionen.<br />
Lad zz , 1, z2, avære<br />
<strong>komplekse</strong> <strong>tal</strong>, lad t være et reelt <strong>tal</strong> og lad n være et helt <strong>tal</strong>.<br />
Der gælder da følgende regler<br />
z1<br />
z1 z2 z1+ z e<br />
2<br />
z1−z 1<br />
2<br />
z<br />
1) e ⋅ e = e , 2) = e 3) = e 4)<br />
z2<br />
z<br />
e<br />
e<br />
− z ( e ) e<br />
n<br />
nz ⋅<br />
=<br />
de ( ) at<br />
at 1 at<br />
5) = ae 5) e dt e a<br />
dt<br />
∫ = ( ≠ 0)<br />
a<br />
8<br />
at<br />
Bevis:<br />
1) Når e = [stedvektoren til drejet ] multipliceres med = [stedvektoren til drejet ] fås =<br />
z1 e x1 y1 e z2 e x2 y2 e z1 x1+ x2<br />
x + x + i( y + y ) z + z<br />
[stedvektoren til e drejet y + y ] = e = e<br />
1 2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
2) Fremkommer <strong>af</strong> 1) ved at erstatte z1 med z1 − z2<br />
og dividere igennem med e z2 3) Fremkommer <strong>af</strong> 2) for z1 = 0 og z2 = z .<br />
4) Fremkommer ved gentagen anvendelse <strong>af</strong> 1) for z1 = z2 = z og suppleret med 3) for n < 0<br />
5) Lad a = a1+ ia2<br />
Vi får da<br />
de d<br />
dt dt e<br />
at<br />
at iat d at at<br />
= 1 + 2 = ⎛⎜<br />
e 1 cos( a t + ie 1 a t ⎞⎟ dt ⎝ 2 ) sin( 2 )<br />
⎠<br />
at<br />
= ae 1<br />
at at at<br />
1 cos( at 2 ) − ae 1 sin( at 2 ) + iae 1<br />
1 sin( at 2 ) + iae 1<br />
2 cos( at 2 )<br />
2<br />
= ⎛⎜<br />
at<br />
+<br />
⎞⎟ + ⎛⎜<br />
+<br />
⎞⎟ = + ⎛⎜ +<br />
a e 1 at at at at iat<br />
a t ie a t ia e a t ie a t a ia e ⎞⎟ at<br />
1 cos( = ae<br />
⎝ 2 ) 1 sin( 2 ) 1<br />
⎠ 2 cos(<br />
⎝ 2 ) 1 sin( 1 2<br />
2 ) (<br />
⎠ 1 2)<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
6) Ved differentiation <strong>af</strong> fås netop<br />
a eat<br />
e at<br />
Eulers formler. cos sin<br />
u<br />
iu −iu e + e<br />
=<br />
2<br />
og<br />
iu −iu<br />
e − e<br />
u =<br />
2i<br />
iu −iu<br />
Bevis: Af e = cosu+ i⋅ sin u og e = cosu−i⋅sinu fås ved at lægge ligningerne sammen og trække dem fra hinanden.<br />
iu −iu e + e = 2⋅cosu og<br />
iu −iu e + e<br />
iu −iu<br />
e − e = 2i⋅sinu<br />
og dermed cosu =<br />
2<br />
og<br />
iu −iu<br />
e − e<br />
sinu<br />
=<br />
2i<br />
Eulers formler benyttes til eksempelvis i integraler at erstatte de trigonometriske funktioner med eksponentialfunktioner,<br />
som er nemmere at integrere.