2 Definition af komplekse tal

More documents

Recommendations

Info

$C:\mol\noter i mat+stat\Statistik\Statistiknoter\Videreg.ende statistik ...$

$C:\mol\noter i mat+stat\Statistik\Statistiknoter\Videreg.ende statistik ...$

$G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd$

Eksempel 4.1. Omregning mellem rektangulær og polær form. 1) Omskriv tallet a =− 3 + i til polær form. 2) Omskriv tallet b e til rektangulær form. i = ⋅ − 4 Løsning. 1) a = ( − 2 2 3) + 1 = 3+ 1 = 2 π 3 1 π tanθ = ⇒ θ = − + pπ − 3 6 π 5π Da punktet ligger i 2 kvadrant må θ =− + π = 6 6 i 2) b = ⋅ e = − i i i ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⎛ π − π π⎞⎛1 4 3 4cos 4 sin⎜ ⎟ = 4⋅ ⎜ + 3 ⎝ 3⎠ ⎜ ⎝ 2 3 ⎞ ⎟ = 2+ 2 2 ⎠ 3 5. Eksponentialfunktionen a e i = 2 Ti89: 1) Indtast udtrykket som det står (benyt 2nd i, tast ligger over “Catalog”) Da resultatet ønskes i polære koordinater skal vælges MODE, COMPLEX FORMAT= Polar Normalt vises beregningerne i radianer. Vælges MODE, ANGLE, Degree fås resultatet i grader: 2 ∠ 150 2) Vælg MODE, ANGLE = Radian, COMPLEX FORMAT=Rektangulær Indtast 4*e^(-i* π /3) Maple: 1) convert(-sqrt(3)+I,polar); Resultat: 2) convert(4*exp(-I*Pi/3),exp); Resultat: 5. Eksponentialfunktionen. Definition af kompleks eksponentialfunktion .Lad x og y være reelle tal. x iy Ved e forstås , dvs er det komplekse tal, der fås ved, at stedvektoren til det reelle + x iy x iy e ⋅e e + tal e drejes vinklen y. x x iy + Tallet e har åbenbart den rektangulære form x iy + x x e cos y+ ie sin y At den eksponentielle skriveform e er rimelig, fremgår af den følgende sætning, der siger, at de sædvanlige regneregler for reelle eksponentialfunktioner også gælder for komplekse eksponentialfunktioner. 5π 6 7
Komplekse tal Sætning 5.1. Regler for eksponentialfunktionen. Lad zz , 1, z2, avære komplekse tal, lad t være et reelt tal og lad n være et helt tal. Der gælder da følgende regler z1 z1 z2 z1+ z e 2 z1−z 1 2 z 1) e ⋅ e = e , 2) = e 3) = e 4) z2 z e e − z ( e ) e n nz ⋅ = de ( ) at at 1 at 5) = ae 5) e dt e a dt ∫ = ( ≠ 0) a 8 at Bevis: 1) Når e = [stedvektoren til drejet ] multipliceres med = [stedvektoren til drejet ] fås = z1 e x1 y1 e z2 e x2 y2 e z1 x1+ x2 x + x + i( y + y ) z + z [stedvektoren til e drejet y + y ] = e = e 1 2 1 2 1 2 1 2 2) Fremkommer af 1) ved at erstatte z1 med z1 − z2 og dividere igennem med e z2 3) Fremkommer af 2) for z1 = 0 og z2 = z . 4) Fremkommer ved gentagen anvendelse af 1) for z1 = z2 = z og suppleret med 3) for n < 0 5) Lad a = a1+ ia2 Vi får da de d dt dt e at at iat d at at = 1 + 2 = ⎛⎜ e 1 cos( a t + ie 1 a t ⎞⎟ dt ⎝ 2 ) sin( 2 ) ⎠ at = ae 1 at at at 1 cos( at 2 ) − ae 1 sin( at 2 ) + iae 1 1 sin( at 2 ) + iae 1 2 cos( at 2 ) 2 = ⎛⎜ at + ⎞⎟ + ⎛⎜ + ⎞⎟ = + ⎛⎜ + a e 1 at at at at iat a t ie a t ia e a t ie a t a ia e ⎞⎟ at 1 cos( = ae ⎝ 2 ) 1 sin( 2 ) 1 ⎠ 2 cos( ⎝ 2 ) 1 sin( 1 2 2 ) ( ⎠ 1 2) ⎝ ⎠ 1 6) Ved differentiation af fås netop a eat e at Eulers formler. cos sin u iu −iu e + e = 2 og iu −iu e − e u = 2i iu −iu Bevis: Af e = cosu+ i⋅ sin u og e = cosu−i⋅sinu fås ved at lægge ligningerne sammen og trække dem fra hinanden. iu −iu e + e = 2⋅cosu og iu −iu e + e iu −iu e − e = 2i⋅sinu og dermed cosu = 2 og iu −iu e − e sinu = 2i Eulers formler benyttes til eksempelvis i integraler at erstatte de trigonometriske funktioner med eksponentialfunktioner, som er nemmere at integrere.
Page 1 and 2: MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse
Page 3 and 4: INDHOLD Indhold 1 Talmængder .....
Page 5 and 6: Komplekse tal 2 Definition af kompl
Page 7 and 8: Komplekse tal a Division udføres g
Page 9: Komplekse tal 4. Polær form Ved ta
Page 13 and 14: Komplekse tal 6. Polynomier. Ved et
Page 15 and 16: Komplekse tal 12 2 6.2 Andengradsli
Page 17 and 18: Komplekse tal Sætning 6.4. Opløsn
Page 19 and 20: Komplekse tal Opgaver 3.1. Reducér

2 Definition af komplekse tal

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?