Komplekse tall - Ansatt.hig.no

Komplekse tall
Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004.
Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04.
I Matematikk 10 er en kort innføring i komplekse tall pensum. Dette er dekket i Lorentzen, Hole og Lindstrøms
Kalkulus med en og flere variabler, kapittel A3 (s. 675—682), men her følger et alternativ som er litt mindre
kortfattet.
1 Komplekse tall p˚a normalform
1.1 Det komplekse tallplan og komplekse tall p˚a normalform
Vi skal n˚a konstruere et tallsystem som er en utvidelse av de reelle tall. De reelle tallene R fyller opp
tallinjen med tall i en naturlig forstand (uttrykt bl.a. med skjæringssetningen). For en geometrisk
tolkning m˚a vi derfor ha en mengde som er større enn bare en uendelig lang linje. Det viser seg
at det er mulig, og i mange sammenhenger praktisk, ˚a lage et slikt tallsystem der tallene tilsvarer
punkter i planet. Dette tallsystemet kalles komplekse tall, og betegnes med C.
Vi starter med ˚a tegne et vanlig rettvinklet aksekors. Den horisontale aksen (x–aksen) skal vi
betrakte som den reelle tallinjen, og punkter p˚a denne som reelle tall, som dermed er en delmengde
av de komplekse tall. Den horisontale aksen kalles i denne sammenheng den reelle aksen, og betegnes
ofte med ℜ.
Den vertikale aksen skal kalles den imaginære aksen, og betegnes med ℑ.
Det tallet som har koordinater (0, 1), alts˚a som ligger en enhet oppover den vertikale aksen, kalles
den imaginære enheten, og betegnes med j.
Den imaginære enheten ble opprinnelig kalt i, og dette brukes fortsatt i de fleste bøker, blant annet i læreboka.
P˚a grunn av navnekollisjon med symbol for strømstyrke, og det at komplekse tall brukes mye i elektronikk, har
elektroingeniører erstattet dette med bokstaven j, og vi følger denne notasjonen her. I Maple brukes forøvrig I som
navn p˚a dette tallet.
ℑ
2j ✻
j
✲ ℜ
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1j
−2j
Tall p˚aformenbj, medb∈R \{0}, kalles imaginære tall, og tilsvarer punktene med koordinater
(0,b) langs den imaginære aksen.
Addisjon mellom komplekse tall tilsvarer addisjon med vektorer i planet. Det vil si komponentvis
addisjon (som geometrisk tilsvarer parallellogramloven). Dessuten kan vi multiplisere inn reelle tall
p˚a samme m˚ate som vi multipliserer inn skalarer i vektorer, i hver komponent. Dermed kan vi skrive
tallet som tilsvarer punktet med koordinater (a, b) p˚aformen
(a, b) =(a, 0) + (0,b)=a(1, 0) + b(0, 1) = a + bj
1

der vi har identifisert (1, 0) med det reelle tallet 1, og skriver a · 1=a, ogsattinnjfor (0, 1). Dette
kalles normalform for komplekse tall.
For det komplekse tallet z = a + bj kalles det reelle tallet a realdelen, ogviskriverRe(z) =a.
Det reelle tallet b kalles imaginærdelen, ogviskriverIm(z) =b.
Bokstaven z brukes ofte som navn p˚a komplekse tall. For eksempel vil tallet som tilsvarer punktet
med koordinater (−1, 2) p˚a normalform skrives z = −1+2· j. VihardaRe(z) =−1 ogIm(z) =2.
Merk at j ikke regnes med som en del av imaginærdelen.
I neste figur er z = −1+2j og −1 − 2j tegnet inn, b˚ade som punkter og vektorer:
Dette planet kalles det komplekse tallplan∗ .
Vi oppsummerer s˚a langt:
ℑ
2j
−1 +2j ✻
❆❑
❆
❆ j
❆
❆
❆
−3 −2 −1 ✁0
✁
−1j ✁
✁
−1 − 2j
✁
✁☛ −2j
1 2
✲
3
ℜ
Komplekse tall z ∈ C p˚a normalform: z = a + bj (a ∈ R ,b∈ R)
Realdel: Re(z) =a ∈ R , Imaginærdel: Im(z) =b ∈ R
Addisjon: (a + bj)+(c + dj)=(a + c)+(b + d)j
Subtraksjon: (a + bj) − (c + dj)=(a − c)+(b − d)j
Det vi har gjort s˚a langt er ikke annet enn ˚a innføre noen nye begreper (nye navn) p˚a vektorregning i
planet R 2 . Det som er den vesentlige utvidelsen er at vi ogs˚a skal innføre multiplikasjon, og etterhvert
divisjon, mellom komplekse tall. Det viser seg at det er nok ˚a innføre en enkelt multiplikasjon for
˚a f˚a definert multiplikasjon mellom alle komplekse tall:
(1)
j · j = −1 (2)
Dette skrives ogs˚a j 2 = −1. For alle reelle tall x er x 2 ≥ 0, slik at vi ser fra dette at j ikke er et
reelt tall. Vi sier ofte at j = √ −1 (selv om dette kanskje er litt upresist, da ogs˚a (−j) 2 = −1).
Det er ikke slik at vi uten videre kan innføre en regel som denne. Regelen er motivert ut fra bruk av komplekse tall
før det komplekse tallplan ble innført. Da innførte man (litt uformelt) et tall i = √ −1.
Det er en viktig begrunnelse at dette fører til et system uten selvmotsigelser, og at alle ”vanlige regneregler” for de
fire regningsartene blir bevart. Disse er listet opp i avsnitt 1.5. Bevisene for disse er stort sett forholdsvis enkle, men
litt omfattende, s˚a vi vil ikke gjennomføre dette her.
∗ Det kalles ogs˚a Gaussplanet, etter matematikeren Carl Friedrich Gauss (1777–1855), men det var faktisk nordmannen
Caspar Wessel, bror av forfatteren Johan Herman Wessel, som først innførte det i 1799. De komplekse tall
uten denne tolkningen hadde man allerede brukt lenge, blant annet av De Moivre (1667–1754).
2

Eksempel La oss si vi ønsker ˚a løse 2. gradslikningen
x 2 +2x +5=0
Innsetting i den kjente løsningsformlen for løsning av 2. gradslikninger gir da:
−2 ± √ 2 2 − 4 · 5
2
= −2 ± √ −16
2
Siden vi f˚ar et negativt tall under rottegnet sier vi at vi ikke har noen reelle løsninger, oggiross
ofte med det. I en del sammenhenger er det imidlertid nødvendig ˚a bruke disse røttene likevel, og
vi prøver ˚a regne videre:
= −2 ± 16 · (−1)
2
= −2 ± √ 16 · √ −1
2
= −2 ± 4 · √ −1
2
Siden vi n˚a har innført et tall j = √ −1 kan vi uttrykke disse to røttene som
z1 = −1+2j og z2 = −1 − 2j .
.
= −1 ± 2 √ −1
Alts˚a er røttene de to komplekse tallene vi tegnet i forrige figur! Selv om dette er meningsløse tall
i noen sammenhenger, er de b˚ade nyttige og viktige i andre sammenhenger † .
1.2 Multiplikasjon av komplekse tall p˚a normalform
Vi skal n˚a se hva multiplikasjonen j2 = −1, sammen med vanlige regneregler for multiplikasjon
(kjent fra ˚a regne sammen polynomer) medføre for multiplikasjon mellom to komplekse tall z1 =
a + bj og z2 = c + dj.
Først multipliserer vi hvert ledd i første parentes med hvert i andre. Deretter bytter vi litt om p˚a
rekkefølgen av leddene og faktorene, og f˚ar i første omgang:
z1z2 =(a + bj)(c + dj)=ac + adj + bjc + bjdj = ac + bdj 2 + adj + bcj
Vi kan s˚a erstatte j 2 med −1, og dessuten sette j utenfor som felles faktor i de to siste leddene:
z1z2 = ac + bd(−1) + (ad + bc)j =(ac − bd)+(ad + bc)j
Merk at ac − bd bare best˚ar av reelle tall, slik at dette er et reelt tall. Likeledes er ad + bc et reelt
tall. Dermed er siste uttrykk p˚a normalform, og vi har multiplisert to vilk˚arlige komplekse tall p˚a
normalform, og endt opp med et komplekst tall p˚a normalform. Vi oppsummerer:
Multiplikasjon av komplekse tall p˚a normalform:
(a + bj)(c + dj)=(ac − bd)+(ad + bc)j
Det kan være hensiktsmessig ˚a huske denne formelen. Selv synes jeg den er lettest ˚a huske ”verbalt” som: ”Realdelen
av produktet er realdel ganger realdel minus imaginærdel ganger imaginæredel. Imaginærdelen av produktet er realdel
ganger imaginærdel pluss imaginærdel ganger realdel”. Alternativt kan man gjennomføre utregningen som over (med
tall istedenfor bokstaver), eller sl˚a opp regelen i formelsamlinga (avsnitt 1.5, s. 2–3).
† For eksempel hører løsningen av denne likningen sammen med løsningen av differensialikningen y ′′ +2y ′ +5y =0.
Selv om ikke røttene er reelle er løsningsfunksjonene vanlige reelle funksjoner som finnes via de komplekse røttene.
De er forøvrig alle funksjoner p˚a formeny = C1e −x cos(2x)+C2e −x sin(2x), der −x = −1 · x i eksponenten skyldes
ar realdelen er −1, mens 2 foran x inne i cosinus og sinusleddet er imaginærdelen.
3
(3)

Talleksempel: La z1 =2+3j s˚a a =2,b =3ogz2 =4− j s˚a c =4ogd = −1:
1.3 Komplekskonjugert
(2 + 3j)(4 − j) =(2· 4 − 3 · (−1)) + (2 · (−1) + 3 · 3)j =11+7j
En operasjon vi ofte støter p˚a medkompleksetaller˚abevare realdelen, men ˚a skifte fortegn p˚a
imaginærdelen.
Dette kalles kompleks konjugering, og betegnes med z:
Definisjon av kompleks konjugert: a + bj = a − bj (4)
Vi ser lett at z2 = z1 er z2 = z1 (da vi bytter fortegn fram og tilbake).
Vi s˚a for eksempel at de to komplekse røttene i likningen x2 − 2x +5=0 var−1 +2j og −1 −
2j. Dette er et par av kompleks konjugerte tall. Det gjelder generelt at komplekse røtter i reelle
polynomlikninger opptrer i komplekskonjugerte par.
En viktig bruk av komplekskonjugering er ˚a ta produktet av et tall med sin komplekskonjugerte.
Vi kan bruke regneregelen for produkt (med c = a og d = −b), men et alternativ er ˚a bruke3.
kvadratsetning som ogs˚a gjelder komplekase tall:
z · z =(a + bj) · (a + bj) =a 2 − (bj) 2 = a 2 − b 2 · (−1) = a 2 + b 2
Legg merke til at produktet a 2 + b 2 er et positivt reelt tall. Unntaketerhvisz =0=0+0j. Daer
a 2 + b 2 =0 2 +0 2 =0.
Denne egenskapen utnyttes blant annet i kompleks divisjon.
1.4 Divisjon av komplekse tall p˚a normalform
N˚ar det gjelder kompleks divisjon anbefaler jeg at dere lærer metoden, framfor ˚a huske formelen.
Den baserer seg p˚a knepet˚amultiplisere teller og nevner med den komplekskonjugerte av nevneren.
Med dette oppn˚ar vi at nevneren blir et reelt tall.
Metoden vises med et eksempel:
2+5j (2 + 5j)(4 + 3j) (2 · 4 − 5 · 3) + (2 · 3+5· 4)
= =
4 − 3j (4 − 3j)(4 + 3j) 42 +32 = −7+26j
25
I nevneren brukte vi multiplikasjonsregelen for tall med sin komplekskonjugerte fra forrige avsnitt.
Vitsen er at dette blir et reelt tall (her 25). Merk ogs˚a at det alltid blir + mellom de to kvadratene.
N˚a kan vi dividere realdel og imaginærdel hver for seg med nevneren, og f˚ar
2+5j −7 26
= +
4 − 3j 25 25 j
Merk at n˚a er kvotienten p˚a normalform, siden −7/25 og 26/25 er reelle tall.
I tilegg til ˚a væreenmetodeforfaktisk˚autføre divisjonen generaliseres dette lett ‡ slik at vi kan
se at z1/z2 alltid blir et komplekst tall n˚ar z2 = 0.Detvilsiatdivisjonerdefinertgenereltfor
komplekse tall.
‡ Vi kan generalisere det til formelen
a + bj
c + dj
ac + bd
=
c2 bc − ad
+
+ d2 c2 j
+ d2 4
(5)

Eksempel, lineær likning. Vi skal som eksempel se p˚a løsningen av følgende 1. gradslikning
med komplekse koeffisienter:
2z +1=jz − 4j
Vi ordner den først slik at leddene med z blir st˚aende p˚a venstre side og resten p˚a høyresideav
likhetstegnet:
2z − jz = −4j − 1 ⇐⇒ (2 − j)z = −1 − 4j
Denne er p˚a samme form som en reell lineær likning ax = b, bortsett fra at a og b er komplekse.
Den løses p˚a tilsvarende m˚ate, dvs. tilsvarende x = b/a:
z =
−1 − 4j
2 − j
= (−1 − 4j)(2 + j)
(2 − j)(2 + j)
1.5 Regneregler for komplekse tall
= ((−1)2 − (−4)1) + ((−1)1 + (−4)2)j
2 2 +1 2
= 2 − 9j
5
2 9
= −
5 5 j
Her listes opp noen grunnleggende regneregler for komplekse tall. Dette oppsummerer hva jeg legger
i begrepet ”vanlige regneregler for de fire regningsartene”.
Det er temmelig rett fram ˚a vise at de gjelder, men det blir jo litt mye regning med s˚a mange regler. Dette taes derfor
ikke med her.
1. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C er z1 + z2 ∈ C og z1z2 ∈ C
Vi sier at mengden av komplekse tall er lukket under addisjon og multiplikasjon.
2. Vi har et tall 0 ∈ C med egenskapen z +0=z for alle z ∈ C.
Vi har et tall 1 ∈ C, 1= 0, med egenskapen z · 1=z for alle z ∈ C.
Dette er selvfølgelig de vanlige tallen 0 og 1, og de kalles additiv og multiplikativ enhet.
3. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C er z1 + z2 = z2 + z1 og z1z2 = z2z1
Dette kalles kommutativitet av henholdsvis addisjon og multiplikasjon.
4. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C, z3 ∈ C er (z1 + z2)+z3 = z1 +(z2 + z3) og(z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3)
Dette kalles assosiativitet, og betyr at vi uten fare for misforst˚aelse kan droppe parentesene i gjentatte addisjoner
eller multiplikasjoner.
5. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C, z3 ∈ C er z1(z2 + z3) =z1z2 + z1z3.
Dette kalles distributivitet, og medfører regelen om at parenteser multipliseres sammen ved ˚a multiplisere hvert
ledd i første parentes med hvert ledd i andre parentes.
6. For alle z ∈ C finnes et tall −z ∈ C med egenskapen z +(−z) =0.
Dette betyr at vi ogs˚a har subtraksjon, da vi kan definere z1 − z2 som z1 +(−z2).
7. For alle z ∈ C, z = 0, finnes et tall z −1 ∈ C med egenskapen z · z −1 =1.
Dette betyr at vi ogs˚a har divisjon, da vi kan definere z1/z2 som z1 · z −1
2 .
Fra disse reglene følger andre vanlige regneregler som for eksempel kvadratsetningene, potensregningsreglene
for heltallspotenser og brøkregningsreglene.
5

Noen kommentarer litt utenfor pensum:
Hvis vi hele vegen bytter ut C med Q (de rasjonale tallene) eller R (de reelle tallene) gjelder de samme reglene. Et
tallsystem som oppfyler disse aksiomene kalles en kropp.
Man kunne tenke seg en videre utvidelse, at vi definerte en multiplikasjon av vektorene i R 3 s˚a det ble en kropp. Det
viser seg imidlertid at dette er umulig, og det er heller ikke mulig for R n for noen andre endelige tall n. Dette betyr
at vi i en viss forstand er framme ved det endelige m˚alet med kroppsutvidelser n˚ar vi har konstruert C.
Man synes kanskje en komponentvis multiplikasjon hadde vært enklere enn den multiplikasjonen vi har definert for
C. Da ville vi ikke f˚att noen kropp. Is˚afallm˚atte tallet 1 fra aksiom 2 betydd punktet (1, 1), men aksiom 7 ville ikke
vært oppfyllt. Hvis vi for eksempel hadde valgt z =(0, 1), ville z · z1 =(0, 1) · (x, y) =(0,y), som ikke er lik (1, 1) for
noen valg av x og y.
Det er ikke tilfeldig at vi ikke har med noen setninger som involverer ulikheter. I motsetning til R og Q er ikke C
lineært ordnet (ihvertfall ikke p˚a noen naturlig m˚ate som gjør at regler som f.eks a

z
|z|
Hvis absoluttverdien og argumentet er gitt f˚ar vi et entydig komplekst tall, men det er en viss flertydighet i
hvordan vi oppgir argument, da vi kommer ut i samme retning og dermed til samme punkt i det komplekse
planet om vi adderer eller subtraherer et helt antall ganger 2π til argumentet θ.
Ved ˚a giz ∈ C ved ˚a oppgi absoluttverdi og argument sier vi z er gitt p˚a polarform (i motsetning til
normalform).
En skrivem˚ate for dette er polar (|z|,θ|), for eksempel polar 2, 2
3 π eller polar (11.62, 1.982).
Noen bruker ogs˚a skrivem˚aten (|z|∠θ), for eksempel (2∠ 2
3 π).
2.2 Omregning mellom normal- og polarform
Hvis |z| = 1 blir projeksjonen ned p˚a den reelle aksen cos(θ), det var jo slik vi definerte cosinus geometrisk.
Da blir ogs˚a, fra geometrisk definisjon av sinus, projeksjonen til den imaginære aksen sin(θ). Dette er illustrert
ifigurentilvenstre.
Hvis |z| er et vilk˚arlig tall vil vektoren, og dermed ogs˚a projeksjonen p˚a aksene, forlenges med en faktor |z|
(figuren til høyre):
1
cos(θ)
ℑ
sin(θ)
θ
ℜ
ℑ
θ
|z|
Re(z) =|z| cos(θ)
ℑ
ℜ
|z| sin(θ) =Im(z)
Siden førstekoordinaten er realdelen, og andrekoordinaten er imaginærdelen til z f˚ar vi dermed
Sammenheng mellom paret (realdel , imaginærdel) og paret (absoluttverdi, argument)
Re(z) =|z| cos(θ)
Im(z) =|z| sin(θ)
Re(z) 2 +Im(z) 2 = |z| 2
Den nederste likningen er Pytagoras eller, om vi vil, definisjonen av |z|. Den følger ogs˚a avdetoover,men
den er ofte nyttig ˚a ha med som hjelpesetning ved siden av disse.
Dette gir direkte hvordan vi regner om fra polar- til normalform.
Eksempel Et komplekst tall er gitt p˚a polarform som z = polar 2, 2
3 π .Finnz p˚a normalform.
7
θ
ℜ
(8)

Vi har da at
2
Re(z) =2cos
3 π
=2· − 1
2
= −1 ogIm(z) =2sin
2
3 π
=2·
√
3
=
2
√ 3
Siden z =Re(z)+Im(z)jer da z = −1+ √ 3j.
Den omvendte vegen er litt mer komplisert. La oss de p˚a hvordan vi regner om z = −2 − 2j tilpolarform.
Det er forholdsvis enkelt ˚a finne absoluttverdien:
|z| = Re(z) 2 +Im(z) 2 = (−2) 2 +2 2 = √ 8= √ 4 · 2=2 √ 2
For ˚a finne argumentet er det nyttig ˚a lage en figur. Jeg anbefaler at dere alltid gjør det, ihvertfall i faget
Matematikk 10 der kalkulator ikke tillates til eksamen.
Det er lett ˚a tegne inn tallet z = −2+2j, bare tegn punktet med koordinater (Re(z), Im(z)) = (−2, 2), og
linjestykket (vektoren) fra 0 (origo) til dette punktet:
ℑ
✻
|z| =2
✲ ℜ
−3 −2 −1 0 1 2 3
−2 +2j
2j
❅■
❅
❅
j
❅
(2)
❅
❅ θ
Et blikk p˚a figuren skulle være nok til ˚a seatθ =3π/4 (alts˚a π/2+π/4, som tilsvarer 90 ◦ +45 ◦ ).
Mer formelt kan vi si at linjestykkene med hjørner i punktene (−2, 0),(−2, 2), (2, 0) og (0, 0) er et kvadrat, og at
vektoren ut til z halverer dette kvadratet. Derfor er vinkelen den danner med f.eks. den negative reelle aksen π/4, og
derfor vinkelen med den positive reelle aksen π − π/4 =3π/4.
Hvis vi skulle regnet ut θ uten figur kunne vi brukt at Re(z) =|z| cos(θ) som gir −2 =2 √ 2cos(θ), og
tilsvarende Im(z) =|z| sin(θ) som gir 2 = 2 √ 2sin(θ). En m˚ate ˚a løse disse likningene p˚a er˚ata
Im(z) |z| sin θ) sin θ)
2
= = =tan(θ) som for z = −2+2j gir tan(θ) = = −1 .
Re(z) |z| cos(θ) cos(θ) −2
Det m˚a vises litt forsiktighet ved denne framgangsm˚aten. For det første virker den ikke om Re(z) =0,
men i denne situasjonen ligger tallet p˚a den imaginære aksen, og en figur vil raskt avgøre om θ = π/2 eller
θ = −π/2.
Ellers er det naturlig ˚a ta arcustangens, men dette fører ikke direkte til m˚alet hvis θ ikke er i verdimengden
til arctan som er intervallet (−π/2 ,π/2).
I dette tilfellet f˚ar vi arctan(−1) = −π/4, men dette er stikk motsatt retning av det vi vil. Dette skyldes
at θ ikke er i verdimengden til arctan. Medisinen er da ˚a snuretningenved˚a addere π, slik at vi f˚ar
θ = −π/4+π =3π/4. Dette m˚a gjøres hver gang Re(z) < 0.
Konklusjonen er at
z = −2+2j = polar 2 √
2, 3π/4
Et eksempel til, numeriske verdier. La n˚a z =19.23 − 7.11j. En røff figur vil vise at θ er mellom
−π/2 og0,alts˚a innenfor definisjonsomr˚adet til arctan. Dermed skal vi ikke korrigere med π som i forrige
eksempel. (Kunne ogs˚a sagt at vi ikke skal korrigere med π da Re(z) =19.23 > 0.)
Vi bruker kalkultor eller Maple til utregningene,og finner:
|z| = |19.23 − 7.11j| = 19.23 2 +(−7.11) 2 = 19.23 2 +7.11 2 =20.50
8

Videre er
−7.11
θ =arctan = −0.3541
19.23
Kalkulatoren m˚a være innstilt i radianer (hvis ikke m˚a det korrigeres ved ˚a multiplisere med omregningsfaktoren
π/180).
Dermed er
z =19.23 − 7.11j = polar (20.50, −0.3541)
2.3 Trigonometrisk form
Siden et komplekst tall z p˚a normalform er Re(z)+Im(z)j, ogRe(z) =|z| cos(θ) ogIm(z) =|z| sin(θ) ,kan
det ogs˚a skrives
z = |z| cos(θ)+|z| sin(θ)j = r (cos(θ)+j sin(θ))
der r = |z| er absoluttverdien og θ er argumentet. Hvis vi skriver tallet p˚a denne formen kalles det trigonometrisk
form. P˚a denne formen inng˚ar r og θ, det regnes ikke sammen (da kommer vi tilbake til normalform).
Tallene fra eksemplene i forrige avsnitt blir p˚a trigonometrisk form:
−2+2j = 2 √
3
2 cos
4 π
3
+ j sin
4 π
19.23 − 7.11j = 20.50 (cos (0.3541) + j sin (0.3541)) .
Det er de samme tallene som i polarformen vi uttrykker z med, s˚a det er egentlig bare et litt annet oppsett
p˚a polarformen.
Vi skal n˚a regne ut produktet av to komplekse tall p˚a trigonometrisk form. La z1 = r1 (cos(θ1)+j sin(θ1))
og z2 = r2 (cos(θ2)+j sin(θ2)).
Vi ommøblerer først litt p˚a rekkefølgen av faktorene (ved ˚a sette absoluttverdiene foran alt, og dessuten
j–ene etter sinusene):
z1 z2 = r1r2 (cos(θ1)+j sin(θ1)) (cos(θ2)+j sin(θ2)) = r1r2 (cos(θ1)+sin(θ1) j)(cos(θ2)+ sin(θ2)j)
Parentesene kan n˚a multipliseres med multiplikasjonregelen for komplekse tall p˚a normalform (med a =
cos(θ1), b =sin(θ1), c =cos(θ2) ogd =sin(θ1)), og vi f˚ar:
z1 z2 = r1r2 ((cos(θ1)cos(θ2) − sin(θ1)sin(θ2)) + (cos(θ1)sin(θ2)+sin(θ1)cos(θ2)) j)
Dette ser kanskje komplisert ut ved første blikk, men ved ˚a bruke summeformlene for cosinus og sinus,
cos(u + v) =cos(u)cos(v) − sin(u)sin(v) ogsin(u + v) =sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v) ”baklengs”, med u = θ1
og v = θ2, forenkles dette til:
z1 z2 = r1r2 (cos(θ1 + θ2)+j sin(θ1 + θ2)) (9)
Legg merke til at dette er et uttrykk p˚a trigonometrisk form, med r = r1r2, ogargumentθ1+θ2. Detvilsi:Vi
multipliserer absoluttverdiene, og f˚ar absoluttverdien i produktet. Viadderer argumentene og f˚ar argumentet
i produktet.
Ved ˚a skrive dette tilbake p˚a polarform f˚ar vi
Vi f˚ar en tilsvarende divisjonsregel:
polar (r1,θ1) · polar (r2,θ2) =polar(r1 · r2 ,θ1 + θ2) (10)
r1 (cos(θ1)+j sin(θ1))
r2 (cos(θ2)+j sin(θ2))
polar (r1,θ1)
polar (r2,θ2)
r1
= (cos(θ1 − θ2)+j sin(θ1 − θ2))
r2
r1
= polar ,θ1− θ2
9
r2
(11)

Dette vises enklest fra produktregelen, som en likning, med x som absoluttverdi og y som argument i kvotienten:
z1
z2
polar (r1,θ1)
= polar (x, y) ⇐⇒ polar (x, y) polar (r2,θ2) =polar(r1,θ1) ⇐⇒
polar (r2,θ2)
polar (x · r2 ,y+ θ2) =polar(r1,θ1) som gir likningene x · r2 = r1 og y + θ2 = θ1 .
Eksempel La z1 = polar (4,π/3) og z2 = polar (2,π/6). Da er
z1z2 = polar 4 · 2, π π
+ = polar 8,
3 6
π
π
π
=8 cos + j sin =8(0+j · 1) = 8j
2
2 2
og
4 π π
= polar , − = polar 2,
2 3 6
π
√
π
π
3 1
=2 cos + j sin =2 + j · =
6
6 6 2 2
√ 3+j.
Vi kan sammenlikne med multiplikasjon p˚a normalform:
Dette gir
z1 =4 cos
π
+ j sin
3
z2 =2 cos
π
=4
3
π
+ j sin
6
1
+ j
2
√
3
=2+2
2
√ 3 j og
√
π
3 1
=2 + j =
6 2 2
√ 3+j
z1z2 =(2· √ 3 − 2 √ 3 · 1) + (2 · 1+2 √ 3 √ 3)j =0+(2+2· 3)j =8j
Forsøk selv ˚a sjekke divisjonen p˚a normalform.
2.4 De Moivres formel
Hvis |z| =1erz =cos(θ)+j sin(θ). Vi f˚ar da
z 2 = z · z =(cos(θ)+j sin(θ)) (cos(θ)+j sin(θ)) cos(θ + θ)+j sin(θ + θ) =cos(2θ)+j sin(2θ)
Denne typen multiplikasjon kan gjentas, og vi f˚ar for generelt heltall n ∈ Z:
De Moivres formel
(cos(θ)+j sin(θ)) n =cos(nθ)+j sin(nθ)
Formelen kan formelt vises ved et induksjonsbevis, og gjelder ogs˚a forn = 0 og negative heltall.
Hvis vi ikke begrenser oss til |z| =1f˚ar vi varianten
som p˚a polarform kan skrives
(12)
z n =(|z| (cos(θ)+j sin(θ))) n = |z| n cos(nθ)+j sin(nθ) (13)
polar (r, θ) n = polar (r n ,nθ)
Eksempel La z =1+j, ogviskalregneutz 20 .
Vi har |z| = √ 1 2 +1 2 = √ 2=2 1/2 , og vi ser av en enkel figur at θ = π/4:
✻
✲
✒1+j
θ = π/4
10

Dermed er z n p˚a polarform
polar 2 1/2
20
,π/4 = polar 2 1/2
20
, 20π/4 = polar 2 10 , 5π
Vi har at 2 10 = 1024. Siden cosinus og sinus har periode 2π kan vi addere eller subtrahere et helt antall
ganger 2π og f˚a en vektor i samme retning, dvs. f˚a det samme tallet. Vi har da at 5π tilsvarer 5π − 2 ·2π = π.
P˚a trigonometrisk form, og etter litt regning p˚a normalform, f˚ar vi da
(1 + j) 20 = 1024 (cos(π)+j sin(π)) = 1024(−1+0j) =−1024 + 0j = −1024 .
Eksempel Vi skal n˚a finne alle komplekse tall z slik at z 3 − 8 = 0, som kan omformes til z 3 = −8. Det
vil si finne alle komplekse 3. røtter til −8. Vi ser lett at −2 er en rot, men hvilke andre finnes?
Vi løser dette ved ˚a laz være ukjent, og uttrykke z p˚a polarform med ukjent r og θ.
Vi har |−8| = 8, og siden vektoren ligger langs den negative reelle aksen har −8 argumentθ = π. Vikan
imidlertid bruke θ =3π eller θ =5π, og generelt θ = π + k · 2π der k er et heltall. Dette har betydning i
denne problemstillingen.
Vi regner ut den ukjente z 3 (p˚a polar- eller trigonometrisk form), og sammenlikner med −8p˚a den tilsvarende
formen:
z 3 = polar (r, θ) 3 = polar r 3 , 3θ = polar (8,π+2kπ)
Ved ˚a sammenlikne absoluttverdiene ser vi at r 3 =8,ogsidenr er et positivt reelt tall m˚a vihar =2.
Deretter sammenlikner vi argumentene, og har at 3θ = π +2kπ ⇐⇒ θ = π 2π
3 + k 3 .
For k =0f˚ar vi da θ = π
π 2π
3 ,fork =1f˚ar vi θ = 3 + 3
π
= π og for k =2f˚ar vi θ = 3 +22π
3
= 5π
3 .
Hvis vi fortsetter med k =3f˚ar vi θ = π
3 +32π
π
3 = 3 +2π. Siden dette er argumentet vi fikk for k =0med
en ekstra runde, gir dette det samme tallet opp igjen. Tilsvarende f˚ar vi bare de 3 komplekse tallene vi fik
ved ˚a velgek =0,k =1ogk = 2 opp igjen for andre k–verdier, s˚a vi blir st˚aende igjen ped 3 røtter. Setter
det opp p˚a trigonometrisk for og regner det om til normalform:
k =0:
π
π
2 cos + j sin
3 3
=
√
3 1
2 + j
2 2
= √ 3+j
k =1: 2(cos(π)+j sin (π)) = 2 (−1+j 0) = −2
k =2:
5π
5π
2 cos + j sin
3
3
=
√
3 −1
2 + j
2 2
= √ 3 − j
Kommentarer til eksemplet: Vi s˚a at en av røttene var den reelle roten −2, som vi kjente fra før. De
to komplekse røttene er komplekskonjugerte. Det gjelder generelt at komplekse røtter for et polynom med reelle
koeffisienter kommer i komplekskonjugerte par.
Siden absoluttverdien til alle røttene er 2, ligger de p˚a en sirkel med radius 2 og sentrum i 0 (origo) i det komplekse
tallplan. Dessuten kommer argumentene med samme parvis innbyrdes avstand 2π/3. Det vil si at de ligger jevnt
fordelt langs sirkelen og danner hjørnene i en likesidet trekant.
11

Generelt vil røttene i likningen z n = a, dera ∈ C, p˚a tilsvarende m˚ate danne hjørnene i en regulær n–kant. Hvis
spesielt a =1hvilz = 1 være en av røttene, s˚a punktene ligger p˚a enhetssirkelen og det ene hjørnet kommer p˚a den
positvie reelle aksen. Likningen z n = 1 kalles sirkeldelingslikningen.
2.5 Komplekse tall p˚a eksponentialform
Eksponentialfunksjonen kan defineres for komplekse tall p˚a enentydigm˚ate, for eksempel via rekketeorien
(Matematikk 20). Vi skal ikke gjennomføre dette her, men sette opp en viktig konsekvens av denne
definisjonen:
Eulers formel
cos(θ)+j sin(θ) =e jθ
Den komplekse eksponentialfunksjonen har mange av de egenskapene vi kjenner for den reelle eksponentialfunksjonen,
for eksempel
e x e y = e x+y .
Hvis x = jθ1 og y = jθ2 betyr dette
e jθ1 e jθ2 = e jθ1+jθ2 = e j(θ1+θ2)
Legg merke til at dette ikke er noe annet enn en produktregelen for komplekse tall (med absoluttverdi 1) p˚a
polarform, satt opp p˚a en litt annen m˚ate enn tidligere. Dette i seg selv er nesten nok til ˚a begrunne hvorfor
dette er den eneste fornuftige m˚aten ˚a definere e iθ .
Ved hjelp av Eulers formel kan vi skrive
|z| (cos(θ)+j sin(θ)) = |z|e jθ
Ethver komplekst tall z kan alts˚a skrivessomz = re jθ (med r = |z|). Dette kalles eksponentialform. Siden
parametrene er absoluttverdien r = |z| og argumentet θ er dette i grunnen bare en annen m˚ate ˚a skriveopp
et komplekst tall gitt p˚a trigonometrisk- eller polarform.
For eksempel er −2+2j = polar 2 √ 2, 3π/4 , fra et tidligere eksempel. P˚a eksponentialform skrives dette
−2+2j =2 √ 2e j 3π/4 .
Ved igjen ˚abrukeate x e y = e x+y gjelder f˚ar vi ogs˚a framhvae z m˚a være for et vilk˚arlig komplekt tall
z = a + bj:
e a+bj = e a e bj = e a (cos(b)+j sin(b))
For eksempel er
e 2−5j = e 2 (cos(5) + j sin(5)) = 7.389(0.2837 + j · 0.9589) = 2.096 + 7.086j .
Eksempel: I anvendelser i elektronikk og signalbehandling vil man ofte støte p˚a eksponentialformen i en sammenheng
der vi setter θ = ωt og |z| = R. Da tolkes kanskje R og ω som konstanter, og t som en reell variabel (tiden).
P˚adenm˚aten blir dette en funksjon fra de reelle tall inn i de komplekse tall:
f(t) =Re jωt
Siden |z| = R = konstant, f˚ar alle punkter samme absoluttverdi og ligger derfor p˚a en sirkel med sentrum 0 og radius
R i det komplekse tallplan. ”Bildet” av dette blir da en ”partikkel” som beveger seg rundt sirkelen med vinkelhastighet
ω.
Ved ˚aidentifisereenvektorrmed et punkt i planet, og videre med et komplekst tall, er dette egentlig det samme
som den vektorvaluerte funksjonen
r(t) =[Rcos(ωt) ,Rsin(ωt)]
som ble gjennomg˚att som et eksempel i forbindelse med vektorvaluerte funksjoner. En fordel med ˚a tenkep˚adetsom
komplekse tall er at regneregler for eksponentialfunksjonen (for eksempel potensregneregler, derivasjon og integrasjon)
som vi kjenner fra den reelle eksponentialfunksajonen stort sett fortsatt gjelder.
Vi kan ogs˚a tenkep˚aRe jωt som en funksjon av ω. Dette skifte av ”st˚asted” (mellom ”tidsrommet” og ”frekvensrommet”)
er et viktig aspekt ved bruken av denne funksjonen i anvendelser.
12
(14)

3 Komplekse tall og Maple
I Maple brukes stor I som navn p˚a den imaginære enhet. Dette fordi bokstavene i og j ofte brukes i andre
sammenhenger.
Regning med komplekse tall p˚a normalform er da rett fram:
> (2+3*I)*(1-5*I) ;
17 − 7I
> (2+3*I)/(1-5*I) ;
− 1 1
−
2 2 I
Komplekse løsninger p˚a likninger gies p˚a normalform:
> solve(x^2+2*x+5=0,x) ;
−1+2I,−1 − 2 ∗ I
> solve({x+I*y=3.0 , I*x+5*y=1.0-I},{x,y}) ;
{x =2.333333333 − 0.1666666667I, y =0.1666666667 − 0.6666666667I}
Kommandoen for polarform er polar. Hvis vi setter inn et tall p˚a normalform gjøres det om til polarform:
> polar(1+I) , polar(-2+I) , polar(-2.+I);
√ π
√5 1
polar 2 , , polar , − arctan + π , polar (2.236067978, 2.677945045)
4
2
Hvis kommandoen polar gies med to reelle argumenter, oppfattes disse som absoluttverdi (modul) og argument.
For ˚a tvinge fram en omregning til normalform kan vi bruke kommandoene evalc (EVALuate to Complex
number, jfr. evalf).
> polar(2,Pi/3) , evalc(polar(2,Pi/3));
polar 2 , π
, 1+
3
√ 3I
Hvis vi tar eksponentialfunksjonen til et komplekst tall med desimalverdier regnes den om til normalform
av seg selv. Hvis vi derimot har gitt den med eksakte verdier eller symboler m˚a vibrukeevalc for ˚a f˚aden
p˚a normalform:
> exp(2.0+5.0*I) , exp(x+I*y), evalc(exp(x+I*y));
2.095995802 − 7.085545260I, e x+Iy , e x cos(y)+Ie x sin(y)
Vi kan f˚a realdelen av et komplekst tall ved kommandoen Re, og imaginærdelen med Im:
> Re(3+4*I), Im(3+4*I), Re(polar(11,Pi/7)), Im(polar(11,Pi/7));
π
π
3 , 4 , 11 cos , 11 sin
7
7
Absoluttverdien (modulen) f˚ar vi ved kommandoen abs, argumentet med kommadoen argument:
> abs(3+4*I), argument(3+4*I), abs(polar(11,Pi/7)), argument(polar(11,Pi/7));
4
5 , arctan 11 ,
3
1
7 π
13

4 Oppgaver
4.1 Normalform
Oppgave 1.1
Regn sammen til normalform
a) (2+3j)+(−1+j) − (2 − j) b) (2+3j)(3 + 2j)
c) (3+4j)(3 − 4j) d) j(1 + j)
e) j 4 f)
g)
3 − j
3+j
Oppgave 1.2
a) Finn z (p˚a normalform) fra likningen
b) Finn z (p˚a normalform) fra likningen
h)
1
3+4j
1+j
j
(3 − j) z = −1+2j
2+5j
z =4+j
−1 − 2j
c) Finn z1 og z2 (p˚a normalform) fra likningssystemet
z1 + jz2 = 1
z1 +3z2 = 2j
d ) Finn de komplekse tallene x og y, skrevet p˚a normalform, som oppfyller følgende likningsystem
x − jy = 0
jx + 3y = 2− 4j
Oppgave 2c var eksamensoppgave 5a i MM1, april 2003 (dvs. utsatt prøve)
Oppgave 1.3
Regn sammen til et polynom (med variabel x):
4.2 Polarform
Oppgave 2.1
Gjør om til normalform:
(x − (−1+2j)) (x − (−1 − 2j))
a) 2(cos(π/4) + j sin(π/4)) b) polar
c) cos(3π/2) + j sin(3π/2) d) 4e jπ/6
14
√
2 , 3π/4
.

Oppgave 2.2
Finn absoluttverdi (modul, |z|) ogargument(θ) for:
a) 1+j b) 1 − j c) −1+j d) −1 − j
e) 1+ √ 3 j f) −1+ √ 3 j g) 4j h) −15
Oppgave 2.3
Utfør følgende utregninger eksakt, og uten kalkulator:
La z1 =2(cos(π/4) + j sin(π/4)) og z2 =4e jπ/6 .
a) Regn ut z1 · z2, oggisvaretp˚a trigonometrisk og eksponentilaform.
b) Finn z1 · z2 p˚a normalform (du vet fra 2.1a og 2.1d hva z1 og z2 er p˚a normalform).
c) Bruk svaret til˚a finne eksakt verdi av sin(5π/12)
Oppgave 2.4
Utfør følgende utregninger eksakt, og uten kalkulator:
La z = −1+ √ 3j.
a ) Gjør om z til polarform.
b) Regn ut z 10 med de Moivres formel.
Svaret skal gies p˚a polar- og trigonometrisk form.
c) Regn ut z 10 p˚a normalform.
15

5 Fasit
Oppgave 1.1
a) (2+3j)+(−1+j) − (2 − j) =(2+(−1) − 2) + (3 + 1 − (−1))j = −1+5j
b) (2+3j)(3 + 2j) =(2· 3 − 3 · 2) + (2 · 2+3· 3)j =13j
c) (3+4j)(3 − 4j) =(3· 3 − 3 · (−4)) + (3 · (−4) + 4 · 3)j =(3 2 +4 2 )+0j =25
d ) Enklere enn ”formel”: j · 1+j · j = j − 1=−1+j
e) j4 = j22 2 =(−1) =1
f)
1 3 − 4j
·
3+4j 3 − 4j
g)
3 − j 3+j
·
3 − j 3+j
h) 1+j
·
j
−j
−j
Oppgave 1.2
3 − 4j
=
32 3 4
= −
+42 25 25 j
= (3 · 3 − (−1) · (−1)) + (3 · (−1) + (−1) · 3)j
3 2 +1 2
−j − j2
=
02 −j − (−1)
= =1− j
+12 1
a ) Dividerer begge sider med 3 − j og f˚ar
b)
z =
z = −1+2j
3 − j
−1 − 2j
2+5j
= (−1+2j)(3 + j)
(3 − j)(3 + j)
(4 + j) = (−1 − 2j)(2 − 5j)
(2 + 5j)(2 − 5j)
= 8 − 6j
10
= (−1 · 3 − 2 · 1) + (−1 · 1+2· 3)j
3 2 +1 2
4 3
= −
5 5 j
= −5+5j
10
= − 1 1
+
2 2 j
−12 + j
(4 + j) =
22 1
−49 8
(4 + j) = (−49 − 8j) = −
+52 29 29 29 j
c) Løser ut z1 fra første likning til z1 =1− jz2. Setter dette inn i andre likning:
(1 − jz2)+3z2 =2j ⇐⇒ (3 − j)z2 = −1+2j
Dette er samme likning som a–oppgaven, med løsning
z2 = − 1 1
+ j .
2 2
Setter s˚a inn dette for ˚a finne z1:
z1 =1− jz2 =1− j
− 1 1
+
2 2 j
=1+ 1 1
j −
2 2 j2 = 3 1
+
2 2 j
d ) Fra den første likningen har vi x = jy, som kan settes inn i den andre:
Finner deretter x som
Oppgave 1.3
j · jy+3y =2− 4j ⇐⇒ −y +3y =2− 4j ⇐⇒ y =
x = jy = j(1 − 2j) =j − 2j 2 =2+j
2 − 4j
2
=1− 2j
Multipliserer sammen ledd for ledd, og behandler de komplekse tallene i første omgang som enkelt ledd:
(x − (−1+2j)) (x − (−1 − 2j)) = x 2 − x(−1 − 2j) − (−1+2j)x +(−1+2j)(−1 − 2j) =
x 2 − [(−1 − 2j)+(−1− 2j)] x +(−1+2j)(−1 − 2j)
Regner sammen (−1 − 2j)+(−1− 2j) =−2+0j = −2 og(−1+2j)(−1 − 2j) =12 +22 = 5, og setter inn
dette til
x 2 − (−2)x +5=x 2 +2x +5
Det som er gjort her er det motsatte av ˚a løse likningen x 2 +2x + 5 = 0, med røtter −1 ± 2j.
Disse røttene gir opphav til faktoriseringen x 2 +2x +5=(x − (−1+2j)) (x − (−1 − 2j)).
16

Oppgave 2.1
a) 2( √ 2/2+j · √ 2/2) = √ 2+ √ 2j
b) √ 2(cos(3π/4) + j sin(3π/4)) = √ 2
c) 0+j(−1) = −j
d) 4(cos(π/6) + j sin(π/6)) = 4
Oppgave 2.2
− √ 2/2+j · √
2/2 = −1+j
√
3/2+j · 1/2 =2 √ 3+2j
For ˚a finne absoluttverdi og argument (med eksakte verdier) anbefales ˚a tegne inn tallene i det komplekse
tallplan.
a, b, c, d Gjør dette for oppgavene a), b), c) og d) i samme tegning:
Alle fire har modul |z| = √ 1 2 +1 2 = √ 2
✻
✲
ℑ
−1+j
j
❅
❅
❅
❅
❅
❅
−1 ❅
1
❅❅
1+j
ℜ
−1 − j
−j
❅
❅❅
1 − j
Vi ser at vinkelen linja ut til 1 + j danner med den positive reelle aksen er 45◦ .Detvilsiatθ =
arg(1 + j) =π/4.
Fordeandreervinkleneπ/4 pluss et helt antall rette vinkler, og vi har derfor
arg(−1+j) =π/4+π/2 =3π/4, arg(−1 − j)=π/4+π =5π/4 og arg(1 − j) =π/4+3π/2 =7π/4
e, f B˚ade 1 + √ 3 j og −1+ √ 3 j har modul |z| =
1 2 + √ 3 2
Lager figur f˚ar ˚a se argumentene:
√
−1+ 3j
ℑ
√
✻3j
√
1+ 3j
−1
j
|z| =2
Vi gjenkjenner (forh˚apentligvis) en 30 ◦ –60 ◦ –90 ◦ trekant, da hypotenusen er dobbelt s˚a langsomden
korteste kateten. Derfor har vi en 60 ◦ vinkel for 1 + √ 3 j. For−1+ √ 3 j mangler det 60 ◦ p˚a˚avære
180 ◦ ,s˚a dette er en 120 ◦ vinkel. Omregnet til radianer gir dette
=2
arg(1 + √ 3 j) =π/3, arg(−1+ √ 3 j) =2π/3
17
1
✲
ℜ

g ) Tallet 4j finnes 4 enheter oppover p˚a den imaginære aksen (tegn figur selv).
Derfor er |4j| =4og θ =arg(4j) =π/2
h ) Tallet −15 finnes 15 enheter til venstre p˚a den reelle aksen (tegn figur selv).
Modulen er |−15| =15(Obs: Ikke −15 !).
Vinkelen til den positive reelle aksen er 180 ◦ (Obs: Ikke 0 ◦ !), s˚a θ =arg(−15) = π
Oppgave 2.3
a) P˚a eksponentialform er z1 =2e jπ/4 , og multiplikasjonen er
2e jπ/4 4e π/6 =2· 4e j(π/4+π/6) =8e j5π/12 =8
b) z1 =2( √ 2/2+j √ 2/2) = √ 2+ √ 2j
z2 =4(cos(π/6) + j sin(π/6)) = 4( √ 3/2+j · 1/2) = 2 √ 3+2j
Dette gir p˚a normalform multiplikasjonen
5
cos
12 π
5
+ j sin
12 π
( √ 2+ √ 2j)(2 √ 3+2j) =( √ 2 · 2 √ 3 − √ 2 · 2) + ( √ 2 · 2+ √ 2 · √ 3)j =(2 √ 6 − 2 √ 2) + (2 √ 6+2 √ 2)j
c) Ved˚a sammenlikne imaginærdelene p˚a detouttrykkeneforz1 · z2 finner vi
5
8sin
12 π
=2 √ 6+2 √
5
2 ⇐⇒ sin
12 π
= 2√6+2 √ √ √
2 6+ 2
=
8
4
Oppgave 2.4
a ) Vi fant i oppgave 2.2f at z = 2(cos(2π/3) + j sin(2π/3)). P˚a polarform er dette
polar 2 , 2
3 π
b)
z 10
= polar 2 , 2
3 π
10 = polar 2 10 , 20π/3
Det er hensiktsmessig ˚a bruke et mindre argument ved ˚a trekke fra et passende antall ganger 2π, og
siden 3 · 2π =6π =18π/3 tilsvarer 20π/3 argumentet20π/3 − 18π/3 =2π/3:
2
z = polar (1024, 2π/3) = 1024 cos
3 π
2
+ j sin
3 π
c ) Regner om z10 til normalform:
z 10
= 1024 − 1
√
3
+ j = −512 + 512
2 2
√ 3j
18
18. oktober 2004, Hans Petter Hornæs