Komplekse tall - Ansatt.hig.no
Komplekse tall - Ansatt.hig.no
Komplekse tall - Ansatt.hig.no
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Komplekse</strong> <strong>tall</strong><br />
Forelesnings<strong>no</strong>tat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004.<br />
Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04.<br />
I Matematikk 10 er en kort innføring i komplekse <strong>tall</strong> pensum. Dette er dekket i Lorentzen, Hole og Lindstrøms<br />
Kalkulus med en og flere variabler, kapittel A3 (s. 675—682), men her følger et alternativ som er litt mindre<br />
kortfattet.<br />
1 <strong>Komplekse</strong> <strong>tall</strong> p˚a <strong>no</strong>rmalform<br />
1.1 Det komplekse <strong>tall</strong>plan og komplekse <strong>tall</strong> p˚a <strong>no</strong>rmalform<br />
Vi skal n˚a konstruere et <strong>tall</strong>system som er en utvidelse av de reelle <strong>tall</strong>. De reelle <strong>tall</strong>ene R fyller opp<br />
<strong>tall</strong>injen med <strong>tall</strong> i en naturlig forstand (uttrykt bl.a. med skjæringssetningen). For en geometrisk<br />
tolkning m˚a vi derfor ha en mengde som er større enn bare en uendelig lang linje. Det viser seg<br />
at det er mulig, og i mange sammenhenger praktisk, ˚a lage et slikt <strong>tall</strong>system der <strong>tall</strong>ene tilsvarer<br />
punkter i planet. Dette <strong>tall</strong>systemet kalles komplekse <strong>tall</strong>, og betegnes med C.<br />
Vi starter med ˚a tegne et vanlig rettvinklet aksekors. Den horisontale aksen (x–aksen) skal vi<br />
betrakte som den reelle <strong>tall</strong>injen, og punkter p˚a denne som reelle <strong>tall</strong>, som dermed er en delmengde<br />
av de komplekse <strong>tall</strong>. Den horisontale aksen kalles i denne sammenheng den reelle aksen, og betegnes<br />
ofte med ℜ.<br />
Den vertikale aksen skal kalles den imaginære aksen, og betegnes med ℑ.<br />
Det <strong>tall</strong>et som har koordinater (0, 1), alts˚a som ligger en enhet oppover den vertikale aksen, kalles<br />
den imaginære enheten, og betegnes med j.<br />
Den imaginære enheten ble opprinnelig kalt i, og dette brukes fortsatt i de fleste bøker, blant annet i læreboka.<br />
P˚a grunn av navnekollisjon med symbol for strømstyrke, og det at komplekse <strong>tall</strong> brukes mye i elektronikk, har<br />
elektroingeniører erstattet dette med bokstaven j, og vi følger denne <strong>no</strong>tasjonen her. I Maple brukes forøvrig I som<br />
navn p˚a dette <strong>tall</strong>et.<br />
ℑ<br />
2j ✻<br />
j<br />
✲ ℜ<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3<br />
−1j<br />
−2j<br />
Tall p˚aformenbj, medb∈R \{0}, kalles imaginære <strong>tall</strong>, og tilsvarer punktene med koordinater<br />
(0,b) langs den imaginære aksen.<br />
Addisjon mellom komplekse <strong>tall</strong> tilsvarer addisjon med vektorer i planet. Det vil si komponentvis<br />
addisjon (som geometrisk tilsvarer parallellogramloven). Dessuten kan vi multiplisere inn reelle <strong>tall</strong><br />
p˚a samme m˚ate som vi multipliserer inn skalarer i vektorer, i hver komponent. Dermed kan vi skrive<br />
<strong>tall</strong>et som tilsvarer punktet med koordinater (a, b) p˚aformen<br />
(a, b) =(a, 0) + (0,b)=a(1, 0) + b(0, 1) = a + bj<br />
1
der vi har identifisert (1, 0) med det reelle <strong>tall</strong>et 1, og skriver a · 1=a, ogsattinnjfor (0, 1). Dette<br />
kalles <strong>no</strong>rmalform for komplekse <strong>tall</strong>.<br />
For det komplekse <strong>tall</strong>et z = a + bj kalles det reelle <strong>tall</strong>et a realdelen, ogviskriverRe(z) =a.<br />
Det reelle <strong>tall</strong>et b kalles imaginærdelen, ogviskriverIm(z) =b.<br />
Bokstaven z brukes ofte som navn p˚a komplekse <strong>tall</strong>. For eksempel vil <strong>tall</strong>et som tilsvarer punktet<br />
med koordinater (−1, 2) p˚a <strong>no</strong>rmalform skrives z = −1+2· j. VihardaRe(z) =−1 ogIm(z) =2.<br />
Merk at j ikke regnes med som en del av imaginærdelen.<br />
I neste figur er z = −1+2j og −1 − 2j tegnet inn, b˚ade som punkter og vektorer:<br />
Dette planet kalles det komplekse <strong>tall</strong>plan∗ .<br />
Vi oppsummerer s˚a langt:<br />
ℑ<br />
2j<br />
−1 +2j ✻<br />
❆❑<br />
❆<br />
❆ j<br />
❆<br />
❆<br />
❆<br />
−3 −2 −1 ✁0<br />
✁<br />
−1j ✁<br />
✁<br />
−1 − 2j<br />
✁<br />
✁☛ −2j<br />
1 2<br />
✲<br />
3<br />
ℜ<br />
<strong>Komplekse</strong> <strong>tall</strong> z ∈ C p˚a <strong>no</strong>rmalform: z = a + bj (a ∈ R ,b∈ R)<br />
Realdel: Re(z) =a ∈ R , Imaginærdel: Im(z) =b ∈ R<br />
Addisjon: (a + bj)+(c + dj)=(a + c)+(b + d)j<br />
Subtraksjon: (a + bj) − (c + dj)=(a − c)+(b − d)j<br />
Det vi har gjort s˚a langt er ikke annet enn ˚a innføre <strong>no</strong>en nye begreper (nye navn) p˚a vektorregning i<br />
planet R 2 . Det som er den vesentlige utvidelsen er at vi ogs˚a skal innføre multiplikasjon, og etterhvert<br />
divisjon, mellom komplekse <strong>tall</strong>. Det viser seg at det er <strong>no</strong>k ˚a innføre en enkelt multiplikasjon for<br />
˚a f˚a definert multiplikasjon mellom alle komplekse <strong>tall</strong>:<br />
(1)<br />
j · j = −1 (2)<br />
Dette skrives ogs˚a j 2 = −1. For alle reelle <strong>tall</strong> x er x 2 ≥ 0, slik at vi ser fra dette at j ikke er et<br />
reelt <strong>tall</strong>. Vi sier ofte at j = √ −1 (selv om dette kanskje er litt upresist, da ogs˚a (−j) 2 = −1).<br />
Det er ikke slik at vi uten videre kan innføre en regel som denne. Regelen er motivert ut fra bruk av komplekse <strong>tall</strong><br />
før det komplekse <strong>tall</strong>plan ble innført. Da innførte man (litt uformelt) et <strong>tall</strong> i = √ −1.<br />
Det er en viktig begrunnelse at dette fører til et system uten selvmotsigelser, og at alle ”vanlige regneregler” for de<br />
fire regningsartene blir bevart. Disse er listet opp i avsnitt 1.5. Bevisene for disse er stort sett forholdsvis enkle, men<br />
litt omfattende, s˚a vi vil ikke gjen<strong>no</strong>mføre dette her.<br />
∗ Det kalles ogs˚a Gaussplanet, etter matematikeren Carl Friedrich Gauss (1777–1855), men det var faktisk <strong>no</strong>rdmannen<br />
Caspar Wessel, bror av forfatteren Johan Herman Wessel, som først innførte det i 1799. De komplekse <strong>tall</strong><br />
uten denne tolkningen hadde man allerede brukt lenge, blant annet av De Moivre (1667–1754).<br />
2
Eksempel La oss si vi ønsker ˚a løse 2. gradslikningen<br />
x 2 +2x +5=0<br />
Innsetting i den kjente løsningsformlen for løsning av 2. gradslikninger gir da:<br />
−2 ± √ 2 2 − 4 · 5<br />
2<br />
= −2 ± √ −16<br />
2<br />
Siden vi f˚ar et negativt <strong>tall</strong> under rottegnet sier vi at vi ikke har <strong>no</strong>en reelle løsninger, oggiross<br />
ofte med det. I en del sammenhenger er det imidlertid nødvendig ˚a bruke disse røttene likevel, og<br />
vi prøver ˚a regne videre:<br />
= −2 ± 16 · (−1)<br />
2<br />
= −2 ± √ 16 · √ −1<br />
2<br />
= −2 ± 4 · √ −1<br />
2<br />
Siden vi n˚a har innført et <strong>tall</strong> j = √ −1 kan vi uttrykke disse to røttene som<br />
z1 = −1+2j og z2 = −1 − 2j .<br />
.<br />
= −1 ± 2 √ −1<br />
Alts˚a er røttene de to komplekse <strong>tall</strong>ene vi tegnet i forrige figur! Selv om dette er meningsløse <strong>tall</strong><br />
i <strong>no</strong>en sammenhenger, er de b˚ade nyttige og viktige i andre sammenhenger † .<br />
1.2 Multiplikasjon av komplekse <strong>tall</strong> p˚a <strong>no</strong>rmalform<br />
Vi skal n˚a se hva multiplikasjonen j2 = −1, sammen med vanlige regneregler for multiplikasjon<br />
(kjent fra ˚a regne sammen poly<strong>no</strong>mer) medføre for multiplikasjon mellom to komplekse <strong>tall</strong> z1 =<br />
a + bj og z2 = c + dj.<br />
Først multipliserer vi hvert ledd i første parentes med hvert i andre. Deretter bytter vi litt om p˚a<br />
rekkefølgen av leddene og faktorene, og f˚ar i første omgang:<br />
z1z2 =(a + bj)(c + dj)=ac + adj + bjc + bjdj = ac + bdj 2 + adj + bcj<br />
Vi kan s˚a erstatte j 2 med −1, og dessuten sette j utenfor som felles faktor i de to siste leddene:<br />
z1z2 = ac + bd(−1) + (ad + bc)j =(ac − bd)+(ad + bc)j<br />
Merk at ac − bd bare best˚ar av reelle <strong>tall</strong>, slik at dette er et reelt <strong>tall</strong>. Likeledes er ad + bc et reelt<br />
<strong>tall</strong>. Dermed er siste uttrykk p˚a <strong>no</strong>rmalform, og vi har multiplisert to vilk˚arlige komplekse <strong>tall</strong> p˚a<br />
<strong>no</strong>rmalform, og endt opp med et komplekst <strong>tall</strong> p˚a <strong>no</strong>rmalform. Vi oppsummerer:<br />
Multiplikasjon av komplekse <strong>tall</strong> p˚a <strong>no</strong>rmalform:<br />
(a + bj)(c + dj)=(ac − bd)+(ad + bc)j<br />
Det kan være hensiktsmessig ˚a huske denne formelen. Selv synes jeg den er lettest ˚a huske ”verbalt” som: ”Realdelen<br />
av produktet er realdel ganger realdel minus imaginærdel ganger imaginæredel. Imaginærdelen av produktet er realdel<br />
ganger imaginærdel pluss imaginærdel ganger realdel”. Alternativt kan man gjen<strong>no</strong>mføre utregningen som over (med<br />
<strong>tall</strong> istedenfor bokstaver), eller sl˚a opp regelen i formelsamlinga (avsnitt 1.5, s. 2–3).<br />
† For eksempel hører løsningen av denne likningen sammen med løsningen av differensialikningen y ′′ +2y ′ +5y =0.<br />
Selv om ikke røttene er reelle er løsningsfunksjonene vanlige reelle funksjoner som finnes via de komplekse røttene.<br />
De er forøvrig alle funksjoner p˚a formeny = C1e −x cos(2x)+C2e −x sin(2x), der −x = −1 · x i eksponenten skyldes<br />
ar realdelen er −1, mens 2 foran x inne i cosinus og sinusleddet er imaginærdelen.<br />
3<br />
(3)
Talleksempel: La z1 =2+3j s˚a a =2,b =3ogz2 =4− j s˚a c =4ogd = −1:<br />
1.3 Komplekskonjugert<br />
(2 + 3j)(4 − j) =(2· 4 − 3 · (−1)) + (2 · (−1) + 3 · 3)j =11+7j<br />
En operasjon vi ofte støter p˚a medkomplekse<strong>tall</strong>er˚abevare realdelen, men ˚a skifte fortegn p˚a<br />
imaginærdelen.<br />
Dette kalles kompleks konjugering, og betegnes med z:<br />
Definisjon av kompleks konjugert: a + bj = a − bj (4)<br />
Vi ser lett at z2 = z1 er z2 = z1 (da vi bytter fortegn fram og tilbake).<br />
Vi s˚a for eksempel at de to komplekse røttene i likningen x2 − 2x +5=0 var−1 +2j og −1 −<br />
2j. Dette er et par av kompleks konjugerte <strong>tall</strong>. Det gjelder generelt at komplekse røtter i reelle<br />
poly<strong>no</strong>mlikninger opptrer i komplekskonjugerte par.<br />
En viktig bruk av komplekskonjugering er ˚a ta produktet av et <strong>tall</strong> med sin komplekskonjugerte.<br />
Vi kan bruke regneregelen for produkt (med c = a og d = −b), men et alternativ er ˚a bruke3.<br />
kvadratsetning som ogs˚a gjelder komplekase <strong>tall</strong>:<br />
z · z =(a + bj) · (a + bj) =a 2 − (bj) 2 = a 2 − b 2 · (−1) = a 2 + b 2<br />
Legg merke til at produktet a 2 + b 2 er et positivt reelt <strong>tall</strong>. Unntaketerhvisz =0=0+0j. Daer<br />
a 2 + b 2 =0 2 +0 2 =0.<br />
Denne egenskapen utnyttes blant annet i kompleks divisjon.<br />
1.4 Divisjon av komplekse <strong>tall</strong> p˚a <strong>no</strong>rmalform<br />
N˚ar det gjelder kompleks divisjon anbefaler jeg at dere lærer metoden, framfor ˚a huske formelen.<br />
Den baserer seg p˚a knepet˚amultiplisere teller og nevner med den komplekskonjugerte av nevneren.<br />
Med dette oppn˚ar vi at nevneren blir et reelt <strong>tall</strong>.<br />
Metoden vises med et eksempel:<br />
2+5j (2 + 5j)(4 + 3j) (2 · 4 − 5 · 3) + (2 · 3+5· 4)<br />
= =<br />
4 − 3j (4 − 3j)(4 + 3j) 42 +32 = −7+26j<br />
25<br />
I nevneren brukte vi multiplikasjonsregelen for <strong>tall</strong> med sin komplekskonjugerte fra forrige avsnitt.<br />
Vitsen er at dette blir et reelt <strong>tall</strong> (her 25). Merk ogs˚a at det alltid blir + mellom de to kvadratene.<br />
N˚a kan vi dividere realdel og imaginærdel hver for seg med nevneren, og f˚ar<br />
2+5j −7 26<br />
= +<br />
4 − 3j 25 25 j<br />
Merk at n˚a er kvotienten p˚a <strong>no</strong>rmalform, siden −7/25 og 26/25 er reelle <strong>tall</strong>.<br />
I tilegg til ˚a væreenmetodeforfaktisk˚autføre divisjonen generaliseres dette lett ‡ slik at vi kan<br />
se at z1/z2 alltid blir et komplekst <strong>tall</strong> n˚ar z2 = 0.Detvilsiatdivisjonerdefinertgenereltfor<br />
komplekse <strong>tall</strong>.<br />
‡ Vi kan generalisere det til formelen<br />
a + bj<br />
c + dj<br />
ac + bd<br />
=<br />
c2 bc − ad<br />
+<br />
+ d2 c2 j<br />
+ d2 4<br />
(5)
Eksempel, lineær likning. Vi skal som eksempel se p˚a løsningen av følgende 1. gradslikning<br />
med komplekse koeffisienter:<br />
2z +1=jz − 4j<br />
Vi ordner den først slik at leddene med z blir st˚aende p˚a venstre side og resten p˚a høyresideav<br />
likhetstegnet:<br />
2z − jz = −4j − 1 ⇐⇒ (2 − j)z = −1 − 4j<br />
Denne er p˚a samme form som en reell lineær likning ax = b, bortsett fra at a og b er komplekse.<br />
Den løses p˚a tilsvarende m˚ate, dvs. tilsvarende x = b/a:<br />
z =<br />
−1 − 4j<br />
2 − j<br />
= (−1 − 4j)(2 + j)<br />
(2 − j)(2 + j)<br />
1.5 Regneregler for komplekse <strong>tall</strong><br />
= ((−1)2 − (−4)1) + ((−1)1 + (−4)2)j<br />
2 2 +1 2<br />
= 2 − 9j<br />
5<br />
2 9<br />
= −<br />
5 5 j<br />
Her listes opp <strong>no</strong>en grunnleggende regneregler for komplekse <strong>tall</strong>. Dette oppsummerer hva jeg legger<br />
i begrepet ”vanlige regneregler for de fire regningsartene”.<br />
Det er temmelig rett fram ˚a vise at de gjelder, men det blir jo litt mye regning med s˚a mange regler. Dette taes derfor<br />
ikke med her.<br />
1. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C er z1 + z2 ∈ C og z1z2 ∈ C<br />
Vi sier at mengden av komplekse <strong>tall</strong> er lukket under addisjon og multiplikasjon.<br />
2. Vi har et <strong>tall</strong> 0 ∈ C med egenskapen z +0=z for alle z ∈ C.<br />
Vi har et <strong>tall</strong> 1 ∈ C, 1= 0, med egenskapen z · 1=z for alle z ∈ C.<br />
Dette er selvfølgelig de vanlige <strong>tall</strong>en 0 og 1, og de kalles additiv og multiplikativ enhet.<br />
3. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C er z1 + z2 = z2 + z1 og z1z2 = z2z1<br />
Dette kalles kommutativitet av henholdsvis addisjon og multiplikasjon.<br />
4. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C, z3 ∈ C er (z1 + z2)+z3 = z1 +(z2 + z3) og(z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3)<br />
Dette kalles assosiativitet, og betyr at vi uten fare for misforst˚aelse kan droppe parentesene i gjentatte addisjoner<br />
eller multiplikasjoner.<br />
5. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C, z3 ∈ C er z1(z2 + z3) =z1z2 + z1z3.<br />
Dette kalles distributivitet, og medfører regelen om at parenteser multipliseres sammen ved ˚a multiplisere hvert<br />
ledd i første parentes med hvert ledd i andre parentes.<br />
6. For alle z ∈ C finnes et <strong>tall</strong> −z ∈ C med egenskapen z +(−z) =0.<br />
Dette betyr at vi ogs˚a har subtraksjon, da vi kan definere z1 − z2 som z1 +(−z2).<br />
7. For alle z ∈ C, z = 0, finnes et <strong>tall</strong> z −1 ∈ C med egenskapen z · z −1 =1.<br />
Dette betyr at vi ogs˚a har divisjon, da vi kan definere z1/z2 som z1 · z −1<br />
2 .<br />
Fra disse reglene følger andre vanlige regneregler som for eksempel kvadratsetningene, potensregningsreglene<br />
for hel<strong>tall</strong>spotenser og brøkregningsreglene.<br />
5
Noen kommentarer litt utenfor pensum:<br />
Hvis vi hele vegen bytter ut C med Q (de rasjonale <strong>tall</strong>ene) eller R (de reelle <strong>tall</strong>ene) gjelder de samme reglene. Et<br />
<strong>tall</strong>system som oppfyler disse aksiomene kalles en kropp.<br />
Man kunne tenke seg en videre utvidelse, at vi definerte en multiplikasjon av vektorene i R 3 s˚a det ble en kropp. Det<br />
viser seg imidlertid at dette er umulig, og det er heller ikke mulig for R n for <strong>no</strong>en andre endelige <strong>tall</strong> n. Dette betyr<br />
at vi i en viss forstand er framme ved det endelige m˚alet med kroppsutvidelser n˚ar vi har konstruert C.<br />
Man synes kanskje en komponentvis multiplikasjon hadde vært enklere enn den multiplikasjonen vi har definert for<br />
C. Da ville vi ikke f˚att <strong>no</strong>en kropp. Is˚afallm˚atte <strong>tall</strong>et 1 fra aksiom 2 betydd punktet (1, 1), men aksiom 7 ville ikke<br />
vært oppfyllt. Hvis vi for eksempel hadde valgt z =(0, 1), ville z · z1 =(0, 1) · (x, y) =(0,y), som ikke er lik (1, 1) for<br />
<strong>no</strong>en valg av x og y.<br />
Det er ikke tilfeldig at vi ikke har med <strong>no</strong>en setninger som involverer ulikheter. I motsetning til R og Q er ikke C<br />
lineært ordnet (ihvertfall ikke p˚a <strong>no</strong>en naturlig m˚ate som gjør at regler som f.eks a
z<br />
|z|<br />
Hvis absoluttverdien og argumentet er gitt f˚ar vi et entydig komplekst <strong>tall</strong>, men det er en viss flertydighet i<br />
hvordan vi oppgir argument, da vi kommer ut i samme retning og dermed til samme punkt i det komplekse<br />
planet om vi adderer eller subtraherer et helt an<strong>tall</strong> ganger 2π til argumentet θ.<br />
Ved ˚a giz ∈ C ved ˚a oppgi absoluttverdi og argument sier vi z er gitt p˚a polarform (i motsetning til<br />
<strong>no</strong>rmalform).<br />
En skrivem˚ate for dette er polar (|z|,θ|), for eksempel polar 2, 2<br />
3 π eller polar (11.62, 1.982).<br />
Noen bruker ogs˚a skrivem˚aten (|z|∠θ), for eksempel (2∠ 2<br />
3 π).<br />
2.2 Omregning mellom <strong>no</strong>rmal- og polarform<br />
Hvis |z| = 1 blir projeksjonen ned p˚a den reelle aksen cos(θ), det var jo slik vi definerte cosinus geometrisk.<br />
Da blir ogs˚a, fra geometrisk definisjon av sinus, projeksjonen til den imaginære aksen sin(θ). Dette er illustrert<br />
ifigurentilvenstre.<br />
Hvis |z| er et vilk˚arlig <strong>tall</strong> vil vektoren, og dermed ogs˚a projeksjonen p˚a aksene, forlenges med en faktor |z|<br />
(figuren til høyre):<br />
1<br />
cos(θ)<br />
ℑ<br />
sin(θ)<br />
θ<br />
ℜ<br />
ℑ<br />
θ<br />
|z|<br />
Re(z) =|z| cos(θ)<br />
ℑ<br />
ℜ<br />
|z| sin(θ) =Im(z)<br />
Siden førstekoordinaten er realdelen, og andrekoordinaten er imaginærdelen til z f˚ar vi dermed<br />
Sammenheng mellom paret (realdel , imaginærdel) og paret (absoluttverdi, argument)<br />
Re(z) =|z| cos(θ)<br />
Im(z) =|z| sin(θ)<br />
Re(z) 2 +Im(z) 2 = |z| 2<br />
Den nederste likningen er Pytagoras eller, om vi vil, definisjonen av |z|. Den følger ogs˚a avdetoover,men<br />
den er ofte nyttig ˚a ha med som hjelpesetning ved siden av disse.<br />
Dette gir direkte hvordan vi regner om fra polar- til <strong>no</strong>rmalform.<br />
Eksempel Et komplekst <strong>tall</strong> er gitt p˚a polarform som z = polar 2, 2<br />
3 π .Finnz p˚a <strong>no</strong>rmalform.<br />
7<br />
θ<br />
ℜ<br />
(8)
Vi har da at<br />
<br />
2<br />
Re(z) =2cos<br />
3 π<br />
<br />
=2· − 1<br />
<br />
<br />
2<br />
= −1 ogIm(z) =2sin<br />
2<br />
3 π<br />
<br />
=2·<br />
√ <br />
3<br />
=<br />
2<br />
√ 3<br />
Siden z =Re(z)+Im(z)jer da z = −1+ √ 3j.<br />
Den omvendte vegen er litt mer komplisert. La oss de p˚a hvordan vi regner om z = −2 − 2j tilpolarform.<br />
Det er forholdsvis enkelt ˚a finne absoluttverdien:<br />
|z| = Re(z) 2 +Im(z) 2 = (−2) 2 +2 2 = √ 8= √ 4 · 2=2 √ 2<br />
For ˚a finne argumentet er det nyttig ˚a lage en figur. Jeg anbefaler at dere alltid gjør det, ihvertfall i faget<br />
Matematikk 10 der kalkulator ikke tillates til eksamen.<br />
Det er lett ˚a tegne inn <strong>tall</strong>et z = −2+2j, bare tegn punktet med koordinater (Re(z), Im(z)) = (−2, 2), og<br />
linjestykket (vektoren) fra 0 (origo) til dette punktet:<br />
ℑ<br />
✻<br />
|z| =2<br />
✲ ℜ<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3<br />
−2 +2j <br />
2j<br />
❅■<br />
❅<br />
❅<br />
j<br />
❅<br />
(2)<br />
❅<br />
❅ θ<br />
Et blikk p˚a figuren skulle være <strong>no</strong>k til ˚a seatθ =3π/4 (alts˚a π/2+π/4, som tilsvarer 90 ◦ +45 ◦ ).<br />
Mer formelt kan vi si at linjestykkene med hjørner i punktene (−2, 0),(−2, 2), (2, 0) og (0, 0) er et kvadrat, og at<br />
vektoren ut til z halverer dette kvadratet. Derfor er vinkelen den danner med f.eks. den negative reelle aksen π/4, og<br />
derfor vinkelen med den positive reelle aksen π − π/4 =3π/4.<br />
Hvis vi skulle regnet ut θ uten figur kunne vi brukt at Re(z) =|z| cos(θ) som gir −2 =2 √ 2cos(θ), og<br />
tilsvarende Im(z) =|z| sin(θ) som gir 2 = 2 √ 2sin(θ). En m˚ate ˚a løse disse likningene p˚a er˚ata<br />
Im(z) |z| sin θ) sin θ)<br />
2<br />
= = =tan(θ) som for z = −2+2j gir tan(θ) = = −1 .<br />
Re(z) |z| cos(θ) cos(θ) −2<br />
Det m˚a vises litt forsiktighet ved denne framgangsm˚aten. For det første virker den ikke om Re(z) =0,<br />
men i denne situasjonen ligger <strong>tall</strong>et p˚a den imaginære aksen, og en figur vil raskt avgøre om θ = π/2 eller<br />
θ = −π/2.<br />
Ellers er det naturlig ˚a ta arcustangens, men dette fører ikke direkte til m˚alet hvis θ ikke er i verdimengden<br />
til arctan som er intervallet (−π/2 ,π/2).<br />
I dette tilfellet f˚ar vi arctan(−1) = −π/4, men dette er stikk motsatt retning av det vi vil. Dette skyldes<br />
at θ ikke er i verdimengden til arctan. Medisinen er da ˚a snuretningenved˚a addere π, slik at vi f˚ar<br />
θ = −π/4+π =3π/4. Dette m˚a gjøres hver gang Re(z) < 0.<br />
Konklusjonen er at<br />
<br />
z = −2+2j = polar 2 √ <br />
2, 3π/4<br />
Et eksempel til, numeriske verdier. La n˚a z =19.23 − 7.11j. En røff figur vil vise at θ er mellom<br />
−π/2 og0,alts˚a innenfor definisjonsomr˚adet til arctan. Dermed skal vi ikke korrigere med π som i forrige<br />
eksempel. (Kunne ogs˚a sagt at vi ikke skal korrigere med π da Re(z) =19.23 > 0.)<br />
Vi bruker kalkultor eller Maple til utregningene,og finner:<br />
|z| = |19.23 − 7.11j| = 19.23 2 +(−7.11) 2 = 19.23 2 +7.11 2 =20.50<br />
8
Videre er<br />
<br />
−7.11<br />
θ =arctan = −0.3541<br />
19.23<br />
Kalkulatoren m˚a være innstilt i radianer (hvis ikke m˚a det korrigeres ved ˚a multiplisere med omregningsfaktoren<br />
π/180).<br />
Dermed er<br />
z =19.23 − 7.11j = polar (20.50, −0.3541)<br />
2.3 Trigo<strong>no</strong>metrisk form<br />
Siden et komplekst <strong>tall</strong> z p˚a <strong>no</strong>rmalform er Re(z)+Im(z)j, ogRe(z) =|z| cos(θ) ogIm(z) =|z| sin(θ) ,kan<br />
det ogs˚a skrives<br />
z = |z| cos(θ)+|z| sin(θ)j = r (cos(θ)+j sin(θ))<br />
der r = |z| er absoluttverdien og θ er argumentet. Hvis vi skriver <strong>tall</strong>et p˚a denne formen kalles det trigo<strong>no</strong>metrisk<br />
form. P˚a denne formen inng˚ar r og θ, det regnes ikke sammen (da kommer vi tilbake til <strong>no</strong>rmalform).<br />
Tallene fra eksemplene i forrige avsnitt blir p˚a trigo<strong>no</strong>metrisk form:<br />
−2+2j = 2 √ <br />
3<br />
2 cos<br />
4 π<br />
<br />
3<br />
+ j sin<br />
4 π<br />
<br />
19.23 − 7.11j = 20.50 (cos (0.3541) + j sin (0.3541)) .<br />
Det er de samme <strong>tall</strong>ene som i polarformen vi uttrykker z med, s˚a det er egentlig bare et litt annet oppsett<br />
p˚a polarformen.<br />
Vi skal n˚a regne ut produktet av to komplekse <strong>tall</strong> p˚a trigo<strong>no</strong>metrisk form. La z1 = r1 (cos(θ1)+j sin(θ1))<br />
og z2 = r2 (cos(θ2)+j sin(θ2)).<br />
Vi ommøblerer først litt p˚a rekkefølgen av faktorene (ved ˚a sette absoluttverdiene foran alt, og dessuten<br />
j–ene etter sinusene):<br />
z1 z2 = r1r2 (cos(θ1)+j sin(θ1)) (cos(θ2)+j sin(θ2)) = r1r2 (cos(θ1)+sin(θ1) j)(cos(θ2)+ sin(θ2)j)<br />
Parentesene kan n˚a multipliseres med multiplikasjonregelen for komplekse <strong>tall</strong> p˚a <strong>no</strong>rmalform (med a =<br />
cos(θ1), b =sin(θ1), c =cos(θ2) ogd =sin(θ1)), og vi f˚ar:<br />
z1 z2 = r1r2 ((cos(θ1)cos(θ2) − sin(θ1)sin(θ2)) + (cos(θ1)sin(θ2)+sin(θ1)cos(θ2)) j)<br />
Dette ser kanskje komplisert ut ved første blikk, men ved ˚a bruke summeformlene for cosinus og sinus,<br />
cos(u + v) =cos(u)cos(v) − sin(u)sin(v) ogsin(u + v) =sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v) ”baklengs”, med u = θ1<br />
og v = θ2, forenkles dette til:<br />
z1 z2 = r1r2 (cos(θ1 + θ2)+j sin(θ1 + θ2)) (9)<br />
Legg merke til at dette er et uttrykk p˚a trigo<strong>no</strong>metrisk form, med r = r1r2, ogargumentθ1+θ2. Detvilsi:Vi<br />
multipliserer absoluttverdiene, og f˚ar absoluttverdien i produktet. Viadderer argumentene og f˚ar argumentet<br />
i produktet.<br />
Ved ˚a skrive dette tilbake p˚a polarform f˚ar vi<br />
Vi f˚ar en tilsvarende divisjonsregel:<br />
polar (r1,θ1) · polar (r2,θ2) =polar(r1 · r2 ,θ1 + θ2) (10)<br />
r1 (cos(θ1)+j sin(θ1))<br />
r2 (cos(θ2)+j sin(θ2))<br />
polar (r1,θ1)<br />
polar (r2,θ2)<br />
r1<br />
= (cos(θ1 − θ2)+j sin(θ1 − θ2))<br />
r2<br />
<br />
r1<br />
= polar ,θ1− θ2<br />
9<br />
r2<br />
(11)
Dette vises enklest fra produktregelen, som en likning, med x som absoluttverdi og y som argument i kvotienten:<br />
z1<br />
z2<br />
polar (r1,θ1)<br />
= polar (x, y) ⇐⇒ polar (x, y) polar (r2,θ2) =polar(r1,θ1) ⇐⇒<br />
polar (r2,θ2)<br />
polar (x · r2 ,y+ θ2) =polar(r1,θ1) som gir likningene x · r2 = r1 og y + θ2 = θ1 .<br />
Eksempel La z1 = polar (4,π/3) og z2 = polar (2,π/6). Da er<br />
<br />
z1z2 = polar 4 · 2, π π<br />
<br />
+ = polar 8,<br />
3 6<br />
π<br />
<br />
π<br />
<br />
π<br />
<br />
=8 cos + j sin =8(0+j · 1) = 8j<br />
2<br />
2 2<br />
og<br />
<br />
4 π π<br />
<br />
= polar , − = polar 2,<br />
2 3 6<br />
π<br />
√ <br />
<br />
π<br />
<br />
π<br />
<br />
3 1<br />
=2 cos + j sin =2 + j · =<br />
6<br />
6 6 2 2<br />
√ 3+j.<br />
Vi kan sammenlikne med multiplikasjon p˚a <strong>no</strong>rmalform:<br />
Dette gir<br />
<br />
z1 =4 cos<br />
<br />
π<br />
<br />
+ j sin<br />
3<br />
<br />
z2 =2 cos<br />
<br />
π<br />
<br />
=4<br />
3<br />
<br />
π<br />
<br />
+ j sin<br />
6<br />
<br />
1<br />
+ j<br />
2<br />
√ <br />
3<br />
=2+2<br />
2<br />
√ 3 j og<br />
√ <br />
<br />
π<br />
<br />
3 1<br />
=2 + j =<br />
6 2 2<br />
√ 3+j<br />
z1z2 =(2· √ 3 − 2 √ 3 · 1) + (2 · 1+2 √ 3 √ 3)j =0+(2+2· 3)j =8j<br />
Forsøk selv ˚a sjekke divisjonen p˚a <strong>no</strong>rmalform.<br />
2.4 De Moivres formel<br />
Hvis |z| =1erz =cos(θ)+j sin(θ). Vi f˚ar da<br />
z 2 = z · z =(cos(θ)+j sin(θ)) (cos(θ)+j sin(θ)) cos(θ + θ)+j sin(θ + θ) =cos(2θ)+j sin(2θ)<br />
Denne typen multiplikasjon kan gjentas, og vi f˚ar for generelt hel<strong>tall</strong> n ∈ Z:<br />
De Moivres formel<br />
(cos(θ)+j sin(θ)) n =cos(nθ)+j sin(nθ)<br />
Formelen kan formelt vises ved et induksjonsbevis, og gjelder ogs˚a forn = 0 og negative hel<strong>tall</strong>.<br />
Hvis vi ikke begrenser oss til |z| =1f˚ar vi varianten<br />
som p˚a polarform kan skrives<br />
(12)<br />
z n =(|z| (cos(θ)+j sin(θ))) n = |z| n cos(nθ)+j sin(nθ) (13)<br />
polar (r, θ) n = polar (r n ,nθ)<br />
Eksempel La z =1+j, ogviskalregneutz 20 .<br />
Vi har |z| = √ 1 2 +1 2 = √ 2=2 1/2 , og vi ser av en enkel figur at θ = π/4:<br />
✻<br />
✲<br />
✒1+j<br />
θ = π/4<br />
10
Dermed er z n p˚a polarform<br />
<br />
polar 2 1/2 <br />
20 <br />
,π/4 = polar 2 1/2 <br />
20<br />
, 20π/4 = polar 2 10 , 5π <br />
Vi har at 2 10 = 1024. Siden cosinus og sinus har periode 2π kan vi addere eller subtrahere et helt an<strong>tall</strong><br />
ganger 2π og f˚a en vektor i samme retning, dvs. f˚a det samme <strong>tall</strong>et. Vi har da at 5π tilsvarer 5π − 2 ·2π = π.<br />
P˚a trigo<strong>no</strong>metrisk form, og etter litt regning p˚a <strong>no</strong>rmalform, f˚ar vi da<br />
(1 + j) 20 = 1024 (cos(π)+j sin(π)) = 1024(−1+0j) =−1024 + 0j = −1024 .<br />
Eksempel Vi skal n˚a finne alle komplekse <strong>tall</strong> z slik at z 3 − 8 = 0, som kan omformes til z 3 = −8. Det<br />
vil si finne alle komplekse 3. røtter til −8. Vi ser lett at −2 er en rot, men hvilke andre finnes?<br />
Vi løser dette ved ˚a laz være ukjent, og uttrykke z p˚a polarform med ukjent r og θ.<br />
Vi har |−8| = 8, og siden vektoren ligger langs den negative reelle aksen har −8 argumentθ = π. Vikan<br />
imidlertid bruke θ =3π eller θ =5π, og generelt θ = π + k · 2π der k er et hel<strong>tall</strong>. Dette har betydning i<br />
denne problemstillingen.<br />
Vi regner ut den ukjente z 3 (p˚a polar- eller trigo<strong>no</strong>metrisk form), og sammenlikner med −8p˚a den tilsvarende<br />
formen:<br />
z 3 = polar (r, θ) 3 = polar r 3 , 3θ = polar (8,π+2kπ)<br />
Ved ˚a sammenlikne absoluttverdiene ser vi at r 3 =8,ogsidenr er et positivt reelt <strong>tall</strong> m˚a vihar =2.<br />
Deretter sammenlikner vi argumentene, og har at 3θ = π +2kπ ⇐⇒ θ = π 2π<br />
3 + k 3 .<br />
For k =0f˚ar vi da θ = π<br />
π 2π<br />
3 ,fork =1f˚ar vi θ = 3 + 3<br />
π<br />
= π og for k =2f˚ar vi θ = 3 +22π<br />
3<br />
= 5π<br />
3 .<br />
Hvis vi fortsetter med k =3f˚ar vi θ = π<br />
3 +32π<br />
π<br />
3 = 3 +2π. Siden dette er argumentet vi fikk for k =0med<br />
en ekstra runde, gir dette det samme <strong>tall</strong>et opp igjen. Tilsvarende f˚ar vi bare de 3 komplekse <strong>tall</strong>ene vi fik<br />
ved ˚a velgek =0,k =1ogk = 2 opp igjen for andre k–verdier, s˚a vi blir st˚aende igjen ped 3 røtter. Setter<br />
det opp p˚a trigo<strong>no</strong>metrisk for og regner det om til <strong>no</strong>rmalform:<br />
k =0:<br />
<br />
π<br />
<br />
π<br />
<br />
2 cos + j sin<br />
3 3<br />
=<br />
√ <br />
3 1<br />
2 + j<br />
2 2<br />
= √ 3+j<br />
k =1: 2(cos(π)+j sin (π)) = 2 (−1+j 0) = −2<br />
k =2:<br />
<br />
5π<br />
5π<br />
2 cos + j sin<br />
3<br />
3<br />
=<br />
√ <br />
3 −1<br />
2 + j<br />
2 2<br />
= √ 3 − j<br />
Kommentarer til eksemplet: Vi s˚a at en av røttene var den reelle roten −2, som vi kjente fra før. De<br />
to komplekse røttene er komplekskonjugerte. Det gjelder generelt at komplekse røtter for et poly<strong>no</strong>m med reelle<br />
koeffisienter kommer i komplekskonjugerte par.<br />
Siden absoluttverdien til alle røttene er 2, ligger de p˚a en sirkel med radius 2 og sentrum i 0 (origo) i det komplekse<br />
<strong>tall</strong>plan. Dessuten kommer argumentene med samme parvis innbyrdes avstand 2π/3. Det vil si at de ligger jevnt<br />
fordelt langs sirkelen og danner hjørnene i en likesidet trekant.<br />
11
Generelt vil røttene i likningen z n = a, dera ∈ C, p˚a tilsvarende m˚ate danne hjørnene i en regulær n–kant. Hvis<br />
spesielt a =1hvilz = 1 være en av røttene, s˚a punktene ligger p˚a enhetssirkelen og det ene hjørnet kommer p˚a den<br />
positvie reelle aksen. Likningen z n = 1 kalles sirkeldelingslikningen.<br />
2.5 <strong>Komplekse</strong> <strong>tall</strong> p˚a eksponentialform<br />
Eksponentialfunksjonen kan defineres for komplekse <strong>tall</strong> p˚a enentydigm˚ate, for eksempel via rekketeorien<br />
(Matematikk 20). Vi skal ikke gjen<strong>no</strong>mføre dette her, men sette opp en viktig konsekvens av denne<br />
definisjonen:<br />
Eulers formel<br />
cos(θ)+j sin(θ) =e jθ<br />
Den komplekse eksponentialfunksjonen har mange av de egenskapene vi kjenner for den reelle eksponentialfunksjonen,<br />
for eksempel<br />
e x e y = e x+y .<br />
Hvis x = jθ1 og y = jθ2 betyr dette<br />
e jθ1 e jθ2 = e jθ1+jθ2 = e j(θ1+θ2)<br />
Legg merke til at dette ikke er <strong>no</strong>e annet enn en produktregelen for komplekse <strong>tall</strong> (med absoluttverdi 1) p˚a<br />
polarform, satt opp p˚a en litt annen m˚ate enn tidligere. Dette i seg selv er nesten <strong>no</strong>k til ˚a begrunne hvorfor<br />
dette er den eneste fornuftige m˚aten ˚a definere e iθ .<br />
Ved hjelp av Eulers formel kan vi skrive<br />
|z| (cos(θ)+j sin(θ)) = |z|e jθ<br />
Ethver komplekst <strong>tall</strong> z kan alts˚a skrivessomz = re jθ (med r = |z|). Dette kalles eksponentialform. Siden<br />
parametrene er absoluttverdien r = |z| og argumentet θ er dette i grunnen bare en annen m˚ate ˚a skriveopp<br />
et komplekst <strong>tall</strong> gitt p˚a trigo<strong>no</strong>metrisk- eller polarform.<br />
For eksempel er −2+2j = polar 2 √ 2, 3π/4 , fra et tidligere eksempel. P˚a eksponentialform skrives dette<br />
−2+2j =2 √ 2e j 3π/4 .<br />
Ved igjen ˚abrukeate x e y = e x+y gjelder f˚ar vi ogs˚a framhvae z m˚a være for et vilk˚arlig komplekt <strong>tall</strong><br />
z = a + bj:<br />
e a+bj = e a e bj = e a (cos(b)+j sin(b))<br />
For eksempel er<br />
e 2−5j = e 2 (cos(5) + j sin(5)) = 7.389(0.2837 + j · 0.9589) = 2.096 + 7.086j .<br />
Eksempel: I anvendelser i elektronikk og signalbehandling vil man ofte støte p˚a eksponentialformen i en sammenheng<br />
der vi setter θ = ωt og |z| = R. Da tolkes kanskje R og ω som konstanter, og t som en reell variabel (tiden).<br />
P˚adenm˚aten blir dette en funksjon fra de reelle <strong>tall</strong> inn i de komplekse <strong>tall</strong>:<br />
f(t) =Re jωt<br />
Siden |z| = R = konstant, f˚ar alle punkter samme absoluttverdi og ligger derfor p˚a en sirkel med sentrum 0 og radius<br />
R i det komplekse <strong>tall</strong>plan. ”Bildet” av dette blir da en ”partikkel” som beveger seg rundt sirkelen med vinkelhastighet<br />
ω.<br />
Ved ˚aidentifisereenvektorrmed et punkt i planet, og videre med et komplekst <strong>tall</strong>, er dette egentlig det samme<br />
som den vektorvaluerte funksjonen<br />
r(t) =[Rcos(ωt) ,Rsin(ωt)]<br />
som ble gjen<strong>no</strong>mg˚att som et eksempel i forbindelse med vektorvaluerte funksjoner. En fordel med ˚a tenkep˚adetsom<br />
komplekse <strong>tall</strong> er at regneregler for eksponentialfunksjonen (for eksempel potensregneregler, derivasjon og integrasjon)<br />
som vi kjenner fra den reelle eksponentialfunksajonen stort sett fortsatt gjelder.<br />
Vi kan ogs˚a tenkep˚aRe jωt som en funksjon av ω. Dette skifte av ”st˚asted” (mellom ”tidsrommet” og ”frekvensrommet”)<br />
er et viktig aspekt ved bruken av denne funksjonen i anvendelser.<br />
12<br />
(14)
3 <strong>Komplekse</strong> <strong>tall</strong> og Maple<br />
I Maple brukes stor I som navn p˚a den imaginære enhet. Dette fordi bokstavene i og j ofte brukes i andre<br />
sammenhenger.<br />
Regning med komplekse <strong>tall</strong> p˚a <strong>no</strong>rmalform er da rett fram:<br />
> (2+3*I)*(1-5*I) ;<br />
17 − 7I<br />
> (2+3*I)/(1-5*I) ;<br />
− 1 1<br />
−<br />
2 2 I<br />
<strong>Komplekse</strong> løsninger p˚a likninger gies p˚a <strong>no</strong>rmalform:<br />
> solve(x^2+2*x+5=0,x) ;<br />
−1+2I,−1 − 2 ∗ I<br />
> solve({x+I*y=3.0 , I*x+5*y=1.0-I},{x,y}) ;<br />
{x =2.333333333 − 0.1666666667I, y =0.1666666667 − 0.6666666667I}<br />
Kommandoen for polarform er polar. Hvis vi setter inn et <strong>tall</strong> p˚a <strong>no</strong>rmalform gjøres det om til polarform:<br />
> polar(1+I) , polar(-2+I) , polar(-2.+I);<br />
√ π<br />
<br />
√5 1<br />
polar 2 , , polar , − arctan + π , polar (2.236067978, 2.677945045)<br />
4<br />
2<br />
Hvis kommandoen polar gies med to reelle argumenter, oppfattes disse som absoluttverdi (modul) og argument.<br />
For ˚a tvinge fram en omregning til <strong>no</strong>rmalform kan vi bruke kommandoene evalc (EVALuate to Complex<br />
number, jfr. evalf).<br />
> polar(2,Pi/3) , evalc(polar(2,Pi/3));<br />
<br />
polar 2 , π<br />
<br />
, 1+<br />
3<br />
√ 3I<br />
Hvis vi tar eksponentialfunksjonen til et komplekst <strong>tall</strong> med desimalverdier regnes den om til <strong>no</strong>rmalform<br />
av seg selv. Hvis vi derimot har gitt den med eksakte verdier eller symboler m˚a vibrukeevalc for ˚a f˚aden<br />
p˚a <strong>no</strong>rmalform:<br />
> exp(2.0+5.0*I) , exp(x+I*y), evalc(exp(x+I*y));<br />
2.095995802 − 7.085545260I, e x+Iy , e x cos(y)+Ie x sin(y)<br />
Vi kan f˚a realdelen av et komplekst <strong>tall</strong> ved kommandoen Re, og imaginærdelen med Im:<br />
> Re(3+4*I), Im(3+4*I), Re(polar(11,Pi/7)), Im(polar(11,Pi/7));<br />
<br />
π<br />
<br />
π<br />
<br />
3 , 4 , 11 cos , 11 sin<br />
7<br />
7<br />
Absoluttverdien (modulen) f˚ar vi ved kommandoen abs, argumentet med kommadoen argument:<br />
> abs(3+4*I), argument(3+4*I), abs(polar(11,Pi/7)), argument(polar(11,Pi/7));<br />
<br />
4<br />
5 , arctan 11 ,<br />
3<br />
1<br />
7 π<br />
13
4 Oppgaver<br />
4.1 Normalform<br />
Oppgave 1.1<br />
Regn sammen til <strong>no</strong>rmalform<br />
a) (2+3j)+(−1+j) − (2 − j) b) (2+3j)(3 + 2j)<br />
c) (3+4j)(3 − 4j) d) j(1 + j)<br />
e) j 4 f)<br />
g)<br />
3 − j<br />
3+j<br />
Oppgave 1.2<br />
a) Finn z (p˚a <strong>no</strong>rmalform) fra likningen<br />
b) Finn z (p˚a <strong>no</strong>rmalform) fra likningen<br />
h)<br />
1<br />
3+4j<br />
1+j<br />
j<br />
(3 − j) z = −1+2j<br />
2+5j<br />
z =4+j<br />
−1 − 2j<br />
c) Finn z1 og z2 (p˚a <strong>no</strong>rmalform) fra likningssystemet<br />
z1 + jz2 = 1<br />
z1 +3z2 = 2j<br />
d ) Finn de komplekse <strong>tall</strong>ene x og y, skrevet p˚a <strong>no</strong>rmalform, som oppfyller følgende likningsystem<br />
x − jy = 0<br />
jx + 3y = 2− 4j<br />
Oppgave 2c var eksamensoppgave 5a i MM1, april 2003 (dvs. utsatt prøve)<br />
Oppgave 1.3<br />
Regn sammen til et poly<strong>no</strong>m (med variabel x):<br />
4.2 Polarform<br />
Oppgave 2.1<br />
Gjør om til <strong>no</strong>rmalform:<br />
(x − (−1+2j)) (x − (−1 − 2j))<br />
a) 2(cos(π/4) + j sin(π/4)) b) polar<br />
c) cos(3π/2) + j sin(3π/2) d) 4e jπ/6<br />
14<br />
√ <br />
2 , 3π/4<br />
.
Oppgave 2.2<br />
Finn absoluttverdi (modul, |z|) ogargument(θ) for:<br />
a) 1+j b) 1 − j c) −1+j d) −1 − j<br />
e) 1+ √ 3 j f) −1+ √ 3 j g) 4j h) −15<br />
Oppgave 2.3<br />
Utfør følgende utregninger eksakt, og uten kalkulator:<br />
La z1 =2(cos(π/4) + j sin(π/4)) og z2 =4e jπ/6 .<br />
a) Regn ut z1 · z2, oggisvaretp˚a trigo<strong>no</strong>metrisk og eksponentilaform.<br />
b) Finn z1 · z2 p˚a <strong>no</strong>rmalform (du vet fra 2.1a og 2.1d hva z1 og z2 er p˚a <strong>no</strong>rmalform).<br />
c) Bruk svaret til˚a finne eksakt verdi av sin(5π/12)<br />
Oppgave 2.4<br />
Utfør følgende utregninger eksakt, og uten kalkulator:<br />
La z = −1+ √ 3j.<br />
a ) Gjør om z til polarform.<br />
b) Regn ut z 10 med de Moivres formel.<br />
Svaret skal gies p˚a polar- og trigo<strong>no</strong>metrisk form.<br />
c) Regn ut z 10 p˚a <strong>no</strong>rmalform.<br />
15
5 Fasit<br />
Oppgave 1.1<br />
a) (2+3j)+(−1+j) − (2 − j) =(2+(−1) − 2) + (3 + 1 − (−1))j = −1+5j<br />
b) (2+3j)(3 + 2j) =(2· 3 − 3 · 2) + (2 · 2+3· 3)j =13j<br />
c) (3+4j)(3 − 4j) =(3· 3 − 3 · (−4)) + (3 · (−4) + 4 · 3)j =(3 2 +4 2 )+0j =25<br />
d ) Enklere enn ”formel”: j · 1+j · j = j − 1=−1+j<br />
e) j4 = j22 2 =(−1) =1<br />
f)<br />
1 3 − 4j<br />
·<br />
3+4j 3 − 4j<br />
g)<br />
3 − j 3+j<br />
·<br />
3 − j 3+j<br />
h) 1+j<br />
·<br />
j<br />
−j<br />
−j<br />
Oppgave 1.2<br />
3 − 4j<br />
=<br />
32 3 4<br />
= −<br />
+42 25 25 j<br />
= (3 · 3 − (−1) · (−1)) + (3 · (−1) + (−1) · 3)j<br />
3 2 +1 2<br />
−j − j2<br />
=<br />
02 −j − (−1)<br />
= =1− j<br />
+12 1<br />
a ) Dividerer begge sider med 3 − j og f˚ar<br />
b)<br />
z =<br />
z = −1+2j<br />
3 − j<br />
−1 − 2j<br />
2+5j<br />
= (−1+2j)(3 + j)<br />
(3 − j)(3 + j)<br />
(4 + j) = (−1 − 2j)(2 − 5j)<br />
(2 + 5j)(2 − 5j)<br />
= 8 − 6j<br />
10<br />
= (−1 · 3 − 2 · 1) + (−1 · 1+2· 3)j<br />
3 2 +1 2<br />
4 3<br />
= −<br />
5 5 j<br />
= −5+5j<br />
10<br />
= − 1 1<br />
+<br />
2 2 j<br />
−12 + j<br />
(4 + j) =<br />
22 1<br />
−49 8<br />
(4 + j) = (−49 − 8j) = −<br />
+52 29 29 29 j<br />
c) Løser ut z1 fra første likning til z1 =1− jz2. Setter dette inn i andre likning:<br />
(1 − jz2)+3z2 =2j ⇐⇒ (3 − j)z2 = −1+2j<br />
Dette er samme likning som a–oppgaven, med løsning<br />
z2 = − 1 1<br />
+ j .<br />
2 2<br />
Setter s˚a inn dette for ˚a finne z1:<br />
z1 =1− jz2 =1− j<br />
<br />
− 1 1<br />
+<br />
2 2 j<br />
<br />
=1+ 1 1<br />
j −<br />
2 2 j2 = 3 1<br />
+<br />
2 2 j<br />
d ) Fra den første likningen har vi x = jy, som kan settes inn i den andre:<br />
Finner deretter x som<br />
Oppgave 1.3<br />
j · jy+3y =2− 4j ⇐⇒ −y +3y =2− 4j ⇐⇒ y =<br />
x = jy = j(1 − 2j) =j − 2j 2 =2+j<br />
2 − 4j<br />
2<br />
=1− 2j<br />
Multipliserer sammen ledd for ledd, og behandler de komplekse <strong>tall</strong>ene i første omgang som enkelt ledd:<br />
(x − (−1+2j)) (x − (−1 − 2j)) = x 2 − x(−1 − 2j) − (−1+2j)x +(−1+2j)(−1 − 2j) =<br />
x 2 − [(−1 − 2j)+(−1− 2j)] x +(−1+2j)(−1 − 2j)<br />
Regner sammen (−1 − 2j)+(−1− 2j) =−2+0j = −2 og(−1+2j)(−1 − 2j) =12 +22 = 5, og setter inn<br />
dette til<br />
x 2 − (−2)x +5=x 2 +2x +5<br />
Det som er gjort her er det motsatte av ˚a løse likningen x 2 +2x + 5 = 0, med røtter −1 ± 2j.<br />
Disse røttene gir opphav til faktoriseringen x 2 +2x +5=(x − (−1+2j)) (x − (−1 − 2j)).<br />
16
Oppgave 2.1<br />
a) 2( √ 2/2+j · √ 2/2) = √ 2+ √ 2j<br />
b) √ 2(cos(3π/4) + j sin(3π/4)) = √ 2<br />
c) 0+j(−1) = −j<br />
d) 4(cos(π/6) + j sin(π/6)) = 4<br />
Oppgave 2.2<br />
<br />
− √ 2/2+j · √ <br />
2/2 = −1+j<br />
√ <br />
3/2+j · 1/2 =2 √ 3+2j<br />
For ˚a finne absoluttverdi og argument (med eksakte verdier) anbefales ˚a tegne inn <strong>tall</strong>ene i det komplekse<br />
<strong>tall</strong>plan.<br />
a, b, c, d Gjør dette for oppgavene a), b), c) og d) i samme tegning:<br />
Alle fire har modul |z| = √ 1 2 +1 2 = √ 2<br />
✻<br />
✲<br />
<br />
ℑ<br />
−1+j <br />
j <br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
−1 ❅<br />
1<br />
❅❅<br />
<br />
1+j<br />
ℜ<br />
−1 − j<br />
<br />
<br />
<br />
−j<br />
❅<br />
❅❅<br />
1 − j<br />
Vi ser at vinkelen linja ut til 1 + j danner med den positive reelle aksen er 45◦ .Detvilsiatθ =<br />
arg(1 + j) =π/4.<br />
Fordeandreervinkleneπ/4 pluss et helt an<strong>tall</strong> rette vinkler, og vi har derfor<br />
arg(−1+j) =π/4+π/2 =3π/4, arg(−1 − j)=π/4+π =5π/4 og arg(1 − j) =π/4+3π/2 =7π/4<br />
e, f B˚ade 1 + √ 3 j og −1+ √ 3 j har modul |z| =<br />
<br />
1 2 + √ 3 2<br />
Lager figur f˚ar ˚a se argumentene:<br />
√<br />
−1+ 3j <br />
ℑ<br />
√<br />
✻3j<br />
<br />
√<br />
1+ 3j<br />
−1<br />
j<br />
|z| =2<br />
Vi gjenkjenner (forh˚apentligvis) en 30 ◦ –60 ◦ –90 ◦ trekant, da hypotenusen er dobbelt s˚a langsomden<br />
korteste kateten. Derfor har vi en 60 ◦ vinkel for 1 + √ 3 j. For−1+ √ 3 j mangler det 60 ◦ p˚a˚avære<br />
180 ◦ ,s˚a dette er en 120 ◦ vinkel. Omregnet til radianer gir dette<br />
=2<br />
arg(1 + √ 3 j) =π/3, arg(−1+ √ 3 j) =2π/3<br />
17<br />
1<br />
✲<br />
ℜ
g ) Tallet 4j finnes 4 enheter oppover p˚a den imaginære aksen (tegn figur selv).<br />
Derfor er |4j| =4og θ =arg(4j) =π/2<br />
h ) Tallet −15 finnes 15 enheter til venstre p˚a den reelle aksen (tegn figur selv).<br />
Modulen er |−15| =15(Obs: Ikke −15 !).<br />
Vinkelen til den positive reelle aksen er 180 ◦ (Obs: Ikke 0 ◦ !), s˚a θ =arg(−15) = π<br />
Oppgave 2.3<br />
a) P˚a eksponentialform er z1 =2e jπ/4 , og multiplikasjonen er<br />
2e jπ/4 4e π/6 =2· 4e j(π/4+π/6) =8e j5π/12 =8<br />
b) z1 =2( √ 2/2+j √ 2/2) = √ 2+ √ 2j<br />
z2 =4(cos(π/6) + j sin(π/6)) = 4( √ 3/2+j · 1/2) = 2 √ 3+2j<br />
Dette gir p˚a <strong>no</strong>rmalform multiplikasjonen<br />
<br />
5<br />
cos<br />
12 π<br />
<br />
5<br />
+ j sin<br />
12 π<br />
<br />
( √ 2+ √ 2j)(2 √ 3+2j) =( √ 2 · 2 √ 3 − √ 2 · 2) + ( √ 2 · 2+ √ 2 · √ 3)j =(2 √ 6 − 2 √ 2) + (2 √ 6+2 √ 2)j<br />
c) Ved˚a sammenlikne imaginærdelene p˚a detouttrykkeneforz1 · z2 finner vi<br />
<br />
5<br />
8sin<br />
12 π<br />
<br />
=2 √ 6+2 √ <br />
5<br />
2 ⇐⇒ sin<br />
12 π<br />
<br />
= 2√6+2 √ √ √<br />
2 6+ 2<br />
=<br />
8<br />
4<br />
Oppgave 2.4<br />
a ) Vi fant i oppgave 2.2f at z = 2(cos(2π/3) + j sin(2π/3)). P˚a polarform er dette<br />
<br />
polar 2 , 2<br />
3 π<br />
<br />
b)<br />
z 10 <br />
= polar 2 , 2<br />
3 π<br />
10 = polar 2 10 , 20π/3 <br />
Det er hensiktsmessig ˚a bruke et mindre argument ved ˚a trekke fra et passende an<strong>tall</strong> ganger 2π, og<br />
siden 3 · 2π =6π =18π/3 tilsvarer 20π/3 argumentet20π/3 − 18π/3 =2π/3:<br />
<br />
2<br />
z = polar (1024, 2π/3) = 1024 cos<br />
3 π<br />
<br />
2<br />
+ j sin<br />
3 π<br />
<br />
c ) Regner om z10 til <strong>no</strong>rmalform:<br />
z 10 <br />
= 1024 − 1<br />
√ <br />
3<br />
+ j = −512 + 512<br />
2 2<br />
√ 3j<br />
18<br />
18. oktober 2004, Hans Petter Hornæs