Noter til Mangepartikelfysik I

Noter til Mangepartikelfysik I
Pia Jensen, http://fys.bozack.dk,
22. januar 2012,
Version 1.0.
– Eksamensnoter til Condensed Matter Theory I

2 Indholdsfortegnelse
Indledning
Denne meget simple formelsamling er lavet som en kort oversigt over hvor ting står i den brugte
bog, Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics af Henrik Bruus og Karsten
Flensberg, brugt i kurset Condensed Matter Theory I på Københavns Universitet.
Sektionerne svarer til kapitlerne i bogen, og formelnumrene er de numre som ligningerne faktisk
har i bogen. Derfor burde det være nemt at slå op og læse lidt videre. Jeg har kun lavet denne
meget simple oversigt pga. tidsmangel, og pga. eksamensformen – en 24 timers tag-hjem-eksamen.
Indholdsfortegnelse
1 Første og anden kvantisering 3
2 Elektrongassen 4
5 Tidsafhængighed i en kvanteteori 4
6 Lineær responsteori 5
8 Greensfunktioner 5
9 Equation-of-motion teori 6
11 Imaginær tid Greensfunktioner 6
12 Feynmandiagrammer og eksterne potentialer 7
13 Feynmandiagrammer og par-vekselvirkninger 8
14 Den vekselvirkende elektrongas 9
17 Greensfunktioner og fononer 10

1 Første og anden kvantisering 3
1 Første og anden kvantisering
Heaviside’s step funktion
Kommutator og anti-kommutator
Kommutator-regler for bosoner
θ(x) =
0, for x < 0
1, for x > 0
(1.13)
[A, B] ≡ AB − BA (1.40)
{A, B} ≡ AB + BA (1.51)
[b † νj , b† νi ] = 0 [bνj , bνi ] = 0 [bνj , b† νi ] = δνjνi (1.41)
b † νbν = ˆnν b † νbν |nν〉 = nν |nν〉 nν = 1, 2, 3, . . . (1.46a)
bν |nν〉 = √ nν |nν − 1〉 b † ν |nν〉 = √ nν + 1 |nν + 1〉 (b † ν) nν |0〉 = nν! |nν〉 (1.46b)
Anti-kommutator-regler for fermioner
{c † νj , c† νi } = 0 {cνj , cνi } = 0 {cνj , c† νi } = δνjνi (1.52)
c † νcν = ˆnν c † νcν |nν〉 = nν |nν〉 nν = 0, 1 (1.55)
cν |0〉 = 0 c † ν |0〉 = |1〉 cν |1〉 = |0〉 c † ν |1〉 = 0 (1.56)
Generel form af en- og to-partikeloperatorer (kinetisk led og vekselvirkningsled)
Densitets-matrixoperator
Partitionsfunktion
Termisk gennemsnit
T =
νiνj
V = 1
2
〈A〉 = 1
Z
Fermi-Dirac distribution (ξk = ǫk − µ)
Bose-Einstein distribution
Tνiνj a† νi aνj
νiνjνkνl
Vνiνjνkνla† νia† νjaνk aνl
(1.62)
(1.61)
ρ ≡ e −βH =
|ν〉 e −βEν 〈ν| (1.116)
ν
Z =
〈ν|ρ|ν〉 = Tr[ρ] (1.117)
ν
nF(ǫk) =
nB(ǫk) =
ν
〈ν|A|ν〉 e −βEν = 1
Tr[ρA] (1.118)
Z
1
eβ(ǫk−µ) 1
=
+ 1 eβξk + 1
1
eβ(ǫk−µ) 1
=
− 1 eβξk − 1
(1.125)
(1.127)

4 5 Tidsafhængighed i en kvanteteori
2 Elektrongassen
Fermi-sphere for N elektroner
Fermi-energi ǫF er energien af den øverste tilstand
For tæthed n = N/V er
|FS〉 ≡ c †
kN/2↑c† k · · · c†
N/2↓ k2↑c† k2↓c† k1↑c† k1↓ |0〉 (2.22)
kF = 1 √
2mǫF
λF = 2π
5 Tidsafhængighed i en kvanteteori
Schrödinger billedet
Heisenberg billedet
kF
vF = kF
m
(2.23)
k 3 F = 3π 2 n (2.1)
tilstande: |ψ(t)〉 = e −iHt |ψ0〉
operatorer: A kan afhænge af tid (5.2)
H afhænger ikke af tid
tilstande: |ψ0〉 ≡ e iHt |ψ(t)〉
operatorer: A(t) ≡ e iHt Ae −iHt
H afhænger ikke af tid
Interaction billedet (for når H = H0 + V (t) med H0 |n0〉 = ǫn0 |n0〉)
tilstande:
ˆ
ψ(t) ≡ e iH0t |ψ(t)〉
operatorer: Â(t) ≡ e iH0t Ae −iH0t
H0 afhænger ikke af tid
Tidsudvikling i interaction billedet | ˆ ψ(t)〉 = Û(t, t0)| ˆ ψ(t0)〉
Û(t, t0) =
∞
n=0
1
n!
Retarderet funktion
n t
1
dt1 · · ·
i t0
t
t0
dtnTt
ˆV (t1) · · · ˆ V (tn) = Tt
C R AB(t, t ′ ) = −iθ(t − t ′ ) [A(t), B(t ′
)]B,F
exp −i
t
t0
dt ′
V ˆ ′
(t )
(5.5)
(5.8)
(5.18)
(5.42)
Hvis H er uafhængig af tiden er C R AB (t, t′ ) = C R AB (t − t′ ), og Fourier transformationen er (med η
lille positivt tal)
C R ∞
AB(ω) = dte iωt e −ηt C R AB(t) (5.46)
−∞

8 Greensfunktioner 5
6 Lineær responsteori
Kubo formelen for en Hamiltonian H(t) = H0 + H ′ (t)θ(t − t0)
∞
δ〈A(t)〉 ≡ 〈A(t)〉 − 〈A〉0 = dt ′ C R AH ′(t, t′ ) (6.7)
C R AH ′(t, t′ ) = −iθ(t − t ′ ) [ Â(t), ˆ H ′ (t ′ )]
Retarderet charge-charge korrelationsfunktion (polarisabilitetsfunktionen)
8 Greensfunktioner
C R ρe(r)ρe(r ′ ) (t, t′ ) ≡ χ R e (rt,r ′ t ′ ) = −iθ(t − t ′ ) [ˆρe(r, t), ˆρe(r ′ , t ′ )]
Klassisk Greensfunktion for Poisson’s ligning
t0
0
0
(6.8)
(6.1)
∇ 2 φ(r) = − 1
ρr(r) (8.1)
ǫ0
∇ 2 G(r) = δ(r) (8.2)
φ(r) = − 1
dr ′ G(r −r ′ )ρe(r) (8.3)
Greensfunktion for tids-afhængig Schrödingerligning [i∂t − H0(r) − V (r)]ΨE = 0
ǫ0
[i∂t − H0(r)]G0(rt,r ′ t ′ ) = δ(r −r ′ )δ(t − t ′ ) (8.14a)
[i∂t − H0(r) − V (r)]G(rt,r ′ t ′ ) = δ(r −r ′ )δ(t − t ′ ) (8.14b)
Retarderet og advanced Greensfunktioner for Schrödingerligningen
Single-particle Greensfunktioner
Greensfunktion i generel basis |ν〉
Spektralfunktion
G R (rt,r ′ t ′ ) = −iθ(t − t ′ )〈r|e −iH(t−t′ ) |r ′ 〉 (8.22)
G A (rt,r ′ t ′ ) = iθ(t ′ − t)〈r|e −iH(t−t′ ) |r ′ 〉 (8.23)
G R (rσt,r ′ σ ′ t ′ ) = −iθ(t − t ′ ) [Ψσ(rt), Ψ †
σ ′(r′ t ′ )]B,F
G A (rσt,r ′ σ ′ t ′ ) = iθ(t ′ − t) [Ψσ(rt), Ψ †
σ ′(r′ t ′ )]B,F
(8.28)
(8.30)
G > (rσt,r ′ σ ′ t ′ ) = −i〈Ψσ(rt)Ψ †
σ ′(r′ t ′ )〉 (8.31a)
G < (rσt,r ′ σ ′ t ′ ) = −i(±1)〈Ψ †
σ ′(r′ t ′ )Ψσ(rt)〉 (8.31b)
G R (rσt,r ′ σ ′ t ′ ) =
νν ′
ψν(σr)G R (νσt, ν ′ σ ′ t ′ )ψ ∗ ν ′(σ′ r ′ ) (8.33)
G R (νσt, ν ′ σ ′ t ′ ) = −iθ(t − t ′ )〈[aνσ(t), a †
ν ′ σ ′(t′ )]B,F 〉 (8.34)
A(ν, ω) = −2Im G R (ν, ω)
(8.1)

6 11 Imaginær tid Greensfunktioner
Opdeling af kompleks brøk
1 1
= P − iπδ(ω)
ω + iη ω
Retardered Greensfunktion for frie elektroner i k-rummet
G R 0 (kσ, ω) =
1
ω − ξk + iη
(8.55)
A0(kσ, ω) = 2πδ(ω − ξk) (8.56)
Spektralfunktionen er som en sandsynlighedsfordeling
∞
dω
A(ν, ω) = 1
2π
(8.59)
To-partikel Greensfunktioner har typisk formen (A er en to-partikeloperator)
Lindhard funktionen
−∞
9 Equation-of-motion teori
CAA(t, t ′ ) = −iθ(t − t ′ ) [A(t), A(t ′ )]
χ R 0 (q, ω) = 1 nF(ξk) − nF(ξk+q)
V ξk − ξk+q + ω + iη
kσ
(8.78)
(8.85)
For ikke-vekselvirkende partikler, hvor der kun er to hæve/sænke-operatorer i H
R
δνν ′′(ω + iη) − tνν ′′ G0 (ν ′′ , ν ′ ; ω) = δνν ′ (9.11)
ν ′′
For enkelt level koblet til kontinuum ved en tunnellering Htunnel =
ν (t∗ νc † νcl + tνc †
l cν) findes
G R (l, l, ω) =
Σ R (ω) =
RPA resultat for polarisabilitetsfunktionen
χ R,RPA (q, ω) =
11 Imaginær tid Greensfunktioner
1
ω − ξ0 − Σ R (ω)
ν
|tν| 2
ω − ξν + iη
χ R (q, ω)
1 − V (q)χ R (q, ω)
Man erstatter tiden med en imaginær tid, t → −iτ, så Heisenberg billedet er
Interaction billedet med imaginær tid
Densitets-operator i imaginær tid
A(τ) = e τH Ae −τH
(9.21)
(9.22)
(9.57)
(11.5)
Â(τ) = e τH0 Ae −τH0 (11.5)
e −βH = e −βH0Û(β, 0) = e−βH0 Tτ exp
β
− dτ1
0
ˆ
V (τ1)
(11.13)

12 Feynmandiagrammer og eksterne potentialer 7
Matsubara Greensfunktion
CAB(τ − τ ′ ) ≡ −〈Tτ[A(τ)B(τ ′ )]〉 (11.20)
Tids-ordningssymbolet for imaginær tid (+ for bosoner, − for fermioner)
Tτ[A(τ)B(τ ′ )] = θ(τ − τ ′ )A(τ)B(τ ′ ) ± θ(τ ′ − τ)B(τ ′ )A(τ) (11.21)
Fourier-transformation af Matsubara Greensfunktion
β
CAB(iωn) = dτe iωnτ CAB(τ)
0
ωn = 2nπ
β
ωn = (2n+1)π
β
for bosoner
for fermioner
(11.28)
Hvis man kender Matsubara funktionen CAB(iωn) kan man finde den normale Greensfunktion
CAB(ω) ved analytisk continuation
Single-partikel Matsubara Greensfunktion
n-partikel Matsubara Greensfunktion
C R AB(ω) = CAB(iωn → ω + iη) (11.33)
C A AB(ω) = CAB(iωn → ω − iη) (11.35)
G(ντ, ν ′ τ ′ ) = −〈Tτ[cν(τ)c †
ν ′(τ ′ )]〉 (11.36b)
G (n)
0 (ν1τ1, . . . , νnτn; ν ′ 1τ ′ 1, . . . , ν ′ nτ ′ n) = (−1) n 〈Tτ[ĉν1 (τ1)
†
· · · ĉνn (τn)ĉ ν ′ n (τ ′ n) · · · ĉ †
ν ′ (τ
1
′ 1)]〉0
Wick’s teorem (B bruger en permanent, F bruger en determinant)
G (n)
0 (1, . . . , n; 1 ′ , . . . , n ′
G0(1,
1
) =
′ ) · · · G0(1, n ′ .
G0(n, 1
. ..
)
.
′ ) · · · G0(n, n ′
)
B,F
12 Feynmandiagrammer og eksterne potentialer
Forsimplet notation
(r1, σ1, τ1) = (1)
d1 =
β
dr1 dτ1
σ1
0
(11.68)
i ≡ (νi, τi) (11.1)
(12.2)
Dyson’s ligning for tidsuafhængig ikke-vekselvirkende fermion Hamiltonian med single-partikel
potentiale
G(b, a) = G 0
(b, a) + d1G(b, 1)V (1)G 0 (1, a) (12.5)
Feynman regler
(12.7)
Dyson’s ligning i frekvens-rummet
G(rb,ra; ikn) = G 0
(rb,ra; ikn) + dr1G 0 (rb,r1; ikn)V (1)G(r1,ra; ikn) (12.12)

8 13 Feynmandiagrammer og par-vekselvirkninger
Greensfunktion transformeret til basis der diagonaliserer H0
Gνν ′ ≡
Feynman regler
drdr ′ 〈ν|r〉 G(r,r ′ ) 〈r ′ |ν ′ 〉 ⇔ G(r,r ′ ) =
13 Feynmandiagrammer og par-vekselvirkninger
νν ′
〈r|ν〉 Gνν ′ 〈ν′ |r ′ 〉 (12.13)
Hamilton med single-partikel del H0 og vekselvirkningsdel W (bemærk ingen spin-flip)
Notation
W = 1
2
H0 =
ν1ν2ν3ν4
Feynman regler for par-vekselvirkninger
ν1ν2
c † ν1σh0,ν1ν2 cν2σ
Vν1ν2,ν3ν4 a† ν1σ1a† ν2σ2aν4σ2aν3σ1 (13.4)
(12.7)
(13.2)
Wj,j ′ ≡ W(rj,rj ′)δ(τj − τj ′) (13.10)
Ireducerbare diagrammer (a) og (b), reducerbare diagrammer (c) og (d)
Self-energy
(13.18)
(13.21)

14 Den vekselvirkende elektrongas 9
Fire-vektor notation
Feynman regler i momentum-rummet
˜k ≡ (k, ikn) ˜r ≡ (r, τ) i ˜ k · ˜r ≡ ik ·r − iknτ (side 234)
(13.27)
Eksempler på udregning af Hartree-, Fock- og par-bobbel diagrammer kan ses på siderne 236-239.
Par-bobbel udtrykket
14 Den vekselvirkende elektrongas
(13.37)
Yukawa potentialet med en kunstig rækkevidde 1/α (istf. det langt-rækkende Coulumb potentiale)
Divergens af self-energy diagrammer
W(r −r ′ ) = e2 0
|r −r ′ | e−α|r−r′ |
W(q) = 4πe2 0
q 2 + α 2
(14.1)
n < n ′ ⇒ |Σ (n)
σ (k, ikn)| ≫ |Σ (n′ )
σ (k, ikn)| for rs → 0 (14.7)
Divergens-nummer (bemærk at det er interaction lines der er de vigtige!)
δ (n)
the largest number of interaction lines in
σ ≡
Σ (n)
σ (k, ikn) having the same momentum q
Self-energy i RPA indeholder for hvert n kun det mest divergente diagram
Par-bobbel med nyt navn
(14.8)
(14.11)
(14.12)

10 17 Greensfunktioner og fononer
Introducerer renormaliseret interaction-linie
Self-energy i RPA med ny notation
Den renormaliserede Coulomb interaction (RPA interaction)
Statisk, long-wave grænse
Thomas-Fermi screening bølgetal
W RPA (q, iqn) −−−→
α→0
W RPA (q, 0) −−−→
q→0
4πe 2 0
q 2 − 4πe 2 0 χ0(q, iqn)
4πe 2 0
q 2 + k 2 s
(side 250)
(14.13)
(14.17)
(14.18)
k 2 s ≡ −4πe 2 0χ0(0, 0) (14.19)
I statisk, long-wave limit med lav temperatur er χ R 0 (q, 0) = −d(ǫF) og
ikn
k 2 s = 4 kF
π a0
Grundtilstandsenergien for en elektrongas
E = E 0 1
1
dλ
+ lim
T →0 2βV
λ Σλσ(k, ikn)G λ σ(k, ikn)e iknη
17 Greensfunktioner og fononer
Relevante fonon-operatorer
kσ
0
Aqλ ≡ (bqλ + b †
−qλ ) A†
qλ ≡ (b† qλ + b−qλ) = A−qλ
Bosonisk Matsubara Greensfunktion for frie fononer
I frekvens-domænet
D 0 λ(q, τ) ≡ −〈TτÂqλ(τ) †
qλ (0)〉0 = −〈TτÂqλ(τ) Â−qλ(τ)〉0
(17.4)
D 0 λ(q, iqn) =
Feynman regler for elektron-fonon vekselvirkning
2Ωqλ
(iqn) 2 − (Ωqλ) 2
(14.24)
(14.41)
(17.1)
(17.7)
(17.17)