Tangenten 3/2002 - Caspar Forlag AS

oval som tilfredstilte et annet krav, nemlig
at produktet av avstandene fra ethvert punkt
P til brennpunktene skal være konstant,
PA·PB=konstant. For noen valg av konstanten
ligner figurene ellipser. Det finnes imidlertid et
annet interessant valg. Hvis avstanden mellom
brennpunktene kalles 2a og konstanten settes
lik a 2 , altså PA·PB=a 2 , ser figuren ut som et
liggende åttetall.
Noen år senere, i 1694, publiserte Jacob Bernoulli
en artikkel om en kurve med form som
tallet 8, eller en knute eller krumningen på en
sløyfe. Han ga figuren navnet lemniscus, det
latinske ordet for en sløyfe. Herfra kommer
navnet lemniskate som vi idag bruker. Likningen
for lemniskaten er i polarkoordinater
r = cos2j . Det skulle imidlertid gå lang tid
før man innså at Bernoullis lemniskate var
identisk med Cassinis åttetallsfigur. Dette ble
først påvist av Girolamo Saladini i 1806. Bernoullis
lemniskate fikk stor oppmerksomhet
da Giulio Carlo Fagnano i 1718 viste at integralet
som uttrykker buelengden av lemniskaten
(
Ú
dt
1-
t
4
) ikke var mulig å uttrykke ved hjelp
av standardfunksjoner. Integral som inneholder
kvadratrøtter av tredje- eller fjerdegradspolynomer
kalles elliptiske integral fordi
ellipsebuen er gitt av et slikt integral. Fagnano
viste dessuten at det var mulig å dele lemniskatebuen
i n like store deler ved hjelp av passer og
linjal forutsatt at n = 2m eller 3·2m eller 5·2m.
Carl Friedrich Gauss viste i 1796 at det var
mulig å konstruere en regulær 17-kant, altså at
det var mulig å dele sirkelbuen i 17 like store
deler ved hjelp av passer og linjal. I 1801 publiserte
han Disquisitiones arithmeticae hvor han
fastslo at det er mulig å dele sirkelen i n like
store deler hvis n = 2m·p1 ·p2 ·…·pk . Her er
p-ene forskjellige Fermat-primtall, det vil si
primtall på formen 22 1
h + . Faktoren 2m gjenspeiler
at vi lett kan halvere enhver vinkel. For
h = 0, 1, 2, 3 og 4 får vi primtallene 3, 5, 17, 257
og 65 537, men for h = 5 får vi ikke noe primtall.
Det er per i dag ikke funnet flere Fermatprimtall
enn de nevnte. Gauss antydet også at
resultatet for sirkelbuer kunne utvides til lemniskatebuer.
Niels Henrik Abel (1802–1829)
I 1799 ble Søren Georg Abel utnevnt til sogneprest
i Finnøy nord for Stavanger. Sommeren
1800 flyttet han og kona Anne Marie Simonsen
dit. I desember 1800 fikk de sitt første barn
som ble døpt Hans Mathias etter sin farfar.
Barn nummer to kom til verden 5. august 1802
og fikk navnet Niels Henrik etter sin morfar.
Allerede to år senere flyttet familien til Gjerstad
ved Risør der Søren Georg Abel overtok
sogneprestembedet etter sin far. Her vokste
Niels Henrik opp til han høsten 1815 ble sendt
til Christiania for å gå på katedralskolen. De
første skoleårene viste han ingen spesiell interesse
for matematikk, men da han fikk ny matematikklærer
i januar 1818 skjedde det en endring.
Under veiledning av sin nye lærer Bernt
Michael Holmboe begynte han snart å lese
matematikk som gikk langt utover det som var
pensum på såvel katedralskolen som universitetet.
Allerede i skoledagene begynte han å
tumle med et gammelt problem: hvordan løse
den generelle femtegradslikningen (se også
omslaget på dete bladet)? Løsningen på problemet
kom han frem til vinteren 1823/24 da han
tangenten 3/2002 3