El. magn. induction, Inductance - IFM

Vi har gått igenom hur magnetfält
alstrar krafter, kap. 27.
Vi har gått igenom hur strömmar
alstrar magnetfält, kap. 28.
Återstår att lära sig hur strömmarna
alstras. Tidigare har vi talat om emf
som alstrad av batterier.
Det finns kraftfullare sätt! Detta
handlar kap. 29 om.

Kapitel 29, Elektromagnetisk induktion
• Se vad som händer med strömmen i en
slinga om det magnetiska flödet genom
slingan ändras.
• Faradays induktionslag.
• Strömmens riktning och Lenz lag.
• ”Slidewire generator”.
• Är fallet ”ledaren rör sig/fältet konstant”
samma som ”ledaren stilla/fältet ändras” ?

Elektromagnetisk induktion
När det magnetiska flödet genom en slinga ändras (oavsett hur det sker) så
alstras en emf som är proportionell mot ändringens hastighet. Om slingan är
av ledande material erhålls även en ström.

• Elektromagneten slås på ger strömpuls i spolen.
• Konstant fält ger inget utslag.
• Pressas spolen samman så att ytan ändras så
ändras strömmen under deformeringen.
• Vrider vi spolen längs en horisontell axel
ändras strömmen under vridningen.
• Drar vi ut spolen ur magnetfältet sker en
tillfällig strömändring.
• Stänger vi av strömmen i elektromagneten får vi en
strömpuls i spolen.
• Ju snabbare ändringarna sker, desto starkare ström.
• Ju lägre resistans tråden har, desto starkare ström.

Faraday´s lag (alt. Induktionslagen)
Magnetiskt flöde, Φ B har vi arbetat
med tidigare
ε är emf:en runt den yta genom vilken det
magnetiska flödet beräknas.

Den inducerade emf:ens riktning
1. Def. en positiv riktning för
vektorarean A med hjälp av
högerhandsregeln.
2. När riktningen av A och B är
bestämda vet man tecknet
på Φ B och dΦ B/dt.
3. Om flödet ökar
3. Om flödet ökar
(dΦ B /dt>0) är den
inducerade emf:en eller
strömmens riktning negativ,
och vice versa.

Enklare sätt att bestämma den inducerade
emf:ens riktning, Lenz lag
Den inducerade
emf:en eller strömmen
försöker alltid
motverka den
flödesändring som
alstrar den

Ex. 29.2 Storlek och riktning av inducerad emf
Cirkulär spole med 500 varv och radien 4,00 cm och orienterad
så att det homogena magnetfältet bildar 60 graders vinkel
spolens plan.
Magnetfältet minskar med hastigheten 0,200 T/s. Bestäm
storlek och riktning på den inducerade emf:en.

Ex. 29.3 Enkel växelströmsgenerator
Sökt: den inducerade emf:en som funktion av
tiden.
φ = 0 när t = 0.

I en verklig generator tas strömmen ut ur stillastående lindningar medan den
roterande delen utgör en elektromagnet. Denna bild visar enbart den ickeroterande
delen (statorn).

Ex. 29.5 ”Slidewire generator”

Ex. 29.6 Arbete och effekt i ”Slidewire generator”

Kan vi bevisa ε = −dΦ Β /dt med tidigare samband, eller är det
något helt nytt?
1: emf alstrade genom att ledare rör sig i ett konstant B-fält
De rörliga laddningarna som påverkas av kraften F m = qvB ansamlas i
ledarens ände till dess att det E-fält de skapar precis uppväger den
magnetiska kraften. Då är Eq = qvB. Då blir V ab = EL = vBL =ε.
Vi kallar denna emf för ”rörelse emf”

2: emf alstrad av ett varierande B-fält
Inuti en ideal spole med n varv är B = μ 0nI (ex. 28.9) och
utanför är B = 0.
Φ B = BA = μ 0nIA
ε=-dΦ B /dt = -μ 0nA dI/dt
Om slingan har resistansen R blir I’ = ε /R
men vilken kraft får laddningarna att röra sig? B- fältet
där tråden går är ju noll!! (lätt spöklikt)
I det här fallet visar
sambandet
ε = -dΦ B/dt
tydligen på något
fundamentalt hos naturen
som ej går att beskriva med
tidigare formler.

Eddy currents
Den magnetiska kraften på
laddningsbärarna ger en ström som går
radiellt nedåt från O till b. Denna ström
ger en kraft F=I L × B som bromsar den
roterande skivan.

Kapitel: 30 Induktans
• Definition av ömsesidig induktans hos spolar
• Självinduktans hos spole
• Komponenten ”induktor”
• Beräkning av självinduktans
• Energilagring i induktorer
• Energi i B-fält

Ömsesidig induktans
En varierande ström i spole 1
alstrar ett varierande B-fält som
ger ett varierande magnetiskt
flöde Φ B2 i spole 2 i vilken
induceras en ström.
εε
N
2
2
dΦ
= − N N2
dt
Φ = M i
B2
21
dΦ
B2
N2
= M
dt
di1
2 = −M
21
dt
Kan visas:
M
ε
B 2
1
21
21
di
dt
=
1
M
12
=
M
ε
M
2
enhet
di1
= −M
dt
N2Φ
B2
=
i
1
⎡Wb
⎢
⎣ A
=
⎤
= H⎥
⎦
och
N1Φ
i
2
ε
B1
1
Henry
= −M
di
dt
2

När strömmen genom en spole
ändras, ändras B-fältet genom
spolen och en emf induceras i
spolen själv, självinduktion.
L
=
N
i
Φ
i
B
Självinduktion
L kallas (själv) induktans
Derivera:
dΦB
di
N = L
dt dt
dΦ
Faradayslag
: ε = −N
dt
di
= -L
dt
ε
B

Vad händer om man plötsligt
bryter en strömförande krets med
en induktor i?
Strömmen vill ögonblickligen gå
direkt till noll.
Men då går ju dess tidsderivatan
mot oändligheten!
di
→ ∞
dt I praktiken ger den höga
di
= −L
spänningen upphov till en
dt ljusbåge över kontaktstället som
→ ∞ kan skada kontaktytorna
ε
ε
Detta utnyttjas i bilars tändsystem. Genom att
bryta strömmen i primärspolen erhålls en
högspänning i sekundärspolen som ansluts till
tändstiften.

En spole kan användas som kretselement och kallas då induktor
Induktorn motsätter sig strömändringar

Ex. 30.3 Beräkning av självinduktans hos toroid

di
P = Vabi
= iL
dt
dU = Pdt = iLdi
30.3 Energilagring in en induktor
När en induktor ansluts till en emf ökar
strömmen sakta från 0 till I.
Den totala tillförda energin U blir då:
U
=
L
I
∫
0
idi
2 ⎡i
⎤
= L⎢
⎥
⎣ 2 ⎦
I
0
=
1
2
LI
2

Observera skillnaden på hur en resistor och en induktor beter sig!
• Resistorn gör alltid ”motstånd” mot strömmen vilket
leder till spänningsfallet V ab = Ri
• Induktorn gör motstånd mot strömändringar vilket
leder till V ab = L di/dt
• I resistorn får man alltid en effektutveckling i form av
värme som ges av P = Ri 2
• I induktorn lagras energi i magnetfältet när strömmen
ökar. Denna energi fås tillbaka när strömmen minskar.
• Vid konstant ström varken avges eller upptas någon
energi hos induktorn, så en ideal induktor beter sig då
som en ledning utan resistans (kortslutning).

Beräkning av energitätheten i induktorns B-fält.
Vi använder resultatet från Ex. 30.3, där vi beräknade L för en toroid
L
=
2
μ0N
A
2π
r
Lagrad energi : U
=
1
2
LI
Dela med torusens volym :
u
u
U 1
= = μ0
2π
rA 2
2
B
2μ
0
2
2
( 2π
r)
2
2
=
2
1 μ0N
A
2 2π
r
Från exempel 28.10 vet vi att : B =
=
N
I
om ej vakuum byter vi till μ :
I
2
μ0NI
2π
r
u
=
2
B
2μ
Ex. 30.3

E-fältets energitäthet i
vakuum
1
u = ε0E
2
2
B-fältets energitäthet i
vakuum
u =
2
B
2μ
0