Komplekse tall og komplekse funksjoner

KAPITTEL 1
Komplekse tall og komplekse funksjoner
1. Komplekse tall
1.1. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene.
Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som inneholder de reelle tallene. En mye brukt måte
å presentere de komplekse tallene er via kvadratroten av −1 og kalle denne for
i = √ −1.
Deretter danner man summer x + yi der x og y er reelle tall, og kaller dette for komplekse tall.
Denne måten å introdusere komplekse tall har sine fordeler men også begrensninger. Addisjon
og multiplikasjon med komplekse tall på formen x + iy gjøres som for polynomer i variabelen i,
bortsett fra at man erstatter alle forekomster av i 2 med -1. For eksempel har vi
(3 + 2i) · (1 − 3i) = 3 · 1 + 3 · (−3i) + 2i · 1 + 2i · (−3i)
Oppgave 1.1. Bruk måten over til å regne ut (1 + i)(1 + i).
= 3 − 9i + 2i − 6i 2 = 3 − 9i + 2i − 6 · (−1) = 9 − 7i.
En likeverdig måte å definere de komplekse tallene på er som par av reelle tall sammen med
en direkte definisjon av multiplikasjon og addisjon.
Definisjon: Komplekse tall er ordnede par z = (x, y) av reelle tall x og y med
følgende regnearter Addisjon: (+)
Multiplikasjon: (·)
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).
z1 · z2 = z1z2 = (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1).
Mengden av alle komplekse tall skrives C.
To komplekse tall er lik hverandre:
når
(x1, y1) = (x2, y2)
x1 = x2 og y1 = y2.
Vi ønsker å kunne snakke om de to delene x og y som utgjør et kompleks tall z = (x, y). Derfor
gir vi dem navn. Den første delen x kaller vi for Realdelen til z: Re z = x. Den andre kaller vi
for Imaginærdelen til z: Im z = y. Delmengden av alle komplekse tall med imaginærdel lik 0 er
identisk med de reelle tallene. Vi identifiserer det reelle tallet x med det komplekse tallet (x, 0).
På den måten er de reelle tallene en undermengde av de komplekse tallene.
Setning 1.1. De komplekse tall C utvider de reelle tall R.
R ∋ x = (x, 0) ∈ C
R ∋ x + y = (x + y, 0) ∈ C
R ∋ xy = (xy, 0) ∈ C
Definisjon: Den imaginære enheten er det komplekse tallet
i = (0, 1)
Oppgave 1.2. Regn ut i 2 før du leser videre.
2

Den imaginære enheten er et eksempel på et rent imaginært tall:
Definisjon: Et kompleks tall på formen
kalles for et rent imaginært tall.
1. KOMPLEKSE TALL 3
(0, y) = iy
Vi minner om den alternative skrivemåte for komplekse tall:
z = x + iy,
der x = Re z og y = Re z. Legg merke til at (x, 0) tilsvarer det reelle tallet x = x + 0 i.
1.2. Flere regneregler. Subtraksjon er intuitivt:
mens divisjon er litt mer komplisert:
z1 − z2 = (x1, y1) − (x2, y2) = (x1 − x2, y1 − y2),
z1
z2
= (x1, y1)
(x2, y2) =
x1x2 + y1y2
x 2 2 + y2 2
, x2y1 − x1y2
x2 2 + y2
.
2
Legg merke til at jeg ikke skriver disse som definisjoner. Det er på grunn av at de ikke er definisjoner.
(Tallet z1 − z2 defineres som løsningen av likningen z + z2 = z1, mens z1/z2 defineres som
løsningen av likningen z · z2 = z1).
1.3. Komplekst tallplan.
Definisjon: Et plan med kartesiske koordinater (x, y) der hvert punkt (x, y) representerer
det komplekse tallet z = x + iy kalles for det komplekse tallplan. Førsteaksen
(x-aksen) kalles for den reelle aksen og andreaksen (y-aksen) kalles for den imaginære
aksen.
0
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
−3
−2
3
Imaginær akse
−1
2
1
−1
−2
−3
2
1
-1
-2
-3
z = 2,3 + 1,6 i
Reell akse
1 2 3 4
z = 2,3 − 1,6 i
z = 1,3 − 2,4 i
Figur 1. Det komplekse tallplan
Det eneste som skiller det komplekse tallplanet fra det kartesiske koordinatplanet er tolkningen
av punkter som komplekse tall. For eksempel vil punktet (2,3 , 1,6 ), tilsvare det komplekse tallet
z = 2,3 + 1,6 i. Vi leser av imaginærverdien til z ved å lese av “høyden” på y-aksen, i dette tilfellet
leser vi av Im z = 1,6.

4 1. KOMPLEKSE TALL OG KOMPLEKSE FUNKSJONER
1.4. Kompleks konjugert.
Definisjon: Den konjugerte av et komplekst tall z = x + iy er definert ved ¯z =
x + iy = x − iy.
For eksempel har vi at
2.3 + 1.6 i = 2.3 − 1.6 i.
Se figur 1 og legg merke til at ¯z er z speilet om den reelle aksen. Begrepet konjugert finnes ikke
for reelle tall og kan derfor virke litt uvant. Derfor er det nyttig å tenke geometrisk; (kompleks
konjugering er speiling om den reelle asken). Det er nødvendig å kjenne til hvordan ¯z oppfører seg
ved regning.
Oppgave 1.3. a) La z = 1 + i. Multipliser z med ¯z. b) La z = 3 + 4i. Multipliser z med ¯z.
Vi vil undersøke nærmere hvordan det er i det generelle tilfellet. Om vi multipliserer z med ¯z
finner vi. z · ¯z = (x + iy)(x − iy) = x 2 − (iy) 2 = x 2 + y 2 . Legg merke tll to ting. For det første er
z ¯z et reellt tall. For det andre er z ¯z lik kvadratet av avstanden fra origo (0, 0) til punktet (x, y).
Vi har diverse formler
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
z · ¯z = x 2 + y 2
1
(z + ¯z) = x = Re z
2
1
(z − ¯z) = y = Im z
2i
z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2
z1 − z2 = ¯z1 − ¯z2
z1 · z2 = ¯z1 · ¯z2
z1
z2
= ¯z1
¯z2
Oppgave 1.4. Verifiser noen eller alle formelene over.
Ved hjelp av kompleks konjugert får vi en enklere måte å dividere et komplekst tall med et
annet komplekst tall:
Setning 1.2. Divisjonen z1/z2 kan utføres ved å gange teller og nevner i brøken med den
kompleks konjugerte av telleren,
z1
z2
= z1¯z2
.
z2¯z2
2. Polar form
Ved hjelp av polare koordinater r, θ istedet for kartesiske koordinater får man dypere innsikt
i kompleks aritmetikk. Da spesielt multiplikasjon og divisjon. Sammenhengen mellom kartesiske
koordinater (x, y) og polare koordinater (r, θ) er gitt ved
x = r cosθ
y = r sin θ
Se også figur 2 for å få en geometrisk forsåelse.
(r ≥ 0).

−3
−2
−1
2
1
−1
−2
−3
2. POLAR FORM 5
Imaginær akse
r
θ
z = r(cos θ + i sinθ)
Reell akse
1 2 3 4
Figur 2. Sammenhengen mellom polare koordinater (r, θ) og kartesiske koordinater
(x, y).
Definisjon: Med et komplekst tall på polar form mener vi
z = r(cos θ + i sin θ).
Størrelsen r kalles for absoluttverdien til z:
Med argumentet til z mener vi
|z| = r (= x 2 + y 2 = √ z ¯z).
arg z = θ = arctan y
x .
Verdien av argz er ikke entydig. Dette er fordi (r, θ) og (r, θ + 2π) representerer det samme
komplekse tallet. Om vi skriver Arg z mener vi hovedverdien til argumentet som har den
egenskapen at −π < Arg z ≤ π. Arg z er entydig. Polar form kalles også for trigonometrisk
form.
Absoluttverdien til komplekse tall tilfredstiller følgende ulikhet:
Setning (triangelulikheten)
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
2.1. Multiplikasjon og divisjon i polar form. Grunnen til å innføre polare koordinater
for komplekse tall er at formelene for multiplikasjon og divisjon av komplekse tall uttrykt i polare
koordinater har en mye enlere form enn i kartesiske koordinater.
z1 · z2 = r1 · r2 [ cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]
Den geometriske tolkningen av multiplikasjon med z = r(cos θ + i sinθ) er rotasjon med vinkelen
θ mot klokken etterfulgt av en skalering med r. Tilsvarende geometrisk tolkning av divisjon med
z = r(cos θ +i sinθ) blir da en rotasjon med vinkelen θ med klokken etterfulgt av en skalering 1/r:
z1
z2
= r1
[ cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)]
r2
2.2. Potens og røtter av komplekse tall. I polare koordinater blir formelen for potens
særdeles enkel:
z n = r n (cosnθ + i sinnθ ).

6 1. KOMPLEKSE TALL OG KOMPLEKSE FUNKSJONER
z = z1 z2
z2
θ1
θ
Figur 3. Multiplikasjon i polare koordinater.
I spesialtilfellet (r = 1) får vi de Moivres formel:
θ2
θ1
z1
(cosθ + i sinθ ) n = cosnθ + i sinnθ.
Oppgave 1.5. Bruk de movres formel til å vise at sin 2θ = 2 cosθ sin θ. Finn også en formel
for cos3θ uttrykt med cosθ og sinθ.
Det viser seg at også røtter av komplekse tall z = r(cos θ + i sin θ) blir enklere å regne ut i
polare koordinater enn i kartesieke. Tredjeroten av 8 er 2 fordi 2 3 = 8. På samme måte defineres nteroten
av et reelt tall a som det positive tallet b = n√ a som tilfredstiller b n = a. For et komplekset
tall a er det likt, bortsett fra at vi ikke kan kreve at b er et positivt tall. Faktisk har positive
og negative tall ikke mening for alle komplekse tall. En n-te rot av et komplekst tall z er et
komplekst tall b som tilfredstiller b n = z. Da er n-te røttene til z er gitt ved
n√ z = n √ r
θ + 2kπ θ + 2kπ
cos + i sin , k = 0, . . .,n − 1
n n
Merk at n√ z ikke er entydig; z har n forskjellige n-te røtter. Hovedverdien til n√ z fås ved å bruke
θ = Arg z og k = 0 i formelen over. Det viser seg at alle røttene til z kan uttykkes ved hjelp av
hovedverdien til og n-te røttene av enheten som er gitt ved
n√ 1 = cos 2kπ
n
+ i sin 2kπ
n
k = 0, . . .,n − 1.
La ω0, . . . , ωn−1 være alle n n-terøttene av enheten og la α være hovedverdien til n√ z. Da er
n√ z = αωk, k = 0, 1, . . .,n − 1.
3. Komplekse funksjoner
Det er altid knyttet en definisjonsmengde til en funksjon. Enten er definisjonsmengden underforstått
som for funksjonen f(x) = x 2 . Da mener vi at funksjonen er definert for alle reelle tall
x. Ellers vil definisjonsmengden ofte være et intervall. For komplekse funksjoner trenger vi også
ofte å presisere definisjonsområdet. Før vi begynner med komplekse funksjoner trenger vi følgende
definisjoner. En sirkulær disk kalles ofte for en ρ-omegn. En disk med hull i midten kalles for en
anulus. Ellers deler vi opp planet i øvre og nedre halvplan og høyre og venstre halvplan.

3. KOMPLEKSE FUNKSJONER 7
Definisjon: Mer presist har vi definisjonene
• En (åpen) ρ-omegn om z0 er mengden av alle de z som oppfyller
|z − z0| < ρ.
• En (åpen) anulus med senter i z0 er mengden av alle de z som oppfyller
ρ1 < |z − z0| < ρ2.
• Det (åpne) øvre halvplanet er mengden av alle de z som oppfyller
y > 0.
• Det (åpne) nedre halvplanet er mengden av alle de z som oppfyller
y < 0.
• Det (åpne) høyre halvplanet er mengden av alle de z som oppfyller
x > 0.
• Det (åpne) venstre halvplanet er mengden av alle de z som oppfyller
x < 0.
På den reelle tall-linjen skiller vi mellom åpne og lukkede intervaller. De åpne intervallene
er de som ikke inneholder endepunktene sine. For mengder i planet kan vi på samme måte si at
åpne mengder er de mengdene som ikke inneholder randpunktene sine. Siden dette er en noe difus
beskrivelse av åpne mengder, (vi har for eksempel ikke sagt noe om hva en rand er,) kan vi bruke
følgene definisjon i stedet.
Definisjon: (Åpen mengde M):
En mengde der hvert punkt z ∈ M har en ρ-omegn som er inneholdt i M.
Det å forstå denne definisjonen er kanskje ikke så enkelt men kan forklares ved følgende tegning.
Vi har tegnet en stor sirkelskive. De stiplede linjene indikerer at randen ikke er med. Rundt hvert
eneste punkt inni den store sirkelen kan vi kan slå en sirkel som ligger helt inni den store sirkelen.
Rundt et randpunkt er det ikke mulig å slå en slik sirkel. Noe av denne sirkelen er nødt til å ligge
utenfor den store sirkelen.
Figur 4. Åpen mengde.
Definisjon: Komplementet til M i C er mengden M c av alle punkter (tall) i C som
ikke er i M.
For eksempel er komplementet til det åpne øvre halvplanet unionen av det åpne nedre halvplanet
og den reelle aksen. En viktig egenskap for komplementet
Definisjon: (Lukket mengde)
En mengde M er lukket hvis dens komplement er åpen.

8 1. KOMPLEKSE TALL OG KOMPLEKSE FUNKSJONER
Definisjon: (Sammenhengende mengde) Jeg vil ikke gi noen definisjon av en sammenhengende
mengde, men overlate det til intuisjonen.
Definisjon: En åpen sammenhengende mengde kalles for et område.
Definisjon: En kompleks funksjon er en regel:
f : z ↦→ f(z)
∈ ∈
f : Definisjonsmengden → verdimengden
som til hvert tall i et gitt område, som kalles definisjonsmengden, tilordner et entydig
tall.
Mengden av alle f(x), der x gjennomløper alle tall i definisjonsmengden til f kalles for
verdimengden.
Definisjon: (Grense av en kompleks funksjon) Grensen av f(z) når z nærmer seg z0
er definert som det komlekse tallet L hvis det for hvert reelt tall ǫ > 0 finnes et reelt
tall δ > 0 slik at |f(z) − L| < δ når |z − z0| < ǫ.
Notasjon (Limes symbolet). Vi skriver
lim f(z) = L
z→z0
Definisjon: Vi sier at f(z) kontinuerlig i z = z0 hvis
lim f(z) = f(z0)
z→z0