f˚ar vi ett vektorfält. Vektorfält är
f˚ar vi ett vektorfält. Vektorfält är
f˚ar vi ett vektorfält. Vektorfält är
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Konservativa fält<br />
Ett konservativt <strong>vektorfält</strong> <strong>är</strong> <strong>ett</strong> <strong>vektorfält</strong> som egentligen<br />
<strong>är</strong> ändringen av en underliggande skal<strong>är</strong> storhet.<br />
Exempel Det <strong>vektorfält</strong> som i varje punkt p˚a kartan pekar<br />
i den riktning markniv˚an stiger snabbast <strong>är</strong> <strong>ett</strong> konservativt<br />
fält med höjden över havet h(r) som skal<strong>är</strong> storhet.<br />
Exempel Det kraftfält som uppst˚ar av gra<strong>vi</strong>tationen <strong>är</strong><br />
<strong>ett</strong> konservativt fält med den potentiella energin som skal<strong>är</strong><br />
storhet.<br />
Matematiskt <strong>är</strong> F <strong>ett</strong> konservativt fält om det finns en skal<strong>är</strong><br />
potential Φ s˚a att<br />
F (r) = ∇Φ(r),<br />
eller uttryckt med differentialer<br />
F · v = dΦ(v) för alla vektorer v.<br />
Sats F <strong>är</strong> <strong>ett</strong> konservativt <strong>vektorfält</strong> ⇒<br />
∂F<br />
Jakobianen <strong>är</strong> symmetrisk.<br />
∂(x, y, z)<br />
Be<strong>vi</strong>s Om F <strong>är</strong> konservativ, d˚a <strong>är</strong> F = dΦ (d<strong>är</strong> F nu betraktas<br />
som en radvektor). Differentiering ger dF =<br />
d 2 Φ, och eftersom andradifferentialen (Hessianen)<br />
<strong>är</strong> symmetrisk, d 2 Φ(v, w) = d 2 Φ(w, v), m˚aste dF<br />
ha en symmetrisk Jakobian.<br />
Niv˚akurvor och niv˚aytor<br />
Niv˚akurvor till <strong>ett</strong> konservativt <strong>vektorfält</strong> med potential Φ<br />
<strong>är</strong> de kurvor d<strong>är</strong> Φ antar <strong>ett</strong> konstant v<strong>är</strong>de,<br />
Φ(x, y) = C för <strong>ett</strong> fixt C.<br />
Niv˚akurvan <strong>är</strong> alltid <strong>vi</strong>nkelrät mot <strong>vektorfält</strong>et F som ju<br />
pekar i den riktning potentialen ändrar sig mest.<br />
Niv˚akurvor kallas ocks˚a för ek<strong>vi</strong>potentialkurvor.<br />
Ett konservativt <strong>vektorfält</strong> i rummet ger upphov till<br />
niv˚aytor (ek<strong>vi</strong>potentialytor) varp˚a potentialen <strong>är</strong> konstant.
Change language