Sigma 1P for studieforberedende, nynorsk - Gyldendal Norsk Forlag
Sigma 1P for studieforberedende, nynorsk - Gyldendal Norsk Forlag
Sigma 1P for studieforberedende, nynorsk - Gyldendal Norsk Forlag
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
1.1 Matematikk er meir enn berre Ô kunne rekne<br />
Du skal l×re<br />
^ kor viktig det er Ô gjere overslag og vurdere kor rimeleg svaret er<br />
^ Ô tolke, vurdere og diskutere matematisk innhald i skriftlege framstillingar<br />
EKSEMPEL 1<br />
«Flere og flere velger ra˚dhuset fram<strong>for</strong> kirken na˚r barnets start pa˚ livet<br />
skal feires. Oslo har hatt en vekst pa˚ over 50 % pa˚ tre a˚r.» Dette skreiv<br />
Aftenposten i 2005. Tabellen i margen er saksa fra˚ artikkelen.<br />
Eit <strong>for</strong>eldrepar som hadde valt da˚p, vart intervjua. Avisa gjorde eit<br />
poeng av at dei valde dette «selv om trenden sier navnefest uten<br />
religiøse trekk».<br />
Meiner du at avisa gir korrekt in<strong>for</strong>masjon?<br />
Om vi ikkje les tabellen, kan in<strong>for</strong>masjonen tolkast som om det er<br />
stor nedgang na˚r det gjeld da˚p. Men tabellen syner at det er noksa˚<br />
stabilt kor mange som vel da˚p gjennom heile perioden.<br />
Ein pa˚stand i teksten er at talet pa˚ namnefestar hadde ein vekst pa˚<br />
meir enn 50 %. Stemmer det med tabellen?<br />
50 % vekst vil seie at vi legg til halvparten av det opphavlege talet.<br />
Dersom 50 % var korrekt, skulle overslagsrekning ha vist at<br />
ca. 460 þ 230 ¼ 690 barn hadde namnefest. Det stemmer ikkje med tabellen.<br />
I artikkelen stod det 50 % vekst over ein trea˚rsperiode. Tabellen viser ein firea˚rsperiode. Det kan<br />
vere at prosenten er korrekt, ettersom tabellen gjeld Oslo og Akershus, mens det stod Oslo i artikkelen.<br />
EKSEMPEL 2<br />
Overslag. Kor rimeleg er svaret?<br />
Ein dag kom Kari over billig parkett pa˚ timesal. Dette<br />
tilbodet ville ho dra nytte av. Ho hadde ikkje tid til<br />
a˚ fa˚ ma˚lt opp rommet sitt, men visste at det var litt under<br />
5 meter langt og om lag 2;5 meter breitt.<br />
Kari gjorde overslag og bestemte seg <strong>for</strong> a˚ kjøpe<br />
17 m2 parkett.<br />
a) Korleis kom ho fram til dette talet?<br />
Meiner du at det var nok?<br />
Da˚ Kari skulle betale, var rekninga pa˚ 1938 kroner.<br />
Ho syntest det var mykje <strong>for</strong> 17 m2 parkett. Ho<br />
kontrollrekna og fann at ho skulle betale halvparten av dette.<br />
b) Kva kan ekspeditøren ha gjort feil?<br />
FØR<br />
228,- per m2 NO<br />
75 % rabatt<br />
UTVIKLING<br />
Oslo og Akershus<br />
—r<br />
Borgarleg<br />
namnefest DÔp<br />
2000 464 4580<br />
2001 467 4562<br />
2002 479 5218<br />
2003 578 4416<br />
2004 633 4582<br />
Kjelde: Human-Etisk Forbund og<br />
Den norske kyrkja<br />
10 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
Løysing:<br />
a) Kari ma˚ vere sikker pa˚ at ho kjøper nok om ho ikkje skulle fa˚ tak i<br />
parkettypen seinare. 17 m 2 kan ho ha kome fram til ved a˚ gjere<br />
overslag over breidda og rekne med ei breidd pa˚ 3m.Sa˚ har ho gonga<br />
5 og 3 med kvarandre og lagt til 2 m 2 med tanke pa˚ svinn.<br />
b) Dersom Kari skulle ha betalt full pris, ville det ha kosta<br />
17 228 kroner ¼ 3876 kroner. Summen pa˚ kassa er halvparten<br />
av dette, sa˚ ekspeditøren har nok berre trekt fra˚ 50 % rabatt.<br />
Ein ma˚te a˚ rekne ut rett sum pa˚ er a˚ dele full pris pa˚ 4.<br />
75 % rabatt vil seie at ho skal betale 25 % av prisen.<br />
Det er det same som ein firedel.<br />
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.1<br />
Gjer først overslag. Rekn sa˚ ut dei eksakte svara:<br />
a) 23 þ 9 þ 48 þ 78 þ 129 þ 31<br />
b) 347 62 39 117<br />
c) 18 33<br />
OppgÔve 1.2<br />
Trine gjer overslag na˚r ho handlar, <strong>for</strong> a˚ vite om<br />
beløpet ho skal betale, stemmer.<br />
Ein dag handla ho 2 liter mjølk til 11;50 kr per liter,<br />
ca. 2 kg eple til 22;50 kr=kg, kjøttdeig til 58;69 kr,<br />
toalettpapir til 11;90 kr og eit tidsskrift som kosta<br />
48;90 kr.<br />
Gjer overslag og finn ut om lag kor mykje ho skal<br />
betale.<br />
OppgÔve 1.3<br />
Det er haustsal i ein klesbutikk. Lene finn mange<br />
gode tilbod, og ho ønskjer a˚ handle inn julepresangar<br />
til familien. Ho har plukka med seg<br />
tre genserar til 160 kroner per stykk, og her gjeld<br />
«ta 3, betal <strong>for</strong> 2». Vidare ønskte ho a˚ kjøpe to<br />
treningsdressar til 249 kroner per stykk, ei bukse<br />
som var sett ned til 119 kroner, og ein kjole til<br />
180 kroner. Lene har med seg 1300 kroner og<br />
har ikkje meir pengar pa˚ bankkortet.<br />
Gjer eit overslag og vis om ho har ra˚d til a˚ kjøpe<br />
alt dette.<br />
ParoppgÔve1.4<br />
Ein ungdomsklubb vart pussa opp og modernisert.<br />
I tillegg vart det fleire aktivitetar. Som ei følgje av<br />
dette auka medlemstalet. Tabellen viser medlemstalet<br />
dei fire første ma˚nadene etter oppussinga:<br />
Ma˚nad januar februar mars april<br />
Medlemstal 35 42 58 84<br />
Den siste fredagen i ma˚naden blir det servert pizza,<br />
og da˚ plar om lag 50 % av medlemmene a˚ kome.<br />
Dei som har ansvaret <strong>for</strong> pizzakvelden i mai,<br />
skal rekne ut kor mykje pizza dei ma˚ bestille.<br />
Dei reknar fire personar per pizza.<br />
a) Individuell oppga˚ve: Prøv a˚ rekne ut kor mange<br />
medlemmer det er i mai.<br />
b) Paroppga˚ve: Forklar korleis de har tenkt.<br />
Samanlikn svara. Kor mange pizzaer ville de ha<br />
ga˚tt inn <strong>for</strong> a˚ kjøpe?<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.5<br />
Bjørn og Kristin ga˚r fottur. Ein dag valde dei ein<br />
tur der ein tredel av løypa gjekk i lett terreng og<br />
to tredelar i brattare terreng. I lett terreng held dei<br />
ein fart pa˚ ca. 5 km=h, mens dei bruker 3 km=h<br />
i brattare lende.<br />
Bjørn og Kristin byrja a˚ ga˚ klokka 10 og skal ga˚<br />
30 kilometer. Dei ha˚par a˚ na˚ fram til middag klokka<br />
19. Vil dei rekke det?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 11
1.2 Vegen om 1 ^ ein praktisk framgangsmÔte<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô lÖyse praktiske oppgÔver ved Ô gÔ ßvegen om1ý<br />
Butikkane sel varer i ulike pakningar. For at vi <strong>for</strong>brukarar lett skal kunne<br />
samanlikne prisane, pliktar <strong>for</strong>retningane a˚ opplyse om prisen i <strong>for</strong><br />
eksempel kroner per kilogram eller kroner per liter.<br />
Gjennom nokre eksempel viser vi korleis du kan rekne med<br />
«vegen om 1». Det vi gjer, er a˚ finne kor mykje som svarar til<br />
éi eining. Deretter kan vi finne kor mykje ein gitt storleik svarar til.<br />
EKSEMPEL 3<br />
I ein butikk kostar safta Tropisk 23;90 kroner <strong>for</strong> ei flaske pa˚<br />
1;5 liter, og 16;90 kroner <strong>for</strong> ei literflaske. Literprisen er ogsa˚ gitt<br />
<strong>for</strong> den største flaska, men vi vil likevel kontrollrekne det.<br />
Kva slags flasketype av Tropisk lønner det seg a˚ kjøpe?<br />
23;90 kroner<br />
Saft i flaska pa˚ 1;5 liter: 15;93 kroner per liter<br />
1;5 liter<br />
Det lønner seg a˚ kjøpe saftflaska pa˚ 1;5 liter.<br />
EKSEMPEL 4<br />
For ein kalkun pa˚ 3;8 kg betaler Eli 171 kroner.<br />
a) Kva er prisen per kilogram <strong>for</strong> kalkunen?<br />
b) Kva ville ein kalkun pa˚ 4;2 kg ha kosta?<br />
Løysing:<br />
171 kroner<br />
a) Prisen er ¼ 45 kroner per kilogram<br />
3;8 kg<br />
b) 4;2 kg kalkun ville ha kosta 4;2 45 kroner ¼ 189 kroner.<br />
EKSEMPEL 5<br />
Du har fa˚tt 750 danske kroner av ei tante i Danmark.<br />
Du vekslar inn pengane i ein norsk bank ein dag det kostar<br />
105;30 norske kroner <strong>for</strong> 100 danske kroner.<br />
Dette kallar vi kursen pa˚ danske kroner.<br />
Banken krev eit vekslingsgebyr pa˚ 35 kroner.<br />
Kor mange norske kroner fa˚r du utbetalt?<br />
12 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
Løysing:<br />
100 danske kroner svarar til 105;30 norske kroner.<br />
105;30 kroner<br />
Éi dansk krone svarar til ¼ 1;053 norske kroner<br />
100<br />
750 danske kroner svarar til 750 1;053 kroner ¼ 789;75 kroner.<br />
Før du fa˚r utbetalt pengane, trekkjer banken fra˚ gebyret.<br />
Du fa˚r altsa˚ utbetalt 789;75 kroner 35 kroner ¼ 754;75 kroner.<br />
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.6<br />
Ole og Petter skulle beise husa sine. Ole<br />
kjøpte beis i eit tilitersspann til 498 kroner.<br />
Per kjøpte ein annan type beis. Han betalte<br />
188 kroner <strong>for</strong> beis i eit firelitersspann.<br />
Kven kjøpte den billigaste beisen?<br />
OppgÔve 1.7<br />
I ei oppskrift pa˚ fa˚rika˚l sta˚r det at 1;2 kg kjøtt<br />
og 1;6 kgka˚l er høveleg til fire personar.<br />
Kor mykje kjøtt og kor mykje ka˚l ma˚ vi kjøpe inn<br />
til fem personar?<br />
OppgÔve 1.8<br />
Vi skal handle sjokoladepulver. Vi plar kjøpe store<br />
boksar pa˚ 500 gram til 36;00 kroner. Ein dag er det<br />
tilbod pa˚ sma˚ boksar pa˚ 200 gram. Ein liten boks<br />
kostar 23;50 kroner, men pa˚ tilbod kan vi «ta tre og<br />
betale <strong>for</strong> to». Lønner det seg a˚ kjøpe dei sma˚<br />
boksane?<br />
OppgÔve 1.9<br />
Bente trenar pa˚ stigar i ei rundløype som er 3;5 km<br />
lang. Rekorden hennar er 14 minutt 30 sekund.<br />
Trine plar springe ein runde pa˚ ein veg som er<br />
4;8 km lang. Den raskaste tida ho har sprunge pa˚,<br />
er 22 minutt.<br />
Kven har best kilometertid?<br />
OppgÔve 1.10<br />
Ei <strong>for</strong>retning tilbyr pakkar med fire beger yoghurt<br />
til 14;90 kroner. Kvart beger inneheld 125 ml<br />
yoghurt. Den same <strong>for</strong>retninga tilbyr ogsa˚<br />
enkeltbeger med 175 ml yoghurt til 4;90 kroner.<br />
Samanlikn prisane per liter yoghurt <strong>for</strong> dei to<br />
tilboda.<br />
OppgÔve 1.11<br />
Du kjøper 2750 svenske kroner. Denne dagen<br />
opplyser banken at du ma˚ betale 80;40 norske<br />
kroner <strong>for</strong> 100 svenske kroner.<br />
Kor mange norske kroner ma˚ du betale na˚r<br />
banken krev eit vekslingsgebyr pa˚ 40 kroner?<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.12<br />
Bjørnar kjøper eit smørbrød pa˚ danskeba˚ten.<br />
Smørbrødet kostar 40 danske kroner. Bjørnar<br />
betaler med 100 norske kroner og fa˚r att<br />
50 danske kroner i vekslepengar.<br />
a) Kva <strong>for</strong> ein kurs pa˚ 100 danske kroner svarar<br />
det til?<br />
Da˚ Bjørnar kom heim, fann han ut at kursen den<br />
aktuelle dagen hadde vore 104;30.<br />
b) Samanlikn kursen rekna ut i a med den faktiske<br />
kursen. Kommenter.<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 13
1.3 Dekadiske mÔleiningar. MÔlepresisjon<br />
Du skal l×re<br />
^ om dekadiske mÔleiningar<br />
^ Ô gjere om mellom dekadiske mÔleiningar<br />
^ ommÔlepresisjon,gjeldandesi¡erogavrundingavsvar<br />
I margen repeterer vi nokre av dei dekadiske einingane du kjenner fra˚<br />
grunnskulen. Vi kallar einingane dekadiske <strong>for</strong>di vi kan gjere om<br />
mellom dei ved a˚ gonge eller dele med 10. Deka tyder ti.<br />
Na˚r vi gjer om fra˚ ei eining til ei anna, kan vi tenkje slik:<br />
– For kvart steg vi ga˚r oppover i trappa, deler vi med 10.<br />
– For kvart steg vi ga˚r nedover i trappa, gongar vi med 10.<br />
Vi lagar nye einingar ved hjelp av <strong>for</strong>stavingar: kilo tyder tusen, og<br />
desi tyder tidel. Vi fa˚r da˚ <strong>for</strong> eksempel kilometer, km, som tyder<br />
tusen meter, og desimeter, dm, som tyder tidelen av ein meter. I tillegg<br />
har somme einingar eigne namn: 1 mil ¼ 10 km og 1 tonn ¼ 1000 kg.<br />
I margen gir vi eit oversyn over dei vanlegaste <strong>for</strong>stavingane.<br />
EKSEMPEL 6<br />
Gjer om 4;2 cm til meter.<br />
Løysing:<br />
Vi skal dividere med 10 to gonger. Det gjer vi ved a˚ flytte desimalkommaet<br />
to plassar mot venstre. Vi fa˚r 4;2 cm¼ 0;042 m.<br />
Na˚r vima˚ler avstandar i geometrien pa˚ skulen, bruker vi oftast linjal.<br />
Har du tenkt over at vi da˚ ikkje kan ma˚le lengder heilt nøyaktig? For<br />
eksempel ser du at lengda pa˚ figuren er ca. 2;4 cm. Vi skriv «ca.» <strong>for</strong> a˚<br />
streke under at det ikkje er mogleg a˚ ma˚le lengda heilt nøyaktig. Vi seier at<br />
2;4 cm er ein tilnærmingsverdi med to gjeldande siffer <strong>for</strong> den gitte lengda.<br />
Det vil seie at den «korrekte» lengda ligg ein eller annan stad mellom<br />
2;35 cm og 2;45 cm.<br />
Na˚r vi treng større presisjon, ma˚ vi bruke andre ma˚lereiskapar. Det<br />
vanlegaste i industrien er skuvelære og mikrometerskrue. Skuvelæret kan<br />
ma˚le nøyaktig ned til ein tidels millimeter, mens mikrometerskruen kan<br />
ma˚le nøyaktig ned til ein hundredels millimeter.<br />
Dei mest moderne ma˚tane a˚ ma˚le større avstandar pa˚ baserer seg pa˚<br />
laserteknologi. Ein laserpuls blir send ut, reflektert og motteken i utgangspunktet.<br />
Den tida laserlyset bruker pa˚ dette, blir sa˚ ma˚lt. Dermed kan<br />
vi rekne ut lengda.<br />
DEKADISKE EININGAR<br />
km<br />
kg hg<br />
hl<br />
m<br />
dm<br />
g cm<br />
mm<br />
l<br />
dl mg<br />
cl<br />
ml<br />
FORSTAVINGAR<br />
giga G milliard<br />
mega M million<br />
kilo k tusen<br />
hekto h hundre<br />
deka da ti<br />
desi d tidel<br />
centi c hundredel<br />
milli m tusendel<br />
mikro m milliondel<br />
0 1 2 3<br />
14 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
Na˚r vi reknar ut eit svar, ma˚ vi ikkje skrive svaret meir nøyaktig enn dei<br />
storleikane vi gjekk ut fra˚. Na˚r vi gongar eller deler, rundar vi av svaret<br />
til like mange gjeldande siffer som det vi starta med.<br />
EKSEMPEL 7<br />
Finn arealet av eit rektangel med lengda 3;6 cm og breidda 2;4 cm.<br />
Løysing:<br />
Dei to storleikane vi ga˚r ut fra˚, har to gjeldande siffer.<br />
Da˚ rundar vi ogsa˚ av svaret til to gjeldande siffer.<br />
Altsa˚: 3;6 cm 2;4 cm 8;6 cm 2 .<br />
Vi reknar ofte med kilometer per time, km=h, og meter per sekund, m=s:<br />
km<br />
h<br />
¼ 1km<br />
1h<br />
¼ 1000 m<br />
60 60 s<br />
¼ 1000 m<br />
3600 s<br />
¼ 1<br />
3;6 m=s<br />
Vi kan altsa˚ gjere om fra˚ km=h til m=s ved a˚ dividere med 3;6.<br />
Omvendt kan vi gjere om fra˚ m=s til km=h ved a˚ gonge med 3;6.<br />
EKSEMPEL 8<br />
Gjer om 25 m=s til kilometer per time (km=h).<br />
Løysing:<br />
Vi gongar med 3;6 ogfa˚r 25m=s ¼ 25 3;6 km=h ¼ 90 km=h.<br />
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.13<br />
Gjer om<br />
a) 34;7 ml til liter b) 1;57 kg til gram<br />
OppgÔve 1.14<br />
Vi ma˚ler høgda til ei jente. Kva <strong>for</strong>tel vi<br />
a) dersom vi set høgda til 162 cm<br />
b) dersom vi set høgda til 162;0 cm<br />
OppgÔve 1.15<br />
Rekn ut arealet av eit rektangel med lengda 4;38 dm<br />
og breidda 3;67 dm.<br />
OppgÔve 1.16<br />
a) Gjer om 72 km=h til meter per sekund (m=s).<br />
b) Gjer om 30 m=s til kilometer per time (km=h).<br />
c) Ida syklar 20 km pa˚ 1 time 15 minutt.<br />
Rekn ut gjennomsnittsfarten i km=h ogim=s.<br />
SIFFERREGEL<br />
Rund av svaret til like<br />
mange gjeldande si¡er<br />
som det du gjekk ut frÔ.<br />
MELLOM km/h OG m/s<br />
DrÖfting 1.17<br />
Ei alen tok utgangspunkt i ei olbogelengd,<br />
det vil seie avstanden fra˚ olbogen til fingerspissen.<br />
Finn den gjennomsnittlege olbogelengda i klassen.<br />
Kva er problemet med ei slik ma˚leining?<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.18<br />
Ein pasient skal fa˚ tilført medisin intravenøst med<br />
16 dropar per minutt. Vi reknar at 1 milliliter (ml)<br />
svarar til 20 dropar.<br />
Pasienten skal ha tilført 0;1 liter væske til saman.<br />
Medisineringa byrjar kl. 09:45. Na˚r er ho ferdig?<br />
Miniprosjekt 1.19<br />
Søk pa˚ nettet og finn ut kva Justerstellet<br />
i Noreg arbeider med. Lag eit lite oversyn<br />
<strong>for</strong> gruppa.<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 15<br />
m/s<br />
3, 6<br />
3, 6<br />
km/h
1.4 Lommereknaren<br />
Du skal l×re<br />
^ reknerekkjefÖlgja ved talrekning, som ogsÔ er lagd inn i lommereknaren<br />
^ at vi kan rekne vidare med det siste svaret ved Ô bruke Ans<br />
^ skilnaden pÔ rekneminus og <strong>for</strong>teiknsminus<br />
^ at vi ofte mÔ hjelpe lommereknaren med Ô setje parentesar<br />
^ korleis vi rettar feil inntasting pÔ lommereknaren<br />
Vi skal bruke lommereknaren mykje i dette kurset. Du skal fa˚ lære<br />
framgangsma˚tane etter kvart som du treng dei. Men alt no skal vi øve inn<br />
nokre grunnleggjande operasjonar. La oss med ein gong kontrollere at<br />
lommereknaren er rett innstilt.<br />
CASIO TEXAS<br />
Trykk MENY og vel RUN<br />
pa˚ Casio. Trykk SHIFT SETUP.<br />
Nedan<strong>for</strong> ser du korrekt oppsett.<br />
Bruk pil ned og flytt markøren til<br />
linjer med feil. Gjer sa˚ rett val.<br />
Avslutt med EXIT.<br />
Trykk MODE pa˚ Texas.<br />
Nedan<strong>for</strong> ser du korrekt oppsett.<br />
Om det ikkje stemmer, bruker du<br />
piltastane, flytter markøren til<br />
rett felt og trykkjer ENTER.<br />
Avslutt med 2nd QUIT.<br />
I margen har vi repetert reknerekkjefølgja vi bruker <strong>for</strong> a˚ kunne rekne rett.<br />
Vi viser ei utrekning der denne rekkjefølgja er brukt:<br />
4 þ 5 2 3 ¼ 4 þ 5 8 ¼ 4 þ 40 ¼ 44<br />
Denne reknerekkjefølgja er lagd inn i lommereknaren. Vi kan der<strong>for</strong><br />
trykkje 4 þ 5 23 nøyaktig som det sta˚r, og avslutte med EXE pa˚ Casio og<br />
ENTER pa˚ Texas. Legg merke til at lommereknaren har ein eigen tast <strong>for</strong><br />
potens, ^:<br />
CASIO TEXAS<br />
I uttrykket 4 þ 5 23 er det altsa˚ gale a˚ starte med a˚ leggje saman 4 og 5.<br />
Dersom meininga var at vi skulle ha innleidd med det, ville reknestykket<br />
sett slik ut:<br />
ð4 þ 5Þ 2 3 ¼ 9 2 3 ¼ 9 8 ¼ 72<br />
Dette kan vi ogsa˚ trykkje nøyaktig som det sta˚r pa˚ lommereknaren:<br />
CASIO TEXAS<br />
REKNEREKKJEFØLGJE<br />
<strong>1P</strong>arentes<br />
2Potens<br />
3 Gonge og dele<br />
4 Pluss og minus<br />
16 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
Na˚r vi skal bruke svaret direkte vidare i ei utrekning, <strong>for</strong> eksempel 72 ,<br />
trykkjer vi berre gongetast og slik:<br />
CASIO TEXAS<br />
Lommereknaren gjer altsa˚ bruk av det siste svaret ved hjelp av Ans, som er<br />
ei <strong>for</strong>korting <strong>for</strong> «answer». Du oppdaga kanskje ogsa˚ at lommereknaren<br />
har ein eigen tast <strong>for</strong> som vi bruker i staden <strong>for</strong> det unøyaktige 3;14.<br />
Vi kan òg plassere Ans midt i ei utrekning ved a˚ trykkje SHIFT Ans pa˚<br />
Casio og 2nd ANS pa˚ Texas:<br />
CASIO TEXAS<br />
I uttrykket 2 2 4 er det første minusteiknet eit <strong>for</strong>teiknsminus. 2 2 skal<br />
jo ikkje trekkjast fra˚ noko tal. Minusteiknet i midten er eit rekneminus som<br />
<strong>for</strong>tel at vi skal trekkje 4 fra˚ resultatet av utrekninga 2 2 . Der<strong>for</strong> finst det<br />
ba˚de <strong>for</strong>teiknsminus, ( ) , og rekneminus, ,pa˚ lommereknaren. Texas<br />
gir feilmelding na˚r vi ikkje bruker rett minusteikn. Legg merke til at vi<br />
bruker tasten x 2 <strong>for</strong> a˚ opphøgje i andre potens:<br />
CASIO TEXAS<br />
Brøkar og rotteikn skriv vi ofte utan parentesar, no som vi veit korleis dei<br />
skal reknast ut. For eksempel er<br />
5 þ 7 12<br />
¼ ¼ 2<br />
2 3 6<br />
Dersom vi vil rekne ut svaret utan mellomrekning pa˚ lommereknaren, ma˚<br />
vi hjelpe til med a˚ sla˚ parentesar om teljaren og nemnaren:<br />
CASIO TEXAS<br />
pffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
Pa˚ same ma˚ten ma˚ vi trykkje ð98 56Þ <strong>for</strong> a˚ fa˚ 98 56.<br />
Vi kan ga˚<br />
attende og rette inntastingar ved a˚ bruke venstrepil pa˚ Casio og 2nd ENTRY<br />
og venstrepil pa˚ Texas. Læraren hjelper deg med overskriving, DEL og INS.<br />
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.20<br />
Rekn ut pa˚ lommereknaren:<br />
a) 4 þ 8 97 3 5 4 b) 3 þ 3<br />
2 ð92<br />
2 5Þ<br />
OppgÔve 1.21<br />
Rekn ut pa˚ lommereknaren:<br />
4 5 5<br />
a)<br />
2<br />
52 32 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
b) 132 122 q<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 17
1.5 ReknerekkjefÖlgje og <strong>for</strong>teikn ^ nyttige reglar<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô bruke reknerekkjefÖlgja i eigne utrekningar<br />
^ Ô rekne med <strong>for</strong>teikn<br />
EKSEMPEL 9<br />
Vi repeterer at lommereknaren kan gi feilmelding dersom vi ikkje<br />
skil mellom rekneminus, , og <strong>for</strong>teiknsminus, ( ).<br />
I reknestykket 8 5 ¼ 3 <strong>for</strong>tel minusteiknet at talet 5 skal trekkjast<br />
fra˚ talet 8. Her fungerer minus som rekneminus, og vi bruker .<br />
I reknestykket 2 þ 5 ¼ 3 <strong>for</strong>tel minusteiknet at vi har det negative<br />
talet 2. Her er minusteiknet eit <strong>for</strong>teiknsminus, og vi bruker ( ).<br />
Feil som kjem av galen reknerekkjefølgje, kan samanliknast med a˚ setje<br />
komma pa˚ feil stad: «Heng han ikkje, vent til eg kjem» tyder noko heilt<br />
anna enn «Heng han, ikkje vent til eg kjem»!<br />
EKSEMPEL 10<br />
Trine, Ellen og Knut har prøvd a˚ rekne ut denne oppga˚va:<br />
2 þ 3 6 2 ð 5 þ 2Þ<br />
Dei fekk ulike svar og kontrollerte utrekninga pa˚ lommereknaren.<br />
Det synte seg at Ellen hadde rekna rett. Hjelp Trine og Knut med<br />
a˚ finne ut kva dei har gjort gale.<br />
Som reknerekkjefølgja viser, gjorde Trine feil <strong>for</strong>di ho starta med a˚ leggje<br />
saman dei to første tala. A˚ leggje saman og trekkje fra˚ gjer vi etter<br />
a˚ ha fullført dei andre rekneoperasjonane.<br />
Knut gjorde feil da˚ han skulle gonge inn i parentesen. Talet som stod utan<strong>for</strong><br />
parentesen, gonga han berre med det eine talet inni parentesen. Knut ville ikkje<br />
gjort feil i denne oppga˚va dersom han først hadde trekt saman inni parentesen.<br />
MINUS PA˚<br />
LOMMEREKNAREN<br />
Rekneminus er tasten .<br />
Forteiknsminus er tasten ( ).<br />
REKNEREKKJEFØLGJE<br />
<strong>1P</strong>arentes<br />
2Potens<br />
3 Gonge og dele<br />
4 Pluss og minus<br />
18 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
EKSEMPEL 11<br />
Her viser vi korleis vi i tillegg til rett reknerekkjefølgje<br />
ma˚ passe pa˚ <strong>for</strong>teikna:<br />
a) 32 ð 4Þ ð 2Þ ¼9 8 ¼ 72 (reglane 2 og 3)<br />
b) 32 þ 4 ð 2Þ ¼ 9 8 ¼ 17 (reglane 2, 3 og 4)<br />
c) ð 3Þ 2 þ 4 ð 2Þ ¼9 8 ¼ 1 (reglane 2, 3 og 4)<br />
d) 2 ð3 7Þ 2 ¼ 2 ð 4Þ 2 ¼ 2 16 ¼ 32<br />
(reglane 1, 2 og 3)<br />
Kontroller at du fa˚r same svaret pa˚ lommereknaren.<br />
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.22<br />
Rekn ut utan lommereknar:<br />
a) 8 þ 4 6 b) 8 : 2 3<br />
c) 9 2 þ 18 : 3 d) 322þ6 : 2 þ 5<br />
OppgÔve 1.23<br />
Rekn ut med og utan lommereknar:<br />
a) 3 ð 4Þ 2<br />
3 þ 4 ð 2Þ<br />
b) 23 ð 3 þ 4Þ 2<br />
c) 3 ð 4Þ ð 2Þ : ð2 3Þ<br />
d) 5 þ 3 ð 2Þ 4<br />
3 7 þ 3 þ 4 ð 2Þ<br />
OppgÔve 1.24<br />
Trass i at vi kan la lommereknaren gi oss svaret, har<br />
hovudrekning den <strong>for</strong>delen at det somme gonger ga˚r<br />
raskare. Tipset er a˚ leggje saman eller gonge to tal<br />
som gir tal som er lette a˚ rekne med.<br />
For eksempel kan vi raskt løyse oppga˚va<br />
2 þ 17 þ 8 þ 3 ved a˚ leggje saman 2 þ 8og<br />
17 þ 3 kvar <strong>for</strong> seg. Da˚ fa˚r vi10þ20 ¼ 30.<br />
Rekn ut i hovudet:<br />
a) 26 þ 18 þ 14 þ 42<br />
b) 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 þ 8 þ 9 þ 10<br />
c) 23 2 5 10<br />
d) 3 15 0 47<br />
ParoppgÔve1.25<br />
Løys denne oppga˚va munnleg:<br />
HUGS!<br />
2 3 ¼ 6<br />
ð 2Þ 3 ¼ 6<br />
2 ð 3Þ ¼ 6<br />
ð 2Þ ð 3Þ ¼ 6<br />
Ole hadde 500 kroner. Han kjøpte to pølser til<br />
19 kroner per stykk. Ein kveld han var pa˚ kino,<br />
betalte han 80 kroner <strong>for</strong> kinobilletten, to gonger<br />
20 kroner <strong>for</strong> togbillettane, og han kjøpte 250 gram<br />
sma˚godt til 10 kroner per hektogram. Veka etter<br />
fekk han utbetalt lønn <strong>for</strong> a˚ ha jobba fem timar.<br />
Timelønna hans var 110 kroner. Ole var skuldig<br />
Hanne 1000 kroner, og han fann ut at han kunne<br />
betale henne tre firedelar no.<br />
Har Ole ra˚d til a˚ ta ein ny tur pa˚ kino<br />
til same prisen som sist?<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.26<br />
Vi veit at 2 þ 3 4 ¼ 20 er gale,<br />
mens ð2 þ 3Þ 4 ¼ 20 er rett.<br />
Føy til parentesar slik at desse stykka<br />
blir korrekte:<br />
a) 2 52 þ 6 ¼ 106<br />
b) 3 4 þ 5 6 ¼ 162<br />
8<br />
¼<br />
2<br />
4<br />
8<br />
¼<br />
2<br />
4<br />
8<br />
¼<br />
2<br />
4<br />
8<br />
¼<br />
2<br />
4<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 19
1.6 Enkel algebra<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô rekne med parentesar<br />
^ÔreknemedbrÖk<br />
Mellom anna i <strong>for</strong>melrekning kan det vere behov <strong>for</strong> a˚ rekne med<br />
parentesar. Vi repeterer der<strong>for</strong> nokre reglar.<br />
EKSEMPEL 12<br />
Kva <strong>for</strong> reglar er nytta her?<br />
a) 2 þðx 1Þ ¼2 þ x 1 ¼ x þ 1<br />
b) 2 ðx 1Þ ¼2 x þ 1 ¼ x þ 3<br />
EKSEMPEL 13<br />
Kva er regelen na˚r eit tal skal gongast inn i ein parentes?<br />
2 ðx 1Þ ¼2 x 2 1 ¼ 2x 2<br />
I det neste eksemplet repeterer vi korleis vi gongar to parentesar med<br />
kvarandre.<br />
EKSEMPEL 14<br />
Her har vi to parentesar som skal gongast med kvarandre.<br />
Vi gongar da˚ kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd<br />
i den andre:<br />
ðx þ 4Þð2x þ 1Þ ¼x 2x þ x 1 þ 4 2x þ 4 1<br />
¼ 2x 2 þ x þ 8x þ 4<br />
¼ 2x 2 þ 9x þ 4<br />
EKSEMPEL 15<br />
I desse reknestykka finst det parentesar med berre ein type ledd.<br />
Kva kan det da˚ vere lurt a˚ gjere?<br />
a) 2 ð3 þ 1Þ ¼2 4 ¼ 8<br />
b) ð3x þ xÞðx þ 2Þ ¼4x ðxþ 2Þ ¼4x x þ 4x 2 ¼ 4x2 þ 8x<br />
Vi har ogsa˚ behov <strong>for</strong> brøkrekning i oppga˚ver. Vi repeterer den viktigaste<br />
rekninga fra˚ grunnskulen.<br />
REKNING MED PARENTESAR<br />
<strong>1P</strong>lussfram<strong>for</strong>parentes:<br />
^ Parentesen kan fjernast.<br />
2Minusfram<strong>for</strong>parentes:<br />
^ Fjern parentesen og skift<br />
samstundes <strong>for</strong>teikn pÔ<br />
ledda inni parentesen.<br />
3 Tal gonga med parentes:<br />
^Gongtaletmedkvartledd<br />
iparentesen.<br />
4Parentesgongamed<br />
parentes:<br />
^Gongkvartleddideneine<br />
parentesen med kvart ledd<br />
idenandre.<br />
5 Dra saman ledda inni<br />
parentesen dersom det berre<br />
er e¤ in type ledd.<br />
PARENTES MED PARENTES<br />
Vi multipliserer kvart ledd<br />
i den eine parentesen<br />
med kvart ledd i den andre:<br />
20 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
EKSEMPEL 16<br />
Rekn ut og skriv svaret som brøk:<br />
a) 3 7<br />
þ<br />
4 4<br />
b) 2 1<br />
3 4<br />
c) 5<br />
4<br />
d) 2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
¼ 3 þ 7<br />
4<br />
¼ 2 4<br />
3 4<br />
¼ 5 2<br />
4 3<br />
x þ x<br />
3<br />
EKSEMPEL 17<br />
AKTIVITETAR<br />
¼ 10<br />
4<br />
1 3<br />
4 3<br />
10<br />
¼<br />
12<br />
2 x x<br />
5 ¼ þ<br />
3 1 3<br />
1<br />
ðx þ 2Þ 2x<br />
2<br />
¼ 5 6 2<br />
2 6 2<br />
¼ 8<br />
12<br />
¼ 5<br />
6<br />
5<br />
2<br />
5<br />
1<br />
¼ 5<br />
2<br />
3<br />
12<br />
¼ 8 3<br />
12<br />
2x 5x<br />
¼ þ<br />
3 3<br />
3x<br />
2<br />
¼ 7x<br />
3<br />
x 2<br />
¼ þ<br />
2 2<br />
¼ x 2<br />
þ<br />
2 2<br />
OppgÔve 1.27<br />
Rekn ut:<br />
a) 3 ð2x þ 5Þ b) 2 ðx þ 3Þ<br />
c) 3 ðx 2Þþ2 ð2x þ 7Þ d) 3 2 ð5 xÞ<br />
e) 2 ðx 4xÞ ð2xþ 7Þ f) x2 x ðx 3Þ<br />
OppgÔve 1.28<br />
Rekn ut:<br />
a) ðx þ 2Þðx þ 3Þ b) ðx 2Þðx 3Þ<br />
c) ð4 2Þð2x þ 7Þ d) ð3x 2Þð2x þ 7Þ<br />
OppgÔve 1.29<br />
Rekn ut og skriv svaret som brøk:<br />
a) 1 4<br />
þ<br />
3 3<br />
b) 1<br />
4<br />
3<br />
4<br />
c) 1 5<br />
þ<br />
3 12<br />
d) 2<br />
5<br />
1<br />
6<br />
Kontroller svara pa˚ lommereknaren.<br />
¼ 5<br />
12<br />
¼ 7<br />
3<br />
2x þ 5<br />
2<br />
x<br />
1<br />
¼ 7<br />
3 x<br />
3x<br />
2<br />
4x 5<br />
þ<br />
2 2<br />
3x<br />
2<br />
x<br />
¼<br />
4x<br />
2<br />
3x 2 þ 5<br />
þ<br />
2<br />
¼ 6x 7<br />
þ ¼<br />
2 2<br />
7<br />
3x þ<br />
2<br />
OppgÔve 1.30<br />
Rekn ut og skriv svaret som brøk:<br />
a) 1<br />
3<br />
2<br />
5<br />
b) 12<br />
20<br />
5<br />
2<br />
c) 3<br />
10<br />
15<br />
6<br />
d) 3<br />
5<br />
1<br />
2<br />
4<br />
3<br />
Kontroller svara pa˚ lommereknaren.<br />
OppgÔve 1.31<br />
Rekn ut:<br />
a) 2x<br />
3<br />
BRØK PLUSS OG<br />
MINUS BRØK<br />
^ Utvid eventuelt brÖkane<br />
slik at dei fÔr lik nemnar.<br />
^ Dra saman teljarane og<br />
hald fast ved nemnaren.<br />
^Kortsvaretommogleg.<br />
BRØK GONGA MED BRØK<br />
^Gongteljarmedteljar<br />
og nemnar med nemnar.<br />
^Kortsvaretommogleg.<br />
1<br />
2<br />
ðx þ 2Þ b) ðx 1Þ x<br />
3 3<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.32<br />
I testamentet sitt hadde Olsen delt arven mellom dei<br />
to nevøane sine, Knut og Per, og naboen Hansen.<br />
Hansen skulle fa˚ halve arven, Knut tre tidelar og<br />
Per resten. I arveoppgjeret fekk Per 640 000 kroner.<br />
Kor mykje fekk kvar av dei to andre?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 21<br />
2<br />
3
1.7 Likningar<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô lÖyse enkle likningar<br />
^ Ô setje opp og lÖyse uoppstilte likningar<br />
I margen har vi sett opp <strong>for</strong>slag til reglar <strong>for</strong> a˚ løyse likningar. Det er<br />
ikkje alle reglane som ma˚ brukast kvar gong. Det kjem an pa˚ oppga˚va.<br />
Nedan<strong>for</strong> viser vi nokre typiske eksempel.<br />
EKSEMPEL 18<br />
EKSEMPEL 19<br />
5x 3 ¼ 9 x<br />
5x þ x ¼ 9 þ 3<br />
6x ¼ 12<br />
6 6x<br />
6 6<br />
¼ 12<br />
6<br />
x ¼ 2<br />
3<br />
þ x ¼ 3 ðx þ 2Þ 4x<br />
2<br />
3<br />
þ x ¼ 3x þ 6 4x<br />
2<br />
3 þ 2x ¼ 6x þ 12 8x<br />
2x 6x þ 8x ¼ 12<br />
4x ¼ 9<br />
3<br />
6 4x<br />
6 4<br />
¼ 9<br />
4<br />
x ¼ 9<br />
4<br />
... Viflytteroverogskifter<strong>for</strong>teikn<br />
... Vi dreg saman pÔ kvar side<br />
... Vi deler med 6 pÔ kvar side<br />
... Vi kortar og reknar ut svaret<br />
... Vi gongar ut parentesen<br />
... Vi gongar overalt med 2<br />
... Vi lÖyser som i eksempel18<br />
Mange praktiske problem kan løysast ved at vi set opp in<strong>for</strong>masjonen<br />
som ei likning. Ein av dei ukjende kallar vi x. Ut fra˚ opplysningane<br />
i oppga˚va finn vi ut kva dei andre ukjende ma˚ kallast.<br />
Det kan lønne seg a˚ la den minste storleiken vere x, eller vi lèt x vere det<br />
vi samanliknar med flest gonger.<br />
LØYSING AV LIKNINGAR<br />
^ Gong inn i og opne parentesane.<br />
^ Gong alle ledd med samnemnaren.<br />
^Samlx-ledda pÔ venstre<br />
side og tala pÔ hÖgre side.<br />
^Skift<strong>for</strong>teiknnÔrdu£ytter<br />
over ledd.<br />
^ Dra saman x-ane og<br />
tala kvar <strong>for</strong> seg.<br />
^ Del med talet fram<strong>for</strong> x<br />
pÔ begge sider. Kort<br />
eventuelt svaret.<br />
UOPPSTILT LIKNING<br />
NÔr x er eit tal, har vi:<br />
2x er det doble av talet<br />
x þ 3 er 3 meir enn talet<br />
2 ðx þ 3Þ er det doble av<br />
3meirenntalet<br />
22 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
EKSEMPEL 20<br />
Ole, Trine og Bente er til saman 43 a˚r. Ole er dobbelt sa˚ gammal som<br />
Trine, og Bente er tre a˚r eldre enn Trine. Kor gamle er kvar av dei?<br />
Løysing:<br />
I denne oppga˚va kan det vere lurt a˚ kalle den yngste <strong>for</strong> x.<br />
Trine er da˚ x a˚r, Ole er 2x a˚r, og Bente er ðx þ 3Þ a˚r:<br />
Trine þ Ole þ Bente ¼ 43 ˚ar<br />
x þ 2x þðxþ 3Þ ¼43<br />
4x ¼ 40<br />
6 4x<br />
6 4<br />
¼ 40<br />
4<br />
x ¼ 10<br />
Trine er 10 a˚r, Ole er 20 a˚r, og Bente er 13 a˚r.<br />
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.33<br />
Løys likningane:<br />
a) 3x þ 2 ¼ 12 þ 2x<br />
b) 4 ðx 2Þ ¼3 ð5xþ 2Þ<br />
c) 3 þ 4 ðx 3Þ ¼9 2x<br />
d) 3x þ 2 ðx 5Þ ¼ 3x<br />
2<br />
OppgÔve 1.34<br />
Per er dobbelt sa˚ gammal som Ola. Kari er ti a˚r<br />
eldre enn Ola. Til saman er dei 78 a˚r.<br />
a) Ga˚ ut fra˚ at Ola er x a˚r gammal.<br />
Kva blir da˚ uttrykket <strong>for</strong> alderen til Per og Kari?<br />
b) Set opp ei likning og finn ut kor gamle dei er.<br />
OppgÔve 1.35<br />
Geir og Line har til saman 73 kroner.<br />
Line har 19 kroner meir enn Geir.<br />
Kor mange kroner har dei kvar?<br />
OppgÔve 1.36<br />
Marit, Britt og Elin lagar keramikkfigurar som dei<br />
sel til turistar. Ei veke har dei til saman laga<br />
70 figurar. Britt har laga ni fleire enn Marit, og<br />
Marit har laga fire færre enn Elin. Kor mange<br />
figurar har kvar av dei laga?<br />
OppgÔve 1.37<br />
Lise, Erik og Petter har til saman 420 kroner.<br />
Kor mange kroner har Lise, Erik og Petter kvar<br />
na˚r Erik har dobbelt sa˚ mykje som Lise, og Erik<br />
har 20 kroner mindre enn Petter?<br />
Løys oppga˚va ved a˚ setje opp ei likning.<br />
OppgÔve 1.38<br />
Ellen, Mari og Per sel til saman 900 lodd.<br />
Ellen sel dobbelt sa˚ mange lodd som Per,<br />
og Mari sel 100 lodd meir enn Per.<br />
a) Set opp ei likning og finn kor mange lodd kvar<br />
av dei sel.<br />
b) Noko av inntekta fra˚ loddsalet fa˚r dei som lønn.<br />
Kor mykje fa˚r kvar av dei i lønn na˚r dei til<br />
saman fa˚r 540 kroner?<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.39<br />
I ein gymtime vel halvparten av elevane ballspel,<br />
tredelen vel styrketrening, mens resten, fire elevar,<br />
er sjuke eller har gløymt gymtøyet.<br />
Set opp ei likning og finn kor mange elevar som er<br />
med i gruppa.<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 23
1.8 Kvadratiske likningar. Ulikskapar<br />
Du skal l×re<br />
^ lÖysings<strong>for</strong>melen <strong>for</strong> ei kvadratisk likning<br />
^ korleis vi lÖyser enkle ulikskapar<br />
I avsnittet framan<strong>for</strong> løyste vi enkle likningar. Men har du<br />
tenkt over kva ei likning eigentleg er? For a˚ <strong>for</strong>sta˚ det<br />
ma˚ du kjenne til omgrepet open utsegn.<br />
«Eg er høgare enn deg» er ei utsegn vi kan avgjere om<br />
er sann eller usann. Na˚r Nina seier det til Erik, er det<br />
jo sant. Slike pa˚standar som vi kan finne ut om er sanne<br />
eller usanne, kallar vi matematiske utsegner.<br />
«Heia Rosenborg» kan vi derimot ikkje ta standpunkt til pa˚<br />
denne ma˚ten. Det er ikkje ei matematisk utsegn.<br />
«x er mindre enn 3» kan vi først ta standpunkt til na˚r vifa˚r<br />
vite kva x er. Er x lik 2, blir utsegna sann. Er x lik 4, blir ho<br />
usann. Vi kallar det ei open utsegn med variabelen x.<br />
Likningar og ulikskapar er slike opne utsegner. A˚ løyse ei likning eller ein<br />
ulikskap vil seie a˚ finne alle verdiane av x som gjer at utsegna blir sann.<br />
Na˚r variabelen i ei likning er opphøgd i andre potens, har vi ei kvadratisk<br />
likning. Likninga x 2 ¼ 9 er der<strong>for</strong> eit eksempel pa˚ ei kvadratisk likning.<br />
A˚ løyse likningar vil seie a˚ finne alle verdiar av x som gjer at likninga blir<br />
oppfylt. Vi ser med ein gong at x2 ¼ 9 er oppfylt na˚r x ¼ 3 , <strong>for</strong>di x2 ¼ 32 ¼ 9.<br />
Likninga har ogsa˚ løysinga x ¼ 3, <strong>for</strong> vi har ogsa˚ x2 ¼ð 3Þ 2 ¼ 9.<br />
Vi skriv dei to løysingane til likninga x2 ¼ 9 under eitt som x ¼<br />
Sidan 3 ¼<br />
3.<br />
ffiffi p<br />
9,<br />
fa˚rvi løysings<strong>for</strong>melen som er skriven i margen.<br />
EKSEMPEL 21<br />
Løys dei kvadratiske likningane:<br />
a) 2x2 ¼ 32 b) ðx þ 3Þ 2 ¼ 25<br />
Eg er<br />
høgare enn deg.<br />
Løysing:<br />
a) I likninga 2x2 ¼ 32 dividerer vi med 2 pa˚ begge sider.<br />
Vi fa˚r likninga x2 pffiffiffiffiffi ¼ 16, som har løysinga x ¼ 16 ¼ 4.<br />
b) I likninga ðx þ 3Þ 2 ¼ 25 ser vi pa˚ x þ 3 som ein ny ukjend.<br />
Da˚ kan vi bruke løysings<strong>for</strong>melen <strong>for</strong> kvadratiske likningar.<br />
ðx þ 3Þ 2 pffiffiffiffiffi ¼ 25 gir x þ 3 ¼ 25 ¼ 5<br />
Sa˚ reknar vi ut <strong>for</strong> pluss og minus kvar <strong>for</strong> seg:<br />
x þ 3 ¼ 5 gir x ¼ 5 3 ¼ 2<br />
x þ 3 ¼ 5 gir x ¼ 5 3 ¼ 8<br />
KVADRATISKE<br />
LIKNINGAR<br />
Likninga<br />
x 2 ¼ a<br />
har løysinga<br />
pffiffi<br />
x ¼ a<br />
24 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
Vi løyser enkle ulikskapar pa˚ same ma˚ten som vi løyser likningar. Men det<br />
er ein skilnad, nemleg na˚r vi multipliserer eller dividerer pa˚ begge sider av<br />
ulikskapsteiknet med eit negativt tal. Vi skal <strong>for</strong>klare det med 4 < 6, som<br />
vi veit er sant. Na˚r vi dividerer begge tala med 2, fa˚r vi desse verdiane:<br />
4<br />
¼ 2 og<br />
2<br />
6<br />
¼ 3<br />
2<br />
Men 2 er som kjent større enn 3. For at ulikskapen framleis skal vere<br />
sann, ma˚ vi der<strong>for</strong> snu ulikskapsteiknet og skrive 2 > 3. Tilleggsregelen<br />
blir altsa˚ at vi ma˚ snu ulikskapsteiknet na˚r vi multipliserer eller dividerer<br />
pa˚ begge sider av ulikskapen med eit negativt tal.<br />
EKSEMPEL 22<br />
2 3x<br />
x þ 3 ><br />
3 2<br />
1<br />
3<br />
6 6 2 2<br />
6 3 x þ 6 3 > 6 63 3x<br />
6 2<br />
AKTIVITETAR<br />
4x þ 18 > 9x 2<br />
4x 9x > 2 18<br />
5x > 20<br />
5x<br />
5<br />
< 20<br />
5<br />
x < 4<br />
OppgÔve 1.4 0<br />
Løys likningane:<br />
a) x2 ¼ 25 b) 3x2 ¼ 27<br />
c) ðx þ 2Þ 2 ¼ 36<br />
6 6 2 1<br />
6 3<br />
OppgÔve 1.41<br />
Løys ulikskapane:<br />
a) 2x > 12 b) x þ 3 < 4x 3<br />
c) 4<br />
x<br />
< 1<br />
2<br />
x<br />
3<br />
d) 1<br />
x > 2<br />
3<br />
3x<br />
6<br />
... Vi multipliserer alle ledd<br />
med samnemnaren 6<br />
... Vi kortar og multipliserer ut<br />
... Viflytteroverogskifter<strong>for</strong>teikn<br />
... Vi reknar saman<br />
... Vi dividerer pÔ begge sider med<br />
talet fram<strong>for</strong> x. Sidan talet er negativt,<br />
mÔ vi snu ulikskapsteiknet.<br />
... Vi kortar og reknar ut x<br />
OppgÔve 1.42<br />
Elham er seljar og fa˚r to tilbod om ma˚nadsbetaling:<br />
A: Kr 6000 fast og i tillegg kr 500 per sal<br />
B: Ingenting fast, men kr 800 per sal<br />
Ga˚ ut fra˚ at Elham har x sal per ma˚nad.<br />
Set opp ein ulikskap og finn ut na˚r det lønner seg<br />
med tilbod A.<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.43<br />
Løys likninga x ðx 2Þþ 2<br />
3<br />
ENKLE ULIKSKAPAR<br />
Vi bruker reglane <strong>for</strong> enkle<br />
likningar. I tillegg mÔ vi<br />
hugse pÔ Ô snu ulikskapsteiknet<br />
nÔr vi multipliserer<br />
eller dividerer pÔ begge sider<br />
av ulikskapen med eit<br />
negativt tal.<br />
¼ 1<br />
2 x<br />
5<br />
2 ðx x2 Þ.<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 25
1.9 Rekning med <strong>for</strong>mlar<br />
Du skal l×re<br />
^ kva vi meiner med ein matematisk <strong>for</strong>mel<br />
^Ôbrukeeinmatematisk<strong>for</strong>mel<br />
Ordet <strong>for</strong>mel kjem fra˚ latin og tyder «liten regel». I matematikk<br />
bruker vi mange <strong>for</strong>mlar. Dersom vi kjenner radien i ein sirkel, finn<br />
vi <strong>for</strong> eksempel arealet av sirkelen ved hjelp av <strong>for</strong>melen A ¼ r 2 .<br />
Formlar er ogsa˚ vanlege a˚ bruke i andre fag som økonomi og naturfag,<br />
og i mange yrke.<br />
I rekning med <strong>for</strong>mlar kan vi ofte velje mellom fleire framgangsma˚tar.<br />
Somme gonger er det enkel rekning <strong>for</strong>di den ukjende sta˚r a˚leine pa˚<br />
venstre side i <strong>for</strong>melen. Andre gonger fa˚r vi ei likning som ma˚ løysast.<br />
Vi kan eventuelt gjere om pa˚ <strong>for</strong>melen, slik at vi slepp a˚ rekne med<br />
likningar. Ein tredje variant er a˚ bruke ferdig oppsette «trekant<strong>for</strong>mlar».<br />
EKSEMPEL 23<br />
Ein sirkel har eit areal pa˚ 95;0 cm 2 . Kor lang er radien?<br />
Løysing:<br />
Formelen <strong>for</strong> arealet av ein sirkel er gitt ved A ¼ r2 .<br />
Na˚r vi set inn det gitte arealet i <strong>for</strong>melen,<br />
fa˚r vi ei likning som ma˚ løysast:<br />
95;0 ¼ r 2<br />
95;0 ¼ r 2<br />
30;24 r 2<br />
r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p<br />
30;24<br />
Radien er 5;5 cm lang.<br />
EKSEMPEL 24<br />
5;5<br />
Pa˚ ein 185 km lang biltur var gjennomsnittsfarten 74 km=h.<br />
Kor lenge varte bilturen?<br />
Løysing:<br />
Vi har <strong>for</strong>melen strekning ¼ fart tid, som vi kan skrive s ¼ v t.<br />
Ettersom det er tida t vi skal finne, kan vi først gjere om pa˚<br />
<strong>for</strong>melen. Da˚ slepp vi a˚ ma˚tte løyse ei likning. Vi fa˚r t ¼ s<br />
v .<br />
Tida t som bilturen varte, er<br />
185 km<br />
¼ 2;5 h.<br />
74 km=h<br />
ALTERNATIVE<br />
FRAMGANGSMA˚TAR<br />
^ Set inn tall i <strong>for</strong>melen <strong>for</strong><br />
det som er kjent. LÖys oppgÔva<br />
som ei likning.<br />
^ Gjerom<strong>for</strong>melenslikat<br />
den ukjende kjem Ôleine<br />
pÔ venstre side.Finn svaret.<br />
^Skriv<strong>for</strong>melensomein<br />
ßtrekant<strong>for</strong>melý (sjÔ neste<br />
side). Finn svaret.<br />
95,0 cm 2<br />
26 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS<br />
r
EKSEMPEL 25<br />
Else sprang 400 meter pa˚ 64 sekund. Kor stor fart heldt ho?<br />
Vi kan bruke same <strong>for</strong>melen som i eksemplet framan<strong>for</strong>.<br />
Men denne gongen vel vi a˚ bruke ein sa˚kalla «trekant<strong>for</strong>mel».<br />
Vi set inn <strong>for</strong> s og t og finn at farten v er lik<br />
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.44<br />
a) Oda ga˚r med farten 6 km=h.<br />
Kor langt kjem ho etter 1;5 timar?<br />
b) Ein bilførar køyrer med farten 80 km=h.<br />
Kor lang tid bruker han pa˚ a˚ køyre 280 km?<br />
c) Simen brukte 8;2 sekund pa˚ 60-meteren.<br />
Rekn ut farten hans i meter per sekund.<br />
DrÖfting 1.45<br />
Sja˚ pa˚ skrivema˚tane nedan<strong>for</strong>.<br />
Veit de kva dei sta˚r <strong>for</strong>?<br />
O ¼ 2 r H2O<br />
C4 ¼ B3 A2=100 U ¼ R I<br />
Diskuter i gruppa:<br />
a) Kva <strong>for</strong> uttrykk ovan<strong>for</strong> er matematiske <strong>for</strong>mlar?<br />
b) Kva tyder dei ulike symbola?<br />
c) Finst det reglar <strong>for</strong> val av symbol?<br />
d) Kva er <strong>for</strong>delen med a˚ bruke <strong>for</strong>mlar?<br />
e) Kven bruker <strong>for</strong>mlar?<br />
OppgÔve 1.46<br />
Snikkarverkstaden AS har spesialisert seg pa˚ a˚<br />
lage gardinstenger. Materialet til ei gardinstong<br />
kostar 15 kroner, mens faste kostnader som lønn,<br />
straumutgifter og leige av lokale utgjer 2600 kroner<br />
dagen.<br />
a) Snikkarverkstaden AS produserer x gardinstenger<br />
om dagen. Forklar at <strong>for</strong>melen <strong>for</strong><br />
samla kostnader per dag, K, kan skrivast<br />
K ¼ 15x þ 2600.<br />
b) Rekn ut kor store dei samla kostnadene blir<br />
ein dag dei produserer 120 gardinstenger.<br />
c) Kor mange gardinstenger vart produserte da˚<br />
dei samla kostnadene var 3950 kroner?<br />
400 m<br />
64 s<br />
¼ 6;25 m=s.<br />
TREKANTFORMEL<br />
DrÖfting 1.47<br />
Kroppsmasseindeksen KMI er eit ma˚l pa˚ <strong>for</strong>holdet<br />
mellom kor mange kilogram du veg,<br />
og kvadratet av høgda di.<br />
Formelen kan skrivast slik: KMI ¼ m<br />
.<br />
h2 Her ma˚ler vi m i kilogram og h i meter.<br />
a) Rekn ut KMI <strong>for</strong> ein gut som veg 66 kg og<br />
er 1;76 m høg.<br />
b) Ei jente som er 1;66 m høg, har KMI lik 20;9.<br />
Kor mykje veg jenta?<br />
c) Kva meiner de om bruken av ein slik indeks?<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.4 8<br />
Ida og Sara har same typen telefonabonnement.<br />
Dei betaler ein fast sum i tillegg til at dei betaler<br />
<strong>for</strong> kor mange teljarskritt dei ringjer. Den siste<br />
telefonrekninga var pa˚ 480 kroner <strong>for</strong> Ida,<br />
som hadde ringt 225 teljarskritt, mens Sara<br />
hadde ringt 175 teljarskritt og ma˚tte betale<br />
440 kroner.<br />
Lag ein <strong>for</strong>mel som viser kor mykje som ma˚<br />
betalast na˚r dei ringjer x teljarskritt.<br />
s<br />
v t<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 27
1.10 SmÔ og store tal<br />
Du skal l×re<br />
^ korleis vi kan skrive smÔ og store tal pÔ standard<strong>for</strong>m<br />
^ korleis lommereknaren reknar med smÔ og store tal<br />
Du hugsar kanskje at vi gongar med 10 ved a˚ flytte desimalkommaet<br />
ein plass mot høgre: 75;43 10 ¼ 754;3.<br />
Pa˚ same ma˚ten deler vi med 10 ved a˚ flytte desimalkommaet ein plass<br />
mot venstre: 75;43 : 10 ¼ 7;543.<br />
Potensen 10 2 <strong>for</strong>tel at vi skal gonge med 10 to gonger. Vi flytter<br />
desimalkommaet to plassar mot høgre og fa˚r 75;43 10 2 ¼ 7543.<br />
I matematikk er det vanleg a˚ bruke skrivema˚ten 10 2 na˚r vi skal dele<br />
med 10 to gonger. Altsa˚ flytter vi desimalkommaet to plassar mot venstre<br />
og fa˚r 75;43 10 2 ¼ 0;7543.<br />
Lommereknaren <strong>for</strong>sta˚r denne skrivema˚ten. Vi tastar 75:43 10 ^ 2<br />
og fa˚r det same svaret. Her ma˚ vi hugse a˚ bruke <strong>for</strong>teiknsminus ( )<br />
pa˚ lommereknaren.<br />
EKSEMPEL 26<br />
Rekn ut pa˚ lommereknaren:<br />
1<br />
a) 24 000 000 5630 b)<br />
128 000<br />
Løysing:<br />
a) Svaret pa˚ lommereknaren er 1:3512 E 11.<br />
Det sta˚r <strong>for</strong> talet 1;3512 1011 ¼ 135 120 000 000.<br />
b) Svaret pa˚ lommereknaren er 7:8125 E - 6.<br />
Det sta˚r <strong>for</strong> talet 7;8125 10 6 ¼ 0;000 007 812 5<br />
Eit hydrogenatom veg 1;67 10 27 kg. Na˚r vi skriv talet pa˚ desimal<strong>for</strong>m,<br />
fa˚r vi 0;000 000 000 000 000 000 000 000 001 67.<br />
Avstanden fra˚ sola til planeten Pluto er 5;96 10 9 km.<br />
Dette er ein annan skrivema˚te <strong>for</strong> talet 5 960 000 000.<br />
Du ser kor oversiktleg det kan vere a˚ skrive tala med tiarpotensar!<br />
Vi seier at tala er skrivne pa˚ standard<strong>for</strong>m.<br />
I dei neste to eksempla skal vi øve oss pa˚ denne skrivema˚ten.<br />
VI FLYTTER<br />
DESIMALKOMMAET<br />
10 2 vil seie Ô gonge med 10<br />
to gonger.V| £ytter desimalkommaet<br />
to plassar mot<br />
hÖgre.<br />
10 2 vil seie Ô dele med 10<br />
to gonger.V| £ytter desimalkommaet<br />
to plassar mot<br />
venstre.<br />
SKRIVEMA˚TEN<br />
PA˚ LOMMEREKNAREN<br />
8:3E5stÔr <strong>for</strong> talet<br />
8,3 10 5 ¼ 830 000<br />
8:3E - 5 stÔr <strong>for</strong> talet<br />
8,3 10 5 ¼ 0,000 083<br />
TAL PA˚<br />
STANDARDFORM<br />
a 10 k<br />
^ a er eit tal mellom<br />
1 og 10<br />
^ k er eit heilt tal<br />
28 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
EKSEMPEL 27<br />
Skriv tala pa˚ standard<strong>for</strong>m:<br />
a) 5200 b) 0;000 063<br />
Løysing:<br />
a) 5200 ¼ 5;2 1000 ¼ 5;2 103 b) 0;000 063 ¼ 6;3 : 100 000 ¼ 6;3 10 5<br />
EKSEMPEL 28<br />
Planeten Saturn er 1;43 10 12 meter unna oss. Lyset ga˚r med<br />
ein fart pa˚ 3;0 10 8 meter per sekund. Ein romsonde sender<br />
eit signal til jorda fra˚ Saturn. For a˚ finne kor lang tid signalet<br />
bruker, ma˚ vi dividere strekninga med farten:<br />
Tid ¼ strekning<br />
fart<br />
¼<br />
1;43 10 12 meter<br />
3;0 10 8 meter per sekund<br />
4770 sekund<br />
Na˚r vi bruker lommereknar til a˚ rekne med tal pa˚ standard<strong>for</strong>m, er det av<br />
og til nødvendig a˚ setje parentesar <strong>for</strong> a˚ unnga˚ feil. Vi kan sleppe a˚ setje<br />
parentesar dersom vi skriv inn tala pa˚ denne ma˚ten:<br />
Casio: Talet 8;3 105 skriv vi inn som 8:3 EXP 5.<br />
Texas: Talet 8;3 105 skriv vi inn som 8:3 2nd EE 5.<br />
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.49<br />
Rekn ut ved hjelp av lommereknaren og skriv<br />
svara ba˚de pa˚ standard<strong>for</strong>m og som vanlege tal:<br />
a) 7 020 000 820 000 b) 2 900 000 51 000<br />
c)<br />
73<br />
19 000 000 000<br />
d)<br />
850<br />
271 000 000<br />
OppgÔve 1.50<br />
Skriv svara pa˚ standard<strong>for</strong>m:<br />
a) Gjer om 13;2 meter til millimeter.<br />
b) Gjer om 7;5 kilometer til centimeter.<br />
c) Gjer om 2 desimeter til kilometer.<br />
OppgÔve 1.51<br />
Eit lysa˚r er den avstanden lyset ga˚r pa˚ eit a˚r.<br />
Eit lysa˚r er lik 9;46 1015 meter.<br />
a) Gjer om talet fra˚ standard<strong>for</strong>m til vanleg tal.<br />
b) Kor mange meter per sekund er lysfarten?<br />
DrÖfting 1.52<br />
Bakteriane økslar seg ved at ei bakteriecelle<br />
deler seg og blir til to celler. Dersom bakteriane<br />
har nok mat og plass, kan denne delinga skje<br />
kvar time. Etter éin time er det to bakteriar,<br />
etter to timar er det 2 2 ¼ 4 bakteriar,<br />
og sa˚ vidare.<br />
a) Kor mange bakteriar kan det teoretisk bli<br />
etter eitt døgn? Skriv svaret pa˚ standard<strong>for</strong>m.<br />
b) Kan denne auken halde fram vidare i same<br />
tempoet? Kommenter.<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.53<br />
Kvart hydrogenatom har massen 1;67 10 27 kg.<br />
Kor mange atom er det i 1 kg hydrogen?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 29
1.11 Forholdstal ^ kor mykje av kvar del?<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô rekne med <strong>for</strong>hold og <strong>for</strong>holdstal i praktiske oppgÔver<br />
I mange situasjonar i dagleglivet gjer vi bruk av tal<strong>for</strong>hold.<br />
Kart, arbeidsteikningar og blandings<strong>for</strong>hold er nokre eksempel.<br />
EKSEMPEL 29<br />
Pa˚ ei flaske hushaldssaft sta˚r det at vi skal blande éin del<br />
saft med fire delar vatn. Forholdet mellom saft og vatn skriv<br />
vi da˚ 1 : 4. Motsett er <strong>for</strong>holdet mellom vatn og saft lik 4 : 1.<br />
a) Kor mykje vatn ma˚ blandast med 3 dl saft?<br />
b) Kor mykje saft har vi brukt dersom vi set til 6 dl vatn?<br />
c) Kor mykje rein saft ma˚ blandast med vatn <strong>for</strong> a˚ lage 2 liter<br />
ferdigblanda saft?<br />
Løysing:<br />
a) Éin del saft skal blandast med fire delar vatn. Da˚ ma˚ 3 dl saft<br />
blandast med 3 dl 4 ¼ 12 dl vatn.<br />
b) Det skal vere fire gonger sa˚ mykje vatn som saft. Det gir 6dl<br />
¼ 1;5 dl saft.<br />
4<br />
c) Ferdigblanda saft inneheld éin del saft og fire delar vatn.<br />
Saftmengda er der<strong>for</strong> 1=5 av den totale blandinga. Vi gjer om<br />
til desiliter og fa˚r 2 liter ¼ 20 dl. Mengda av rein saft er<br />
EKSEMPEL 30<br />
a) Eit sim-kort har lengda 2;5 cm og breidda 1;5 cm.<br />
Kva er <strong>for</strong>holdet mellom lengda og breidda?<br />
b) Eit rektangel med lengda 21 cm er <strong>for</strong>mlikt med sim-kortet.<br />
Kor breitt er rektanglet?<br />
20 dl<br />
5<br />
¼ 4 dl.<br />
Løysing:<br />
2;5 cm<br />
a) Forholdet mellom lengda og breidda er<br />
1;5 cm 1;67.<br />
b) Her kan vi rekne ut det motsette tal<strong>for</strong>holdet.<br />
1;5 cm<br />
Forholdet mellom breidda og lengda av sim-kortet er ¼ 0;6.<br />
2;5 cm<br />
Breidda av rektanglet blir da˚ 21 cm 0;6 ¼ 12;6 cm.<br />
Vi kunne òg ha delt lengda med tal<strong>for</strong>holdet i a.<br />
21 cm<br />
Det gir 12;6 cm.<br />
1;67<br />
30 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
Orienteringskart har ofte ma˚lestokken 1 : 10 000. Vi seier «ein til ti tusen».<br />
1cmpa˚ kartet er 10 000 cm i terrenget, som er det same som 100 m.<br />
EKSEMPEL 31<br />
Vi har eit orienteringskart i ma˚lestokken 1 : 10 000.<br />
a) Kor mange meter i terrenget er det i luftlinje mellom<br />
to postar na˚r avstanden pa˚ kartet er 5;7 cm?<br />
b) Kor mange centimeter er det mellom to innteikna postar<br />
pa˚ eit kart na˚r det i luftlinje er 1200 meter mellom postane?<br />
Løysing:<br />
a) Her gongar vi med 10 000 <strong>for</strong>di vi ga˚r fra˚ kart til terreng.<br />
Avstanden i terrenget blir 5;7 10 000 cm ¼ 57 000 cm ¼ 570 m.<br />
b) 1200 m er lik 120 000 cm. Vi deler pa˚ ma˚lestokken ð10 000Þ<br />
<strong>for</strong>di vi ga˚r fra˚ terreng til kart.<br />
Avstanden pa˚ kartet blir<br />
AKTIVITETAR<br />
120 000 cm<br />
10 000<br />
¼ 12 cm.<br />
OppgÔve 1.54<br />
Eit turkart har ma˚lestokken 1 : 50 000.<br />
a) Kva viser denne ma˚lestokken i praksis?<br />
b) Kor lang er ein tur som ma˚ler 11;5 cmpa˚kartet? c) Avstanden mellom to fjelltoppar er 14 km<br />
i luftlinje. Kva svarar det til pa˚ kartet?<br />
ParoppgÔve 1.55<br />
Ei arbeidsteikning er laga i ma˚lestokk 1 : 10,<br />
mens ei anna arbeidsteikning er i ma˚lestokk 10 : 1.<br />
Kva er skilnaden?<br />
Prøv a˚ finne eksempel som kan passe til dei<br />
to ma˚lestokkane.<br />
OppgÔve 1.56<br />
Ein dag betalte vi 7;90 norske kroner <strong>for</strong> 1 euro.<br />
a) Kor mange norske kroner fekk vi da˚ <strong>for</strong><br />
117 euro?<br />
b) Kor mange euro fekk vi <strong>for</strong> 3500 norske kroner?<br />
DrÖfting 1.57<br />
Ei lightsaft skal blandast i <strong>for</strong>holdet 1 : 9, det vil<br />
seie éin del saft og ni delar vatn. Arne vil rekne ut<br />
kor mykje saft som ga˚r med til a˚ lage 5 liter ferdigblanda<br />
saft. Han set opp dette reknestykket:<br />
5 liter 1<br />
0;56 liter ¼ 5;6 dl<br />
9<br />
Forklar kor<strong>for</strong> utrekninga til Arne er feil.<br />
Rekn ut den korrekte saftmengda.<br />
Miniprosjekt 1.58<br />
a) Vi har to linjestykke pa˚ 1;2 m og 1;5 m.<br />
Rekn ut det lineære tal<strong>for</strong>holdet mellom den<br />
lange og den korte linja.<br />
b) Vi har to kvadrat, det eine med sider<br />
pa˚ 1;2 m og det andre med sider pa˚ 1;5 m.<br />
Kva er <strong>for</strong>holdet mellom areala av det store<br />
kvadratet og det vesle kvadratet?<br />
c) Forklar kva <strong>for</strong>holdstalet mellom det største og<br />
det minste volumet er na˚r vi har to kubar med<br />
sidene 1;2 m og 1;5 m.<br />
d) Kva slags samanheng er det mellom tal<strong>for</strong>holda<br />
<strong>for</strong> volum, areal og rette linjer?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 31
1.12 Prosent og prosentpoeng ^ kva er skilnaden?<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô lÖyse oppgÔver med prosent nÔr vi kjenner den opphavlege verdien og prosenten<br />
^ Ô rekne med prosentpoeng<br />
^ Ô <strong>for</strong>klare skilnaden pÔ prosentvis endring og prosentpoeng<br />
Na˚r vi reknar med prosent, er det viktig a˚ vere klar over at prosenten<br />
heng saman med kva som er grunnlaget. 10 % rabatt pa˚ eit par sokkar<br />
er mykje mindre i kroner enn 10 % rabatt pa˚ ei dyr jakke.<br />
EKSEMPEL 32<br />
Ein haust sel ei sports<strong>for</strong>retning syklar med 35 % rabatt.<br />
Line vurderer a˚ kjøpe ein sykkel som har kosta 5600 kroner.<br />
Kor mange kroner blir rabatten pa˚?<br />
Løysing:<br />
opphavleg verdi prosent<br />
Rabatt ¼<br />
100<br />
Rabatten blir 1960 kroner.<br />
EKSEMPEL 33<br />
¼<br />
5600 kr 35<br />
100<br />
¼ 1960 kr<br />
I skulea˚ret 2005–2006 var det 660 elevar ved ein vidarega˚ande skule.<br />
A˚ ret etter hadde elevtalet auka med 5 %.<br />
Kor mange elevar hadde skulen i 2006–2007?<br />
Løysing:<br />
Vi bruker same <strong>for</strong>melen som ovan<strong>for</strong>. I tillegg ma˚ vi hugse pa˚<br />
a˚ leggje auken til den opphavlege verdien:<br />
660 elevar 5<br />
Auke ¼ ¼ 33 elevar<br />
100<br />
660 elevar þ 33 elevar ¼ 693 elevar<br />
I skulea˚ret 2006–2007 hadde skulen 693 elevar.<br />
Mange bruker prosent og prosentpoeng om kvarandre. Prosentpoeng<br />
er vanleg a˚ bruke na˚r vi <strong>for</strong> eksempel skal presentere framgang og<br />
tilbakegang <strong>for</strong> politiske parti. Vidare ga˚r indeksrekning (kapittel 5) ut pa˚<br />
a˚ samanlikne endringar i prosentpoeng.<br />
PROSENT<br />
Prosent tyder per hundre<br />
eller hundredel.<br />
For eksempel er<br />
7%¼ 7<br />
¼ 0,07<br />
100<br />
ENDRING<br />
Vi finn endringa som<br />
opphavleg verdi prosent<br />
100<br />
NY VERDI<br />
Ny verdi ved ein auke:<br />
opphavleg verdi þ auke<br />
Ny verdi ved ein nedgang:<br />
opphavleg verdi nedgang<br />
32 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
EKSEMPEL 34<br />
Lise har fa˚tt ein renteauke fra˚ 2;5 % til 3;0 % pa˚ eit bustadla˚n.<br />
Kor stor var renteauken<br />
a) i prosentpoeng b) i prosent<br />
Løysing:<br />
a) Auke i prosentpoeng: 3;0 2;5 ¼ 0;5<br />
Renteauken var pa˚ 0;5 prosentpoeng.<br />
endring 100 % 0;5 100 %<br />
b) Auke i prosent: ¼ ¼ 20 %<br />
opphavleg verdi 2;5<br />
Renteauken var pa˚ 20 %.<br />
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.59<br />
Kor mykje er<br />
a) 5 % av 340 kroner<br />
b) 27 % av 125 000 kroner<br />
c) 0;65 % av 860 gram<br />
d) 230 % av 12;40 kroner<br />
OppgÔve 1.60<br />
Rekn ut:<br />
a) Ei bukse kosta opphavleg 920 kroner.<br />
Prisen vart sett ned 70 %.<br />
Kor mykje kosta buksa pa˚ sal?<br />
b) Ein bustad steig i verdi med 28 %. Kvavar<br />
verdien etter denne stigninga na˚r bustaden<br />
i utgangspunktet var verd 960 000 kroner?<br />
c) Ein fotballspelar ønskjer a˚ auke treningsmengda<br />
med 40 %. Han trenar gjennomsnittleg<br />
12;5 timar i veka. Kor mykje ma˚ han trene per<br />
veke <strong>for</strong> a˚ greie ma˚lsetjinga si?<br />
OppgÔve 1.61<br />
Truls Olsen har ei a˚rslønn pa˚ 205 000 kroner.<br />
Under eit lønnsoppgjer fa˚r han eit lønnstillegg<br />
pa˚ 5;2 %.<br />
a) Kor mange kroner var lønnsauken pa˚?<br />
b) Kva blir den nye lønna til Truls Olsen?<br />
PROSENT OG PROSENTPOENG<br />
I prosentrekning mÔ vi ta utgangspunkt<br />
i opphavleg verdi.<br />
Prosentpoeng er di¡eransen<br />
mellom to prosenttal.<br />
DrÖfting 1.62<br />
Det blir gjort ein del feil ved bruk av prosent.<br />
Vi kan tenkje oss dette sitatet: «Tilskot til lag<br />
og <strong>for</strong>einingar har i gjennomsnitt ga˚tt ned med<br />
5 %, fra˚ 30 % til 25 %, dei siste a˚ra.»<br />
Kor<strong>for</strong> er dette feil? Gi ei <strong>for</strong>klaring.<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.63<br />
Fra˚ Aftenposten i 2002 saksar vi: «SAS har mistet<br />
tillit i det norske folk. Hele 43 % oppgir at de har<br />
et negativt inntrykk av bedriften. Siden a˚ret før<br />
har andelen nordmenn med et da˚rlig inntrykk av<br />
selskapet økt med 25 prosentpoeng.»<br />
Kor stor var auken i prosent fra˚ 2001<br />
til 2002?<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.64<br />
Eit par damesko kosta 1250 kroner. Skoa kjem pa˚<br />
sal, og prisen blir sett ned 15 %.<br />
Etter salet blir prisen sett opp att 15 %.<br />
a) Forklar utan a˚ gjere utrekningar kor<strong>for</strong> skoa<br />
ikkje vil koste det same som i utgangspunktet.<br />
Blir skoa billigare eller dyrare enn<br />
1250 kroner?<br />
b) Rekn ut kor mykje skoa kosta etter at prisen<br />
vart sett opp att.<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 33
1.13 Prosentrekning ^ nÔr prosenten er ukjend<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô rekne ut prosenten nÔr vi kjenner den opphavlege verdien og endringa<br />
^ Ô rekne ut prosenten nÔr vi kjenner den opphavlege verdien og den nye verdien<br />
I somme situasjonar i kvardagen kan det vere interessant a˚ rekne ut kor stor<br />
prosenten er. Eit eksempel kan vere kor mange prosent ein bil har tapt seg i<br />
verdi. Vi viser to reknema˚tar: «vegen om 1» og rekning med <strong>for</strong>mel.<br />
EKSEMPEL 35<br />
Per og Anne skulle løyse ei oppga˚ve: Billigmøblar AS ønskjer a˚ selje<br />
ut kommodane dei har pa˚ lager. Store kommodar er sette ned med<br />
350 kroner fra˚ 1200 kroner, og sma˚ kommodar med 200 kroner fra˚<br />
750 kroner. Kva slags kommodetype har størst prosentvis avslag?<br />
Per løyste oppga˚va ved a˚ bruke <strong>for</strong>mel:<br />
Stor kommode:<br />
350 kroner 100 %<br />
Prosent ¼<br />
1200 kr<br />
29;2 %<br />
Liten kommode:<br />
200 kroner 100 %<br />
Prosent ¼<br />
750 kr<br />
26;7 %<br />
Anne løyste oppga˚va ved a˚ ga˚ «vegen om 1»:<br />
Stor kommode:<br />
1200 kroner<br />
1 % svarar til ¼ 12 kroner.<br />
100<br />
350 kroner svarar til 350<br />
%<br />
12<br />
29;2 %.<br />
Liten kommode:<br />
750 kroner<br />
1 % svarar til ¼ 7;50 kroner.<br />
100<br />
200 kroner svarar til 200<br />
%<br />
7;50<br />
Den store kommoden har størst prosentvis avslag.<br />
26;7 %.<br />
EKSEMPEL 36<br />
Ein bustad steig i pris fra˚ 1 270 000 kroner til 1 358 900 kroner.<br />
Kor stor var prisstigninga?<br />
Løysing:<br />
Vi reknar først ut endringa. Sa˚ bruker vi ein av reknema˚tane ovan<strong>for</strong>.<br />
Auke i verdi: 1 358 900 kr 1 270 000 kr ¼ 88 900 kr<br />
Prosent med <strong>for</strong>mel:<br />
Prisstigninga var 7 %.<br />
endring 100 % 88 900 kr 100 %<br />
¼ ¼ 7 %<br />
opphavleg verdi 1 270 000 kr<br />
VI FINN PROSENTEN<br />
Formel:<br />
endring 100 %<br />
Prosent ¼<br />
opphavleg verdi<br />
ßVegen om 1ý:<br />
Opphavleg verdi er 100 %.<br />
opphavleg verdi<br />
^ 1 % er .<br />
100<br />
^ Del endringa med dette<br />
talet.<br />
34 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.65<br />
Kor mange prosent utgjer<br />
a) 12 av 20<br />
b) 12 av 200<br />
c) 24 av 200<br />
d) 6 av 200<br />
OppgÔve 1.66<br />
Silje har nettopp sett personleg rekord i lengde pa˚<br />
4;78 meter. Den gamle rekorden var 4;69 meter.<br />
Kor mange prosent var <strong>for</strong>betringa pa˚?<br />
OppgÔve 1.67<br />
Av 280 bilar som passerte ein fartskontroll,<br />
køyrde 35 <strong>for</strong> <strong>for</strong>t. Sju av desse bilførarane miste<br />
førarkortet.<br />
a) Kor mange prosent køyrde <strong>for</strong> <strong>for</strong>t?<br />
b) Kor mange prosent køyrde <strong>for</strong> <strong>for</strong>t, men miste<br />
ikkje førarkortet?<br />
c) Kor mange prosent av dei som køyrde <strong>for</strong> <strong>for</strong>t,<br />
miste førarkortet?<br />
OppgÔve 1.68<br />
Tiril er 159 cm høg, mens Marion er 172 cm høg.<br />
a) Kor mange prosent høgare er Marion enn Tiril?<br />
b) Kor mange prosent la˚gare er Tiril enn Marion?<br />
c) Kommenter svara.<br />
OppgÔve 1.69<br />
Eit gartneri reklamerer med at kundane kan velje<br />
tre rosebuskar og betale <strong>for</strong> to.<br />
Diskuter kor mange prosent avslaget er pa˚.<br />
(Tips: Na˚r det ikkje er gitt tal i prosentoppga˚ver,<br />
kan du sjølv setje inn tal.)<br />
DrÖfting 1.70<br />
Ved ein vidarega˚ande skule arbeidde elevra˚det<br />
med a˚ setje i verk tiltak <strong>for</strong> a˚ redusere elevfra˚været<br />
ved skulen. Dei ha˚pa at fra˚været skulle<br />
ga˚ ned fleire hundre prosent.<br />
Diskuter om dette er mogleg.<br />
Miniprosjekt 1.71<br />
Omar og Karl vurderer a˚ kjøpe heimekinoanlegg.<br />
Dei ser pa˚ eit anlegg fra˚ Sony til 12 000 kroner.<br />
Under romjulssalet er prisen sett ned 50 %. Siste<br />
salsdagen blir prisen sett ned ytterlegare 30 %.<br />
«Flott,» seier Karl, «no har eg ra˚d til a˚ kjøpe<br />
heimekinoanlegget, <strong>for</strong> no er det sett ned 80 %.<br />
No skal eg berre betale 2400 kroner.»<br />
Omar er ikkje samd i resonnementet til Karl.<br />
Han meiner at Karl skal betale 4200 kroner.<br />
Kven har rett?<br />
Kor mange prosent er prisen sett ned totalt?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 35
1.14 Prosentrekning ^ nÔr opphavleg verdi er ukjend<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô rekne ut den opphavlege verdien nÔr du kjenner prosenten og endringa<br />
^ Ô rekne ut den opphavlege verdien nÔr du kjenner prosenten og den nye verdien<br />
Na˚r den opphavlege verdien er ukjend, kan vi ga˚ «vegen om 1».<br />
I neste kapittel skal vi lære a˚ løyse slike problem med vekstfaktor.<br />
Vekstfaktoren høver godt na˚r det er fleire prosentvise tillegg,<br />
men vi kan òg bruke metoden pa˚ oppga˚vene i dette kapitlet.<br />
EKSEMPEL 37<br />
I ein annonse <strong>for</strong> langrennsski sta˚r det at skia er sette ned 60 %.<br />
Det svarar til 1260 kr i avslag. Kor mykje kosta skia opphavleg?<br />
Løysing:<br />
Her er endringa 1260 kr. Det svarar til 60 %:<br />
1 1 % svarar til<br />
1260 kr<br />
¼ 21 kr.<br />
60<br />
Vi skal finne den opphavlege verdien, som svarar til 100 %:<br />
2 100 % svarar til 100 21 kr ¼ 2100 kr.<br />
Skia kosta opphavleg 2100 kr.<br />
EKSEMPEL 38<br />
Stig og Anne Hansen selde huset sitt <strong>for</strong> 2 520 000 kroner.<br />
Det var 80 % meir enn dei sjølve hadde betalt <strong>for</strong> huset.<br />
Kor mykje kosta huset da˚ dei kjøpte det?<br />
Løysing:<br />
Ein auke pa˚ 80 % gir ein «total prosent» pa˚ 100 % þ 80 % ¼ 180 %.<br />
Den nye verdien er altsa˚ 180 % av den opphavlege verdien.<br />
Den nye verdien er 2 520 000 kr. Det svarar til 180 %.<br />
Vi skal finne den opphavlege verdien, som svarar til 100 %:<br />
1 1 % svarar til<br />
2 520 000 kr<br />
¼ 14 000 kr.<br />
180<br />
2 100 % svarar til 100 14 000 kr ¼ 1 400 000 kr.<br />
Huset kosta 1 400 000 kr da˚ Stig og Anne kjøpte det.<br />
OPPHAVLEG VERDI<br />
NA˚R VI KJENNER<br />
PROSENTEN OG ENDRINGA<br />
Rekninga gÔr i to etappar:<br />
1Finnkva1 % svarar til.<br />
2Opphavlegverdier100 %.<br />
OPPHAVLEG VERDI<br />
NA˚R VI KJENNER<br />
PROSENTEN OG NY VERDI<br />
FÖrst mÔ vi rekne ut den<br />
ßtotale prosentený.<br />
Deretter bruker vi dei same<br />
to etappane som ovan<strong>for</strong>:<br />
ny verdi<br />
1Finn1 % som<br />
«total prosent»<br />
2Opphavlegverdier100 %.<br />
36 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.72<br />
Finn den opphavlege verdien na˚r<br />
a) 20 % utgjer 350 kroner<br />
b) prisen er 13 000 kroner etter at han<br />
er sett opp 8 %<br />
c) prisen er 740 kroner etter at han er sett ned 38 %<br />
d) 135 % utgjer 420 kroner<br />
OppgÔve 1.73<br />
Ulrik arbeider som flyteknikar. Kvar ma˚nad bruker<br />
han 7500 kroner til a˚ betale faste utgifter. Det<br />
svarar til 40 % av det han fa˚r utbetalt kvar ma˚nad.<br />
Kor mykje fa˚r Ulrik utbetalt i ma˚naden?<br />
OppgÔve 1.74<br />
Ein bil<strong>for</strong>handlar ma˚ auke utsalsprisen pa˚ bruktbilar<br />
med 2;5 % pa˚ grunn av endra valutakursar.<br />
a) Kva blir den nye prisen pa˚ ein bil som tidlegare<br />
kosta 150 000 kroner?<br />
b) Ein bil kostar no 248 000 kroner.<br />
Kor mykje kosta denne bilen før prisauken?<br />
OppgÔve 1.75<br />
Tine kjøper ein mobiltelefon til 1999 kroner etter at<br />
prisen er sett ned 20 %. Kor mykje kosta mobiltelefonen<br />
ordinært?<br />
OppgÔve 1.76<br />
Familien Moe har redusert straum<strong>for</strong>bruket<br />
med 8 % i 2005 til 29 850 kWh.<br />
Kor stort var straum<strong>for</strong>bruket i 2004?<br />
OppgÔve 1.77<br />
Ein klesbutikk kjøpte inn klede <strong>for</strong> 35 000 kroner<br />
medrekna meirverdiavgift pa˚ 25 %.<br />
Kor mykje kosta desse kleda utan meirverdiavgift?<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.78<br />
Fra˚ 2004 til 2005 gjekk løyvingane til ein<br />
sjukeheim ned med 4;5 %. Fra˚ 2005 til 2006<br />
auka løyvingane med 3;0 %. Kor stor var løyvinga<br />
i 2004 na˚r ho var 2 150 000 kroner i 2006?<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.79<br />
Ein familie har ei fast inntekt per ma˚nad.<br />
I august brukte dei 3600 kroner til mat.<br />
Matutgiftene i september var 1;5 % høgare.<br />
a) Kor store var matutgiftene i september?<br />
b) I september utgjorde matutgiftene 12 % av<br />
inntekta. Kor stor var inntekta?<br />
c) Vi reknar med at resten av inntekta ga˚r til anna<br />
<strong>for</strong>bruk og sparing. Kor mange prosent av<br />
inntekta ga˚r til sparing na˚r anna <strong>for</strong>bruk utgjorde<br />
15 400 kroner i september?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 37
1.15 ProblemlÖysing ^ mange vegar til mÔl<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô analysere og lÖyse praktiske oppgÔver<br />
^ Ô bruke varierte lÖysingsmetodar<br />
EKSEMPEL 39<br />
Kari leigde bil til ein ferietur. Ho ma˚tte betale ein fast sum pa˚<br />
1200 kroner, i tillegg til 1;60 kroner per kilometer. Da˚ ho kom attende<br />
fra˚ ferien, betalte ho 2600 kroner. Kor langt hadde Kari køyrt?<br />
Løysing:<br />
Vi kan starte med a˚ trekkje fra˚ den faste summen:<br />
2600 kroner 1200 kroner ¼ 1400 kroner<br />
Vi finn kor mange kilometer Kari køyrde, ved a˚ dele 1400 kroner<br />
1400 kroner<br />
pa˚ prisen per kilometer. Kari køyrde ¼ 875 km<br />
1;60 kr=km<br />
EKSEMPEL 40<br />
Familien til Per driv ein kennel, og i hagen har dei ein stor<br />
andedam. Na˚r Per blir spurt om kor mange hundar og ender dei<br />
har, svarar han: «Vi har 40 dyr, og dei har 116 bein til saman.»<br />
Anne, Bente og Cato greidde a˚ løyse problemet. Som du ser,<br />
løyste dei problemet pa˚ ulike ma˚tar:<br />
Prøv-deg-fram-metoden<br />
Anne prøvde seg fram. Dersom det er 10 hundar, blir det til<br />
saman 4 10 ¼ 40 bein. Da˚ ma˚ det i sa˚ fall vere 30 ender,<br />
med til saman 60 bein. Anne legg saman og finn at det<br />
berre blir 100 bein. Sa˚ prøver ho med 20 hundar og<br />
20 ender. Det blir 80 þ 40 bein, altsa˚ fire bein <strong>for</strong> mykje.<br />
Anne <strong>for</strong>sta˚r at det ma˚ vere to færre hundar. Per ma˚ ha<br />
18 hundar og 22 ender <strong>for</strong> at det skal bli 116 bein til saman.<br />
Talet pa˚ bein er 18 4 þ 22 2 ¼ 72 þ 44 ¼ 116.<br />
Logisk resonnement<br />
Cato veit at talet pa˚ bein endrar seg med 4 per hund og med 2 per and.<br />
Om Per berre hadde hatt hundar, ville det ha vore 116=4 ¼ 29 hundar.<br />
For kvar hund mindre blir det to ender meir <strong>for</strong> at talet pa˚ bein skal<br />
vere det same. Det skulle vere 40 dyr i alt, slik at med 11 færre hundar<br />
ma˚ det vere 11 2 ¼ 22 ender <strong>for</strong> at talet pa˚ bein framleis skal vere 116.<br />
Per hadde da˚ 29 11 ¼ 18 hundar.<br />
38 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
Likningssett<br />
Bente hugsa at dei lærte likningssett pa˚ ungdomsskulen.<br />
Ho kallar talet pa˚ hundar x og talet pa˚ ender y:<br />
Likning I: hundar i alt þ ender i alt ¼ 40<br />
x þ y ¼ 40<br />
Likning II: bein p˚a hundane þ bein p˚a endene ¼ 116<br />
4x þ 2y ¼ 116<br />
Da˚ ho løyste dette likningssettet, fekk ho x ¼ 18 og y ¼ 22.<br />
Altsa˚ var det 18 hundar og 22 ender.<br />
Som eksempel 40 viser, er det ofte fleire framgangsma˚tar som fører til<br />
svaret. Det er bra, <strong>for</strong> vi tenkjer jo ikkje likt!<br />
Na˚r du arbeider med problemløysing, er det viktig a˚ sja˚ etter om det er<br />
noko mønster i opplysningane, og a˚ jobbe systematisk. Det er lurt a˚<br />
tenkje gjennom kva slags løysingsmetodar som kan passe. I margen har<br />
vi skrive opp ein del nyttige tips til problemløysinga.<br />
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.80<br />
Kva blir dei tre neste tala?<br />
a) 2; 4; 6; ... b) 1; 4; 7; 10; ...<br />
c) 1; 3; 6; 10; 15; 21; ...<br />
OppgÔve 1.81<br />
1 4 9<br />
Vi kan tenkje oss at dei tre tala 1, 4 og 9<br />
dukkar opp som vist pa˚ figuren.<br />
a) Kva blir det neste talet (tal nummer 4)?<br />
b) Kva blir tal nummer 8?<br />
c) Kva kallar vi desse tala?<br />
OppgÔve 1.82<br />
Det skal setjast opp gjerde rundt eit jorde. Jordet<br />
har <strong>for</strong>m som eit rektangel, der den stuttaste sida<br />
er 23 meter. Kor lang er den lengste sida na˚r det ga˚r<br />
med 116 meter gjerde?<br />
PROBLEMLØYSING<br />
1Teiknsituasjonen.<br />
2 Skriv ned det du veit.<br />
3 PrÖv Ô finne ut kva som er<br />
problemet.<br />
4 Er det nokre opplysningar<br />
som manglar?<br />
OppgÔve 1.83<br />
Ei stor balje rommar 200 liter. Na˚r vasskrana er<br />
skrudd pa˚ fullt, renn det 16 liter per minutt.<br />
a) Kor lang tid tek det a˚ fylle balja?<br />
Ein dag vart balja fylt med vatn fra˚ ein hageslange<br />
i tillegg til vasskrana. Da˚ tok det a˚tte minutt a˚ fylle<br />
balja.<br />
b) Kor mange liter per minutt rann det gjennom<br />
hageslangen?<br />
Ut<strong>for</strong>dring 1.84<br />
Ola tenner to stearinlys som er like lange.<br />
Det eine lyset bruker fem timar pa˚ a˚ brenne ned,<br />
det andre berre tre timar. Ola lèt lysa brenne<br />
ei stund før han blæs dei ut. Da˚ er det eine<br />
lyset tre gonger sa˚ langt som det andre.<br />
Kor lenge lét Ola lysa brenne?<br />
(Tips: Teikn deg fram til svaret.)<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 39
1.16 Samansett eksempel<br />
EKSEMPEL 41<br />
Dersom ei trapp skal vere god a˚ ga˚ i, bør steghøgda<br />
(oppsteget) ikkje vere større enn 170 mm, og innsteget bør<br />
vere minst 230 mm. Trappe<strong>for</strong>melen kan uttrykkjast slik:<br />
To oppsteg pluss eitt innsteg utgjer til saman 630 mm:<br />
a) Kor<strong>for</strong> trur du det er laga ein trappe<strong>for</strong>mel?<br />
b) Set opp trappe<strong>for</strong>melen med ditt eige val av<br />
symbol.<br />
c) Kor langt ma˚ innsteget vere etter trappe<strong>for</strong>melen<br />
dersom oppsteget er 150 mm?<br />
INNSTEG<br />
d) Kor langt ma˚ oppsteget vere etter trappe<strong>for</strong>melen<br />
dersom innsteget er 290 mm?<br />
e) Vi ønskjer a˚ byggje ei trapp i ei 4;25 meter høg skra˚ning.<br />
Finn ut om det ga˚r opp i eit heilt tal trappesteg na˚r vilèt<br />
oppsteget vere først 150 mm og deretter 170 mm.<br />
Vi ønskjer a˚ lage ei trapp i tre og studerer prisane hos ulike<br />
trelasthandlarar. Det billigaste alternativet pa˚ trykkimpregnerte plankar<br />
er 8;60 kroner per meter. Firmaet gir 7 % rabatt ved kontant betaling.<br />
f) Kor mykje kostar dei trykkimpregnerte plankane per meter<br />
med 7 % rabatt?<br />
Naboen har ogsa˚ kjøpt plankar til trappa si hos denne trelasthandlaren.<br />
Han betalte 4700 kroner <strong>for</strong> materialane. Da˚ hadde han fa˚tt rabatt,<br />
<strong>for</strong> den ordinære prisen var 5370 kroner.<br />
g) Vi vil finne ut kor mange prosent rabatt naboen fekk, <strong>for</strong> a˚ krevje det<br />
same dersom dette tilbodet var betre. Kor mange prosent rabatt<br />
fekk naboen?<br />
Løysing:<br />
a) Det blir tilra˚dd a˚ følgje trappe<strong>for</strong>melen na˚r vi skal lage<br />
ei god trapp a˚ ga˚ i. Har trappa <strong>for</strong> sma˚ steg, blir ho<br />
slitsam a˚ ga˚ i, mens <strong>for</strong> høge oppsteg kan vere<br />
brysamt særleg <strong>for</strong> barn og eldre.<br />
b) Vi kallar oppsteget o og innsteget i. Da˚ fa˚r vi <strong>for</strong>melen<br />
2 o þ i ¼ 630<br />
c) Na˚r vi skal finne innsteget, kan vi gjere om <strong>for</strong>melen og skrive<br />
i ¼ 630 2 o<br />
Det gir<br />
i ¼ 630 2 150 ¼ 630 300 ¼ 330<br />
Innsteget ma˚ vere 330 mm.<br />
OPPSTEG<br />
40 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
d) Na˚r oppsteget er ukjent, kan vi skrive o ¼ 630 i<br />
2 2 .<br />
290<br />
Vi set inn og fa˚r o ¼ 315 ¼ 315 145 ¼ 170.<br />
2<br />
Oppsteget ma˚ vere 170 mm.<br />
e) Med oppsteg pa˚ 150 mm:<br />
4250 mm<br />
150 mm<br />
28;3 trappesteg<br />
Med oppsteg pa˚ 170 mm:<br />
4250 mm<br />
¼ 25 trappesteg<br />
170 mm<br />
Det ga˚r opp i eit heilt tal trappesteg na˚r oppstega er 170 mm.<br />
8;60 kroner 7<br />
f) Rabatten er<br />
100<br />
0;60 kroner.<br />
Plankane kostar 8;60 kroner 0;60 kroner ¼ 8;00 kroner.<br />
g) Naboen fekk rabatt pa˚ 5370 kroner 4700 kroner ¼ 670 kroner.<br />
5370 kroner<br />
1 % svarar til ¼ 53;70 kroner.<br />
100<br />
670 kroner<br />
Rabatten i prosent var 12;5 %.<br />
53;70 kroner<br />
AKTIVITETAR<br />
OppgÔve 1.85<br />
Samanhengen mellom temperaturen ma˚lt i grader<br />
celsius og i grader fahrenheit er gitt ved <strong>for</strong>melen<br />
F ¼ 9<br />
C þ 32<br />
5<br />
a) Kor høg er temperaturen ma˚lt i fahrenheitgrader<br />
na˚r det er 25 grader celsius ð25 CÞ?<br />
b) Gjer om <strong>for</strong>melen slik at celsiusgrader blir<br />
uttrykt ved fahrenheitgrader.<br />
c) Kor mange grader celsius er det na˚r det er<br />
50 grader fahrenheit ð50 FÞ?<br />
Ein temperaturskala som blir brukt i fysikken, er<br />
kelvinskalaen. Det er den absolutte temperaturen<br />
som blir ma˚lt i kelvin ðKÞ, og samanhengen mellom<br />
kelvin og grader celsius er gitt ved <strong>for</strong>melen<br />
C ¼ K 273;15<br />
d) Rekn ut kor mange celsiusgrader som svarar<br />
til 150 kelvin.<br />
e) Kor mange kelvin er dobbelt sa˚ høg temperatur<br />
som 0 grader celsius?<br />
OppgÔve 1.86<br />
Tonehøgda ma˚ler vi i talet pa˚ svingingar per<br />
sekund, som vi kallar frekvens. Eininga <strong>for</strong> frekvens<br />
er hertz ðHzÞ.<br />
1 Hz er lik éi svinging per sekund.<br />
I musikk har tonane pa˚ skalaen eit fast <strong>for</strong>hold til<br />
kvarandre. Ein la˚g C har frekvensen 264 Hz.<br />
Her er <strong>for</strong>holdstala <strong>for</strong> nokre av dei andre tonane<br />
i høve til la˚g C:<br />
D: 9 5 4<br />
; E: ; F:<br />
8 4 3<br />
Desse <strong>for</strong>holdstala ma˚ stemme <strong>for</strong> at vi skal<br />
oppfatte musikken som «rein». Na˚r eit piano,<br />
ein fiolin eller ein gitar er ustemd, er ikkje<br />
<strong>for</strong>holdet mellom tonane korrekt lenger.<br />
a) Bruk det gitte <strong>for</strong>holdstalet <strong>for</strong> D i høve til la˚gC.<br />
Kva er frekvensen til D?<br />
b) Kva er <strong>for</strong>holdet mellom G og la˚g Cna˚r G har<br />
frekvensen 396 Hz?<br />
c) Rekn ut frekvens<strong>for</strong>holdet mellom F og G.<br />
d) Pa˚ eit piano hadde E frekvensen 330 Hz.<br />
Finn ut om pianoet var ustemt.<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 41
SAMANDRAG<br />
MÔlepresisjon og gjeldande si¡er. s. 14 ^ 15.<br />
Storleiken 3;74 m har tre gjeldande siffer. Storleiken<br />
1;8 har to gjeldande siffer. Produktet 3;74 1;8 m 2<br />
skal da˚ ha den la˚gaste siffermengda av dei gitte<br />
storleikane, nemleg to. Svaret blir 6;7 m 2 .<br />
ReknerekkjefÖlgje og <strong>for</strong>teiknsreglar. s. 18^19.<br />
1 Parentes 2 Potens<br />
3 Gonge og dele 4 Pluss og minus<br />
– I uttrykket 3 þ 4 6 «bind» gongeteiknet sterkare<br />
enn plussteiknet, slik at vi reknar ut 4 6 først.<br />
Vi fa˚r 3þ4 6 ¼ 3 þ 24 ¼ 27.<br />
Merk at ð3 þ 4Þ 6 ¼ 7 6 ¼ 42.<br />
– Hugs <strong>for</strong>teiknsreglane:<br />
«minus gonger minus er pluss»<br />
«minus gonger pluss er minus»<br />
Enkel algebra. s. 20 ^ 21.<br />
–Na˚r vi skal multiplisere eit tal med ein<br />
parentes, multipliserer vi talet med kvart<br />
ledd inni parentesen:<br />
2 ðx þ 3Þ ¼2 x þ 2 3 ¼ 2x þ 6<br />
– Med minus fram<strong>for</strong> ein parentes opnar vi<br />
parentesen og skifter <strong>for</strong>teikn:<br />
5 ð3x 1Þ ¼5 3x þ 1 ¼ 6 3x<br />
– Ved multiplikasjon av to parentesar multipliserer<br />
vi kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd<br />
i den andre:<br />
ð3x þ 9Þðx 3Þ ¼3x 2<br />
9x þ 9x 27 ¼ 3x 2<br />
27<br />
BrÖkrekning. s. 21.<br />
–Na˚r vi skal leggje saman to brøkar, gjer vi om<br />
til same nemnaren og summerer teljarane:<br />
2 1 4 3 4 þ 3 7<br />
þ ¼ þ ¼ ¼<br />
3 2 6 6 6 6<br />
– Ved multiplikasjon av to brøkar multipliserer vi<br />
teljar med teljar og nemnar med nemnar og kortar:<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
¼ 3 5<br />
4 6<br />
¼ 15<br />
24<br />
¼ 5<br />
8<br />
LikningslÖysing. s. 22 ^ 23.<br />
Dei viktigaste hovuddraga na˚r viskalløyse<br />
likningar, er:<br />
– Gong inn i parentesane og opne dei.<br />
– Gong alle ledd med samnemnaren.<br />
– Saml ledda med x pa˚ venstre side.<br />
– Skift <strong>for</strong>teikn na˚r du flytter over ledd.<br />
– Divider med talet fram<strong>for</strong> x og kort brøken.<br />
Kvadratiske likningar. s. 24.<br />
For den kvadratiske likninga x2 ¼ a gjeld<br />
x 2 pffiffiffi<br />
¼ a ða 0Þ gir x ¼ a<br />
LÖysing av ulikskapar. s. 25.<br />
Ved ulikskapar ga˚r vi fram som ved likningar,<br />
men med éi endring:<br />
– Vi snur ulikskapsteiknet na˚r vi multipliserer eller<br />
dividerer med eit negativt tal.<br />
Formelrekning. s. 26 ^ 27.<br />
Vi har sett pa˚ tre alternative framgangsma˚tar ved<br />
<strong>for</strong>melrekning:<br />
– Vi set inn tal i <strong>for</strong>melen og løyser <strong>for</strong>melen som<br />
ei likning.<br />
–Vifa˚r den ukjende a˚leine pa˚ venstre side.<br />
– Somme <strong>for</strong>mlar kan setjast opp som «trekant<strong>for</strong>mlar».<br />
Standard<strong>for</strong>m. s. 28^ 29.<br />
Eit tal pa˚ standard<strong>for</strong>m er skrive slik: a 10 k .<br />
a er eit tal mellom 1 og 10, og k er eit heilt tal.<br />
Talet 236 000 pa˚ standard<strong>for</strong>m blir 2;36 105 .<br />
Vi flytter kommaet fem plassar mot venstre.<br />
Pa˚ lommereknaren skriv vi: 2:36 E 5<br />
Talet 0;000 41 blir 4;1 10 4 pa˚ standard<strong>for</strong>m.<br />
Vi flytter kommaet fire plassar mot høgre.<br />
Pa˚ lommereknaren skriv vi: 4:1 E-4 Prosent. s. 32 ^ 35.<br />
– Prosent tyder per hundre, slik at<br />
85 % ¼ 85<br />
¼ 0;85<br />
100<br />
– Prosentpoeng er differansen mellom to prosenttal.<br />
– Vi finn endringa som<br />
opphavleg verdi prosent<br />
endring ¼<br />
100<br />
– Vi finn prosenten som<br />
endring 100 %<br />
prosent ¼<br />
opphavleg verdi<br />
— f|nne opphavleg verdi.s. 36 ^ 37.<br />
Vi bruker «vegen om 1». Opphavleg verdi svarar<br />
til 100 %. Ein pris har auka med 15 % til kr 276.<br />
Vi skal finne den opphavlege prisen:<br />
115 % utgjer kr 276.<br />
1 % utgjer: kr 276<br />
¼ kr 2;40<br />
115<br />
100 % utgjer da˚ kr 240.<br />
42 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
TEST DEG SJÒLV<br />
Test 1.A<br />
Hege skal kjøpe plantar i hagesenteret. Ho ønskjer<br />
a˚ kjøpe minst fire ulike planteslag. Gjer eit<br />
overslag og finn ut kva Hege kan kjøpe <strong>for</strong> om lag<br />
1250 kroner na˚r roser kostar kr 55, georginar kr 29,<br />
løytnantshjarte kr 38, rododendron kr 120 og<br />
spirea kr 70.<br />
Test 1.B<br />
Gjer om til meter:<br />
a) 253 cm b) 17 mm c) 1;48 km<br />
Test 1.C<br />
Rekn ut og skriv svaret sa˚ enkelt som ra˚d:<br />
a) 5 þ 23 3 b) 5ð2þxÞð4þxÞ c) 1<br />
4<br />
þ 5<br />
6<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
Test 1.D<br />
Løys likningane:<br />
a) 5 þ 2x ¼ 3x þ 7 b) 4ðxþ2Þ ¼5 ðxþ 2Þ<br />
x 2<br />
c)<br />
3<br />
3 ¼ x 5<br />
Test 1.E<br />
Massing er ei legering av sink og kopar.<br />
Kor mange prosent sink er det i ein massinglysestake<br />
na˚r vekt<strong>for</strong>holdet mellom sink og kopar<br />
er 1 : 4?<br />
Test 1.F<br />
Arealet av ein trekant er gitt ved <strong>for</strong>melen<br />
g h<br />
A ¼<br />
2<br />
a) Rekn ut arealet av ein trekant med grunnlinja<br />
4;0 cm og høgda 3;0 cm.<br />
b) Ein annan trekant har eit areal pa˚ 9;6 cm2 .<br />
Grunnlinja er 4;0 cm. Kor stor er høgda?<br />
Test 1.G<br />
a) Ein genser kosta 450 kroner.<br />
Kor mykje kostar genseren na˚r prisen steig 6 %?<br />
b) Pa˚ tilbod er prisen pa˚ ein tannkremtube sett<br />
ned fra˚ 15;90 kroner til 11;50 kroner.<br />
Kor mange prosent er prisen pa˚ tannkremtuben<br />
nedsett?<br />
c) Ein bil blir seld <strong>for</strong> 228 900 kroner etter ein<br />
prisauke pa˚ 9 %. Kor mykje kosta bilen<br />
opphavleg?<br />
Test 1.H<br />
Simen har eit bustadla˚n pa˚ 850 000 kroner. Han<br />
betaler 5 % rente i a˚ret, men fa˚r vite fra˚ banken<br />
at renta skal hevast til 6;45 % per a˚r.<br />
a) Kor mange prosentpoeng aukar renta?<br />
b) Kor mange prosent aukar renta?<br />
c) Kor mange kroner utgjer renteauken per a˚r na˚r<br />
vi tek utgangspunkt i det opphavlege la˚net?<br />
Test 1.I<br />
a) Ein gigabyte er 1 012 048 064 byte.<br />
Skriv dette talet pa˚ standard<strong>for</strong>m.<br />
b) Ei nautisk mil er 1852 meter. Vis at dette talet<br />
har sitt opphav i omkrinsen av jorda ved ekvator<br />
pa˚ 4;0 107 m, gradtalet til jorda pa˚ 360 og<br />
minuttalet 60.<br />
Test 1.J<br />
Dei to nabofamiliane Eng og Bakke reiste til ei<br />
felles feriehytte. Familien Eng tok raskaste vegen<br />
til hytta, mens familien Bakke drog pa˚ ein 15 mil<br />
lengre tur rundt eit vakkert fjellomra˚de. Etter at<br />
hytteferien var over, reiste Bakke raskaste vegen<br />
heim, mens Eng tok ein veg som var dobbelt sa˚ lang.<br />
Dei to familiane køyrde 143 mil til saman.<br />
Kor langt var det til feriehytta?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 43
ÒvingsoppgÔver<br />
1.1 Matematikk er meir enn berre Ô kunne rekne<br />
A1.87<br />
Gjer først eit overslag. Rekn deretter ut dei eksakte<br />
svara:<br />
a) 27 þ 12 þ 15 þ 24 36 þ 17<br />
b) 248<br />
c) 29 31<br />
32 67 50<br />
A1.88<br />
Ada kjøper inn tre flasker brus til kr 8;90 per flaske,<br />
tre sjokoladar til kr 9;90 per stykk og 0;5 kg eple<br />
til kr 22;30 per kilogram. Gjer eit overslag og<br />
finn ut om ho har nok pengar dersom ho berre<br />
har 70 kroner i pungen.<br />
A1.89<br />
Artikkelen er fra˚ VG, som gjorde ei undersøking<br />
av prisane i ein butikk. Gjer hovudrekninga som er<br />
nemnd i artikkelen.<br />
B1.90<br />
Per Olav er skuleelev og har ekstrajobb pa˚ laurdagar.<br />
Han har ei fast timelønn pa˚ kr 125 heile den tida<br />
han jobbar. Per Olav har ei eiga timeliste pa˚ jobben<br />
der han skriv opp tidspunktet na˚r han kjem, og na˚r<br />
han ga˚r. Han fa˚r lønn <strong>for</strong> heile den tida han er til<br />
stades pa˚ jobben.<br />
Til jobben: Fr˚a jobben:<br />
09.33 16.08<br />
09.44 16.32<br />
10.05 16.07<br />
09.59 16.04<br />
Kor mykje skal Per Olav ha i lønn denne ma˚naden?<br />
B1.91<br />
Per og Kari ga˚r pa˚ skule og har tilleggsjobb i ein<br />
kiosk. Per arbeider kvar a˚ttande ettermiddag, og<br />
Kari arbeider kvar sjette ettermiddag. Ein ettermiddag<br />
er begge pa˚ jobben. Kor mange dagar ga˚r<br />
det før begge pa˚ nytt arbeider same ettermiddagen?<br />
B1.92<br />
Tala 1; 2; 4; 7 og 14 er dei heile tala som er<br />
mindre enn 28 og ga˚r opp i 28. Det vil seie at 28<br />
er deleleg med desse tala. Men vi har ogsa˚ at<br />
28 ¼ 1 þ 2 þ 4 þ 7 þ 14<br />
Det vil seie at 28 er eit tal som er lik summen av<br />
alle tala mindre enn 28 som ga˚r opp i 28. Det er<br />
vanleg a˚ kalle slike tal perfekte tal.<br />
a) Finn ut om 24 er eit perfekt tal.<br />
b) Finn det minste perfekte talet.<br />
c) Vis at 496 er eit perfekt tal.<br />
C1.93<br />
Nokre gode venner var ute pa˚ restaurant. Kvar av<br />
dei bestilte nøyaktig det same, og rekninga <strong>for</strong><br />
kvar av vennene var eit heilt tal. Den samla<br />
rekninga kom pa˚ kr 4913. Kor mange venner var<br />
det i selskapet?<br />
C1.94<br />
Per og Kari har kvar si gamle klokke. Pers klokke<br />
saktnar litt jamført med Karis. Dei stiller klokkene<br />
likt. Na˚r det har ga˚tt 40 minutt etter Karis klokke,<br />
syner Pers klokke at det har ga˚tt 39 minutt.<br />
Kor lenge ga˚r det til begge klokkene pa˚ nytt viser<br />
same tid?<br />
44 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
1.2 Vegen om 1 ^<br />
ein praktisk framgangsmÔte<br />
A1.95<br />
Vi betaler 47;25 kroner <strong>for</strong> 2;5 kg eple.<br />
Kva er prisen per kilogram?<br />
A1.96<br />
Kor mange norske kroner fa˚r vi <strong>for</strong> 9000 japanske<br />
yen na˚r 1 japansk yen svarar til 6;00 kroner?<br />
A1.97<br />
I ei oppskrift pa˚ biff sta˚r det at vi treng 600 gram<br />
biff til fire personar. Kor mange gram biff ga˚r med<br />
til sju personar?<br />
A1.98<br />
Eit stearinlys er <strong>for</strong>ma som ein sylinder med høgda<br />
20 cm. Vi tenner lyset <strong>for</strong> første gong og lèt det<br />
brenne i 40 minutt. Da˚ er det att 18 cm av lyset.<br />
Kor lang tid kan vi rekne med at dette stearinlyset<br />
framleis kan brenne?<br />
B1.99<br />
Kor mange engelske pund fa˚r vi <strong>for</strong> kr 5800 na˚r<br />
1 engelsk pund svarar til 11;60 norske kroner?<br />
B1.100<br />
Per skal lage gresk salat og vurderer om han skal<br />
kjøpe raudlauk i buntar til kr 24;90 eller i laus vekt<br />
til 29;90 kr/kg. Han finn at bunten veg 0;6 kg.<br />
Samanlikn prisane.<br />
B1.101<br />
Vi kjøper 5000 danske kroner. Denne dagen<br />
opplyser banken at vi ma˚ betale 108 norske kroner<br />
<strong>for</strong> 100 danske kroner. Kor mange norske kroner<br />
ma˚ vi betale na˚r banken krev eit vekslingsgebyr<br />
pa˚ kr 40?<br />
B1.102<br />
Vi fyller tanken pa˚ bilen heilt full med bensin.<br />
Etter a˚ ha køyrt 75 mil ma˚ vi fylle 60 liter pa˚<br />
tanken <strong>for</strong> at han skal bli full att.<br />
a) Kor mange liter har vi brukt per mil?<br />
b) Kor mange mil har vi køyrt per liter?<br />
B1.103<br />
Pa˚ ein skule er det 320 elevar. Fordelinga av jenter<br />
og gutar er 5 : 3. Kor mange jenter og kor mange<br />
gutar er det pa˚ skulen?<br />
C1.104<br />
Knut landar pa˚ Seychellane. Han veit ikkje kursen<br />
pa˚ seychelliske rupiar (SCR), men vekslar inn<br />
200 euro og fa˚r 1742;07 SCR. Kor mange norske<br />
kroner svarar 100 rupiar til na˚r 1 euro er 7;40 kroner<br />
og vi ser bort fra˚ gebyr?<br />
C1.105<br />
Du kappspring 100 meter med ein sprintar. Ho kjem<br />
ima˚l na˚r du har att 10 meter av distansen. Som ein<br />
gest til deg føresla˚r ho at de skal springe 100 meter<br />
ein gong til, men at ho denne gongen skal starte<br />
10 meter bak startlinja. Kven vinn denne gongen?<br />
1.3 Dekadiske mÔleiningar.<br />
MÔlepresisjon<br />
A1.106<br />
Gjer om til liter:<br />
a) 15 ml b) 13;4 dl<br />
A 1.107<br />
a) Gjer om 34;7 ml til liter.<br />
b) Gjer om 1;57 kg til gram.<br />
c) Gjer om 1;3 l til centiliter.<br />
d) Gjer om 3;2 g til hektogram.<br />
e) Gjer om 2;7 m til millimeter.<br />
f) Gjer om 4;8 mm til meter.<br />
g) Gjer om 2;1 dm til millimeter.<br />
h) Gjer om 4;3 ml til desiliter.<br />
A1.108<br />
Finn arealet av eit rektangel med lengda 4;32 m<br />
og breidda 7;73 m.<br />
A1.109<br />
a) Gjer om 0;42 kg til gram.<br />
b) Gjer om 43;3 mm til meter.<br />
c) Gjer om 2;3 dl til milliliter.<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 45
A1.110<br />
Gjer om til kilometer per time (km=h):<br />
a) 12 m=s b) 19 m=s<br />
A 1.111<br />
Gjer om til meter per sekund (m=s):<br />
a) 100 km=h b) 37 km=h<br />
A1.112<br />
Kva slags ma˚lereiskap vil du bruke til a˚ ma˚le<br />
a) diameteren pa˚ ein leidning<br />
b) tjukkleiken pa˚ papir<br />
A1.113<br />
a) Rekn ut arealet av ein sirkel med radius 2;5 m.<br />
b) Rekn ut arealet av ein sirkel med radius 2;55 m.<br />
B1.114<br />
Ein bil bruker ein og ein halv time pa˚ a˚ køyre 95 km.<br />
Rekn ut gjennomsnittsfarten i kilometer per time og<br />
i meter per sekund.<br />
B1.115<br />
Ellen og Erik ga˚r ein fast kveldstur rundt eit vatn.<br />
Turen er pa˚ 4;7 km, og dei bruker 45 minutt.<br />
Rekn ut gjennomsnittsfarten i meter per sekund<br />
og i kilometer per time.<br />
B1.116<br />
Gjer om til mikroliter ðmlÞ:<br />
a) 15 ml b) 0;014 l c) 1;25 dl<br />
B1.117<br />
Ein pasient blir medisinert fra˚ kl. 14:10 til kl. 16:50<br />
med 15 dropar per minutt. Kor mange dropar blir<br />
det i alt? Kor mange liter væske blir det na˚r vi<br />
reknar at 20 dropar svarar til éin milliliter?<br />
C1.118<br />
Ein 10 000-meterløpar <strong>for</strong>betrar tida fra˚ 27:11;08<br />
til 27:10;50. Banen er 400 m. Tidene blir oppna˚dde<br />
pa˚ to ulike banar. Kor nøyaktig ma˚ banane vere<br />
ma˚lt <strong>for</strong> at det verkeleg er ei <strong>for</strong>betring?<br />
1.4 Lommereknaren<br />
A1.119<br />
Rekn ut pa˚ lommereknaren:<br />
a) 2 ð3þ 4 3Þ 5 6 b) 32422 3<br />
A1.120<br />
Rekn ut pa˚ lommereknaren:<br />
a) 4 1;52 2;32 b) 32 3 2<br />
c) ð 3Þ 2<br />
3 2<br />
A1.121<br />
Rekn ut pa˚ lommereknaren:<br />
a)<br />
3 þ 39<br />
3 2<br />
b)<br />
4 5 2<br />
2 4<br />
A1.122<br />
Rekn ut pa˚ lommereknaren:<br />
pffiffiffiffiffiffiffi<br />
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
a) 169 b) 12 13 þ 133<br />
B1.123<br />
Rekn ut pa˚ lommereknaren:<br />
a) 3 4 2 52 þ 32 4<br />
b) 2 4 ð22 3Þþ5 ð1 22Þ 4 5<br />
c)<br />
2 5 42 4 52 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
d) 122 112 p<br />
B1.124<br />
Rekn ut pa˚ lommereknaren:<br />
4 þ<br />
a)<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
144 102 p<br />
2 3<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
5 2 13<br />
b) 2 102 p<br />
2 3<br />
c)<br />
C1.125<br />
52 42 42 32 32 22 22 12 c)<br />
c)<br />
4 2 3<br />
3 2 2 4<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
52 42 p<br />
Vi opplyser at x og y er gitt ved x ¼ 1;742 2<br />
og y ¼ 3 x2 þ 4x 1. Rekn ut verdien av y<br />
sa˚ nøyaktig som ra˚d pa˚ lommereknaren.<br />
46 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS<br />
pffiffiffi<br />
3
1.5 ReknerekkjefÖlgje og<br />
<strong>for</strong>teikn ^ nyttige reglar<br />
A1.126<br />
Rekn ut utan lommereknar:<br />
a) 3 þ 4 2 b) ð3 þ 4Þ 2<br />
c) 2 32 d) ð2 3Þ 2<br />
A1.127<br />
Rekn ut utan lommereknar:<br />
a) 3 ð 4Þ þ 5 3<br />
b) 2 ð7 2Þ ð 3Þ ð 2Þ<br />
A1.128<br />
Rekn ut utan lommereknar:<br />
a) 32 b) 42 c) ð 5Þ 2<br />
d) ð 6Þ 2<br />
A1.129<br />
Rekn ut utan lommereknar:<br />
a) 2 32 3 2 b) 2 32 3 22 þ 4<br />
c) 2 42 3 22 2 d) 2 32 5 3 22 5<br />
A1.130<br />
Rekn ut utan lommereknar:<br />
a) 2 ð32 3Þ 2 b) ð2 32 þ 1Þ 4<br />
c) 2 ð2 32 4Þ 5<br />
B1.131<br />
Rekn ut i hovudet:<br />
a) 37 þ 58 þ 13 8 b) 2 179 5 þ 300 : 30<br />
B1.132<br />
Rekn ut utan lommereknar:<br />
a) 32 2 ð 4Þ<br />
b) ð 3Þ 2<br />
2 ð 3Þ<br />
c) ð 3Þ 2<br />
2 ð 3Þ 2<br />
d) 2 ð 3Þ 2<br />
3 ð 2Þ 3<br />
C1.133<br />
Rekn ut 1 þ 2 þ 3 þ ...þ 1000.<br />
1.6 Enkel algebra<br />
A1.134<br />
Rekn ut:<br />
a) 3 þðx 3Þ b) 4x ðx 2Þ<br />
c) 4 ð4 xÞ d) 2 ðx 3Þ<br />
e) 2 ðx 4Þ f) 3 2 ð4 2xÞ<br />
A1.135<br />
Rekn ut:<br />
a) ðx þ 3Þðx þ 4Þ b) ðx 3Þðx þ 3Þ<br />
c) ð2x 3Þð3x 2Þ d) ð3x 4Þð5 2xÞ<br />
A1.136<br />
Rekn ut:<br />
a) 3 ðx 2Þ 2 ðx þ 3Þ b) 4x ðx 3Þ 3x ðx 4Þ<br />
A1.137<br />
Rekn ut som brøk:<br />
a) 3 3<br />
þ<br />
4 4<br />
5<br />
4<br />
b) 1<br />
4<br />
A1.138<br />
Rekn ut som brøk:<br />
a) 1 1<br />
b)<br />
3 4<br />
2 2<br />
þ<br />
5 3<br />
2<br />
3<br />
c) 4 5<br />
2<br />
c) 1 2<br />
þ<br />
2 3<br />
A1.139<br />
Ved eit skuleval røysta 1=3 av elevane pa˚ Arbeidarpartiet,<br />
mens 1=6 av elevane røysta pa˚ Sosialistisk<br />
Venstreparti. Kor stor del av elevane røysta pa˚ desse<br />
to partia til saman?<br />
B1.140<br />
Pa˚ ein skule er det 120 elevar i 1. klasse, 100 elevar<br />
i 2. klasse og 80 elevar i 3. klasse. Av elevane<br />
i 1. klasse er 2=3 jenter. I 2. klasse er jentedelen 3=5,<br />
og i 3. klasse lik 1=2.<br />
Kor mange jenter er det i alt pa˚ denne skulen?<br />
B1.141<br />
Rekn ut:<br />
a) x 1<br />
x<br />
ðx 2Þ b)<br />
2 2 5<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 47<br />
3<br />
5<br />
x<br />
3<br />
3<br />
4<br />
5
B1.142<br />
Rekn ut:<br />
a)<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
7<br />
b) 2<br />
3<br />
B1.143<br />
Eva lèt etter seg ein <strong>for</strong>mue. Ektefellen arvar 2=3,<br />
eit humanitært fond fa˚r 1=12, og resten skal delast<br />
likt mellom tre nevøar. Kor stor brøkdel av arven<br />
fa˚r kvar av nevøane?<br />
C1.144<br />
I eit selskap kom 1=2 av gjestene i bil, 1=4 kom<br />
med buss, mens dei tre siste gjestene kom til fots.<br />
Kor mange gjester kom til selskapet?<br />
1.7 Likningar<br />
A1.145<br />
Løys likningane:<br />
a) 3x ¼ 15 b) 4x 12 ¼ 0<br />
c) 8x 3 ¼ 4x þ 5 d) 3t2¼5þ4t A1.146<br />
Løys likningane:<br />
a) x<br />
x<br />
¼ 7 b) 2þ<br />
3 2<br />
c) 1<br />
x 4 ¼ 2<br />
2<br />
x<br />
3<br />
d) x<br />
3<br />
A1.147<br />
Løys likningane:<br />
a) 2 ðx 1Þ ¼3 2x<br />
b) x 2 ð3x 2Þ ¼ ðx 3Þ<br />
c) 3 5 ðx 3Þ ¼4 4 ðx 5Þ<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
¼ 3 x<br />
x 1<br />
¼ x þ<br />
2 6<br />
A1.148<br />
Eva er tre gonger sa˚ gammal som dottera Pia.<br />
Til saman er dei 52 a˚r. La alderen til Pia vere x a˚r,<br />
set opp ei likning og finn alderen hennar.<br />
9<br />
5<br />
A1.149<br />
Na˚r du set deg i ei drosje, sta˚r taksameteret<br />
pa˚ 42 kr. Sjølve køyringa kostar 10 kr per kilometer.<br />
Du har berre 100 kr pa˚ deg. La x vere den køyrde<br />
distansen i kilometer. Set opp ei likning og<br />
finn kor langt du kjem <strong>for</strong> pengane dine.<br />
B1.150<br />
Løys likningane:<br />
a) x<br />
3<br />
b) 1<br />
2 x<br />
2 ðx 1Þ ¼x ð2 xÞ<br />
1<br />
ðx 3Þ ¼2 ðx 1Þ<br />
3<br />
B1.151<br />
To firma konkurrerer i same bransjen. Eit a˚r sel<br />
firmaet Datasoft <strong>for</strong> 7;8 millionar kroner og firmaet<br />
Bytes <strong>for</strong> 9;5 millionar kroner. Etter planane som<br />
leiinga i begge firma legg, skal Datasoft auke salet<br />
med 0;75 millionar kroner per a˚r og Bytes<br />
med 0;47 millionar kroner per a˚r.<br />
a) Set opp uttrykka <strong>for</strong> kva Datasoft og Bytes etter<br />
planane skal selje <strong>for</strong> om x a˚r.<br />
b) Kor mange a˚r ga˚r det før begge firma har<br />
like stor omsetning?<br />
B1.152<br />
Eli og Espen har laga bollar <strong>for</strong> a˚ selje dei under<br />
eit idrettsstemne. Bollane vart selde <strong>for</strong> kr 5 per stk.<br />
Da˚ fekk dei 22 bollar til overs. Dersom dei i staden<br />
hadde selt bollane <strong>for</strong> kr 4;50 per stk., ville dei fa˚tt<br />
selt alle saman og fa˚tt den same inntekta.<br />
Kor mange bollar hadde dei bakt?<br />
C1.153<br />
Om to a˚r er Kari dobbelt sa˚ gammal som Per var<br />
<strong>for</strong> tre a˚r sidan. Kari er ti a˚r eldre enn Per.<br />
Kor gamle er dei?<br />
48 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
1.8 Kvadratiske likningar.<br />
Ulikskapar<br />
A1.154<br />
Løys ulikskapane:<br />
a) 5x 12 > 0 b) x 4 > 2x þ 3<br />
c) x<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
> x 1 d) x 2 < x 3<br />
4<br />
A1.155<br />
Løys likningane:<br />
a) x2 ¼ 121 b) x2 81 ¼ 0<br />
c) 2x2 162 ¼ 0<br />
B1.156<br />
Løys likningane:<br />
a) ðx 3Þ 2 ¼ 25 b) ða þ 5Þ 2 ¼ 62 c) 3ðy 10Þ 2 ¼ 363<br />
B1.157<br />
Kostnadene ved a˚ produsere x einingar av ei vare<br />
er K ¼ 4000 þ 120x. Inntektene ved sal av<br />
x einingar er I ¼ 500x. Avgjer na˚r kostnadene er<br />
større enn inntektene.<br />
B1.158<br />
Ein seljar av mobiltelefonar fa˚r to tilbod:<br />
A: kr 120 <strong>for</strong> kvar telefon ho sel<br />
B: ein fast sum pa˚ kr 2000 og kr 85 <strong>for</strong> kvar<br />
telefon ho sel<br />
Lag ein ulikskap og finn kor mange telefonar<br />
som ma˚ seljast <strong>for</strong> at tilbod A skal vere betre<br />
enn tilbod B.<br />
B1.159<br />
Ein gong kjem det kanskje symjebasseng pa˚ ma˚nen?<br />
Dersom vi hoppar fra˚ høgda h meter,<br />
er farten i meter per sekund na˚r vira˚kar vatnet,<br />
gitt ved<br />
v 2 ¼ 3;2h<br />
Finn farten na˚r vi hoppar fra˚ h ¼ 3;0 m.<br />
1.9 Rekning med <strong>for</strong>mlar<br />
A1.160<br />
Ei <strong>for</strong>retning har studert samanhengen mellom talet<br />
pa˚ kundar og omsetninga. Dei er komne fram<br />
til <strong>for</strong>melen<br />
O ¼ 94;00 k<br />
der O er omsetninga i kroner, og k er talet pa˚ kundar.<br />
a) Forklar denne <strong>for</strong>melen med ord.<br />
b) Kor stor vart omsetninga ut fra˚ <strong>for</strong>melen ein dag<br />
det var 188 kundar innom butikken?<br />
c) Kor mange kundar kan vi rekne med var innom<br />
butikken ein dag omsetninga var kr 11 300?<br />
A1.161<br />
a) Magnus brukte 36 minutt pa˚ ein 5 km lang<br />
joggetur. Kor stor var farten hans i kilometer<br />
per time?<br />
b) Den raskaste farten systera hans har hatt<br />
pa˚ same joggeturen, er 12;5 km=h.<br />
Kva er da˚ persen hennar?<br />
A1.162<br />
Arealet av eit rektangel er gitt ved A ¼ l b.<br />
a) Kor stort er arealet av eit rektangel na˚r lengda<br />
l ¼ 4 cm og breidda b ¼ 3 cm?<br />
b) Kva er lengda av eit rektangel na˚r breidda<br />
er 2;4 m og arealet er 15;6 m2 ?<br />
c) Kor stor er breidda av eit rektangel med lengda<br />
20;0 dm og eit areal lik 272;0 dm 2 ?<br />
A1.163<br />
a) Omkrinsen av ein sirkel er gitt ved <strong>for</strong>melen<br />
O ¼ 2 r<br />
1 Rekn ut omkrinsen na˚r radien er 2;0 cm.<br />
2 Rekn ut omkrinsen na˚r radien er 4;0 cm.<br />
3 Rekn ut radien na˚r omkrinsen er 35;2 cm.<br />
b) Arealet av ein sirkel er gitt ved <strong>for</strong>melen<br />
A ¼ r 2<br />
1 Rekn ut arealet na˚r radien er 2;0 cm.<br />
2 Rekn ut arealet na˚r radien er 4;0 cm.<br />
3 Rekn ut radien na˚r arealet er 116;9 cm2 .<br />
c) Kva skjer med omkrinsen og arealet na˚r vi<br />
doblar radien i ein sirkel?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 49
B1.164<br />
Ohms lov seier at U ¼ RI, der U er spenninga<br />
ma˚lt i volt ðVÞ, R er resistansen ma˚lt i ohm ð Þ,<br />
og I er straumen ma˚lt i ampere ðAÞ.<br />
a) Finn spenninga na˚r resistansen er 10 og<br />
straumen er 5 A.<br />
b) Finn straumen na˚r spenninga er 220 V og<br />
resistansen er<br />
1) 2;0 2) 4;0 3) 10<br />
B1.165<br />
Effekt er energi per tidseining:<br />
P ¼ E<br />
t<br />
Her er E energien ma˚lt i joule ðJÞ, ogt er tida<br />
i sekund ðsÞ. Effekten er ma˚lt i watt ðWÞ.<br />
a) Løys <strong>for</strong>melen med omsyn til t.<br />
b) Kor lenge ma˚ vi bruke ein effekt pa˚ 40 W<br />
<strong>for</strong> a˚ fa˚ ein energi pa˚ 500 J?<br />
C1.166<br />
Finn t na˚r<br />
a) p ¼ bt b) q ¼ 1<br />
2 bt2<br />
1.10 SmÔ og store tal<br />
c) q ¼ a<br />
t 2<br />
A1.167<br />
Rekn ut pa˚ lommereknaren og skriv svara ba˚de<br />
pa˚ standard<strong>for</strong>m og som vanlege tal:<br />
a) 10 20 30 40 50 60 70<br />
b) 560 000 21 000<br />
c) 1 : 123 456 789<br />
d) 0;000 83 0;0004<br />
e) 750 000 94 000<br />
A1.168<br />
Ei eske har kvadratisk botn med sider<br />
lik 48;1 cm. Høgda i eska er 86;5 cm.<br />
Kor stort volum ði cm 3 Þ har eska na˚r <strong>for</strong>melen<br />
<strong>for</strong> volumet er lengda breidda høgda?<br />
Rund av svaret og skriv det pa˚ standard<strong>for</strong>m.<br />
A1.169<br />
Skriv pa˚ standard<strong>for</strong>m:<br />
a) 1014 b) 0;012<br />
c) 2500 102 d) 0;013 10 4<br />
A1.170<br />
Skriv som vanlege tal:<br />
a) 1;2 103 b) 1;41 10 3<br />
c) 0;87 10 2 d) 1;15 10 5<br />
B1.171<br />
I kraftig regnvêr svarar fire vassdropar til 1 ml vatn.<br />
I ein regnma˚lar pa˚ Blindern hadde det samla seg<br />
0;86 liter vatn.<br />
a) Kor mange vassdropar var det i ma˚laren?<br />
b) Kva blir volumet av éin million vassdropar?<br />
c) Kor mange dropar ga˚r det pa˚ eitt tonn vatn?<br />
C1.172<br />
Avstanden fra˚ midten av jorda til midten av<br />
ma˚nen er 3;84 108 m. Ma˚neradien er 1740 km,<br />
og jordradien er 6371 km.<br />
a) Vi sender eit lyssignal med farten<br />
v ¼ 3;0 108 m=s fra˚ jordoverflata til ma˚nen.<br />
Kor lang tid ga˚r det før signalet kjem<br />
attende etter a˚ ha vorte reflektert?<br />
b) Tenk deg at du reiser til ma˚nen. Farten er<br />
1000 m=s. Kor lang tid tek turen?<br />
Gi svaret i ei høveleg eining.<br />
1.11 Forholdstal ^<br />
kor mykje av kvar del?<br />
A1.173<br />
Marte og faren var i jordbæra˚keren. Faren plukka<br />
i snitt 3 korger <strong>for</strong> kvar korg Marte greidde a˚ plukke.<br />
a) Kor mange korger greier Marte a˚ plukke<br />
dersom faren plukkar 18 korger?<br />
b) Kor mange korger plukkar dei til saman<br />
dersom Marte plukkar 4 korger?<br />
c) Da˚ dei var ferdige, hadde dei plukka 36 korger<br />
til saman. Kor mange korger hadde faren plukka,<br />
og kor mange hadde Marte plukka?<br />
50 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
A1.174<br />
Ein ma˚nad sende A˚ se 70 tekstmeldingar. Det kosta<br />
48;30 kroner. Ma˚naden etter sende ho 90 tekstmeldingar.<br />
Kor mykje kosta det a˚ sende 90 tekstmeldingar<br />
na˚r prisen per melding var den same?<br />
A1.175<br />
Kari skal kjøpe gardinstoff. Ho har funne ein<br />
stofftype som ho liker godt.<br />
I «Stoffbua» kostar stoffet 1596 kroner <strong>for</strong> ein<br />
rull pa˚ tolv meter.<br />
I «Klipp og Sy» kostar stoffet 1088 kroner <strong>for</strong><br />
ein rull pa˚ a˚tte meter.<br />
Vurder kvar Kari bør kjøpe stoffet.<br />
A1.176<br />
Eit kart har ma˚lestokken 1 : 50 000.<br />
a) Avstanden mellom to stader pa˚ kartet er 7;3 cm.<br />
Finn avstanden mellom dei to stadene<br />
i terrenget.<br />
b) Avstanden mellom to postar i eit orienteringsløp<br />
er 2;7 km. Kor langt er det mellom desse to<br />
postane pa˚ kartet?<br />
A1.177<br />
a) Ein sirkel med diameter lik 12;0 cm har<br />
ein omkrins pa˚ 37;7 cm.<br />
Rekn ut tal<strong>for</strong>holdet omkrins<br />
diameter .<br />
b) Ein annan sirkel har diameter lik 5;8 cm og ein<br />
omkrins pa˚ 18;2 cm. Rekn ut tal<strong>for</strong>holdet<br />
mellom omkrinsen og diameteren i denne<br />
sirkelen òg.<br />
c) Kva tal fa˚r vina˚r vi deler omkrinsen pa˚<br />
diameteren?<br />
B1.178<br />
Ole skulle blande fugemasse. Pa˚ pakken stod det at<br />
fugemasse og vatn skulle blandast i <strong>for</strong>holdet 3 : 1.<br />
Ole tok 5 dl fugemasse, men ved eit mistak tok<br />
han 2 dl vatn slik at fugemassen vart <strong>for</strong> flytande.<br />
Kor mykje meir fugemasse ma˚tte han tilsetje <strong>for</strong> at<br />
blandings<strong>for</strong>holdet skulle bli korrekt?<br />
B1.179<br />
I tilknyting til vegutbygging vart det reist<br />
ein 2 meter høg støyskjerm. I endane av støyskjermen<br />
brukte dei stuttare plankar <strong>for</strong> a˚ lage ei gradvis<br />
avslutning. Fra˚ a˚ vere 2;00 m lang ma˚lte neste planke<br />
1;60 m, deretter 1;28 m, 1;024 m og 0;819 m.<br />
a) Forklar at den som var hjernen bak dette, ma˚ ha<br />
tenkt <strong>for</strong>holdstal. Kva slags <strong>for</strong>holdstal er det<br />
rekna med?<br />
b) Kor lang ville den a˚ttande planken ha vore<br />
dersom dei hadde ga˚tt vidare med systemet?<br />
C1.180<br />
Ein biolog ønskte a˚ finne ut kor mange rein det var<br />
i eit omra˚de. I staden <strong>for</strong> a˚ telje alle reinsdyra gjorde<br />
han eit overslag ved a˚ trekkje eit utval. Denne<br />
stikkprøvemetoden ga˚r utpa˚ at vi først samlar inn<br />
nokre dyr som vi merkjer. Dyra blir sa˚ sleppte fri,<br />
og etter ei stund samlar vi inn nokre dyr att.<br />
Dersom dyra er tilfeldig blanda og ingen dyr er<br />
døde eller fødde eller har vandra til og fra˚ omra˚det,<br />
kan metoden gi eit bra overslag.<br />
Ved første innsamling hadde biologen 42 reinsdyr,<br />
som han merkte. I neste fangst samla han inn 70 dyr.<br />
Av dei var 14 merkte.<br />
Finn ut om lag kor mykje rein det var i omra˚det.<br />
C1.181<br />
Ein brannbil er utstyrt med ein skuvbar stige. Stigen<br />
byrjar 2;2 m over bakken. Na˚r stigen er pressa<br />
saman med maksimal stigning, er han 3;1 m lang,<br />
og det øvste punktet er 4;8 m over bakken.<br />
Fullt utstrekt ma˚ler stigen 11;0 m. Rekk stigen opp<br />
til eit vindauge 11;0 m over bakken?<br />
C1.182<br />
Ein sirkel med radius 2;0 cm skal illustrere folketalet<br />
i by A, som utgjer 225 000. To andre byar har<br />
folketal pa˚ 500 000 (by B) og 150 000 (by C).<br />
Illustrer folketalet i byane B og C pa˚ same ma˚ten,<br />
slik at alle tre sirkelareala stemmer innbyrdes.<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 51
1.12 Prosent og prosentpoeng ^<br />
kva er skilnaden?<br />
A1.183<br />
Ein sykkel kostar kr 6500. Prisen blir sett ned 30 %.<br />
a) Kor stort var prisavslaget i kroner?<br />
b) Kva er tilbodsprisen?<br />
A1.184<br />
Ein bil kostar kr 450 000. Kor mykje kostar bilen<br />
a) na˚r prisen aukar 12 %?<br />
b) na˚r prisen minkar 12 %?<br />
A1.185<br />
Du har lyst pa˚ eit stereoanlegg som kostar<br />
6990 kroner, men har berre 6000 kroner. Butikkinnehavaren<br />
seier at han kan gi deg 15 % rabatt.<br />
Har du nok pengar til a˚ kjøpe stereoanlegget?<br />
A1.186<br />
Prisen pa˚ ein oppvaskmaskin i El-Butikken var<br />
5000 kroner, mens den same maskinen kosta<br />
5800 kroner hos El-Giganten. Oppvaskmaskinen<br />
kjem pa˚ sal i begge butikkane. El-Butikken set ned<br />
prisen 25 %, mens El-Giganten set ned prisen 35 %.<br />
Kvar lønner det seg a˚ kjøpe oppvaskmaskinen?<br />
A1.187<br />
Jakker med ein normalpris pa˚ kr 1200 fa˚r eit<br />
prisavslag pa˚ 10 %. Bukser med ein normalpris<br />
pa˚ kr 650 blir sette ned 20 %.<br />
a) Vurder utan a˚ bruke lommereknar kva <strong>for</strong> eit<br />
plagg som blir sett ned mest i kroner.<br />
b) Kor mykje ma˚ vi betale <strong>for</strong> to jakker og<br />
tre bukser til nedsett pris?<br />
B1.188<br />
30.6.2005 uttalte sentralbanksjefen at renta skulle<br />
aukast fra˚ 1;75 % til 2;00 % (Aftenposten).<br />
a) Kor mange prosentpoeng auka renta?<br />
b) Kor mange prosent auka renta?<br />
c) Forklar skilnaden mellom prosentvis endring<br />
og prosentpoeng.<br />
B1.189<br />
Ingvill fa˚r eit brev fra˚ banken om at renta pa˚ la˚net<br />
hennar er sett ned fra˚ 3;75 % per a˚r til 3;25 %.<br />
a) Kor mange prosentpoeng er rentesatsen endra?<br />
b) Kor mange prosent er renta sett ned?<br />
B1.190<br />
I 2005 var Framstegspartiet og Arbeidarpartiet dei<br />
store vinnarane av skulevalet i dei vidarega˚ande<br />
skulane. Ap gjekk fram 10;1 prosentpoeng til 21;8 %.<br />
Størst oppslutning hadde FrP med 24;9 %. Det var<br />
ein framgang pa˚ 10;8 prosentpoeng.<br />
Som vi ser, auka FrP litt meir enn Ap na˚r vi tek<br />
<strong>for</strong> oss prosentpoenga. Kva <strong>for</strong> eit parti auka mest<br />
i prosent?<br />
B1.191<br />
Anne tente 247 000 kroner i 2003. Dei to neste<br />
a˚ra fekk ho ein lønnsauke pa˚ først 3;4 %<br />
og deretter 2;7 %.<br />
a) Forklar kor<strong>for</strong> vi ikkje kan leggje saman dei<br />
to prosentane og rekne med 6;1 % i staden <strong>for</strong><br />
først a˚ rekne 3;4 % og sa˚ 2;7 %.<br />
b) Dersom vi hadde rekna med 6;1 % i staden,<br />
trur du svaret ville ha vorte større eller mindre<br />
enn den reelle lønna?<br />
c) Rekn ut kor mykje Anne har i lønn etter dei<br />
to lønnspa˚slaga. Rekn ogsa˚ ut kor stor lønna<br />
ville ha vorte om ho hadde fa˚tt ein lønnsauke<br />
pa˚ 6;1 % i staden.<br />
B1.192<br />
Ei jakke til kr 1500 blir sett ned 30 %. Dei siste<br />
salsdagane blir tilbodsprisen sett ned enda˚ 40 %.<br />
a) Kor mykje kostar jakka dei siste salsdagane?<br />
b) Somme trur nok at prisen no er sett ned 70 %<br />
totalt. Forklar kor<strong>for</strong> prisen faktisk er sett ned<br />
mindre enn 70 %.<br />
c) Kor stort var det samla prosentavslaget?<br />
Prøv deg fram.<br />
C1.193<br />
Ein tøyrull inneheld 21 meter tøy. Ein seksdel av<br />
tøyrullen blir seld til full pris, halvparten blir seld<br />
med 20 % rabatt, mens resten blir seld til halv pris.<br />
Da˚ har <strong>for</strong>retninga fa˚tt inn i alt 2310 kroner <strong>for</strong> rullen.<br />
Kva var full pris per meter?<br />
52 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
1.13 Prosentrekning ^<br />
nÔr prosenten er ukjend<br />
A1.194<br />
a) Kor mange prosent er kr 150 av kr 500?<br />
b) Kor mange prosent er kr 3;50 av kr 70?<br />
c) Kor mange prosent er kr 11;50 av kr 355?<br />
A1.195<br />
a) Av kr 152;50 i ei lommebok er kr 12;50<br />
sma˚myntar. Kor mange prosent utgjer<br />
sma˚myntane?<br />
b) Pa˚ ein skule er det 240 jenter og 172 gutar.<br />
Kor mange prosent er gutar?<br />
c) Ein sykkel er sett ned kr 2000. Førprisen var<br />
kr 8900. Kor mange prosent er avslaget pa˚?<br />
B1.196<br />
Ein familie kjøper inn to løpejakker og tre trøyer<br />
til tilbodsprisane i annonsen. Kor mange prosent<br />
sparer dei jamført med rettleiande prisar?<br />
B1.197<br />
Familien Dahl omfattar to vaksne og tre barn.<br />
Dei skal feriere i Syden og ventar med a˚ bestille<br />
billettar til prisen er sett ned fra˚ kr 8200 til kr 7200<br />
<strong>for</strong> vaksne og fra˚ kr 4200 til kr 3600 <strong>for</strong> barn.<br />
a) Kor mange prosent sparte dei i alt?<br />
b) Kva <strong>for</strong> ein pris vart redusert mest i prosent?<br />
C1.198<br />
Ein restaurant har kvar dag ein dagens rett til fast<br />
pris. For a˚ fa˚ nye faste kundar kjem restauranten<br />
med eit tilbod: Kvar sjette gong du et dagens rett,<br />
slepp du a˚ betale. Ein gjest et ein ma˚nad<br />
dagens rett 14 gonger. Kor mange prosent har han<br />
spart pa˚ denne ordninga jamført med a˚ betale<br />
normal pris <strong>for</strong> alle ma˚ltida?<br />
C1.199<br />
Prisen pa˚ ei vare som opphavleg kosta 3250 kroner,<br />
aukar først 4 % <strong>for</strong> sa˚ a˚ bli sett ned 3 %.<br />
Til sist blir prisen sett opp 7 %.<br />
Finn den samla prosentvise endringa av prisen.<br />
C1.200<br />
Meirverdiavgifta pa˚ klede auka fra˚ 24 % til 25 %.<br />
Kor mange prosent dyrare vart det a˚ kjøpe klede?<br />
1.14 Prosentrekning ^ nÔr<br />
opphavleg verdi er ukjend<br />
A1.201<br />
a) Eit par ski er sette ned 40 % og kostar no kr 2400.<br />
Kor mykje kosta dei i utgangspunktet?<br />
b) Etter at prisen pa˚ eit fjernsynsapparat er sett ned<br />
20 %, kostar det kr 7400. Kor mykje kosta<br />
apparatet opphavleg?<br />
c) Etter at prisen er sett ned 25 % kostar eit par<br />
joggesko kr 720. Kor mykje kosta skoa før<br />
prisnedgangen?<br />
A1.202<br />
Ved ein rideskule auka timeprisen <strong>for</strong> a˚ ri ein hest<br />
med kr 25. Det utgjorde ein auke pa˚ 11 %.<br />
Kva var den opphavlege timeprisen?<br />
B1.203<br />
Folketalet i ein kommune auka 2;4 % fra˚ eit a˚r til<br />
eit anna. A˚ rsaka var at 20 personar døydde, 69 vart<br />
fødde, og 38 personar var innflyttarar til kommunen.<br />
Kor mange innbyggjarar var det i kommunen det<br />
første a˚ret?<br />
B1.204<br />
Ved kontroll av speedometeret pa˚ ein bil fann ein<br />
at det viste 7 % <strong>for</strong> mykje. Kor stor var den verkelege<br />
farten na˚r speedometeret synte 85 km=h?<br />
B1.205<br />
a) Etter ein prisauke pa˚ 8 % kostar ei vare 540 kroner.<br />
Kor mykje kosta vara før prisauken?<br />
b) Kva er full pris na˚r 20% rabatt utgjer 1500 kroner?<br />
c) Kva er full pris na˚r vi betaler 150 kroner etter<br />
a˚ ha fa˚tt 25 % rabatt?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 53
1.15 ProblemlÖysing ^<br />
mange vegar til mÔl<br />
A1.206<br />
Kan du plassere tala 1; 2; 3; ...; 9 i rutene pa˚ eit<br />
ark med 3 3 ruter slik at du fa˚r same summen<br />
na˚r du summerer kvar rad, kvar kolonne og kvar<br />
av dei to diagonalane? (Tips: Start med talet<br />
i midten.)<br />
A1.207<br />
Dei tre brørne Per, Pa˚l og Espen er til saman<br />
58 a˚r. Per er fem a˚r eldre enn Pa˚l. Espen er<br />
tre a˚r eldre enn halvparten av alderen til Per.<br />
Kva er alderen til kvar av brørne?<br />
A1.208<br />
Eit tal minus to tredelar av talet blir 18.<br />
Kva <strong>for</strong> eit tal er det?<br />
B1.209<br />
I ein gymtime vel halvparten av elevane ballspel,<br />
ein tredel vel styrketrening, mens resten, a˚tte elevar,<br />
er sjuke eller har gløymt gymtøyet.<br />
Kor mange elevar er med i gymtimen?<br />
B1.210<br />
Ein bonde hadde tre barn. Han fastsette at den eldste<br />
skulle arve 2=5 av dyra, den mellomste 1=3 og den<br />
yngste resten.<br />
a) Kor stor del arva den yngste?<br />
b) Kor mange dyr var det pa˚ garden na˚r<br />
den yngste arva tolv dyr?<br />
B1.211<br />
Pa˚ ein juletrefest var det 124 personar til stades.<br />
Billettprisen <strong>for</strong> barn var kr 40, mens vaksne betalte<br />
kr 70. Til saman var billettinntektene kr 6310.<br />
Kor mange barn og kor mange vaksne var med<br />
pa˚ juletrefesten?<br />
1.16 Blanda oppgÔver<br />
OppgÔve 1.212<br />
Ein vaksen person har eit dagsbehov <strong>for</strong> vitamin C<br />
pa˚ 30 mg. Kva er det samla dagsbehovet <strong>for</strong><br />
vitamin C na˚r viga˚r ut fra˚ at det er 3;4 millionar<br />
vaksne personar i Noreg?<br />
OppgÔve 1.213<br />
Ei <strong>for</strong>retning sel poteter <strong>for</strong> kr 5,90 per kilogram.<br />
Forretninga tilbyr dei same potetene i posar med<br />
2,5 kg <strong>for</strong> kr 16,50. Kor mange prosent dyrare er<br />
potetene i posar jamført med dei same potetene<br />
i laus vekt?<br />
OppgÔve 1.214<br />
Vi kjøper 3000 svenske kroner. Denne dagen<br />
opplyser banken at du ma˚ betale 80;40 norske kroner<br />
<strong>for</strong> 100 svenske kroner. Kor mange norske kroner<br />
ma˚ vi betale na˚r banken krev eit vekslingsgebyr<br />
pa˚ kr 40?<br />
OppgÔve 1.215<br />
Pa˚ ei eske Casco husfix sta˚r det at pulveret skal<br />
blandast med vatn i <strong>for</strong>holdet éin vektdel vatn til<br />
fire vektdelar pulver.<br />
a) Kor mange gram vatn og pulver ma˚ du bruke<br />
<strong>for</strong> a˚ fa˚ 250 g ferdig blanding?<br />
b) Du har 600 gram pulver med husfix.<br />
Kor mykje vatn ma˚ du blande i pulveret <strong>for</strong><br />
a˚ fa˚ rett blanding?<br />
OppgÔve 1.216<br />
I denne oppga˚va skal du ikkje bruke lommereknaren.<br />
a) Rekn ut:<br />
1) 2 þ 3 ð4 2Þ 2) 2 ð 3Þ 2<br />
42 b) Rekn ut:<br />
1) 3<br />
þ 2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
c) Løys likningane:<br />
1) 3x<br />
1<br />
3<br />
¼ x<br />
2<br />
d) Løys likninga: x<br />
2<br />
x<br />
3<br />
2)<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2) 2x 2 ¼ 50<br />
¼ 1<br />
4 x<br />
e) Rekn ut:<br />
1) 4 ðx 3Þ 3 ðx 4Þ 2) ð2x 1Þðx 2Þ<br />
54 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS<br />
1<br />
3<br />
5<br />
2<br />
4<br />
2
OppgÔve 1.217<br />
Ei legering (blanding) av to metall, A og B,<br />
inneheld 120 g av A og 200 g av B.<br />
a) Kor mange prosent av metallet A er det<br />
i legeringa?<br />
b) Kor mange gram av metall A ma˚ vi tilføre<br />
legeringa dersom det skal bli 50 % av kvart<br />
metall?<br />
OppgÔve 1.218<br />
I 1997 kosta ein laserskrivar kr 3800. Prisen steig<br />
med 8 % i 1998, men vart sa˚ sett ned 15 % i 1999.<br />
a) Kor mykje kosta laserskrivaren i 1999?<br />
b) Kor stor prosentvis endring i prisen fra˚<br />
1997 til 1999 svarar det til?<br />
c) Forklar kor<strong>for</strong> svaret ikkje er lik<br />
8 % 15 % ¼ 7 %.<br />
OppgÔve 1.219<br />
Eit fat olje rommar 259 liter. Oljeprisen er<br />
66;50 dollar per fat. Rekn ut prisen <strong>for</strong> ein liter olje<br />
i norske kroner na˚r kursen pa˚ dollar er 7;50.<br />
OppgÔve 1.220<br />
Halva˚rstala fra˚ Opplysningsra˚det <strong>for</strong> Vegtrafikken<br />
(OFV) viser at Peugeot-importørane har hatt minst<br />
auke. Mens den samla auken i bilsalet har vore<br />
27;5 %, har Peugeot berre auka salet med 3;3 %<br />
eller rundt 100 bilar. Peugeot sit att med ein<br />
marknadsdel pa˚ 7;1 %. Det er ein tilbakegang pa˚<br />
1;3 prosentpoeng samanlikna med a˚ret før.<br />
a) Kva meiner vi med at Peugeot har hatt<br />
tilbakegang?<br />
b) Kor stor var Peugeots prosentvise tilbakegang<br />
na˚r det gjeld marknadsdelar?<br />
OppgÔve 1.221<br />
Eit medisinfirma hadde 240 tilsette i 2003, mens<br />
det i 2004 berre var 185 tilsette. Fra˚ 2004 til 2005<br />
gjekk talet pa˚ tilsette ned med 11;2 %.<br />
a) Kor stor prosentvis endring var det i talet pa˚<br />
tilsette fra˚ 2003 til 2004?<br />
I 2006 rekna bedrifta med a˚ auke talet pa˚ tilsette<br />
med 15;2 %.<br />
b) Kor stor prosentvis endring var det i talet pa˚<br />
tilsette fra˚ 2003 til 2006?<br />
OppgÔve1.222<br />
Ei kule som fell loddrett, har etter tida t falle<br />
ei strekning s, der s ¼ 1<br />
2 gt2 . Vi ser bort fra˚<br />
luftmotstanden, og g ¼ 9;8 m=s2 .<br />
a) Rekn ut s na˚r t ¼ 2;1 s.<br />
b) Kor lang tid t har kula falle na˚r s ¼ 19;8 m?<br />
c) Finn ein <strong>for</strong>mel <strong>for</strong> t uttrykt ved s og g.<br />
OppgÔve 1.223<br />
Pa˚ eit vegskilt sta˚r det at ein radiostasjon sender pa˚<br />
103;2 MHz.<br />
a) Kor mange hertz (Hz) er det?<br />
I eit e-verk blir det lese av eit <strong>for</strong>bruk pa˚ 103 GW.<br />
b) Kor mange watt (W) er det?<br />
OppgÔve 1.224<br />
Vi har gitt tala a ¼ 42 000 og b ¼ 0;000 076.<br />
Bruk dette til a˚ rekne ut<br />
a) a b b) a<br />
b<br />
c) b<br />
a<br />
d) a 2 b 3<br />
OppgÔve 1.225<br />
Det trengst 4200 J til a˚ varme opp éin liter vatn 1 C.<br />
a) Kor mykje energi trengst det til a˚ varme opp<br />
250 liter vatn 1 C?<br />
b) Kor mykje energi trengst det til a˚ varme opp<br />
250 liter vatn 30 C?<br />
Ved eit karbad ga˚rviutfra˚ein person bruker 250 liter<br />
vatn som er varma opp fra˚ 10 C til 40 C.<br />
c) Kor mykje kostar eit karbad na˚r<br />
1 kWh ¼ 3;6 MJ kostar ca. kr 0;50?<br />
OppgÔve 1.226<br />
Ei straumrekning omfattar ei fast avgift pa˚ kr 2500<br />
og i tillegg kr 0;34 per kilowattime. Ein student<br />
leiger eit rom i ein bustad og fa˚r sin eigen<br />
straumma˚lar. Ho betaler <strong>for</strong> eigne kilowattimar og<br />
i tillegg sin del av den faste avgifta. Forholdet<br />
mellom det ho skal betale i fast avgift, og kr 2500,<br />
er lik <strong>for</strong>holdet mellom <strong>for</strong>bruket hennar og heile<br />
bustaden. Ma˚laren til studenten viser 3769 kWh,<br />
mens resten av bustaden har 8260 kWh.<br />
Kor mykje skal ho betale?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 55
OppgÔve 1.227<br />
Ei <strong>for</strong>retning set ned prisen pa˚ ei vare fra˚<br />
kr 56;50=kg til kr 51;30=kg.<br />
a) Kor mange prosent er avslaget pa˚?<br />
Forretninga reknar med ein auke i salet pa˚ 35 %<br />
pa˚ grunn av prisavslaget. Tidlegare vart det selt<br />
50 kg av vara per dag.<br />
b) Kor mange kilogram reknar <strong>for</strong>retninga no<br />
med a˚ selje per dag?<br />
c) Kva blir salsverdien per dag?<br />
d) Kor mange prosent auka salsverdien per dag?<br />
OppgÔve 1.228<br />
(Eksamen 1MY)<br />
Avstanden fra˚ Oslo til Trondheim ma˚lt langs vegen<br />
er om lag 500 km. Avstanden fra˚ Kristiansand til<br />
Kirkenes ma˚lt langs vegen er om lag 3000 km.<br />
a) Kor mange gonger ma˚ ein bil køyre strekninga<br />
Oslo–Trondheim <strong>for</strong> at det skal svare til<br />
avstanden fra˚ Kristiansand til Kirkenes?<br />
b) Ein bil bruker 0;7 liter bensin per mil.<br />
Kor mykje kostar det a˚ køyre fra˚ Kristiansand<br />
til Kirkenes na˚r bensinen kostar 8;50 kroner<br />
per liter?<br />
OppgÔve 1.229<br />
(Eksamen 1MY)<br />
Sommaren 2002 vann nordmannen Thor Hushovd<br />
ein etappe i Tour de France. Han brukte 4 timar<br />
28 minutt 28 sekund pa˚ etappen. Favoritten<br />
Lance Armstrong brukte 11 minutt 42 sekund meir.<br />
a) Kor lang tid brukte Armstrong?<br />
Etappen var 176;5 km lang.<br />
b) Kor stor var gjennomsnittsfarten til Thor<br />
Hushovd i meter per sekund og i kilometer<br />
per time?<br />
OppgÔve 1.230<br />
(Eksamen 1MY)<br />
Arne vinn 5 millionar kroner i lotto. Som kjent<br />
er ikkje lottomillionærar som andre millionærar,<br />
og Arne krev a˚ fa˚ heile gevinsten utbetalt<br />
i tikronestykke. For ein tikroning gjeld:<br />
– Vekta er 6;80 g.<br />
– Tjukkleiken er 2;00 mm.<br />
a) Kor høg er ein stabel der 50 tikroningar ligg<br />
oppa˚ kvarandre? Kor høg ville stabelen ha vore<br />
dersom alle tikroningane i lottogevinsten la˚g<br />
oppa˚ kvarandre?<br />
b) Kor mykje veg premien dersom han blir<br />
utbetalt i tikroningar? Gi svaret i kilogram.<br />
c) Arne vil telje tikroningane <strong>for</strong> a˚ kontrollere at<br />
han har fa˚tt det han har krav pa˚. Gjer <strong>for</strong>nuftige<br />
overslag over kor raskt han tel, og finn ut<br />
kor lang tid han bruker pa˚ a˚ telje pengane.<br />
OppgÔve 1.231<br />
(PISA 2003)<br />
Biletet syner fotavtrykka til ein mann som ga˚r.<br />
Steglengda P er avstanden mellom bakre kant av<br />
to etterfølgjande fotavtrykk. For menn gir <strong>for</strong>melen<br />
n=P ¼ 140 eit tilnærma <strong>for</strong>hold mellom n og P,<br />
der n er talet pa˚ steg per minutt, og P er steglengda<br />
i meter.<br />
a) Dersom <strong>for</strong>melen gjeld <strong>for</strong> Haralds ma˚te a˚ ga˚ pa˚,<br />
og Harald tek 70 steg i minuttet, kva blir<br />
steglengda til Harald? Vis korleis du fann svaret.<br />
b) Bjarte veit at steglengda hans er 0,80 meter.<br />
Formelen gjeld <strong>for</strong> hans ma˚te a˚ ga˚ pa˚.<br />
Rekn ut kor <strong>for</strong>t Bjarte ga˚r i meter per minutt<br />
og i kilometer per time. Vis utrekningane dine.<br />
56 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
OppgÔve 1.232<br />
Samanhengen mellom temperaturar ma˚lte i grader<br />
celsius ð CÞ og i grader fahrenheit ð FÞ er gitt ved<br />
<strong>for</strong>melen<br />
C ¼ 5<br />
ðF 32Þ<br />
9<br />
a) Gjer om desse temperaturane til celsiusgrader:<br />
1) 4 F 2) 90 F<br />
b) Gjer om desse temperaturane til fahrenheitgrader:<br />
1) 0 C 2) 37 C 3) 100 C<br />
OppgÔve 1.233<br />
I 1976 var utsleppa av fos<strong>for</strong> til vatn 5500 tonn,<br />
mens dei i 1985 var 4500 tonn.<br />
a) Kor stor var nedgangen i utslepp i prosent<br />
fra˚ 1976 til 1985?<br />
Fra˚ 1970 til 1976 var det ein nedgang<br />
i fos<strong>for</strong>utsleppa pa˚ 19;1 %.<br />
b) Kor store var utsleppa i 1970?<br />
I 1985 <strong>for</strong>delte utsleppa seg slik:<br />
– fra˚ bustader: 2500 tonn<br />
– fra˚ industri og landbruk: 500 tonn<br />
– fra˚ naturen sjølv: 1500 tonn<br />
Vi tenkjer oss at utsleppa fra˚ bustader kan halverast<br />
fra˚ 1985 til 1990, mens dei andre utsleppa er<br />
konstante.<br />
c) Kor mange prosent vil det totale utsleppet<br />
ga˚ ned i denne perioden?<br />
OppgÔve 1.234<br />
I juli 1986 var oljeproduksjonen i OPEC-landa<br />
20;5 millionar fat i døgnet. Av denne produksjonen<br />
stod Irak <strong>for</strong> 1;9 millionar fat. Alle landa bortsett<br />
fra˚ Irak vart samde om a˚ redusere produksjonen<br />
med 20 %. Irak heldt produksjonen pa˚ same niva˚et<br />
som før.<br />
a) Kore stor vart den nye samla døgnproduksjonen<br />
<strong>for</strong> OPEC-landa?<br />
b) Kor mange prosent fall den samla døgnproduksjonen?<br />
Før reduksjonen var oljeprisen 9;8 dollar per fat.<br />
Etter reduksjonen steig prisen til 15;2 dollar per fat.<br />
c) Kor mange prosent steig da˚ Iraks oljeinntekter?<br />
d) Finn den prosentvise endringa i dei samla oljeinntektene<br />
<strong>for</strong> OPEC-landa ved denne nedgangen<br />
i produksjonen.<br />
OppgÔve 1.235<br />
Sommaren 1983 undersøkte Norges Automobil<strong>for</strong>bund<br />
korleis prisane pa˚ reservedelar varierte<br />
hos <strong>for</strong>handlarane.<br />
a) Hos ein <strong>for</strong>handlar kosta ein bestemt reservedel<br />
210 kroner. Hos ein annan <strong>for</strong>handlar var den<br />
same delen 21 % dyrare. Kor mykje kosta<br />
delen hos denne <strong>for</strong>handlaren?<br />
b) Hos <strong>for</strong>handlar A kosta bremseskiva til ein viss<br />
bil 349 kroner. Den same bremseskiva ma˚tte ein<br />
betale 836 kroner <strong>for</strong> hos <strong>for</strong>handlar B. Kor mange<br />
prosent dyrare var bremseskiva hos <strong>for</strong>handlar B<br />
enn hos A?<br />
OppgÔve 1.236<br />
Etter a˚ ha fa˚tt tillegg i lønna to gonger hadde<br />
Anne ei ma˚nadslønn pa˚ 4620 kroner. Det første<br />
tillegget i lønna var pa˚ 200 kroner, mens det andre<br />
utgjorde 5 % av ma˚nadslønna etter det første<br />
tillegget. Rekn ut kor stor ma˚nadslønn Anne hadde<br />
like før ho fekk det første tillegget i lønna.<br />
OppgÔve 1.237<br />
(Nasjonal prøve)<br />
Finn talet som høver til denne <strong>for</strong>klaringa:<br />
– Talet er mindre enn 30.<br />
– Faktoriserer du talet ved hjelp av berre primtal,<br />
blir faktorane berre 3-tal og 2-tal.<br />
– Dersom du legg saman sifra i talet, fa˚r du eit<br />
kvadrattal. Kva <strong>for</strong> eit tal er det?<br />
OppgÔve 1.238<br />
(PISA 2000)<br />
Ein bonde plantar epletre i eit kvadratisk mønster.<br />
For a˚ skjerme trea mot vind plantar han na˚letre<br />
kring frukthagen. Nedan<strong>for</strong> ser du eit diagram som<br />
viser mønsteret av epletre og na˚letre <strong>for</strong> ymse rader<br />
(n) av epletre:<br />
n = 1 n = 2 n = 3<br />
x x x<br />
x x<br />
x x x<br />
x = nåletre<br />
= epletre<br />
x x x x x<br />
x x<br />
x x<br />
x x<br />
x x x x x<br />
x x x x x x x<br />
x x<br />
x x<br />
x x<br />
x x<br />
x x<br />
x x x x x xx<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 57
a) Fullfør tabellen:<br />
n Epletre i alt Na˚letre i alt<br />
1 1 8<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
4<br />
b) Det er to <strong>for</strong>mlar du kan bruke <strong>for</strong> a˚ rekne ut<br />
talet pa˚ epletre og na˚letre i mønsteret som er<br />
vist framan<strong>for</strong>:<br />
epletre i alt ¼ n 2<br />
n˚aletre i alt ¼ 8n<br />
der n er talet pa˚ rader av epletre.<br />
Det finst ein verdi av n der talet pa˚ epletre<br />
er lik talet pa˚ na˚letre. Finn denne verdien av<br />
n og vis utrekningane dine.<br />
c) Tenk deg at bonden vil lage ein mykje større<br />
frukthage med mange rader av tre. Na˚r han<br />
gjer frukthagen større, kva aukar da˚ raskast:<br />
talet pa˚ epletre eller talet pa˚ na˚letre?<br />
Forklar korleis du kom fram til svaret.<br />
OppgÔve 1.239<br />
(PISA 2000)<br />
Fart<br />
(km/h)<br />
Farten til ein racerbil langs ein 3 km bane<br />
(andre runde)<br />
Denne grafen viser korleis farten til ein racerbil<br />
varierer i den andre runden av ein flat bane pa˚<br />
3 kilometer.<br />
a) Kor stor er den omtrentlege avstanden fra˚<br />
startstreken til byrjinga av den lengste rette<br />
strekninga pa˚ banen?<br />
b) Kvar vart den la˚gaste farten ma˚lt i den andre<br />
runden?<br />
c) Kva kan du seie om farten til bilen mellom<br />
merka <strong>for</strong> 2;6 kmog2;8 km?<br />
A Farten til bilen er konstant.<br />
B Farten til bilen aukar.<br />
C Farten til bilen minkar.<br />
D Farten til bilen kan ikkje finnast ut fra˚<br />
grafen.<br />
d) Her er figurar av fem banar:<br />
S<br />
A<br />
s: startpunkt<br />
S<br />
S<br />
Langs kva <strong>for</strong> ein bane vart bilen køyrd<br />
<strong>for</strong> a˚ lage fartsgrafen som er vist framan<strong>for</strong>?<br />
OppgÔve 1.240<br />
(TIMSS 2003)<br />
Pa˚ ei framføring var 3=25 av tilskodarane barn.<br />
Kor mange prosent av tilskodarane utgjorde det?<br />
OppgÔve 1.241<br />
(TIMSS 2003)<br />
Ein ny motorveg reduserer den gjennomsnittlege<br />
reisetida mellom to byar fra˚ 25 minutt til<br />
20 minutt. Kor mange prosent ga˚r reisetida mellom<br />
dei to byane ned?<br />
OppgÔve 1.242<br />
(TIMSS 2003)<br />
Ein lærar og ein lege har 45 bøker kvar. Na˚r 4=5 av<br />
bøkene til læraren og 2=3 av bøkene til legen er<br />
romanar, kor mange fleire romanar har da˚ læraren<br />
enn legen?<br />
OppgÔve 1.243<br />
(TIMSS 2003)<br />
John og Carina vart bedne om a˚ dele eit tal med 100.<br />
Ved eit mistak gonga John talet med 100 og fekk<br />
svaret 450. Carina delte heilt rett talet med 100.<br />
Kva vart svaret hennar?<br />
58 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS<br />
S<br />
B<br />
E<br />
C<br />
S<br />
D
OppgÔve 1.244<br />
(TIMSS 2003)<br />
Bensintanken pa˚ ein bil rommar 45 l. For kvar 100<br />
km som bilen køyrer, bruker han 8;5 l bensin.<br />
Ved starten pa˚ ein 350 km lang tur er tanken full.<br />
Kor mange liter bensin var det att pa˚ tanken da˚<br />
turen var over?<br />
OppgÔve 1.245<br />
(TIMSS 2003)<br />
Ein dataklubb hadde 40 medlemmer, og av dei var<br />
60 % jenter. Seinare vart 10 gutar med i klubben.<br />
Kor mange prosent av medlemmene er no jenter?<br />
OppgÔve 1.246<br />
(TIMSS 2003)<br />
Figurane nedan<strong>for</strong> er bygde opp av fyrstikker etter<br />
eit mønster.<br />
Figur 1 Figur 2<br />
Figur 3<br />
Kor mange fyrstikker treng vi til den tiande figuren<br />
dersom mønsteret held fram?<br />
OppgÔve 1.247<br />
(TIMSS 2003)<br />
Geir har dobbelt sa˚ mange bøker som Bjørn.<br />
Cato har seks bøker meir enn Bjørn. Dersom Bjørn<br />
har x bøker, kva <strong>for</strong> eit uttrykk nedan<strong>for</strong> viser<br />
kor mange bøker dei tre gutane har til saman?<br />
a) 3x þ 6 b) 3xþ8 c) 4xþ6 d) 5x þ 6 e) 8xþ2 OppgÔve 1.248<br />
(TIMSS 2003)<br />
Kva slags alternativ er korrekt na˚r<br />
L ¼ 4, K ¼ 6 og M ¼ 24?<br />
a) L ¼ M<br />
K<br />
b) L ¼ K<br />
M<br />
d) L ¼ K þ M e) L ¼ M K<br />
c) L ¼ KM<br />
OppgÔve 1.249<br />
(TIMSS 2003)<br />
Dei tre figurane nedan<strong>for</strong> er delte inn i sma˚ og like<br />
trekantar.<br />
1<br />
2<br />
1 2 3 4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
Figur 1 Figur 2 Figur 3<br />
a) Fullfør tabellen nedan<strong>for</strong>. Fyll først ut kor mange<br />
sma˚ trekantar det er pa˚ figur 3. Finn sa˚ kor<br />
mange sma˚ trekantar det vil vere pa˚ figur 4<br />
dersom rekkja held fram.<br />
Figur Talet pa˚ sma˚ trekantar<br />
1 2<br />
2 8<br />
b) Rekkja held fram til figur 7. Kor mange sma˚<br />
trekantar er det pa˚ figur 7?<br />
c) Rekkja med figurar held fram til figur 50.<br />
Forklar utan a˚ teikne og telje korleis vi kan<br />
finne kor mange trekantar det er pa˚ figur 50.<br />
OppgÔve 1.250<br />
(TIMMS 1995)<br />
For a˚ lage ma˚ling med ein særskild farge blandar<br />
Arne 5 liter raudma˚ling, 2 liter bla˚ma˚ling og 2 liter<br />
gulma˚ling. Kva er <strong>for</strong>holdet mellom volumet av<br />
raudma˚linga og volumet av heile blandinga?<br />
OppgÔve 1.251<br />
(TIMMS 1995)<br />
I ein klasse er det 28 elevar. Forholdet mellom talet<br />
pa˚ jenter og talet pa˚ gutar er 4 : 3.<br />
Kor mange jenter er det i klassen?<br />
OppgÔve 1.252<br />
(TIMMS 1995)<br />
I to grupper med turistar var det 60 personar<br />
i kvar gruppe. 3=4 av den første gruppa og 2=3 av<br />
den andre gruppa reiste vidare til eit museum.<br />
Kor mange fleire personar fra˚ den første gruppa<br />
reiste vidare enn fra˚ den andre gruppa?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 59
OppgÔve 1.253<br />
(TIMMS 1995)<br />
Børre skal finne tre heile tal som følgjer etter<br />
kvarandre na˚r summen av dei tre tala er 81.<br />
Han skreiv denne likninga:<br />
ðn 1Þþn þðnþ 1Þ ¼81<br />
Kva sta˚r n <strong>for</strong>?<br />
OppgÔve 1.254<br />
(TIMMS 1995)<br />
Ekspertar seier at i 25 % av alle alvorlege sykkelulykker<br />
fa˚r syklisten hovudskadar, og av alle<br />
hovudskadane er 80 % dødstrugande.<br />
Kor stor prosent av alle alvorlege sykkelulykker<br />
fører til dødstrugande hovudskadar?<br />
OppgÔve 1.255<br />
(TIMMS 1995)<br />
Fra˚ eit parti med 3000 lyspærer vart 100 pærer<br />
plukka ut tilfeldig <strong>for</strong> a˚ bli testa. Ein fann at<br />
fem av desse pærene var ubrukande. Kor mange<br />
lyspærer av heile partiet kan vi rekne med er<br />
ubrukande?<br />
OppgÔve 1.256<br />
(TIMMS 1995)<br />
Systrene Bjørklund kom med pa˚standane nedan<strong>for</strong>.<br />
Dersom Vera <strong>for</strong>talde sanninga, kven av dei andre<br />
<strong>for</strong>talde da˚ ogsa˚ sanninga?<br />
Lill: «Dersom teppet er i bilen, er det ikkje<br />
i garasjen.»<br />
Silje: «Dersom teppet ikkje er i bilen, er det<br />
i garasjen.»<br />
Vera: «Dersom teppet er i garasjen, er det i bilen.»<br />
Klara: «Dersom teppet ikkje er i bilen, er det ikkje<br />
i garasjen.»<br />
OppgÔve 1.257<br />
(Nasjonal prøve)<br />
Pa˚ Harda˚s skule skal 24 elevar delast inn i grupper<br />
pa˚ anten tre, fire eller fem elevar. Det skal vere<br />
minst éi gruppe av kvar storleik. Kor mange<br />
ulike kombinasjonar av gruppestorleikar ga˚r det an<br />
a˚ lage med desse 24 elevane?<br />
OppgÔve 1.258<br />
(Nasjonal prøve, litt endra)<br />
Skriv eit rekneuttrykk som passer til kvar av<br />
oppga˚vene nedan<strong>for</strong>:<br />
a) Prisen pa˚ pærer er 12;90 kr=kg.<br />
Kor mykje kostar 2;6 kg?<br />
b) Morten kjøper sma˚godt til 7;60 kr=hg.<br />
Kor mykje fa˚r han <strong>for</strong> 36 kroner?<br />
c) 1 kg pølser kostar 79;90 kroner.<br />
Kor mykje kostar 0;68 kg?<br />
OppgÔve 1.259<br />
(Nasjonal prøve)<br />
Set inn det som manglar i tabellrutene:<br />
a b 2a þ b a2b 2b a<br />
2 3 7 12 4<br />
4 9<br />
10 5<br />
OppgÔve 1.260<br />
(Nasjonal prøve)<br />
Eit tal er skrive med fire siffer. Du fa˚r desse<br />
opplysningane om sifra:<br />
– Det første sifferet er eit primtal som er<br />
mindre enn 6.<br />
– Det andre sifferet er eit oddetal som er<br />
mindre enn det første sifferet.<br />
– Det tredje sifferet er lik summen av dei<br />
to første sifra.<br />
– Det fjerde sifferet er eit partal som er<br />
mindre enn det tredje sifferet.<br />
Finn tre tal som kan vere løysingar til oppga˚va.<br />
OppgÔve 1.261<br />
(Nasjonal prøve)<br />
a) Dersom a þ b ¼ 27, sa˚ blir a þ b þ 2 ¼ ...<br />
b) Dersom e þ f ¼ 8, sa˚ blir e þ f þ g ¼ ...<br />
60 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS
OppgÔve 1.262<br />
(Nasjonal prøve)<br />
a) Skriv 1=8 som prosenttal.<br />
b) Skriv 0;373 som brøk.<br />
c) Skriv 8;3 % som desimaltal.<br />
OppgÔve 1.263<br />
(Nasjonal prøve)<br />
Kakao blir seld i ulike pakningar til ulik pris.<br />
Nadia fann ut at ho hadde desse vala:<br />
– Merke A: 450 g kakao til 34;90 kroner<br />
– Merke B: 96 g kakao til 11;90 kroner<br />
– Merke C: 250 g kakao til 13;90 kroner<br />
Kva <strong>for</strong> eit merke bør ho kjøpe <strong>for</strong> a˚ fa˚ mest<br />
<strong>for</strong> pengane?<br />
KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 61