Sigma Teknikk og industriell produksjon, bokmål - Gyldendal Norsk ...

Karl Erik Sandvoll m.fl.
Sigma1
Helse- og sosialfag
Gyldendal undervisning

# Gyldendal Norsk Forlag AS, 2006
1. utgave, 1. opplag
Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1P for det
yrkesfaglige utdanningsprogrammet teknikk og industriell produksjon.
Printed in Norway by PDC Tangen, 2006
ISBN 13: 978-82-05-34936-0
ISBN 10: 82-05-34936-3
Redaktør: Ellen Semb
Bilderedaktør: Sissel Falck
Design: Gamma grafisk Vegard Brekke og Hild Mowinckel
Sats og layout: Gamma grafisk Vegard Brekke, PrePress as
Figurer: Gamma grafisk Vegard Brekke, forfatterne
Omslagsdesign: Hild Mowinkel
Omslagsillustrasjon, omslagsbilde: Getty Images
Bilder, illustrasjoner:
Illustratører: Anja Ruud: side 14, s. 33, s. 38 n.t.v., s. 58, s. 71, s.78 t.v., s. 82, s. 84, s. 141, s. 159 t.v.,
s.164 n.t.h., s. 167 t.v., s. 197, s. 199, s. 203, s. 209, s. 218, s. 222,
Bjørn Norheim: s. 11, s. 16, s. 17, s. 20 t.v., s. 24, s. 31 m., s. 35 t.v., s. 36, s. 42 ø.t.h., s.52-55, s. 57 n.t.v.,
s. 69, s. 74, s. 75, s. 79, s.139 n., s.152 n., s.161 ø.t.h., s.164 n.t.v., s. 166 t.h.m.
Bilder og øvrige illustrasjoner:
Side 4: Ole Moksnes AS, s. 8: Peter Till/Getty Images, s. 12: Scanpix, s. 13: Corbis/Scanpix, s. 18: ø. Ole
Moksnes AS, n. George Widman/Scanpix, s. 19: Jason Reed/Scanpix, s. 22: Ørn E.Borgen/Scanpix,
s. 29: t.v. CERN/Science Photo Library/GV-Press, t.h. Dylan Martinez/Scanpix, s. 32: GBA/Photodisc,
s. 44: Sverre A. Børretzen/Scanpix, s. 50: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 51: Stanley Brown/Getty Images,
s. 61: Scanpix, s. 65: Ole Moksnes AS, s.74: ø.t.v. Espen Sjølingstad Hoen/Scanpix, s. 78: t.h. John Lund/Getty
Images, s. 80: Hugh Sitton/Getty Images, s. 96: Ole Moksnes AS, s. 100: Berit Roald/Scanpix, s. 101: Wenche
Dypbukt, s. 102: Anne Langdalen, s. 104: Daly & Newton/Getty Images, s. 108 n., 109 ø.t.v.: Ulf Carlsson,
s. 120 n.t.v., s. 122 n.t.v.: John Arne Eidsmo, s. 128: Jason Reed/Scanpix, s. 138: #Trondheim kommune,
Kart-og oppma˚lingskontoret, s. 139: ø.t.h. Ole Moksnes AS, s. 142 ø.t.h. og s. 143 n.t.h.: #2006 The LEGO
Group, s. 148 og s.163 n.t.h.: M.C.Escher’s «Symmetry Drawing E18» #2006 The M.C.Escher Company-
Holland. All rights reserved.www.mcescher.com, s.159: ø.t.h. Unni Brakestad, n.t.h. # Casterman/Distr. by
PIB Copenhagen 2006, s. 160: Heimdal Eiendomsmegling, s. 161: ø.t.v. Ole Moksnes AS, s. 165: GBA,
s. 168: #Succession Pablo Picasso/BONO 2006. Pablo Picasso: Violin and Grapes, 1912. New York Museum of
Modern Art (MoMA) . Olje pa˚ lerret, 50,6 x 61 cm. Mrs. David M.Levy Bequest.32.1960. #Foto SCALA,
Firenze, s. 171: Knut Falch/Scanpix, s. 172, 173, 174: Ole Moksnes AS, s. 174 n.: E.H.Shepard Copyright under
the Berne Convention.# by Reed International Books Ltd., s. 175: GBA/Photodisc, s. 176: Liv Hegna/
Scanpix, s. 178: Ole Moksnes AS, s. 179: Ragnar Axelsson/Scanpix, s. 186, 190: Ole Moksnes AS,
s. 194: Adam Gault/Getty Images, s. 196: Ole Moksnes AS, s. 204: Trygve Indrelid/Scanpix,
s. 207: GBA/Photodisc, s. 214: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 226, 227: Diplom-is.
Det ma˚ ikke kopieres fra denne boka i strid med a˚ndsverkloven eller avtaler om
kopiering innga˚tt med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til a˚ndsverk.
Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning,
og kan straffes med bøter eller fengsel.
Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til:
Gyldendal Undervisning
Postboks 6860 St. Olavs plass
0130 Oslo
E-post: undervisning@gyldendal.no

FORORD
Denne matematikkboka er skrevet for elever som har valgt det yrkesfaglige
utdanningsprogrammet for teknikk og industriell produksjon. Boka er en
alt-i-ett-bok som inneholder lærestoff og et rikt utvalg av oppgaver.
Vi har lagt stor vekt pa˚ a˚ gi boka en ryddig struktur. Hvert delemne med
forklarende tekst, eksempler og aktiviteter er samlet i oppslag over en
dobbeltside. Pa˚ neste side ser du hvordan dette er bygd opp. Delemnene er
laget ut fra en helhetstanke, der tekst, eksempler, figurer og aktiviteter til
sammen skal hjelpe deg til a˚ na˚ ma˚lene i læreplanen. Mange oppslag
inneholder en utfordring som kan være med pa˚ a˚ gjøre faget mer spennende.
Her kan du ogsa˚ fa˚ utfordret din egen forsta˚else.
Kapitlene blir innledet med læreplanma˚l og en kort, motiverende tekst. Etter
oppslagene i hvert kapittel presenterer vi et større sammensatt eksempel. Det
skal hjelpe deg til a˚ sette delkunnskapen inn i en helhet. Deretter følger et
sammendrag og test-deg-selv-oppgaver. Til slutt i hvert kapittel finner du flere
graderte øvingsoppgaver sortert etter emne, og blandede oppgaver fra hele
kapitlet.
Denne boka skal hjelpe deg til a˚ løse aktuelle matematiske problemstillinger
innen fagomra˚det teknikk og industriell produksjon, og i din hverdag i og
utenfor skolen. Læreplanma˚lene sier at du skal kunne tolke, bearbeide og
vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster, og at du skal kunne bruke
matematiske metoder og hjelpemidler til a˚ løse problemer fra ulike fag- og
samfunnsomra˚der. Vi har i denne boka valgt a˚ ha med et bredt spekter av
oppgaver, alt fra tradisjonelle regneoppgaver til oppgaver som krever andre
løsningsstrategier. Miniprosjektene er et eksempel pa˚ slike oppgaver. Det kan
være a˚ utforske matematiske problemer eller finne informasjon i andre bøker
og pa˚ nettet. Denne informasjonen ma˚ du bearbeide og sammenfatte, for sa˚
a˚ presentere for andre. Vi ha˚per dette skal føre til faglige samtaler om
matematikk – gode muntlige ferdigheter er en forutsetning for a˚ lære.
Vi ønsker deg velkommen til www.gyldendal.no/sigma. Nettstedet inneholder
sider ba˚de for elever og lærere. Elevsidene presenterer blant annet interaktive
oppgaver og fordypningsstoff. Pa˚ lærersidene finnes det forslag til undervisningsopplegg,
tempoplan, omtale av kapitler, prøveforslag og annet.
I læreplanen heter det: «Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende,
kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening.» Vi ha˚per dere
griper mulighetene som boka og nettstedet gir, slik at matematikkopplæringen
kan forega˚ pa˚ en aktiv ma˚te.
Vi vil takke konsulenter og andre bidragsytere for konstruktive innspill og
gode ra˚d underveis.
Oslo, mars 2006
Wenche Dypbukt Silja Mustaparta Snorre Evjen
Bjørn Fosdahl Arne S. Kaldahl Rubi Skøyum Karin Øiseth
FORORD 3

INNHOLD
Kapittel 1
M—LING OG BEREGNINGER
1 Sa˚nn cirka –
avrunding, overslag og nøyaktighet........ 10
2 Ma˚lenheter for lengde ..................... 12
3 Omkrets – hele veien rundt................ 14
4 Kappe- og klippelengder .................. 16
5 Flatema˚l................................... 18
6 Areal av enkle figurer ..................... 20
7 Areal av sammensatte figurer ............. 22
8 Ma˚lenheter for
massetetthet, vekt og volum ............... 24
9 Megastore og mikroskopiske tall .......... 26
10 Sammensatt eksempel ..................... 28
SAMMENDRAG .................................. 30
TEST DEG SELV .................................. 31
Òvingsoppgaver ............................. 32
Kapittel 2
REGNING OG FORMLER
1 Problemløsing – husk a˚ være lur! ......... 46
2 Regnerekkefølge .......................... 48
3 Alle de sma˚ reglene – formelregning ...... 50
4 Formler for skjærhastighet og
omdreiningstall............................ 52
5 Lag dine egne formler..................... 54
6 Forholdstall og brøker..................... 56
7 Veien om 1. ............................... 58
8 Sammensatte eksempler ................... 60
SAMMENDRAG .................................. 62
TEST DEG SELV .................................. 63
Òvingsoppgaver ............................. 64
Kapittel 3
PROSENT
1 Hvor mange prosent er dette?............ 82
2 Prosentfaktor – hva er det? .............. 84
3 Vekstfaktor – sparer deg for arbeid ...... 86
4 Na˚r grunnlaget er ukjent................. 88
5 Prosentpoeng – ikke det samme som
vanlig prosentregning .................... 90
6 Sammensatt eksempel ................... 92
SAMMENDRAG................................. 94
TEST DEG SELV................................. 95
Òvingsoppgaver............................ 96
Kapittel 4
GRAFISKE FRAMSTILLINGER OG
PROPORSJONALITET
1 Grafisk presentasjon ..................... 106
2 Kan du stole pa˚ grafiske framstillinger? . 108
3 Vi finner sammenhenger grafisk ......... 110
4 Proporsjonale størrelser .................. 112
5 Omvendt proporsjonale størrelser ........ 114
6 Sammensatt eksempel ................... 116
SAMMENDRAG................................. 118
TEST DEG SELV................................. 119
Òvingsoppgaver............................ 120
6 INNHOLD

Kapittel 5
MER OM M—LING OG AREAL
1 Pytagoras og sidelengder ................. 130
2 Omkrets og areal ved hjelp av
Pytagoras’ setning ........................ 132
3 Formlikhet ............................... 134
4 Tangens og dreiing av konuser ........... 136
5 Ma˚lestokk................................ 138
6 Perspektivtegning ........................ 140
7 Arbeidstegninger ......................... 142
8 Mangekanter ............................. 144
9 Tesselering med regulære mangekanter . . . 146
10 Tesselering med andre grunnfigurer ...... 148
11 Sammensatt eksempel .................... 150
SAMMENDRAG ................................. 152
TEST DEG SELV ................................. 153
Òvingsoppgaver ............................ 154
Kapittel 6
VOLUM OG OVERFLATE
1 Romma˚l – hvor stort er innholdet? ....... 170
2 Volum av prismer og sylindrer ........... 172
3 Volum av kjegler, kuler og pyramider .... 174
4 Volum av sammensatte figurer ........... 176
5 Overflata av enkle og
sammensatte figurer ...................... 178
6 Sammensatt eksempel .................... 180
SAMMENDRAG ................................. 182
TEST DEG SELV ................................. 183
Òvingsoppgaver ............................ 184
Kapittel 7
ÒKONOMI
1 Indekser – da kroneisen kostet en krone . . 196
2 Indeksformelen –
leses like godt bak fram ................. 198
3 Gir mer penger alltid bedre ra˚d?
Reallønn og kroneverdi .................. 200
4 Lønn som fortjent? Timelønn og akkord . . 202
5 Provisjon, bonusordninger og
frynsegoder.............................. 204
6 Hva har vi a˚ rutte med?
Lønn, feriepenger og skatt ............... 206
7 Vi spleiser pa˚ godene –
skatter og avgifter ....................... 208
8 Sparing – forsiktig eller va˚gal? .......... 210
9 La˚n – røverkjøp eller landeveisrøveri? . . . 212
10 Forbruksmuligheter –
kjøp na˚, betal etter hvert! ................ 214
11 Budsjett og regnskap –
viktige redskap i planlegging ............ 216
12 Sammensatt eksempel ................... 218
SAMMENDRAG................................. 220
TEST DEG SELV................................. 221
Òvingsoppgaver............................ 222
Fasit ........................................ 236
Stikkord ................................... 261
L×replan i matematikk ............... 262
INNHOLD 7

1
M—LING OG BEREGNINGER

1.1 SÔnn cirka ^ avrunding, overslag og nÖyaktighet
Du skal l×re
^ Ô avgjÖre nÔr det er behov for nÖyaktighet i matematiske beregninger,
og nÔr vi kan gjÖre overslag
^ Ô runde av desimaltall med ulik grad av nÖyaktighet
Tallet (pi) har et uendelig antall desimaler, tilsynelatende uten noe
mønster. Japaneren Hiroyuki har lært seg de 42 000 første desimalene
utenat! Men trenger vi alltid a˚ være sa˚ nøyaktige?
Tenk deg at du er pa˚ IKEA og kjøper bilder. Du har dette i handlekurven:
«Rød rose»: kr 167;50=kg
«Epler»: kr 218;50=kg
«Solsikke»: kr 107;50=kg
Du har en femhundrelapp pa˚ deg. Hvordan kan du raskt regne ut i hodet
om du har nok penger? Knepet er a˚ gjøre et overslag, det vil si at du runder
av tallene.
Tabellen i margen illustrerer avrundingsreglene for desimaltall. Dersom vi
skal runde av til nærmeste hele tall, ser vi pa˚ første desimal. Er denne
desimalen 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av
nedover. Skal vi runde av til én desimal, ser vi pa˚ andre desimal pa˚ samme
ma˚te, og sa˚ videre.
EKSEMPEL 1
a) Hvordan kan du gjøre et raskt overslag for a˚ finne ut om
bildene i eksemplet ovenfor koster mer enn 500 kroner?
b) Du ønsker a˚ ramme inn «Solsikke» pa˚ nytt. Bildet har form
som et rektangel med bredden b ¼ 37;43 cm og høyden
h ¼ 62; 56 cm. Hvor mange centimeter rammeverk bør du
bestille?
Løsning:
a) Vi runder av oppover til nærmeste titall og legger sammen:
167;50 170 og 218;50 220 og 107;50 110
kr 170 þ kr 220 þ kr 110 ¼ kr 500
Siden vi har rundet av alle prisene oppover, er 500 kroner nok!
b) Vi runder av til én desimal og legger sammen:
37;43 cm 37;4 cm og 62;56 cm 62;6 cm
2 b þ 2 h ¼ 2 37;4 cmþ2 62;6 cm¼200;0 cm
Er 200 cm nok? Burde vi runde av annerledes?
TALLET
er definert som omkretsen
av en sirkel
dividert med diameteren
¼ O=d.Vanligvis nÖyer
vi oss med to desimaler
og skriver 3,14.
Avrunding av 7,2356
nærmeste titall 10
nærmeste heltall 7
1 desimal 7,2
2 desimaler 7,24
3 desimaler 7,236
10 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

Er det noen forskjell pa˚ tallene 7;2 mmog7;20 mm? Ja, det er det.
Na˚r vi oppgir en lengde som 7;20 mm, vil det si at vi har ma˚lt den
med større nøyaktighet enn om vi oppgir den til a˚ være 7;2 mm.
–Na˚r vi oppgir lengden til a˚ være 7;2 mm, er det underforsta˚tt at
lengden ligger mellom 7;15 mm og 7;24 mm.
–Na˚r vi oppgir lengden til a˚ være 7;20 mm, er det underforsta˚tt at
lengden ligger mellom 7;195 mm og 7;204 mm.
Toleransen er avviket fra det ma˚let vi ønsker.
EKSEMPEL 2
a) Hva er det største og det minste tillatte ma˚let pa˚ denne gjenstanden?
b) Hvor stor er toleransen?
Løsning:
a) Største ma˚l: 150 þ 3 ¼ 153 mm
Minste ma˚l: 150 3 ¼ 147 mm
b) Toleransen er 3 þ 3 ¼ 6mm.
AKTIVITETER
Oppgave 1.1
Rund av til én desimal:
a) 1,23 b) 1,46 c) 6,96
d) 19,07 e) 4,555 f) 3,849
Oppgave 1.2
Rund av til to desimaler:
a) 7,235 b) 11,464 c) 744,968
d) 19,079 e) 20,555 f) 13,445
Oppgave 1.3
Du er i dagligvarebutikken og handler mat.
I handlekurven har du
– 1 purreløk: kr 9,50
– 3 liter melk à kr 9,00 per liter
– 1 brød: kr 14,50
– 500 g kjøttdeig: kr 40,50
Du sta˚r ved kassa og har en hundrelapp i lomma.
Gjør overslag og bruk hoderegning for a˚ finne ut om
du unnga˚r en pinlig situasjon.
Oppgave 1.4
Klara skal regne ut jordas omkrets rundt ekvator.
Jordas radius ved ekvator er 6378 km.
Klara runder av til 6400 km før hun regner ut
omkretsen. Hvor stort avvik fra det korrekte
svaret, ma˚lt i kilometer, fa˚r hun pa˚ grunn av
avrundingen?
Oppgave 1.5
100 mm ± 2 mm
MA˚LENØYAKTIGHET
Meterstokk: 1 mm
M˚aleb˚and: 1 mm
St˚alm˚alelinjal: 0,5 mm
Skyvelære: 0,1 mm
Mikrometer: 0,01 mm
M˚aleur: 0,01 mm
Mikrokator: 0,001 mm
150 mm ± 3 mm
a) Hva er det største og det minste tillatte ma˚let pa˚
denne gjenstanden?
b) Hvor stor er toleransen?
c) Hvilket ma˚leverktøy kan du bruke her for a˚ fa˚
god ma˚lenøyaktighet?
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 11

1.2 MÔlenheter for lengde
Du skal l×re
^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for lengde
Den kinesiske mur ble pa˚begynt rundt 300 f.Kr. Muren er om lag
6 000 000 m lang og ca. 1500 cm høy pa˚ sitt høyeste.
Hvordan kan vi gjøre om lengden til kilometer og høyden til meter?
Tabellen viser sammenhengen mellom de vanligste ma˚lenhetene for lengde:
mil kilometer hektometer dekameter meter desimeter centimeter millimeter
mil km m dm cm mm
10 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
Vi gjør om fra centimeter til meter ved a˚ dele med 100.
Det er det samme som a˚ flytte kommaet to plasser mot venstre.
Den kinesiske mur er altsa˚ rundt 1500 cm ¼ 1500
m ¼ 15 m høy.
100
Vi gjør om fra meter til kilometer ved a˚ dele med 1000.
Det er det samme som a˚ flytte kommaet tre plasser mot venstre.
Den kinesiske mur er 6 000 000 m ¼ 6000 km lang.
EKSEMPEL 3
a) Hvor mange meter er 120 cm?
b) Hvor mange meter er 2,7 km?
Løsning:
a) Vi flytter kommaet to plasser mot venstre eller deler med 100:
120 cm ¼ 1;2 m
120 cm ¼ 120
m ¼ 1;2 m
100
b) Vi flytter kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000:
2;7 km 2;700 km ¼ 2700 m
2;7 km¼2;7 1000 m 2700 m
PREFIKSER
kilo ¼ 1000
hekto ¼ 100
deka ¼ 10
desi ¼ 1
10
centi ¼ 1
100
milli ¼ 1
1000
LENGDEMA˚L
Meter er grunnenheten
for lengde. Hektometer
og dekameter er sv×rt
lite brukt. 1 mil svarer
til 10 km.
OMGJØRING AV ENHETER
NÔr vi regner om fra stÖrre
til mindre mÔlenheter,
bruker vi ofte -tegnet.
Det gjÖr vi fordi stÖrre
enheter gjerne inneholder
usikkerhet.
12 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

EKSEMPEL 4
Den norske løperkongen Mensen Ernst tilbakela i 1832 distansen Paris–
Moskva pa˚ 14 dager. I luftlinje ma˚ler denne distansen om lag 2500 km.
a) Hvor mange meter svarer det til?
b) Hvor mange mil løp Mensen Ernst?
c) En engelsk mile er 1609 m.
Hvor lang er distansen Paris–Moskva i miles?
Løsning:
a) Vi bruker sammenhengen mellom enhetene for lengde:
2500 km ¼ 2500 1000 meter 2 500 000 meter
b) En mil svarer til 10 km:
2500 km ¼ 2500
mil ¼ 250 mil
10
Dette er like langt som Norges grense mot Sverige, Finland og Russland til sammen!
c) Vi gjør om fra meter til miles:
2 500 000
2 500 000 m ¼ miles 1553;76 miles 1554 miles
1609
AKTIVITETER
Oppgave 1.6
Gjør om til meter:
a) 234 cm b) 170 mm c) 144 dm
d) 2,047 km e) 0,2 mil f) 4,5 miles
Oppgave 1.7
Monolitten i Vigelandsparken i Oslo er omtrent
17 m høy.
a) Hvor høy er monolitten i centimeter?
b) Tommer er et annet lengdema˚l. En tomme svarer
til 2;54 cm. Hvor høy er monolitten omregnet i
tommer?
Oppgave 1.8
Gjør alle ma˚l om til centimeter og regn ut:
a) 1;2 mþ 2;7 dmþ320 cm þ 30 mm
b) 200 mm þ 0;15 m þ 5cm
c) 3;5 tommer þ 2dmþ40 mm
Oppgave 1.9
Gjør alle ma˚l om til meter og regn ut:
a) 18 dm þ 76 cm þ 40 mm
b) 3 dm 4;5 tommer þ 12 cm þ 30 mm
c) 4 km þ 1;243 miles 990 dm
LØPERKONGEN
Mensen Ernst ble fÖdt
i Sogn og Fjordane i1795
og dÖde i Egypt i1843.
PÔ1800-tallet ble han
beundret for sine lÖperprestasjoner
over hele
Europa.
Oppgave 1.10
Obelisken pa˚ Petersplassen i Vatikanet er om
lag 25 m høy.
a) Hvor høy er obelisken omregnet i fot?
(1 fot ¼ 0,3048 m)
b) Hvor høyt er dette kunstverket ma˚lt i tommer?
c) Hvor mange tommer er det i en fot?
Utfordring 1.11
a) Hvor mange kilometer løp Mensen Ernst
i gjennomsnitt per dag pa˚ turen Paris–Moskva?
b) Vi antar at han løp 11 timer per dag.
Finn gjennomsnittsfarten til Ernst i kilometer
per time.
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 13

1.3 Omkrets ^ hele veien rundt
Du skal l×re
^ hvordan du kan regne ut omkretsen av enkle geometriske figurer
EKSEMPEL 5
Ola skal legge beslag rundt en treplate med lengden 400 mm og
bredden 220 mm. Hvor mange millimeter beslag trenger han?
Løsning:
Tabellen i margen viser formler for omkretsen av noen enkle
geometriske figurer. Omkretsen blir
O ¼ 2 l þ 2 b ¼ 2 400 mm þ 2 220 mm ¼ 1240 mm
Firmaet Tummelumsk skryter av at de har produsert tivolimarkedets mest
spektakulære pariserhjul, med en radius pa˚ 21 meter.
Hvor mange meter har du beveget deg etter en runde med dette
pariserhjulet? Enn etter tolv runder? For a˚ regne ut det ma˚ vi finne
omkretsen av hjulet.
Tabellen i margen viser formler for omkretsen av noen enkle geometriske
figurer. Siden et pariserhjul alltid har form som en sirkel, blir omkretsen
O ¼ 2 r ¼ 2 21 m ¼ 131;947 m 132 m
Her runder vi av svaret. Hvorfor det, tror du?
Etter tolv runder med dette hjulet har du beveget deg
12 O ¼ 12 132 m ¼ 1584 m 1;6 km
Vi gjør om til kilometer og runder av grovere enn ovenfor.
Tenk gjennom hvorfor.
HUSK
NÔr du skal regne ut
omkretsen av en geometrisk
figur, mÔ alle
lengdene ha samme
enhet!
Rektangel
b
l
O = 2l + 2b
Kvadrat
s s
O = 4s
Parallellogram
s
g
O = 2s + 2g
Trapes
c
d b
a
O = a + b + c + d
Trekant
c
a
O = a + b + c
Sirkel
O = 2pr
14 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
r
b

EKSEMPEL 6
Klara skal sette pa˚ en reim som skal ga˚ rundt to like store hjul,
se figuren. Hvor lang ma˚ reima være?
Løsning:
Klara ser at reima ga˚r langs et rektangel med en halvsirkel i hver ende.
Til sammen utgjør de to halvsirklene en hel sirkel. Omkretsen av reima
blir derfor summen av omkretsen av en sirkel og av rektanglets to
langsider:
O ¼ 2 l þ d ¼ 2 360 mm þ 180 mm ¼ 1285;49 mm 1286 mm
Her runder Klara av oppover. Hvorfor det?
Hun tar ikke med kortsidene pa˚ rektanglet i omkretsen av reima.
Studer figuren og finn ut hvorfor!
AKTIVITETER
Oppgave 1.12
Regn ut omkretsen av figurene:
a) 17 m b)
c) 13 cm
e)
g)
26 cm
26 cm
17 m
r = 12,40 dm
×
d = 52 m
13 cm
h)
d)
28 mm
21 mm
19 mm
f) 37 cm
22 cm
r = 35 mm
Oppgave 1.13
Hvor stor er omkretsen av en sirkel med
a) r ¼ 2,18 cm b) r ¼ 18 dm
c) d ¼ 0,637 km
i)
22 cm
7 dm
180 mm
360 mm
Oppgave 1.14
Regn ut omkretsen i centimeter av et rektangel med
a) b ¼ 20 cm og l ¼ 40 cm
b) b ¼ 30 cm og l ¼ 17 dm
c) b ¼ 4 fot og l ¼ 2 tommer
Oppgave 1.15
Jordas radius ved ekvator er 6378 km. Hvor lang
reisevei er det mellom to punkter pa˚ ekvator
som ligger nøyaktig pa˚ hver sin side av jorda?
Gi svaret i mil.
Oppgave 1.16
Ernst er nesten ferdig med oppussingen og skal
legge gulvlister i stua. Rommet har form som et
rektangel med lengden 6 m og bredden 4 m. Pa˚ den
ene kortveggen er det en dør med bredden 70 cm
inn til kjøkkenet. Pa˚ den ene langveggen er det en
tilsvarende dør ut mot gangen.
Hvor mange meter listeverk bør Ernst kjøpe?
Utfordring 1.17
En rull med hønsenetting er rullet som en sylinder
med lengden 80 cm og diameter lik 20 cm.
a) Hvor stor er omkretsen av rullen?
b) Omtrent hvor mange runder er nettingen tvinnet
rundt sylinderen na˚r lengden av hønsenettingen
er 5 m?
c) Tenk gjennom hvilke feilkilder det er
i svaret du fikk i b.
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 15

1.4 Kappe- og klippelengder
Du skal l×re
^ Ô regne ut klippelengden pÔ plater som skal knekkes
Na˚r vi knekker et arbeidsstykke, strekker det seg i knekkpunktet:
– For plater som er tynnere enn 4 mm, regner vi ut klippelengden etter den
innvendige knekken.
– For plater tykkere enn 4 mm er den innvendige strekken sa˚ stor at vi ma˚
ta den med na˚r vi regner ut klippelengden.
EKSEMPEL 7
Regn ut klippelengden til denne plata, som er 2 mm tykk.
Ma˚lene pa˚ figuren er innvendige ma˚l.
Løsning:
Plata er tynnere enn 4 mm, sa˚ klippelengden er summen
av innvendige ma˚l. Klippelengden blir 30 mm þ 80 mm ¼ 110 mm.
EKSEMPEL 8
Du skal knekke en platebit med tykkelsen t ¼ 5mm i90 vinkel.
Knekkradien R skal være 10 mm, og de utvendige ma˚lene skal
være 80 mm þ 80 mm. Hvor lang ma˚ den totale klippelengden være?
Løsning:
Du ser pa˚ arbeidstegningen at lengden av plata er satt sammen av
to rette partier og en bue. De rette partiene har lengden
80 mm ðt þ RÞ ¼80 mm ð5 þ 10Þ mm ¼ 80 mm 15 mm ¼ 65 mm
Lengden av buen er omkrets
4
¼
2 r
4 ¼
r
2
Som radius i buen bruker du radien som ga˚r midt i plata:
r ¼ 10 mm þ t
5
¼ 10 mm þ
2 2
mm ¼ 10 mm þ 2;5 mm¼ 12;5 mm
12;5 mm
Buens lengde er
¼ 19;6 mm
2
Total klippelengde: 65 mm þ 19;6 mmþ65 mm ¼ 149; 6mm
65 mm 19,6 mm
65 mm
5 mm
30 mm
80 mm
R = 10 mm
80 mm
16 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
80 mm
t
r R
2
5 mm

AKTIVITETER
Oppgave 1.18
100 mm
60 mm
3 mm
Du skal knekke en 3 mm tykk plate som vist pa˚
figuren. Regn ut klippelengden.
Oppgave 1.19
50 mm
70 mm
60 mm
40 mm
2 mm
Du skal knekke en 2 mm tykk plate som vist pa˚
figuren. Regn ut klippelengden.
Oppgave 1.20
R = 10 mm
6 mm
En 6 mm tykk plate skal knekkes 90 med en
innvendig radius pa˚ 10 mm.
a) Hvor stor blir den utvendige radien?
b) Hvor stor blir nøytralradien
(radien midt i plata)?
c) Hvor langt blir buestykket?
Oppgave 1.21
40 mm
R = 10 mm
120 mm
8 mm
En 8 mm tykk plate skal knekkes 90 .
Knekkradien R skal være 10 mm, og de
utvendige ma˚lene skal være 40 mm þ 120 mm.
Regn ut klippelengden.
Oppgave 1.22
Dersom du hadde regnet ut platelengden
i eksempel 8 ved a˚ legge sammen utvendige
ma˚l (80 mm þ 80 mm), hvor mye for lang ville
plata blitt?
Oppgave 1.23
Lengden av en sirkelbue pa˚ 90 er en firedel av
omkretsen.
a) Hvor stor del av omkretsen utgjør 45 ?
b) Hvor stor del av omkretsen utgjør 60 ?
c) Hvor stor del av omkretsen utgjør 120 ?
Utfordring 1.24
Du har samme situasjon som i eksempel 8, men
skal knekke platebiten i 60 vinkel. Platetykkelsen t
er 5 mm, knekkradien R skal være 10 mm, og de
utvendige ma˚lene skal være 80 mm þ 80 mm.
Hvor lang ma˚ den totale klippelengden være?
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 17

1.5 FlatemÔl
Du skal l×re
^ at areal er et mÔl for stÖrrelsen av en flate
^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for areal
En flate er todimensjonal og har ingen tykkelse. En firkantet flate
er bare representert ved lengden og bredden. Til a˚ oppgi størrelsen av
en flate bruker vi betegnelsen areal.
Tabellen viser sammenhengen mellom ulike ma˚lenheter for areal.
kvadratkilometer
kvadrathektometer
kvadratdekameter
kvadratmeter
kvadratdesimeter
kvadratcentimeter
kvadratmillimeter
km 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2
1 000 000 10 000 100 1 0,01 0,0001 0,000 001
Na˚r vi skal gjøre om fra m2 til dm 2 ,ma˚ vi gange med 100. Det er det
samme som a˚ flytte kommaet to plasser mot høyre. For hver kolonne
vi flytter oss i tabellen, ma˚ vi altsa˚ flytte kommaet to plasser.
14;25 m2 ¼ 14;25 100 dm 2 ¼ 1425 dm 2
Vi gjør om fra m 2 til km 2 ved a˚ dele med 1 000 000.
Det er det samme som a˚ flytte kommaet seks plasser mot venstre:
70 000
1 000 000 km2 ¼ 0;07 km 2
EKSEMPEL 9
a) Hvor mange kvadratmeter er 17 400 cm 2 ?
b) Hvor mange kvadratmeter er 564 000 mm 2 ?
b) En serviett har et areal pa˚ 4dm 2 .
Hvor mange kvadratmeter utgjør det?
d) New York by har et areal pa˚ 787 km 2 .
Gjør om til kvadratmeter.
Løsning:
a) Vi flytter kommaet fire plasser mot venstre:
17 400 cm2 ¼ 1;74 m2 b) Vi flytter kommaet seks plasser mot venstre:
560 000 mm2 ¼ 0;56 m2 c) Vi deler pa˚ 100:
4dm 2 ¼ 4
100 m2 ¼ 0;04 m 2
d) Vi ganger med 1 000 000:
787 km 2 ¼ 787 1 000 000 m2 787 000 000 m2 EUKLIDS DEFINISJONER
^ Et punkt er noe som ikke
kan deles.
^ Ei linje er en lengde uten
bredde.
^ En £ate er noe som bare
har lengde og bredde.
ENHETER FOR AREAL
Kvadratmeter, m 2 ,er
grunnenheten for areal.
Kvadratdekameter og
kvadrathektometer brukes
sv×rt sjelden.
18 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

EKSEMPEL 10
Pentagonbygningen i Arlington i USA er en av verdens største
kontorbygninger. Den dekker 117 000 m2 og har et bruksareal
pa˚ 3 700 000 fot 2 . Parken i midten er ca. 20;2 ma˚l.
a) Hvor mange ma˚l dekker Pentagon?
b) Hvor mange kvadratkilometer er parken i midten?
c) Hvor mange hektar er bruksarealet? ð1 fot ¼ 0;3048 mÞ
Løsning:
a) Vi gjør om fra kvadratmeter til ma˚l:
117 000 m2 ¼ 117 000 m2 : 1000 ¼ 117 m˚al
b) Først gjør vi om fra ma˚l til kvadratmeter:
20;2 m˚al ¼ 20;2 1000 m2 ¼ 20 200 m2 Deretter gjør vi om til kvadratkilometer:
20 200 m2 ¼ 0;202 00 km 2
0;2 km 2
c) Vi gjør om fra kvadratfot til kvadratmeter:
1 fot 2 ¼ 0;3048 m 0;3048 m ¼ 0;0929 m2 3 700 000 fot 2 ¼ 3 700 000 0;0929 m 2 ¼ 343 741 m 2
Sa˚ gjør vi om til hektar:
343 741 m2 ¼ 343 741 m2 : 10 000 34;3 hektar
AKTIVITETER
Oppgave 1.25
Gjør om til kvadratmeter:
a) 180 cm2 b) 2500 mm2 c) 132 dm 2
d) 3;04 km 2
e) 0;2 m˚al f) 250 000 cm 2
Oppgave 1.26
Gjør om til passende enhet, og regn ut.
a) 23 dm 2 þ 14 cm2 þ 0;2 m2 b) 4000 m2 þ 0;3 km 2 þ 16 m˚al
c) 5 hektar 17;2 m˚al 7840 m2 Oppgave 1.27
Arealet av et A4-ark er 625 cm 2 .
Hvor stort er dette arealet i kvadratmeter?
STORE FLATER
1m˚al ¼ 1000 m 2
1hektar¼ 10 000 m 2
Oppgave 1.28
Arealet av et lite landomra˚de, for eksempel
en hustomt, blir ofte oppgitt i ma˚l.
Ett ma˚l svarer til 1000 m2 .
a) Hvor mange kvadratmeter er en tomt
pa˚ 4,5 ma˚l?
b) Hvor mange ma˚l er et landomra˚de pa˚ 6,3 km2 ?
Oppgave 1.29
Kunstneren David A˚ berg fra Helsingborg har malt
et maleri med et areal pa˚ hele 4000 m 2 . Dette er
verdens største maleri malt pa˚ lerret av en kunstner.
Hvor mange ma˚l er arealet av maleriet?
Oppgave 1.30
En plate pa˚ 1200 mm 2000 mm har arealet
2 400 000 mm 2 . Gjør om til en enhet som gjør det
lettere a˚ forsta˚ hvor stor plata er.
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 19

1.6 Areal av enkle figurer
Du skal l×re
^ Ô regne ut arealet av enkle geometriske figurer
Trekanter, firkanter og sirkler er eksempler pa˚ enkle geometriske figurer
som har vært brukt fra gammelt av. Tabellen i margen viser formler
for arealet av noen enkle geometriske figurer.
For et kvadrat med side lik 5 cm blir arealet
A ¼ s s ¼ s 2 ¼ 5cm 5cm¼ 25 cm 2
For et trapes der a ¼ 4cm,b ¼ 5cm og h ¼ 3 cm, blir arealet
A ¼
EKSEMPEL 11
ða þ bÞ h
2
¼
ð4cmþ 5cmÞ 3cm
2
¼ 13;5 cm 2
Et salongbord er formet som et rektangel med lengden 2;4 mog
bredden 130 cm.
a) Hvor stort er arealet av bordflata?
b) Bordet er formet som en kasse med høyden 50 cm.
Hvor stor er overflata av bordet?
Løsning:
a) For a˚ fa˚ samme enhet pa˚ lengden og bredden av bordet gjør vi om
bredden fra centimeter til meter:
130 cm ¼ 1;3 m
A ¼ l b ¼ 2;4 m 1;3 m¼ 3;12 m2 b) Først gjør vi om fra centimeter til meter: 50 cm ¼ 0;5 m.
Deretter bretter vi ut kassa:
2,4 m
130 cm
50 cm
Langside: 2;4 m 0;5 m¼ 1;2 m 2
Kortside: 1;3 m 0;5 m¼ 0;65 m 2
Overflata av bordet: topp þ 2 langside þ 2 kortside ¼
3;12 m 2 þ 2 1;2 m 2 þ 2 0;65 m 2 ¼ 6;82 m 2
Rektangel
b
l
A = l ⋅ b
Kvadrat
s s
A = s ⋅ s = s 2
Parallellogram
h
g
A = g ⋅ h
Trapes
b
h
a
(a + b) ⋅ h
A =
2
Trekant
h
g
g ⋅ h
A =
2
Sirkel
r
A = π ⋅ r 2
HUSK
NÔr du skal regne ut arealet
av en geometrisk figur, mÔ
alle lengdene ha samme
enhet!
20 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

EKSEMPEL 12
a) En trekant har grunnlinje 1 dm og høyde 6 cm.
Hvor stort blir arealet av trekanten?
b) I en sirkel er diameteren 1; 4 dm. Hva blir arealet av sirkelen?
Løsning:
a) – Vi gjør om fra desimeter til centimeter for grunnlinja:
1dm¼10 cm.
– Vi bruker formelen for arealet av en trekant:
A ¼
g h
2
¼ 10 cm 6cm
2
¼ 30 cm 2
b) – Radien i en sirkel er halvparten av diameteren:
1;4 dm
¼ 0;7 dm
2
– Vi bruker formelen for arealet av en sirkel:
AKTIVITETER
Oppgave 1.31
Regn ut arealene:
a)
d)
26 cm
r = 15 cm
×
13 cm
A ¼ r 2 ¼ ð0;7 dmÞ 2 ¼ 1;5394 dm 2
26 cm
b)
13 cm
d = 2 dm
e)
c)
48 cm
17 m
Oppgave 1.32
Regn ut arealet av en trekant med grunnlinja 2 dm
og høyden 5 cm.
Oppgave 1.33
Et A4-ark med arealet 625 cm2 kan maksimalt
brettes seks ganger. (Bare prøv!) Regn ut arealet av
et A4-ark som er brettet seks ganger.
17 m
23 cm
1;5 dm 2
Oppgave 1.34
En metallplate har form som et trapes med
ma˚l som vist pa˚ figuren. Hvor mange kvadratmeter
er arealet av plata?
6 dm
55 cm
120 cm
6 cm
1,4 dm
1 dm
Oppgave 1.35
Ernst skal bruke plateknekking for a˚ lage
en boks der grunnflata er et kvadrat med sider
pa˚ 0;3 m. Hvor stort blir arealet av plata na˚r boksen
skal være 15 cm høy? (Boksen skal ikke ha lokk,
og du trenger ikke ta hensyn til strekk i materialet.)
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 21

1.7 Areal av sammensatte figurer
Du skal l×re
^ Ô regne ut arealet av sammensatte geometriske figurer
Nye Bislett Stadion er et eksempel pa˚ en sammensatt geometrisk figur.
Na˚r vi skal regne ut arealet av en sammensatt geometrisk figur, ma˚ vi
først finne ut hvilke delfigurer den er satt sammen av. Sa˚ regner vi ut
arealene av delfigurene hver for seg. Deretter ma˚ vi studere figuren nøye.
Noen ganger ma˚ vi legge sammen arealene, andre ganger kan det være
lurt a˚ trekke fra.
EKSEMPEL 13
Svært forenklet kan vi si at arenaen pa˚ Bislett Stadion omfatter
et rektangel med lengden 105 m og bredden 90 m pluss en halvsirkel
med radien 45 m i hver ende. Hvor stort er arealet av arenaen?
Løsning:
Formelen for arealet av arenaen blir
A ¼ Arektangel þ Ahalvsirkel þ Ahalvsirkel
¼ Arektangel þ Asirkel ¼ l b þ r 2
Vi setter inn i formelen ovenfor:
A ¼ l b þ r 2 ¼ 105 90 þ 45 2 ¼ 15 811;725
Arealet av arenaen er om lag 15 800 m 2 .
Her runder vi av mye i svaret. Kan du tenke deg hvorfor?
REGNING UTEN ENHETER
NÔrduarbeidermedlitt
stÖrre regnestykker, kan
det ofte v×re greit Ô slÖyfe
enhetene underveis, som
i eksempel13. Men det er
viktig at du vet hvilken
enhetsvaretskalha!
45 m
105 m 105 m
22 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
90 m
90 m
45 m

EKSEMPEL 14
Det er strenge regler for hvordan nasjonalflagg skal se ut.
Figuren viser hvordan forholdene skal være i det japanske
flagget. Diameteren til sola i midten er 24 cm.
Hvor stort areal dekker det hvite omra˚det i det japanske
flagget?
Løsning:
Vi finner først det totale arealet av flagget:
A ¼ l b ¼ 60 cm 40 cm ¼ 2400 cm 2
Sa˚ finner vi arealet av sola i midten:
A ¼ r 2 ¼
24
2 cm
2
¼ ð12 cmÞ 2
Arealet av det hvite omra˚det i det japanske flagget blir
A ¼ 2400 cm 2
452;4 cm 2 ¼ 1947;6 cm 2
AKTIVITETER
Oppgave 1.36
Regn ut arealet av disse flatene:
a)
8 cm
b) 45 mm
d)
f)
25 mm
0,8 dm
10 cm
6 cm
4 cm
55 mm
7 cm
6 cm
3 cm
17 cm
c)
e)
20 cm
3 dm
93 mm
30 cm
45 cm
20 cm
30 cm
16 cm
20 cm
20 cm
452;389 cm 2
1948 cm 2
452;4 cm 2
Oppgave 1.37
En plate har ma˚l og form som vist pa˚ figuren. Regn
ut arealet av plata.
90 cm
200 cm
18 dm
Oppgave 1.38
Lengdeforholdene i det norske flagget er som vist
pa˚ figuren. Finn det samlede arealet av de hvite og
de bla˚ omra˚dene i flagget. Alle ma˚l er i desimeter.
6
1
2
1
6
60 cm
6 1 2 1 12
Utfordring 1.39
I en likesidet regulær sekskant er alle
sidene 8 cm lange. Tegn figur og regn ut
arealet av sekskanten.
40 cm
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 23

1.8 MÔlenheter for massetetthet, vekt og volum
Du skal l×re
^ hvordan vi gjÖr om mellom ulike mÔlenheter for vekt
^ hvordan vi gjÖr om mellom ulike mÔlenheter for volum
Vi har to like store plater, den ene av sta˚l og den andre av aluminium.
Sta˚lplata er ca. tre ganger sa˚ tung som aluminiumsplata fordi sta˚l har
ca. tre ganger sa˚ høy massetetthet som aluminium. Massetettheten sier
hvor mye vekt et materiale har per volumenhet, for eksempel hvor
mange kilogram et materiale veier per kubikkdesimeter.
Metallene kan deles inn i lettmetaller og tungmetaller, og skillet ga˚r
ved 5 kg=dm 3 .
1,7 2,7 5,0 6,8 7,2 8,9
Magnesium Aluminium
Krom Stål Kopper
Støpejern Nikkel
EKSEMPEL 15
Lettmetaller Tungmetaller
Massetettheten til aluminium er om lag 2;7 kg=dm 3 .
Hvor mye veier en aluminiumsplate med et volum pa˚ 10 dm 3 ?
Løsning:
Vekt av plata ¼ % volum ¼ 2;7 kg=dm 3 10 dm 3 ¼ 27 kg
Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom ulike ma˚lenheter for vekt:
kilogram hektogram dekagram gram desigram centigram milligram
kg hg g dg cg mg
1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
For a˚ gjøre om fra gram til milligram ma˚ vi gange med 1000.
Vi flytter altsa˚ kommaet tre plasser mot høyre. Det er det samme som
a˚ ga˚ tre kolonner til høyre:
40 g ¼ 40 1000 mg ¼ 40 000 mg
For a˚ gjøre om fra gram til kilogram ma˚ vi dele pa˚ 1000. Vi flytter
altsa˚ kommaet tre plasser mot venstre. Det er det samme som a˚ ga˚
tre kolonner til venstre:
600 g ¼ 600 : 1000 kg ¼ 0;6 kg
MASSETETTHET (%),
VEKT OG VOLUM
% ¼ vekt
volum
kg kg
¼ ¼ 3
dm liter
vekt ¼ % volum ð¼ kgÞ
volum ¼ vekt
% ð¼ literÞ
ENHETER FOR VEKT
Gram er grunnenheten for
vekt. De mest brukte vektenhetene
i Norge er gram,
kilogram og milligram.
1tonnsvarer til1000kg.
24 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

EKSEMPEL 16
a) Hvor mange gram er 27 kg?
b) En kopperplate pa˚ 10 dm 3 veier 89 000 gram.
Gjør om til kilogram.
Løsning:
a) 27 kg ¼ 27 1000 g 2700 g
b) 89 000 g ¼ 89 000 : 1000 kg ¼ 89 kg
Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom ulike ma˚lenheter for
volum:
hektoliter dekaliter liter desiliter centiliter milliliter
hl l dl cl ml
100 10 1 0,1 0,01 0,001
For a˚ gjøre om fra liter til milliliter ma˚ vi gange med 1000. Vi flytter
altsa˚ kommaet tre plasser mot høyre eller ga˚r tre kolonner til høyre:
2 l ¼ 2 1000 ml ¼ 2000 ml
Vi gjør om fra liter til hektoliter slik:
20 l ¼ 20
hl ¼ 0;20 hl
100
AKTIVITETER
Oppgave 1.4 0
Gjør om til gram:
a) 2,670 kg b) 3,75 hg
c) 27,4 mg d) 14 cg
e) 120 mg f) 1,37 tonn
Oppgave 1.41
Gjør om til liter:
a) 2,670 dl b) 0,34 hl
c) 7,3 cl d) 207 ml
e) 12,137 hl f) 1,04 kubikk
Oppgave 1.42
Gjør om til en passende enhet og regn ut:
a) 2;13 l þ 18;08 dl þ 4clþ740 ml
b) 210 mg 0;2 gþ 50 cg 0;3 dg
Oppgave 1.43
Ranger fra største til minste verdi:
a) 4551 mg, 25 cg, 5,21 g
b) 0,066 l, 6 dl, 70 ml
ENHETER FOR VOLUM (HULMA˚L)
Liter er grunnenheten for volum.
Dekaliter er sv×rt lite brukt.
1000 liter kaller vi ofte ßen
kubikký.
Oppgave 1.44
Hva veier mest:
a) en aluminiumsplate pa˚ 20 dm 3 eller en
jernplate pa˚ 0;5 dm 3
b) en kopperplate pa˚ 17 dm 3 eller en jernplate
pa˚ 20 dm 3
Oppgave 1.45
Ola har fisket 1;3 hektoliter reker. Han selger
rekene for 30 kr per liter. Hvor mye tjener han?
Miniprosjekt 1.46
Hvor mange liter luft rommer en fotball?
Hjelpemidler: vannbalje og literma˚l
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 25

1.9 Megastore og mikroskopiske tall
Du skal l×re
^ om mÔlenheter i elektroteknikken
^ Ô skrive store og smÔ verdier pÔ den formen som er vanlig i elektroteknikk
Ma˚linger og beregninger innenfor elektroteknikken fører ofte til at vi
arbeider med svært sma˚ eller svært store tall. For a˚ fa˚ til det ma˚ vi bruke
tierpotenser eller prefikser na˚r vi skal skrive verdiene. Før vi ga˚r inn pa˚
elektroteknikken, skal vi ta for oss to eksempler med tierpotenser:
10 6 ¼ 10 10 10 10 10 10 ¼ 1 000 000
Vi ser at 106 er et ettall med seks nuller etter.
10 6 ¼ 1
1
¼
¼ 0;000 001
106 10 10 10 10 10 10
Her kommer ettallet pa˚ den sjette plassen bak komma. Effekter kan
ha størrelser helt opp i terawatt (TW). Nedenfor har vi illustrert
denne størrelsen:
1 terawatt ¼ 10 12 W ¼ 1 000 000 000 000 W
Kondensatorer kan være i størrelser fra femtofarad (fF) og oppover.
Vi illustrerer ogsa˚ dette tallet:
1 femtofarad ¼ 10 15 F ¼ 0;000 000 000 000 001 F
Det er vanlig a˚ skrive enhetene i elektroteknikk enten med prefikser
som vist i margen, eller med tiereksponenter som svarer til prefiksene.
EKSEMPEL 17
Energibruken av elektrisitet blir ma˚lt i wattimer (Wh). Et a˚r
var det norske elektrisitetsforbruket 212 000 000 000 000 Wh.
Skriv dette forbruket ba˚de som tierpotens og med prefiks.
Løsning:
212 000 000 000 000 Wh ¼ 212 10 12 Wh ¼ 212 TWh
EKSEMPEL 18
En vanlig størrelse pa˚ kondensatorer er 10 mF. Skriv denne verdien
først som tiereksponent og deretter uten prefiks og eksponent.
Løsning:
10 mF ¼ 10 10 6 F ¼ 0;000 01 F
10 µF
PREFIKSER
tera ¼ T ¼ 10 12
giga ¼ G ¼ 10 9
mega ¼ M ¼ 10 6
kilo ¼ k ¼ 10 3
milli ¼ m ¼ 10 3
mikro ¼ m ¼ 10 6
nano ¼ n ¼ 10 9
piko ¼ p ¼ 10 12
femto ¼ f ¼ 10 15
26 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

Strøm kan variere fra milliampere (mA) til megaampere (MA). Legg
merke til forskjellen pa˚ stor og liten m. En feil her kan fa˚ katastrofale
konsekvenser!
EKSEMPEL 19
Hvor mange ganger mer er 12 MA enn 12 mA?
Løsning:
12 MA 12 000 A
¼ ¼ 1 000 000 000
12 mA 0;012 A
12 MA er en milliard ganger mer enn 12 mA.
AKTIVITETER
Oppgave 1.47
Skriv opp resistansen til motstanden pa˚ figuren
uten prefiks
a) som tierpotens b) som vanlig tall
120 MΩ
Oppgave 1.4 8
Skriv opp induktansen til spolen pa˚ figuren
a) som tierpotens b) med prefiks
0.003 H
Oppgave 1.49
Skriv opp kapasiteten til kondensatoren pa˚ figuren
uten prefiks
a) som tierpotens b) som vanlig tall
120 pF
Oppgave 1.50
a) Hvor mange ganger mer er 120 mF enn 240 nF?
b) Gjør om 12 pF til nanofarad (nF).
c) Gjør om 30 nH til millihenry (mH).
d) Hvor mange kiloohm (k ) er 240 G ?
e) Gjør om 220 til megaohm (M ).
Oppgave 1.51
a) Fem motstander pa˚ 270 k blir koplet
i serie. Hvor mange megaohm blir den totale
resistansen?
b) A˚ tte kondensatorer pa˚ 300 pF blir koplet
i parallell. (Da ma˚ du summere kondensatorverdiene.)
Hvor mange nanofarad blir den
totale kapasitansen?
c) 14 motstander pa˚ 910 k blir koplet i serie.
Hvor mange gigaohm blir den totale resistansen?
Oppgave 1.52
Inngangssignalet pa˚ en forsterker ma˚ler 50 mV.
Pa˚ utgangen er det 38 V. Hvor mange ganger
blir spenningen forsterket?
Utfordring 1.53
En norsk familie har et a˚r en energibruk pa˚
25 000 kWh.
a) Hvor stort blir dette forbruket ma˚lt
i megawattimer (MWh)?
b) Hvor mange wattimer (Wh) bruker familien
hver dag?
Utfordring 1.54
Innenfor elektronikken er det vanlig a˚ arbeide
med kiloohm (k ) og milliampere (mA).
Forklar hvorfor dette blir ekstra enkelt na˚r vi
bruker Ohms lov ðU ¼ R IÞ.
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 27

1.10 Sammensatt eksempel
EKSEMPEL 20
Den ene av de to figurene nedenfor er et kvadrat. Den andre figuren er et
tilsvarende kvadrat, men i hvert hjørne er det klipt bort en kvartsirkel.
1 2
1,6 dm 16 cm 0,8 dm
16 cm
a) Regn ut arealet og omkretsen av hver figur. Bruk henholdsvis
kvadratcentimeter og centimeter som enheter.
b) Gjør om arealet av figur 1 til kvadratmeter og omkretsen av
figur 2 til meter.
Løsning:
a) Vi gjør først om fra desimeter til centimeter for to av lengdene:
1;6 dm¼16 cm og 0;8 dm¼8cm Deretter regner vi ut arealet og omkretsen av figur 1:
A ¼ s s ¼ 16 cm 16 cm ¼ 256 cm2 O ¼ 4 s ¼ 4 16 cm ¼ 64 cm
Figur 2 er litt mer sammensatt enn figur 1. I hvert hjørne er det
klipt bort et omra˚de som svarer til en kvartsirkel med radius 4 cm.
Til sammen er det altsa˚ klipt bort et omra˚de tilsvarende en hel
sirkel med radius 4 cm.
Arealet av figur 2 blir dermed
A ¼ Akvadrat Asirkel ¼ 16 16 42 205;73 205;7
Arealet av figur 2 er tilnærmet lik 205,7 cm 2 .
Omkretsen av figur 2 besta˚r av fire sider med lengde 8 cm og
fire kvartsirkler med radius 4 cm. De fire kvartsirklene utgjør til
sammen en hel sirkel.
Omkretsen av figur 2 blir da
O ¼ 4 8cmþ2 4cm 57;13 cm 57;1 cm
Omkretsen av figur 2 er tilnærmet lik 57,1 cm.
HUSK
NÔr du skal regne ut
arealet og omkretsen av
geometriske figurer, mÔ
alle lengdene ha samme
enhet!
REGNING UTEN ENHETER
NÔrduarbeidermedlitt
stÖrre regnestykker,
kan det ofte v×re greit Ô
slÖyfe enhetene underveis.
Men det er viktig at
du vet hvilken enhet
svaret skal ha!
28 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

) Na˚r vi skal uttrykke arealet av figur 1 i kvadratmeter,
ma˚ vi flytte kommaet fire plasser mot venstre.
Det er det samme som a˚ dele pa˚ 10 000:
256 cm 2 ¼ 0;0256 m 2 256
eller
10 000 m2 ¼ 0;0256 m 2
Na˚r vi skal uttrykke omkretsen av figur 2 i meter,
ma˚ vi flytte kommaet to plasser mot venstre.
Det er det samme som a˚ dele pa˚ 100:
57;1 cm¼0;571 m eller 57;1
m ¼ 0;571 m
100
AKTIVITETER
Oppgave 1.55
Regn ut arealet og omkretsen av figurene:
a)
12 m
12 m
b)
6 m
12 m
6 m
12 m
Oppgave 1.56
CERN («Conseil Europèen pour la Recherche
Nuclèaire») er et intereuropeisk anlegg for
partikkel- og kjernefysikkforskning.
Den underjordiske LEP-tunnelen («Large Electron
Positron collider») har tilnærmet sirkelform med
en radius pa˚ om lag 4,3 km.
SPS-tunnelen (protonakseleratoren) har en radius
pa˚ om lag 1,1 km.
a) Hvor lang er radien i LEP-tunnelen ma˚lt
i meter?
b) Regn ut lengdene av begge tunnelene.
c) Hvor stort er arealet av landomra˚det som
ligger innenfor LEP-tunnelen, men utenfor
SPS-tunnelen pa˚ bildet?
d) I LEP-tunnelen blir partikler akselerert opp
til en fart nær lysfarten pa˚ 300 000 km=s.
Dersom en partikkel har en fart pa˚
290 000 km=s, hvor mange runder
i LEP-tunnelen klarer den pa˚ ett sekund?
Nettoppgave 1.57
Bildet viser Petersplassen sett fra kuppelen av
Peterskirken i Vatikanet.
Under begravelsen til pave Johannes Paul 2.
i april 2005 var Petersplassen fylt av rundt
300 000 mennesker. Ytterligere 700 000 stod
i gatene omkring.
a) Klarer du ut fra dette a˚ gjøre et overslag over
arealet av Petersplassen?
b) Bruk oppslagsverk eller Internett (Vatikanets
Internett-adresse er www.vatican.va) og prøv
a˚ finne Petersplassens virkelige areal.
Hvor stort avvik fikk du i svaret ditt i a?
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 29

SAMMENDRAG
Avrundingsregler
Na˚r vi runder av et desimaltall til nærmeste
hele tall, ser vi pa˚ første desimal. Hvis denne
desimalen er 5 eller større, runder vi av oppover.
Hvis ikke, runder vi av nedover. Dersom vi skal
runde av til en desimal, ser vi pa˚ andre desimal
pa˚ samme ma˚te og sa˚ videre.
Tallet 6,2736 kan vi dermed runde av til:
6 6;3 6;27 6;274
Pref|kser
tera ¼ 1012 kilo ¼ 1000 desi ¼ 1
10
giga ¼ 109 hekto ¼ 100 centi ¼ 1
100
mega ¼ 106 deka ¼ 10 milli ¼ 1
1000
MÔleenheter for lengde
Meter (m) er grunnenheten for lengde.
Vi kan regne mellom de ulike enhetene slik:
. 10 . 10 . 10
m dm cm mm
: 10 : 10 : 10
mikro ¼ 10 6
nano ¼ 10 9
pico ¼ 10 12
femto ¼ 10 15
Vi gjør om fra m til cm ved a˚ gange med 100.
Dette tilsvarer a˚ flytte kommaet 2 plasser mot høyre:
6;5 m¼ 6;5 100 cm ¼ 650 cm
Omkrets
Rektangel Kvadrat Parallellogram
b
l
s
s
s
g
O = 2l + 2b O = 4s O = 2s + 2g
Trapes Trekant Sirkel
d
c
a
b c b
r
a
O = a + b + c + d O = a + b + c O = 2pr
Kappe- og klipplengder
Na˚r du knekker plater som er tynnere enn 4 mm
regner du ut klipplengden etter innvendig knekk. Na˚r
platen er tykkere enn 4 mm er den innvendige
strekken sa˚ stor at den ma˚ regnes med na˚r du
beregner klipplengde.
Samsvar mellom enhetene
Na˚r du skal regne ut omkretsen eller arealet av
en geometrisk figur, ma˚ alle lengder du bruker
være oppgitt med samme enhet.
MÔleenheter for areal
Kvadratmeter ðm2Þ er grunnenheten for areal.
Vi kan regne mellom de ulike enhetene slik:
. 100 . 100 . 100
m 2 dm 2 cm 2 mm 2
Areal av enkle f|gurer
: 100 : 100 : 100
Rektangel Kvadrat Parallellogram
b
l
A = l ⋅ b A = s ⋅ s = s 2 A = g ⋅ h
Trapes Trekant Sirkel
h
b
a
A = π ⋅ r 2
s h
s g
h g
(a + b) ⋅ h
A =
2
r
g ⋅ h
A =
2
MÔleenheter for vekt
Gram ðgÞ er grunnenheten for vekt.
Vi kan regne mellom de ulike enhetene slik:
. 10 . 10 . 10
g dg cg mg
: 10 : 10 : 10
MÔleenheter for volum
Liter ðlÞ er grunnenheten for volum.
Vi kan regne mellom de ulike enhetene slik:
. 10 . 10 . 10
l dl cl ml
: 10 : 10 : 10
Massetetthet ( )
Massetettheten sier hvor mye vekt et materiale
har per volumenhet, f.eks. kg=dm 3 .
¼ vekt
volum
30 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

TEST DEG SELV
Test 1. 5 8
Rund av til én desimal:
a) 1,33 b) 1,55 c) 2,67
Rund av til to desimaler:
d) 4,234 e) 13,456 f) 19,554
Test 1. 59
En gjenstand skal ha lengden 50 0;2.
a) Hva er det største og det minste tillatte
ma˚let pa˚ denne gjenstanden?
b) Hvor stor er toleransen?
Test 1. 6 0
Gjør om til meter og regn ut:
70 cm þ 0;2 mþ 5dmþ600 mm
Test 1. 61
Ranger lengdene fra største til minste verdi:
12 dm, 119 cm, 1,21 m, 998 mm
Test 1. 62
Gjør om til gram:
a) 1,2 kg b) 4 hg c) 33,2 mg
Gjør om til liter:
d) 200 ml e) 2 dl f) 32 cl
Test 1. 63
Gjør om til en passende enhet og regn ut:
a) 2 l þ 13 dl þ 120 cl þ 3000 ml
b) 0;3 kgþ200 g þ 1302 g þ 20 hg
Test 1. 6 4
Regn ut arealet og omkretsen av en sirkel med
a) r ¼ 1,59 dm b) r ¼ 80 cm c) d ¼ 5cm
Test 1. 65
Regn ut arealet og omkretsen av et rektangel med
a) b ¼ 10 cm og l ¼ 50 cm
b) b ¼ 2m ogl ¼ 5m
Test 1. 6 6
Gjør om til kvadratmeter:
a) 700 cm2 b) 4018 mm2 c) 2 km 2
Test 1. 67
Regn ut arealet og omkretsen av figurene:
a) 15 cm
b)
20 cm
0,8 dm
Test 1. 6 8
Regn ut klippelengdene til disse platene:
a)
b)
20 mm
50 mm
2 mm
20 mm
R = 8 mm
50 mm
Test 1. 69
a) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje
lik 3 cm og høyden 13 cm.
b) Regn ut arealet av et kvadrat med side lik 33 m.
Test 1.70
Regn ut arealene av de røde feltene pa˚ figurene:
a)
b)
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm
Test 1.71
En kondensator har størrelsen 0;000 012 F.
Skriv verdien som tiereksponent og med prefiks.
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 31
6 mm

Òvingsoppgaver
1.1 SÔnn cirka ^ avrunding, overslag og nÖyaktighet
A1.72
Rund av til nærmeste hele tall:
a) 3,43 b) 6,55 c) 211,877
d) 9,099 e) 1006,565 f) 0,459
A1.73
Rund av til én desimal:
a) 1,44 b) 1,55 c) 2,677
d) 8,951 e) 6,565 f) 1,252
A1.74
Rund av til to desimaler:
a) 7,2346 b) 22,4567 c) 1,5555
d) 8,355 16 e) 0,3278 f) 1,078 99
A1.75
10 +
– 0,5
a) Hva er det største og det minste tillatte ma˚let
pa˚ denne gjenstanden?
b) Hvor stor er toleransen?
c) Hvilket ma˚leverktøy kan du bruke her?
A1.76
150 +
– 0,3
a) Hva er det største og det minste tillatte ma˚let
pa˚ denne gjenstanden?
b) Hvor stor er toleransen?
c) Hvilket ma˚leverktøy kan du bruke her?
A1.77
Du skal designe en reklameplakat for et firma
som leier ut dykkerutstyr. Du har fa˚tt denne
figuren til ra˚dighet:
Plakaten skal være 1;5 m 1;5 m. Bruk linjal og
regn ut hvor mange ganger bildet ma˚ forstørres.
B1.78
Du har vært pa˚ kunstauksjon og kjøpt bildet
«Taj Mahal». Bildet skal rammes inn, og det kan
gjøres pa˚ to ulike ma˚ter. Studer figurene nedenfor:
1 2
Størrelsen pa˚ bildet, inkludert passe-partout, er
42,53 cm 73,42 cm. Ramma skal være 4,0 cm bred.
a) Gjør et overslag og regn ut hvor mange
centimeter rammeverk du ma˚ bestille dersom
du velger innrammingsmetode 1.
b) Hvilken av de to innrammingsmetodene krever
mest rammeverk?
32 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

B1.79
Ernst har fa˚tt sommerjobb pa˚ et lakseoppdrettsanlegg
og skal finne ut hvor mye laks det er
i anlegget. Han merker 80 lakser og slipper dem ut
igjen i anlegget. Etter en uke fanger han 150 lakser,
seks av dem er merket.
a) Omtrent hvor mange lakser er det i dette
oppdrettsanlegget?
b) Hvilken usikkerhet ligger i tallet du regnet deg
fram til?
1.2 MÔlenheter for lengde
A1.80
Gjør om til centimeter:
a) 112 mm b) 0,457 m
c) 12,5 km d) 0,50 mm
e) 0,0034 dm
A1.81
Gjør om til desimeter:
a) 112 mm b) 0,457 m
c) 12,5 cm d) 430,50 mm
e) 0,0034 km
A1.82
Gjør om til en passende enhet og regn ut:
a) 0;034 km 20 m þ 2 tommer 120 dm
b) 12 cm þ 1 fot 190 mm þ 1dm
c) 0;03 mil þ 1km 700 m 5000 dm
d) 1 mm þ 1cmþ1dm 0;110 m
ð1 tomme ¼ 2;54 cm, 1 fot ¼ 0;3048 mÞ
A1.83
Johan og Eva gikk mange skiturer i pa˚skeuka og førte
opp følgende turer pa˚ skikortene sine:
Eva Johan
Mandag: 3;7 km
Tirsdag: 14;2 km Tirsdag: 31 km
Onsdag: 1;2 mil Onsdag: 1900 m
Torsdag: 1790 m Torsdag: 0;2 mil
Fredag: 3450 m
Hvem av de to gikk lengst pa˚ ski i pa˚sken?
A1.84
Golden Gate-brua i San Francisco, ferdigstilt i 1937,
er 2,7 km lang.
a) Finn lengden av brua i meter og i millimeter.
b) Hvor lang er brua i miles?
(1 miles ¼ 1609 m)
c) Bruta˚rnene er 227 m høye.
Hvor mange tommer svarer det til?
d) Bruas hovedspenn er 1280 m.
Gjør om til fot.
A1.85
Ranger lengdene fra største til minste verdi:
a) 6 m, 2 tommer, 19,8 fot
b) 1 mile, 1,608 km, 530 fot
c) 0,03 mil, 299 m, 0,185 miles
d) 100 m, 33 tommer, 0,06 miles, 329 fot
B1.86
Tekst skrevet med skrifttypen Times New Roman
i 12 punkter har en linjeavstand pa˚ ca. 0,5 cm
per linje.
a) En tettskrevet tekst med Times New Roman
omfatter 45 linjer. Hvor mange centimeter av
arkets høyde ga˚r med til tekst?
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 33

) Eirin har fa˚tt utlevert en artikkel hun mener
ma˚ være minst en halv kilometer lang. Hvor
mange sider er i sa˚ fall artikkelen pa˚?
(Artikkelen er skrevet pa˚ A4-ark i 12 punkts
Times New Roman med vanlig linjeavstand.)
c) Eirin overdrev litt – artikkelen er bare pa˚ 98 sider.
Hvor mange meter lang er den da?
B1.87
Et lysa˚r er den avstanden lyset ga˚r i løpet av ett a˚r.
Lysets fart er 300 000 km=s.
a) Hvor mange kilometer er et lysa˚r?
b) Avstanden mellom jorda og sola er
150 000 000 km. Hvor mange ganger lengre
enn dette er et lysa˚r?
1.3 Omkrets ^ hele veien rundt
A1.88
Regn ut omkretsen av et rektangel der
a) b ¼ 10 cm og l ¼ 2dm
b) b ¼ 2m ogl ¼ 500 cm
c) b ¼ 240 mm og l ¼ 0,8 m
A1.89
Regn ut omkretsen av en sirkel der
a) r ¼ 5cm b) r ¼ 8,5 dm
c) d ¼ 10 mm
A1.90
Regn ut omkretsen av figurene:
a)
b)
5 cm
5 cm
5 cm
c)
d)
e)
f)
5,5 cm 4,0 cm
5,0 cm
12,3 mm
5,0 cm
123 mm
g) 45 m
h)
45 m
45 m 500 dm
250 dm
6540 cm
A1.91
Ma˚l og regn ut omkretsen av
a) tavla
b) en dataskjerm
c) en pult
d) toppen av en kopp
e) en ska˚l
f) gulvet i klasserommet
6,5 cm
34 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

A1.92
Vi skal dekke et bord til 20 personer.
Hver person trenger 60 cm bordplass.
a) Hvor mange meter bordplass trengs det?
b) Vi har to bord som er 3 meter lange og 1 meter
brede. Hvor mange personer fa˚r vi plass til rundt
bordene na˚r de sta˚r fritt?
c) Borddukene skal være 40 % større enn bordet
i bredden og 13 % lengre enn bordet.
Hvor lange og hvor brede blir hver av dukene?
d) Hvor mange kvadratmeter ma˚ler dukene
til sammen?
A1.93
Du har bestemt deg for a˚ prøve ut pariserhjulet til
Tummelumsk. Radien i hjulet er 21 m.
a) Hvor mange meter har du beveget deg etter
30 runder med hjulet?
London Eye er et av verdens største pariserhjul
med en diameter pa˚ rundt 130 m.
b) Hvor langt har du beveget deg etter sju runder
med dette hjulet?
c) Hvor mange runder med London Eye tilsvarer
30 runder med Tummelumsk-hjulet?
B1.94
Regn ut omkretsen av figurene:
a)
b)
20 cm
40 cm
B1.95
Et avlangt bord er formet som et rektangel med
en halvsirkel i hver ende. Bordet er 2 m langt og
1 m bredt.
2 m
1 m
Hvor mange personer er det plass til rundt bordet
na˚r hver person skal ha 60 cm?
B1.96
Regn ut omkretsen av figurene:
a)
b)
5 cm
c)
6 cm
12 cm
d)
2 dm
2 dm 1 dm
7 cm
1 dm
B1.97
Big Ben er navnet pa˚ uret pa˚ parlamentsbygningen
i London. Minuttviseren i uret er omtrent 4 m lang.
Hvor langt beveger spissen av minuttviseren seg
i løpet av 4 minutter?
1.4 Kappe- og klippelengder
A1.98
43 mm
57 mm
3 mm
Du skal knekke en 3 mm tykk plate som vist pa˚
figuren. Regn ut klippelengden.
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 35

A1.99
18 mm
42 mm
2 mm
Du skal knekke en 2 mm tykk plate som vist pa˚
figuren. Regn ut klippelengden.
A1.100
R = 14 mm
En 8 mm tykk plate skal knekkes 90 med en
innvendig radius pa˚ 14 mm.
a) Hvor stor blir den utvendige radien?
b) Hvor stor blir nøytralradien (radien midt i plata)?
c) Hvor langt blir buestykket?
A1.101
40 mm
R = 8 mm
40 mm
En 10 mm tykk plate skal knekkes 90 . Knekkradien
R skal være 8 mm, og de utvendige ma˚lene skal
være 40 mm þ 40 mm. Regn ut klippelengden.
A1.102
50 mm
R = 8 mm
100 mm
8 mm
10 mm
8 mm
En 8 mm tykk plate skal knekkes 90 . Knekkradien
R skal være 8 mm, og de utvendige
ma˚lene skal være 50 mm þ 100 mm.
Regn ut klippelengden.
B1.103
24
Du skal knekke en 3 mm tykk plate som vist pa˚
figuren. Regn ut klippelengden.
B1.104
14
8
7 7
Du skal knekke en 2 mm tykk plate som vist pa˚
figuren. Regn ut klippelengden.
B1.105
100 mm
21
R = 10 mm
100 mm
En 6 mm tykk plate skal knekkes 90 . Knekkradien R
skal være 10 mm, og de utvendige ma˚lene skal
være 100 mm þ 100 mm.
a) Regn ut klippelengden.
b) Dersom du hadde regnet ut platelengden
ved a˚ legge sammen utvendige ma˚l
(100 mm þ 100 mm), hvor mye for lang
ville plata blitt?
B1.106
Lengden av en bue pa˚ 90 er en firedel av omkretsen.
a) Hvor stor del av omkretsen utgjør 15 ?
b) Hvor stor del av omkretsen utgjør 30 ?
c) Hvor stor del av omkretsen utgjør 135 ?
36 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
10 mm

1.5 FlatemÔl
A 1.107
Gjør om til kvadratmeter:
a) 6000 mm2 b) 324 cm2 c) 0,034 km 2
d) 1,35 dm 2
e) 6700 cm2 f) 0,405 cm2 A1.108
Gjør om til kvadratcentimeter:
a) 3000 mm2 b) 0;30 m2 c) 0;034 dm 2
d) 1;35 dm 2
e) 6700 mm 2 f) 0;0405 m 2
A1.109
Gjør om til kvadratdesimeter:
a) 7000 mm2 b) 0;20 m2 c) 0;040 m 2 d) 10;35 cm 2
e) 68 000 mm 2 f) 0;45 m 2
A1.110
Gjør om til samme enhet og regn ut:
a) 67 dm 2 þ 398 cm2 þ 2;1 m2 b) 380 m2 þ 0;4 km 2 þ 64;8 m˚al
c) 64 hektar 13;5 m˚al 3400 m2 d) 64 m 2 þ 13 675 mm 2 3780 cm 2
A 1.111
a) Hvor mange kvadratmeter er en tomt pa˚ 18 ma˚l?
b) Johan eier en kvadratisk tomt med side lik
1750 m. Sofie har en tomt pa˚ 2km 2 .
Hvem eier mest land av de to?
c) Ka˚re eier tre tomter pa˚ 2000 m2 ,4ma˚l og
2,5 km 2 . Hvor mange kvadratmeter land eier
han til sammen?
A1.112
Oslo kommune har et areal pa˚ ca. 454 km 2 .
a) Hvor mange kvadratmeter svarer det til?
b) Gjør om til enten ma˚l eller hektar.
Hva er mest praktisk?
A1.113
En plate har disse ma˚lene:
63 mm
165 mm
a) Regn ut arealet av plata i kvadratmillimeter.
b) Hvor mange kvadratmeter svarer det til?
B1.114
Inch (in) eller tomme er et gammelt britisk
lengdema˚l. 1 tomme svarer til 2,54 cm.
Hvor stort areal har plata i forrige oppgave ma˚lt
i kvadrattommer ðin 2 Þ?
1.6 Areal av enkle figurer
A1.115
Regn ut arealet av figurene i kvadratcentimeter:
a)
b)
c)
e)
15 cm
1 dm
25 cm
25 dm
200 cm
5 m
f) 1 fot
15 in
1,1 dm
d)
Husk: 1 inch ¼ 1 tomme ¼ 2;54 cm,
1 fot ¼ 0,3048 m.
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 37
1 in
1 in
1 in

A1.116
Regn ut arealet av et rektangel med
a) lengde 23 cm og bredde 17 cm
b) lengde 0;85 m og bredde 55 cm
c) lengde 0;75 m og bredde 7,2 dm
A1.117
I et trapes er den ene av de to parallelle
sidene 7 m. Den andre er dobbelt sa˚ lang.
Avstanden mellom de to parallelle sidene er 30 dm.
Finn arealet av trapeset i kvadratmeter.
A1.118
a) Regn ut arealet av en sirkel med radius 15 cm.
b) Regn ut arealet av en sirkel med diameter 2 dm.
c) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje 2 dm
og høyde 5 cm.
A1.119
a) En tallerken har form som en sirkel med radius
1,5 dm. Regn ut arealet av tallerkenen.
b) Hva blir arealet av a˚tte slike tallerkener til
sammen?
c) Hvor mange slike tallerkener kan vi dekke
pa˚ et rektangulært bord som er 8 dm bredt og
12,5 dm langt?
A1.120
En plate har ma˚l og form som vist pa˚ figuren.
Regn ut arealet av plata i kvadratmeter:
2 m 2 m
2 m
6 m
35 dm
A1.121
Radien i en sirkel er 1 dm.
a) Hvor mange ganger større blir arealet av sirkelen
dersom radien øker til det femdobbelte?
b) Hvor mange ganger mindre blir arealet av sirkelen
dersom radien minker til en firedel?
B1.122
Ei geit er tjoret fast til en pa˚le med et tau.
Tauet er 6 m langt. Bakken er dekket av gress.
a) Hvor stort areal har geita a˚ beite pa˚?
b) Hvor mange ekstra kvadratmeter fa˚r geita a˚
beite pa˚ dersom vi forlenger tauet med 3 m?
B1.123
a) Hvor stor overflate har en prismeformet ost med
ma˚lene 10 cm 12 cm 20 cm?
b) Dersom du deler osten i terninger pa˚
2cm 2cm 2 cm, hvor stor overflate fa˚r alle
osteterningene til sammen?
1.7 Areal av
sammensatte figurer
A1.124
Regn ut arealet av figurene nedenfor:
a)
b)
6 cm
11,0 cm
70 cm
11,0 dm
38 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

c)
d)
25,4 m
12 cm
110,0 dm
18,5 m
A1.125
Regn ut arealet av figuren:
65,5 cm
15,5 dm
A1.126
Skissen nedenfor viser ei hytte:
1,4 m
0,8 m
2,5 m
2,0 m
2,0 m
3,5 m
10,5 dm
0,9 m
a) Regn ut arealet av de to veggene uten dør
og vindu.
b) Regn ut arealet av hele taket medregnet
kortveggene.
2,4 m
A1.127
Figurene nedenfor viser flaggene til Sverige og
Kongo:
4
2
4
2
5 2 9 1 2
a) Regn ut arealet av det gule omra˚det i det svenske
flagget. Ga˚ ut fra at alle ma˚l er i desimeter.
b) Regn ut arealet av det gule omra˚det i Kongos
flagg. Ga˚ ut fra at alle ma˚l er i meter.
c) Hvilket av de to flaggene har størst andel
gulfarge?
B1.128
Regn ut arealet av figurene:
a) 20 cm
c)
e)
20 cm
20 cm
15 cm
6 cm
12 cm
f)
b)
2 dm
2 dm 1 dm
d)
40 cm
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 39
1 dm
7 cm

B1.129
Yang og Yin symboliserer en idé innenfor taoismen
om balansen mellom motsetningene i universet
(jord og himmel, dag og natt, ild og vann osv.).
Figuren viser en forenklet versjon av symbolet for
Yang og Yin:
Arealet av den store sirkelen er delt i fire like store
deler. Bevis dette ved regning.
B1.130
a)
4
4
Regn ut arealet av de røde feltene pa˚ figur a og b.
1.8 MÔlenheter for
massetetthet, vekt og volum
A1.131
Gjør om til en passende enhet og regn ut:
a) 24 g þ 2g 7000 mg þ 0;003 kg
b) 0;03 «kubikk» 29 l þ 13 dl þ 1hl
c) 140 cg þ 1hgþ15 mg þ 2g
d) 1 ml þ 1clþ1dl 0;110 l
b)
5
A1.132
Hva veier mest:
a) en aluminiumsplate pa˚ 5dm 3 eller en
kromplate pa˚ 0;5 dm 3
b) en kopperplate pa˚ 20 dm 3 eller en kromplate
pa˚ 25 dm 3
B1.133
a) Eva og Olav har leid tilhenger for a˚ frakte sand
til ga˚rdsplassen sin. Maksimal lasteevne for
tilhengeren er 500 kg, og ett spadetak svarer til
0,6 kg. Hvor mange spadetak trengs det for a˚
fylle tilhengeren?
b) Stone er et amerikansk vektma˚l.
1 stone ¼ 6,35 kg. Vil en tilhenger med en
lasteevne pa˚ 150 stone ta˚le en last som svarer
til 920 spadetak à 0,6 kg?
B1.134
I USA og Storbritannia bruker en ofte volumenheten
gallon. En britisk gallon svarer til 4,546 l, mens
en amerikansk gallon svarer til 3,785 l.
a) Hvor mye bensin ma˚lt i amerikanske gallon kan
du fylle pa˚ en biltank som rommer 60 l?
b) Hvor mye diesel ma˚lt i britiske gallon kan du
fylle pa˚ en lastebiltank som rommer 200 l?
c) Hvor mange amerikanske gallon svarer til en
britisk gallon?
B1.135
a) En karat svarer til 200 mg. Hvor mange gram
er 1 karat?
b) Kuhinoor-diamanten veier 109 karat.
Gjør om til gram.
c) Cullinan-diamanten veide opprinnelig 3106 karat.
Hvor mange kilogram svarer det til?
B1.136
a) Vera har et smykke i hvitt gull sm veier 4800 mg.
Hvor mange gram veier smykket?
b) Hvitt gull besta˚r av sølv, platina, palladium og
gull. Ifølge reglene skal gullinnholdet utgjøre
minst 585 promille av den totale vekta.
Hvor mange karat reint gull er det minste
i smykket?
c) Vera har ogsa˚ en forlovelsesring av reint gull.
Ringen veier 4 g. Regn ut volumet av ringen
na˚r gull har massetettheten % ¼ 19;3 g=ml.
40 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

1.9 Megastore og
mikroskopiske tall
A1.137
Skriv opp resistansen til motstanden pa˚ figuren
uten prefiks
a) som tierpotens b) som vanlig tall
A1.138
300 mH
160 kΩ
Skriv opp induktansen til spolen pa˚ figuren
a) som tierpotens b) som vanlig tall
A1.139
120 nF
Skriv opp kapasiteten til kondensatoren pa˚ figuren
uten prefiks
a) som tierpotens b) som vanlig tall
A1.140
a) Hvor mange ganger mer er 12 nF enn 240 pF?
b) Gjør om 3800 mF til farad.
c) Gjør om 450 000 mH til henry.
d) Hvor mange kiloohm er 0,001 80 G ?
B1.141
a) Ni motstander pa˚ 120 k blir koplet i serie.
Hvor mange megaoohm blir den totale
resistansen?
b) 30 kondensatorer pa˚ 12 pF blir koplet i parallell.
(Da ma˚ du summere kondensatorverdiene.)
Hvor mange nanofarad blir den totale
kapasitansen?
B1.142
Utgangssignalet pa˚ en forsterker er 32 V.
Signalet er forsterket 44 ganger.
Hvor stort var inngangssignalet?
B1.143
Et a˚r har en norsk familie et strømforbruk
pa˚ 28 MWh. Det er fire personer i familien.
a) Hvor stort blir dette forbruket i kilowattimer?
b) Hvor mange wattimer bruker hvert familiemedlem
per dag i gjennomsnitt?
c) Hvor mange megawattimer bruker familien
pa˚ seks a˚r?
B1.144
Jørgen ønsker seg en bærbar datamaskin med
prosessoren Intel Pentium 4 630 HT (3,0 GHz),
1024 MB minne og 100 GB harddisk.
Hvor mange hertz har prosessoren, og hvor mange
byte minne og harddiskkapasitet har datamaskinen?
Blandede oppgaver
A1.145
Regn ut arealet og omkretsen av en sirkel med
a) radius lik 15,9 cm
b) diameter lik 8 m
c) diameter lik 1 tomme
A1.146
Regn ut arealet og omkretsen av figuren:
35 cm
A1.147
a) Et kvadrat har en omkrets pa˚ 20 m.
Regn ut arealet av kvadratet.
b) I et rektangel er lengden dobbelt sa˚ lang som
bredden. Omkretsen av rektanglet er 30 dm.
Regn ut arealet av rektanglet.
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 41

A1.148
En gressplen har form som en sirkel med r ¼ 2m.
a) Regn ut arealet og omkretsen av plenomra˚det.
b) Plenen er del av et hageomra˚de. Det skal legges
et 20 cm bredt steinbed i form av et kvadrat
rundt plenen. Regn ut den ytre omkretsen av
steinbedet.
A1.149
Johan eier et landomra˚de i Norge med arealet
1906 m2 . I tillegg eier han et omra˚de pa˚ 0;020 km 2
i England.
a) Hvor mange ma˚l land eier Johan totalt?
b) Johan ønsker a˚ bygge curlingbaner pa˚ tomta
i Norge. En curlingbane har lengden 44,5 m og
bredden 4,75 m. Hvor mange curlingbaner fa˚r
han plass til pa˚ den norske tomta?
c) Pa˚ den engelske tomta ønsker Johan a˚ bygge
landingsplasser for helikoptre. Hver landingsplass
skal være sirkulær med radius 25 m.
Hvor mange slike landingsplasser kan han
bygge?
d) Hvilken usikkerhet ligger i svarene du fikk
i b og c?
A1.150
Et rundt bord har diameter lik 5 m.
a) Regn ut omkretsen av bordet.
b) Hvor stort er arealet av bordet?
c) Dersom vi regner at hver person opptar 70 cm,
hvor mange personer er det da plass til rundt
bordet?
B1.151
Du skal lage en boks uten lokk som utbrettet
ser slik ut:
220 mm
220 mm
140 mm
a) Hvor stor blir overflata av boksen?
b) Hvor stor plate ma˚ du bruke?
c) Plata er av aluminium og 3 mm tykk.
Hvor tung blir boksen?
d) Hvor tung ville boksen blitt om du hadde
brukt sta˚l? (Sta˚let har en massetetthet
pa˚ 7850 kg=m3 .)
B1.152
Et smykkeanheng i reint gull er designet slik
figuren viser:
Diameteren i den ytre sirkelen er 3 cm,
og diameteren i den indre er 2 cm.
a) Finn omkretsen av hver av de to sirklene.
b) Anhenget har fire hull. Regn ut det samlede
arealet av disse hullene.
c) Hvor stor blir omkretsen av de fire hullene
til sammen?
d) Anhenget veier 6 g. Hvor mange karat svarer
det til? (1 karat ¼ 200 mg)
e) Hvor mange milliliter reint gull besta˚r
anhenget av? (%gull ¼ 19;3 g=mlÞ
42 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

B1.153
Et baderom har ma˚l og form som vist pa˚ figuren.
I det ene hjørnet er det montert et dusjkabinett med
form som en kvartsirkel med radius 1 m.
1,6 m
2,6 m
2,2 m
2,0 m
a) Regn ut omkretsen av badet.
b) Regn ut arealet av badet.
c) Gulvet skal flislegges med kvadratiske
fliser med side lik 5 cm.
Hvor mange fliser trengs til dette?
d) Omtrent hvor mange fliser ligger innenfor
dusjkabinettet?
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 43