Sigma Medier og kommunikasjon, bokmål - Gyldendal Norsk Forlag
Sigma Medier og kommunikasjon, bokmål - Gyldendal Norsk Forlag
Sigma Medier og kommunikasjon, bokmål - Gyldendal Norsk Forlag
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Karl Erik Sandvoll m.fl.<br />
<strong>Sigma</strong>1<br />
Helse- <strong>og</strong> sosialfag<br />
<strong>Gyldendal</strong> undervisning
# <strong>Gyldendal</strong> <strong>Norsk</strong> <strong>Forlag</strong> AS, 2006<br />
1. utgave, 1. opplag<br />
Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1P for det<br />
yrkesfaglige utdanningspr<strong>og</strong>rammet medier <strong>og</strong> <strong>kommunikasjon</strong>.<br />
Printed in Norway by PDC Tangen, 2006<br />
ISBN 13: 978-82-05-34930-8<br />
ISBN 10: 82-05-34930-4<br />
Redaktør: Ellen Semb<br />
Bilderedaktør: Sissel Falck<br />
Design: Gamma grafisk Vegard Brekke <strong>og</strong> Hild Mowinckel<br />
Sats <strong>og</strong> layout: Gamma grafisk Vegard Brekke, PrePress as<br />
Figurer: Gamma grafisk Vegard Brekke, forfatterne<br />
Omslagsdesign: Hild Mowinkel<br />
Omslagsillustrasjon, omslagsbilde: Getty Images<br />
Illustratør: Anja Ruud<br />
Bilder, illustrasjoner:<br />
Side 8: Peter Till/Getty Images, s. 12: Scanpix, s. 13: Corbis/Scanpix, s. 16: ø. Ole Moksnes AS, n. George<br />
Widman/Scanpix, s. 17: Jason Reed/Scanpix, s. 18: Terje Mortensen/Scanpix, s. 20: Ørn E.Borgen/Scanpix,<br />
s. 22: Lawrence Lawry/Science Photo Library/GV-Press, s. 23: Jean- Yves Bruel/Masterfile/Scanpix,<br />
s. 29: t.v. CERN/Science Photo Library/GV-Press, t.h. Dylan Martinez/Scanpix, s. 32: t.v. GBA/Photodisc,<br />
s. 41: t.v. Ulf Carlsson, s. 42: t.v.ø. GBA/Corel, s. 44: Sverre A.Børretzen/Scanpix, s. 50: Jon Asgeir Lystad/<br />
Scanpix, s. 51: Stanley Brown/Getty Images, s. 59: Scanpix, s. 63: Ole Moksnes AS, s. 65: GBA/Photodisc,<br />
s. 69: Espen Sjølingstad Hoen/Scanpix, s. 75: John Lund/Getty Images, s. 76: Hugh Sitton/Getty Images,<br />
s. 88, s 97, s 98: Wenche Dypbukt, , s. 93: Ole Moksnes AS, s. 99: Anne Langdalen, s. 102: Daly & Newton/<br />
Getty Images, s. 106 t.v., s. 110 n., s. 111 t.v.ø., s. 119: Ulf Carlsson, s. 120: t.h.ø. <strong>og</strong> s. 123 t.v.ø.: John Arne<br />
Eidsmo, s. 128: Jason Reed/Scanpix, s.136: #Trondheim kommune, Kart-<strong>og</strong> oppma˚lingskontoret, s. 137: Ole<br />
Moksnes AS, s. 138, s. 139: GBA, s. 143: Ole Moksnes AS, s. 148 <strong>og</strong> s. 162: M.C.Escher’s ‘‘Symmetry Drawing<br />
E18’’ #2006 The M.C.Escher Company-Holland. All rights reserved.www.mcescher.com, s.158: GBA,<br />
s. 159: t.v.m <strong>og</strong> n.: # Casterman/Distr. by PIB Copenhagen 2006, s. 163: t.v.m.Unni Brakestad, t.h. GBA,<br />
s. 165 t.h. <strong>og</strong> s. 166: GBA, s. 168: #Succession Pablo Picasso/BONO 2006. Pablo Picasso: Violin and Grapes,<br />
1912. New York Museum of Modern Art (MoMA). Olje pa˚ lerret, 50,6 x 61 cm. Mrs. David M.Levy<br />
Bequest.32.1960. #Foto SCALA, Firenze, s. 171: Knut Falch/Scanpix, s. 172, s 173, s 174 ø.: Ole Moksnes AS,<br />
s. 174 n.: E.H.Shepard Copyright under the Berne Convention.# by Reed International Books Ltd.,<br />
s. 175: GBA/Photodisc, s. 176: Liv Hegna/Scanpix, 178: Ole Moksnes AS, 179: Ragnar Axelsson/Scanpix, s.<br />
186, s 190: Ole Moksnes AS, s. 194: Adam Gault/Getty Images, s. 196: Ole Moksnes AS, s. 204: Trygve<br />
Indrelid/Scanpix, s.207: GBA/Photodisc, s.214: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 226 <strong>og</strong> s 227: : Diplom-is.<br />
Det ma˚ ikke kopieres fra denne boka i strid med a˚ndsverkloven eller avtaler om<br />
kopiering innga˚tt med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til a˚ndsverk.<br />
Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar <strong>og</strong> inndragning,<br />
<strong>og</strong> kan straffes med bøter eller fengsel.<br />
Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til:<br />
<strong>Gyldendal</strong> Undervisning<br />
Postboks 6860 St. Olavs plass<br />
0130 Oslo<br />
E-post: undervisning@gyldendal.no
Til deg som skal bruke læreverket<br />
Dette læreverket dekker kompetansemålene Forskerspiren <strong>og</strong> Stråling <strong>og</strong><br />
radioaktivitet i læreplanen i naturfag for Vg1. Alt fagstoff, oppgaver <strong>og</strong><br />
forslag til aktiviteter er samlet i denne boka. Det er utviklet et eget nettsted<br />
til læreverket med utfyllende stoff, oversikt over egnede nettsteder, forslag til<br />
feltarbeid <strong>og</strong> andre elevaktiviteter.<br />
Nettstedadressen er: http://www.gyldendal.no/senit.<br />
I starten av hvert kapittel finner du en kort innledning <strong>og</strong> en oversikt over<br />
hva du skal jobbe med i dette kapitlet. Læreplanen står samlet bak i boka.<br />
Kompetansemålene denne boka er skrevet etter, er markert med rød skrift.<br />
Det er skrevet tilsvarende bøker for de andre kompetansemålene i<br />
læreplanen.<br />
Kapitlene veksler mellom to typer tekst. Hovedteksten presenterer <strong>og</strong><br />
forklarer det naturfaglige lærestoffet. «Blåteksten» tar opp ulike<br />
problemstillinger, eksempler <strong>og</strong> annet aktuelt stoff med tilknytning til<br />
innholdet i hovedteksten. De vekker nysgjerrighet <strong>og</strong> knytter faget til<br />
hverdagsopplevelser. Mange av momentene i læreplanen er tatt opp i<br />
«blåteksten».<br />
For å gjøre arbeidet med stoffet lettere har vi tatt med noe repetisjonsstoff<br />
fra grunnskolen der du kan ha bruk for det. Dette stoffet er markert i teksten<br />
som repetisjonsstoff <strong>og</strong> på grønn bakgrunn. Hvert kapittel avsluttes med et<br />
sammendrag. Kontrolloppgavene er plassert der det er naturlig å stoppe opp<br />
<strong>og</strong> oppsummere hva du har fått med deg så langt i kapittelet. Bakerst finner<br />
du oppgaver som er tydelig merket med fargekode for vanskelighetsgrad.<br />
Oppgaver med rødt nummer er vanskeligere enn de andre. Gruppe- <strong>og</strong><br />
nettoppgaver stimulerer til både muntlig <strong>og</strong> skriftlig aktivitet. En oppgave<br />
med overskriften «Utfordring» er en større oppgave som tester naturfaglig<br />
tekstforståelse. Til slutt kommer forslag til elevforsøk.<br />
Arbeidet med naturfag vil gi deg grunnleggende kunnskaper som skal<br />
hjelpe deg til å forstå erfaringer du selv gjør, <strong>og</strong> informasjon du tar imot om<br />
kropp <strong>og</strong> helse, om teknol<strong>og</strong>i <strong>og</strong> naturvitenskap <strong>og</strong> om naturen omkring<br />
deg. De grunnleggende kunnskapene skal <strong>og</strong>så sette deg i stand til å erobre<br />
ny kunnskap, enten det er i pr<strong>og</strong>ramfagene innenfor utdanningspr<strong>og</strong>rammet<br />
ditt, i arbeidslivet eller i senere studier. Arbeidet med naturfag skal dessuten<br />
gi deg et kunnskapsgrunnlag for å kunne vurdere informasjon, være med i<br />
diskusjoner <strong>og</strong> ta stilling til viktige samfunnsspørsmål.<br />
Det er vårt ønske at dette naturfagverket vil hjelpe deg i læringsarbeidet,<br />
<strong>og</strong> at det bidrar til å vekke interesse <strong>og</strong> glede mens du arbeider med faget.<br />
Trondheim <strong>og</strong> Stjørdal, februar 2006<br />
Peter van Marion Hilde Hov Tone Thyrhaug Øyvind Trongmo<br />
3
INNHOLD<br />
Kapittel 1<br />
M—LING OG BEREGNINGER<br />
1 Sa˚nn cirka – avrunding <strong>og</strong> overslag ....... 10<br />
2 Ma˚lenheter for lengde ..................... 12<br />
3 Omkrets – hele veien rundt................ 14<br />
4 Flatema˚l................................... 16<br />
5 Areal av enkle figurer ..................... 18<br />
6 Areal av sammensatte figurer ............. 20<br />
7 Ma˚lenheter for vekt <strong>og</strong> volum ............. 22<br />
8 Na˚r 10 betyr 2 ............................ 24<br />
9 Megastore tall............................. 26<br />
10 Sammensatt eksempel ..................... 28<br />
SAMMENDRAG .................................. 30<br />
TEST DEG SELV .................................. 31<br />
Òvingsoppgaver ............................. 32<br />
Kapittel 2<br />
REGNING OG FORMLER<br />
1 Problemløsing – husk a˚ være lur .......... 46<br />
2 Regnerekkefølge .......................... 48<br />
3 Alle de sma˚ reglene – formelregning ...... 50<br />
4 Lag dine egne formler..................... 52<br />
5 Forholdstall <strong>og</strong> brøker..................... 54<br />
6 Veien om 1. ............................... 56<br />
7 Sammensatte eksempler ................... 58<br />
SAMMENDRAG .................................. 60<br />
TEST DEG SELV .................................. 61<br />
Òvingsoppgaver ............................. 62<br />
Kapittel 3<br />
PROSENT<br />
1 Hvor mange prosent er dette?............ 78<br />
2 Prosentfaktor – hva er det? .............. 80<br />
3 Vekstfaktor – sparer deg for arbeid ...... 82<br />
4 Na˚r grunnlaget er ukjent................. 84<br />
5 Prosentpoeng – ikke det samme<br />
som vanlig prosentregning ............... 86<br />
6 Sammensatt eksempel ................... 88<br />
SAMMENDRAG................................. 90<br />
TEST DEG SELV................................. 91<br />
Òvingsoppgaver............................ 92<br />
Kapittel 4<br />
GRAFISKE FRAMSTILLINGER OG<br />
PROPORSJONALITET<br />
1 Grafisk presentasjon ..................... 104<br />
2 Bruk av figurer<br />
for a˚ sammenlikne data.................. 106<br />
3 Noen spesialtilfeller ..................... 108<br />
4 Kan du stole pa˚<br />
grafiske framstillinger? .................. 110<br />
5 Proporsjonale størrelser .................. 112<br />
6 Omvendt proporsjonale størrelser ........ 114<br />
7 Sammensatt eksempel ................... 116<br />
SAMMENDRAG................................. 118<br />
TEST DEG SELV................................. 119<br />
Òvingsoppgaver............................ 120<br />
6 INNHOLD
Kapittel 5<br />
MER OM M—LING OG AREAL<br />
1 Pytagoras <strong>og</strong> sidelengder ................. 130<br />
2 Omkrets <strong>og</strong> areal ved hjelp av<br />
Pytagoras’ setning ........................ 132<br />
3 Formlikhet ............................... 134<br />
4 Ma˚lestokk................................ 136<br />
5 Det gylne snitt ........................... 138<br />
6 Perspektivtegning ........................ 140<br />
7 Arbeidstegninger ......................... 142<br />
8 Mangekanter ............................. 144<br />
9 Tesselering med regulære mangekanter . . . 146<br />
10 Tesselering med andre grunnfigurer ...... 148<br />
11 Sammensatt eksempel .................... 150<br />
SAMMENDRAG ................................. 152<br />
TEST DEG SELV ................................. 153<br />
Òvingsoppgaver ............................ 154<br />
Kapittel 6<br />
VOLUM OG OVERFLATE<br />
1 Romma˚l – hvor stort er innholdet? ....... 170<br />
2 Volum av prismer <strong>og</strong> sylindrer ........... 172<br />
3 Volum av kjegler, kuler <strong>og</strong> pyramider .... 174<br />
4 Volum av sammensatte figurer ........... 176<br />
5 Overflata av enkle <strong>og</strong><br />
sammensatte figurer ...................... 178<br />
6 Sammensatt eksempel .................... 180<br />
SAMMENDRAG ................................. 182<br />
TEST DEG SELV ................................. 183<br />
Òvingsoppgaver ............................ 184<br />
Kapittel 7<br />
ÒKONOMI<br />
1 Indekser – da kroneisen kostet en krone . . 196<br />
2 Indeksformelen –<br />
leses like godt bak fram ................. 198<br />
3 Gir mer penger alltid bedre ra˚d?<br />
Reallønn <strong>og</strong> kroneverdi .................. 200<br />
4 Lønn som fortjent – timelønn <strong>og</strong> akkord . . 202<br />
5 Provisjon, bonusordninger <strong>og</strong><br />
frynsegoder.............................. 204<br />
6 Hva har vi a˚ rutte med?<br />
Lønn, feriepenger <strong>og</strong> skatt ............... 206<br />
7 Vi spleiser pa˚ godene –<br />
skatter <strong>og</strong> avgifter ....................... 208<br />
8 Hva bestemmer prisen pa˚ varer?<br />
Selvkostmetoden. ........................ 210<br />
9 Hva bestemmer prisen pa˚ varer?<br />
Bidragsmetoden ......................... 212<br />
10 Sparing – forsiktig eller va˚gal? .......... 214<br />
11 La˚n – røverkjøp eller landeveisrøveri? . . . 216<br />
12 Forbruksmuligheter –<br />
kjøp na˚, betal etter hvert! ................ 218<br />
13 Budsjett <strong>og</strong> regnskap –<br />
viktige redskap i planlegging ............ 220<br />
14 Sammensatt eksempel ................... 222<br />
SAMMENDRAG................................. 224<br />
TEST DEG SELV................................. 225<br />
Òvingsoppgaver............................ 226<br />
Fasit ........................................ 241<br />
Stikkord ................................... 267<br />
L×replan i matematikk ............... 268<br />
INNHOLD 7
1<br />
M—LING OG BEREGNINGER
1.1 SÔnn cirka ^ avrunding <strong>og</strong> overslag<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô avgjÖre nÔr det er behov for nÖyaktighet i matematiske beregninger,<br />
<strong>og</strong> nÔr vi kan gjÖre overslag<br />
^ Ô runde av desimaltall med ulik grad av nÖyaktighet<br />
Tallet (pi) har et uendelig antall desimaler, tilsynelatende uten noe<br />
mønster. Japaneren Hiroyuki har lært seg de 42 000 første desimalene<br />
utenat! Men trenger vi alltid a˚ være sa˚ nøyaktige?<br />
Tenk deg at du er pa˚ IKEA <strong>og</strong> kjøper bilder. Du har dette i handlekurven:<br />
«Rød rose»: kr 167;50=kg<br />
«Epler»: kr 218;50=kg<br />
«Solsikke»: kr 107;50=kg<br />
Du har en femhundrelapp pa˚ deg. Hvordan kan du raskt regne ut i hodet<br />
om du har nok penger? Knepet er a˚ gjøre et overslag, det vil si at du runder<br />
av tallene.<br />
Tabellen i margen illustrerer avrundingsreglene for desimaltall. Dersom vi<br />
skal runde av til nærmeste hele tall, ser vi pa˚ første desimal. Er denne<br />
desimalen 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av<br />
nedover. Skal vi runde av til én desimal, ser vi pa˚ andre desimal pa˚ samme<br />
ma˚te, <strong>og</strong> sa˚ videre.<br />
EKSEMPEL 1<br />
a) Hvordan kan du gjøre et raskt overslag for a˚ finne ut om<br />
bildene i eksemplet ovenfor koster mer enn 500 kroner?<br />
b) Du ønsker a˚ ramme inn «Solsikke» pa˚ nytt. Bildet har form<br />
som et rektangel med bredden b ¼ 37;43 cm <strong>og</strong> høyden<br />
h ¼ 62; 56 cm. Hvor mange centimeter rammeverk bør du<br />
bestille?<br />
Løsning:<br />
a) Vi runder av oppover til nærmeste titall <strong>og</strong> legger sammen:<br />
167;50 170 <strong>og</strong> 218;50 220 <strong>og</strong> 107;50 110<br />
kr 170 þ kr 220 þ kr 110 ¼ kr 500<br />
Siden vi har rundet av alle prisene oppover, er 500 kroner nok!<br />
b) Vi runder av til én desimal <strong>og</strong> legger sammen:<br />
37;43 cm 37;4 cm <strong>og</strong> 62;56 cm 62;6 cm<br />
2 b þ 2 h ¼ 2 37;4 cmþ2 62;6 cm¼200;0 cm<br />
Er 200 cm nok? Burde vi runde av annerledes?<br />
TALLET<br />
er definert som omkretsen<br />
av en sirkel<br />
dividert med diameteren<br />
¼ O=d.Vanligvis nÖyer<br />
vi oss med to desimaler<br />
<strong>og</strong> skriver 3,14.<br />
Avrunding av 7,2356<br />
nærmeste titall 10<br />
nærmeste heltall 7<br />
1 desimal 7,2<br />
2 desimaler 7,24<br />
3 desimaler 7,236<br />
10 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 2<br />
Ella arbeider i reklamebyra˚et Svada <strong>og</strong> skal designe en reklameplakat<br />
for et matvarefirma. Hun skal bruke et bilde med bredde<br />
b ¼ 3;6 cm <strong>og</strong> høyde h ¼ 5;4 cm. For at bildet skal passe pa˚<br />
plakaten, ma˚ det forstørres 500 ganger. Ella vurderer a˚ runde av<br />
verdien av bredden <strong>og</strong> høyden til hele tall før hun forstørrer.<br />
Kan hun trygt gjøre det?<br />
Løsning:<br />
Vi runder av til hele tall for bredden <strong>og</strong> høyden:<br />
b 4;0 cm <strong>og</strong> h 5;0 cm<br />
Sa˚ forstørrer vi:<br />
B ¼ 4;0 cm 500 ¼ 2000;0 cm¼20;0 m<br />
H ¼ 5;0 cm 500 ¼ 2500;0 cm¼25;0 m<br />
Vil dette bildet passe pa˚ plakaten?<br />
Vi forstørrer uten a˚ runde av:<br />
B ¼ 3;6 cm 500 ¼ 1800;0 cm¼18;0 m<br />
H ¼ 5;4 cm 500 ¼ 2700;0 cm¼27;0 m<br />
Ella fa˚r 2 m i avvik ba˚de for bredden <strong>og</strong> høyden!<br />
Avrundinger kan gi store avvik na˚r vi forstørrer.<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.1<br />
Rund av til én desimal:<br />
a) 1,23 b) 1,46 c) 6,96<br />
d) 19,07 e) 4,555 f) 3,849<br />
Oppgave 1.2<br />
Rund av til to desimaler:<br />
a) 7,235 b) 11,464 c) 744,968<br />
d) 19,079 e) 20,555 f) 13,445<br />
Oppgave 1.3<br />
Du er i dagligvarebutikken <strong>og</strong> handler mat.<br />
I handlekurven har du<br />
– 1 purreløk: kr 9,50<br />
– 3 liter melk à kr 9,00 per liter<br />
– 1 brød: kr 14,50<br />
– 500 g kjøttdeig: kr 40,50<br />
Du sta˚r ved kassa <strong>og</strong> har en hundrelapp i lomma.<br />
Gjør overslag <strong>og</strong> bruk hoderegning for a˚ finne ut om<br />
du unnga˚r en pinlig situasjon.<br />
Oppgave 1.4<br />
Klara skal regne ut jordas omkrets rundt ekvator.<br />
Jordas radius ved ekvator er 6378 km.<br />
Klara runder av til 6400 km før hun regner ut<br />
omkretsen. Hvor stort avvik fra det korrekte<br />
svaret, ma˚lt i kilometer, fa˚r hun pa˚ grunn av<br />
avrundingen?<br />
Utfordring 1.5<br />
Du er ansatt av Svada <strong>og</strong> skal lage en valgkampplakat<br />
for en kjent politiker. Som utgangspunkt har<br />
du et portrett med bredden 10,55 cm <strong>og</strong> høyden<br />
18,48 cm. Bildet skal forstørres 200 ganger.<br />
a) Hvor store avvik fa˚r du dersom du runder av<br />
til hele tall før du forstørrer?<br />
b) Hvor mange ganger kan bildet forstørres<br />
dersom det skal passe til en plakat med<br />
bredden 9 m <strong>og</strong> høyden 15 m?<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 11
1.2 MÔlenheter for lengde<br />
Du skal l×re<br />
^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for lengde<br />
Den kinesiske mur ble pa˚begynt rundt 300 f.Kr. Muren er om lag<br />
6 000 000 m lang <strong>og</strong> ca. 1500 cm høy pa˚ sitt høyeste.<br />
Hvordan kan vi gjøre om lengden til kilometer <strong>og</strong> høyden til meter?<br />
Tabellen viser sammenhengen mellom de vanligste ma˚lenhetene for lengde:<br />
mil kilometer hektometer dekameter meter desimeter centimeter millimeter<br />
mil km m dm cm mm<br />
10 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001<br />
Vi gjør om fra centimeter til meter ved a˚ dele med 100.<br />
Det er det samme som a˚ flytte kommaet to plasser mot venstre.<br />
Den kinesiske mur er altsa˚ rundt 1500 cm ¼ 1500<br />
m ¼ 15 m høy.<br />
100<br />
Vi gjør om fra meter til kilometer ved a˚ dele med 1000.<br />
Det er det samme som a˚ flytte kommaet tre plasser mot venstre.<br />
Den kinesiske mur er 6 000 000 m ¼ 6000 km lang.<br />
EKSEMPEL 3<br />
a) Hvor mange meter er 120 cm?<br />
b) Hvor mange meter er 2,7 km?<br />
Løsning:<br />
a) Vi flytter kommaet to plasser mot venstre eller deler med 100:<br />
120 cm ¼ 1;2 m<br />
120 cm ¼ 120<br />
m ¼ 1;2 m<br />
100<br />
b) Vi flytter kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000:<br />
2;7 km 2;700 km ¼ 2700 m<br />
2;7 km¼2;7 1000 m 2700 m<br />
PREFIKSER<br />
kilo ¼ 1000<br />
hekto ¼ 100<br />
deka ¼ 10<br />
desi ¼ 1<br />
10<br />
centi ¼ 1<br />
100<br />
milli ¼ 1<br />
1000<br />
LENGDEMA˚L<br />
Meter er grunnenheten<br />
for lengde. Hektometer<br />
<strong>og</strong> dekameter er sv×rt<br />
lite brukt. 1 mil svarer<br />
til 10 km.<br />
OMGJØRING AV ENHETER<br />
NÔr vi regner om fra stÖrre<br />
til mindre mÔlenheter,<br />
bruker vi ofte -tegnet.<br />
Det gjÖr vi fordi stÖrre<br />
enheter gjerne inneholder<br />
usikkerhet.<br />
12 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 4<br />
Den norske løperkongen Mensen Ernst tilbakela i 1832 distansen Paris–<br />
Moskva pa˚ 14 dager. I luftlinje ma˚ler denne distansen om lag 2500 km.<br />
a) Hvor mange meter svarer det til?<br />
b) Hvor mange mil løp Mensen Ernst?<br />
c) En engelsk mile er 1609 m.<br />
Hvor lang er distansen Paris–Moskva i miles?<br />
Løsning:<br />
a) Vi bruker sammenhengen mellom enhetene for lengde:<br />
2500 km ¼ 2500 1000 meter 2 500 000 meter<br />
b) En mil svarer til 10 km:<br />
2500 km ¼ 2500<br />
mil ¼ 250 mil<br />
10<br />
Dette er like langt som Norges grense mot Sverige, Finland <strong>og</strong> Russland til sammen!<br />
c) Vi gjør om fra meter til miles:<br />
2 500 000<br />
2 500 000 m ¼ miles 1553;76 miles 1554 miles<br />
1609<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.6<br />
Gjør om til meter:<br />
a) 234 cm b) 170 mm c) 144 dm<br />
d) 2,047 km e) 0,2 mil f) 4,5 miles<br />
Oppgave 1.7<br />
Monolitten i Vigelandsparken i Oslo er<br />
omtrent 17 m høy.<br />
a) Hvor høy er Monolitten i centimeter?<br />
b) Tommer er en annen ma˚lenhet.<br />
En tomme svarer til 2,54 cm.<br />
Hvor høy er Monolitten ma˚lt i tommer?<br />
Oppgave 1.8<br />
Gjør om alle ma˚l til centimeter <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 1;2 mþ 2;7 dmþ320 cm þ 30 mm<br />
b) 200 mm þ 0;15 m þ 5cm<br />
c) 3;5 tommer þ 2dmþ40 mm<br />
Oppgave 1.9<br />
Gjør om alle ma˚l til meter <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 18 dm þ 76 cm þ 40 mm<br />
b) 3 dm 4;5 tommer þ 12 cm þ 30 mm<br />
c) 4 km þ 1;243 miles 990 tommer<br />
LØPERKONGEN<br />
Mensen Ernst ble fÖdt<br />
i S<strong>og</strong>n <strong>og</strong> Fjordane i1795<br />
<strong>og</strong> dÖde i Egypt i1843.<br />
PÔ1800-tallet ble han<br />
beundret for sine lÖperprestasjoner<br />
over hele<br />
Europa.<br />
Oppgave 1.10<br />
Obelisken pa˚ Petersplassen i Vatikanet er om<br />
lag 25 m høy.<br />
a) Hvor høy er obelisken ma˚lt i fot?<br />
ð1 fot ¼ 0;3048 mÞ<br />
b) Hvor høyt er dette kunstverket ma˚lt<br />
i tommer?<br />
c) Hvor mange tommer er det i en fot?<br />
Utfordring 1.11<br />
Hvor mange kilometer løp Mensen Ernst<br />
i gjennomsnitt per dag pa˚ turen Paris–Moskva?<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 13
1.3 Omkrets ^ hele veien rundt<br />
Du skal l×re<br />
^ hvordan du kan regne ut omkretsen av enkle geometriske figurer<br />
Firmaet Tummelumsk skryter av at de har produsert tivolimarkedets mest<br />
spektakulære pariserhjul, med en radius pa˚ 21 meter.<br />
Hvor mange meter har du beveget deg etter en runde med dette<br />
pariserhjulet? Enn etter tolv runder? For a˚ regne ut det ma˚ vi finne<br />
omkretsen av hjulet.<br />
Tabellen i margen viser formler for omkretsen av noen enkle geometriske<br />
figurer. Siden et pariserhjul alltid har form som en sirkel, blir omkretsen<br />
O ¼ 2 r ¼ 2 21 m ¼ 131;947 m 132 m<br />
Her runder vi av svaret. Hvorfor det, tror du?<br />
Etter tolv runder med dette hjulet har du beveget deg<br />
12 O ¼ 12 132 m ¼ 1584 m 1;6 km<br />
Vi gjør om til kilometer <strong>og</strong> runder av grovere enn ovenfor.<br />
Tenk gjennom hvorfor.<br />
EKSEMPEL 5<br />
Et rektangel har lengden 40 cm <strong>og</strong> bredden 2,2 dm.<br />
Hvor mange centimeter er omkretsen?<br />
Løsning:<br />
Vi gjør om bredden fra desimeter til centimeter:<br />
2;2 dm¼22 cm<br />
Omkretsen blir da<br />
O ¼ 2 l þ 2 b ¼ 2 40 cm þ 2 22 cm ¼ 124 cm<br />
Rektangel<br />
b<br />
l<br />
O = 2l + 2b<br />
Kvadrat<br />
s s<br />
O = 4s<br />
Parallell<strong>og</strong>ram<br />
s<br />
g<br />
O = 2s + 2g<br />
Trapes<br />
c<br />
d b<br />
a<br />
O = a + b + c + d<br />
Trekant<br />
c<br />
a<br />
O = a + b + c<br />
Sirkel<br />
r<br />
O = 2pr<br />
HUSK<br />
b<br />
NÔr du skal regne ut<br />
omkretsen av en geometrisk<br />
figur, mÔ alle<br />
lengdene ha samme<br />
enhet!<br />
14 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 6<br />
Karin skal sy et ba˚nd langs kanten av en kjøkkenduk med form<br />
som vist pa˚ figuren. Hvor mange desimeter kanteba˚nd trenger hun?<br />
Løsning:<br />
Duken besta˚r av et rektangel med en halvsirkel i hver ende. Til sammen<br />
utgjør de to halvsirklene en hel sirkel. Dukens omkrets blir derfor summen<br />
av omkretsen av en sirkel <strong>og</strong> omkretsen av rektanglets to langsider:<br />
O ¼ 2 l þ 2 r<br />
¼ 2 26 dm þ 2 9dm¼ 108;549 dm 109 dm<br />
Her runder vi av oppover. Hvorfor?<br />
18 dm<br />
Legg merke til at radien er lik halve diameteren: ¼ 9 dm.<br />
2<br />
Vi tar ikke med kortsidene pa˚ rektanglet i dukens omkrets.<br />
Studer figuren <strong>og</strong> finn ut hvorfor!<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.12<br />
Regn ut omkretsen i meter av en sirkel der<br />
a) r ¼ 2,18 cm b) r ¼ 18 dm<br />
c) d ¼ 0,637 km<br />
Oppgave 1.13<br />
Finn omkretsen i centimeter av et rektangel der<br />
a) b ¼ 20 cm <strong>og</strong> l ¼ 40 cm<br />
b) b ¼ 30 cm <strong>og</strong> l ¼ 17 dm<br />
c) b ¼ 4 fot <strong>og</strong> l ¼ 2 tommer<br />
Oppgave 1.14<br />
Jordas radius ved ekvator er 6378 km. Hvor stor<br />
er avstanden i mil mellom to punkter pa˚ ekvator<br />
som ligger pa˚ nøyaktig motsatt side av jordkloden?<br />
Oppgave 1.15<br />
Ernst er nesten ferdig med oppussingen <strong>og</strong> skal<br />
legge gulvlister i stua. Rommet har form som et<br />
rektangel med lengden 6 m <strong>og</strong> bredden 4 m.<br />
En 70 cm bred dør pa˚ den ene kortveggen ga˚r<br />
inn til kjøkkenet. Pa˚ den ene langveggen finnes<br />
en tilsvarende dør ut mot gangen.<br />
Hvor mange meter listverk bør Ernst kjøpe inn?<br />
Oppgave 1.16<br />
Regn ut omkretsen av figuren nedenfor:<br />
13 cm<br />
18 dm<br />
26 dm<br />
Utfordring 1.17<br />
Klaus har kjøpt en rull med julegavepapir.<br />
Papiret er rullet pa˚ en pappsylinder med<br />
lengden 80 cm <strong>og</strong> diameter lik 5 cm.<br />
a) Hvor stor er omkretsen av sylinderen?<br />
b) Det er 10 m gavepapir pa˚ rullen.<br />
Omtrent hvor mange runder er papiret<br />
tvinnet rundt pappsylinderen?<br />
c) Tenk gjennom hvilke feilkilder det er i svaret<br />
du fikk i b.<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 15
1.4 FlatemÔl<br />
Du skal l×re<br />
^ at areal er et mÔl for stÖrrelsen av en flate<br />
^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for areal<br />
En flate er todimensjonal <strong>og</strong> har ingen tykkelse. En firkantet flate<br />
er bare representert ved lengden <strong>og</strong> bredden. Til a˚ oppgi størrelsen av<br />
en flate bruker vi betegnelsen areal.<br />
Tabellen viser sammenhengen mellom ulike ma˚lenheter for areal.<br />
kvadratkilometer<br />
kvadrathektometer<br />
kvadratdekameter<br />
kvadratmeter<br />
kvadratdesimeter<br />
kvadratcentimeter<br />
kvadratmillimeter<br />
km 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2<br />
1 000 000 10 000 100 1 0,01 0,0001 0,000 001<br />
Na˚r vi skal gjøre om fra m2 til dm 2 ,ma˚ vi gange med 100. Det er det<br />
samme som a˚ flytte kommaet to plasser mot høyre. For hver kolonne<br />
vi flytter oss i tabellen, ma˚ vi altsa˚ flytte kommaet to plasser.<br />
14;25 m2 ¼ 14;25 100 dm 2 ¼ 1425 dm 2<br />
Vi gjør om fra m 2 til km 2 ved a˚ dele med 1 000 000.<br />
Det er det samme som a˚ flytte kommaet seks plasser mot venstre:<br />
70 000<br />
1 000 000 km2 ¼ 0;07 km 2<br />
EKSEMPEL 7<br />
a) Hvor mange kvadratmeter er 17 400 cm 2 ?<br />
b) Hvor mange kvadratmeter er 564 000 mm 2 ?<br />
b) En serviett har et areal pa˚ 4dm 2 .<br />
Hvor mange kvadratmeter utgjør det?<br />
d) New York by har et areal pa˚ 787 km 2 .<br />
Gjør om til kvadratmeter.<br />
Løsning:<br />
a) Vi flytter kommaet fire plasser mot venstre:<br />
17 400 cm2 ¼ 1;74 m2 b) Vi flytter kommaet seks plasser mot venstre:<br />
560 000 mm2 ¼ 0;56 m2 c) Vi deler pa˚ 100:<br />
4dm 2 ¼ 4<br />
100 m2 ¼ 0;04 m 2<br />
d) Vi ganger med 1 000 000:<br />
787 km 2 ¼ 787 1 000 000 m2 787 000 000 m2 EUKLIDS DEFINISJONER<br />
^ Et punkt er noe som ikke<br />
kan deles.<br />
^ Ei linje er en lengde uten<br />
bredde.<br />
^ En £ate er noe som bare<br />
har lengde <strong>og</strong> bredde.<br />
ENHETER FOR AREAL<br />
Kvadratmeter, m 2 ,er<br />
grunnenheten for areal.<br />
Kvadratdekameter <strong>og</strong><br />
kvadrathektometer brukes<br />
sv×rt sjelden.<br />
16 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 8<br />
Pentagonbygningen i Arlington i USA er en av verdens største<br />
kontorbygninger. Den dekker 117 000 m2 <strong>og</strong> har et bruksareal<br />
pa˚ 3 700 000 fot 2 . Parken i midten er ca. 20;2 ma˚l.<br />
a) Hvor mange ma˚l dekker Pentagon?<br />
b) Hvor mange kvadratkilometer er parken i midten?<br />
c) Hvor mange hektar er bruksarealet? ð1 fot ¼ 0;3048 mÞ<br />
Løsning:<br />
a) Vi gjør om fra kvadratmeter til ma˚l:<br />
117 000 m2 ¼ 117 000 m2 : 1000 ¼ 117 m˚al<br />
b) Først gjør vi om fra ma˚l til kvadratmeter:<br />
20;2 m˚al ¼ 20;2 1000 m2 ¼ 20 200 m2 Deretter gjør vi om til kvadratkilometer:<br />
20 200 m2 ¼ 0;202 00 km 2<br />
0;2 km 2<br />
c) Vi gjør om fra kvadratfot til kvadratmeter:<br />
1 fot 2 ¼ 0;3048 m 0;3048 m ¼ 0;0929 m2 3 700 000 fot 2 ¼ 3 700 000 0;0929 m 2 ¼ 343 741 m 2<br />
Sa˚ gjør vi om til hektar:<br />
343 741 m2 ¼ 343 741 m2 : 10 000 34;3 hektar<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.18<br />
Gjør om til kvadratmeter:<br />
a) 180 cm2 b) 2500 mm2 c) 132 dm 2<br />
d) 3;04 km 2<br />
e) 0;2 m˚al f) 250 000 cm 2<br />
Oppgave 1.19<br />
Arealet av et A4-ark er 625 cm 2 .<br />
Hvor stort blir arealet ma˚lt i kvadratmeter?<br />
Oppgave 1.20<br />
Na˚r vi skal oppgi arealet av et landomra˚de, for<br />
eksempel en hustomt, bruker vi ofte enheten ma˚l.<br />
a) Hvor mange kvadratmeter utgjør en tomt<br />
pa˚ 4,5 ma˚l?<br />
b) Hvor mange ma˚l er en tomt pa˚ 0;63 km 2 ?<br />
STORE FLATER<br />
1m˚al ¼ 1000 m 2<br />
1hektar¼ 10 000 m 2<br />
Oppgave 1.21<br />
Kunstneren David A˚ berg fra Helsingborg<br />
har laget et maleri pa˚ hele 4000 m 2 .<br />
Det er verdens største maleri malt pa˚ lerret.<br />
Hvor mange ma˚l dekker maleriet?<br />
Oppgave 1.22<br />
Dpi er en ma˚lenhet som viser hvor finkornet<br />
et bilde er. Dpi sta˚r for «dots per inch», som<br />
betyr piksler per tomme. En tomme er 2;54 cm.<br />
Et bilde har 1024 768 piksler.<br />
Hvor mange kvadratcentimeter ma˚ler bildet<br />
na˚r oppløsningen er<br />
a) 300 dpi b) 150 dpi c) 75 dpi<br />
Utfordring 1.23<br />
Du skal skanne et bilde pa˚ 10 cm 15 cm<br />
pa˚ 70 dpi. Hvor mange piksler besta˚r bildet av?<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 17
1.5 Areal av enkle figurer<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô regne ut arealet av enkle geometriske figurer<br />
Trekanter, firkanter <strong>og</strong> sirkler er eksempler pa˚ enkle geometriske figurer.<br />
Bildet nedenfor viser Ishavskatedralen i Tromsø, ferdigstilt i 1965.<br />
Tabellen i margen viser formler for arealet av noen enkle geometriske figurer.<br />
For et kvadrat med sidelengde lik 5 cm blir arealet<br />
A ¼ s s ¼ s 2 ¼ 5cm 5cm¼ 25 cm 2<br />
For et trapes der a ¼ 4cm,b ¼ 5cm <strong>og</strong> h ¼ 3 cm, blir arealet<br />
A ¼<br />
EKSEMPEL 9<br />
ða þ bÞ h<br />
2<br />
¼<br />
ð4cmþ 5cmÞ 3cm<br />
2<br />
¼ 13;5 cm 2<br />
Et spisebord er formet som et rektangel med lengde 2;4 m <strong>og</strong> bredde<br />
130 cm.<br />
a) Hvor stort er arealet av bordet?<br />
b) Vi dekker bordet med en duk, slik at duken henger 20 cm ned fra<br />
bordkantene pa˚ hver side. Hvor stort er arealet av duken?<br />
Løsning:<br />
a) For a˚ fa˚ like enheter pa˚ lengden <strong>og</strong> bredden av bordet gjør vi om<br />
bredden fra centimeter til meter:<br />
130 cm ¼ 1;3 m<br />
A ¼ l b ¼ 2;4 m 1;3 m¼ 3;12 m2 b) Vi gjør om fra centimeter til meter: 20 cm ¼ 0;2 m<br />
Lengden av duken: l ¼ 2;4 mþ 0;2 mþ 0;2 m¼ 2;8 m<br />
Bredden av duken: b ¼ 1;3 mþ 0;2 mþ 0;2 m¼ 1;7 m<br />
Arealet av duken: A ¼ 2;8 m 1;7 m¼ 4;76 m2 Rektangel<br />
b<br />
l<br />
A = l ⋅ b<br />
Kvadrat<br />
s s<br />
A = s ⋅ s = s 2<br />
Parallell<strong>og</strong>ram<br />
h<br />
g<br />
A = g ⋅ h<br />
Trapes<br />
b<br />
h<br />
a<br />
(a + b) ⋅ h<br />
A =<br />
2<br />
Trekant<br />
h<br />
g<br />
g ⋅ h<br />
A =<br />
2<br />
Sirkel<br />
r<br />
A = π ⋅ r 2<br />
HUSK<br />
NÔr du skal regne ut arealet<br />
av en geometrisk figur, mÔ<br />
alle lengdene ha samme<br />
enhet!<br />
18 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 10<br />
a) En trekant har grunnlinje 1 dm <strong>og</strong> høyde 6 cm.<br />
Hvor stort blir arealet av trekanten?<br />
b) I en sirkel er diameteren 1; 4 dm. Hva blir arealet av sirkelen?<br />
Løsning:<br />
a) Vi gjør om fra desimeter til centimeter for grunnlinja:<br />
1dm¼10 cm.<br />
Vi bruker formelen for arealet av en trekant:<br />
A ¼<br />
g h<br />
2<br />
¼ 10 cm 6cm<br />
2<br />
¼ 30 cm 2<br />
b) Radien i en sirkel er halvparten av diameteren:<br />
1;4 dm<br />
¼ 0;7 dm<br />
2<br />
Vi bruker formelen for arealet av en sirkel:<br />
AKTIVITETER<br />
A ¼ r 2 ¼ ð0;7 dmÞ 2 ¼ 1;5394 dm 2<br />
Oppgave 1.24<br />
Regn ut arealet av figurene nedenfor:<br />
a)<br />
d)<br />
26 cm<br />
r = 15 cm<br />
×<br />
13 cm<br />
26 cm<br />
b)<br />
13 cm<br />
d = 2 dm<br />
e)<br />
c)<br />
48 cm<br />
Oppgave 1.25<br />
«Mona Lisa», malt av Leonardo da Vinci,<br />
er 77 cm høyt <strong>og</strong> 53 cm bredt.<br />
Hvor stort er arealet?<br />
17 m<br />
Oppgave 1.26<br />
Et parallell<strong>og</strong>ram er 15 cm langt <strong>og</strong> 1;2 dm høyt.<br />
Finn arealet.<br />
17 m<br />
23 cm<br />
1;5 dm 2<br />
Oppgave 1.27<br />
Et A4-ark har arealet 625 cm2 <strong>og</strong> kan maksimalt<br />
brettes seks ganger. (Bare prøv!) Regn ut arealet<br />
av et A4-ark som er brettet seks ganger.<br />
Oppgave 1.28<br />
Ernst skal kjøpe duk til stuebordet sitt. Bordet<br />
har form som et kvadrat med side lik 1;3 m.<br />
Hvor stort blir arealet av duken dersom den<br />
skal henge 15 cm ned fra bordet pa˚ hver side?<br />
Oppgave 1.29<br />
Et lerret har form som et trapes med ma˚l som<br />
vist pa˚ figuren. Hvor mange kvadratmeter<br />
er arealet av lerretet?<br />
6 dm<br />
55 cm<br />
120 cm<br />
6 cm<br />
1,4 dm<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 19<br />
1 dm
1.6 Areal av sammensatte figurer<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô regne ut arealet av sammensatte geometriske figurer<br />
Nye Bislett Stadion er et eksempel pa˚ en sammensatt geometrisk figur.<br />
Na˚r vi skal regne ut arealet av en sammensatt geometrisk figur, ma˚ vi<br />
først finne ut hvilke delfigurer den er satt sammen av. Sa˚ regner vi ut<br />
arealene av delfigurene hver for seg. Deretter ma˚ vi studere figuren nøye.<br />
Noen ganger ma˚ vi legge sammen arealene, andre ganger kan det være<br />
lurt a˚ trekke fra.<br />
EKSEMPEL 11<br />
Svært forenklet kan vi si at arenaen pa˚ Bislett Stadion omfatter<br />
et rektangel med lengden 105 m <strong>og</strong> bredden 90 m pluss en halvsirkel<br />
med radien 45 m i hver ende. Hvor stort er arealet av arenaen?<br />
Løsning:<br />
Formelen for arealet av arenaen blir<br />
A ¼ Arektangel þ Ahalvsirkel þ Ahalvsirkel<br />
¼ Arektangel þ Asirkel ¼ l b þ r 2<br />
Vi setter inn i formelen ovenfor:<br />
A ¼ l b þ r 2 ¼ 105 90 þ 45 2 ¼ 15 811;725<br />
Arealet av arenaen er om lag 15 800 m 2 .<br />
Her runder vi av mye i svaret. Kan du tenke deg hvorfor?<br />
REGNING UTEN ENHETER<br />
NÔrduarbeidermedlitt<br />
stÖrre regnestykker, kan<br />
det ofte v×re greit Ô slÖyfe<br />
enhetene underveis, som<br />
i eksempel11. Men det er<br />
viktig at du vet hvilken<br />
enhetsvaretskalha!<br />
45 m<br />
105 m 105 m<br />
20 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER<br />
90 m<br />
90 m<br />
45 m
EKSEMPEL 12<br />
Det er strenge regler for hvordan nasjonalflagg skal se ut.<br />
Figuren viser hvordan forholdene skal være i det japanske<br />
flagget. Diameteren til sola i midten er 24 cm.<br />
Hvor stort areal dekker det hvite omra˚det i det japanske<br />
flagget?<br />
Løsning:<br />
Vi finner først det totale arealet av flagget:<br />
A ¼ l b ¼ 60 cm 40 cm ¼ 2400 cm 2<br />
Sa˚ finner vi arealet av sola i midten:<br />
A ¼ r 2 ¼<br />
24<br />
2 cm<br />
2<br />
¼ ð12 cmÞ 2<br />
Arealet av det hvite omra˚det i det japanske flagget blir<br />
A ¼ 2400 cm 2<br />
452;4 cm 2 ¼ 1947;6 cm 2<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.30<br />
Regn ut arealet av disse flatene:<br />
a)<br />
b)<br />
0,8 dm<br />
7 cm<br />
10 cm<br />
c)<br />
6 cm<br />
6 cm<br />
3 cm<br />
3 dm<br />
3 dm<br />
Oppgave 1.31<br />
En duk har ma˚l <strong>og</strong> form som vist pa˚ figuren.<br />
Regn ut arealet av duken.<br />
90 cm<br />
200 cm<br />
18 dm<br />
2,6 dm<br />
452;389 cm 2<br />
1948 cm 2<br />
452;4 cm 2<br />
Oppgave 1.32<br />
Et bord har form som et rektangel med lengde<br />
2 m <strong>og</strong> bredde 120 cm. Pa˚ bordet er det dekket pa˚<br />
seks runde bordbrikker. Hver brikke har diameter<br />
40 cm. Hvor mange kvadratcentimeter av<br />
bordflata er ikke dekket med bordbrikker?<br />
Oppgave 1.33<br />
Lengdeforholdene i det norske flagget er som<br />
vist pa˚ figuren. Finn det samlede arealet av<br />
de hvite <strong>og</strong> de bla˚ omra˚dene i flagget na˚r alle<br />
ma˚l er i desimeter.<br />
6<br />
1<br />
2<br />
1<br />
6<br />
60 cm<br />
6 1 2 1 12<br />
40 cm<br />
Utfordring 1.34<br />
I en regulær sekskant er alle sidene 8 cm lange.<br />
Tegn figur, <strong>og</strong> regn ut arealet av sekskanten.<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 21
1.7 MÔlenheter for vekt <strong>og</strong> volum<br />
Du skal l×re<br />
^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for vekt<br />
^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for volum<br />
De berømte indiske Kuhinoor-diamantene, som finnes i den britiske<br />
dronningkronen, har en vekt pa˚ 109 karat. Cullinan-diamanten fra Sør-<br />
Afrika var opprinnelig pa˚ 3106 karat før den ble slipt. Men hvor mye er<br />
egentlig en karat? Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom ulike<br />
ma˚lenheter for vekt:<br />
kil<strong>og</strong>ram hekt<strong>og</strong>ram dekagram gram desigram centigram milligram<br />
kg hg g dg cg mg<br />
1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001<br />
Na˚r vi skal gjøre om fra gram til milligram, ma˚ vi gange med 1000.<br />
Vi flytter altsa˚ kommaet tre plasser mot høyre. Det er det samme som<br />
a˚ ga˚ tre kolonner til høyre:<br />
40;385 g ¼ 40;385 1000 mg ¼ 40 385 mg<br />
Na˚r vi skal gjøre om fra gram til kil<strong>og</strong>ram, ma˚ vi dele pa˚ 1000.<br />
Vi flytter altsa˚ kommaet tre plasser mot venstre. Det er det samme som<br />
a˚ ga˚ tre kolonner til venstre:<br />
655 g ¼ 655<br />
kg ¼ 0;655 kg<br />
1000<br />
EKSEMPEL 13<br />
a) Hvor mange gram er 0,7 kg?<br />
b) En karat svarer til 200 mg. Hvor mange gram er 1 karat?<br />
c) Kuhinoor-diamanten veier 109 karat. Gjør om til gram.<br />
d) Cullinan-diamanten veide opprinnelig 3106 karat.<br />
Hvor mange kil<strong>og</strong>ram svarer det til?<br />
Løsning:<br />
a) 0;7 kg¼ 0;7 1000 g 700 g<br />
b) 1 karat ¼ 200 mg ¼ 0;2 g<br />
c) 109 karat ¼ 109 200 mg ¼ 21 800 mg ¼ 21;8 g<br />
d) 3106 karat ¼ 3106 200 mg ¼ 621 200 mg ¼ 621;2 g 0;62 kg<br />
Na˚r vi skal oppgi vekta av et legeme, gjelder det a˚ bruke<br />
en passende enhet. Karat brukes ofte av gullsmeder <strong>og</strong> andre<br />
ha˚ndverkere som arbeider med edelsteiner. Hvorfor?<br />
ENHETER FOR VEKT<br />
Gram er grunnenheten for<br />
vekt. De mest brukte vektenhetene<br />
i Norge er gram,<br />
kil<strong>og</strong>ram <strong>og</strong> milligram.<br />
1tonnsvarer til1000kg.<br />
22 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
Tabellen viser sammenhengen mellom ulike ma˚lenheter for volum:<br />
hektoliter dekaliter liter desiliter centiliter milliliter<br />
hl l dl cl ml<br />
100 10 1 0,1 0,01 0,001<br />
For a˚ gjøre om fra liter til milliliter ma˚ vi gange med 1000. Vi flytter<br />
altsa˚ kommaet tre plasser mot høyre eller ga˚r tre kolonner til høyre:<br />
2;125 l ¼ 2;125 1000 ml ¼ 2125 ml<br />
Vi gjør om fra liter til hektoliter:<br />
20;5 l ¼ 20;5<br />
hl ¼ 0;205 hl<br />
100<br />
EKSEMPEL 14<br />
Massetettheten til gull er omtrent 19;3 g=ml.<br />
Hvor mye veier en gullbarre fra Norges Bank med<br />
et volum pa˚ 0;62 l ?<br />
Løsning:<br />
Vi gjør om fra liter til milliliter:<br />
0;62 l ¼ 0;620 l ¼ 620;0 ml<br />
Vi regner sa˚ ut vekta av gullbarren:<br />
620;0 ml 19;3 g=ml ¼ 11 966 g 12 kg<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.35<br />
Gjør om til gram:<br />
a) 2;670 kg b) 3;75 hg c) 27;4 mg<br />
d) 14 cg e) 120 mg f) 1;37 tonn<br />
Oppgave 1.36<br />
Gjør om til liter:<br />
a) 2,670 dl b) 0,34 hl c) 7,3 cl<br />
d) 207 ml e) 12,137 hl f) 1,04 «kubikk»<br />
Oppgave 1.37<br />
Gjør om til en passende enhet <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 2;13 l þ 18;08 dl þ 4clþ740 ml<br />
b) 210 mg 0;2 gþ 50 cg 0;3 dg<br />
Oppgave 1.38<br />
Ranger fra største til minste verdi:<br />
a) 4551 mg, 25 karat, 5,21 g<br />
b) 0,066 l, 6 dl, 70 ml<br />
c) 27 g, 133 karat, 0,026 kg<br />
ENHETER FOR VOLUM (HULMA˚L)<br />
Liter er grunnenheten for volum.<br />
Dekaliter er sv×rt lite brukt.<br />
1000 liter kaller vi ofte ßen<br />
kubikký.<br />
TETTHET<br />
tetthet ¼ vekt<br />
volum ð¼ g=cm3 Þ<br />
vekt ¼ tetthet volum ð¼ gÞ<br />
volum ¼ vekt<br />
tetthet ð¼ cm3 Þ<br />
Oppgave 1.39<br />
Ola har fisket 1;3 hektoliter reker. Han selger<br />
rekene for 30 kr per liter. Hvor mye tjener han?<br />
Miniprosjekt 1.40<br />
Hvor mange liter luft rommer en fotball?<br />
Hjelpemidler: vannbalje <strong>og</strong> literma˚l<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 23
1.8 NÔr 10 betyr 2<br />
Du skal l×re<br />
^ om det bin×re tallsystemet <strong>og</strong> litt om hvordan datamaskinen regner<br />
Det finnes 10 typer folk: de som forsta˚r totallssystemet,<br />
<strong>og</strong> de som ikke gjør det.<br />
Om du synes setningen ovenfor er merkelig, hjelper det a˚ lære litt om<br />
totallssystemet. Datamaskiner <strong>og</strong> lommeregnere bruker ikke titallssystemet<br />
i utregningene. De bruker totallssystemet. Ved hjelp av symbolene 0<br />
<strong>og</strong> 1 kan datamaskiner skrive <strong>og</strong> regne med alle mulige slags tall.<br />
Totallssystemet er bygd opp pa˚ samme ma˚te som titallssystemet, men<br />
har 2 som grunntall i stedet for 10. I titallssystemet kan alle tall skrives<br />
som en sum av tierpotenser. Pa˚ samme ma˚te kan alle tall skrives som<br />
en sum av toerpotenser i totallssystemet.<br />
EKSEMPEL 15<br />
Hvor mange tusenlapper, hundrelapper, tikroner <strong>og</strong> kronestykker<br />
kan vi maksimalt fa˚ dersom vi fa˚r utbetalt 1069 kroner?<br />
Løsning:<br />
1069 ¼ 1000 þ 60 þ 9 ðsom kan skrives som en sum av tierpotenserÞ<br />
¼ 1 1000 þ 0 100 þ 6 10 þ 9 1<br />
¼ 1 10 3 þ 0 10 2 þ 6 10 1 þ 9 10 0<br />
EKSEMPEL 16<br />
Rekkefølgen pa˚ tallene er viktig. Det er forskjell pa˚ a˚ skrive 1001<br />
<strong>og</strong> 1010 i totallssystemet. Hvilket tall er størst, tror du?<br />
Løsning:<br />
10012 ¼ 1 2 3 þ 0 2 2 þ 0 2 1 þ 1 2 0<br />
¼ 1 8 þ 0 4 þ 0 2 þ 1 1 ¼ 8 þ 1 ¼ 9 i titallssystemet<br />
10102 ¼ 1 2 3 þ 0 2 2 þ 1 2 1 þ 0 2 0<br />
¼ 1 8 þ 0 4 þ 1 2 þ 0 1 ¼ 8 þ 2 ¼ 10 i titallssystemet<br />
Du har kanskje lagt merke til at tall i totallssystemet fort kan bli lange.<br />
Det er vanskelig a˚ huske tallene, <strong>og</strong> det er lett a˚ skrive feil. Datamaskinen<br />
har ikke slike problemer. I dataverdenen ma˚ler vi den plassen<br />
dataene tar, i byte. En byte besta˚r ava˚tte biter. En bit kan ha verdiene<br />
0 <strong>og</strong> 1. Ved hjelp av en byte kan vi skrive 2 8 ¼ 256 ulike tegn.<br />
En minnepenn kan for eksempel ha plass til 256 megabyte (MB).<br />
Hvorfor tror du tallet 256 forekommer sa˚ ofte i dataverdenen?<br />
Totallssystemet kaller vi <strong>og</strong>sÔ<br />
det bin×re tallsystemet.<br />
HUSK:<br />
10 0 ¼ 1<br />
2 0 ¼ 1<br />
DE TI FØRSTE TALLENE<br />
24 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER<br />
0<br />
1<br />
10<br />
11<br />
100<br />
101<br />
110<br />
111<br />
1000<br />
1001
EKSEMPEL 17<br />
Vi skal skrive tallene 7 <strong>og</strong> 25 i totallssystemet. Vi starter<br />
med a˚ skrive tallene som en sum av toerpotenser.<br />
Husk at 1 kan skrives som 2 0 .<br />
7 ¼ 4 þ 2 þ 1<br />
¼ 1 2 2 þ 1 2 1 þ 1 2 0 ¼ 1112<br />
25 ¼ 16 þ 8 þ 1<br />
¼ 1 16 þ 1 8 þ 0 4 þ 0 2 þ 1 1<br />
¼ 1 2 4 þ 1 2 3 þ 0 2 2 þ 0 2 1 þ 1 2 0 ¼ 110012<br />
De første toerpotensene er 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024; ...<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.41<br />
Pa˚ forrige side viste vi de ti første tallene i<br />
totallssystemet. Skriv de fem neste.<br />
Oppgave 1.42<br />
Gjør om disse tallene fra totalls- til titallssystemet:<br />
a) 11112 b) 101012<br />
c) 110002 d) 1101012<br />
Oppgave 1.43<br />
Skriv disse tallene i totallssystemet:<br />
a) 27 b) 39 c) 111<br />
d) 255 e) 256<br />
Oppgave 1.44<br />
Skriv de tallene i totallssystemet som har tre siffer<br />
(kan skrives ved hjelp av nøyaktig tre biter).<br />
Oppgave 1.45<br />
Hva er det største tallet vi kan skrive ved hjelp av<br />
en byte?<br />
Oppgave 1.46<br />
Datamaskinen bruker en tabell til a˚ gjøre om<br />
bokstaver <strong>og</strong> symboler til tall. Ascii-tabellen<br />
viser for eksempel desimal- <strong>og</strong> binærkoden<br />
til store <strong>og</strong> sma˚ bokstaver.<br />
a) Hva er desimalverdien til liten a na˚r binærkoden<br />
er 011000012?<br />
b) Stor A har ascii-verdien 65.<br />
Hva er binærkoden til A?<br />
Utfordring 1.47<br />
Vi har lært at 1 kilo ¼ 103 ¼ 1000.<br />
Vi ma˚ gange 2 med seg selv 9;7 ganger for<br />
a˚ fa˚ 1000 ð29;7 ¼ 1000Þ. Det nærmeste vi<br />
kommer na˚r vi bruker heltall, er 210 ¼ 1024.<br />
Na˚r en datamaskin har 1 kB lagringsplass,<br />
vil det derfor si at vi egentlig har plass til<br />
1024 tegn.<br />
a) Hvor mange tegn er det plass til na˚r<br />
lagringskapasiteten er 4,5 kB?<br />
b) 1 MB ¼ 1024 kB. Hvor mange tegn kan vi<br />
lagre na˚r kapasiteten er 3 MB?<br />
c) Hvor mange prosent forskjell er det mellom<br />
1 MB i titallssystemet <strong>og</strong> 1 MB i totallssystemet?<br />
Utfordring 1.4 8<br />
Se etter om regnestykkene stemmer:<br />
a) 1001<br />
+ 101<br />
= 1110<br />
0 0 0 0 0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0 0<br />
b) 1001 ⋅ 101 = 101101<br />
1001<br />
0000<br />
1001<br />
101101<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 25<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1
1.9 Megastore tall<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô skrive store verdier pÔ den formen som er vanlig i digitale medier<br />
Guros nye datamaskin har<br />
1024 MB DDR dvs. 1024 000 000 byte «Double Data Rate»<br />
333 MHz RAM dvs. 333 000 000 hertz «Random Access Memory»<br />
80 GB harddisk dvs. 80 000 000 000 byte harddisk<br />
Pa˚ samme ma˚te som vi forkorter «Random Access Memory» til RAM,<br />
skriver vi store tall som 80 000 000 000 B (byte) om til 80 GB (gigabyte).<br />
Na˚r vi skal regne motsatt vei, bruker vi at G i GB sta˚r for «giga» <strong>og</strong> er<br />
det samme som 10 9 . Potensen 10 9 betyr at vi skal multiplisere med 10<br />
ni ganger. Vi flytter desimalkommaet ni plasser mot høyre <strong>og</strong> fa˚r<br />
EKSEMPEL 18<br />
80 10 9 B ¼ 80 000 000 000 B<br />
Gjør om til byte (B):<br />
a) 32 MB b) 512 GB<br />
Løsning:<br />
a) 32 MB ¼ 32 106 B ¼ 32 1 000 000 B ¼ 32 000 000 B<br />
b) 512 GB ¼ 512 109 B ¼ 512 1 000 000 000 B ¼ 512 000 000 000 B<br />
EKSEMPEL 19<br />
Skriv tallene enklere med et passende prefiks:<br />
a) 512 000 000 B b) 40 000 000 000 B<br />
Løsning:<br />
a) 512 000 000 B ¼ 512 1 000 000 B ¼ 512 106 B ¼ 512 MB<br />
b) 40 000 000 000 B ¼ 40 1 000 000 000 B ¼ 40 109 B ¼ 40 GB<br />
EKSEMPEL 20<br />
Et digitalt kamera har i fullformat 2048 1536 piksler.<br />
Fargedybden er 24 biter per piksel. Vi trenger da 3 B for<br />
a˚ lagre en piksel.<br />
a) Omtrent hvor mange megapiksler har kameraet?<br />
b) Dersom kameraet har en minnebrikke pa˚ 256 MB,<br />
hvor mange fullformatsbilder er det plass til?<br />
PREFIKSER<br />
tera ¼ T ¼ 10 12<br />
giga ¼ G ¼ 10 9<br />
mega ¼ M ¼ 10 6<br />
kilo ¼ k ¼ 10 3<br />
Piksel er en forkortelse<br />
for ßpicture elementý,<br />
som er den minste delen<br />
ietdigitaltbilde.<br />
26 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
Løsning:<br />
a) 2048 1536 piksler ¼ 3 145 728 piksler 3;1 megapiksler<br />
b) For a˚ lagre 3,1 megapiksler trenger vi<br />
3;1 106 piksler=bilde 3B=piksel ¼ 9;3 MB=bilde<br />
256 MB<br />
Det er da plass til<br />
27 bilder.<br />
9;3 MB=bilde<br />
I matematikken «forkorter» vi store tall ved a˚ skrive dem pa˚ standardform:<br />
80 000 000 000 ¼ 8 10 10 . Standardform vil altsa˚ si at vi ganger et<br />
tall fra 1 til <strong>og</strong> med 9 med en tierpotens.<br />
Lommeregneren forsta˚r denne skrivema˚ten. Na˚r vi skal skrive 8 10 10<br />
pa˚ lommeregneren, trykker vi 8 10 ^ 10 eller 8 E10.<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.49<br />
Gjør om til byte (B) eller hertz (Hz):<br />
a) 1;86 GHz b) 55;7 GB c) 5;6 TB<br />
d) 128 MB e) 256 kB f) 64 MHz<br />
Oppgave 1.50<br />
Skriv tallene med et egnet prefiks:<br />
a) 1 024 000 000 byte b) 5 000 000 piksler<br />
c) 16 000 000 byte d) 2 800 000 000 hertz<br />
e) 512 000 byte<br />
Oppgave 1.51<br />
Hvor mange megapiksler er det i et bilde som har<br />
a) 2592 1944 piksler<br />
b) 1600 1200 piksler<br />
c) 1024 768 piksler<br />
d) 640 480 piksler<br />
Enheten dpi viser hvor finkornet et bilde er.<br />
Dpi sta˚r for «dots per inch», som betyr piksler<br />
per tomme. En tomme er 2;54 cm.<br />
e) Ga˚ ut fra at alle bildene i oppgave a–d er<br />
i 300 dpi. Hvor langt <strong>og</strong> hvor bredt er da<br />
hvert bilde i centimeter?<br />
TALL PA˚ STANDARDFORM<br />
a 10 k<br />
^ a er et tall mellom 1 <strong>og</strong> 10<br />
^ k er et helt tall<br />
LOMMEREGNERENS SKRIVEMA˚TE<br />
5:12 E8 betyr tallet<br />
5;12 10 8 ¼ 512 000 000<br />
Oppgave 1.52<br />
Hvor mange bilder pa˚ 5 megapiksler er det plass<br />
til med en minnebrikke pa˚ 256 MB na˚r fargedybden<br />
er 24 biter per piksel?<br />
Utfordring 1.53<br />
Lommeregneren skriver et tall slik: 8:3E- 5.<br />
Hvordan skriver vi dette tallet med desimaltall?<br />
Utfordring 1.54<br />
Ifølge Kryders lov blir den vanlige harddiskkapasiteten<br />
pa˚ datamaskiner doblet hver 13. ma˚ned.<br />
a) Na˚r vil i sa˚ fall harddiskkapasiteten være<br />
sa˚ stor at vi trenger et større prefiks enn tera?<br />
(Standard harddiskkapasitet i desember 2005<br />
var 160 GB.)<br />
b) Undersøk pa˚ nettet eller pa˚ biblioteket hvilke<br />
prefikser som følger etter tera.<br />
Miniprosjekt 1.55<br />
Undersøk pa˚ nettet eller i reklamebrosjyrer hvor<br />
mange byte RAM <strong>og</strong> hvor mange byte harddisk<br />
som er vanlig pa˚ datamaskiner. Er det forskjell<br />
pa˚ stasjonære <strong>og</strong> bærbare maskiner?<br />
Hvor mye anbefales na˚r vi skal redigere video<br />
pa˚ datamaskinen?<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 27
1.10 Sammensatt eksempel<br />
EKSEMPEL 21<br />
Den ene av de to figurene nedenfor er et kvadrat. Den andre figuren er et<br />
tilsvarende kvadrat, men i hvert hjørne er det klipt bort en kvartsirkel.<br />
1 2<br />
1,6 dm 16 cm 0,8 dm<br />
16 cm<br />
a) Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av hver figur. Bruk henholdsvis<br />
kvadratcentimeter <strong>og</strong> centimeter som enheter.<br />
b) Gjør om arealet av figur 1 til kvadratmeter <strong>og</strong> omkretsen av<br />
figur 2 til meter.<br />
Løsning:<br />
a) Vi gjør først om fra desimeter til centimeter for to av lengdene:<br />
1;6 dm¼16 cm <strong>og</strong> 0;8 dm¼8cm Deretter regner vi ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av figur 1:<br />
A ¼ s s ¼ 16 cm 16 cm ¼ 256 cm2 O ¼ 4 s ¼ 4 16 cm ¼ 64 cm<br />
Figur 2 er litt mer sammensatt enn figur 1. I hvert hjørne er det<br />
klipt bort et omra˚de som svarer til en kvartsirkel med radius 4 cm.<br />
Til sammen er det altsa˚ klipt bort et omra˚de tilsvarende en hel<br />
sirkel med radius 4 cm.<br />
Arealet av figur 2 blir dermed<br />
A ¼ Akvadrat Asirkel ¼ 16 16 42 205;73 205;7<br />
Arealet av figur 2 er tilnærmet lik 205,7 cm 2 .<br />
Omkretsen av figur 2 besta˚r av fire sider med lengde 8 cm <strong>og</strong><br />
fire kvartsirkler med radius 4 cm. De fire kvartsirklene utgjør til<br />
sammen en hel sirkel.<br />
Omkretsen av figur 2 blir da<br />
O ¼ 4 8cmþ2 4cm 57;13 cm 57;1 cm<br />
Omkretsen av figur 2 er tilnærmet lik 57,1 cm.<br />
HUSK<br />
NÔr du skal regne ut<br />
arealet <strong>og</strong> omkretsen av<br />
geometriske figurer, mÔ<br />
alle lengdene ha samme<br />
enhet!<br />
REGNING UTEN ENHETER<br />
NÔrduarbeidermedlitt<br />
stÖrre regnestykker,<br />
kan det ofte v×re greit Ô<br />
slÖyfe enhetene underveis.<br />
Men det er viktig at<br />
du vet hvilken enhet<br />
svaret skal ha!<br />
28 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
) Na˚r vi skal uttrykke arealet av figur 1 i kvadratmeter,<br />
ma˚ vi flytte kommaet fire plasser mot venstre.<br />
Det er det samme som a˚ dele pa˚ 10 000:<br />
256 cm 2 ¼ 0;0256 m 2 256<br />
eller<br />
10 000 m2 ¼ 0;0256 m 2<br />
Na˚r vi skal uttrykke omkretsen av figur 2 i meter,<br />
ma˚ vi flytte kommaet to plasser mot venstre.<br />
Det er det samme som a˚ dele pa˚ 100:<br />
57;1 cm¼0;571 m eller 57;1<br />
m ¼ 0;571 m<br />
100<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.56<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av figurene:<br />
a)<br />
12 m<br />
12 m<br />
b)<br />
6 m<br />
12 m<br />
6 m<br />
12 m<br />
Oppgave 1.57<br />
CERN («Conseil Europèen pour la Recherche<br />
Nuclèaire») er et intereuropeisk anlegg for<br />
partikkel- <strong>og</strong> kjernefysikkforskning.<br />
Den underjordiske LEP-tunnelen («Large Electron<br />
Positron collider») har tilnærmet sirkelform med<br />
en radius pa˚ om lag 4,3 km.<br />
SPS-tunnelen (protonakseleratoren) har en radius<br />
pa˚ om lag 1,1 km.<br />
a) Hvor lang er radien i LEP-tunnelen ma˚lt<br />
i meter?<br />
b) Regn ut lengdene av begge tunnelene.<br />
c) Hvor stort er arealet av landomra˚det som<br />
ligger innenfor LEP-tunnelen, men utenfor<br />
SPS-tunnelen pa˚ bildet?<br />
d) I LEP-tunnelen blir partikler akselerert opp<br />
til en fart nær lysfarten pa˚ 300 000 km=s.<br />
Dersom en partikkel har en fart pa˚<br />
290 000 km=s, hvor mange runder<br />
i LEP-tunnelen klarer den pa˚ ett sekund?<br />
Nettoppgave 1.58<br />
Bildet viser Petersplassen sett fra kuppelen av<br />
Peterskirken i Vatikanet.<br />
Under begravelsen til pave Johannes Paul 2.<br />
i april 2005 var Petersplassen fylt av rundt<br />
300 000 mennesker. Ytterligere 700 000 stod<br />
i gatene omkring.<br />
a) Klarer du ut fra dette a˚ gjøre et overslag over<br />
arealet av Petersplassen?<br />
b) Bruk oppslagsverk eller Internett (Vatikanets<br />
Internett-adresse er www.vatican.va) <strong>og</strong> prøv<br />
a˚ finne Petersplassens virkelige areal.<br />
Hvor stort avvik fikk du i svaret ditt i a?<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 29
SAMMENDRAG<br />
Avrundingsregler<br />
Na˚r vi skal runde av et desimaltall til nærmeste hele<br />
tall, ser vi pa˚ første desimal. Dersom denne<br />
desimalen er 5 eller større, runder vi av oppover.<br />
I motsatt fall runder vi av nedover. Dersom vi skal<br />
runde av til èn desimal, ser vi pa˚ andre desimal pa˚<br />
samme ma˚te, <strong>og</strong> sa˚ videre.<br />
Tallet 6,2736 kan vi dermed runde av til<br />
6 6;3 6;27 6;274<br />
Pref|kser<br />
tera ¼ 10 12<br />
giga ¼ 10 9<br />
mega ¼ 10 6<br />
kilo ¼ 1000 hekto ¼ 100 deka ¼ 10<br />
desi ¼ 1<br />
10<br />
centi ¼ 1<br />
100<br />
milli ¼ 1<br />
1000<br />
MÔlenheter for lengde<br />
Meter (m) er grunnenheten for lengde. Vi kan gjøre<br />
om mellom de ulike enhetene pa˚ denne ma˚ten:<br />
. 10 . 10 . 10<br />
m dm cm mm<br />
: 10 : 10 : 10<br />
Vi gjør om fra meter til centimeter ved a˚ gange<br />
med 100. Det svarer til a˚ flytte kommaet to plasser<br />
mot høyre:<br />
6;5 m¼ 6;5 100 cm ¼ 650 cm<br />
Omkrets<br />
Rektangel Kvadrat Parallell<strong>og</strong>ram<br />
b<br />
l<br />
s<br />
s<br />
s<br />
g<br />
O = 2l + 2b O = 4s O = 2s + 2g<br />
Trapes Trekant Sirkel<br />
d<br />
c<br />
a<br />
b c b<br />
r<br />
a<br />
O = a + b + c + d O = a + b + c O = 2pr<br />
Samsvar mellom enhetene<br />
Na˚r vi skal regne ut omkretsen eller arealet av en<br />
geometrisk figur, ma˚ alle lengdene være oppgitt med<br />
samme enhet.<br />
MÔlenheter for areal<br />
Kvadratmeter (m2 ) er grunnenheten for areal.<br />
Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:<br />
. 100 . 100 . 100<br />
m 2 dm 2 cm 2 mm 2<br />
Areal av enkle f|gurer<br />
: 100 : 100 : 100<br />
Rektangel Kvadrat Parallell<strong>og</strong>ram<br />
b<br />
l<br />
A = l ⋅ b A = s ⋅ s = s 2 A = g ⋅ h<br />
Trapes Trekant Sirkel<br />
h<br />
b<br />
a<br />
A = π ⋅ r 2<br />
s h<br />
s g<br />
h g<br />
(a + b) ⋅ h<br />
A =<br />
2<br />
r<br />
g ⋅ h<br />
A =<br />
2<br />
MÔlenheter for vekt<br />
Gram (g) er grunnenheten for vekt.<br />
Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:<br />
. 10 . 10 . 10<br />
g dg cg mg<br />
: 10 : 10 : 10<br />
MÔlenheter for volum<br />
Liter (l) er grunnenheten for volum.<br />
Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:<br />
. 10 . 10 . 10<br />
l dl cl ml<br />
: 10 : 10 : 10<br />
Totallssystemet<br />
Totallssystemet har 2 som grunntall. Na˚r vi skal ga˚<br />
fra totallssystemet til titallssystemet, skriver vi tallet<br />
som en sum av toerpotenser <strong>og</strong> legger sammen:<br />
10012 ¼ 1 2 3 þ 0 2 2 þ 0 2 1 þ 1 2 0 ¼ 910<br />
For a˚ ga˚ fra titallssystemet til totallssystemet<br />
skriver vi tallet som en sum av toerpotenser:<br />
25 ¼ 16 þ 8 þ 1<br />
¼ 1 2 4 þ 1 2 3 þ 0 2 2 þ 0 2 1 þ 1 2 0 ¼ 110012<br />
30 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
TEST DEG SELV<br />
Test 1. 59<br />
Gjør om tallene fra totalls- til titallssystemet:<br />
a) 100112 b) 101001012<br />
Skriv tallene i totallssystemet:<br />
c) 22 d) 122<br />
Test 1. 6 0<br />
a) Hvor mange byte (B) er 320 GB?<br />
b) Hvor mange biter er det i 320 GB?<br />
Test 1. 61<br />
Gjør om til meter <strong>og</strong> regn ut:<br />
70 cm þ 0;2 mþ 5dmþ600 mm<br />
Test 1. 62<br />
Ranger fra største til minste lengde:<br />
12 dm, 119 cm, 1,21 m, 998 mm<br />
Test 1. 63<br />
Gjør om til gram:<br />
a) 1,2 kg b) 4 hg c) 33,2 mg<br />
Gjør om til liter:<br />
d) 200 ml e) 2 dl f) 32 cl<br />
Test 1. 6 4<br />
Gjør om til en passende enhet <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 2 l þ 13 dl þ 120 cl þ 3000 ml<br />
b) 0;3 kgþ200 g þ 13 dg þ 20 cg<br />
Test 1. 65<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av en sirkel med<br />
a) r ¼ 1,59 dm b) r ¼ 80 cm c) d ¼ 5cm<br />
Test 1. 6 6<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av et rektangel med<br />
a) b ¼ 10 cm <strong>og</strong> l ¼ 50 cm<br />
b) b ¼ 2m <strong>og</strong>l ¼ 5m<br />
Test 1. 67<br />
Gjør om til kvadratmeter:<br />
a) 700 cm2 b) 4018 mm2 c) 2 km 2<br />
Test 1. 6 8<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av figurene:<br />
a) 15 cm<br />
b)<br />
20 cm<br />
0,8 dm<br />
Test 1. 69<br />
Rund av til én desimal:<br />
a) 1,33 b) 1,55 c) 2,67<br />
Test 1.70<br />
Rund av til to desimaler:<br />
a) 4,234 b) 13,456 c) 19,554<br />
Test 1.71<br />
a) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje<br />
lik 3 cm <strong>og</strong> høyden 13 cm.<br />
b) Regn ut arealet av et kvadrat med side<br />
lik 33 m.<br />
Test 1.72<br />
Regn ut arealene av de røde feltene pa˚ figurene:<br />
a)<br />
b)<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 31
Òvingsoppgaver<br />
1.1 SÔnn cirka ^ avrunding <strong>og</strong> overslag<br />
A1.73<br />
Rund av til nærmeste hele tall:<br />
a) 3,43 b) 6,55 c) 211,877<br />
d) 9,099 e) 1006,565 f) 0,459<br />
A1.74<br />
Rund av til én desimal:<br />
a) 1,44 b) 1,55 c) 2,677<br />
d) 8,951 e) 6,565 f) 1,252<br />
A1.75<br />
Rund av til to desimaler:<br />
a) 7,2346 b) 22,4567 c) 1,5555<br />
d) 8,355 16 e) 0,3278 f) 1,078 99<br />
A1.76<br />
Du er ansatt av Svada <strong>og</strong> skal designe en reklameplakat<br />
for et firma som leier ut dykkerutstyr.<br />
Du har fa˚tt denne figuren til ra˚dighet:<br />
Plakaten skal være 1;5 m 1;5 m. Bruk linjal <strong>og</strong><br />
regn ut hvor mange ganger bildet ma˚ forstørres.<br />
B1.77<br />
Ernst har fa˚tt sommerjobb pa˚ et lakseoppdrettsanlegg<br />
<strong>og</strong> skal finne ut hvor mye laks det er<br />
i anlegget. Han merker 80 lakser <strong>og</strong> slipper dem ut<br />
igjen i anlegget. Etter en uke fanger han 150 lakser,<br />
seks av dem er merket.<br />
a) Omtrent hvor mange lakser er det i dette<br />
oppdrettsanlegget?<br />
b) Hvilken usikkerhet ligger i tallet du regnet deg<br />
fram til?<br />
B1.78<br />
Du har vært pa˚ kunstauksjon <strong>og</strong> kjøpt bildet<br />
«Taj Mahal». Bildet skal rammes inn, <strong>og</strong> det kan<br />
gjøres pa˚ to ulike ma˚ter. Studer figurene nedenfor:<br />
1 2<br />
Størrelsen pa˚ bildet, inkludert passe-partout,<br />
er 42,53 cm 73,42 cm. Ramma skal<br />
være 4,0 cm bred.<br />
a) Gjør et overslag <strong>og</strong> regn ut hvor mange<br />
centimeter rammeverk du ma˚ bestille dersom<br />
du velger innrammingsmetode 1.<br />
b) Hvilken av de to innrammingsmetodene krever<br />
mest rammeverk?<br />
1.2 MÔlenheter for lengde<br />
A1.79<br />
Gjør om til centimeter:<br />
a) 112 mm b) 0,457 m c) 12,5 km<br />
d) 0,50 mm e) 0,0034 dm<br />
A1.80<br />
Gjør om til desimeter:<br />
a) 112 mm b) 0,457 m c) 12,5 cm<br />
d) 430,50 mm e) 0,0034 km<br />
A1.81<br />
Gjør om til en passende enhet <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 0;034 km 20 m þ 2 tommer 120 dm<br />
b) 12 cm þ 1 fot 190 mm þ 1dm<br />
c) 0;03 mil þ 1km 700 m 5000 dm<br />
d) 1 mm þ 1cmþ1dm 0;110 m<br />
32 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
A1.82<br />
Ranger fra største til minste lengde:<br />
a) 6 m, 2 tommer, 19,8 fot<br />
b) 1 mile, 1,608 km, 530 fot<br />
c) 0,03 mil, 299 m, 0,185 miles<br />
d) 100 m, 33 tommer, 0,06 miles, 329 fot<br />
A1.83<br />
Golden Gate-brua i San Francisco, ferdigstilt<br />
i 1937, er 2,7 km lang.<br />
a) Finn bruas lengde i meter <strong>og</strong> i millimeter.<br />
b) Hvor lang er brua i miles?<br />
ð1 mile ¼ 1609 mÞ<br />
c) Bruta˚rnene er 227 m høye.<br />
Hvor mange tommer svarer det til?<br />
d) Bruas hovedspenn er 1280 m. Gjør om til fot.<br />
A1.84<br />
Johan <strong>og</strong> Eva gikk mange skiturer i pa˚skeuka <strong>og</strong><br />
førte opp følgende turer pa˚ skikortene sine:<br />
Eva Johan<br />
Mandag: 3;7 km<br />
Tirsdag: 14;2 km Tirsdag: 31 km<br />
Onsdag: 1;2 mil Onsdag: 1900 m<br />
Torsdag: 1790 m Torsdag: 0;2 mil<br />
Fredag: 3450 m<br />
Hvem av de to gikk lengst pa˚ ski i pa˚sken?<br />
B1.85<br />
Et lysa˚r er den avstanden lyset ga˚r i løpet av ett a˚r.<br />
Lysets fart er 300 000 km=s.<br />
a) Hvor mange kilometer er et lysa˚r?<br />
b) Avstanden mellom jorda <strong>og</strong> sola er<br />
150 000 000 km. Hvor mange ganger lengre<br />
enn dette er et lysa˚r?<br />
B1.86<br />
Tekst skrevet med skrifttypen Times New Roman<br />
i 12 punkter har en linjeavstand pa˚ ca. 0,5 cm<br />
per linje.<br />
a) En tettskrevet tekst med Times New Roman<br />
omfatter 45 linjer. Hvor mange centimeter av<br />
arkets høyde ga˚r med til tekst?<br />
b) Eirin har fa˚tt utlevert en artikkel hun mener<br />
ma˚ være minst en halv kilometer lang.<br />
Hvor mange sider er i sa˚ fall artikkelen pa˚?<br />
(Artikkelen er skrevet pa˚ A4-ark i 12 punkts<br />
Times New Roman med vanlig linjeavstand.)<br />
c) Eirin overdrev litt – artikkelen er bare pa˚ 98 sider.<br />
Hvor mange meter lang er den da?<br />
1.3 Omkrets ^ hele veien rundt<br />
A1.87<br />
Regn ut omkretsen av et rektangel der<br />
a) b ¼ 10 cm <strong>og</strong> l ¼ 2dm<br />
b) b ¼ 2m <strong>og</strong>l ¼ 500 cm<br />
c) b ¼ 240 mm <strong>og</strong> l ¼ 0,8 m<br />
A1.88<br />
Regn ut omkretsen av en sirkel der<br />
a) r ¼ 5cm b) r ¼ 8,5 dm<br />
c) d ¼ 10 mm<br />
A1.89<br />
Regn ut omkretsen av figurene:<br />
a)<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 33<br />
b)<br />
5 cm<br />
5 cm<br />
5 cm
c)<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
5,5 cm 4,0 cm<br />
5,0 cm<br />
12,3 mm<br />
5,0 cm<br />
123 mm<br />
g) 45 m<br />
h)<br />
45 m<br />
45 m 500 dm<br />
250 dm<br />
6540 cm<br />
A1.90<br />
Ma˚l <strong>og</strong> regn ut omkretsen av<br />
a) tavla<br />
b) en dataskjerm<br />
c) en pult<br />
d) toppen av en kopp<br />
e) en ska˚l<br />
f) gulvet i klasserommet<br />
6,5 cm<br />
A1.91<br />
Vi skal dekke et bord til 20 personer.<br />
Hver person trenger 60 cm bordplass.<br />
a) Hvor mange meter bordplass trengs det?<br />
b) Vi har to bord som er 3 meter lange <strong>og</strong> 1 meter<br />
brede. Hvor mange personer fa˚r vi plass til rundt<br />
bordene na˚r de sta˚r fritt?<br />
c) Borddukene skal være 40 % større enn bordet<br />
i bredden <strong>og</strong> 13 % lengre enn bordet.<br />
Hvor lange <strong>og</strong> hvor brede blir hver av dukene?<br />
d) Hvor mange kvadratmeter ma˚ler dukene<br />
til sammen?<br />
A1.92<br />
Du har bestemt deg for a˚ prøve ut pariserhjulet til<br />
Tummelumsk. Radien i hjulet er 21 m.<br />
a) Hvor mange meter har du beveget deg etter<br />
30 runder med hjulet?<br />
London Eye er et av verdens største pariserhjul<br />
med en diameter pa˚ rundt 130 m.<br />
b) Hvor langt har du beveget deg etter sju runder<br />
med dette hjulet?<br />
c) Hvor mange runder med London Eye tilsvarer<br />
30 runder med Tummelumsk-hjulet?<br />
B1.93<br />
Regn ut omkretsen av figurene:<br />
a)<br />
b)<br />
20 cm<br />
40 cm<br />
34 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
B1.94<br />
Et avlangt bord er formet som et rektangel med<br />
en halvsirkel i hver ende. Bordet er 2 m langt <strong>og</strong><br />
1 m bredt.<br />
2 m<br />
1 m<br />
Hvor mange personer er det plass til rundt bordet<br />
na˚r hver person skal ha 60 cm?<br />
B1.95<br />
Regn ut omkretsen av figurene:<br />
a)<br />
b)<br />
5 cm<br />
c)<br />
6 cm<br />
12 cm<br />
d)<br />
2 dm<br />
2 dm 1 dm<br />
7 cm<br />
1 dm<br />
B1.96<br />
Big Ben er navnet pa˚ uret pa˚ parlamentsbygningen<br />
i London. Minuttviseren i uret er omtrent 4 m lang.<br />
Hvor langt beveger spissen av minuttviseren seg<br />
i løpet av 4 minutter?<br />
1.4 FlatemÔl<br />
A1.97<br />
Gjør om til kvadratmeter:<br />
a) 6000 mm2 b) 324 cm2 c) 0,034 km 2<br />
d) 1,35 dm 2<br />
e) 6700 cm2 f) 0,405 km 2<br />
A1.98<br />
Gjør om til kvadratcentimeter:<br />
a) 3000 mm2 b) 0;30 m2 c) 0;034 dm 2<br />
d) 1;35 dm 2<br />
e) 6700 mm 2 f) 0;0405 m 2<br />
A1.99<br />
Gjør om til kvadratdesimeter:<br />
a) 7000 mm2 b) 0;20 m2 c) 0;040 m 2 d) 10;35 cm 2<br />
e) 68 000 mm 2 f) 0;45 m 2<br />
B1.100<br />
a) Hvor mange kvadratmeter er en tomt<br />
pa˚ 18 ma˚l?<br />
b) Johan eier en tomt pa˚ 1,7 hektar. Sofie har<br />
en tomt pa˚ 2km 2 . Hvem av dem eier<br />
mest land?<br />
c) Ka˚re eier to tomter: en tomt pa˚ 2000 m2 <strong>og</strong><br />
en annen pa˚ 4ma˚l. Hvor mange kvadratmeter<br />
land eier han til sammen?<br />
B1.101<br />
Oslo kommune har et areal pa˚ om lag 454 km 2 .<br />
a) Hvor mange kvadratmeter svarer det til?<br />
b) Gjør om til enten ma˚l eller hektar.<br />
Hva er mest praktisk?<br />
1.5 Areal av enkle figurer<br />
A1.102<br />
Regn ut arealet av et rektangel med<br />
a) lengde 23 cm <strong>og</strong> bredde 17 cm<br />
b) lengde 0;85 m <strong>og</strong> bredde 55 cm<br />
c) lengde 0;75 m <strong>og</strong> bredde 7,2 dm<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 35
A 1.103<br />
Regn ut arealene av figurene nedenfor<br />
i kvadratcentimeter.<br />
Husk at 1 inch (in) ¼ 1 tomme ¼ 2;54 cm,<br />
1 fot ¼ 30;48 cm.<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
15 cm<br />
25 cm<br />
1,5 cm<br />
1 dm<br />
1 in<br />
e) 25 dm<br />
f)<br />
10 dm<br />
15 in<br />
5 m<br />
1 fot<br />
1,1 dm<br />
1 in<br />
A1.104<br />
a) Regn ut arealet av en sirkel med radius 15 cm.<br />
b) Regn ut arealet av en sirkel med diameter 2 dm.<br />
c) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje 2 dm<br />
<strong>og</strong> høyde 5 cm.<br />
A1.105<br />
a) Et blad har formatet 20;8 cm 27;8 cm.<br />
Hvor stort areal har en side i bladet?<br />
b) En bladside har et tekstfelt pa˚ 16 cm 6;5 cm.<br />
Hvor stort areal dekker teksten?<br />
c) Resten av siden skal brukes til et bilde.<br />
Hvor stort areal kan bildet dekke?<br />
d) Er det teksten eller bildet som sta˚r<br />
i fokus pa˚ siden?<br />
A1.106<br />
I et trapes er den ene av de to parallelle sidene 7 m.<br />
Den andre siden er dobbelt sa˚ lang. Avstanden<br />
mellom de to parallelle sidene er 30 dm.<br />
Finn arealet av trapeset i kvadratmeter.<br />
A 1.107<br />
a) En porselenstallerken har form som en sirkel<br />
med radius 1,5 dm. Regn ut arealet av tallerkenen.<br />
b) Hvor stort blir arealet av a˚tte slike tallerkener<br />
til sammen?<br />
c) Hvor mange av disse tallerkenene kan vi dekke<br />
pa˚ et rektangulært bord som er 8 dm bredt <strong>og</strong><br />
12,5 dm langt?<br />
A1.108<br />
Radien i en sirkel er 1 dm.<br />
a) Hvor mange ganger større blir arealet av sirkelen<br />
dersom radien øker til det femdobbelte?<br />
b) Hvor mange ganger mindre blir arealet av sirkelen<br />
dersom radien minker til en firedel?<br />
B1.109<br />
Ei geit er tjoret fast til en pa˚le med et tau.<br />
Tauet er 6 m langt. Bakken er dekket av gress.<br />
a) Hvor stort areal har geita a˚ beite pa˚?<br />
b) Hvor mange ekstra kvadratmeter fa˚r geita a˚<br />
beite pa˚ dersom vi forlenger tauet med 3 m?<br />
36 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
1.6 Areal av<br />
sammensatte figurer<br />
A1.110<br />
Regn ut arealet av figurene nedenfor:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
6 cm<br />
11,0 cm<br />
70 cm<br />
11,0 dm<br />
25,4 m<br />
12 cm<br />
110,0 dm<br />
18,5 m<br />
A 1.111<br />
Regn ut arealet av figuren:<br />
65,5 cm<br />
15,5 dm<br />
10,5 dm<br />
A1.112<br />
Skissen nedenfor viser ei hytte:<br />
1,4 m<br />
0,8 m<br />
2,5 m<br />
2,0 m<br />
2,0 m<br />
3,5 m<br />
0,9 m<br />
a) Regn ut arealet av de to veggene uten dør<br />
<strong>og</strong> vindu.<br />
b) Regn ut arealet av hele taket medregnet<br />
kortveggene.<br />
2,4 m<br />
A1.113<br />
Figurene nedenfor viser flaggene til Sverige <strong>og</strong><br />
Kongo:<br />
4<br />
2<br />
4<br />
2<br />
5 2 9 1 2<br />
a) Regn ut arealet av det gule omra˚det i det svenske<br />
flagget. Ga˚ ut fra at alle ma˚l er i desimeter.<br />
b) Regn ut arealet av det gule omra˚det i Kongos<br />
flagg. Ga˚ ut fra at alle ma˚l er i meter.<br />
c) Hvilket av de to flaggene har størst andel<br />
gulfarge?<br />
B1.114<br />
Regn ut arealet av figurene:<br />
a) 20 cm<br />
b)<br />
20 cm<br />
15 cm<br />
2 dm<br />
2 dm 1 dm<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 37<br />
1 dm
c)<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
20 cm<br />
6 cm<br />
12 cm<br />
7 cm<br />
40 cm<br />
B1.115<br />
Yang <strong>og</strong> Yin symboliserer en idé innenfor taoismen<br />
om balansen mellom motsetningene i universet<br />
(jord <strong>og</strong> himmel, dag <strong>og</strong> natt, ild <strong>og</strong> vann osv.).<br />
Figuren viser en forenklet versjon av symbolet for<br />
Yang <strong>og</strong> Yin:<br />
Arealet av den store sirkelen er delt i fire like store<br />
deler. Bevis dette ved regning.<br />
B1.116<br />
a)<br />
4<br />
4<br />
Regn ut arealet av de røde feltene pa˚ figur a <strong>og</strong> b.<br />
1.7 MÔlenheter for vekt <strong>og</strong> volum<br />
A1.117<br />
Gjør om til en passende enhet <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 24 g þ 2g 7000 mg þ 0;003 kg<br />
b) 0;03 ml 29 l þ 13 dl þ 1hl<br />
c) 1 ml þ 1clþ1dl 0;110 l<br />
A1.118<br />
I kraftig regnvær utgjør fire vanndra˚per 1 ml vann.<br />
I en regnma˚ler samlet det seg 0,38 liter vann.<br />
a) Hvor mange vanndra˚per var det i ma˚leren?<br />
b) Hva blir volumet av 1 million vanndra˚per?<br />
A1.119<br />
a) Vera har et smykke i hvitt gull som veier<br />
4800 mg. Hvor mange gram veier smykket?<br />
b) Hvitt gull besta˚r av sølv, platina, palladium<br />
<strong>og</strong> gull. Ifølge reglene skal gullinnholdet<br />
utgjøre minst 585 promille av den totale vekta.<br />
Hvor mange karat reint gull er det minst<br />
i smykket?<br />
B1.120<br />
Vera har <strong>og</strong>sa˚ en forlovelsesring av reint gull.<br />
Ringen veier 4 g. Regn ut volumet av ringen na˚r<br />
gull har massetettheten ¼ 19;3 g=cm 3 .<br />
38 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER<br />
b)<br />
5
B1.121<br />
a) Eva <strong>og</strong> Olav har leid tilhenger for a˚ frakte sand<br />
til ga˚rdsplassen sin. Maksimal lasteevne for<br />
tilhengeren er 500 kg, <strong>og</strong> ett spadetak svarer til<br />
0,6 kg. Hvor mange spadetak trengs det for a˚<br />
fylle tilhengeren?<br />
b) Stone er et amerikansk vektma˚l.<br />
1 stone ¼ 6,35 kg. Vil en tilhenger med en<br />
lasteevne pa˚ 150 stone ta˚le en last som svarer<br />
til 920 spadetak à 0,6 kg?<br />
B1.122<br />
I USA <strong>og</strong> Storbritannia bruker en ofte volumenheten<br />
gallon. En britisk gallon svarer til 4,546 l,<br />
mens en amerikansk gallon svarer til 3,785 l.<br />
a) Hvor mye bensin ma˚lt i amerikanske gallon<br />
kan du fylle pa˚ en biltank som rommer 60 l?<br />
b) Hvor mye diesel ma˚lt i britiske gallon kan du<br />
fylle pa˚ en lastebiltank som rommer 200 l?<br />
c) Hvor mange amerikanske gallon svarer til en<br />
britisk gallon?<br />
1.8 NÔr 10 betyr 2<br />
A1.123<br />
Skriv tallene som en sum av tierpotenser:<br />
a) 1070 b) 1239 c) 10 000<br />
d) 650 857 e) 289 f) 8000<br />
A1.124<br />
Skriv de 32 første tallene i totallssystemet.<br />
Finner du noe system for a˚ skrive dem raskt ned?<br />
A1.125<br />
Gjør om tallene fra totalls- til titallssystemet:<br />
a) 10102 b) 1012<br />
c) 11002 d) 10002<br />
A1.126<br />
Gjør om tallene fra totalls- til titallssystemet:<br />
a) 11102 b) 100012<br />
c) 1000012 d) 1001112<br />
A1.127<br />
Skriv tallene i totallssystemet:<br />
a) 4 b) 11 c) 20<br />
d) 6 e) 16<br />
A1.128<br />
Skriv tallene i totallssystemet:<br />
a) 25 b) 31 c) 60<br />
d) 254 e) 64<br />
A1.129<br />
a) Hvilke tall i totallssystemet har fire siffer<br />
(kan skrives ved hjelp av nøyaktig fire biter)?<br />
b) Hvor mange flere tall kan vi skrive na˚r vi har<br />
fem biter til disposisjon?<br />
B1.130<br />
Hva er det største tallet vi kan skrive ved<br />
hjelp av 3 byte?<br />
B1.131<br />
Bruk regneark. Finner du en effektiv ma˚te a˚ lage<br />
en tabell pa˚ som oversetter mellom binære tall<br />
<strong>og</strong> desimaltall? Lag tabellen for de 256 første<br />
tallene (dvs. med a˚tte biter) <strong>og</strong> skriv dem ut for<br />
framtidig bruk.<br />
B1.132<br />
Ascii-tabellen gjør om bokstaver <strong>og</strong> symboler<br />
til tall for datamaskiner.<br />
a) Hva er desimalverdien til krøllalfa na˚r<br />
binærkoden er 10000002?<br />
b) Stor S har ascii-verdien 83.<br />
Hva er binærkoden til S?<br />
c) Finn hele ascii-alfabetet i leksikon eller<br />
pa˚ nettet.<br />
B1.133<br />
Kari har surfet pa˚ thinkgeek.com <strong>og</strong> funnet akkurat<br />
det hun trenger. Det morsomme er at binær-koden<br />
for hele produktet er oppgitt. Pa˚ produktet sta˚r det<br />
0101010001100101011100000111000001100101<br />
Hva ønsker Kari seg? (Tips: Del først opp i byte.)<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 39
B1.134<br />
Til jul gir Kari denne dørmatta til foreldrene sine.<br />
Hva sta˚r det pa˚ matta?<br />
B1.135<br />
Ingeborg synes thinkgeek.com mangler en viktig ting:<br />
en kopp der ordet «kaffe» er skrevet i binærkode.<br />
Hun vil spesialbestille en slik kopp fra et reklametrykkeri,<br />
men først ma˚ hun finne ut hvordan «kaffe»<br />
skal skrives i binærkode.<br />
Ingeborg har funnet at k har binærkoden 75,<br />
a har 97, f har 102 <strong>og</strong> e har 101. Hjelp Ingeborg<br />
med a˚ oversette kaffe til binærkode.<br />
B1.136<br />
Design et binærkode-dekorert produkt for<br />
thinkgeek.com. Hva slags produkt skal det være?<br />
Hva skal sta˚ pa˚ det?<br />
Oversett selv teksten til binærkode.<br />
B1.137<br />
Undersøk om de to regnestykkene i totallssystemet<br />
stemmer:<br />
a) 1001<br />
+ 111<br />
= 10000<br />
b) 1001 ⋅ 111 = 1111<br />
1001<br />
1001<br />
1001<br />
11111<br />
c) Hva blir svaret i a dersom vi trekker fra<br />
i stedet for a˚ legge sammen?<br />
Miniprosjekt 1.138<br />
Ta et A4-ark <strong>og</strong> skriv en stor 0 som du fester pa˚<br />
ryggen. Ta enda et A4-ark <strong>og</strong> skriv et stort 1-tall<br />
som du fester pa˚ magen. Lag en gruppe pa˚ 1 byte.<br />
a) Dere skal na˚ lage de tallene som klassen ber<br />
dere om.<br />
b) Bytt roller. Byte-gruppa bestemmer hvilke tall<br />
de skal forme i totallssystemet. Resten av<br />
klassen konkurrerer om a˚ være først ute med<br />
a˚ oversette tallene til titallssystemet.<br />
1.9 Megastore tall<br />
A1.139<br />
Gjør om til byte (B) eller hertz (Hz):<br />
a) 2;8 GHz b) 1024 MB c) 5;12 TB<br />
d) 2048 MB e) 320 GB f) 3;06 MHz<br />
A1.140<br />
Skriv tallene pa˚ standardform<br />
a) 160 000 000 000 byte b) 6 200 000 piksler<br />
c) 32 000 000 byte d) 1 400 000 000 hertz<br />
e) 256 000 byte<br />
A1.141<br />
Jørgen ønsker seg en bærbar datamaskin med<br />
Intel Pentium 4 prosessor 630HT (3,0 GHz),<br />
1024 MB minne <strong>og</strong> 100 GB harddisk.<br />
Hvor mange hertz har prosessoren, <strong>og</strong><br />
hvor mange byte minne <strong>og</strong> harddiskkapasitet<br />
har datamaskinen?<br />
B1.142<br />
a) Hvor mange megapiksler er det i et bilde med<br />
2480 piksler 3508 piksler?<br />
b) Dersom bildet ma˚ler 21 cm 29;7 cm,<br />
hvor mange dpi (piksler per tomme) er bildet i?<br />
(En tomme er 2;54 cm.)<br />
B1.143<br />
Hvor mange bilder pa˚ 6,2 megapiksler er det plass<br />
til med en minnebrikke pa˚ 512 MB na˚r fargedybden<br />
er 24 biter per piksel?<br />
40 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
B1.144<br />
En CPU («Central Processing Unit») er hovedprosesseringsenheten<br />
i en datamaskin. Moores<br />
lov sier at CPU-ens prosesseringskraft vil doble seg<br />
annethvert a˚r.<br />
10,000,000,000<br />
1,000,000,000<br />
100,000,000<br />
10,000,000<br />
1,000,000<br />
100,000<br />
10,000<br />
2,300<br />
Antall transistorer per integrerte krets<br />
4004 8008<br />
Moores lov<br />
Antall transistorer som fordobles hver 24. måned<br />
8086<br />
286<br />
386<br />
1971 1980 1990 2000 2004<br />
486<br />
År<br />
Pentium 4<br />
Itanium 2<br />
(9 MB cache)<br />
Itanium 2<br />
Itanium<br />
Pentium III<br />
Pentium II<br />
Pentium<br />
Dersom 3 GHz var vanlig i 2005, hvor mange<br />
GHz er da vanlig i<br />
a) 2011 b) 2015 c) 2023<br />
Blandede oppgaver<br />
A1.145<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av en sirkel med<br />
a) radius 15,9 cm b) diameter 8 m<br />
A1.146<br />
Et tøystykke har ma˚l <strong>og</strong> form som vist pa˚ figuren:<br />
35 cm<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av tøystykket.<br />
A1.147<br />
a) Et kvadrat har en omkrets pa˚ 20 m.<br />
Regn ut arealet av kvadratet.<br />
b) I et rektangel er lengden dobbelt sa˚ lang som<br />
bredden. Omkretsen av rektanglet er 30 dm.<br />
Regn ut arealet av rektanglet.<br />
A1.148<br />
En gressplen har form som en sirkel med r ¼ 2m.<br />
a) Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av plenomra˚det.<br />
b) Plenen er del av et hageomra˚de. Det skal legges<br />
et 20 cm bredt steinbed i form av et kvadrat<br />
rundt plenen. Regn ut den ytre omkretsen av<br />
steinbedet.<br />
A1.149<br />
Johan eier et landomra˚de i Norge med arealet<br />
1906 m2 . I tillegg eier han et omra˚de pa˚ 0;020 km 2<br />
i England.<br />
a) Hvor mange ma˚l land eier Johan totalt?<br />
b) Johan ønsker a˚ bygge curlingbaner pa˚ tomta<br />
i Norge. En curlingbane har lengden 44,5 m <strong>og</strong><br />
bredden 4,75 m. Hvor mange curlingbaner fa˚r<br />
han plass til pa˚ den norske tomta?<br />
c) Pa˚ den engelske tomta ønsker Johan a˚ bygge<br />
landingsplasser for helikoptre. Hver landingsplass<br />
skal være sirkulær med radius 25 m.<br />
Hvor mange slike landingsplasser kan han<br />
bygge?<br />
d) Hvilken usikkerhet ligger i svarene du fikk<br />
i b <strong>og</strong> c?<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 41
A1.150<br />
Den ene versjonen av maleriet «Le Moulin de la<br />
Galette» av Auguste Renoir finnes ved Musee<br />
d’Orsay i Paris. Bildet er 131 cm bredt <strong>og</strong> 175 cm<br />
langt.<br />
a) Regn ut arealet av bildet i kvadratcentimeter.<br />
b) Hvor mange kvadratmeter svarer det til?<br />
b) Inch (in) eller tomme er et gammelt britisk<br />
lengdema˚l. 1 tomme svarer til 2,54 cm.<br />
Hvor stort er arealet av «Le Moulin de la Galette»<br />
ma˚lt i kvadrattommer ðin 2 Þ?<br />
A1.151<br />
Pa˚ «Team Building»-konferanser i reklamebyra˚et<br />
Svada bruker en runde bord med diameter lik 5 m.<br />
a) Regn ut omkretsen av et slikt konferansebord.<br />
b) Hvor stort er arealet av bordet?<br />
c) Hvor mange medarbeidere er det plass til<br />
rundt bordet na˚r vi regner at hver person<br />
opptar 70 cm?<br />
B1.152<br />
I det typ<strong>og</strong>rafiske ma˚lsystemet er<br />
1 punkt ¼ 0;376 mm <strong>og</strong> 1 cicero ¼ 12 punkter.<br />
a) Ei bok har en spaltebredde pa˚ 12,6 cm.<br />
Hvor mange cicero er det?<br />
Et A4-ark har formatet 210 mm 297 mm.<br />
500 slike ark veier 2495 g.<br />
b) Regn ut arkenes gramvekt ðm˚alt i g=m2Þ. c) Et manuskript er skrevet pa˚ A4-ark.<br />
Manuskriptet teller 168 ark <strong>og</strong> er skrevet<br />
pa˚ et papir med gramvekt lik 90 g=m2 .<br />
Hvor mye veier manuskriptet?<br />
Rund av til hele gram.<br />
d) Anne laster ned en fil pa˚ 31;5 MB fra Internett.<br />
Det tar 3;5 minutter. Hvor stor er den<br />
gjennomsnittlige overføringsfarten i kilobiter<br />
per sekund (kbps)?<br />
B1.153<br />
Løs regnestykkene i totallssystemet.<br />
Hvordan kan du kontrollere svarene?<br />
a) 10012 þ 1012 b) 10012 1012<br />
c) 10012 1012 d) 1011012 : 1012<br />
B1.154<br />
Et smykkeanheng i rent gull er designet som<br />
figuren viser.<br />
Diameteren av den ytre sirkelen er 3 cm, <strong>og</strong><br />
diameteren av den indre er 2 cm.<br />
a) Finn omkretsen til hver av de to sirklene.<br />
b) Anhenget har fire hull. Regn ut det samlede<br />
arealet av disse hullene.<br />
c) Hva blir omkretsen av de fire hullene<br />
til sammen?<br />
d) Anhenget veier 6 g. Hvor mange karat tilsvarer<br />
dette? ð1 karat ¼ 200 mgÞ<br />
e) Hvor mange milliliter rent gull besta˚r anhenget<br />
av? ð gull ¼ 19;3 g=mlÞ<br />
42 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
B1.155<br />
Et baderom har ma˚l <strong>og</strong> form som vist pa˚ figuren.<br />
I det ene hjørnet er det montert et dusjkabinett med<br />
form som en kvartsirkel med radius 1 m.<br />
1,6 m<br />
2,6 m<br />
2,2 m<br />
2,0 m<br />
a) Regn ut omkretsen av badet.<br />
b) Regn ut arealet av badet.<br />
c) Gulvet skal flislegges med kvadratiske<br />
fliser med side lik 5 cm.<br />
Hvor mange fliser trengs til dette?<br />
d) Omtrent hvor mange fliser ligger innenfor<br />
dusjkabinettet?<br />
B1.156<br />
Enheten dpi viser hvor finkornet et bilde er.<br />
Dpi sta˚r for «dots per inch», som betyr piksler<br />
per tomme. En tomme er 2;54 cm.<br />
Petter skal skanne inn et bilde til en brosjyre.<br />
For at bildet skal fungere godt pa˚ trykk, bør det<br />
ha en oppløsning pa˚ 300 dpi. Petters bilde er<br />
i virkeligheten 13 cm 9 cm.<br />
a) Hvor mange piksler blir dette bildet na˚r Petter<br />
skanner det inn med oppløsningen 300 dpi?<br />
b) Petter ønsker a˚ forstørre bildet. For at ikke<br />
det forstørrede bildet skal ha da˚rligere<br />
kvalitet, dobler han oppløsningen.<br />
Hvor mange piksler fa˚r bildet na˚?<br />
c) Fargedybden er 24 biter per piksel. Det vil<br />
si at det trengs 3 byte for a˚ lagre en piksel.<br />
Hvor stor plass tar det a˚ lagre de to bildene?<br />
B1.157<br />
Et bilde pa˚ 917 600 piksler skal ha ma˚lene<br />
77;611 mm 50;8 mm. Hvor mange dpi<br />
har dette bildet? Tror du bildet skal brukes<br />
pa˚ web eller i ei bok?<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 43