Sigma Bygg- og anleggsteknikk, bokmål - Gyldendal Norsk Forlag
Sigma Bygg- og anleggsteknikk, bokmål - Gyldendal Norsk Forlag
Sigma Bygg- og anleggsteknikk, bokmål - Gyldendal Norsk Forlag
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Karl Erik Sandvoll m.fl.<br />
<strong>Sigma</strong>1<br />
Helse- <strong>og</strong> sosialfag<br />
<strong>Gyldendal</strong> undervisning
# <strong>Gyldendal</strong> <strong>Norsk</strong> <strong>Forlag</strong> AS, 2006<br />
1. utgave, 1. opplag<br />
Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1P for det<br />
yrkesfaglige utdanningspr<strong>og</strong>rammet bygg- <strong>og</strong> <strong>anleggsteknikk</strong>.<br />
Printed in Norway by PDC Tangen, 2006<br />
ISBN 978-82-05-34942-1<br />
ISBN 82-05-34942-8<br />
Redaktør: Ellen Semb<br />
Bilderedaktør: Sissel Falck<br />
Design: Gamma grafisk Vegard Brekke <strong>og</strong> Hild Mowinckel<br />
Sats <strong>og</strong> layout: Gamma grafisk Vegard Brekke, PrePress as<br />
Figurer: Gamma grafisk Vegard Brekke, forfatterne<br />
Omslagsdesign: Hild Mowinkel<br />
Omslagsillustrasjon, omslagsbilde: Ryan/Beyer/Getty Images<br />
Illustratører: Anja Ruud<br />
Bilder, illustrasjoner:<br />
Side 4: Ole Moksnes AS, s. 8: Peter Till/Getty Images, s. 12: Joel Benard/Scanpix, s. 14: Scanpix,<br />
s. 15: Corbis/Scanpix, s. 18: ø.Ole Moksnes AS, n.George Widman/Scanpix, s. 19: Jason Reed/<br />
Scanpix, s. 21: GBA, s. 25: Jean-Yves Bruel/Masterfile//Scanpix, s. 27: t.v. CERN/Science Photo<br />
Library/GV-Press, t.h. Dylan Martinez/Scanpix, s. 31: Ole Moksnes AS, s. 32: Photodisc/GBA,<br />
s. 34: Corel/GBA, s. 42: Sverre A.Børretzen/Scanpix, s. 46: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 47: Stanley<br />
Brown/Getty Images, s. 55: Scanpix, s. 61: Espen Sjølingstad Hoen/Scanpix, s. 64: Hugh Sitton/Getty<br />
Images, s. 80: Ole Moksnes AS, s. 81: Helene Aune, s. 83: Berit Roald/Scanpix, s 84: Anne<br />
Langdalen, s. 86: Daly & Newton/Getty Images, s. 92 n., 93 ø.t.v., 101 n.t.v.: Ulf Carlsson,<br />
s. 102 t.h., 104 ø.t.h.: John Arne Eidsmo, s. 110: Jason Reed/Scanpix, s. 149: n.t.v. Ole Moksnes AS,<br />
s. 150: t.v.# Casterman/Distr. by PIB Copenhagen 2006, t.h. Heimdal Eiendomsmegling,<br />
s. 152: GBA, s. 154: #Succession Pablo Picasso/BONO 2006. Pablo Picasso: Violin and Grapes,<br />
1912. New York Museum of Modern Art (MoMA). Olje pa˚ lerret, 50,6 x 61 cm. Mrs. David<br />
M.Levy Bequest.32.1960. #Foto SCALA, Firenze, s. 157: Knut Falch/Scanpix,<br />
s. 159, s.160: Ole Moksnes AS, s.160: n.t.h. E.H.Shepard Copyright under the Berne<br />
Convention.# by Reed International Books Ltd., s. 161: Photodisc/GBA, s.163: : Liv Hegna/<br />
Scanpix, s.164: Ole Moksnes AS, s. 165: Ragnar Axelsson/Scanpix, s.174,176: Ole Moksnes AS,<br />
s. 178: Adam Gault/Getty Images, s. 180: Ole Moksnes AS, s. 188: Trygve Indrelid/Scanpix,<br />
s. 191: GBA/Photodisc, s. 194: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 206, 207: Diplom-is.<br />
Det ma˚ ikke kopieres fra denne boka i strid med a˚ndsverkloven eller avtaler om<br />
kopiering innga˚tt med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til a˚ndsverk.<br />
Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar <strong>og</strong> inndragning,<br />
<strong>og</strong> kan straffes med bøter eller fengsel.<br />
Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til:<br />
<strong>Gyldendal</strong> Undervisning<br />
Postboks 6860 St. Olavs plass<br />
0130 Oslo<br />
E-post: undervisning@gyldendal.no
FORORD<br />
Denne matematikkboka er skrevet for elever som har valgt det yrkesfaglige<br />
utdanningspr<strong>og</strong>rammet for bygg- <strong>og</strong> <strong>anleggsteknikk</strong>. Boka er en alt-i-ett-bok<br />
som inneholder lærestoff <strong>og</strong> et rikt utvalg av oppgaver.<br />
Vi har lagt stor vekt pa˚ a˚ gi boka en ryddig struktur. Hvert delemne med forklarende<br />
tekst, eksempler <strong>og</strong> aktiviteter er samlet i oppslag over en dobbeltside. Pa˚ neste side<br />
ser du hvordan dette er bygd opp. Delemnene er laget ut fra en helhetstanke, der<br />
tekst, eksempler, figurer <strong>og</strong> aktiviteter til sammen skal hjelpe deg til a˚ na˚ ma˚lene<br />
i læreplanen. Mange oppslag inneholder en utfordring som kan være med pa˚ a˚ gjøre<br />
faget mer spennende. Her kan du <strong>og</strong>sa˚ fa˚ utfordret din egen forsta˚else.<br />
Kapitlene blir innledet med læreplanma˚l <strong>og</strong> en kort, motiverende tekst. Etter<br />
oppslagene i hvert kapittel presenterer vi et større sammensatt eksempel. Det skal<br />
hjelpe deg til a˚ sette delkunnskapen inn i en helhet. Deretter følger et sammendrag <strong>og</strong><br />
test-deg-selv-oppgaver. Til slutt i hvert kapittel finner du flere graderte øvingsoppgaver<br />
sortert etter emne, <strong>og</strong> blandede oppgaver fra hele kapitlet.<br />
Oppslagene 5.6 Finne lengder ved hjelp av trigonometri <strong>og</strong> 5.7 Mer trigonometri<br />
omhandler emner som ikke kreves i forhold til 1P-læreplanen. Vi har allikevel valgt a˚<br />
ta med disse emnene fordi de er sentrale innenfor felles pr<strong>og</strong>ramfag i VG1 <strong>Bygg</strong>- <strong>og</strong><br />
<strong>anleggsteknikk</strong>. Disse oppslagene er merket med stjerne<br />
Denne boka skal hjelpe deg til a˚ løse aktuelle matematiske problemstillinger innen<br />
fagomra˚det bygg- <strong>og</strong> <strong>anleggsteknikk</strong>, <strong>og</strong> i din hverdag i <strong>og</strong> utenfor skolen. Læreplanma˚lene<br />
sier at du skal kunne tolke, bearbeide <strong>og</strong> vurdere det matematiske<br />
innholdet i ulike tekster, <strong>og</strong> at du skal kunne bruke matematiske metoder <strong>og</strong><br />
hjelpemidler til a˚ løse problemer fra ulike fag- <strong>og</strong> samfunnsomra˚der. Vi har i denne<br />
boka valgt a˚ ha med et bredt spekter av oppgaver, alt fra tradisjonelle regneoppgaver<br />
til oppgaver som krever andre løsningsstrategier. Miniprosjektene er et eksempel<br />
pa˚ slike oppgaver. Det kan være a˚ utforske matematiske problemer eller finne<br />
informasjon i andre bøker <strong>og</strong> pa˚ nettet. Denne informasjonen ma˚ du bearbeide <strong>og</strong><br />
sammenfatte, for sa˚ a˚ presentere for andre. Vi ha˚per dette skal føre til faglige<br />
samtaler om matematikk – gode muntlige ferdigheter er en forutsetning for a˚ lære.<br />
Vi ønsker deg velkommen til www.gyldendal.no/sigma. Nettstedet inneholder sider<br />
ba˚de for elever <strong>og</strong> lærere. Elevsidene presenterer blant annet interaktive oppgaver <strong>og</strong><br />
fordypningsstoff. Pa˚ lærersidene finnes det forslag til undervisningsopplegg,<br />
tempoplan, omtale av kapitler, prøveforslag <strong>og</strong> annet.<br />
I læreplanen heter det: «Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende, kreative<br />
<strong>og</strong> problemløsende aktiviteter <strong>og</strong> ferdighetstrening.» Vi ha˚per dere griper<br />
mulighetene som boka <strong>og</strong> nettstedet gir, slik at matematikkopplæringen kan forega˚<br />
pa˚ en aktiv ma˚te.<br />
Vi vil takke konsulenter <strong>og</strong> andre bidragsytere for konstruktive innspill <strong>og</strong> gode ra˚d<br />
underveis.<br />
Oslo, mars 2006<br />
Bjørn Fosdahl Wenche Dypbukt Snorre Evjen Arne S. Kaldahl<br />
Silja Mustaparta Rubi Skøyum Karin Øiseth<br />
FORORD 3
INNHOLD<br />
Kapittel 1<br />
M—LING OG BEREGNINGER<br />
1 Problemløsing............................. 10<br />
2 Overslag, avrunding <strong>og</strong><br />
antall gjeldende siffer ..................... 12<br />
3 Ma˚lenheter for lengde ..................... 14<br />
4 Omkrets................................... 16<br />
5 Flatema˚l................................... 18<br />
6 Areal av enkle figurer ..................... 20<br />
7 Areal av sammensatte figurer ............. 22<br />
8 Ma˚lenheter for masse <strong>og</strong> volum ........... 24<br />
9 Sammensatt eksempel ..................... 26<br />
SAMMENDRAG .................................. 28<br />
TEST DEG SELV .................................. 29<br />
Òvingsoppgaver ............................. 30<br />
Kapittel 2<br />
REGNING OG FORMLER<br />
1 Regnerekkefølge .......................... 42<br />
2 Formelregning............................. 44<br />
3 Veien om 1. ............................... 46<br />
4 Forholdstall <strong>og</strong> brøker..................... 48<br />
5 Lag dine egne formler..................... 50<br />
6 Sammensatte eksempler ................... 52<br />
SAMMENDRAG .................................. 54<br />
TEST DEG SELV .................................. 55<br />
Òvingsoppgaver ............................. 56<br />
Kapittel 3<br />
PROSENT<br />
1 Hvor mange prosent er dette? ............. 66<br />
2 Prosentfaktor – hva er det? ................ 68<br />
3 Vekstfaktor – sparer deg for arbeid ........ 70<br />
4 Na˚r grunnlaget er ukjent .................. 72<br />
5 Prosentpoeng – ikke det samme som<br />
vanlig prosentregning ..................... 74<br />
6 Sammensatt eksempel ..................... 76<br />
SAMMENDRAG .................................. 78<br />
TEST DEG SELV .................................. 79<br />
Òvingsoppgaver ............................. 80<br />
Kapittel 4<br />
FORHOLD OG GRAFISKE SAMMENLIKNINGER<br />
1 Grafisk presentasjon ..................... 88<br />
2 Noen spesialtilfeller ..................... 90<br />
3 Kan vi stole pa˚ grafiske framstillinger? . . 92<br />
4 Proporsjonale størrelser .................. 94<br />
5 Omvendt proporsjonale størrelser ........ 96<br />
6 Sammensatt eksempel ................... 98<br />
SAMMENDRAG................................. 100<br />
TEST DEG SELV................................. 101<br />
Òvingsoppgaver............................ 102<br />
Kapittel 5<br />
MER OM M—LING OG AREAL<br />
1 Pytagoras’ setning ....................... 112<br />
2 Er hjørnet rett? .......................... 114<br />
3 Omkrets <strong>og</strong> areal ved hjelp av<br />
Pytagoras’ setning ....................... 116<br />
4 Formlikhet............................... 118<br />
5 Ma˚lestokk ............................... 120<br />
6* Finne lengder ved hjelp av<br />
trigonometri ............................. 122<br />
7 * Mer trigonometri ........................ 124<br />
8 Parallellperspektiv,<br />
grunnriss, oppriss <strong>og</strong> sideriss ............ 126<br />
9 Plan- <strong>og</strong> snittegninger ................... 128<br />
10 Perspektivtegning........................ 130<br />
11 Mangekanter ............................ 132<br />
12 Tesselering med regulære mangekanter . . 134<br />
13 Sammensatt eksempel ................... 136<br />
SAMMENDRAG................................. 138<br />
TEST DEG SELV................................. 139<br />
Òvingsoppgaver............................ 140<br />
6 INNHOLD
Kapittel 6<br />
VOLUM OG OVERFLATE<br />
1 Romma˚l.................................. 156<br />
2 Volum av prismer <strong>og</strong> sylindrer ........... 152<br />
3 Volum av kjegler, kuler <strong>og</strong> pyramider .... 160<br />
4 Volum av sammensatte figurer ........... 162<br />
5 Overflata av enkle <strong>og</strong><br />
sammensatte figurer ...................... 164<br />
6 Sammensatt eksempel .................... 166<br />
SAMMENDRAG ................................. 168<br />
TEST DEG SELV ................................. 169<br />
Òvingsoppgaver ............................ 170<br />
Kapittel 7<br />
ÒKONOMI<br />
1 Indekser ................................. 180<br />
2 Indeksformelen .......................... 182<br />
3 Reallønn <strong>og</strong> kroneverdi .................. 184<br />
4 Timelønn <strong>og</strong> akkord ..................... 186<br />
5 Provisjon, bonusordninger <strong>og</strong><br />
frynsegoder.............................. 188<br />
6 Lønn, feriepenger <strong>og</strong> skatt ............... 190<br />
7 Skatter <strong>og</strong> avgifter....................... 192<br />
8 Sparing .................................. 194<br />
9 La˚n...................................... 196<br />
10 Forbruksmuligheter ...................... 198<br />
11 Budsjett <strong>og</strong> regnskap .................... 200<br />
12 Sammensatt eksempel ................... 202<br />
SAMMENDRAG................................. 204<br />
TEST DEG SELV................................. 205<br />
Òvingsoppgaver............................ 206<br />
Fasit ........................................ 217<br />
Stikkord ................................... 238<br />
L×replan i matematikk ............... 240<br />
INNHOLD 7
1<br />
M—LING OG BEREGNINGER
1.1 ProblemlÖsing<br />
Du skal l×re<br />
^ forskjellige mÔter Ô lÖse matematiske problemer pÔ<br />
For a˚ bli god til a˚ løse matematiske problemer trenger du mye øving.<br />
Et problem kan løses pa˚ flere ma˚ter. Erfaring hjelper deg til a˚ velge en<br />
god løsningsmetode.<br />
EKSEMPEL 1<br />
Zabi <strong>og</strong> Bawan skal finne omkretsen av et rektangel. Zabi ma˚ler<br />
alle sidene <strong>og</strong> legger sammen, mens Bawan regner slik:<br />
ð2 þ 6; 5Þ 2 ¼ 17<br />
Hvordan tenker Bawan? Na˚r du skal finne omkretsen av dette lille<br />
rektanglet, er begge løsningene greie. Tenk deg at du skal finne<br />
omkretsen av klasserommet ved hjelp av en linjal pa˚ 15 cm.<br />
Hvordan vil du ga˚ fram?<br />
EKSEMPEL 2<br />
Lars, Aslak <strong>og</strong> Leif har vært sammen med mamma pa˚ CABO-sport<br />
<strong>og</strong> kjøpt fotballsko, fotball, keeperhansker <strong>og</strong> en drikkeflaske til<br />
hver. Drikkeflaskene skal de betale selv. Vel hjemme tar de fram<br />
kvitteringen for a˚ se hvor mye en drikkeflaske koster. De oppdager<br />
at prisen ikke vises. Hva skal de gjøre?<br />
Leif regner slik: 1310 750 290 180 ¼ 90 90 : 3 ¼ 30<br />
Aslak løser problemet pa˚ denne ma˚ten:<br />
750 þ 290 þ 180 þ 3x ¼ 1310<br />
1220 þ 3x ¼ 1310<br />
3x 90<br />
¼<br />
3 3<br />
x ¼ 30<br />
Lars tipper at en drikkeflaske koster 25 kroner. Mamma ringer til<br />
butikken for a˚ undersøke prisen. Hva ville du ha gjort?<br />
STRATEGIER:<br />
^ bruke sunn fornuft<br />
^forenkle<br />
^prÖve<strong>og</strong>feile<br />
^ lete etter mÖnster<br />
^v×resystematisk<br />
^tegnefigurer<br />
^gÔveienom1<br />
^sepÔenheter<br />
^ sortere opplysninger<br />
(hva vet jeg, <strong>og</strong> hva<br />
trenger jeg Ô vite)<br />
^<br />
^<br />
Kvittering<br />
fotballsko ............ 750,00<br />
fotball ................. 290,00<br />
keeperhansker ... 180,00<br />
3 drikkeflasker ....<br />
sum 1310,00<br />
10 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 3<br />
Tore tenker pa˚ et positivt heltall <strong>og</strong> ganger det med 2. Sa˚ tenker han<br />
pa˚ et annet positivt heltall, som han ganger med 3. Na˚r han legger<br />
sammen de to nye tallene, fa˚r han 51. Hvilket tall tenker han pa˚?<br />
Diskuter mulige løsningsstrategier. Finnes det mer enn én løsning<br />
pa˚ problemet?<br />
Problemet kan formuleres slik: 2u þ 3v ¼ 51. Du kan prøve <strong>og</strong> feile<br />
deg fram til en mulig løsning. Skal du finne alle løsningene, er det lurt<br />
a˚ være systematisk.<br />
Kanskje det er bedre a˚ lage en tilleggsbetingelse, slik at problemet bare<br />
fa˚r én løsning?<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.1<br />
Hva blir de tre neste tallene?<br />
a) 2; 4; 6; ...<br />
b) 1; 4; 7; 10; ...<br />
c) 1; 4; 9; 16; ...<br />
Oppgave 1.2<br />
a) Ofte er det lurt a˚ se pa˚ enhetene. Fart ma˚ler vi<br />
i kilometer per time (km=h). Kan du ut fra<br />
enheten si hvilke opplysninger som trengs for a˚<br />
finne farten?<br />
b) Hva slags sammenheng er det mellom strekning,<br />
tid <strong>og</strong> fart?<br />
c) Du kjører i 67 km=h <strong>og</strong> skal kjøre 11 km.<br />
Bruker du mer eller mindre enn én time?<br />
Hvor lang tid bruker du?<br />
Oppgave 1.3<br />
Ole, Trine <strong>og</strong> Bente er til sammen 43 a˚r. Ole er<br />
dobbelt sa˚ gammel som Trine, <strong>og</strong> Bente er 3 a˚r<br />
eldre enn Trine. Hva er alderen til hver av de tre?<br />
Oppgave 1.4<br />
Familien til Per driver en kennel, <strong>og</strong> i hagen har de<br />
en stor andedam. Na˚r Per blir spurt om hvor mange<br />
hunder <strong>og</strong> ender de har, svarer han: «Vi har 40 dyr,<br />
<strong>og</strong> de har 116 bein til sammen.» Hjelp hverandre<br />
med a˚ finne ut hvor mange hunder <strong>og</strong> ender de har.<br />
Oppgave 1.5<br />
Løs sudokuen slik at alle vertikale <strong>og</strong><br />
horisontale linjer <strong>og</strong> alle 3 3-ruter inneholder<br />
alle tall fra 1 til 9.<br />
6 2 5<br />
8 2<br />
5 9 6 1 7<br />
9 5 7 3<br />
8 3 7<br />
3 8 4 6 1<br />
3 6 4 8<br />
2 9 4<br />
4 9 2<br />
Oppgave 1.6<br />
Regn ut høyden til et tre, en flaggstang eller<br />
skolebygningen din ved hjelp av for eksempel<br />
en blyant.<br />
Miniprosjekt 1.7<br />
a) Du fa˚r utdelt et ma˚leband, en linjal <strong>og</strong> et<br />
literma˚l. Hvordan vil du ga˚ fram for a˚ finne<br />
volumet av en tennisball ved hjelp av hvert<br />
av disse hjelpemidlene? Finn volumet.<br />
b) Hva ville du gjort for a˚ finne overflata<br />
av en basketball?<br />
Finn overflata av basketballen.<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 11
1.2 Overslag, avrunding <strong>og</strong> antall gjeldende siffer<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô avgjÖre nÔr det er behov for nÖyaktighet i matematiske beregninger,<br />
<strong>og</strong> nÔr vi kan gjÖre overslag<br />
^ Ô runde av desimaltall med ulik grad av nÖyaktighet<br />
Tallet (pi) har et uendelig antall desimaler, tilsynelatende uten noe<br />
mønster. Japaneren Hiroyuki har lært seg de 42 000 første desimalene<br />
utenat! Men trenger vi alltid a˚ være sa˚ nøyaktige?<br />
Tenk deg at du er pa˚ MENY <strong>og</strong> kjøper kjøttvarer. Du har dette<br />
i handlekurven:<br />
ytrefilet av okse: kr 167;50=kg<br />
indrefilet av okse: kr 218;50=kg<br />
svinesteik: kr 107;50=kg<br />
Du har en femhundrelapp pa˚ deg. Hvordan kan du raskt regne ut i hodet<br />
om du har nok penger til a˚ handle 1 kg av hver kjøttvare? Knepet er a˚ gjøre<br />
et overslag, det vil si at du runder av tallene.<br />
Tabellen i margen illustrerer avrundingsreglene for desimaltall. Dersom vi<br />
skal runde av til nærmeste hele tall, ser vi pa˚ første desimal. Er denne<br />
desimalen 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av<br />
nedover. Skal vi runde av til én desimal, ser vi pa˚ andre desimal pa˚ samme<br />
ma˚te, <strong>og</strong> sa˚ videre.<br />
EKSEMPEL 4<br />
Hvordan kan du gjøre et raskt overslag for a˚ finne ut om 1 kg<br />
av hver kjøttvare ovenfor koster mer enn 500 kroner?<br />
Løsning:<br />
Vi runder av oppover til nærmeste titall <strong>og</strong> legger sammen:<br />
167;50 170 218;50 220 107;50 110<br />
kr 170 þ kr 220 þ kr 110 ¼ kr 500<br />
Ettersom vi har rundet av alle prisene oppover, er 500 kroner nok!<br />
Er 5 m, 5;0 m,5;00 m <strong>og</strong> 5;000 m samme tall skrevet pa˚ fire forskjellige<br />
ma˚ter, eller er det fire ulike tall? Vi ga˚r her ut fra at tallene skal uttrykke<br />
den ma˚lte lengden av en gjenstand. Da forteller tallene med hvilken<br />
nøyaktighet vi kjenner lengden. 5 m forteller oss at gjenstanden har en<br />
lengde mellom 4;5 m <strong>og</strong> 5;5 m.5;0 m forteller oss at gjenstanden har en<br />
lengde mellom 5;05 m <strong>og</strong> 5;15 m. 5;00 m forteller oss at vi kjenner<br />
lengden pa˚ centimeteren, mens 5;000 m forteller oss at vi kjenner lengden<br />
TALLET<br />
er definert som<br />
omkretsen av en sirkel<br />
dividert med diameteren,<br />
¼ O=d.Vanligvis nÖyer<br />
vi oss med to desimaler<br />
<strong>og</strong> skriver 3,14.<br />
Avrunding av 7,2356<br />
nærmeste titall 10<br />
nærmeste heltall 7<br />
1 desimal 7,2<br />
2 desimaler 7,24<br />
3 desimaler 7,236<br />
12 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
med millimeters nøyaktighet. I det siste tilfellet sier vi at lengden er<br />
oppgitt med fire gjeldende siffer. Er lengden oppgitt som 5;0 m, sier vi<br />
at lengden er oppgitt med to gjeldende siffer.<br />
I regnestykker er det tallet med lavest nøyaktighet som avgjør<br />
nøyaktigheten i svaret. I en multiplikasjon er det faktoren med færrest<br />
antall gjeldende siffer som bestemmer antall gjeldende siffer i svaret.<br />
Vi skal ta for oss et eksempel.<br />
EKSEMPEL 5<br />
Regn ut arealet av rektanglet <strong>og</strong> skriv svaret med korrekt<br />
antall siffer.<br />
Løsning:<br />
Pa˚ lommeregneren fa˚r vi<br />
A ¼ 3;12 m 1;4 m¼ 4;368 m 2<br />
Det er bredden 1;4 m som har færrest antall siffer, nemlig to.<br />
Svaret skal derfor <strong>og</strong>sa˚ ha to siffer. Vi fa˚r altsa˚ at arealet er 4;4 m 2 .<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.8<br />
Rund av til én desimal:<br />
a) 1,23 b) 1,46 c) 6,96<br />
d) 19,07 e) 4,555 f) 3,849<br />
Oppgave 1.9<br />
Rund av til to desimaler:<br />
a) 7,235 b) 11,464 c) 744,968<br />
d) 19,079 e) 20,555 f) 13,445<br />
Oppgave 1.10<br />
Du er i dagligvarebutikken <strong>og</strong> handler mat.<br />
I handlekurven har du<br />
– 1 purreløk: kr 9,50<br />
– 3 liter melk à kr 9,00=l<br />
– 1 brød: kr 14,50<br />
– 500 g kjøttdeig: kr 40,50<br />
Du sta˚r ved kassa <strong>og</strong> har en hundrelapp i lomma.<br />
Gjør overslag <strong>og</strong> bruk hoderegning for a˚ finne ut om<br />
du unnga˚r en pinlig situasjon.<br />
1,4 m<br />
3,12 m<br />
DrÖfting 1.11<br />
Tror du at «en meter» betyr det samme for<br />
møbelsnekkeren, gravemaskinkjøreren <strong>og</strong> skytebasen<br />
i praktisk arbeid? Diskuter i klassen.<br />
Oppgave 1.12<br />
Skriv tallene med to gjeldende siffer:<br />
a) 7,235 b) 11,464 c) 744,968<br />
d) 19,079 e) 20,555 f) 13,445<br />
Oppgave 1.13<br />
Regn ut arealene av rektanglene <strong>og</strong> skriv svarene<br />
med et korrekt antall siffer:<br />
a) lengde 5;24 m; bredde 0;55 m<br />
b) lengde 5;24 m; bredde 0;550 m<br />
c) lengde 3;2 m; bredde 1;79 m<br />
d) lengde 3;20 m; bredde 1;79 m<br />
e) lengde 12 m; bredde 7;6 m<br />
f) lengde 12 m; bredde 7;60 m<br />
g) lengde 12;0 m; bredde 7;6 m<br />
h) lengde 12;0 m; bredde 7;60 m<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 13
1.3 MÔlenheter for lengde<br />
Du skal l×re<br />
^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for lengde<br />
Den kinesiske mur ble pa˚begynt rundt 300 f.Kr. Muren er om lag<br />
6 000 000 m lang <strong>og</strong> ca. 1500 cm høy pa˚ sitt høyeste.<br />
Hvordan kan vi gjøre om lengden til kilometer <strong>og</strong> høyden til meter?<br />
Tabellen viser sammenhengen mellom de vanligste ma˚lenhetene for lengde:<br />
mil kilometer hektometer dekameter meter desimeter centimeter millimeter<br />
mil km m dm cm mm<br />
10 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001<br />
Vi gjør om fra centimeter til meter ved a˚ ga˚ to kolonner mot venstre.<br />
Vi flytter altsa˚ kommaet to plasser til venstre. Det er det samme som<br />
a˚ dele med 100.<br />
Den kinesiske mur er altsa˚ rundt 1500 cm ¼ 1500<br />
m ¼ 15 m høy.<br />
100<br />
Vi gjør om fra meter til kilometer ved a˚ ga˚ tre kolonner mot venstre.<br />
Vi flytter altsa˚ kommaet tre plasser til venstre. Det er det samme som<br />
a˚ dele med 1000.<br />
Den kinesiske mur er 6 000 000 m ¼ 6000 km lang.<br />
EKSEMPEL 6<br />
a) Hvor mange meter er 120 cm?<br />
b) Hvor mange meter er 2,7 km?<br />
Løsning:<br />
a) Vi flytter kommaet to plasser mot venstre eller deler med 100:<br />
120 cm ¼ 1;2 m<br />
120 cm ¼ 120<br />
m ¼ 1;2 m<br />
100<br />
b) Vi flytter kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000:<br />
2;7 km 2;700 km ¼ 2700 m<br />
2;7 km¼2;7 1000 m 2700 m<br />
PREFIKSER<br />
kilo ¼ 1000<br />
hekto ¼ 100<br />
deka ¼ 10<br />
desi ¼ 1<br />
10<br />
centi ¼ 1<br />
100<br />
milli ¼ 1<br />
1000<br />
LENGDEMA˚L<br />
Meter er grunnenheten<br />
for lengde. Hektometer<br />
<strong>og</strong> dekameter blir ikke<br />
brukt. 1mil svarer til<br />
10 km.<br />
OMGJØRING AV ENHETER<br />
NÔr vi regner om fra stÖrre<br />
til mindre mÔlenheter,<br />
bruker vi ofte -tegnet.<br />
Det gjÖr vi fordi stÖrre<br />
enheter gjerne inneb×rer<br />
usikkerhet.<br />
14 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 7<br />
Den norske løperkongen Mensen Ernst tilbakela i 1832 distansen<br />
Paris–Moskva pa˚ 14 dager. I luftlinje ma˚ler denne distansen om lag 2500 km.<br />
a) Hvor mange meter svarer det til?<br />
b) Hvor mange mil løp Mensen Ernst?<br />
c) En engelsk mile er 1609 m.<br />
Hvor lang er distansen Paris–Moskva i miles?<br />
Løsning:<br />
a) Vi bruker sammenhengen mellom enhetene for lengde:<br />
2500 km ¼ 2500 1000 meter 2 500 000 meter<br />
b) En mil svarer til 10 km:<br />
2500 km ¼ 2500<br />
mil ¼ 250 mil<br />
10<br />
Dette er like langt som Norges grense mot Sverige, Finland <strong>og</strong> Russland til sammen!<br />
c) Vi gjør om fra meter til miles:<br />
2 500 000<br />
2 500 000 m ¼ miles 1553;76 miles 1554 miles<br />
1609<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.14<br />
Gjør om til meter:<br />
a) 234 cm b) 170 mm c) 144 dm<br />
d) 2,047 km e) 0,2 mil f) 4,5 miles<br />
Oppgave 1.15<br />
Monolitten i Vigelandsparken i Oslo er<br />
omtrent 17 m høy.<br />
a) Hvor høy er Monolitten i centimeter?<br />
b) Tommer er en annen ma˚lenhet.<br />
En tomme svarer til 2,54 cm.<br />
Hvor høy er Monolitten ma˚lt i tommer?<br />
Oppgave 1.16<br />
Gjør alle ma˚l om til centimeter <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 1;20 m þ 2;7 dmþ320 cm þ 30 mm<br />
b) 200 mm þ 0;15 m þ 5cm<br />
c) 0;26 400 km þ 2;0 dmþ40 mm<br />
Oppgave 1.17<br />
Gjør alle ma˚l om til meter <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 18 dm þ 76 cm þ 40 mm<br />
b) 0;004 95 km 4;5 dmþ12 cm þ 30 mm<br />
c) 4;000 km þ 1;243 miles 990 dm<br />
LØPERKONGEN<br />
Mensen Ernst ble fÖdt<br />
i S<strong>og</strong>n <strong>og</strong> Fjordane i1795<br />
<strong>og</strong> dÖde i Egypt i1843.<br />
PÔ1800-tallet ble han<br />
beundret for sine lÖperprestasjoner<br />
over hele<br />
Europa.<br />
Oppgave 1.18<br />
Obelisken pa˚ Petersplassen i Vatikanet er om<br />
lag 25 m høy.<br />
a) Hvor høy er obelisken ma˚lt i fot?<br />
ð1 fot ¼ 0;3048 mÞ<br />
b) Hvor høyt er dette kunstverket ma˚lt<br />
i tommer?<br />
c) Hvor mange tommer er det i en fot?<br />
Utfordring 1.19<br />
a) Hvor mange kilometer løp Mensen Ernst<br />
i gjennomsnitt per dag pa˚ turen Paris–Moskva?<br />
b) Finn gjennomsnittsfarten til Ernst i kilometer<br />
per time, na˚r vi antar at han løp 11 timer<br />
per dag.<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 15
1.4 Omkrets<br />
Du skal l×re<br />
^ hvordan du kan regne ut omkretsen av enkle geometriske figurer<br />
De fleste bygningskonstruksjoner er rektangelformede eller kan settes<br />
sammen av rektangler. Derfor blir rektangelet spesielt viktig for oss.<br />
EKSEMPEL 8<br />
Hvor mange meter taklister ga˚r med til et rektangelformet rom<br />
med lengden 4 m <strong>og</strong> bredden 3 m?<br />
Løsning:<br />
Vi ma˚ finne omkretsen av rommet. For a˚ komme rundt ma˚ vi legge<br />
sammen to lengder <strong>og</strong> to bredder (se tabellen i margen):<br />
O ¼ 4mþ 4mþ 3mþ 3m¼ 14 m<br />
Kapp <strong>og</strong> kanskje andre faktorer gjør at det ga˚r med mer enn 14 m<br />
taklister. Men vi kommer ikke nærmere svaret her.<br />
EKSEMPEL 9<br />
Firmaet Tummelumsk skryter av at de har produsert tivolimarkedets<br />
mest spektakulære pariserhjul, med en radius pa˚ 21 meter.<br />
Hvor mange meter har du beveget deg etter en runde med dette<br />
pariserhjulet?<br />
Løsning:<br />
Vi ma˚ finne omkretsen til hjulet. Formelen for omkretsen til en sirkel<br />
finner du i margen til høyre. Siden et pariserhjul alltid har form som<br />
en sirkel, blir omkretsen<br />
O ¼ 2 r ¼ 2 21 m ¼ 131;947 m 130 m<br />
Her runder vi av svaret. Hvorfor det, tror du?<br />
Rektangel<br />
b<br />
l<br />
O = 2l + 2b<br />
Kvadrat<br />
s s<br />
O = 4s<br />
Parallell<strong>og</strong>ram<br />
s<br />
g<br />
O = 2s + 2g<br />
Trapes<br />
c<br />
d b<br />
a<br />
O = a + b + c + d<br />
Trekant<br />
c b<br />
a<br />
O = a + b + c<br />
Sirkel<br />
r<br />
O = 2pr<br />
16 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 10<br />
Karin skal sy et ba˚nd langs kanten av en kjøkkenduk med form<br />
som vist pa˚ figuren. Hvor mange desimeter kanteba˚nd trenger hun?<br />
Løsning:<br />
Duken besta˚r av et rektangel med en halvsirkel i hver ende. Til sammen<br />
utgjør de to halvsirklene en hel sirkel. Dukens omkrets blir derfor summen<br />
av omkretsen av en sirkel <strong>og</strong> omkretsen av rektanglets to langsider:<br />
O ¼ 2 l þ 2 r<br />
¼ 2 26 dm þ 2 9dm¼ 108;549 dm 109 dm<br />
Her runder vi av oppover. Hvorfor?<br />
18 dm<br />
Legg merke til at radien er lik halve diameteren: ¼ 9 dm.<br />
Vi tar ikke med kortsidene pa˚ rektanglet i dukens omkrets.<br />
Studer figuren <strong>og</strong> finn ut hvorfor!<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.20<br />
Regn ut omkretsen av disse figurene:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
18 cm<br />
17 m<br />
9 cm<br />
17 m<br />
18 cm<br />
9 cm<br />
30 mm<br />
40 mm<br />
Oppgave 1.21<br />
Regn ut omkretsen av et rektangel i centimeter, der<br />
a) b ¼ 20 cm; l ¼ 40 cm<br />
b) b ¼ 30 cm; l ¼ 17 dm<br />
c) b ¼ 4 tommer; l ¼ 2 fot<br />
Oppgave 1.22<br />
Ernst er nesten ferdig med a˚ pusse opp <strong>og</strong> skal<br />
legge gulvlister i stua. Rommet har form som<br />
et rektangel med lengden 6 m <strong>og</strong> bredden 4 m.<br />
En 70 cm bred dør pa˚ den ene kortveggen ga˚r inn<br />
til kjøkkenet. Pa˚ den ene langveggen er det<br />
en tilsvarende dør ut mot gangen.<br />
Hvor mange meter listverk bør Ernst kjøpe?<br />
2<br />
Oppgave 1.23<br />
Jordradien ved ekvator er 6378 km.<br />
Hvor stor er avstanden langs ekvator i mil mellom<br />
to punkter som ligger pa˚ nøyaktig motsatt side<br />
av hverandre?<br />
Oppgave 1.24<br />
Regn ut omkretsen i meter av en sirkel der<br />
a) r ¼ 2,18 cm<br />
b) r ¼ 18 dm<br />
c) d ¼ 0,637 km<br />
Oppgave 1.25<br />
Regn ut omkretsen av figuren:<br />
13 cm<br />
18 dm<br />
26 dm<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 17
1.5 FlatemÔl<br />
Du skal l×re<br />
^ at areal er et mÔl for stÖrrelsen av en flate<br />
^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for areal<br />
En flate er todimensjonal <strong>og</strong> har ingen tykkelse. En firkantet flate<br />
er bare representert ved lengden <strong>og</strong> bredden. Til a˚ oppgi størrelsen av<br />
en flate bruker vi betegnelsen areal.<br />
Tabellen viser sammenhengen mellom ulike ma˚lenheter for areal.<br />
kvadratkilometer<br />
kvadrathektometer<br />
kvadratdekameter<br />
kvadratmeter<br />
kvadratdesimeter<br />
kvadratcentimeter<br />
kvadratmillimeter<br />
km 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2<br />
1 000 000 10 000 100 1 0,01 0,0001 0,000 001<br />
For hver kolonne vi flytter oss i tabellen, ma˚ vi flytte kommaet to plasser.<br />
Na˚r vi skal gjøre om fra m2 til dm 2 ,ma˚ vi flytte kommaet to plasser mot<br />
høyre. Det er det samme som a˚ gange med 100:<br />
14;25 m2 ¼ 1425 dm 2 eller 14;25 m2 ¼ 14;25 100 dm 2 ¼ 1425 dm 2<br />
Vi gjør om fra m2 til km 2 ved a˚ flytte kommaet seks plasser mot venstre.<br />
Det er det samme som a˚ dele med 1 000 000:<br />
70 000 m 2 ¼ 0;07 km 2 70 000<br />
eller<br />
1 000 000 km2 ¼ 0;07 km 2<br />
EKSEMPEL 11<br />
a) Hvor mange kvadratmeter er 17 400 cm 2 ?<br />
b) Hvor mange kvadratmeter er 564 000 mm 2 ?<br />
b) En serviett har et areal pa˚ 4dm 2 .<br />
Hvor mange kvadratmeter utgjør det?<br />
d) New York by har et areal pa˚ 787 km 2 .<br />
Gjør om til kvadratmeter.<br />
Løsning:<br />
a) Vi flytter kommaet fire plasser mot venstre:<br />
17 400 cm2 ¼ 1;74 m2 b) Vi flytter kommaet seks plasser mot venstre:<br />
564 000 mm2 ¼ 0;564 m2 c) Vi deler pa˚ 100:<br />
4dm 2 ¼ 4<br />
100 m2 ¼ 0;04 m 2<br />
d) Vi ganger med 1 000 000:<br />
787 km 2 ¼ 787 1 000 000 m2 787 000 000 m2 EUKLIDS DEFINISJONER<br />
^ Et punkt er noe som ikke<br />
kan deles.<br />
^ Ei linje er en lengde uten<br />
bredde.<br />
^ En £ate er noe som bare<br />
har lengde <strong>og</strong> bredde.<br />
ENHETER FOR AREAL<br />
Kvadratmeter, m 2 ,er<br />
grunnenheten for areal.<br />
Et mÔl (1000 m 2 )brukes<br />
ofte i forbindelse med<br />
arealet av tomter.<br />
En hektar (10 000 m 2 )brukes<br />
ofte som mÔl pÔ arealet av<br />
stÖrre landomrÔder.<br />
18 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 12<br />
a) Arealet av et A4-ark er 624 cm2 .<br />
Hvor stort er dette arealet i kvadratmeter?<br />
b) En ma˚lenhet for arealet av landomra˚der er ma˚l. Dersom vi eier<br />
en tomt pa˚ 200 ma˚l, hvor mange kvadratkilometer disponerer<br />
vi na˚r 1ma˚l er 1000 m2 ?<br />
Løsning:<br />
a) Vi gjør om fra kvadratcentimeter til kvadratmeter:<br />
624 cm 2 ¼ 624<br />
10 000 m2 ¼ 0;0624 m 2<br />
b) Vi gjør om 200 ma˚l til kvadratmeter:<br />
200 m˚al ¼ 200 1000 m2 200 000 m2 Deretter regner vi om til kvadratkilometer:<br />
200 000 m2 ¼ 0;20 km 2<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.26<br />
Gjør om til kvadratmeter:<br />
a) 180 cm2 b) 2500 mm2 c) 132 dm 2<br />
d) 3;04 km 2<br />
e) 20 500 mm2 Oppgave 1.27<br />
Gjør om til samme enhet <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 23;0 dm 2 þ 14 cm2 þ 0;200 m2 b) 16 000 m2 þ 0;120 km 2 þ 1ma˚l<br />
c) 5;00 hektar 17;2 m˚al 7840 m2 Oppgave 1.28<br />
Arealet av et lite landomra˚de, for eksempel<br />
en hustomt, blir ofte oppgitt i ma˚l.<br />
Ett ma˚l svarer til 1000 m2 .<br />
a) Hvor mange kvadratmeter er en tomt<br />
pa˚ 4,5 ma˚l?<br />
b) Hvor mange ma˚l er et landomra˚de pa˚ 0,63 km2 ?<br />
Oppgave 1.29<br />
a) Kunstneren David A˚ berg fra Helsingborg<br />
har malt et maleri med et areal pa˚<br />
hele 4000 m 2 . Dette er verdens største<br />
maleri malt pa˚ lerret av en kunstner.<br />
Hvor mange kvadratcentimeter er arealet<br />
av maleriet?<br />
A4<br />
b) Arealet av Oslo fylkeskommune er 454 km 2 .<br />
Hvor mange ma˚l utgjør det? ð1 m˚al ¼ 1000 m 2 Þ<br />
Pentagonbygningen er verdens største kontorbygning<br />
med et indre areal pa˚ 0;603 km 2 .<br />
c) Hvor mange ma˚l er denne bygningen?<br />
Nettoppgave 1.30<br />
Euklid var en gresk matematiker som levde<br />
omkring 300 f.Kr. Bruk Internett eller<br />
oppslagsverk <strong>og</strong> finn ut mer om hva denne<br />
mannen arbeidet med.<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 19
1.6 Areal av enkle figurer<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô regne ut arealet av enkle geometriske figurer<br />
Tabellen i margen viser formler for arealet av noen enkle geometriske<br />
figurer. I bygg- <strong>og</strong> anleggsfag er det særlig én firkant som peker seg ut,<br />
nemlig rektanglet. Vi skal derfor se nærmere pa˚ arealet av et rektangel.<br />
1 m 2<br />
Figuren viser et rektangel med lengden 3 m <strong>og</strong> bredden 2 m. Kvadratmeter<br />
er den naturlige enheten for arealet av et slikt rektangel. Vi ser at det<br />
ga˚r med 6 m 2 for a˚ dekke arealet av rektanglet: 2 3m 2 eller 3 2m 2 .<br />
Bruker vi formelen, fa˚r vi<br />
3 m<br />
A ¼ l b ¼ 3m 2m¼ 6m 2<br />
Med utgangspunkt i formelen for rektanglet kan vi forklare formlene<br />
for kvadratet, parallell<strong>og</strong>rammet, trekanten <strong>og</strong> trapeset. Klarer du det?<br />
EKSEMPEL 13<br />
Et spisebord er formet som et rektangel med lengde 2;4 m <strong>og</strong> bredde<br />
130 cm.<br />
a) Hvor stort er arealet av bordet?<br />
b) Vi dekker bordet med en duk, slik at duken henger 20 cm ned fra<br />
bordkantene pa˚ hver side. Hvor stort er arealet av duken?<br />
Løsning:<br />
a) For a˚ fa˚ like enheter pa˚ lengden <strong>og</strong> bredden av bordet gjør vi om<br />
bredden fra centimeter til meter:<br />
130 cm ¼ 1;3 m<br />
A ¼ l b ¼ 2;4 m 1;3 m¼ 3;12 m2 3;1 m2 b) Vi gjør om fra centimeter til meter: 20 cm ¼ 0;2 m<br />
Lengden av duken: l ¼ 2;4 mþ 0;2 mþ 0;2 m¼ 2;8 m<br />
Bredden av duken: b ¼ 1;3 mþ 0;2 mþ 0;2 m¼ 1;7 m<br />
Arealet av duken: A ¼ 2;8 m 1;7 m¼ 4;76 m2 4;8 m2 2 m<br />
Rektangel<br />
b<br />
l<br />
A = l ⋅ b<br />
Kvadrat<br />
s s<br />
A = s ⋅ s = s 2<br />
Parallell<strong>og</strong>ram<br />
h<br />
g<br />
A = g ⋅ h<br />
Trapes<br />
b<br />
h<br />
a<br />
(a + b) ⋅ h<br />
A =<br />
2<br />
Trekant<br />
h<br />
g<br />
g ⋅ h<br />
A =<br />
2<br />
Sirkel<br />
r<br />
A = π ⋅ r 2<br />
HUSK<br />
NÔr du skal regne ut arealet<br />
av en geometrisk figur, mÔ<br />
alle lengdene ha samme<br />
enhet!<br />
20 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 14<br />
a) En trekant har grunnlinje 1 dm <strong>og</strong> høyde 6 cm.<br />
Hvor stort blir arealet av trekanten?<br />
b) I en sirkel er diameteren 1; 4 dm. Hva blir arealet av sirkelen?<br />
Løsning:<br />
a) – Vi gjør om fra desimeter til centimeter for grunnlinja:<br />
1dm¼10 cm.<br />
– Vi bruker formelen for arealet av en trekant:<br />
A ¼<br />
g h<br />
2<br />
¼ 10 cm 6cm<br />
2<br />
¼ 30 cm 2<br />
b) – Radien i en sirkel er halvparten av diameteren:<br />
1;4 dm<br />
¼ 0;7 dm<br />
2<br />
– Vi bruker formelen for arealet av en sirkel:<br />
AKTIVITETER<br />
A ¼ r 2 ¼ ð0;7 dmÞ 2 ¼ 1;5394 dm 2<br />
Oppgave 1.31<br />
«Mona Lisa», malt av Leonardo da Vinci,<br />
er verdens mest berømte maleri. Høyden pa˚<br />
kunstverket er 77 cm, <strong>og</strong> bredden er 53 cm.<br />
Hvor stort er arealet?<br />
Oppgave 1.32<br />
Regn ut arealene av disse rektanglene:<br />
a) lengde 6;2 m; bredde 3;0 m<br />
b) lengde 1;24 m; bredde 55 cm<br />
c) lengde 5;2 dm; bredde 0;25 m<br />
Oppgave 1.33<br />
En viss type takplater dekker en bredde pa˚ 60 cm <strong>og</strong><br />
en lengde pa˚ 120 cm. Hvor mange hele plater trengs<br />
det til a˚ dekke et tak pa˚ 10 m 2 ?<br />
1;5 dm 2<br />
Oppgave 1.34<br />
a) Regn ut arealet av en sirkel med radius 15 cm.<br />
b) Regn ut arealet av en sirkel med diameter 2,00 dm.<br />
c) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje<br />
20 cm <strong>og</strong> høyde 2 dm.<br />
Oppgave 1.35<br />
Ernst skal kjøpe voksduk til et bord. Bordet<br />
har form som et kvadrat med side 1;3 m.<br />
Hvor stort blir arealet av voksduken dersom den<br />
skal henge 15 cm ned fra bordet pa˚ hver side?<br />
Oppgave 1.36<br />
Et lerret har form som et trapes med ma˚l som<br />
vist pa˚ figuren. Hvor mange kvadratmeter er<br />
arealet av lerretet?<br />
6 dm<br />
55 cm<br />
120 cm<br />
6 cm<br />
1,4 dm<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 21<br />
1 dm
1.7 Areal av sammensatte figurer<br />
Du skal l×re<br />
^ Ô regne ut arealet av sammensatte geometriske figurer<br />
Na˚r vi skal regne ut arealet av sammensatte figurer, er det lurt a˚ dele<br />
figuren inn i enklere former som vi sa˚ kan regne ut arealet av hver for seg.<br />
Til slutt legger vi sammen arealene.<br />
EKSEMPEL 15<br />
Figuren viser et rom som vi skal finne arealet av.<br />
Løsning:<br />
Vi har ingen enkel formel for hovedfiguren. Men vi kan dele<br />
figuren inn i to figurer som vi sa˚ kan regne arealet av.<br />
Ved hjelp av den stiplede linja har vi delt rommet inn i et kvadrat<br />
<strong>og</strong> et rektangel. Kvadratet har side lik 3 m, mens rektanglet har<br />
en lengde pa˚ 6 m <strong>og</strong> en bredde pa˚ 4m.Vifa˚r da<br />
A ¼ Akvadrat þ Arektangel<br />
EKSEMPEL 16<br />
¼ 3m 3mþ 6m 4m¼ 9m 2 þ 24 m 2 ¼ 33 m 2<br />
Svært forenklet kan vi si at arenaen pa˚ Bislett Stadion omfatter<br />
et rektangel med lengden 105 m <strong>og</strong> bredden 90 m pluss en halvsirkel<br />
med radien 45 m i hver ende. Hvor stort er arealet av arenaen?<br />
Løsning:<br />
Formelen for arealet av arenaen blir<br />
A ¼ Arektangel þ Ahalvsirkel þ Ahalvsirkel<br />
¼ Arektangel þ Asirkel ¼ l b þ r 2<br />
Vi setter inn i formelen ovenfor:<br />
A ¼ l b þ r 2 ¼ 105 90 þ 45 2 ¼ 15 811;725<br />
Arealet av arenaen er om lag 15 800 m 2 .<br />
Her runder vi av mye i svaret. Kan du tenke deg hvorfor?<br />
Vi valgte a˚ sløyfe enhetene underveis i utregningen. Det er ofte<br />
praktisk i litt større regnestykker. Men da er det viktig a˚ vite<br />
hva slags enhet svaret skal ha!<br />
3 m<br />
6 m<br />
3 m<br />
105 m 105 m<br />
22 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER<br />
90 m<br />
90 m<br />
45 m<br />
45 m<br />
4 m
EKSEMPEL 17<br />
Det er strenge regler for hvordan nasjonalflagg skal se ut.<br />
Figuren viser hvordan forholdene skal være i det japanske<br />
flagget. Diameteren til sola i midten er 24 cm.<br />
Hvor stort areal dekker det hvite omra˚det i det japanske<br />
flagget?<br />
Løsning:<br />
Vi finner først det totale arealet av flagget:<br />
A ¼ l b ¼ 60 cm 40 cm ¼ 2400 cm 2<br />
Sa˚ finner vi arealet av sola i midten:<br />
A ¼ r 2 ¼<br />
24<br />
2 cm<br />
2<br />
¼ ð12 cmÞ 2<br />
Arealet av det hvite omra˚det i det japanske flagget blir<br />
A ¼ 2400 cm 2<br />
452;4 cm 2 ¼ 1947;6 cm 2<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.37<br />
Regn ut arealet av disse flatene:<br />
a)<br />
b)<br />
0,8 dm<br />
7 cm<br />
10 cm<br />
3 dm<br />
c)<br />
6 cm<br />
6 cm<br />
3 cm<br />
3 dm<br />
3 dm<br />
3 dm<br />
3 dm<br />
3 dm<br />
3 dm 3 dm<br />
3 dm<br />
3 dm<br />
Oppgave 1.38<br />
En silkeduk har ma˚l <strong>og</strong> form som vist pa˚ figuren.<br />
Regn ut arealet av duken.<br />
90 cm<br />
200 cm<br />
18 dm<br />
452;389 cm 2<br />
1950 cm 2<br />
452;4 cm 2<br />
Oppgave 1.39<br />
Et bord har form som et rektangel med lengde<br />
2,00 m <strong>og</strong> bredde 120 cm. Pa˚ bordet er det<br />
dekket pa˚ seks runde bordbrikker. Hver brikke har<br />
diameter 40 cm. Hvor mange kvadratcentimeter<br />
av bordflata er ikke dekket med bordbrikker?<br />
Oppgave 1.4 0<br />
Lengdeforholdene i det norske flagget er som<br />
vist pa˚ figuren. Finn det samlede arealet av<br />
de hvite <strong>og</strong> de bla˚ omra˚dene i flagget na˚r alle<br />
ma˚l er i desimeter.<br />
6<br />
1<br />
2<br />
1<br />
6<br />
60 cm<br />
6 1 2 1 12<br />
40 cm<br />
Oppgave 1.41<br />
I en regulær sekskant er alle sidene 8;0 cm lange.<br />
Tegn figur, <strong>og</strong> regn ut arealet av sekskanten.<br />
(Tips: Del figuren inn i seks like store deler.)<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 23
1.8 MÔlenheter for masse <strong>og</strong> volum<br />
Du skal l×re<br />
^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for masse<br />
^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for volum<br />
De vanligste ma˚leredskapene pa˚ kjøkkenet er vekt, literma˚l, desiliterma˚l,<br />
krydderma˚l, termometer <strong>og</strong> vanlige kjøkkenredskaper (spiseskje, teskje <strong>og</strong><br />
kopp). Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom ulike ma˚lenheter<br />
for vekt:<br />
kil<strong>og</strong>ram hekt<strong>og</strong>ram dekagram gram desigram centigram milligram<br />
kg hg g dg cg mg<br />
1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001<br />
Na˚r vi skal gjøre om fra gram til milligram, ma˚ vi ga˚ tre kolonner til høyre.<br />
Vi flytter altsa˚ kommaet tre plasser mot høyre. Det er det samme som a˚<br />
gange med 1000:<br />
40;385 g ¼ 40 385 mg eller<br />
40;385 g ¼ 40;385 1000 mg ¼ 40 385 mg<br />
Na˚r vi skal gjøre om fra gram til kil<strong>og</strong>ram, ma˚ vi ga˚ tre kolonner til<br />
venstre. Vi flytter altsa˚ kommaet tre plasser mot venstre. Det er det<br />
samme som a˚ dele pa˚ 1000:<br />
655 g ¼ 0;655 kg eller 655 g ¼ 655<br />
kg ¼ 0;655 kg<br />
1000<br />
EKSEMPEL 18<br />
a) Gjør om til gram <strong>og</strong> regn ut:<br />
1;213 kg þ 15 000 mg þ 920 g<br />
b) I et forsøk i naturfag ma˚tte vi finne massen av reagensrøret.<br />
Vi brukte da en ska˚lvekt med ma˚lenøyaktighet pa˚ 0;01 g.<br />
Følgende lodd ble brukt for a˚ oppna˚ likevekt: ett lodd pa˚ 20 g,<br />
ett lodd pa˚ 2 g, ett lodd pa˚ 1 g, to lodd pa˚ 200 mg <strong>og</strong> ett lodd<br />
pa˚ 20 mg. Hvor stor masse hadde reagensrøret?<br />
Løsning:<br />
a) 1;213 kg þ 15 000 mg þ 920 g ¼ 1213 g þ 15 g þ 920 g ¼ 2148 g<br />
b) Vi gjør om til gram <strong>og</strong> legger sammen:<br />
20 g þ 2gþ 1gþ 0;200 g þ 0;200 g þ 0;020 g ¼ 23;420 g<br />
Siden nøyaktigheten til vekta er oppgitt i hundredels gram, er den<br />
siste nullen meningsløs. Massen av reagensrøret er altsa˚ 23;42 g.<br />
ENHETER FOR MASSE<br />
Gram er grunnenheten for<br />
masse. De mest brukte<br />
enhetene for masse i Norge<br />
er gram, kil<strong>og</strong>ram <strong>og</strong><br />
milligram. 1 tonn svarer til<br />
1000 kg.<br />
MASSE OG TYNGDE<br />
I dagliglivet blir ofte tyngde<br />
<strong>og</strong> masse forvekslet.<br />
Vet du forskjellen?<br />
24 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
Dersom vi har to like store plater, den ene av sta˚l <strong>og</strong> den andre av<br />
aluminium, vil sta˚lplata være ca. tre ganger sa˚ tung som aluminiumsplata.<br />
Det er fordi sta˚l har om lag tre ganger sa˚ høy tetthet som aluminium.<br />
Det vil si at sta˚l har tre ganger sa˚ stor masse som aluminium na˚r<br />
volumet er det samme.<br />
Tabellen viser sammenhengen mellom ulike ma˚lenheter for volum:<br />
hektoliter dekaliter liter desiliter centiliter milliliter<br />
hl l dl cl ml<br />
100 10 1 0,1 0,01 0,001<br />
For a˚ gjøre om fra liter til milliliter ma˚ vi ga˚ tre kolonner til høyre.<br />
Vi flytter altsa˚ kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000:<br />
2;125 l ¼ 2125 ml eller 2;125 l ¼ 2;125 1000 ml ¼ 2125 ml<br />
Vi gjør om fra liter til hektoliter:<br />
20;5 l ¼ 0;205 hl eller 20;5 l ¼ 20;5<br />
hl ¼ 0;205 hl<br />
100<br />
EKSEMPEL 19<br />
Massetettheten til gull er omtrent 19;3 g=ml. Hvor mye veier<br />
en gullbarre fra Norges Bank med et volum pa˚ 0;62 l ?<br />
Løsning:<br />
Vi gjør om fra liter til milliliter:<br />
0;62 l ¼ 0;620 l ¼ 620 ml<br />
Vi regner sa˚ ut vekta av gullbarren:<br />
620 ml 19;3 g=ml ¼ 11 966 g 12 kg<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.42<br />
Gjør om til gram:<br />
a) 2,670 kg b) 3,75 hg c) 27,4 mg<br />
d) 14 hg e) 120 mg f) 1,37 tonn<br />
Oppgave 1.43<br />
Gjør om til liter:<br />
a) 2,670 dl b) 0,34 hl c) 7,3 cl<br />
d) 207 ml e) 12,137 hl f) 104 dm 3<br />
Oppgave 1.44<br />
Gjør om til en passende enhet <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 2;13 l þ 18;08 dl þ 4;0 clþ740 ml<br />
b) 210 mg 0;20 g þ 0;000 50 kg 0;0030 hg<br />
Oppgave 1.45<br />
ENHETER FOR VOLUM (HULMA˚L)<br />
Liter er grunnenheten for volum.<br />
Liter er det samme som kubikkdesimeter<br />
(se kapittel 6).<br />
TETTHET<br />
tetthet ¼ masse<br />
volum ð¼ g=cm3 Þ<br />
masse ¼ tetthet volum ð¼ gÞ<br />
volum ¼ masse<br />
tetthet ð¼ cm3 Þ<br />
Betong har en tetthet pa˚ ca. 2;4 kg=dm 3 .<br />
Hvor stor masse har 670 liter betong?<br />
Oppgave 1.46<br />
Tettheten til sta˚l er8;0 kg=dm 3 , <strong>og</strong> tettheten<br />
til aluminium er 2;7 kg=dm 3 . Hva har størst masse:<br />
en aluminiumsplate pa˚ 13 dm 3 eller en sta˚lplate<br />
pa˚ 4;7 dm 3 ?<br />
Miniprosjekt 1.47<br />
Hvor mange liter luft rommer en fotball?<br />
(Hjelpemidler: vannbalje <strong>og</strong> literma˚l)<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 25
1.9 Sammensatt eksempel<br />
EKSEMPEL 20<br />
Den ene av de to figurene nedenfor er et kvadrat. Den andre figuren er et<br />
tilsvarende kvadrat, men i hvert hjørne er det klipt bort en kvartsirkel.<br />
1 2<br />
1,6 dm 16 cm 0,8 dm<br />
16 cm<br />
a) Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av hver figur. Bruk henholdsvis<br />
kvadratcentimeter <strong>og</strong> centimeter som enheter.<br />
b) Gjør om arealet av figur 1 til kvadratmeter <strong>og</strong> omkretsen av<br />
figur 2 til meter.<br />
Løsning:<br />
a) Vi gjør først om fra desimeter til centimeter for to av lengdene:<br />
1;6 dm¼16 cm <strong>og</strong> 0;8 dm¼8cm Deretter regner vi ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av figur 1:<br />
A ¼ s s ¼ 16 cm 16 cm ¼ 256 cm2 O ¼ 4 s ¼ 4 16 cm ¼ 64 cm<br />
Figur 2 er litt mer sammensatt enn figur 1. I hvert hjørne er det<br />
klipt bort et omra˚de som svarer til en kvartsirkel med radius 4 cm.<br />
Til sammen er det altsa˚ klipt bort et omra˚de tilsvarende en hel<br />
sirkel med radius 4 cm.<br />
Arealet av figur 2 blir dermed<br />
A ¼ Akvadrat Asirkel ¼ 16 16 4 2 205;73 206<br />
Arealet av figur 2 er tilnærmet lik 206 cm 2 .<br />
Omkretsen av figur 2 besta˚r av fire sider med lengde 8 cm <strong>og</strong><br />
fire kvartsirkler med radius 4 cm. De fire kvartsirklene utgjør til<br />
sammen en hel sirkel.<br />
Omkretsen av figur 2 blir da<br />
O ¼ 4 8cmþ2 4cm 57;13 cm 57 cm<br />
Omkretsen av figur 2 er tilnærmet lik 57 cm.<br />
HUSK<br />
NÔr du skal regne ut<br />
arealet <strong>og</strong> omkretsen av<br />
geometriske figurer, mÔ<br />
alle lengdene ha samme<br />
enhet!<br />
REGNING UTEN ENHETER<br />
NÔrduarbeidermedlitt<br />
stÖrre regnestykker,<br />
kan det ofte v×re greit Ô<br />
slÖyfe enhetene underveis.<br />
Men det er viktig at<br />
du vet hvilken enhet<br />
svaret skal ha!<br />
26 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
) Na˚r vi skal uttrykke arealet av figur 1 i kvadratmeter,<br />
ma˚ vi flytte kommaet fire plasser mot venstre.<br />
Det er det samme som a˚ dele pa˚ 10 000:<br />
256 cm 2 ¼ 0;0256 m 2 256<br />
eller<br />
10 000 m2 ¼ 0;0256 m 2<br />
Na˚r vi skal uttrykke omkretsen av figur 2 i meter,<br />
ma˚ vi flytte kommaet to plasser mot venstre.<br />
Det er det samme som a˚ dele pa˚ 100:<br />
57<br />
57 cm ¼ 0;57 m eller m ¼ 0;57 m<br />
100<br />
AKTIVITETER<br />
Oppgave 1.4 8<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av figurene:<br />
a)<br />
12 m<br />
12 m<br />
b)<br />
6 m<br />
12 m<br />
6 m<br />
12 m<br />
Oppgave 1.49<br />
CERN («Conseil Europèen pour la Recherche<br />
Nuclèaire») er et intereuropeisk anlegg for<br />
partikkel- <strong>og</strong> kjernefysikkforskning.<br />
Den underjordiske LEP-tunnelen («Large Electron<br />
Positron collider») har tilnærmet sirkelform med<br />
en radius pa˚ om lag 4,3 km.<br />
SPS-tunnelen (protonakseleratoren) har en radius<br />
pa˚ om lag 1,1 km.<br />
a) Hvor lang er radien i LEP-tunnelen ma˚lt<br />
i meter?<br />
b) Regn ut lengdene av begge tunnelene.<br />
c) Hvor stort er arealet av landomra˚det som<br />
ligger innenfor LEP-tunnelen, men utenfor<br />
SPS-tunnelen pa˚ bildet?<br />
d) I LEP-tunnelen blir partikler akselerert opp<br />
til en fart nær lysfarten pa˚ 300 000 km=s.<br />
Dersom en partikkel har en fart pa˚<br />
290 000 km=s, hvor mange runder<br />
i LEP-tunnelen klarer den pa˚ ett sekund?<br />
Nettoppgave 1.50<br />
Bildet viser Petersplassen sett fra kuppelen av<br />
Peterskirken i Vatikanet.<br />
Under begravelsen til pave Johannes Paul 2.<br />
i april 2005 var Petersplassen fylt av rundt<br />
300 000 mennesker. Ytterligere 700 000 stod<br />
i gatene omkring.<br />
a) Klarer du ut fra dette a˚ gjøre et overslag over<br />
arealet av Petersplassen?<br />
b) Bruk oppslagsverk eller Internett (Vatikanets<br />
Internett-adresse er http://www.vatican.va) <strong>og</strong><br />
prøv a˚ finne Petersplassens virkelige areal.<br />
Hvor stort avvik fikk du i svaret ditt i a?<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 27
SAMMENDRAG<br />
Avrundingsregler<br />
Na˚r vi skal runde av et desimaltall til nærmeste<br />
hele tall, ser vi pa˚ første desimal. Dersom denne<br />
desimalen er 5 eller større, runder vi av oppover.<br />
I motsatt fall runder vi av nedover. Na˚r vi skal<br />
runde av til én desimal, ser vi pa˚ andre desimal <strong>og</strong><br />
gjør tilsvarende, osv.<br />
Tallet 6,2736 kan dermed rundes av til<br />
6 6;3 6;27 6;274<br />
Hvis tallet skal rundes av til to gjeldende siffer blir<br />
tallet 6,3. Antall gjeldende siffer forteller oss med<br />
hvilken nøyaktighet tallet er gitt.<br />
Pref|kser<br />
kilo ¼ 1000 hekto ¼ 100 deka ¼ 10<br />
desi ¼ 1<br />
10<br />
centi ¼ 1<br />
100<br />
milli ¼ 1<br />
1000<br />
MÔlenheter for lengde<br />
Meter ðmÞ er grunnenheten for lengde.<br />
Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:<br />
. 10 . 10 . 10<br />
m dm cm mm<br />
: 10 : 10 : 10<br />
Vi gjør om fra meter til centimeter ved a˚ gange<br />
med 100. Det svarer til a˚ flytte kommaet to plasser<br />
mot høyre:<br />
6;5 m¼ 6;5 100 cm ¼ 650 cm<br />
Vi gjør om fra millimeter til meter ved a˚ dele pa˚<br />
1000. Det svarer til a˚ flytte kommaet tre plasser<br />
mot venstre:<br />
378 mm ¼ 378<br />
m ¼ 0;378 m<br />
1000<br />
Samsvar mellom enhetene<br />
Na˚r vi skal regne ut omkretsen eller arealet av en<br />
geometrisk figur, ma˚ alle lengdene vi bruker, ha<br />
samme enhet.<br />
MÔlenheter for areal<br />
Kvadratmeter ðm2Þ er grunnenheten for areal.<br />
Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:<br />
. 100 . 100 . 100<br />
m 2 dm 2 cm 2 mm 2<br />
: 100 : 100 : 100<br />
Vi gjør om fra kvadratmeter til kvadratmillimeter<br />
ved a˚ gange med 1 000 000. Vi flytter altsa˚<br />
kommaet seks plasser mot høyre:<br />
0;05 m 2 ¼ 0;05 1 000 000 mm 2 ¼ 50 000;0 mm 2<br />
Vi gjør om fra kvadratcentimeter til kvadratmeter<br />
ved a˚ dele pa˚ 10 000. Det svarer til a˚ flytte<br />
kommaet fire plasser mot venstre:<br />
4020;0 cm 2 ¼ 4020;0<br />
10 000 m2 ¼ 0;4020 m 2<br />
Regning uten enheter<br />
Na˚r vi arbeider med litt større regnestykker, kan<br />
det ofte være greit a˚ sløyfe enhetene underveis. Men<br />
det er viktig at vi vet hvilken enhet svaret skal ha.<br />
MÔlenheter for masse<br />
Gram ðgÞ er grunnenheten for masse.<br />
Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:<br />
. 10 . 10 . 10<br />
g dg cg mg<br />
: 10 : 10 : 10<br />
Vi gjør om fra gram til milligram ved a˚ gange med<br />
1000. Det svarer til a˚ flytte kommaet tre plasser<br />
mot høyre:<br />
1;23 g ¼ 1;23 1000 mg ¼ 1230 mg<br />
Vi gjør om fra centigram til gram ved a˚ dele pa˚ 100.<br />
Det svarer til a˚ flytte kommaet to plasser mot venstre:<br />
12;5 cg¼ 12;5<br />
g ¼ 0;125 g<br />
100<br />
MÔlenheter for volum<br />
Liter ðlÞ er grunnenheten for volum. Vi kan gjøre<br />
om mellom de ulike enhetene slik:<br />
. 10 . 10 . 10<br />
l dl cl ml<br />
: 10 : 10 : 10<br />
Vi gjør om fra liter til desiliter ved a˚ gange med 10.<br />
Det svarer til a˚ flytte kommaet én plass mot høyre:<br />
1;2 l ¼ 1;2 10 dl ¼ 12 dl<br />
Vi gjør om fra milliliter til liter ved a˚ dele pa˚ 1000.<br />
Det svarer til a˚ flytte kommaet tre plasser mot<br />
venstre:<br />
635 ml ¼ 635<br />
l ¼ 0;635 l<br />
1000<br />
28 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
TEST DEG SELV<br />
Test 1.51<br />
En gang i november var natta 5 timer 30 minutter<br />
lengre enn dagen. Hvor lang var dagen?<br />
Test 1. 52<br />
Pia fikk to ganger mer enn Ellen, som fikk to ganger<br />
mer enn Trude. Hvem fikk minst?<br />
Test 1. 53<br />
Rund av til én desimal:<br />
a) 1,33 b) 1,55 c) 2,67<br />
Test 1. 54<br />
Rund av til tre gjeldende siffer:<br />
a) 4,234 b) 13,456 c) 19,957<br />
Test 1. 55<br />
Gjør om til meter:<br />
a) 120 cm b) 130 mm c) 1,2 km<br />
Test 1. 5 6<br />
Gjør om til meter <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 70 cm þ 0;2 mþ 5dmþ600 mm<br />
b) 334 mm þ 22 cm þ 7dmþ0;3 m<br />
Test 1. 57<br />
Ranger lengdene fra største til minste verdi:<br />
a) 12 dm, 119 cm, 1,21 m<br />
b) 70 mm, 6 cm, 0,5<br />
Test 1. 5 8<br />
Gjør om til gram:<br />
a) 1,2 kg b) 4 hg c) 33,2 mg<br />
Test 1. 59<br />
Gjør om til liter:<br />
a) 200 ml b) 2 dl c) 32 cl<br />
Test 1. 6 0<br />
Gjør om til en passende enhet <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 2;0 l þ 13 dl þ 120 cl þ 3000 ml<br />
b) 0;30 kg þ 250 g þ 60 000 mg<br />
Test 1. 61<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av en sirkel med<br />
a) r ¼ 1,59 dm b) r ¼ 80 cm c) d ¼ 5;0 cm<br />
Test 1. 62<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av et rektangel med<br />
a) b ¼ 10 cm <strong>og</strong> l ¼ 50 cm<br />
b) b ¼ 2;000 m <strong>og</strong> l ¼ 5;00 m<br />
Test 1. 63<br />
Gjør om til kvadratmeter:<br />
a) 700 cm2 b) 4018 mm2 c) 2 km 2<br />
Test 1. 6 4<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av figurene:<br />
a) 15 cm<br />
b)<br />
20 cm<br />
0,8 dm<br />
Test 1. 65<br />
a) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje<br />
lik 3,0 cm <strong>og</strong> høyden 13 cm.<br />
b) Regn ut arealet av et kvadrat med side<br />
lik 33,0 m.<br />
Test 1. 6 6<br />
Regn ut arealene av de røde feltene pa˚ figurene:<br />
a)<br />
b)<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 29
Òvingsoppgaver<br />
1.1 ProblemlÖsing<br />
A1.67<br />
Hva blir de tre neste tallene?<br />
a) 6; 12; 18; ... b) 99; 92; 85; 78; ...<br />
c) 256; 128; 64; 32; ...<br />
A1.68<br />
Finn fire etterfølgende tall som gir summen 26.<br />
A1.69<br />
Sett inn regnetegn slik at svarene stemmer:<br />
a) 3 3 3 3 ¼ 1 b) 3 3 3 3 ¼ 2<br />
c) 3 3 3 3 ¼ 5 d) 3 3 3 3 ¼ 6<br />
A1.70<br />
En avis har 52 sider. Hele arket med side 7 er borte.<br />
Hvilke andre sidetall mangler?<br />
A1.71<br />
Hvordan kan du regne ut pulsen din na˚r vima˚ler den<br />
i hjerteslag=minutt? Hvor mange ganger sla˚r hjertet<br />
ditt i løpet av en time?<br />
A1.72<br />
Akselerasjon ma˚ler vi i m=s2 . Hvilke opplysninger<br />
trenger du for a˚ regne ut akselerasjonen? Lag en<br />
formel som viser hvordan opplysningene ma˚ brukes.<br />
A1.73<br />
Trude fikk det dobbelte av Ellen, <strong>og</strong> Pia fikk<br />
fire ganger sa˚ mye som Ellen.<br />
a) Hvem fikk minst?<br />
b) Hvor mye fikk hver av dem na˚r de fikk<br />
35 kroner til sammen?<br />
A1.74<br />
La oss si at du vrenger en venstrehanske.<br />
Er hansken fortsatt en venstrehanske?<br />
A1.75<br />
Sju pærer veier det samme som fire bananer, <strong>og</strong><br />
fire bananer veier det samme som seks appelsiner.<br />
Hvilken frukt veier mest enkeltvis, <strong>og</strong> hvilken veier<br />
minst?<br />
A1.76<br />
Tegn en firkant der ingen sider eller vinkler er like.<br />
Del hver side pa˚ midten <strong>og</strong> sett et merke.<br />
Lag en ny firkant ved a˚ trekke streker mellom<br />
merkene. Hva slags firkant fa˚r du? Blir resultatet<br />
alltid slik? Prøv a˚ forklare!<br />
A1.77<br />
Pappa: «Vil du ha pizzaen delt i 6 eller 8 biter?»<br />
Silja: «Vær sa˚ snill a˚ dele den i seks. Jeg orker<br />
ikke a˚ spise a˚tte biter.» Diskuter svaret til Silja.<br />
A1.78<br />
Hvor mange hjørner <strong>og</strong> sideflater fa˚r vina˚r<br />
vi bretter sammen denne figuren?<br />
A1.79<br />
En edderkopp kryper opp innsiden av en brønn<br />
som er 9 meter dyp. Om natta kryper edderkoppen<br />
3 meter oppover. Om dagen glir den 2 meter ned.<br />
Hvor mange dager bruker den pa˚ a˚ komme over<br />
kanten?<br />
30 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
B1.80<br />
Hva blir de tre neste tallene?<br />
a) 11; 121; 1331; ...<br />
b) 1; 3; 6; 10; 15; 21; ...<br />
B1.81<br />
Finn fire etterfølgende tall som gir summen 178.<br />
B1.82<br />
Et rektangel er 3 cm bredt <strong>og</strong> 8 cm langt.<br />
Klipp bort en hel remse langs en av kantene<br />
slik at arealet blir 3=4 av opprinnelig størrelse.<br />
B1.83<br />
Lise, Mia <strong>og</strong> Ida har brukt 165 kroner. Lise har<br />
brukt tre ganger sa˚ mye som Ida, <strong>og</strong> Mia har<br />
brukt 15 kroner mer enn Ida. Hvor mye har hver<br />
av dem brukt?<br />
B1.84<br />
Prøv om du kan sta˚ igjen med fire kvadrater etter<br />
at du har tatt bort 6; 7; 8; 9 eller 10 fyrstikker.<br />
B1.85<br />
Lag to likeformede trekanter ved hjelp av seks<br />
fyrstikker. Lag sa˚ fire likeformede trekanter ved<br />
hjelp av seks fyrstikker.<br />
B1.86<br />
Hvilket tall tenker jeg pa˚ na˚r<br />
– alle sifrene er forskjellige<br />
– bare ett siffer er oddetall<br />
– jeg finner sifferet pa˚ tusenplassen na˚r jeg<br />
ganger sifferet pa˚ tierplassen med seg selv<br />
–jegfa˚r 15na˚rjeg legger sammen alle sifrene<br />
– det minste sifferet sta˚r pa˚ enerplassen<br />
B1.87<br />
Lars har tre venner. Han tilbyr dem a˚ kjøpe et<br />
tv-spill for 60 kroner. Det blir 20 kroner pa˚ hver.<br />
De synes det er dyrt, men lar seg overtale til a˚<br />
kjøpe spillet. Seinere angrer Lars <strong>og</strong> bestemmer<br />
seg for a˚ gi tilbake 10 kroner. Pa˚ veien tenker han<br />
at det blir vanskelig a˚ dele 10 kroner pa˚ 3. Han<br />
gir dem 3 kroner hver <strong>og</strong> beholder resten selv.<br />
Vennene har na˚ betalt 17 kroner hver, i alt<br />
51 kroner. Lars beholdt 1 krone. Til sammen blir<br />
det 52 kroner. Hvor er det blitt av de 8 kronene<br />
som mangler pa˚ 60?<br />
Diskuter resonnementet.<br />
B1.88<br />
Ole tenner to stearinlys som er like lange. Det ene<br />
lyset bruker fem timer pa˚ a˚ brenne ned, det andre<br />
bare tre timer. Ole lar lysene brenne en stund før<br />
han bla˚ser dem ut. Da er det ene lyset tre ganger<br />
sa˚ langt som det andre. Hvor lenge har Ole latt<br />
lysene brenne?<br />
(Tips: Tegn deg fram til svaret.)<br />
1.2 Overslag, avrunding <strong>og</strong><br />
antall gjeldende siffer<br />
A1.89<br />
Rund av til nærmeste hele tall:<br />
a) 3,43 b) 6,55 c) 211,877<br />
d) 9,099 e) 1006,565 f) 0,459<br />
A1.90<br />
Rund av til én desimal:<br />
a) 1,44 b) 1,55 c) 2,677<br />
d) 8,951 e) 6,565 f) 1,252<br />
A1.91<br />
Rund av til to desimaler:<br />
a) 7,2346 b) 22,4567 c) 1,5555<br />
d) 8,355 16 e) 0,3278 f) 1,078 99<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 31
A1.92<br />
Regn ut arealene av rektanglene <strong>og</strong> skriv svarene<br />
med et korrekt antall siffer:<br />
a) lengde 25;24 m; bredde 12;50 m<br />
b) lengde 25;24 m; bredde 12;5 m<br />
c) lengde 7;2 m; bredde 3;1 m<br />
d) lengde 5;50 m; bredde 0;9 m<br />
e) lengde 5;50 m; bredde 0;90 m<br />
f) lengde 5;50 m; bredde 0;900 m<br />
A1.93<br />
Du er ansatt av Svada <strong>og</strong> skal designe en reklameplakat<br />
for et spa-firma. Du har fa˚tt denne figuren<br />
til ra˚dighet:<br />
a) Plakaten skal være 8 m 8 m. Bruk linjal <strong>og</strong><br />
regn ut hvor mange ganger bildet ma˚ forstørres.<br />
b) Dersom du er unøyaktig <strong>og</strong> ma˚ler en millimeter<br />
feil, hvor stort blir avviket pa˚ lengden <strong>og</strong><br />
bredden etter forstørringen?<br />
B1.94<br />
Ernst har fa˚tt sommerjobb pa˚ et lakseoppdrettsanlegg<br />
<strong>og</strong> skal finne ut hvor mye laks det er<br />
i anlegget. Han merker 80 lakser <strong>og</strong> slipper dem ut<br />
igjen i anlegget. Etter en uke fanger han 150 lakser,<br />
seks av dem er merket.<br />
a) Omtrent hvor mange lakser er det i dette<br />
oppdrettsanlegget?<br />
b) Hvilken usikkerhet ligger i tallet du regnet deg<br />
fram til?<br />
1.3 MÔlenheter for lengde<br />
A1.95<br />
Gjør om til en passende enhet <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 0;034 km 20 m 120 dm<br />
d) 1 mm þ 1;0 cmþ1;00 dm 0;110 m<br />
c) 0;03 mil þ 1;0 km 700 m 5000 dm<br />
b) 12 cm þ 1;00 fot 190 mm þ 1;0 dm<br />
A1.96<br />
Johan <strong>og</strong> Eva gikk mange skiturer i pa˚skeuka <strong>og</strong> førte<br />
opp følgende turer pa˚ skikortene sine:<br />
Eva Johan<br />
Mandag: 3;7 km<br />
Tirsdag: 14;2 km Tirsdag: 31 km<br />
Onsdag: 1;2 mil Onsdag: 1900 m<br />
Torsdag: 1790 m Torsdag: 0;2 mil<br />
Fredag: 3450 m<br />
Hvem av de to gikk lengst pa˚ ski i pa˚sken?<br />
A1.97<br />
Golden Gate-brua i San Francisco, ferdigstilt i 1937,<br />
er 2,70 km lang.<br />
a) Finn lengden av brua i meter <strong>og</strong> i centimeter.<br />
b) Hvor lang er brua i miles?<br />
(1 miles ¼ 1609 m)<br />
c) Bruta˚rnene er 227 m høye.<br />
Hvor mange millimeter svarer det til?<br />
d) Bruas hovedspenn er 1280 m.<br />
Gjør om til mil.<br />
32 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
A1.98<br />
Ranger lengdene fra største til minste verdi:<br />
a) 6 m, 250 tommer, 19,8 fot<br />
b) 1 mile, 1,608 km, 5000 fot<br />
c) 299 m, 0,185 miles, 0,03 mil<br />
d) 100 m, 4000 tommer, 0,06 miles, 329 fot<br />
A1.99<br />
Tekst skrevet med skrifttypen Times New Roman<br />
i 12 punkter har en linjeavstand pa˚ ca. 0,5 cm<br />
per linje. En tettskrevet tekst med Times New Roman<br />
omfatter 45 linjer. Hvor mange centimeter av<br />
arkets høyde ga˚r med til tekst?<br />
B1.100<br />
Et lysa˚r er den avstanden lyset ga˚r i løpet av ett a˚r.<br />
Lysets fart er 300 000 km=s.<br />
a) Hvor mange kilometer er et lysa˚r?<br />
b) Avstanden mellom jorda <strong>og</strong> sola er<br />
150 000 000 km. Hvor mange ganger<br />
lengre enn dette er et lysa˚r?<br />
1.4 Omkrets<br />
A1.101<br />
Regn ut omkretsen av figurene:<br />
a)<br />
b)<br />
9 dm<br />
9 dm<br />
60 cm<br />
80 cm<br />
A1.102<br />
Regn ut omkretsen av figurene:<br />
a)<br />
b)<br />
25 m<br />
25 m<br />
c)<br />
25 m<br />
24 m 12 m<br />
24 m<br />
A 1.103<br />
En rektangelformet tomt med lengden 55 m <strong>og</strong><br />
bredden 26 m skal gjerdes inn. Hvor langt blir<br />
gjerdet?<br />
25 m<br />
12 m<br />
A1.104<br />
Regn ut omkretsen av et rektangel med<br />
a) b ¼ 10 cm <strong>og</strong> l ¼ 2,0 dm<br />
b) b ¼ 2m <strong>og</strong>l ¼ 500 cm<br />
c) b ¼ 240 mm <strong>og</strong> l ¼ 0,81 m<br />
d) b ¼ 2;0 fot <strong>og</strong> l ¼ 30 tommer<br />
A1.105<br />
Hva er omkretsen i meter for disse sirklene?<br />
a)<br />
b)<br />
4,2 m<br />
11,5 dm<br />
A1.106<br />
Regn ut omkretsen av en sirkel i meter, der<br />
a) r ¼ 6,18 dm b) r ¼ 56 cm<br />
c) d ¼ 0,137 km<br />
A 1.107<br />
Regn ut omkretsen av figurene:<br />
a)<br />
b)<br />
5 cm<br />
c)<br />
6 cm<br />
12 cm<br />
2 dm<br />
2 dm 1 dm<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 33<br />
d)<br />
7 cm<br />
1 dm
A1.108<br />
Du har bestemt deg for a˚ prøve ut pariserhjulet til<br />
Tummelumsk. Radien i hjulet er 21 m.<br />
a) Hvor mange meter har du beveget deg etter<br />
30 runder med hjulet?<br />
London Eye er et av verdens største pariserhjul<br />
med en diameter pa˚ rundt 130 m.<br />
b) Hvor langt har du beveget deg etter sju runder<br />
med dette hjulet?<br />
c) Hvor mange runder med London Eye tilsvarer<br />
30 runder med Tummelumsk-hjulet?<br />
B1.109<br />
Regn ut omkretsen av figurene:<br />
a)<br />
b)<br />
20 cm<br />
40 cm<br />
B1.110<br />
Big Ben er navnet pa˚ uret pa˚ parlamentsbygningen<br />
i London. Minuttviseren i uret er omtrent 4 m lang.<br />
Hvor langt beveger spissen av minuttviseren seg<br />
i løpet av 4 minutter?<br />
B 1.111<br />
Dekkene pa˚ bilen til rallykjører Petter Solberg er om<br />
lag 55 cm i diameter.<br />
Hvor mange omdreininger gjør dekkene per sekund<br />
na˚r Solberg kjører med en fart pa˚ 160 km=h?<br />
1.5 FlatemÔl<br />
A1.112<br />
Gjør om til kvadratmeter:<br />
a) 324 cm2 b) 6000 mm2 c) 0,034 km 2<br />
d) 67 ma˚l e) 0,405 hektar<br />
A1.113<br />
a) Hvor mange kvadratmeter er en tomt pa˚ 18 ma˚l?<br />
b) Johan eier en kvadratisk tomt med side lik<br />
1750 m. Sofie har en tomt pa˚ 2km 2 .<br />
Hvem eier mest land av de to?<br />
c) Ka˚re eier tre tomter pa˚ 2000 m 2 ,4ma˚l <strong>og</strong><br />
2,5 km 2 . Hvor mange kvadratmeter land eier<br />
han til sammen?<br />
A1.114<br />
Oslo kommune har et areal pa˚ ca. 454 km 2 .<br />
a) Hvor mange kvadratmeter svarer det til?<br />
b) Gjør <strong>og</strong>sa˚ om til ma˚l <strong>og</strong> hektar.<br />
A1.115<br />
Gjør om til samme enhet <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 67 dm 2 þ 398 cm2 þ 2;10 m2 b) 400 m2 þ 0;4000 km 2 þ 64; 8ma˚l<br />
c) 64 hektar 13; 5m˚al 6400 m2 d) 6;40 m 2 þ 210 000 mm 2 37 800 cm 2<br />
A1.116<br />
Den ene versjonen av maleriet «Le Moulin de la<br />
Galette» av Auguste Renoir finnes ved Musee<br />
d’Orsay i Paris. Bildet er 131 cm bredt <strong>og</strong> 175 cm<br />
langt.<br />
a) Regn ut arealet av bildet i kvadratcentimeter.<br />
b) Hvor mange kvadratmeter svarer det til?<br />
34 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
B1.117<br />
Inch (in) eller tomme er et gammelt britisk<br />
lengdema˚l. 1 tomme svarer til 2,54 cm.<br />
Hvor stort er arealet av «Le Moulin de la Galette»<br />
i kvadrattommer ðin 2 Þ?<br />
1.6 Areal av enkle figurer<br />
A1.118<br />
Regn ut arealet av figurene i kvadratmeter:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
5,2 m<br />
2,7 m<br />
2,55 m<br />
1,2 m<br />
4,56 m<br />
2,8 m<br />
30 dm<br />
86 cm<br />
4,8 m<br />
3,3 m<br />
1,33 m<br />
4,56 m<br />
A1.119<br />
Ei stue har ma˚l <strong>og</strong> form som vist pa˚ figuren.<br />
Regn ut arealet av rommet i kvadratmeter.<br />
6,00 m<br />
A1.120<br />
Et dekke skal sparkles <strong>og</strong> slipes.<br />
Ma˚lene er i centimeter:<br />
1250<br />
Hvor mange kvadratmeter er dekket?<br />
350 cm<br />
550<br />
A1.121<br />
Figuren viser en forskalingslem. Alle ma˚l eri<br />
centimeter:<br />
150<br />
75<br />
a) Hvor mange kvadratmeter er forskalingslemmen?<br />
b) Hvor mange lemmer trengs det til<br />
a˚ dekke 40 m2 ?<br />
A1.122<br />
Figuren viser gavltrekanten pa˚ et hus:<br />
300 cm<br />
760 cm<br />
Hvor mange kvadratmeter er gavltrekanten?<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 35
A1.123<br />
En jordlapp har denne formen:<br />
28 m<br />
18 m<br />
Hvor mange kvadratmeter er jordlappen?<br />
A1.124<br />
En tomt har form som et trapes:<br />
50,0 m<br />
65,0 m<br />
32,0 m<br />
a) Hvor mange kvadratmeter er tomta?<br />
b) Hvor mange ma˚l er den?<br />
A1.125<br />
I et trapes er den ene av de to parallelle sidene 7,0 m.<br />
Den andre siden er dobbelt sa˚ lang. Avstanden<br />
mellom de to parallelle sidene er 34 dm.<br />
Finn arealet av trapeset i kvadratmeter.<br />
A1.126<br />
a) En porselenstallerken har form som en sirkel<br />
med radius 1,5 dm. Regn ut arealet av tallerkenen.<br />
b) Hvor stort blir arealet av a˚tte slike tallerkener<br />
til sammen?<br />
c) Hvor mange av disse tallerkenene kan vi dekke<br />
pa˚ et rektangulært bord som er 8 dm bredt <strong>og</strong><br />
12,5 dm langt?<br />
A1.127<br />
Radien i en sirkel er 1 dm.<br />
a) Hvor mange ganger større blir arealet av sirkelen<br />
dersom radien øker til det femdobbelte?<br />
b) Hvor mange ganger mindre blir arealet av sirkelen<br />
dersom radien minker til en firedel?<br />
B1.128<br />
Ei geit er tjoret fast til en pa˚le med et tau.<br />
Tauet er 6 m langt. Bakken er dekket av gress.<br />
a) Hvor stort areal har geita a˚ beite pa˚?<br />
b) Hvor mange ekstra kvadratmeter fa˚r geita a˚<br />
beite pa˚ dersom vi forlenger tauet med 3 m?<br />
B1.129<br />
Klara er i ferd med a˚ sy seg nytt skjørt. Hun er 70 cm<br />
rundt livet <strong>og</strong> ønsker at skjørtelengden skal være 80<br />
cm. Hvor mange kvadratmeter stoff trenger hun til a˚<br />
sy dette skjørtet?<br />
1.7 Areal av<br />
sammensatte figurer<br />
A1.130<br />
Figuren viser et rom i et hus.<br />
Hvor stort er arealet av rommet?<br />
36 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER<br />
3,0 m<br />
6,0 m<br />
3,0 m<br />
4,5 m
A1.131<br />
Figuren viser en grunnmur med utsparinger for dør<br />
<strong>og</strong> vindu. Alle ma˚l er gitt i millimeter<br />
(som er det vanlige pa˚ byggetegninger):<br />
2500<br />
1210<br />
1210 1010<br />
5600<br />
Hvor mange kvadratmeter er grunnmuren na˚r vi<br />
trekker fra utsparingene?<br />
A1.132<br />
Dette er gavlveggen pa˚ et hus, der alle ma˚l er<br />
i millimeter:<br />
5300<br />
9500<br />
Hvor mange kvadratmeter er gavlveggen?<br />
2500<br />
A1.133<br />
Figurene nedenfor viser flaggene til Sverige <strong>og</strong><br />
Kongo:<br />
4<br />
2<br />
4<br />
5 2 9 1 2<br />
2110<br />
a) Regn ut arealet av det gule omra˚det i det svenske<br />
flagget. Ga˚ ut fra at alle ma˚l er i desimeter.<br />
b) Regn ut arealet av det gule omra˚det i Kongos<br />
flagg. Ga˚ ut fra at alle ma˚l er i meter.<br />
c) Hvilket av de to flaggene har størst andel<br />
gulfarge?<br />
2<br />
A1.134<br />
Regn ut arealet av figurene:<br />
a) 20 cm<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
20 cm<br />
15 cm<br />
2 dm<br />
2 dm 1 dm<br />
20 cm<br />
6 cm<br />
1 dm<br />
12 cm<br />
7 cm<br />
40 cm<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 37
A1.135<br />
En tomt ser slik ut:<br />
28<br />
19<br />
20 16 28 20<br />
28<br />
Regn ut arealet av tomta na˚r alle ma˚l er i meter.<br />
B1.136<br />
Figuren viser tverrsnittet av et betongrør. Betongtykkelsen<br />
er 5,0 cm, <strong>og</strong> den ytre diameteren er 30 cm.<br />
Hvor mange kvadratcentimeter er tverrsnittet av<br />
betongen?<br />
B1.137<br />
Figuren viser tegningen av en buegang.<br />
Alle ma˚lene er i millimeter. Den øvre delen<br />
av buegangen er en halvsirkel:<br />
1200<br />
2200<br />
a) Hvor stort er tverrsnittet av buegangen?<br />
b) Hva er omkretsen av buegangen?<br />
B1.138<br />
Yang <strong>og</strong> Yin symboliserer en idé innenfor taoismen<br />
om balansen mellom motsetningene i universet<br />
(jord <strong>og</strong> himmel, dag <strong>og</strong> natt, ild <strong>og</strong> vann osv.).<br />
Figuren viser en forenklet versjon av symbolet for<br />
Yang <strong>og</strong> Yin:<br />
Arealet av den store sirkelen er delt i fire like store<br />
deler. Klarer du a˚ vise det ved regning?<br />
1.8 MÔlenheter for<br />
masse <strong>og</strong> volum<br />
A1.139<br />
Gjør om til en passende enhet <strong>og</strong> regn ut:<br />
a) 23 520 ml þ 1;55 l þ 21; 7dl<br />
b) 270 000 mg þ 0;19 kg þ 210 g<br />
A1.140<br />
Ranger fra største til minste verdi:<br />
a) 0;066 l, 6 dl, 70 ml<br />
b) 4551 mg, 0;055 hg, 5;21 g<br />
A1.141<br />
Etanol har en tetthet pa˚ 0;79 kg=dm 3 .<br />
Hvor stor masse har 3;5 liter etanol?<br />
A1.142<br />
Tettheten til sta˚l er8;0 kg=dm 3 , mens tettheten<br />
til bly er 11;3 kg=dm 3 . Hva har størst masse:<br />
en blyplate pa˚ 3;5 dm 3 eller en sta˚lplate<br />
pa˚ 4;7 dm 3 ?<br />
38 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
B1.143<br />
a) Eva <strong>og</strong> Olav har leid tilhenger for a˚ frakte<br />
sand til ga˚rdsplassen sin. Maksimal lasteevne<br />
for tilhengeren er 500 kg. Ett spadetak tilsvarer<br />
0,6 kg. Hvor mange spadetak trengs for a˚ fylle<br />
tilhengeren?<br />
b) Stone er et amerikansk vektma˚l.<br />
1 stone ¼ 6,35 kg. Vil en tilhenger med<br />
lasteevne pa˚ 150 stone ta˚le en last som svarer<br />
til 920 spadetak à 0,6 kg?<br />
B1.144<br />
I USA <strong>og</strong> Storbritannia bruker en ofte volumenheten<br />
gallon. En britisk gallon svarer til 4,546 l, mens en<br />
amerikansk gallon svarer til 3,785 l.<br />
a) Hvor mye bensin ma˚lt i amerikanske gallon kan<br />
du fylle pa˚ en biltank som rommer 60 l?<br />
b) Hvor mye diesel ma˚lt i britiske gallon kan du<br />
fylle pa˚ en lastebiltank som rommer 200 l?<br />
c) Hvor mange amerikanske gallon svarer til en<br />
britisk gallon?<br />
Blandede oppgaver<br />
A1.145<br />
I en matematisk lek for to personer skal den som<br />
begynner, enten si tallet 1 eller 2. Nestemann kan<br />
addere 1 eller 2 til det forrige tallet. Den som til<br />
slutt sier 20, har vunnet. (Tips: Hvilket tall ma˚ du<br />
si nest sist for at du skal vinne?)<br />
A1.146<br />
Figuren viser en grunnmur som er 20 cm tykk:<br />
1500 cm<br />
1000 cm<br />
a) Hvor stor er den ytre omkretsen av muren?<br />
b) Og den indre omkretsen?<br />
c) Hvor mange kvadratmeter er tverrsnittet av<br />
muren?<br />
A1.147<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av en sirkel med<br />
a) radius lik 15,9 cm<br />
b) diameter lik 8,2 dm<br />
c) diameter lik 9,50 m<br />
A1.148<br />
Figuren viser en himling som skal platesla˚s. Etter<br />
at platene er pa˚ plass, skal det spikres opp taklister.<br />
560 cm<br />
400 cm<br />
a) Hvor mange kvadratmeter er himlingen pa˚?<br />
b) Platene har dimensjonen 60 cm 120 cm. Vi<br />
regner med at vi ikke fa˚r brukt kapp fra platene.<br />
Hvor mange plater ga˚r med?<br />
c) Hvor mange meter taklister ga˚r med na˚r<br />
vi regner 5 % tillegg kapp?<br />
A1.149<br />
Et tøystykke har ma˚l <strong>og</strong> form som vist<br />
pa˚ figuren:<br />
35 cm<br />
Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av tøystykket.<br />
A1.150<br />
a) Et kvadrat har en omkrets pa˚ 20 m.<br />
Regn ut arealet av kvadratet.<br />
b) I et rektangel er lengden dobbelt sa˚ lang som<br />
bredden. Omkretsen av rektanglet er 30 dm.<br />
Regn ut arealet av rektanglet.<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 39
A1.151<br />
En gressplen har form som en sirkel med r ¼ 2m.<br />
a) Regn ut arealet <strong>og</strong> omkretsen av plenomra˚det.<br />
b) Plenen er del av et hageomra˚de. Det skal legges<br />
et 20 cm bredt steinbed i form av et kvadrat<br />
rundt plenen. Regn ut den ytre omkretsen av<br />
steinbedet.<br />
A1.152<br />
Johan eier et landomra˚de i Norge med arealet<br />
1906 m2 . I tillegg eier han et omra˚de pa˚ 2 acres<br />
i England. 1 acre ¼ 4047 m2 .<br />
a) Hvor mange ma˚l land eier Johan totalt?<br />
b) Johan ønsker a˚ bygge curlingbaner pa˚ tomta<br />
i Norge. En curlingbane har lengden 44,5 m <strong>og</strong><br />
bredden 4,75 m. Hvor mange curlingbaner fa˚r<br />
han plass til pa˚ den norske tomta?<br />
c) Pa˚ den engelske tomta ønsker Johan a˚ bygge<br />
landingsplasser for helikoptre. Hver landingsplass<br />
skal være sirkulær med radius 25 m.<br />
Hvor mange slike landingsplasser kan han<br />
bygge?<br />
d) Hvilken usikkerhet ligger i svarene du fikk<br />
i b <strong>og</strong> c?<br />
A1.153<br />
Pa˚ «Team Building»-konferanser i reklamebyra˚et<br />
Svada bruker en runde bord med diameter lik 5,0 m.<br />
a) Regn ut omkretsen av et slikt konferansebord.<br />
b) Hvor stort er arealet av bordet?<br />
c) Hvor mange medarbeidere er det plass til<br />
rundt bordet na˚r vi regner at hver person<br />
opptar 70 cm?<br />
A1.154<br />
Et smykkeanheng i rent gull er designet som<br />
figuren viser.<br />
Diameteren av den ytre sirkelen er 3 cm, <strong>og</strong><br />
diameteren av den indre er 2 cm.<br />
a) Finn omkretsen til hver av de to sirklene.<br />
b) Anhenget har fire hull. Regn ut det samlede<br />
arealet av disse hullene.<br />
c) Hva blir omkretsen av de fire hullene til sammen?<br />
d) Anhenget veier 6 g. Hvor mange karat tilsvarer<br />
dette? ð1 karat ¼ 200 mgÞ<br />
e) Hvor mange milliliter rent gull besta˚r anhenget<br />
av? ð gull ¼ 19;3 g=mlÞ<br />
B1.155<br />
Et baderom har ma˚l <strong>og</strong> form som vist pa˚ figuren.<br />
I det ene hjørnet er det montert et dusjkabinett med<br />
form som en kvartsirkel med radius 1,0 m.<br />
1,6 m<br />
2,6 m<br />
2,2 m<br />
2,0 m<br />
a) Regn ut omkretsen av badet.<br />
b) Regn ut arealet av badet.<br />
c) Gulvet skal flislegges med kvadratiske<br />
fliser med side lik 5 cm.<br />
Hvor mange fliser trengs til dette?<br />
d) Omtrent hvor mange fliser ligger innenfor<br />
dusjkabinettet?<br />
40 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER
B1.156<br />
Du fa˚r utdelt like kvadrater. Ved hjelp av dem skal<br />
du lage flest mulig forskjellige rektangler. Du ma˚<br />
bruke alle kvadratene du har fa˚tt utdelt, <strong>og</strong> du har<br />
ikke lov til a˚ legge dem etter hverandre i en lang<br />
rekke.<br />
a) Du fa˚r seks kvadrater. Hvor mange ulike<br />
rektangler kan du lage? Hva om du fa˚r utdelt<br />
tolv eller hundre kvadrater?<br />
b) Klarer du a˚ lage et rektangel ved hjelp av fem<br />
kvadrater? Lag en regel for na˚r det er umulig a˚<br />
konstruere rektangler.<br />
B1.157<br />
«Hvem har tatt de tjue sjokoladene som la˚<br />
i skapet?» roper mamma rasende. «Leif spiste to<br />
flere enn meg,» sladrer Lars. «Jeg fikk bare 2=3 av<br />
det som var til overs,» klager Aslak. Pappa tilsta˚r<br />
at han har spist like mange som Lars, men da hadde<br />
alle de andre forsynt seg først. «Jeg skal fortelle<br />
hvor mange sjokolader hver har tatt, dersom jeg fa˚r<br />
den siste sjokoladen,» sier bestefar.<br />
Hvor mange sjokolader har hver av dem spist?<br />
KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 41