Casio fx–9860

Sandvold | Øgrim | Bakken | Pettersen | Skrindo | Thorstensen | Thorstensen
Digitalt verktøy for Sigma 1T
Casio fx–9860

Casio fx–9860 Sigma 1T
Innhold
1 Innstillinger 4
2 Regning 5
2.1 Regnerekkefølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Tallet π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Minne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Store og små tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7 Sinus, cosinus og tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8 Potenser og n-terøtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.9 Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Funksjoner 9
3.1 Tegning av grafer for hånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Tegning av grafer på lommeregneren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Utregninger på grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 Finne y når du kjenner x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.2 Finne x når du kjenner y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.3 Nullpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.4 Topp- og bunnpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.5 Skjæringspunkter mellom grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.6 Derivert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Lineær regresjon 15
4.1 Enkel regresjon uten graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Regresjon med tegning av graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Likninger 16
5.1 Andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Tredjegradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3 Lineære likningssett med to ukjente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.4 Lineære likningssett med tre ukjente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Sannsynlighetsregning 19
6.1 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
r
6.2 Simulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2

Casio fx–9860 Sigma 1T
Innledning
Dette heftet er ment som en beskrivelse av lommeregneren Casio fx–9860 som
digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1T», studieforbedredende
utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal
Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der.
Henvisninger fra boka
Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale
verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler
det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk
1T, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, 2009. I den elektroniske utgaven av
heftet er referansene klikkbare.
Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet
Side 10 Tallregning 2
Side 14 Regnerekkefølge 2.1
Side 66 Likningssett 5.3
Side 70 Regresjon 4
Side 86 Potenser 2.8
Side 88 Negative potenser 2.8
Side 90 Lese standardform 2.6
Side 91 Taste inn standardform 2.6
Side 92 N-terot 2.8
Side 94 Brøkeksponent 2.8
Side 95 Lage verditabell 3.1
Side 96 Logaritmer 2.9
Side 136 nC r 6.1
Side 171 Andregradslikning 5.1
Side 202 Sinus, cosinus, tangens 2.7
Side 206 Inversfunksjonene 2.7
Side 245 Tegne graf 3.2
Side 262 Informasjon fra grafer 3.3
Side 265 Regne ut funksjonsverdi 3.3.1
Side 266 Regne ut den deriverte 3.3.6
Side 271 Finne tangent 3.4
3

Casio fx–9860 Sigma 1T
1 Innstillinger
Lommeregneren som beskrives her er denne:
Legg merke til at du trykker på SHIFT for å velge det som står skrevet med gult
over kappene, på vestre side. Du trykker ALPHA for å velge det som står skrevet
med rødt over knappene på høyre side. Heretter angir vi vanligvis ikke når skal
trykke SHIFT og ALPHA.
Før du begynner å bruke lommeregneren, stiller du den inn så den passer til det du
skal gjøre. Tast MENU, velg RUN og gjør følgende innstillinger:
4

Casio fx–9860 Sigma 1T
Hvis innstillingene dine ikke stemmer, bruker du piltastene, og foretar riktig valg
med F-tastene. Avslutt med EXIT.
2 Regning
2.1 Regnerekkefølge
Regnerekkefølgen er lagt inn i lommeregneren. Så vi kan taste rett inn slik det står.
Utregningen 4 + 5 · 2 3 taster vi inn som det står og avslutter med ENTER. Legg
merke til at lommeregneren har en egen knapp for potens, nemlig «∧».
Dersom vi skal omgå regnerekkefølgen, må vi angi ønsket rekkefølge med parenteser,
som for eksempel i utregningen 7 · (−4 2 − 5 · (−3)) 2 , som tastes inn slik:
2.2 Tallet π
Lommeregneren har egen tast for π, som vi bruker i stedet for det unøyaktige 3,14.
2.3 Minne
Lommeregneren har en minnefunksjon, slik at du enkelt kan bruke tall du har kommet
fram til tidligere.
Alle svar lagres automatisk i det midlertidige minnet Ans, en forkorting for «answer».
La oss si at du har regnet ut (4 + 5) · 2 3 og fått 72. Om du så taster ∗π og
trykker på enter, vil lommeregneren multiplisere det forrige svaret du fikk, nemlig
72, med π.
5

Casio fx–9860 Sigma 1T
Om du vil bruke det siste svaret inni en utregning, taster du ANS.
I tillegg til ANS, fungerer alle bokstaver på lommeregneren som minne. Du legger
tall inn i minnet ved å taste →, deretter ALPHA og så bokstaven. Du bruker tallet
i minnet ved å taste ALPHA og så bokstaven. Slik ser det ut om vi legger 2 og 71
inn i minnene A og B og så regner ut A·B og får 142.
2.4 Parenteser
Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, da
vi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er
5 + 7
2 · 3
= 12
6
Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning på lommeregneren, må vi hjelpe
til med å slå parenteser om telleren og nevneren.
Mange av funksjonene på lommeregneren er slik at vi må angi hva funksjonen
gjeler for med parenteser. Skal vi for eksempel regne ut 5 + 20 + 3, taster vi
(5 + 20) + 3:
= 2
6

Casio fx–9860 Sigma 1T
2.5 Brøk
Lommeregneren har en egen knapp for brøk, knappen merket med «a b/c». Taster
du inn 3
, ser det slik ut:
5
Pass på å slå parenteser om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd.
Skal vi for eksempel regne ut
2 + 3
3
− 8
7 − 3
slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren og får:
Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal vi
regne ut brøken
1
2
1
2
taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken.
Når du har fått et svar, kan du veksle mellom uekte brøk og vanlig brøk med knappen
som er merket med «a b d
↔ ». Dessuten kan du veksle mellom brøk og desimaltall
c c
med knappen merket med «F ↔ D».
2.6 Store og små tall
Lommeregneren har plass til 10 sifre i vinduet. Når du regner med et tall hvor du
trenger flere sifre, brukes standardform. Lommeregneren skriver 2E3 for 2 · 10 3 .
For å regne ut
6700000000 · 0,0002
ber du lommeregneren om 6,7 · 10 9 · 2 · 10 −4 ved å taste 6.7E9*2E-4. Tegnet «E»
får du ved å trykke på tasten «EXP».
7

Casio fx–9860 Sigma 1T
2.7 Sinus, cosinus og tangens
De trigonometriske funksjonene har egne knapper, sin, cos og tan. For å finne sin 45,
taster du rett inn «sin 45».
Altså er sin 45 = 0.7071067812.
For å finne hvilken vinkel som har cosinus-verdi 1
2 , taster vi cos−1 1 2:
Altså vet vi at cos 60 = 1
2 .
Når vi arbeider med sinus, cosinus og tangens, er det viktig at lommeregneren er
stilt inn på grader («Deg»), se avsnitt 1 på side 4.
2.8 Potenser og n-terøtter
For å regne ut n-terøtter, bruker vi x .
Eksempel: For å beregne 5 7,34, taster vi først 5, deretter x og skriver inn 7,34.
Når vi trykker EXE, får vi:
Lommeregneren har en egen knapp for potens, nemlig «∧». Vi regner ut 2 5 ved å
taste 2 ∧ 5.
Negative eksponenter tastes inn med parenteser rundt eksponenten. Vi regner ut
2 −5 ved å taste 2 ∧ (−)5.
Også brøkeksponenter tastes inn med parenteser om eksponenten. Vi regner ut 2 2
3
ved å taste 2 ∧ (2 3).
8

Casio fx–9860 Sigma 1T
Lommeregneren har dessuten en egen knapp for andre potens, som er merket med
x 2 .
2.9 Logaritmer
Logaritmer med grunntall 10 har en egen knapp, nemlig «log». Så vi finner lg 25
ved å taste «log 25».
3 Funksjoner
3.1 Tegning av grafer for hånd
Når du tegner grafer for hånd, kan det være greit å bruke lommeregneren til å regne
ut en verditabell. Først legger vi inn funksjonsuttrykket. Vi taster MENU og velger
TABLE. Der taster vi funksjonsuttrykket inn på en av y-variablene. For å taste x,
trykker vi på knappen X, Θ, T.
Om vi for eksempel skal arbeide med funksjonen f(x) = 0,023 · x 1,7 , ser det slik ut
på lommeregneren:
Nå stiller vi inn hvordan vi vil ha tabellen. Vi velger «set» (F5) og skriver inn start
og slutt for x-verdiene i tabellen. «Step» angir hvor store sprang tabellen har. Det
varierer fra oppgave til oppgave hvor store sprang det er hensiktsmessig å bruke.
Skal vi tegne grafen for x mellom −10 og 10, lar vi «step» være 1. Dersom vi
skal tegne grafen for x mellom 0 og 100 000, lar vi sprangene være 10 000. I vårt
eksempel, med f(x) = 0,023 · x 1,7 , passer det fint å bruke sprang på 5. Da ser det
slik ut.
Til slutt trykker vi på TABLE og får opp tabellen:
9

Casio fx–9860 Sigma 1T
Når vi beveger oss i tabellen med oppover- eller nedoverpil, får se hvordan tabellen
fortsetter.
Ønsker du selv å bestemme hvilke x-verdier som skal inngå i verditabellen, kan du
taste verdiene inn i kolonnen for x.
Når vi så har laget verditabellen, merker vi av punktene i et koordinatsystem og
tegner en glatt kurve gjennom dem.
8
6
4
2
10
20 30
3.2 Tegning av grafer på lommeregneren
Vi skal tegne grafen til en funksjon f(x) på lommeregneren. Ut fra funksjonens
definisjonsmengde lager vi verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1 på side 9.
Det hender oppgaven ber oss om et spesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det.
Som eksempel, skal vi nå tegne grafen til f(x) = 15
. Først legger vi inn funksjons-
x
uttrykket. Vi trykker på MENU og velger GRAPH. Der taster vi funksjonsuttrykket
inn på en av y-variablene. For å taste x, trykker vi på knappen X, T, Θ, n.
Vi trykker på SET og lar tabellen gå fra 0 til 15 og øke med 2.
10

Casio fx–9860 Sigma 1T
Vi trykker EXE to ganger og får opp tabellen. Siden x = 0 gir null i nevneren, får
vi ERROR for den x-verdien.
Vi ser av tabellen at om vi lar x gå fra 0 til 15, må y være mellom 0 og 15. Vi trykker
på «V-Window» og taster inn minste og største verdi for x og y.
Til slutt trykker vi på MENU, velger GRAPH og trykker på DRAW. Da får vi tegnet
grafen.
Dersom du vil forstørre eller forminske grafen, kan du trykke på V-Window og
endre vindusinstillingene. Det er også mulig å trykke på ZOOM og bruke en av
funksjonene der.
Dersom vi i eksempelet ovenfor ønsker å se nærmere på den delen av grafen hvor
y er mindre enn 7 og x er mindre enn 5, endrer vi vinduet tilsvarende og får:
11

Casio fx–9860 Sigma 1T
3.3 Utregninger på grafen
For instruksjonene nedenfor antar vi at vi har tegnet grafen til funksjonen vi undersøker
på lommeregneren.
3.3.1 Finne y når du kjenner x
Vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi av x. En av måtene å gjøre dette
på er å lage verditabellen, jfr. avsnitt 3.1, og taste inn ønsket x-verdi der.
Eksempel: Vi har tegnet grafen til funksjonen f(x) = −0,001x 3 + 0,09x 2 + 10 med
x mellom 0 og 60. Vi regner ut f(10) ved å trykke på MENU > TABLE > TABL.
Der skriver vi inn 10:
Tabellen viser at f(10) = 18.
3.3.2 Finne x når du kjenner y
Om vi skal finne hvilken x-verdi som svarer til en bestemt y-verdi, bruker vi funksjonen
G-Solv. Vi trykker på pila (◃, F6), velger «X-CAL» og taster inn y-verdien.
Eksempel: Vi har tegnet grafen til funksjonen f(x) = −0,0025x 3 + 0,075x 2 + 1.
Vi skal finne når f(x) oppnår verdien 4,1. Vi velger G-Solv > X-CAL og taster inn
y = 4, 1.
12

Casio fx–9860 Sigma 1T
Lommeregneren oppgir her at funksjonen har verdien 4,1 når x er ca. 7,4.
Dersom det er flere punkter på grafen med denne y-verdien, trykker du på høyreog
venstrepil til du har funnet alle.
3.3.3 Nullpunkter
For å finne nullpunktet til en funksjon vi har tegnet på lommeregneren, trykker vi
G-Solv og velger ROOT.
Eksempel: La f(x) = −0,5x 3 + 2x 2 + 3x − 6. Vi skal finne nullpunktene. Vi har
tegnet grafen til f for x ∈ [−4, 7]. Vi trykker G-Solv og velger ROOT. Da viser
lommeregneren det venstre nullpunktet.
Lommeregneren oppgir her at det venstre nullpunktet er (−2, 0). Når det er flere
nullpunkter, trykker du på høyrepil til neste nullpunkt.
3.3.4 Topp- og bunnpunkter
Vi finner toppunkter og minimumspunkter ved å trykke G-Solv og velge MAX for
toppunkt eller MIN for bunnpunkt.
Eksempel: La f(x) = −0,5x 3 +2x 2 +3x−6. Vi har tegnet grafen til f for x ∈ [−4, 7].
Vi skal finne topp- og bunnpunkter. Vi trykker G-Solv og velger MIN:
13

Casio fx–9860 Sigma 1T
Her oppgir lommeregneren at bunnpunktet er omtrent (−0,61, −6,97).
Dersom det er flere bunnpunkter, går du videre til neste bunnpunkt med høyrepil.
For å finne toppunkter, gjør du som for bunnpunkter, men trykker G-Solv og velger
MAX i stedet for MIN. Da får vi
Her oppgir lommeregneren at toppunktet er omtrent (3,28, 7,71).
3.3.5 Skjæringspunkter mellom grafer
Skjæringspunkter mellom to grafer finner vi ved å trykke G-Solv og velge ISCT.
Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom f(x) = −0,5x 3 + 2x 2 + 3x − 6
og g(x) = x + 2. Vi legger funksjonsuttrykkene inn i Y 1 og Y 2. Så trykker vi G-Solv
og velger ISCT. Lommeregneren finner det venstre skjæringspunktet. Da ser det
slik ut:
Lommeregneren oppgir her at det venstre skjæringspunktet for de to grafene er
(−2, 0).
Dersom det er flere skjæringspunkter, trykker du på høyrepil til neste skjæringspunkt.
3.3.6 Derivert
For å regne ut den deriverte i et punkt, trykker vi MENU og velger RUN. Der
trykker vi OPTN-knappen og velger så CALC og «d/dx».
Eksempel: Vi har tegnet grafen til funksjonen f(x) = −0,001x 3 + 0,09x 2 + 10 for
x ∈ [0, 60]. Vi skal finne den deriverte når x = 10, altså f ′ (10). Vi trykker MENU
> RUN > OPTN > CALC > d/dx. Vi skal skrive «d/dx(Y1,10)». Vi taster VARS >
14

Casio fx–9860 Sigma 1T
GRPH og velger Y, legger til et 1-tall og videre «,10)». Kommaet er det som ligger
like over DEL-knappen, på egen knapp. Da ser det slik ut:
Dette betyr at f ′ (10) = 1,5.
3.4 Tangent
Casio fx-9860 klarer å tegne en tangent til en funksjon i et punkt, men oppgir ikke
funksjonsuttrykket til linja.
4 Lineær regresjon
4.1 Enkel regresjon uten graf
For å legge inn en tabell til regresjon, taster du MENU og velger STAT. Legg inn
x-verdiene i List 1 og y-verdiene i List 2. Ekempel: Denne verditabellen:
ser slik ut på lommeregneren:
x −10 −5 0 5
y 868 735 566 448
For å slette en enkelt oppføring, setter du markøren over den og trykker på DEL.
For å slette hele lista, velger du ◃ (F6) og velger DEL-A.
Når vi har lagt inn begge listene, velger vi CALC > REG og velger X, som betyr
lineær regresjon. Da får vi denne:
Dette betyr at regresjonslinja er y = −28,6x + 582,8.
15

Casio fx–9860 Sigma 1T
Verdien av r og r 2 er et mål på hvor god regresjonen er. Jo nærmere 1 eller −1
verdiene er, jo bedre er regresjonen.
4.2 Regresjon med tegning av graf
Lommeregneren kan også legge punktene inn i et koordinatsystem og tegne regresjonslinja
i samme koordinatsystem.
Først legger du inn verditabellen, jfr. avsnitt 4.1 på side 15. Deretter velger du
GRPH og velger graf nummer 1. Da skal det se slik ut:
Nå velger vi CALC > X og velger DRAW.
Om vi vil lagre funksjonsuttrykket for videre behandling, velger vi COPY i stedet
for DRAW. Da kommer vi til lista over funksjonsuttrykk for graftegning. Vi går
til for eksempel Y1 og trykker EXE. Vi kommer tilbake til regresjonsvinduet, og
funksjonsuttrykket er lagret.
5 Likninger
5.1 Andregradslikninger
For å løse andregradslikninger, skriver du dem på formen
ax 2 + bx + c = 0
og taster inn koeffisientene a, b og c i løsningsprogrammet for andregradslikninger.
Det finner du på MENU > EQUA > Polynomial > 2.
Eksempel: Vi løser likningen
−1,2388x 2 + 3,423x − 4
= 0
3
16

Casio fx–9860 Sigma 1T
Tast inn a = −1,2388, b = 3,423 og c = − 4
3 .
Når du så trykker ENTER, får du løsningen:
Altså er løsningen x = 0,47 eller x = 2,29.
5.2 Tredjegradslikninger
For å løse tredjegradslikninger, skriver du dem på formen
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
og taster inn koeffisientene a, b, c og d i løsningsprogrammet for tredjegradslikninger.
Det finner du på MENU > EQUA > Polynomial > 3.
Eksempel: Vi løser tredjegradslikningen
3x 3 − x 2 − 12x + 4 = 0
Vi taster inn a = 3, b = −1, c = −12 og d = 4:
Når du trykker ENTER, får du løsningen:
17

Casio fx–9860 Sigma 1T
5.3 Lineære likningssett med to ukjente
Lineære likningssett med to ukjente løses ved å omforme likningene til de har formen
a1x + b1y = c1
a 2x + b 2y = c 2
Så går du til MENU > EQUA > Simultaneous > 2. Der taster du inn koeffisientene
a 1, b 1, c 1, a 2, b 2 og c 2.
Eksempel: La oss løse likningssettet
3x − 2y = 4
x + 2y = 4
Vi taster inn koeffisientene i programmet:
Når vi trykker SOLV, får vi:
Altså er løsningen x = 2 og y = 1.
5.4 Lineære likningssett med tre ukjente
Lineære likningssett med to ukjente løses ved å omforme likningene til de har formen
⎡
a
⎢
1x + b1y + c1z ⎣ a2x + b2y + c2z =
=
d1 d2 ⎤
⎥
⎦
a3x + b3y + c3z = d3 Så trykker du på MENU > EQUA > Simultaneous > 3. Der taster du inn koeffisientene
a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3 og d3. Eksempel: La oss løse likningssettet
⎡
3x + 4y − z
⎢
⎣ −x + 5y + 3z
=
=
⎤
−21
⎥
−32 ⎦
2x + y + 5z = 9
18

Casio fx–9860 Sigma 1T
Vi taster inn koeffisientene i programmet:
Når vi trykker SOLV, får vi:
Altså er løsningen x = 3, y = −7 og z = 2.
6 Sannsynlighetsregning
6.1 n
r
Vi er i MENU > RUN. For å finne menyen for sannsynlighetsregning trykker vi på
OPTN, går til høyre (◃) med F6 og velger PROB. Da kommer denne menylinja opp
nederst på skjermen:
Antall kombinasjoner av r ut fra n, finner vi med nCr. Skal vi for eksempel regne
, så taster vi først 3, så nCr og til slutt 2.
ut 3
2
Altså er 3 = 3.
2
6.2 Simulering
I sannsynlighetsmenyen, jfr. avsnitt 6.1 over, finner du også «Ran#». Denne funksjonen
gir et tilfeldig tall mellom 0 og 1. Det er mulig å bruke dette til å simulere
19

Casio fx–9860 Sigma 1T
enkle uniforme modeller.
Eksempel: Vi skal simulere terningkast. Da trenger vi «Intg» (MENU > RUN >
OPTN > NUM) til å avrunde ned til nærmeste heltall. Tast inn «Intg (Ran# *6)
+1». Ved gjentatte trykk på EXE får vi for eksempel dette:
Hvert nytt trykk på ENTER gir oss et tilfeldig tall mellom 1 og 6.
20