StatDataN: Middelværdi og varians

StatDataN: Middelværdi og varians
JLJ
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 1/33

Repetition
Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele
tal eller over i de reelle tal
Ex: Ω = alle egetræer,
X(ω) = antallet af blade på træet ω
Y (ω) = højden af træet ω
Sandsynlighedsfunktion (tæthed) og fordelingsfunktion:
fX(x) = P(X = x), FX(x) = P(X ≤ x)
To stokastiske variable: simultan sandsynlighed og betinget
sandsynlighed
P(X = i|Y = j) =
P(X=i,Y =j)
P(Y =j)
X’s fordeling: beskrivelse af fX eller FX
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 2/33

Betinget sandsynlighed
Cykeltur: ss p for punktering på baghjul (B)
ss 1 2p for punktering på forhjul (F)
de to hjul er uafhængige
Vi betinger med at ét hjul punkterer (et)
P(forhjul|ét hjul) = P(F |et)
= P(F,et
P(et)
=
=
= P(F, ikke B)
P(et)
P(F, ikke B)
P(F, ikke B) + P(ikke F,B)
1
2
≈ 1
3
1
2p(1 − p)
p(1 − p) + (1 − 1
2
p lille
p)p = 1 − p
3 − 2p
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 3/33

Gevinst i mange spil
Spil: Taber 1 kr ved plat, vinder 1 kr ved krone
Ét spil: Enten gevinst eller tab
Mange spil?: Er der tab i det lange løb?
n spil: vinder i kn og taber i n − kn
gennemsnitlige gevinst:
jvf "fysiske" definition af ss
1
n [1 · kn − 1 · (n − kn)]
= 1 · kn kn
− 1 · (1 −
n n )
→ 1 · P(plat) − 1 · P(krone)
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 4/33

Middelværdi af diskret sv
Definition på middelværdi E(X) af diskret stokastisk
variabel
E(X) =
i · P(X = i)
Middelværdien er en egenskab ved ss-fordelingen
i
Fortolkning: gennemsnitlige værdi ved mange uafhængige
gentagelser
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 5/33

Populationsgennemsnit
Ω=population
P : tilfældig udvælgelse, P(Peter Mathisen) = 1
|Ω|
X: stokastisk variabel
E(X) kaldes populations-gennemsnittet
Ωi = {ω|X(ω) = i}, |Ωi| = antal elementer,
E(X) =
i · P(X = i) =
i
= 1
|Ω|
= 1
|Ω|
i
i
i
ω∈Ωi
ω∈Ωi
i
1 = 1
|Ω|
i · |Ωi|
|Ω|
X(ω) = 1
|Ω|
i
ω∈Ωi
ω∈Ω
i
X(ω)
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 6/33

Chevalier de Meré
Spil: 24 kast med 2 terninger
1 mindst én dobbelt sekser
X = gevinst =
−1 ingen dobbelt sekser
Hvad er den gennemsnitlige gevinst i det lange løb?
E(X) = 1 · P(..) − 1 · (1 − P(..))
Chevalier de Meré (∼1650) fandt empirisk (!) at E(X) < 0
eller P(..) < 1 2
Han havde ellers beregnet at P(..) > 1 2
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 7/33

Chevalier de Meré
P(ingen dobbelt 6-er) =
P(mindst én dobbelt 6-er) = 1 −
24 35
36
24 35
36
E(X) = 1 · 0.4914039 − 1 · 0.5085961 = −0.01719
= 0.5085961
= 0.4914039
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 8/33

p er en parameter
Bernoulli variabel
X =
E(X) = 1 · p + 0 · (1 − p) = p
X 2 = X, E(X 2 ) = E(X) = p
1 med ss p
0 med ss 1 − p
V (X) = E(X 2 ) − [E(X)] 2 = p − p 2 = p(1 − p)
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 9/33

Middelværdi=ligevægt
Vægtstangprincip:
1 kg placeret i afstand r fra omdrejningspunkt har samme
effekt som 2 kg placeret i den halve afstand
Den samlede effekt af masserne m1,...,mk placeret i
afstandene r1,...,rk er
m1r1 + m2r2 + · · · + mkrk
Placer massen P(X = i) i punktet i: hvor skal vi placere
omdrejningspunkt o for at få ligevægt:
P(X = i)(i − o) = 0
i
⇔
iP(X = i) − o
P(X = i) = 0
i
⇔ E(X) = o · 1 = o
i
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 10/33

Middelværdi af en funktion af X
Lad Y = h(X) med h : N → N
P(Y = j) =
{x så at h(x)=j}
P(X = x)
Ex: h(x) = (x − 5) 2
{x : h(x) = 1} = {4, 6}, {x : h(x) = 4} = {3, 7}
E(Y ) =
j · P(Y = j) =
j
j
=
j
x:h(x)=j
=
h(x)P(X = x)
x
j
x:h(x)=j
jP(X = x) =
j
P(X = x)
x:h(x)=j
h(x)P(X = x)
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 11/33

Middelværdi af en funktion af X
E(h(X)) =
h(x)P(X = x)
Vi bruger samme formel generelt for Y = h(X) hvor
h : N → R
Ex: Y = X 2
x −2 −1 0 1 2
P(X = x) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
y 4 1 0 1 4
E(X) = 0.2(−2 − 1 + 0 + 1 + 2) = 0,
E(Y ) = 0 · 0.2 + 1 · 0.4 + 4 · 0.4 = 2
x
y 0 1 4
P(Y = y) 0.2 0.4 0.4
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 12/33

Lad a og b være konstanter:
Regneregler
E(a + bX) =
(a + bi)P(X = i)
i
= a
P(X = i) + b
iP(X = i)
i
= a + bE(X)
i
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 13/33

Lad h : N × N → R
Regneregler: sum
E(h(X,Y )) =
h(i,j)P(X = i,Y = j)
E(X + Y ) =
(i + j)P(X = i,Y = j)
i,j
i,j
=
i
P(X = i,Y = j) +
j
P(X = i,Y = j)
i
j
=
iP(X = i) +
jP(Y = j)
i
= E(X) + E(Y )
Middelværdi af sum er sum af middelværdier
j
j
i
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 14/33

Geometrisk fordeling
X = antal mislykkede forsøg før man bliver gravid
ss for graviditet i hvert forsøg = 1 − p
P(X = k) = p · p · p · · · p · (1 − p) = p k (1 − p), k = 0, 1, 2,...,
0 < p < 1
(1 − θ) n
k=0 θk =
(1 + θ + θ 2 + · · · + θ n ) − (θ + θ 2 + · · · + θ n+1 ) = 1 − θ n+1
∞
k=0 θk = 1
1−θ
∞
k=1 kθk−1 = 1
(1−θ) 2
E(X) = ∞
k=0 kpk (1 − p) = p(1 − p) ∞
k=1 kpk−1 = p
1−p
Ex: 1 − p = 1 4
→ E(X) = 3
OBS: E(X − n|X > n) = p
1−p
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 15/33

Geometrisk fordeling
∞
k=1 kθk−1 = 1
(1−θ) 2 ,
E(X 2 ) =
∞
k=0
= p 2 (1 − p)
k 2 p k (1 − p) =
∞
k=2 k(k − 1)θk−2 = 2
(1−θ) 3
∞
k(k − 1 + 1)p k (1 − p)
k=0
∞
k(k − 1)p k−2 + E(X)
k=2
= p 2 2 p
(1 − p) +
(1 − p) 3 1 − p
=
2p2 p
+
(1 − p) 2 1 − p
V (X) = E(X 2 ) − [E(X)] 2 = 2p2
(1−p) 2 + p
1−p
− p2
(1−p) 2 = p
(1−p) 2
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 16/33

Kontinuert sv
Husk P(X ∈ [x − ɛ 2 ,x + ɛ 2 ]) ≈ fX(x) · ɛ
E(X) =
∞
−∞
Regneregler som før:
E(h(X)) = ∞
−∞ h(x)fX(x)dx
E(a + bX) = a + bE(X)
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
xfX(x)dx ≈ værdi · P(værdi)
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 17/33

Uniform fordeling
Vi betragter den uniforme fordeling på intervallet [0, 1].
Denne har tæthed 1 på [0, 1] og 0 ellers.
E(X) = 1
0 x · 1 · dx = [1 2 x2 ] 1 0 = 1 2 · 12 − 0 = 1 2
E(X 2 ) = 1
0 x2 · 1 · dx = [ 1 3 x3 ] 1 0 = 1 3 · 13 − 0 = 1 3
V (X) = E(X 2 ) − [E(X)] 2 = 1 3 − (1 2 )2 = 4
12
− 3
12
= 1
12
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 18/33

Eksponentialfordeling
X ventetid indtil klik i geigertæller
fX(x) = e −x , x ≥ 0,
P(X ≥ z) = ∞
z e−x dx = [−e −x ] ∞ z = −0 + e −z = e −z
E(X) = ∞
0 xe−x dx = [−(x + 1)e −x ] ∞ 0
E(X 2 ) = ∞
0 x2 e −x dx = [−(x 2 + 2x + 2)e −x ] ∞ 0
V (X) = E(X 2 ) − [E(X)] 2 = 2 − 1 2 = 1
= 0 − (−(0 + 1)) = 1
= 2
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 19/33

Varians
En statistisk undersøgelse går ud på at vurdere om noget
er typisk eller atypisk. Til dette skal vi udover midddelværdi
også bruge et udtryk for spredningen omkring
middelværdien
Definition: Varians V (X)
V (X) = E([X − E(X)] 2 )
Ex: Kast med en terning. X= antal øjne
E(X) = 1 · 1
6
+ 2 · 1
6
+ 3 · 1
6
+ 4 · 1
6
+ 5 · 1
6
+ 6 · 1
6
= 21
6
V (X) = (1 − 3.5) 2 · 1
6 + (2 − 3.5)2 · 1
6 + (3 − 3.5)2 · 1
6
+(4 − 3.5) 2 · 1
6 + (5 − 3.5)2 · 1
6 + (6 − 3.5)2 · 1
6
= 3.5
= 35
12
= 2.92
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 20/33

Spredning
V (X) har ikke samme måleenhed som X. Istedet:
Definition: Spredning eller standardafvigelse
σ(X) = V (X)
Ex: terningekast. Spredning = 35/12 ≈ 1.71
Hvordan kan vi forstå spredningen: Grov regel:
cirka 30% af observationerne afviger mere end
1·spredning fra middelværdien
cirka 5% af observationerne afviger mere end
2·spredning fra middelværdien
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 21/33

Regneregel: Lad µ = E(X):
Varians
V (X) = E([X − µ] 2 ) = E(X 2 − 2µX + µ 2 )
= E(X 2 ) − 2µE(X) + µ 2
= E(X 2 ) − [E(X)] 2
Bernoulli V (X) = p(1 − p)
Terning V (X) = 35
Geometrisk
12
V (X) = p
(1−p) 2
Uniform V (X) = 1 12
Eksponential V (X) = 1
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 22/33

Regneregler: a + bX
Lad a og b være konstanter
V (a + bX) = E([a + bX − {a + bE(X)}] 2 )
= E([b{X − E(X)}] 2 )
= b 2 E([X − E(X)] 2 )
= b 2 V (X)
σ(a + bX) = |b|σ(X)
V (konstant) = 0
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 23/33

Regneregler
Hvis X og Y er uafhængige så er
E[g(X)h(Y )] =
g(i)h(j)P(X = i,Y = j)
i,j
=
g(i)h(j)P(X = i)P(Y = j)
i,j
=
g(i)P(X = i)
h(j)P(Y = j)
i
=
g(i)P(X = i) [E(h(Y ))]
i
= [E(g(X))] [E(h(Y ))]
j
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 24/33

Regneregler: sum
Hvis X og Y er uafhængige så er
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
Varians af sum af uafhængige = sum af varianser
E[(X + Y ) 2 ] = E[X 2 + Y 2 + 2XY ]
= E(X 2 ) + E(Y 2 ) + 2E(X)E(Y ),
[E(X) + E(Y )] 2 = [E(X)] 2 + [E(Y )] 2 + 2E(X)E(Y ),
V (X + Y ) = E(X 2 ) + E(Y 2 ) − [E(X)] 2 − [E(Y )] 2
= V (X) + V (Y )
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 25/33

Regneregler: gennemsnit
For n uafhængige og identisk fordelte variable:
V ( 1
n
n
i=1
Xi) = 1
n 2V (X1 + [X2 + · · · + Xn])
= 1
n 2[V (X1) + V (X2 + · · · + Xn)]
= ... = 1
n 2[V (X1) + V (X2) + · · · + V (Xn)]
= 1
n2nV (X1) = 1
V (X1)
n
σ( ¯X) = 1
√ n σ(X1) ¯X = 1
n
4-dobling af n giver halvering af spredning
n
i=1
Xi
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 26/33

Kovarians
Når X og Y ikke er uafhængige er
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X,Y )
hvor Cov(X,Y ) = E([X − E(X)][Y − E(Y )]) kaldes
kovariansen
Korrelationskoefficienten:
ρ(X,Y ) =
Cov(X,Y )
V (X)V (Y )
−1 ≤ ρ(X,Y ) ≤ 1, (ρ(X,Y ) = ±1) ⇔ (Y = a + bX)
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 27/33

Kovarians
Ex: Kast med to terninger, X = max, Y = sum.
Vis R-beregninger
E(X) = 4.4, V (X) = 1.97, σ(X) = 1.40
E(Y ) = 7, V (Y ) = 5.83, σ(Y ) = 2.42
Cov(X,Y ) = 2.92, ρ(X,Y ) = 0.86
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 28/33

Kovarians
Ex: Y = βX + Z, X og Z er uafhængige, β er en parameter
E(Y ) = βE(X) + E(Z), V (Y ) = β 2 V (X) + V (Z)
E(Y |X = x) = E(Z) + βx, V (Y |X = x) = V (Z)
Cov(X,Y ) = Cov(X,βX + Z) = Cov(X,βX) + Cov(X,Z)
ρ(X,Y ) =
= βV (X)
βV (X)
V (X)[β 2 V (X) + V (Z)] =
β
β 2 + V (Z)/V (X)
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 29/33

Fraktil
p-fraktilen xp for en fordelingsfunktion F er den værdi af x
som opfylder
F(xp) ≥ p og F(x) < p for x < xp
I ord betyder dette at xp er det første punkt hvor den
kumulerede ss når op på eller over p
Ex: (Vis R-plot) x0.25 = 0.5, x0.75 = 1, x0.6 = 1
F(x) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0 x < 0
1
2
3
4
x 0 ≤ x < 1
1 + 4 (x − 1) 1 ≤ x < 2
1 2 ≤ x
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 30/33

Fraktil
For en standard normalfordeling (som I ikke kender endnu)
er der 97.5% ss for at ligge under 1.96 og 2.5% ss for at
ligge over. 97.5%-fraktilen er altså 1.96
Fraktiler finder man ved at slå op i en tabel: Tabel 1-6
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 31/33

Fraktil
Ex: Møntkast:
⎧
X = 1 hvis krone og X = 0 hvis plat
⎪⎨ 0 x < 0
FX(x) = 0.5 0 ≤ x < 1
⎪⎩
1 x ≥ 1
0 0 < p ≤ 0.5
xp =
1 0.5 < p ≤ 1
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 32/33

Resume
Middelværdi = sum af værdi · ss for denne værdi
E(h(X) =
i h(i)P(X = i)
Middelværdi af sum = sum af middelværdier
Varians: E[E − E(X)] 2 , spredning = √ varians
V (bX) = b 2 V (X)
Varians af sum af uafhængige = sum af varianser
Fraktiler → tabeller
StatDataN: Middelværdi og varians – p. 33/33