Aerodynamics of Fluttering and Tumbling Cards - Danmarks ...
Aerodynamics of Fluttering and Tumbling Cards - Danmarks ...
Aerodynamics of Fluttering and Tumbling Cards - Danmarks ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Verden i Naturvidenskabeligt Perspektiv<br />
Det Fysiske Grundlag<br />
Anders Andersen<br />
Institut for Fysik, <strong>Danmarks</strong> Tekniske Universitet
Plan for forelæsning om strømninger<br />
• Arkimedes’ princip, tryk og trykmåling<br />
• Eulers og Navier-Stokes ligninger<br />
• Reynolds tal, laminare flows og turbulens<br />
• Hvirvelstrømninger i naturen
Arkimedes’ princip<br />
Arkimedes, 287 f.Kr. – 212 f.Kr.
Torricelli og Pascal
Tryk, kraft per areal: p = F<br />
A
Luftens tryk aftager med højden<br />
Barometer.<br />
Puy de Dôme, højde 1.4 km.
Fluidmekanikkens teoretiske grundlag<br />
Leonhard Euler (1707-1783).
Eulers ligning for væskestrømning<br />
Newtons 2. lov for en væske eller en gas uden friktion:<br />
µ <br />
∂ ~v<br />
ρ +(~v · ∇)~v = −∇p + ρ ~g ,<br />
∂ t<br />
hvor ρ er massetætheden, ~v er strømningshastigheden,<br />
p er trykket, og ~g er tyngdeaccelerationen.<br />
Kontinuitetsligningen udtrykker massebevarelsen<br />
for en usammentrykkelig væske eller gas:<br />
∇ · ~v =0.
Navier og Stokes<br />
Claude-Louis Navier (1785-1835).<br />
George Stokes (1819-1903).
Navier-Stokes ligning og Reynolds tal<br />
Newtons2.lovforenvæskeellerengasmedfriktion:<br />
µ <br />
∂ ~v<br />
ρ +(~v · ∇)~v = −∇p + η∇<br />
∂ t 2 ~v + ρ ~g ,<br />
hvor η er væskens eller gassens viskositet.<br />
Reynolds tal er forholdet mellem inerti og viskositet:<br />
Re =<br />
ρ VL<br />
η<br />
hvor V og L er typiske værdier for hastighed og længde.<br />
,
Reynolds tal i natur og teknik<br />
Tabel fra “Physics <strong>of</strong> Continuous Matter” af B. Lautrup (2005).
Overgang fra laminar til turbulent rørstrømning<br />
Lavt Re<br />
Højt Re<br />
Skitse fra Reynolds originale eksperiment fra 1883.
Grænselag i strømninger<br />
Hastighedspr<strong>of</strong>il i grænselag på vinge.<br />
Reproduceret fra J. D. Anderson Jr,<br />
Physics Today, s. 42-48, december 2005.<br />
Ludwig Pr<strong>and</strong>tl (1875-1953).
Hvirvelstorm på Jupiter<br />
Jorden fra Apollo 17 og Jupiter fra NASA’s rumsonde Cassini.
Tornadoer<br />
Observeret i Kansas af Morganti og Lisius (2004).
Tidev<strong>and</strong>shvirvel ved L<strong>of</strong>oten<br />
Carta Marina (1539).
Hvirvelstrøm i havet<br />
Hvirvel og Bølger ved Awa<br />
af Ando Hiroshige (1856).
Badekarshvirvel i roterende beholder
V<strong>and</strong>overfladens form<br />
6 rpm 12 rpm 18 rpm
Visualisering af strømningen<br />
Nedstrømning fra overfladen (rød)<br />
Opstrømning fra bundlaget (grøn)
Corioliskraften: En fiktiv kraft<br />
Navier-Stokes ligning i et roterende referencesystem:<br />
µ <br />
∂ ~v<br />
ρ +(~v · ∇)~v = −∇p + η∇<br />
∂ t 2 ~v + ρ ~g − 2 ρ ~ Ω × ~v ,<br />
hvor ~ Ω er referencesystemets rotationsrate og det sidste<br />
led p˚a højre side af lighedstegnet er Corioliskraften.<br />
Leon Foucault viste i 1851 Jordens Corioliseffekt<br />
med et pendul ophængt i Pantheon i Paris. Pendulets<br />
svingningsplan roterer med en periode p˚a 32timer.
Foucaults pendul i Paris
Hvad bestemmer en hvirvels rotationsretning?<br />
Rossby tallet angiver den karakteristiske værdi af forholdet<br />
mellem inertielle led og Coriolis led:<br />
Ro = V<br />
2 Ω L .<br />
Jordens rotationsrate: Ω ≈ 10 −4 s −1 .<br />
Badekarshvirvel: V =0.1 ms −1 , L =0.01 m, Ro =10 5 .<br />
Orkan: V =10ms −1 , L =10 5 m, Ro =1.<br />
Corioliskraften fra Jordens rotation bestemmer orkanens<br />
rotationsretning (lille Ro), men den er uden indflydelse p˚a<br />
en almindelig badekarshvirvels rotationsretning (stort Ro).
Et lavtryk roterer mod uret på den nordlige<br />
halvkugle på grund af Corioliskraften<br />
Lavtryk over Isl<strong>and</strong>, 4. september 2003, NASA.
Resume<br />
• Eulers og Navier-Stokes ligninger for væskestrømninger<br />
er ækvivalente til Newtons 2. lov for partikelbevægelse.<br />
• Reynolds tallets kan fortælle om en strømning er laminar<br />
(lavt Reynolds tal) eller turbulent (højt Reynolds tal).<br />
• Hvirvelstorm på Jupiter, lavtryk, tidev<strong>and</strong>shvirvler i havet,<br />
tornadoer og badekarshvirvler i laboratoriet.<br />
• Corioliskraften er en såkaldt fiktiv kraft, som bl.a.<br />
bestemmer rotationsretningen for lavtryk i atmosfæren.