Aerodynamics of Fluttering and Tumbling Cards - Danmarks ...

Verden i Naturvidenskabeligt Perspektiv
Det Fysiske Grundlag
Anders Andersen
Institut for Fysik, Danmarks Tekniske Universitet

Plan for forelæsning om strømninger
• Arkimedes’ princip, tryk og trykmåling
• Eulers og Navier-Stokes ligninger
• Reynolds tal, laminare flows og turbulens
• Hvirvelstrømninger i naturen

Arkimedes’ princip
Arkimedes, 287 f.Kr. – 212 f.Kr.

Torricelli og Pascal

Tryk, kraft per areal: p = F
A

Luftens tryk aftager med højden
Barometer.
Puy de Dôme, højde 1.4 km.

Fluidmekanikkens teoretiske grundlag
Leonhard Euler (1707-1783).

Eulers ligning for væskestrømning
Newtons 2. lov for en væske eller en gas uden friktion:
µ
∂ ~v
ρ +(~v · ∇)~v = −∇p + ρ ~g ,
∂ t
hvor ρ er massetætheden, ~v er strømningshastigheden,
p er trykket, og ~g er tyngdeaccelerationen.
Kontinuitetsligningen udtrykker massebevarelsen
for en usammentrykkelig væske eller gas:
∇ · ~v =0.

Navier og Stokes
Claude-Louis Navier (1785-1835).
George Stokes (1819-1903).

Navier-Stokes ligning og Reynolds tal
Newtons2.lovforenvæskeellerengasmedfriktion:
µ
∂ ~v
ρ +(~v · ∇)~v = −∇p + η∇
∂ t 2 ~v + ρ ~g ,
hvor η er væskens eller gassens viskositet.
Reynolds tal er forholdet mellem inerti og viskositet:
Re =
ρ VL
η
hvor V og L er typiske værdier for hastighed og længde.
,

Reynolds tal i natur og teknik
Tabel fra “Physics of Continuous Matter” af B. Lautrup (2005).

Overgang fra laminar til turbulent rørstrømning
Lavt Re
Højt Re
Skitse fra Reynolds originale eksperiment fra 1883.

Grænselag i strømninger
Hastighedsprofil i grænselag på vinge.
Reproduceret fra J. D. Anderson Jr,
Physics Today, s. 42-48, december 2005.
Ludwig Prandtl (1875-1953).

Hvirvelstorm på Jupiter
Jorden fra Apollo 17 og Jupiter fra NASA’s rumsonde Cassini.

Tornadoer
Observeret i Kansas af Morganti og Lisius (2004).

Tidevandshvirvel ved Lofoten
Carta Marina (1539).

Hvirvelstrøm i havet
Hvirvel og Bølger ved Awa
af Ando Hiroshige (1856).

Badekarshvirvel i roterende beholder

Vandoverfladens form
6 rpm 12 rpm 18 rpm

Visualisering af strømningen
Nedstrømning fra overfladen (rød)
Opstrømning fra bundlaget (grøn)

Corioliskraften: En fiktiv kraft
Navier-Stokes ligning i et roterende referencesystem:
µ
∂ ~v
ρ +(~v · ∇)~v = −∇p + η∇
∂ t 2 ~v + ρ ~g − 2 ρ ~ Ω × ~v ,
hvor ~ Ω er referencesystemets rotationsrate og det sidste
led p˚a højre side af lighedstegnet er Corioliskraften.
Leon Foucault viste i 1851 Jordens Corioliseffekt
med et pendul ophængt i Pantheon i Paris. Pendulets
svingningsplan roterer med en periode p˚a 32timer.

Foucaults pendul i Paris

Hvad bestemmer en hvirvels rotationsretning?
Rossby tallet angiver den karakteristiske værdi af forholdet
mellem inertielle led og Coriolis led:
Ro = V
2 Ω L .
Jordens rotationsrate: Ω ≈ 10 −4 s −1 .
Badekarshvirvel: V =0.1 ms −1 , L =0.01 m, Ro =10 5 .
Orkan: V =10ms −1 , L =10 5 m, Ro =1.
Corioliskraften fra Jordens rotation bestemmer orkanens
rotationsretning (lille Ro), men den er uden indflydelse p˚a
en almindelig badekarshvirvels rotationsretning (stort Ro).

Et lavtryk roterer mod uret på den nordlige
halvkugle på grund af Corioliskraften
Lavtryk over Island, 4. september 2003, NASA.

Resume
• Eulers og Navier-Stokes ligninger for væskestrømninger
er ækvivalente til Newtons 2. lov for partikelbevægelse.
• Reynolds tallets kan fortælle om en strømning er laminar
(lavt Reynolds tal) eller turbulent (højt Reynolds tal).
• Hvirvelstorm på Jupiter, lavtryk, tidevandshvirvler i havet,
tornadoer og badekarshvirvler i laboratoriet.
• Corioliskraften er en såkaldt fiktiv kraft, som bl.a.
bestemmer rotationsretningen for lavtryk i atmosfæren.