pdf til print

Tællemål
Definition På en vilkårlig mængde Ω er tællemålet τ defineret på P(Ω) ved
Tællemålet på N er vigtigt.
τ(A) = Antal elementer i A
Tællemålet på R er bizart (ikke σ-endeligt).
Lebesguemålet på R
Lebesguemålet m er defineret på (R, B), og er givet ved at
m (a, b) = b − a for alle a < b
Lebesguemålet er en slags generaliseret længde.
Spørgsmål: Findes der et mål der gør sådan? Vi skal definere m på alle
B-mængder, også dem vi ikke kender. . . Og resultatet skal være σ-additivt.
Svar: Ja - men det er svært at vise.
Spørgsmål: Kan man forstille sig at flere forskellige mål gør sådan?
Svar: Nej - det vises næste gang.
. – p.1/7
. – p.3/7
Etpunktsmål
Definition På en vilkårlig mængde Ω er étpunktsmålet ɛx i punktet x ∈ Ω
defineret på P(Ω) ved
⎧
⎪⎨ 1 hvis x ∈ A
ɛx(A) =
⎪⎩
0 hvis x /∈ A
Definition Det empiriske mål i punkterne x1, . . . , xn er
Lemma For alle x ∈ R er
Bevis Vi ser at
ɛx1,...,xn = 1
n
n
i=1
ɛxi
Lebesguemål
{x} =
m ({x}) = 0
∞
x − 1
1
, x +
n n
n=1
og kontinuitet nedad giver derfor at
m ({x}) = lim
n→∞ m
x − 1
1
, x +
n n
Konsekvens: alle intervallerne
har samme Lebesguemål.
(a, b) [a, b) (a, b] [a, b]
2
= lim = 0
n→∞ n
. – p.2/7
. – p.4/7

Lebesguemål
Lemma Lebesguemålet er σ-endeligt.
Bevis Tag Kn = (−n, n). Vi ser at K1 ⊂ K2 ⊂ . . ., at
og at
Lemma Hyperplanen i R k
har Lebesguemål 0.
Bevis:
Konsekvens:
R =
∞
(−n, n)
n=1
m (−n, n) = 2n < ∞
Hyperplaner
H = {(x1, . . . , xk) ∈ R k | xk = 0}
mk (a1, b1) × (a2, b2) × . . . × (ak, bk)
= mk [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [ak, bk]
. – p.5/7
. – p.7/7
Lebesguemålet på R k
Lebesguemålet mk er defineret på (R k , Bk), og er givet ved at
mk (a1, b1) × (a2, b2) × . . . × (ak, bk) =
k
(bi − ai).
Lebesguemålet er en slags generaliseret areal, volumen, . . .
Spørgsmål: Findes der et mål der gør sådan? Vi skal definere mk på alle
Bk-mængder, også dem vi ikke kender. . .
i=1
Svar: Ja - og vi viser det senere ud fra eksistens af m.
Spørgsmål: Kan man forstille sig at flere forskellige mål gør sådan?
Svar: Nej - det vises næste gang. . – p.6/7