Er naturkonstantene konstante?

Er naturkonstantene konstante?
Jan Myrheim
Institutt for fysikk
NTNU
18. mars 2009

Er naturkonstantene konstante?
1. Unnskyld — hva var spørsmålet?
– To eksempler: lyshastigheten, Newtons 2. lov
2. Enhetssystemet vårt: SI, også kalt MKSA
3. Finstrukturkonstanten
– Energiavhengighet
– Tidsvariasjon over et par år?
– Tidsvariasjon over milliarder av år?

Lyshastigheten i vakuum
Er definert til c = 299 792 458 m/s
— men betyr det at den er konstant?
Lyshastigheten c opptrer i mer enn en rolle
Den er en absolutt fartsgrense i universet,
fordi energien til en partikkel med masse m og hastighet v er
E = mc2
1 − v2
c 2
Et foton kan ha lyshastigheten v = c fordi det har masse m = 0
Når v = 0, er c en omregningsfaktor mellom masse og energi:
E = mc 2

Mange spørsmål
Er lyshastigheten i vakuum eksakt lik den absolutte fartsgrensen?
Er den konstant, eller varierer den med
– tid?
– sted?
– retning?
– hvordan lyskilden beveger seg?
– hvordan observatøren beveger seg?
– bølgelengden av lyset? (i så fall kaller vi det dispersjon)
Michelson–Morley-eksperimentet (1887) viste at lyshastigheten
ikke avhenger av retningen (de observerte en lyskilde i ro)
MEN: Det er lett å finne på bortforklaringer!
Vi må bruke en meterstav for å måle lyshastigheten
— kanskje lengden av meterstaven varierer med retningen?

Et annet eksempel: Newtons 2. lov
Kraft K er lik masse m ganger akselerasjon a:
– K kan måles med fjærvekt
K = ma
– m måles med fjærvekt eller skålvekt
– a måles med meterstav og klokke
Her kunne Newton ha innført en «treghetskonstant» T:
Han valgte å definere T = 1
K = Tma
Men da har han definert T til å være konstant. Er det tillatt?
Er det ikke et eksperimentelt spørsmål om T er konstant?

– Fysikken er full av konstanter
Sakens kjerne
– De fleste er usynlige, fordi vi har satt dem lik 1, eller lik 0
– Den påstanden at en naturkonstant er konstant,
er en vesentlig del av de naturlovene der konstanten opptrer
– Hvis det viser seg at naturkonstantene ikke er konstante,
så må vi revidere naturlovene
– Da er 101 ute — vi står på skjelvende grunn
– Og uante muligheter åpner seg!

SI-systemet
MKSA = meter, kilogram, sekund, ampere
– 1 s = 1 sekund = 9 192 631 770 svingninger
av radiobølger i resonans med atomer av cesium 133
– 1 m = 1 meter = 1/299 792 458 av lengden
som lyset beveger seg i vakuum på ett sekund
– 1 kg = 1 kilogram = massen av kilogramprototypen i Paris
– 1 A = 1 ampere = den elektriske strømmen i hver av to tynne,
uendelig lange parallelle ledere i en meters avstand, i vakuum,
når kraften på hver meter av hver leder er 2 × 10 −7 N
Enheten for elektrisk ladning er
C = coulomb = A s = ampere × sekund

Kraft og energi
Enheten for kraft er N = newton = kg m / s 2
i samsvar med Newtons 2. lov K = ma
Arbeid er en form for energi, arbeid = kraft × vei
Derfor er enheten for energi
J = joule = N m = newton × meter = kg m 2 / s 2
i samsvar med Einsteins ligning E = mc 2

Newtons gravitasjonslov
Tiltrekningskraften mellom to punktmasser m1 og m2 i avstand r er
K = Gm1m2
r 2
der G er Newtons gravitasjonskonstant,
G = 6, 6743 × 10 −11 m 3 /(kg s 2 )
Den er faktisk ikke mer nøyaktig kjent!
Kraftloven tilsvarer at de to punktmassene har en potensiell energi
V = − Gm1m2
r
Minustegnet betyr at kraften er tiltrekkende (alle masser er positive)

Coulombs lov
Kraften mellom to punktladninger q1 og q2 i avstand r er
K = q1q2
4πɛ0 r 2
der ɛ0 er permittiviteten i vakuum, som har en definert verdi,
ɛ0 =
1
4π × 10 −7 (N/A 2 ) c 2 = 8, 854 . . . × 10−12 C 2 s 2 /(kg m 3 )
Kraftloven tilsvarer at den potensielle energien er
V = q1q2
4πɛ0 r
Kraften er tiltrekkende mellom en positiv og en negativ ladning,
frastøtende mellom to positive og mellom to negative ladninger

Kvantefysikk
Frekvens er antall svingninger pr. tid, og enheten for frekvens er
Hz = hertz = 1 / s
Et system som svinger (oscillerer) med frekvens f ,
tar opp og gir fra seg energi i et helt antall energikvanter
Et energikvant er
der h er Plancks konstant,
E = hf
h = 6, 626 069 0 × 10 −34 J s
Ofte har vi bruk for Plancks konstant dividert med 2π, så vi definerer
= h
2π = 1, 054 571 6 × 10−34 J s

Naturlige enheter
Plancks konstant h (eller ) er en omregningsfaktor
mellom frekvens og energi, eller mellom tid og energi
Lyshastigheten c er en omregningsfaktor
mellom masse og energi, eller mellom tid og lengde
I partikkelfysikken brukes naturlige enheter,
der omregningsfaktorene settes lik 1:
c = 299 792 458 m/s = 1
= 1, 054 571 6 × 10 −34 J s = 1
Av de tre enhetene m, kg og s blir det da bare en igjen

Planck-enheter
I kosmologien er det praktisk å sette gravitasjonskonstanten lik 1,
G = 6, 6743 × 10 −11 m 3 /(kg s 2 ) = 1
Dermed har vi eliminert alle enhetene m, kg, s
Det betyr at vi bruker Planck-enheter, nemlig:
G
Planck-lengden LP =
c3 = 1, 6161 × 10−35 m
c
Planck-massen mP =
G = 2, 1767 × 10−8 kg
G
Planck-tiden tP =
c5 = 5, 3906 × 10−44 s

Elementærladningen
Elektrisk ladning er kvantisert i enheter av elementærladningen
e = 1, 602 176 49 × 10 −19 C
Et proton har ladning e, et elektron har ladning −e
Kvantiseringen er svært nøyaktig, for eksempel:
et nøytralt atom har nettoladning mindre enn 5 × 10 −21 e
(i følge Piccard & Kessler 1925)
En passende enhet for energi i partikkelfysikken er
elektronvolt = eV = 1, 602 176 49 × 10 −19 J
der V = volt er enheten for elektrisk potensial:
coulomb × volt = joule : C V = J

Er enheter og konstanter konstante?
Enhver måling er en sammenligning av sammenlignbare størrelser
Skal vi undersøke for eksempel om lyshastigheten er konstant,
må vi ha en annen hastighet å sammenligne med
Det har mening å spørre om en størrelse er konstant
bare dersom den er et dimensjonsløst forhold mellom to størrelser
Eksempel:
1 år
1 døgn =
365, 25 nå
425 for 370 millioner år siden
(geologer har telt årringer og døgnringer i veksten av fossile koraller)
Er året blitt kortere eller døgnet lenger?
Spørsmålet er meningsløst om vi ikke har en tredje klokke
å sammenligne med

Finstrukturkonstanten
α = e2
4πɛ0 c =
1
137, 035 999 07
Grovstrukturen i spektret fra et hydrogenatom:
bølgelengden λ til en spektrallinje er gitt av formelen
hc
λ = En+k − En ,
der n = 1, 2, 3, . . . og k = 1, 2, 3, . . .
Kvantetallet n bestemmer omtrentlig et energinivå til atomet som
En = − α2 2
mec
2n2 der me er elektronmassen, og mec 2 er hvileenergien til elektronet
Så kommer alle korreksjonene til energien En (finstrukturen)

Redusert masse
Atomkjernen i hydrogenatomet (protonet) ligger ikke helt i ro
Derfor må elektronmassen me i energiformelen erstattes med den
reduserte massen
m ′ = me
1 + me
mp
Hydrogenspektret avhenger av det dimensjonsløse forholdet mellom
elektronmassen og protonmassen,
me
mp
=
1
1 836, 152 57
For tyngre atomer er den tilsvarende korreksjonen enda mindre

Relativistisk finstruktur
Hastigheten til elektronet i hydrogenatomet er ikke helt neglisjerbar
sammenlignet med lyshastigheten, derfor kommer relativitetsteorien
inn og gir små korreksjoner til energinivåene
I stedet for Schrödinger-ligningen må vi ta i bruk Dirac-ligningen,
den gir energinivåer
mec
En,j =
2
1 + α2 (n − δj) 2
, δj = j + 1
2 −
j + 1
2 − α
2
2
som avhenger av to kvantetall
n = 1, 2, 3, . . . og j = 1
2
, 3
2
5 1
, , . . . , n −
2 2
j er den totale dreieimpulsen til elektronet, inkludert egenspinnet

Relativistisk finstruktur
Dirac-formelen blir mer forståelig når vi rekkeutvikler etter potenser
av finstrukturkonstanten α:
En,j = mec 2 − α2
2n2 mec 2 − α4
n4
n 3
− mec
2j + 1 8
2 + · · ·
Første ledd er hvileenergien til elektronet
Andre ledd, med α 2 , er den ikke-relativistiske bindingsenergien
Tredje ledd, med α 4 , er den relativistiske finstrukturen
I tillegg har hydrogenspektret en hyperfinstruktur,
som skyldes at protonet omgir seg med et magnetfelt.
Hyperfinstrukturen til hydrogen er opphav til 21 cm radiobølger,
som gjør det mulig å observere nøytralt hydrogen i verdensrommet

Er finstrukturkonstanten konstant?
Mange har prøvd å gjette på eksakte matematiske formler
James Gilson ga en formel i 2006, med to primtall a = 137 og b = 29:
α = cos
π
tan πab
a
1
a π =
137, 035 999 787
ab
Den stemte bra med den eksperimentelle verdien i 2006:
1
= 137, 035 999 679(94)
α
(der tallet i parentes er usikkerheten i de to siste sifrene)
Uheldigvis ble den eksperimentelle verdien senere korrigert til
1
= 137, 035 999 070(98)
α

Er finstrukturkonstanten konstant?
Nei, for den avhenger av energien, på grunn av vakuumpolarisasjon
Og av avstanden mellom ladningene: Coulombs lov er ikke eksakt!
Eksempel: i akseleratoren LEP i CERN (nå nedlagt til fordel for LHC)
frontkolliderte elektroner mot positroner
Bhabha-spredning er en prosess der elektronet og positronet
kolliderer elastisk og forandrer retning med en vinkel θ
Det utveksles et foton, γ, som har energi Eγ og impuls pγ
Vi definerer en negativ størrelse Q 2 , kalt impulsoverføring, ved at
Q 2 =
E 2
γ
c 2 − |pγ| 2 = −2p 2 (1 − cos θ)
p er størrelsen av impulsen til hver av partiklene som kolliderer
Finstrukturkonstanten avhenger av Q 2 , og følgelig av θ
Den verdien som er så nøyaktig målt, er ved Q 2 = 0

To CERN-eksperimenter: OPAL og L3

Er finstrukturkonstanten tidsavhengig?
Det kan vi undersøke ved å sammenligne spektrallinjer,
gjerne linjer fra flere forskjellige atomer
Bølgelengden λ til en spektrallinje avhenger av α som
1
λ = Aα2 + Bα 4
Konstantene A og B karakteriserer den ene spektrallinjen,
og kan beregnes teoretisk
Når B = 0, skyldes det den relativistiske finstrukturen
Forholdet mellom bølgelengdene for to spektrallinjer
avhenger av finstrukturkonstanten på en kjent måte,
λ2
λ1
= A1 + B1α 2
A2 + B2α 2

Nøyaktig måling av frekvens (og bølgelengde)
John Hall og Theodor Hänsch fikk Nobel-prisen i fysikk i 2005
(på deling med Roy Glauber) for å ha utviklet en teknikk
der frekvensen av lys måles med ekstrem presisjon
Idéen er, svært kort fortalt, å lage en frekvenskam (se figur):
hvitt laserlys som består av hundretusenvis av spektrallinjer,
hver med en nøyaktig definert frekvens,
som så den ukjente frekvensen kan sammenlignes mot
Figur fra årbok 2003,
Max-Planck-Institutt
for kvanteoptikk,
Garching

Apparatur

Noen frekvenser
Målt ved sammenligning av frekvenser,
i forhold til hyperfinstrukturen i cesium, som definerer sekundet
Tallene i parentes er usikkerheten i to siste (eller siste) siffer
Atom Årstall Frekvens
hertz
H 2001 2 466 061 413 187 103 (46)
2003 2 466 061 413 187 074 (34)
Ca 2001 455 986 240 494 158 (26)
2003 455 986 240 494 150 (8)
Yb + 2001 688 358 979 309 312 (6)
2003 688 358 979 309 310 (6)
Hg + 2001 1 064 721 609 899 143 (10)
2003 1 064 721 609 899 144 (11)
Konklusjon: Ingen målbar tidsvariasjon

Varierer finstrukturkonstanten over lang tid?
Vi observerer 12-13 milliarder år gammelt lys fra kvasarer
med absorpsjonslinjer fra forskjellige grunnstoffer
Linjene skyldes gass-skyer som lyset har passert gjennom på vei hit
Gass-skyene har forskjellig avstand og forskjellig rødforskyvning,
men to linjer fra samme gass-sky har samme rødforskyvning,
slik at rødforskyvningen forkortes bort når vi dividerer den ene
bølgelengden på den andre
Hvis forholdet mellom bølgelengdene var et annet for noen milliarder
år siden enn det vi observerer i laboratoriet i dag, så må (?) det
skyldes at finstrukturkonstanten har forandret verdi

Fra en artikkel av
John K. Webb
Physics World,
April 2003, s. 33

Fra samme artikkel
Hvordan noen
spektrallinjer
forandres hvis
finstrukturkonstanten
blir (mye!) mindre

Finstrukturkonstanten var litt mindre før (?)
∆α
α
= α(da) − α(nå)
α(nå)
= (−0, 54 ± 0, 12) × 10 −5

Finstrukturkonstanten var litt mindre før (?)
Fra et foredrag av Michael Murphy

Oklo — en merkelig historie
I 1972 oppdaget den franske atomenergikommisjonen at uran fra Oklo
i Gabon (i Vest-Afrika) inneholdt 0,717 % uran 235
Den normale verdien er (0,720 ± 0,001) % (resten er uran 238)
Nærmere undersøkelser ga verdier ned mot halvparten av det normale
Naturen bygde kjernefysiske reaktorer for 1,8 milliarder år siden
I alt 16 reaktorsoner er identifisert i Oklo
Den gangen var innholdet av uran 235 på 3 % (halveringstidene er
700 millioner år for 235 U og 4,5 milliarder år for 238 U)
3 % passer akkurat for en reaktor med vann som moderator

Oklo — en enda merkeligere historie
I 1976 fant Alexander Shlyakhter ut at Oklo-reaktoren gir en test på
om finstrukturkonstanten hadde samme verdi dengang som nå
Grunnstoffet samarium, atomnummer 62, har mange isotoper
Malmen fra Oklo er fattig på isotopen samarium 149, andelen er
45 ganger mindre enn normalt, fordi nøytroner fra kjernereaksjonene
omdannet samarium 149 til samarium 150
Nøytroninnfanging i samarium 149 er spesielt effektiv på grunn av en
resonanstilstand i kjernen, og resonansenergien er kritisk avhengig av
finstrukturkonstanten
I følge Shlyakhters analyse (og senere analyser) betyr det at den
relative forandringen i verdien av finstrukturkonstanten er
∆α
α
= (−0, 8 ± 1, 0) × 10−8

Kort oppsummering
Mange har prøvd på å observere tidsvariasjon av naturkonstanter
For eksempel finstrukturkonstanten,
eller masseforholdet mellom elektronet og protonet
Noen mener å ha observert tidsvariasjoner, men ingen slike
observasjoner er ennå alminnelig akseptert
Observasjonene av spektra fra kvasarer, som tyder på at
finstrukturkonstanten kan ha forandret seg siden det tidlige universet,
er det nærmeste vi har kommet, så langt