5 Algebra - Kodex - Matematikk for Grunnskolen

98
FAKTA
Algebra Algebra er bokstavregning. Det er et verktÖy som forenkler
regneoperasjonene i forskjellige omrÔder av matematikken.
Bokstavene er symboler for tall og skal behandles som tall.
Variabel En variabel er en bokstav som symboliserer et vilkÔrlig tall. a og b
er eksempler pÔ variabler.
Konstant En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler
pÔ konstanter.
—trekke — trekke sammen er Ô forenkle et uttrykk ved Ô slÔ sammen
sammen ledd av samme type.
a 2 + a +2a 2 =3a 2 + a
Fortegn Minustegn foran et bokstavledd betyr at dette leddet skal
trekkes fra. FÔr vi et negativt fortegn i svaret, betyr det at
uttrykket er negativt.
I b b =0
II b 2b = b
III 3b 2a 4b = 2a b
Pluss- eller minustegnet foran leddet fÖlger alltid leddet.
— regne med Er det plusstegn foran parentesen, kan vi ta bort parentesen og sÔ trekke
parenteser sammen. For alle tall a, b og c har vi:
a + ðb + cÞ = a + b + c
a + ðb cÞ = a + b c
Dersom det er minustegn foran en parentes, mÔ alle leddene
inne i parentesen skifte fortegn nÔr vi fjerner parentesen.
For alle tall a, b og c har vi:
a ðb + cÞ = a b c
a ðb cÞ = a b + c

EMNE 5–ALGEBRA 2 FAKTA
— multiplisere NÔr vi multipliserer bokstaver eller bokstaver og tall, dropper vi som
bokstaver regel multiplikasjonstegnet mellom bokstavene og mellom bokstavene
og tallene.Vi multipliserer tallene og setter bokstavene i alfabetisk
rekkefÖlge.
5 a b =5ab
Bokstaver Potenser kan ha bokstaver som grunntall. Potensen a 3 leser vi ’’a i tredje’’.
i en potens Det betyr at a skal multipliseres med seg selv 3 ganger.
a 3 = a a a
Dersom grunntallet er et produkt av et tall og e¤n eller £ere bokstaver,
mÔ vi sette parentes rundt hele grunntallet for Ô markere at det er hele
grunntallet som skal opphÖyes i eksponenten.
ð3aÞ 3 =3a 3a 3a =27a 3
— multiplisere Skal du multiplisere potenser med likt grunntall, beholder du grunntallet
potenser og adderer eksponentene.
a 2 a 3 = a 2+ 3 = a 5
Skal du multiplisere faktorer som bestÔr av tall og potenser med ulikt
grunntall, multipliserer du fÖrst tallene, og sÔ adderer du eksponentene
til de potensene som har samme grunntall. Produktet ordner du slik at
tallene kommer fÖrst, og deretter kommer bokstavene i alfabetisk
rekkefÖlge.
6a 3 2b 2a 4 b 2
=6 2 2 a 3 a 4 b b 2
=6 2 2 a 3+4 b 1+2
= 24a 7 b 3
99

100
EMNE 5–ALGEBRA 2 FAKTA
— dividere Skal du dividere potenser med samme grunntall, beholder du grunntallet
potenser og subtraherer eksponentene.
x 5 : x 3 = x 5 3 = x 2
Skal du dividere uttrykk med bÔde tall og potenser, dividerer du fÖrst
tallene og sÔ subtraherer du eksponentene i de potensene som har
samme grunntall.
15x 3 y : 3x 2 =5x 3 2 y = 5xy
— addere og Det er bare ledd av samme type som kan adderes og subtraheres.
subtrahere Ledd av samme type kan for eksempel v×re potenser med like
potenser grunntall og eksponenter.
x 3 + x 2 +2x 3 2x 2 = 3x 3 x 2
— multiplisere NÔr vi skal multiplisere et tall eller en bokstav med en parentes,
en faktor med multipliserer vi tallet eller bokstaven med hvert ledd i parentesen.
en parentes
I aðb + cÞ =a ðb + cÞ = a b + a c = ab + ac
II ða + bÞ c = a c + b c = ac + bc
III aðb + cÞ = ða b + a cÞ = ab ac
IV aðb cÞ = ða b a cÞ = ab + ac
— multiplisere NÔr vi skal multiplisere to parenteser, lÖser vi opp den fÖrste parentesen,
to parenteser og sÔ multipliserer vi hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd
i den andre parentesen.
ð a + bÞðc
+ dÞ
= a ðc + dÞ + b ðc + dÞ
= a c + a d + b c + b d
= ac + ad + bc + bd
FÖrste kvadrat- ða + bÞ 2 = a 2 +2ab + b 2
setning

EMNE 5–ALGEBRA 2 FAKTA
Andre kvadrat- ða bÞ 2 = a 2 2ab + b 2
setning
Konjugat- ða + bÞða bÞ = a 2 b 2
setningen
Verdien av Ved Ô sette inn tallverdier for bokstavene i et algebraisk uttrykk,
et uttrykk kan vi regne ut en verdi for uttrykket. Dersom a =2og b =3,kanvi
regne ut a + b.
a + b =2+3=5
BrÖk med En brÖk kan ha bokstaver bÔde i teller og nevner.Vi kan ogsÔ ha
bokstaver brÖkuttrykk med £ere ledd i teller og nevner.
Bokstav i teller
x
Bokstav i nevner
Flere ledd i teller
2
3
y
2x 1
3
Fellesnevner Skal vi addere og subtrahere brÖker med bokstaver, mÔ brÖkene ha samme
nevner. Skal vi utvide et brÖkuttrykk for Ô fÔ felles nevner, multipliserer
vi teller og nevner med den samme faktoren.
— subtrahere Skal vi subtrahere brÖker med £ere ledd i telleren, mÔ leddene
brÖkuttrykk i brÖkuttrykket etter minustegnet skifte fortegn.
2a +2b
c
a + b
c
= 2a +2b a b
c
= a + b
c
— faktorisere — faktorisere et uttrykk er Ô skrive et uttrykk som et produkt av to eller
£ere faktorer, altsÔ skrive det som et multiplikasjonsstykke. Faktorisering
er helt nÖdvendig for Ô kunne behandle og forenkle uttrykk.
Produkt = faktor faktor faktor
a 2 b = a a b
101

102
EMNE 5–ALGEBRA 2 FAKTA
— forkorte et — forkorte et brÖkuttrykk betyr Ô dividere teller og nevner med samme
brÖkuttrykk tall eller bokstav. For Ô kunne forkorte et brÖkuttrykk med £ere ledd,
mÔ vi faktorisere det fÖrst.
a2b a =
1
6 a a b
= a b
6 a
1
2a 2b
2
= 2 a 2 b
2
=
1
6 2 ða bÞ
6 2 1
= a b
— multiplisere Vi multipliserer brÖkuttrykk med bokstaver pÔ samme mÔte som
brÖkuttrykk tallbrÖker ^ teller med teller og nevner med nevner.
a
b
c a c
=
d b d
— dividere Skal du dividere to brÖker med hverandre, multipliserer du den fÖrste
brÖkuttrykk brÖken med den inverse av den andre brÖken.
a
b
a
: = =
b
a c d d
d c bc