5 Algebra - Kodex - Matematikk for Grunnskolen
5 Algebra - Kodex - Matematikk for Grunnskolen
5 Algebra - Kodex - Matematikk for Grunnskolen
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
98<br />
FAKTA<br />
<strong>Algebra</strong> <strong>Algebra</strong> er bokstavregning. Det er et verktÖy som <strong>for</strong>enkler<br />
regneoperasjonene i <strong>for</strong>skjellige omrÔder av matematikken.<br />
Bokstavene er symboler <strong>for</strong> tall og skal behandles som tall.<br />
Variabel En variabel er en bokstav som symboliserer et vilkÔrlig tall. a og b<br />
er eksempler pÔ variabler.<br />
Konstant En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler<br />
pÔ konstanter.<br />
—trekke — trekke sammen er Ô <strong>for</strong>enkle et uttrykk ved Ô slÔ sammen<br />
sammen ledd av samme type.<br />
a 2 + a +2a 2 =3a 2 + a<br />
Fortegn Minustegn <strong>for</strong>an et bokstavledd betyr at dette leddet skal<br />
trekkes fra. FÔr vi et negativt <strong>for</strong>tegn i svaret, betyr det at<br />
uttrykket er negativt.<br />
I b b =0<br />
II b 2b = b<br />
III 3b 2a 4b = 2a b<br />
Pluss- eller minustegnet <strong>for</strong>an leddet fÖlger alltid leddet.<br />
— regne med Er det plusstegn <strong>for</strong>an parentesen, kan vi ta bort parentesen og sÔ trekke<br />
parenteser sammen. For alle tall a, b og c har vi:<br />
a + ðb + cÞ = a + b + c<br />
a + ðb cÞ = a + b c<br />
Dersom det er minustegn <strong>for</strong>an en parentes, mÔ alle leddene<br />
inne i parentesen skifte <strong>for</strong>tegn nÔr vi fjerner parentesen.<br />
For alle tall a, b og c har vi:<br />
a ðb + cÞ = a b c<br />
a ðb cÞ = a b + c
EMNE 5–ALGEBRA 2 FAKTA<br />
— multiplisere NÔr vi multipliserer bokstaver eller bokstaver og tall, dropper vi som<br />
bokstaver regel multiplikasjonstegnet mellom bokstavene og mellom bokstavene<br />
og tallene.Vi multipliserer tallene og setter bokstavene i alfabetisk<br />
rekkefÖlge.<br />
5 a b =5ab<br />
Bokstaver Potenser kan ha bokstaver som grunntall. Potensen a 3 leser vi ’’a i tredje’’.<br />
i en potens Det betyr at a skal multipliseres med seg selv 3 ganger.<br />
a 3 = a a a<br />
Dersom grunntallet er et produkt av et tall og e¤n eller £ere bokstaver,<br />
mÔ vi sette parentes rundt hele grunntallet <strong>for</strong> Ô markere at det er hele<br />
grunntallet som skal opphÖyes i eksponenten.<br />
ð3aÞ 3 =3a 3a 3a =27a 3<br />
— multiplisere Skal du multiplisere potenser med likt grunntall, beholder du grunntallet<br />
potenser og adderer eksponentene.<br />
a 2 a 3 = a 2+ 3 = a 5<br />
Skal du multiplisere faktorer som bestÔr av tall og potenser med ulikt<br />
grunntall, multipliserer du fÖrst tallene, og sÔ adderer du eksponentene<br />
til de potensene som har samme grunntall. Produktet ordner du slik at<br />
tallene kommer fÖrst, og deretter kommer bokstavene i alfabetisk<br />
rekkefÖlge.<br />
6a 3 2b 2a 4 b 2<br />
=6 2 2 a 3 a 4 b b 2<br />
=6 2 2 a 3+4 b 1+2<br />
= 24a 7 b 3<br />
99
100<br />
EMNE 5–ALGEBRA 2 FAKTA<br />
— dividere Skal du dividere potenser med samme grunntall, beholder du grunntallet<br />
potenser og subtraherer eksponentene.<br />
x 5 : x 3 = x 5 3 = x 2<br />
Skal du dividere uttrykk med bÔde tall og potenser, dividerer du fÖrst<br />
tallene og sÔ subtraherer du eksponentene i de potensene som har<br />
samme grunntall.<br />
15x 3 y : 3x 2 =5x 3 2 y = 5xy<br />
— addere og Det er bare ledd av samme type som kan adderes og subtraheres.<br />
subtrahere Ledd av samme type kan <strong>for</strong> eksempel v×re potenser med like<br />
potenser grunntall og eksponenter.<br />
x 3 + x 2 +2x 3 2x 2 = 3x 3 x 2<br />
— multiplisere NÔr vi skal multiplisere et tall eller en bokstav med en parentes,<br />
en faktor med multipliserer vi tallet eller bokstaven med hvert ledd i parentesen.<br />
en parentes<br />
I aðb + cÞ =a ðb + cÞ = a b + a c = ab + ac<br />
II ða + bÞ c = a c + b c = ac + bc<br />
III aðb + cÞ = ða b + a cÞ = ab ac<br />
IV aðb cÞ = ða b a cÞ = ab + ac<br />
— multiplisere NÔr vi skal multiplisere to parenteser, lÖser vi opp den fÖrste parentesen,<br />
to parenteser og sÔ multipliserer vi hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd<br />
i den andre parentesen.<br />
ð a + bÞðc<br />
+ dÞ<br />
= a ðc + dÞ + b ðc + dÞ<br />
= a c + a d + b c + b d<br />
= ac + ad + bc + bd<br />
FÖrste kvadrat- ða + bÞ 2 = a 2 +2ab + b 2<br />
setning
EMNE 5–ALGEBRA 2 FAKTA<br />
Andre kvadrat- ða bÞ 2 = a 2 2ab + b 2<br />
setning<br />
Konjugat- ða + bÞða bÞ = a 2 b 2<br />
setningen<br />
Verdien av Ved Ô sette inn tallverdier <strong>for</strong> bokstavene i et algebraisk uttrykk,<br />
et uttrykk kan vi regne ut en verdi <strong>for</strong> uttrykket. Dersom a =2og b =3,kanvi<br />
regne ut a + b.<br />
a + b =2+3=5<br />
BrÖk med En brÖk kan ha bokstaver bÔde i teller og nevner.Vi kan ogsÔ ha<br />
bokstaver brÖkuttrykk med £ere ledd i teller og nevner.<br />
Bokstav i teller<br />
x<br />
Bokstav i nevner<br />
Flere ledd i teller<br />
2<br />
3<br />
y<br />
2x 1<br />
3<br />
Fellesnevner Skal vi addere og subtrahere brÖker med bokstaver, mÔ brÖkene ha samme<br />
nevner. Skal vi utvide et brÖkuttrykk <strong>for</strong> Ô fÔ felles nevner, multipliserer<br />
vi teller og nevner med den samme faktoren.<br />
— subtrahere Skal vi subtrahere brÖker med £ere ledd i telleren, mÔ leddene<br />
brÖkuttrykk i brÖkuttrykket etter minustegnet skifte <strong>for</strong>tegn.<br />
2a +2b<br />
c<br />
a + b<br />
c<br />
= 2a +2b a b<br />
c<br />
= a + b<br />
c<br />
— faktorisere — faktorisere et uttrykk er Ô skrive et uttrykk som et produkt av to eller<br />
£ere faktorer, altsÔ skrive det som et multiplikasjonsstykke. Faktorisering<br />
er helt nÖdvendig <strong>for</strong> Ô kunne behandle og <strong>for</strong>enkle uttrykk.<br />
Produkt = faktor faktor faktor<br />
a 2 b = a a b<br />
101
102<br />
EMNE 5–ALGEBRA 2 FAKTA<br />
— <strong>for</strong>korte et — <strong>for</strong>korte et brÖkuttrykk betyr Ô dividere teller og nevner med samme<br />
brÖkuttrykk tall eller bokstav. For Ô kunne <strong>for</strong>korte et brÖkuttrykk med £ere ledd,<br />
mÔ vi faktorisere det fÖrst.<br />
a2b a =<br />
1<br />
6 a a b<br />
= a b<br />
6 a<br />
1<br />
2a 2b<br />
2<br />
= 2 a 2 b<br />
2<br />
=<br />
1<br />
6 2 ða bÞ<br />
6 2 1<br />
= a b<br />
— multiplisere Vi multipliserer brÖkuttrykk med bokstaver pÔ samme mÔte som<br />
brÖkuttrykk tallbrÖker ^ teller med teller og nevner med nevner.<br />
a<br />
b<br />
c a c<br />
=<br />
d b d<br />
— dividere Skal du dividere to brÖker med hverandre, multipliserer du den fÖrste<br />
brÖkuttrykk brÖken med den inverse av den andre brÖken.<br />
a<br />
b<br />
a<br />
: = =<br />
b<br />
a c d d<br />
d c bc