Forskellen på singlet og triplet atomtilstande

ψ 1(r1, r2) = ϕ(r1)ϕ(r2).
ψ(r1, r2; ms1 , ms2 ) = −ψ(r2, r1; ms2 , ms1 ),
ψS(r1, r2; ms1 , ms2 ) = ϕ(r1)ϕ(r2)χS(ms1 , ms2 ),
χS(ms1 , ms2 )
ˆ Sz
ˆ Sz ms¯h ms
1
2
− 1
2 |ms〉.
1 1
= ,
2 0
−1
0
= .
2 1
χ(ms)
1
0
ms = 1
2 ,
0
1
ms = − 1
2 .
r1 r2
| 1
2 〉 | ↑〉)
1
2
1
= | ↑〉1 =
0
,
1
1

|χS〉 = 1
√ 2 (| ↑〉1| ↓〉2 − | ↓〉1| ↑〉2) .
〈χS|χS〉 = 1
=
1〈↑ |2〈↓ | −1 〈↓ |2〈↑ | | ↑〉1| ↓〉2 − | ↓〉1| ↑〉2
2
1
1〈↑ | ↑〉1〈↓2 | ↓2〉 −1 〈↑ | ↓〉1 2〈↓ | ↑〉2 −1 〈↓ | ↑〉1 2〈↑ | ↓〉2 +1 〈↓ | ↓〉1 2〈↑ | ↑〉2
2
= 1.
ϕ(x);
+ ,
ES = 〈ψS|H|ψS〉.
〈ψS|H|ψS〉 |ψS〉 = |ϕ(r1)ϕ(r2)〉|χS〉
ES = 〈ψS|H|ψS〉
= 〈ϕ(r1)ϕ(r2)|〈χS| ˆ H|χS〉|ϕ(r1)ϕ(r2)〉
= 〈ϕ(r1)ϕ(r2)| ˆ
H|ϕ(r1)ϕ(r2)〉 〈χS|χS〉 .
=1
ˆH = ˆ H1 + ˆ H2 + Vee,
ˆ Hi = ˆp 2 i /2me − 2e 2 /(4πε0r1) i
Vee
〈ϕ(r1)ϕ(r2)| ˆ H|ϕ(r1)ϕ(r2)〉 = 〈ϕ(r1)ϕ(r2)| ˆ H1 + ˆ H2 + Vee|ϕ(r1)ϕ(r2)〉
=1
= 〈ϕ(r1)| ˆ
H1|ϕ(r2)〉 〈ϕ(r2)|ϕ(r2)〉 +〈ϕ(r2)| ˆ
H2|ϕ(r2)〉 〈ϕ(r1)|ϕ(r1)〉
+〈ϕ(r1)ϕ(r2)|Vee|ϕ(r1)ϕ(r2)〉
= 2〈ϕ(r1)| ˆ H1|ϕ(r1)〉 + 〈Vee〉
〈Vee〉
〈Vee〉 =
dr1dr2 ϕ ∗ (r1)ϕ ∗ e
(r2)
2
4πε0|r1 − r2| ϕ(r1)ϕ(r2)
=
dr1dr2 |ϕ(r1)| 2 |ϕ(r2)| 2 e2 ,
4πε0|r1 − r2|
ψ(x) = 〈x|ψ〉,
χ(ms) χ(ms) = 〈ms|χ〉. |χS〉 χS(ms1,ms2)
χS(ms1,ms2) = 〈ms1|〈ms2|χS〉 = δms1 , 1 δms2 ,−
2
1 − δms1 ,−
2
1 δms2 ,
2
1 .
2
=1

|ϕ(r1)| 2 |ϕ(r1)| 2
ψ200(r),
n l
ψ100(r) ψ200(r) :
ψ100(r) =
ψ200(r) =
1
π (az ) 3
exp(−r/a z )
1
2 − r
az
exp(−r/2a z ),
4 2π (az ) 3
a z
a z
a z = a/2, a
ˆH1ψ100(r1) = E z 1ψ100(r1), ˆ H1ψ200(r1) = E z 2ψ200(r1).
ψ100 ψ200
ψ ∗ 1
S(r1, r2; ms1 , ms2 ) = √ [ψ100(r1)ψ200(r2) + ψ200(r1)ψ100(r2)] χS(ms1 , ms2 ),
2
ψ ∗ Tm (r1,
1
r2; ms1 , ms2 ) = √ [ψ100(r1)ψ200(r2) − ψ200(r1)ψ100(r2)] χTm (ms1 , ms2 ).
2
|χT−1 〉 = | ↓〉1| ↓〉2,
|χT0 〉 =
1
√ (| ↑〉1| ↓〉2 + | ↓〉1| ↑〉2) ,
2
|χ T1 〉 = | ↑〉1| ↑〉2.
a z a a/2.
↑1↑2, ↑1↓2, ↓1↑2, ↓1↓2 .
m = 0

z
−(2e¯h/me)mB0.
E ∗ S = 1
2 〈ψ100(r1)ψ200(r2)+ψ200(r1)ψ100(r2)| ˆ H1+ ˆ H2+Vee|ψ100(r1)ψ200(r2)+ψ200(r1)ψ100(r2)〉,
E ∗ T = 1
2 〈ψ100(r1)ψ200(r2)−ψ200(r1)ψ100(r2)| ˆ H1+ ˆ H2+Vee|ψ100(r1)ψ200(r2)−ψ200(r1)ψ100(r2)〉.
〈H1〉
〈 ˆ H1〉S,T = 1
=1
2 〈ψ100(r1)| ˆ H1|ψ100(r1)〉 〈ψ200(r2)|ψ200(r2)〉
± 1
± 1
+ 1
= 1
2
ˆ H2,
=0
2 〈ψ200(r1)| ˆ H1|ψ100(r1)〉 〈ψ100(r2)|ψ200(r2)〉
=0
2 〈ψ100(r1)| ˆ H1|ψ200(r1)〉 〈ψ200(r2)|ψ100(r2)〉
=1
2 〈ψ200(r1)| ˆ H1|ψ200(r1)〉 〈ψ100(r2)|ψ100(r2)〉
〈ψ100(r1)| ˆ H1|ψ100(r1)〉 + 〈ψ200(r1)| ˆ H1|ψ200(r1)〉
= 1
2 (Ez 1 + E z 2) ,
〈 ˆ H1 + ˆ H2〉S,T = E z 1 + E z 2,
〈Vee〉S,T = 1
2 〈ψ100(r1)ψ200(r2)±ψ200(r1)ψ100(r2)|Vee|ψ100(r1)ψ200(r2)±ψ200(r1)ψ100(r2)〉
= 〈ψ100(r1)ψ200(r2)|Vee|ψ100(r1)ψ200(r2)〉 ± 〈ψ200(r1)ψ100(r2)|Vee|ψ100(r1)ψ200(r2)〉
= U ± J,
U J
U :
U =
=
dr1dr2 ψ ∗ 100(r1)ψ ∗ 200(r2)
dr1dr2 |ψ100(r1)| 2 |ψ200(r2)| 2
e 2
4πε0|r1 − r2| ψ100(r1)ψ200(r2)
e2 ,
4πε0|r1 − r2|

|ψ100(r1)| 2 |ψ200(r2)| 2 ,
J
J =
dr1dr2 ψ ∗ 100(r1)ψ ∗ e
200(r2)
2
4πε0|r1 − r2| ψ200(r1)ψ100(r2)
=
dr1dr2 [ψ ∗ 100(r1)ψ200(r1)] [ψ ∗ e
200(r2)ψ100(r2)]
2
.
4πε0|r1 − r2|
J ψ100(r1) ψ200(r1)
U J
J
r1 = r2,
ES ET
ˆHZ = (−e/me)Bz
ˆSz1 + ˆ Sz2
.
|χ T−1 〉, |χ T0 〉, |χ T1 〉 |χ S 〉, ˆ Hz,
ˆHZ|χ T−1 〉 = ˆ
HZ| ↓〉1| ↓〉2 = (−e/me)Bz
ˆSz1 + ˆ
Sz2 | ↓〉1| ↓〉2,
Sz = Sz1 + Sz2 S 2 = (S1 + S2) 2 .

ˆ Sz1 | ↓〉1
(−e/me)B0
ˆSz1 + ˆ
Sz2 | ↓〉1| ↓〉2 =
(−e/me)Bz | ↓〉2 ˆ Sz1| ↓〉1 + | ↓〉1 ˆ =
Sz2| ↓〉2
−¯h
(−e/me)Bz | ↓〉2
2 | ↓〉1
=
−¯h
+ | ↓〉1 | ↓〉2
2
−¯h −¯h
(−e/me)Bz + | ↓〉1| ↓〉2
2 2
= −e¯hBz
me
| ↓〉1| ↓〉2 = −e¯hBz
|χT,−1〉.
me
ETm =
−e¯hBz
m
me
,
ES = 0.
ψTm Bz = 0,
Bz = 0. Bz
l = 0 l = 1 l = 2
l = 0

✻
✟ ✟
✟ ✟
4 1
3 1
2 1
1 1
4 1
3 1
2 1
4 1
3 1
4 3
3 3
2 3
4 3
3 3
2 3
4 3
3 3
n = 4
n = 3
n = 2
E = 0
+ E1
U J
z